专题五 函数与导数、不等式
[析考情·明重点]
小题考情分析
大题考情分析
常考点
1.函数的概念及其表示(5年3考)
2.函数图象与性质及其应用(5年4考)
3.线性规划问题(5年5考)
4.函数与不等式问题(5年5考) 函数与导数、不等式此部分内容是高考必考部分．
(1)利用导数研究函数的单调性、极值、最值等问题是高考命题的热点． (2)重点考查导数与极值、最值、单调区间、函数与图象的联系，利用导数证明不等式，求函数零点等．
(3)有时结合二次函数考查函数的最值、零点等问题.
偶考点
1.基本初等函数的运算
2.函数与方程
3.不等式的性质
4.利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题
5.导数的几何意义
第一讲 小题考法——函数的概念与性质
考点(一) 函数的概念及表示
主要考查函数的定义域、分段函数求值或已知函数值取值范围求参数的值取值范围等.
[典例感悟]
[典例] (1)(2015·浙江高考)存在函数f (x )满足：对于任意x ∈R 都有( ) A ．f (sin 2x )＝sin x B ．f (sin 2x )＝x 2＋x C ．f (x 2＋1)＝|x ＋1|
D ．f (x 2＋2x )＝|x ＋1|
(2)(2019届高三·浙江镇海中学阶段测试)函数y ＝9－x 2
log 2x ＋1的定义域是( )
A ．(－1,3)
B ．(－1,3]
C ．(－1,0)∪(0,3)
D ．(－1,0)∪(0,3]
(3)设函数f (x )＝???
2－x －1，x ≤0，
x 1
2，x >0，
则f (f (－4))＝________；若f (t )≥1，则log 1
2
(t 4＋1)的
最大值为________．
[解析] (1)取x ＝0，π
2，可得f (0)＝0,1，这与函数的定义矛盾，所以选项A 错误；
取x ＝0，π，可得f (0)＝0，π2＋π，这与函数的定义矛盾，所以选项B 错误； 取x ＝1，－1，可得f (2)＝2,0，这与函数的定义矛盾，所以选项C 错误； 取f (x )＝ x ＋1，则对任意x ∈R 都有f (x 2＋2x )＝ x 2＋2x ＋1＝|x ＋1|，故选项D 正
确．
综上可知，本题选D.
(2)由题可知???
9－x 2≥0，
x ＋1>0，
log 2
x ＋1
≠0，
即???
9－x 2≥0，
x ＋1>0，x ＋1≠1，
解得－1 由f (t )≥1，得t ≥1或t ≤－1， 所以log 12(t 4＋1)≤log 1 22＝－1. 故log 1 2(t 4＋1)的最大值为－1. [答案] (1)D (2)D (3)15 －1 [方法技巧] 1．函数定义域的求法 求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出解集即可． 2．分段函数问题的5种常见类型及解题策略 常见类型 解题策略 求函数值 弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算 求函数最值 分别求出每个区间上的最值，然后比较大小 解不等式 根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提 [演练冲关] 1．已知函数f (x )＝a 1－x ＋b cos π 2x ＋x ，且满足f (1－2)＝3，则f (1＋2)＝( ) A ．2 B ．－3 C ．－4 D ．－1 解析：选D 当x 1＋x 2＝2时，f (x 1)＋f (x 2)＝a 1－x 1＋b cos ? ????π2x 1＋x 1＋a 1－x 2＋b cos ? ???? π2x 2＋x 2＝a 1－x 1＋b cos ? ????π2x 1＋x 1＋a x 1－1＋b cos ???? ?? π22－x 1＋x 2＝x 1＋x 2＝2.所以函数y ＝f (x )的图象关 于(1,1)对称，从而f (1＋2)＝2－f (1－2)＝2－3＝－1，故选D. 2．(2018·杭州七校联考)已知函数f (x )＝?? ? 12x ，x ≥0， 2x －x 2 ，x <0， 若f (2－a 2)>f (|a |)，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(－2,2) 解析：选A 由题意知，f (x )＝?? ? 12x ，x ≥0， －x －12 ＋1，x <0， 作出 函数f (x )的大致图象如图所示，由函数f (x )的图象可知，函数f (x )在R 上单调递增，由f (2－a 2)>f (|a |)，得2－a 2>|a |.当a ≥0时，有2－a 2>a ，即(a ＋2)(a －1)<0，解得－2－a ，即(a －2)(a ＋1)<0，解得－1 3．已知函数f (x )＝????? log 3x 2－1|x |>1，3x |x |≤1， 则f (10)＋f ? ???? cos 600°4＝_______，若 f (x )＝－1，则x ＝_______. 解析：由题意得f (10)＋f ? ?? ?? cos 600°4＝log 3 9＋3－18＝32. f (x )＝－1等价于??? log 3x 2 －1＝－1， |x |>1或??? ?? 3x ＝－1，|x |≤1， 解得x ＝±23 3 或x ＝－1. 答案：32 －1或±23 3 考点(二) 函数的图象及应用 主要考查根据函数的解析式选择图象或利用函数的图象选择解析式、 利用函数的图象研究函数的性质、方程的解以及解不等式等问题. [典例感悟] [典例] (1)(2018·浙江高考)函数y＝2|x|sin 2x的图象可能是( ) (2)已知函数f(x)＝2ln x，g(x)＝x2－4x＋5，则方程f(x)＝g(x)的根的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3 (3)函数f(x)是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所 示，那么不等式 f x cos x<0的解集为________． [解析] (1)由y＝2|x|sin 2x知函数的定义域为R， 令f(x)＝2|x|sin 2x， 则f(－x)＝2|－x|sin(－2x)＝－2|x|sin 2x. ∵f(x)＝－f(－x)， ∴f(x)为奇函数． ∴f(x)的图象关于原点对称，故排除A、B. 令f(x)＝2|x|sin 2x＝0，解得x＝ kπ 2 (k∈Z)， ∴当k＝1时，x＝ π 2 ，故排除C，选D. (2)由已知g(x)＝(x－2)2＋1，得其顶点为(2，1)，又f(2)＝2ln 2∈(1,2)， 可知点(2,1)位于函数f(x)＝2ln x图象的下方，故函数f(x)＝2ln x的图 象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象有2个交点． (3)在 ? ? ? ? ? ? 0， π 2上 y＝cos x>0， 在? ?? ?? π2，4上y ＝cos x <0. 由f (x )的图象知在? ????1，π2上f x cos x <0， 因为f (x )为偶函数，y ＝cos x 也是偶函数， 所以y ＝ f x cos x 为偶函数， 所以f x cos x <0的解集为? ????－π2，－1∪? ???? 1，π2. [答案] (1)D (2)C (3)? ????－π2，－1∪? ?? ??1，π2 [方法技巧] 由函数解析式识别函数图象的策略 [演练冲关] 1．(2019届高三·浙江联盟联考)已知函数f (x )满足f (x )＝－f (x －1)，则函数f (x )的图象不可能发生的情形是( ) 解析：选C ∵f (x )＝－f (x －1)， ∴f (x )的图象向右平移一个单位后，再沿x 轴对折后与原图重合，显然C 不符合题意，故选C. 2．(2018·台州调研)已知函数f (x )＝x (1＋a |x |)(a ∈R)，则在同一个坐标系下函数f (x ＋a )与f (x )的图象不可能是( ) 解析：选D 首先函数y ＝f (x )的图象过坐标原点．当a >0时，y ＝f (x ＋a )的图象是由y ＝f (x )的图象向左平移后得到的，且函数f (x )在R 上单调递增，此时选项B 有可能，选项D 不可能；当a <0时，y ＝f (x ＋a )的图象是由y ＝f (x )的图象向右平移后得到的，且函数f (x )在? ????0，－1a 上为正，在? ?? ?? －1a ，＋∞上为负，此时选项A 、C 均有可能，故选D. 3．(2018·浙江教学质量检测)已知函数f (x )＝1 |x |－1 ，下列关于函数f (x )的研究：①y ＝ f (x )的值域为R ；②y ＝f (x )在(0，＋∞)上单调递减；③y ＝f (x )的图象关于y 轴对称；④y ＝f (x ) 的图象与直线y ＝ax (a ≠0)至少有一个交点． 其中，结论正确的序号是________． 解析：函数f (x )＝1 |x |－1＝ ????? 1x －1，x ≥0，1 －x －1，x <0， 其图象如图所 示，由图象知f (x )的值域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，故①错误；在区间(0,1)和(1，＋∞)上单调递减，故②错误； ③y ＝f (x )的图象关于y 轴对称正确； 因为函数在每个象限都有图象，故④y ＝f (x )的图象与直线y ＝ax (a ≠0)至少有一个交点正确． 答案：③④ 考点(三) 函数的性质及应用 主要考查函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性以及函数值的取值范围、比较大小等. [典例感悟] [典例] (1)(2018·杭州二模)设函数f (x )与g (x )的定义域均为R ，且f (x )单调递增，F (x )＝ f (x )＋ g (x )，G (x )＝f (x )－g (x )，若对任意x 1，x 2∈R(x 1≠x 2)，不等式[f (x 1)－f (x 2)]2>[g (x 1)－g (x 2)]2 恒成立，则( ) A．F(x)，G(x)都是增函数B．F(x)，G(x)都是减函数C．F(x)是增函数，G(x)是减函数 D ．F (x )是减函数，G (x )是增函数 (2)设函数f (x )＝2 a x －1＋ b (a >0且a ≠1)，则函数f (x )的奇偶性( ) A ．与a 无关，且与b 无关 B ．与a 有关，且与b 有关 C ．与a 有关，且与b 无关 D ．与a 无关，但与b 有关 (3)已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足条件f ? ????x ＋32＝－f (x )，且函数y ＝f ? ?? ??x －34为奇函数，给出以下四个结论： ①函数f (x )是周期函数； ②函数f (x )的图象关于点? ?? ?? －34，0对称； ③函数f (x )为R 上的偶函数； ④函数f (x )为R 上的单调函数． 其中正确结论的序号为________． [解析] (1)对任意x 1，x 2∈R(x 1≠x 2)，不等式[f (x 1)－f (x 2)]2>[g (x 1)－g (x 2)]2恒成立， 不妨设x 1>x 2，f (x )单调递增， ∴f (x 1)－f (x 2)>g (x 1)－g (x 2)，且f (x 1)－f (x 2)>－g (x 1)＋g (x 2)， ∵F (x 1)＝f (x 1)＋g (x 1)，F (x 2)＝f (x 2)＋g (x 2)， ∴F (x 1)－F (x 2)＝f (x 1)＋g (x 1)－f (x 2)－g (x 2)＝f (x 1)－f (x 2)－[g (x 2)－g (x 1)]>0， ∴F (x )为增函数；同理可证G (x )为增函数，故选A. (2)因为f (－x )＝2a －x －1＋b ＝－2a x a x －1＋ b ，所以f (－x )＋f (x )＝2b －2，所以当b ＝1时函数f (x ) 为奇函数，当b ≠1时函数f (x )为非奇非偶函数，故选D. (3)f (x ＋3)＝f ??????? ????x ＋32＋32＝－f ? ???? x ＋32＝f (x )，所以f (x )是周期为3的周期函数，①正确； 函数f ? ????x －34是奇函数，其图象关于点(0,0)对称，则f (x )的图象关于点? ???? －34，0对称，②正确； 因为f (x )的图象关于点? ???? －34，0对称，－34＝ －x ＋? ?? ??－32＋x 2 ，所以f (－x )＝－f ? ?? ?? －32＋x ，又 f ? ?? ??－3 2＋x ＝－f ? ?? ?? －32＋x ＋32 ＝－f (x )，所以f (－x )＝f (x )，③正确；f (x )是周期函数，在R 上不 可能是单调函数，④错误．故正确结论的序号为①②③. [答案] (1)A (2)D (3)①②③ [方法技巧] 函数3个性质的应用 1．(2017·全国卷Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是( ) A．[－2,2] B．[－1,1] C．[0,4] D．[1,3] 解析：选D ∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)． ∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1. 故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)． 又f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x－2≤1， ∴1≤x≤3. 2．(2017·天津高考)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log25.1)，b ＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为( ) A．a C．b 解析：选C 由f(x)为奇函数，知g(x)＝xf(x)为偶函数． 因为f(x)在R上单调递增，f(0)＝0， 所以当x>0时，f(x)>0， 所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，且g(x)>0. 又a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)， 20．8<2＝log24 所以b 3．(2018·金华一中模拟)当x ∈(－∞，1]时，不等式1＋2x ＋4x ·a a 2－a ＋1>0恒成立，则实数a 的取值范围为________． 解析：∵a 2－a ＋1＝? ????a －122＋3 4 >0， ∴不等式1＋2x ＋4x ·a a 2－a ＋1>0恒成立转化为1＋2x ＋4x ·a >0恒成立． 得－a <14x ＋2x 4x ＝? ????14x ＋? ?? ??12x ， 而函数y ＝? ????14x ＋? ?? ??12x 为减函数， 故当x ∈(－∞，1]时，y min ＝14＋12＝3 4， 所以－a <34，即a >－3 4 . 答案：? ?? ?? －34，＋∞ [必备知能·自主补缺] (一) 主干知识要记牢 函数的奇偶性、周期性 (1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x (定义域关于原点对称)，都有f (－x )＝－f (x )成立，则f (x )为奇函数(都有f (－x )＝f (x )成立，则f (x )为偶函数)． (2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f (x )，如果对于定义域内的任意一个x 的值：若f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)，则f (x )是周期函数，T 是它的一个周期． (二) 二级结论要用好 1．函数单调性和奇偶性的重要结论 (1)当f (x )，g (x )同为增(减)函数时，f (x )＋g (x )为增(减)函数． (2)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性． (3)f (x )为奇函数?f (x )的图象关于原点对称； f (x )为偶函数?f (x )的图象关于y 轴对称． (4)偶函数的和、差、积、商是偶函数，奇函数的和、差是奇函数，积、商是偶函数，奇函数与偶函数的积、商是奇函数． (5)定义在(－∞，＋∞)上的奇函数的图象必过原点，即有f (0)＝0.存在既是奇函数，又是偶函数的函数：f (x )＝0. (6)f (x )＋f (－x )＝0?f (x )为奇函数； f (x )－f (－x )＝0?f (x )为偶函数． 2．抽象函数的周期性与对称性的结论 (1)函数的周期性 ①若函数f (x )满足f (x ＋a )＝f (x －a )，则f (x )是周期函数，T ＝2a . ②若函数f (x )满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期函数，T ＝2a . ③若函数f (x )满足f (x ＋a )＝1 f x ，则f (x )是周期函数，T ＝2a . (2)函数图象的对称性 ①若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称． ②若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝－f (a －x )，即f (x )＝－f (2a －x )，则f (x )的图象关于点(a,0)对称． ③若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b 2 对称． 3．函数图象平移变换的相关结论 (1)把y ＝f (x )的图象沿x 轴左右平移|c |个单位(c ＞0时向左移，c ＜0时向右移)得到函数 y ＝f (x ＋c )的图象(c 为常数)． (2)把y ＝f (x )的图象沿y 轴上下平移|b |个单位(b ＞0时向上移，b ＜0时向下移)得到函数 y ＝f (x )＋b 的图象(b 为常数)． (三) 易错易混要明了 1．求函数的定义域时，关键是依据含自变量x 的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根，被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数．列不等式时，应列出所有的不等式，不能遗漏． 2．求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“和”连接或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替． 3．判断函数的奇偶性时，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响． 4．用换元法求解析式时，要注意新元的取值范围，即函数的定义域问题． [针对练1] 已知f (cos x )＝sin 2x ，则f (x )＝________. 解析：令t ＝cos x ，且t ∈[－1,1]，则f (t )＝1－t 2，t ∈[－1，1]，即f (x )＝1－x 2，x ∈[－1,1]． 答案：1－x 2，x ∈[－1,1] 5．分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应法则的函数，它是一个函数，而不是几个函数． [针对练2] 已知函数f (x )＝??? e x ，x <0，ln x ，x >0， 则f ? ????f ? ????1e ＝________. 解析：因为f ? ????1e ＝ln 1e ＝－1，所以f ? ????f ? ????1e ＝f (－1)＝e －1 ＝1e . 答案：1 e [课时跟踪检测] A 组——10＋7提速练 一、选择题 1．(2019届高三·杭州四校联考)已知函数f (x )＝??? log 12 x ，x >0， 3x ，x ≤0， 则f (f (4))的值为( ) A ．－1 9 B ．－9 C ．19 D ．9 解析：选C 因为f (x )＝??? log 12 x ，x >0， 3x ，x ≤0， 所以f (f (4))＝f (－2)＝1 9 . 2．已知函数f (x )＝? ?? x 2 ＋1，x >0， cos 6π＋x ，x ≤0，则下列结论正确的是( ) A ．函数f (x )是偶函数 B ．函数f (x )是减函数 C ．函数f (x )是周期函数 D ．函数f (x )的值域为[－1，＋∞) 解析：选D 由函数f(x)的解析式，知f(1)＝2，f(－1)＝cos(－1)＝cos 1，f(1)≠f(－1)，则f(x)不是偶函数．当x>0时，f(x)＝x2＋1，则f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数，且函数值f(x)>1；当x≤0时，f(x)＝cos x，则f(x)在区间(－∞，0]上不是单调函数，且函数值f(x) ∈[－1,1]．所以函数f(x)不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)．故选D. 3．(2018·全国卷Ⅲ)函数y＝－x4＋x2＋2的图象大致为( ) 导数题型归纳 请同学们高度重视： 首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： 1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法 5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间） 与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在 其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。 最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令0)(' =x f 得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知； 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种： 第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0） 第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）； 例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上， ()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数，432 3()1262 x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围； （2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332 x mx f x x '=-- （1） ()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”， 则 2 ()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x < 解法二：分离变量法： ∵ 当0x =时, 2 ()330g x x mx ∴=--=-<恒成立, 当03x <≤时, 2 ()30g x x mx =--<恒成立 等价于233 x m x x x ->=-的最大值（03x <≤）恒成立， 而3 ()h x x x =-（03x <≤）是增函数，则max ()(3)2h x h == (2)∵当2m ≤时()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数” 则等价于当2m ≤时2 ()30g x x mx =--< 恒成立 解法三：变更主元法 再等价于2 ()30F m mx x =-+>在2m ≤恒成立（视为关于m 的一次函数最值问题） 2 2 (2)0230 11(2)0230 F x x x F x x ?->--+>?????-<-+>??? 例2),10(32 R b a b x a ∈<<+- ],2不等式()f x a '≤恒成立，求a 的取值范围. 导数高考题专练 1、(2012课标全国Ⅰ，文21)（本小题满分12分） 设函数f (x )= e x －ax －2 (Ⅰ)求f (x )的单调区间 (Ⅱ)若a =1，k 为整数，且当x >0时，(x －k ) f ′(x )+x +1>0，求k 的最大值 2、(2013课标全国Ⅰ，文20)(本小题满分12分) 已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4. (1)求a ，b 的值； (2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值． 3、(2015课标全国Ⅰ，文21）.（本小题满分12分） 设函数2()ln x f x e a x =-. （Ⅰ）讨论()f x 的导函数'()f x 零点的个数； （Ⅱ）证明：当0a >时，2 ()2ln f x a a a ≥+。 4、(2016课标全国Ⅰ，文21)（本小题满分12分） 已知函数.2)1(2)(-+-= x a e x x f x ）（ (I)讨论)(x f 的单调性； (II)若)(x f 有两个零点，求的取值范围. 5、（(2016全国新课标二，20）（本小题满分12分） 已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--. （I ）当4a =时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程； (II)若当()1,x ∈+∞时，()0f x ＞，求a 的取值范围. 6(2016山东文科。20)(本小题满分13分) 设f (x )=x ln x –ax 2+(2a –1)x ，a ∈R . (Ⅰ)令g (x )=f'(x )，求g (x )的单调区间； (Ⅱ)已知f (x )在x =1处取得极大值.求实数a 的取值范围. 2017.（12分） 已知函数)f x =（a e 2x +(a ﹣2) e x ﹣x . （1）讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 2018全国卷)（12分） 已知函数()1 ln f x x a x x = -+． ⑴讨论()f x 的单调性； ⑵若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，证明： ()()1212 2f x f x a x x -<--． 导数高考题专练（答案） 1 2解：(1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4. 由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4. 故b ＝4，a ＋b ＝8. 从而a ＝4，b ＝4. (2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ， 导数大题专练 （2015年浙江省理15分）已知函数()2=++∈（ ），f x x ax b a b R ,记M （a ，b ）是|f （x ）|在区间[-1,1]上的最大值. （1）证明：当|a |2时，M （a ，b ）2; （2）当a ，b 满足M （a ，b ）2，求|a |+|b |的最大值. ≥≥≤ （2015年浙江省文15分）设函数. （1）当时，求函数在上的最小值的表达式； （2）已知函数在上存在零点，，求b 的取值范围. 2 (),(,)f x x ax b a b R =++∈2 14 a b =+()f x [1,1]-()g a ()f x [1,1]-021b a ≤-≤ （2016理）已知，函数F（x）=min{2|x?1|，x2?2ax+4a?2}，其中min{p，q}= （I）求使得等式F（x）=x2?2ax+4a?2成立的x的取值范围；（II）（i）求F（x）的最小值m（a）； （ii）求F（x）在区间[0,6]上的最大值M（a）. （2016文）设函数=，.证明：（I）； （II）. （2017真）已知函数f(x)=（x e x-（ 1 2 x≥）. （Ⅰ）求f(x)的导函数； （Ⅱ）求f(x)在区间 1 [+) 2 ∞ ，上的取值范围. （2017押）已知函数()()||()f x x t x t R =-∈． （Ⅰ）求函数()y f x =的单调区间； （Ⅱ）当t>0时，若f(x)）在区间1-1,2]上的最大值为M(t)，最小值为m(t)，求M(t)-m(t)的最小值． 专题03 函数与导数大题部分 【训练目标】 1、 理解函数的概念，会求函数的定义域，值域和解析式，特别是定义域的求法； 2、 掌握函数单调性，奇偶性，周期性的判断方法及相互之间的关系，会解决它们之间的综合问题； 3、 掌握指数和对数的运算性质，对数的换底公式； 4、 掌握指数函数和对数函数的图像与性质； 5、 掌握函数的零点存在定理，函数与方程的关系； 6、 熟练数形结合的数学思想在解决函数问题的运用； 7、 熟练掌握导数的计算，导数的几何意义求切线问题； 8、 理解并掌握导数与函数单调性之间的关系，会利用导数分析函数的单调性，会根据单调性确定参数的取 值范围； 9、 会利用导数求函数的极值和最值，掌握构造函数的方法解决问题。 【温馨小提示】 本章内容既是高考的重点，又是难点，再备考过程中应该大量解出各种题型，总结其解题方法，积累一些常用的小结论，会给解题带来极大的方便。 【名校试题荟萃】 1、（2019届新余四中、上高二中高三第一次联考）已知函数 .,R n m ∈ （1）若函数()x f 在()()2,2f 处的切线与直线0=-y x 平行，求实数n 的值； （2）试讨论函数()x f 在区间[)+∞,1上最大值； （3）若1=n 时，函数()x f 恰有两个零点，求证：221>+x x 【答案】（1）6n =（2）1ln m n --（3）见解析 【解析】（1）由， ，由于函数()f x 在(2,(2))f 处的切线与直线0x y -=平行， 故 2 14 n -=，解得6n =。 （2） ，由()0f x '<时，x n >；()0f x '>时，x n <，所以 ①当1n ≤时，()f x 在[)1,+∞上单调递减，故()f x 在[)1,+∞上的最大值为 ； 第一题：浙江省绍兴市上虞区2019届高三第二次（5月）教学质量调测数学试题 已知函数()x f x ae x -=+与21()(,)2 g x x x b a b R =+-∈（1）若(),()f x g x 在2x =处有相同的切线，求,a b 的值； （2）设()()()F x f x g x =-，若函数()F x 有两个极值点1212,()x x x x >，且1230x x -≥，求实数a 的取值范围 第二题：浙江省2019年诸暨市高考适应性试卷数学 已知函数2()(0) x f x e ax a =->（1）若()f x 在R 上单调递增，求正数a 的取值范围； （2）若()f x 在12,x x x =处的导数相等，证明：122ln 2x x a +<（3）当12a =时，证明：对于任意11k e ≤+，若12 b <，则直线y kx b =+与曲线()y f x =有唯一公共点（注：当1k >时，直线y x k =+与曲线x y e =的交点在y 轴两侧） 第三题：浙江省2019年5月高三高仿真模拟浙江百校联考（金色联盟） 已知函数()ln(1)() f x x ax a a R =--+∈（1）求函数()f x 在区间[2,3]上的最大值； （2）设函数()f x 有两个零点12,x x ，求证：1222 x x e +>+第四题：浙江省台州市2019届高三4月调研数学试卷 已知函数2()x f x x e =（1）若关于x 的方程()f x a =有三个不同的实数解，求实数a 的取值范围； （2）若实数,m n 满足(2)m n f +=-，其中m n >，分别记：关于x 的方程()f x m =在(,0)-∞上两个不同的解为12,x x ；若关于x 的方程()f x n =在(2,)-+∞上两个不同的解为34,x x ，求证：1234x x x x ->-第五题：浙江省嘉兴、平湖市2018学年第二学期高三模拟(2019.05)考试数学已知函数2 ()ln ,()1(,)a f x x g x bx a b R x ==+-∈（1）当1,0a b =-=时，求曲线()()y f x g x =-在1x =处的切线方程； 2018年高考理科数学全国卷二导数压轴题解析 已知函数2()x f x e ax =-. （1） 若1a =，证明：当0x ≥时，()1f x ≥. （2） 若()f x 在(0,)+∞只有一个零点，求a . 题目分析： 本题主要通过函数的性质证明不等式以及判断函数零点的问题考察学生对于函数单调性以及零点存在定理性的应用，综合考察学生化归与分类讨论的数学思想，题目设置相对较易，利于选拔不同能力层次的学生。第1小问，通过对函数以及其导函数的单调性以及值域判断即可求解。官方标准答案中通过()()x g x e f x -=的变形化成2()x ax bx c e C -+++的形式，这种形式的函数求导之后仍为2()x ax bx c e -++这种形式的函数，指数函数的系数为代数函数，非常容易求解零点，并且这种变形并不影响函数零点的变化。这种变形思想值得引起注意，对以后导数命题有着很大的指引作用。但是，这种变形对大多数高考考生而言很难想到。因此，以下求解针对函数()f x 本身以及其导函数的单调性和零点问题进行讨论，始终贯穿最基本的导函数正负号与原函数单调性的关系以及零点存在性定理这些高中阶段的知识点，力求完整的解答该类题目。 题目解答： （1）若1a =，2()x f x e x =-，()2x f x e x '=-，()2x f x e ''=-. 当[0,ln 2)x ∈时，()0f x ''<，()f x '单调递减；当(ln 2,)x ∈+∞时，()0f x ''>，()f x '单调递增； 所以()(ln 2)22ln 20f x f ''≥=->，从而()f x 在[0,)+∞单调递增；所以()(0)1f x f ≥=，得证. （2）当0a ≤时，()0f x >恒成立，无零点，不合题意. 当0a >时，()2x f x e ax '=-，()2x f x e a ''=-. 当[0,ln 2)x a ∈时，()0f x ''<，()f x '单调递减；当(ln 2,)x a ∈+∞时，()0f x ''>，()f x '单调递增；所以()(ln 2)2(1ln 2)f x f a a a ''≥=-. 当02 e a <≤ 时，()0f x '≥，从而()f x 在[0,)+∞单调递增，()(0)1f x f ≥=，在(0,)+∞无零点，不合题意. 浙江省高考数学一轮复习：13 导数与函数的单调性 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、单选题 (共12题；共24分) 1. （2分）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数 在开区间内有极小值点（） A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个 2. （2分） (2020高二下·九台期中) 函数的单调递减区间为（） A . （-∞，0） B . (1，＋∞) C . (0，1) D . （0，＋∞） 3. （2分） (2020高二下·北京期中) 函数的增区间是（） A . B . C . D . 4. （2分） (2016高二下·绵阳期中) 函数f（x）的图象如图所示，则导函数y=f′（x）的图象可能是（） A . B . C . D . 5. （2分）函数在[0,3]上的最大值和最小值分别是（） A . 5,-15 B . 5,-4 C . -4,-15 D . 5,-16 6. （2分） (2019高二下·余姚期中) 已知可导函数，则当时， 大小关系为（） A . B . C . D . 7. （2分）若函数恰有三个单调区间，则实数a的取值范围为（） A . B . C . D . 8. （2分） (2020高三上·双鸭山开学考) 定义在（1，+∞）上的函数f（x）满足x2 +1＞0（为函数f（x）的导函数），f（3）＝，则关于x的不等式f（log2x）﹣1＞logx2的解集为（） A . （1，8） B . （2，+∞） C . （4，+∞） D . （8，+∞） 9. （2分）函数的单调递减区间是（） A . B . C . D . 10. （2分） (2019高二上·建瓯月考) 分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当时， ，且则不等式的解集为（） A . （－∞，－2）∪（2，+∞） B . （－2，0）∪（0，2） C . （－2，0）∪（2，+∞） 欢迎下载学习好资料 高考文科数学专题复习导数训练题（文）一、考点回顾导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的内容。考查方式以客观题为主，主1. 要考查导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义。导数的应用是高中数学中的重点内容，导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工2.具，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题。选择填空题侧重于利用导不等式、解答题侧重于导数的综合应用，即与函数、数确定函数的单调性、单调区间和最值问题，数列的综合应用。3.应用导数解决实际问题，关键是建立恰当的数学模型（函数关系），如果函数在给定区间内只有一个极值点，此时函数在这点有极大（小）值，而此时不用和端点值进行比较，也可以得知这就是最大（小）值。 二、经典例题剖析 考点一：求导公式。 13f(x)?x?2x?1??ff(?1)(x)3的值是的导函数，则。例1. 是 ????2?1?2?1?f'32x??xf'解析：，所以 答案：3 点评：本题考查多项式的求导法则。 考点二：导数的几何意义。 1x?y?2(1?(1))f(x)My，f2，点则图数2. 例已知函的象程的处切线方在是 ??(1)(f1?)f。 115???fk?'1M(1，f(1))222，所的纵坐标为，所以，由切线过点，可得点M 解析：因为5???f1?????3'f1?f12以，所以3 答案： 学习好资料欢迎下载 32?3)(1，2??4x?yx?2x例3. 。在点曲线处的切线方程是 2?3)(1，4??4xy'?3x5?k?3?4?4??解析：，所以设切线方程，处切线的斜率为点?3)(1， ?3)y??5x?b(1，2b?，将点处的切线为带入切线方程可得，所以，过曲线上点5x?y?2?0方程为：5x?y?2?0答案：点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三：导数的几何意义的应用。 ??23x?,y0x l:y?kx x?3x?2y?xl与曲线C且直线相切于点，，例，4.已知曲线C：直线000l的方程及切点坐标。求直线y??00k??x??0x y,x?0在曲析解：线直线过原点，C则。由点上， ??00232x?2x?3xy?x yx,y'?3x?6x?2??0在，处，。又 则00y20?x?3x?2 000000??222x?3x?2?3x?6x?22x?'6x??3xk?f?，整曲线C，的切线斜率为 0000000331y???k??x03x??2x x?00082400。所以，（舍），此时，，解得：理得：，或033??1,???y??x82l??4的方程为，切点坐标是直线。 33??1,???y??x82l??4的方程为，切点坐标是答案：直线点评：本小题考查导数 已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数．证明： （1）()f x '在区间(1,)2 π-存在唯一极大值点； （2）()f x 有且仅有2个零点． 分析：（1）设()()g x f 'x =，则1()cos 1g x x x =-+，()g x 在1,2π??- ??? 存在唯一极大值点的问题就转化为()g'x 在1,2π??- ??? 有唯一零点，而唯一零点问题经常用零点存在性，即确定单调性及两端点处函数值异号。 （2）这是一个零点问题，经常转化为两函数交点问题，即 。 首先来画一下函数图象。 )1ln(sin x x + = 从图象上可以大致确定零点一个为0一个在区间??? ??ππ ,2上，我们只需证明其他区间无零点就可以了，很显然应该分四段讨论。 解：（1）设()()g x f 'x =，则1()cos 1g x x x =- +， 21sin ())(1x 'x g x =-+ +. 当1,2x π??∈- ???时，()g'x 单调递减，而(0)0,()02g'g'π><，可得()g'x 在1,2π??- ???有唯一零点，设为α. 则当(1,)x α∈-时，()0g'x >；当,2x α?π?∈ ??? 时，()0g'x <. 所以()g x 在(1,)α-单调递增，在,2απ?? ???单调递减，故()g x 在1,2π??- ??? 存在唯一极大值点，即()f 'x 在1,2π??- ??? 存在唯一极大值点. （2）()f x 的定义域为(1,)-+∞. （i ）当(1,0]x ∈-时，由（1）知，()f 'x 在(1,0)-单调递增，而(0)0f '=，所以当(1,0)x ∈-时，()0f 'x <，故()f x 在(1,0)-单调递减，又(0)=0f ，从而0x =是()f x 在(1,0]-的唯一零点. （ii ）当0,2x ?π?∈ ???时，由（1）知，()f 'x 在(0,)α单调递增，在,2απ?? ??? 单调递减，而(0)=0f '，02f 'π??< ???，所以存在,2βαπ??∈ ??? ，使得()0f 'β=， 2018年高考理科数学全国卷三导数压轴题解析 已知函数2()(2)ln(1)2f x x ax x x =+++- （1） 若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >； （2） 若0x =是()f x 的极大值点，求a . 考点分析 综合历年试题来看，全国卷理科数学题目中，全国卷三的题目相对容易。但在2018年全国卷三的考察中，很多考生反应其中的导数压轴题并不是非常容易上手。第1小问，主要通过函数的单调性证明不等式，第2小问以函数极值点的判断为切入点，综合考察复杂含参变量函数的单调性以及零点问题，对思维能力（化归思想与分类讨论）的要求较高。 具体而言，第1问，给定参数a 的值，证明函数值与0这一特殊值的大小关系，结合函数以及其导函数的单调性，比较容易证明，这也是大多数考生拿到题目的第一思维方式，比较常规。如果能结合给定函数中20x +>这一隐藏特点，把ln(1)x +前面的系数化为1，判断ln(1)x +与2/(2)x x +之间的大小关系，仅通过一次求导即可把超越函数化为求解零点比较容易的代数函数，解法更加容易，思维比较巧妙。总体来讲，题目设置比较灵活，不同能力层次的学生皆可上手。 理解什么是函数的极值点是解决第2问的关键。极值点与导数为0点之间有什么关系：对于任意函数，在极值点，导函数一定等于0么（存在不存在）？导函数等于0的点一定是函数的极值点么？因此，任何不结合函数的单调性而去空谈函数极值点的行为都是莽撞与武断的。在本题目中，0x =是()f x 的极大值点的充要条件是存在10δ<和20δ>使得对于任意1(,0)x δ∈都满足()(0)=0f x f <( 或者()f x 单调递增)，对于任意2(0,)x δ∈都满足()(0)=0f x f <( 或者()f x 单调递减)，因此解答本题的关键是讨论函数()f x 在0x =附近的单调性或者判断()f x 与(0)f 的大小关系。题目中并没有限定参数a 的取值范围，所以要对实数范围内不同a 取值时的情况都进行分类讨论。在第1小问的基础上，可以很容易判断0a =以及0a >时并不能满足极大值点的要求，难点是在于判断0a <时的情况。官方标准答案中将问题等价转化为讨论函数2 ()ln(1)/(2)h x x x x =+++在0x =点的极值情况，非常巧妙，但是思维跨度比较大，在时间相对紧张的选拔性考试中大多数考生很难想到。需要说明的是，官方答案中的函数命题等价转化思想需要引起大家的重视，这种思想在2018年全国卷2以及2011年新课标卷1的压轴题中均有体现，这可能是今后导数压轴题型的重要命题趋势，对学生概念理解以及思维变通的能力要求更高，符合高考命题的思想。 下面就a 值变化对函数()f x 本身在0x =附近的单调性以及极值点变化情况进行详细讨论。 导数 一．基础题组 1. 【2010新课标，理3】曲线y ＝ 在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝2x －1 C ．y ＝－2x －3 D ．y ＝－2x －2 【答案】A 2. 【2008全国1，理6】若函数的图像与函数的图像关于直线 对称，则（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】B. 【解析】由. 3. 【2012全国，理21】已知函数f (x )满足f (x )＝f ′(1)e x －1 －f (0)x ＋ x 2 ． (1)求f (x )的解析式及单调区间； (2)若f (x )≥ x 2 ＋ax ＋b ，求(a ＋1)b 的最大值． 【解析】(1)由已知得f ′(x )＝f ′(1)e x －1 －f (0)＋x . 所以f ′(1)＝f ′(1)－f (0)＋1，即f (0)＝1. 又f (0)＝f ′(1)e －1 ，所以f ′(1)＝e. 从而f (x )＝e x －x ＋ x 2 . 2 x + x (1)y f x = -1y =y x =()f x =21 x e -2x e 21 x e +22 x e +() ()()()212121,1,y x x y x e f x e f x e --=?=-==12 12 12 由于f ′(x )＝e x －1＋x ， 故当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＜0； 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0. 从而，f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． (2)由已知条件得e x －(a ＋1)x ≥b .① (ⅰ)若a ＋1＜0，则对任意常数b ，当x ＜0，且时，可得e x －(a ＋1)x ＜b ，因此①式不成立． (ⅱ)若a ＋1＝0，则(a ＋1)b ＝0. 所以f (x )≥ x 2 ＋ax ＋b 等价于 b ≤a ＋1－(a ＋1)ln(a ＋1)．② 因此(a ＋1)b ≤(a ＋1)2 －(a ＋1)2 ln(a ＋1)． 设h (a )＝(a ＋1)2 －(a ＋1)2 ln(a ＋1)， 则h ′(a )＝(a ＋1)(1－2ln(a ＋1))． 所以h (a )在(－1，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减， 故h (a )在处取得最大值． 从而，即(a ＋1)b ≤. 当，时，②式成立， 11 b x a -< +12 12 e 1-12 e 1-12 =e 1a -e ()2h a ≤ e 2 1 2 =e 1a -12 e 2 b = 2017年浙江省高考数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分） 1．（4分）已知集合P={x|﹣1＜x＜1}，Q={x|0＜x＜2}，那么P∪Q=（）A．（﹣1，2）B．（0，1） C．（﹣1，0）D．（1，2） 2．（4分）椭圆+=1的离心率是（） A．B．C．D． 3．（4分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（） — A．+1 B．+3 C．+1 D．+3 4．（4分）若x、y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是（） A．[0，6] B．[0，4] C．[6，+∞）D．[4，+∞） 5．（4分）若函数f（x）=x2+ax+b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M﹣m（） A．与a有关，且与b有关B．与a有关，但与b无关 C．与a无关，且与b无关D．与a无关，但与b有关 6．（4分）已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d＞0”是“S4+S6＞2S5”的（） 。 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 7．（4分）函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则函数y=f（x）的图象可能是（） A．B．C．D． 8．（4分）已知随机变量ξi满足P（ξi=1）=p i，P（ξi=0）=1﹣p i，i=1，2．若0＜p1＜p2＜，则（） A．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）B．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）C．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）D．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）（ 9．（4分）如图，已知正四面体D﹣ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P、Q、R 分别为AB、BC、CA上的点，AP=PB，==2，分别记二面角D﹣PR﹣Q，D﹣PQ﹣R，D﹣QR﹣P的平面角为α、β、γ，则（） A．γ＜α＜β B．α＜γ＜β C．α＜β＜γ D．β＜γ＜α 10．（4分）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O，记I1=?，I2=?，I3=?，则（） 2013----2017年高考全国卷2、3试卷分析从2012年云南进入新课标高考至今，已有六年时间，数学因为容易拉分，加上难度变幻不定，可以说是我省考生最为害怕的一个学科，第一天下午开考的数学考得如何直接决定着考生第二天的考试情绪。近5年全国卷数学试题从试卷的结构和试卷的难度上逐渐趋于平稳，稳中有新，难度都属于较为稳定的状态。选择、填空题会以基础题呈现，属于中等难度。选择题在前六题的位置，填空题在前二题的位置;解答题属于中等难度，且基本定位在前三题和最后一题的位置。 一、近五年高考数学考点分布统计表： 从近五年数学试题知识点分布及分值分布统计表不难看出，试题坚持对基础知识、数学思想方法进行考查，重点考查了高中数学的主体内容，兼顾考查新课标的新增内容，在此基础上，突出了对考生数学思维能力和数学应用意识的考查，体现了新课程改革的理念。具体 来说几个方面： 1．整体稳定，覆盖面广 高考数学全国卷2、3全面考查了新课标考试说明中各部分的内容，可以说教材中各章的内容都有所涉及，如复数、旋转体、简易逻辑、概率等教学课时较少的内容，在试卷中也都有所考查。有些内容这几年轮换考查，如统计图、线性回归、直线与圆、线性规划，理科的计数原理、二项式定理、正态分布、条件概率等。 2．重视基础，难度适中 试题以考查高中基础知识为主线，在基础中考查能力。理科前8道选择题都是考查基本概念和公式的题型，相当于课本习题的变式题型。填空题前三题的难度相对较低，均属常规题型。解答题的前三道题分别考查解三角形，分布列、数学期望，空间线面位置关系等基础知识，利用空间直角坐标系求二面角，属中低档难度题。 4．全面考查新增内容，体现新课改理念 如定积分、函数的零点、三视图、算法框图、直方图与茎叶图、条件概率、几何概型、全称命题与特称命题等。 5．突出通性通法、理性思维和思想方法的考查 数学思想方法是对数学知识的最高层次的概括与提炼，是适用于中学数学全部内容的通法，是高考考查的核心。数形结合的思想、方程的思想、分类讨论的思想等在高考中每年都会考查。尤其数形结合，每年还专门有一道“新函数”的大致图象问题 6．注重数学的应用和创新 第三章 导数 1.从高考对导数的要求看，考查分三个层次，一是考查导数公式，求导法则与导数的几何意义；二是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；三是综合考查，如研究函数零点、证明不等式、恒成立问题、求参数范围等. 2.浙江省恢复对导数的考查后，已连续三年将导数应用问题设计为压轴题，同时在小题中也加以考查，难度控制在中等以上.特别是注意将导数内容和传统内容中有关不等式、数列、函数图象及函数单调性有机结合，设计综合题，考查学生灵活应用数学知识分析问题、解决问题的能力. 3.常见题型，选择题、解答题各一道，难度基本稳定在中等以上. 一．选择题 1.(2019·浙江省高三月考)α，,22ππβ?? ∈-???? ，且sin sin 0ααββ->，则下列结论正确的是( ) A ．αβ> B ．0αβ+> C ．αβ< D ．2 2 αβ> 【答案】D 【解析】 构造()sin f x x x =形式，则()sin cos f x x x x +'=，0, 2x π?? ∈???? 时导函数()0f x '≥，()f x 单调递增；,02x π?? ∈-???? 时导函数()0f x '<，()f x 单调递减．又Q ()f x 为偶函数，根据单调性和对称性可知选 D.故本小题选D. 2.(2019年9月浙江省嘉兴市高三测试)已知,R a b ∈，关于x 的不等式3 2 11x ax bx +++≤在[0,2]x ∈时恒成立，则当b 取得最大值时，a 的取值范围为( ) A ．[2]- B ．3 [2,]4 -- C ．3[]4 - D ．5 [,2]2 - - 【答案】A 高考数学试题导数内容探究 现代中学数学组陈永生 导数是研究函数的工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值；以导数为工具，通过观察、分析三次函数图像的变化趋势，寻找临界状况，并以此为出发点进行推测、论证，实现对考生创造能力的考查是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常把高次多项式函数，分式函数，指数型，对数型函数，以及初等基本函数的和、差、积、商知识结合起来，以解答题形式综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值，切线，方程的根，参数的范围等问题，这类题难度很大，综合性强，内容新，背景新，方法新，是高考命题的丰富宝藏。解题中需用到函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与划归思想。 《课程标准》中导数的内容有：导数概念及其几何意义、导数的运算、导数在研究函数中的应用、生活中的优化问题举例、（理科）定积分与微积分基本定理。文、理科考查形式略有不同。理科基本以一个解答题的形式考查。文科以一个选择题或填空题和一个解答题为主。从新课程高考分析，对导数的要求一般有三个层次：第一层次是主要考查导数的概念、求导公式和求导法则；第二层次是导数的简单应用,包括求切线方程、求函数的单调区间, 求函数的极值；第三层次是综合考查,包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性等有机的结合在一起，设计综合试题。本文以高考试题为例，谈谈高考导数的热点问题，供鉴赏。 一、函数，导数，不等式综合在一起，解决单调性，参数的范围等问题。解决单调性问题转化为解含参数的一元二次不等式或高次不等式的问题；求解参数的取值范围问题转化为不等式的恒成立，能成立，恰成立来求解。进一步转化求函数的最值或一元二次不等式在给定区间上（或实数集 ）上的恒成立问题来解决，从而达到考查分类与整合、化归与转化的数学思想。 全国卷历年高考函数与导数真题归类分析（含答案） （2015年-2018年共11套） 函数与导数小题（共23小题） 一、函数奇偶性与周期性 1.（2015年1卷13）若函数f （x ） =ln(x x 为偶函数，则a= 【解析】由题知ln(y x = 是奇函数，所以ln(ln(x x +- =2 2 ln()ln 0a x x a +-==，解得a =1.考点：函数的奇偶性 2.（2018年2卷11）已知是定义域为的奇函数，满足 ．若 ， 则 A. B. 0 C. 2 D. 50 解：因为是定义域为 的奇函数，且 ， 所以, 因此， 因为 ，所以， ，从而 ，选C. 3.（2016年2卷12）已知函数()()R f x x ∈满足()()2f x f x -=-，若函数1 x y x += 与()y f x =图像的交点为()11x y ，，()22x y ，，?，()m m x y ，，则()1 m i i i x y =+=∑（ ） （A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m 【解析】由()()2f x f x =-得()f x 关于()01， 对称，而11 1x y x x +==+也关于()01，对称， ∴对于每一组对称点'0i i x x += '=2i i y y +，∴()1 1 1 022 m m m i i i i i i i m x y x y m ===+=+=+? =∑∑∑，故选B ． 二、函数、方程与不等式 4.（2015年2卷5）设函数21 1log (2),1,()2,1, x x x f x x -+- 2018年高考理科数学浙江卷导数压轴题解析 已知函数. （I）若在，处导数相等，证明：； （II）若，证明：对任意，直线与曲线有唯一公共点. 【题目分析】 本题综合考察了函数的单调性、极值以及零点的分析。解决第（I）问中取值范围问题的关键在于建立与之间的关系将双变量转化为单变量，寻找该单变量的取值范围，构造函数并根据函数的单调性以及定义域讨论其值域，难度不大。 第（II）问重点考察函数零点的寻找，“零点存在性定理”与“函数单调性”的结合是解决“唯一零点”这类问题的常规套路——“零点存在性定理”解决有没有的问题，“函数单调性”解决可能有几个的问题。题目中需要构造这样一个含有双参变量的函数，参数a不会影响“函数单调性”，也就是意味着函数的单调性比较好处理，难点在于“零点存在性定理”的运用，是否存在大于0或者小于0的点是由参数k和a共同控制的，对于这样一个既含有根号又含有对数的函数而言，处理起来比较棘手。当然考虑在及处的极限很容易得出存在零点的结论，但是需要强调的是求极限严格来讲不属于高中阶段内的知识点（虽然高中教材中有涉及），高考时得不得分存在很大争议，因此高考数学官方标准答案中都会带入“特殊值”，通过不等式的放缩来证明函数值是否存在大于(小于)0的点，本题中官方标准答案中给出以及这样两个极其复杂的“特殊值”，让人望而生叹直呼好难想到。 本解答过程另辟蹊径，给出了两个非常简单的范围来说明的正负号问题——将分为与两部分，此时参数k和a分开(k和a二者之间没有关系，相互独立)，逐一讨论范围之后再合并，从而确定的正负号。 【题目解答】 （I），；令，则和是关于的一元二次方程的两个不相等的正数根，从 已知函数f (x) =sin x -ln(1 +x) , f (x)为f (x)的导数?证明: (1)f'(x)在区间存在唯一极大值点； 2 (2)f(x)有且仅有2个零点. 分析：(1)设g(x) =f 匕)，贝ij ( ) =cos __L，g(x)在_1,卫j 存在唯一 g X x + X I 2丿 1 极大值点的问题就转化为e(x)在11, J有唯一零点，而唯一零点问题 2 经常用零点存在性，即确定单调性及两端点处函数值异号。 (2)这是一个零点问题，经常转化为两函数交点问题，即 sin x ln(1 x) 从图象上可以大致确定零点一个为0—个在区间疋"上，我们只需12」证明其他区间无零点就可以了，很显然应该分四段讨论。 解：⑴设g(x) =f *(x),贝！J ( ) =cos __1_，g x x + x 1 有唯一曇点：设为 当X 1,时, 1, g，(at)单调递减,而0(0) 一a 则当X ( 1,)时，g*(x) 时, g'(x) 0. 所以g(x)^( 1,)单调递增，在单调递减，故g(x)在1,存在 2 +oO 唯一极大值点，即L(x)在 € 一 1, 存在唯=极大值点? € - < (2) f(x)的定义域为(1, )? (i)当x ( 所以 当X : 知, 心)在( =I - 1 (、,0)时，f *(x) 0,故 f 仪)在( 1,0)单调递增， 1,0)单调递减，又 而 f 70) 0 , [兀) [a — I A(o)=o — 0,g*( ) 0,可得g[x)在 从而x 0是()在(1,0］価谁一零点. I ) (ii)当x o,时，由(1)知，L(x)在(0,)单调递增，在 2 调递减，而UU戶U, ,使得f f( ) 0, 2017年高考真题导数专题 一．解答题（共12小题） 1．已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围． 2．已知函数f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx，且f（x）≥0． （1）求a； （2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2． 3．已知函数f（x）=x﹣1﹣alnx． （1）若f（x）≥0，求a的值； （2）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）…（1+）＜m，求m的最小值． 4．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：b2＞3a； （3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．5．设函数f（x）=（1﹣x2）e x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）当x≥0时，f（x）≤ax+1，求a的取值范围． 6．已知函数f（x）=（x﹣）e﹣x（x≥）． （1）求f（x）的导函数； （2）求f（x）在区间[，+∞）上的取值范围． 7．已知函数f（x）=x2+2cosx，g（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2），其中e≈2.17828…是自然对数的底数． （Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程； （Ⅱ）令h（x）=g （x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极 值，有极值时求出极值． 8．已知函数f（x）=e x cosx﹣x． （1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （2）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值． 9．设a∈Z，已知定义在R上的函数f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间（1，2）内有一个零点x0，g（x）为f（x）的导函数． （Ⅰ）求g（x）的单调区间； （Ⅱ）设m∈[1，x0）∪（x0，2]，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），求证：h（m）h（x0）＜0； （Ⅲ）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p，q，且∈[1，x0）∪（x0，2]，满足|﹣x0|≥． 10．已知函数f（x）=x3﹣ax2，a∈R， （1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程； （2）设函数g（x）=f（x）+（x﹣a）cosx﹣sinx，讨论g（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 11．设a，b∈R，|a|≤1．已知函数f（x）=x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，g（x）=e x f （x）． （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）已知函数y=g（x）和y=e x的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：f（x）在x=x0处的导数等于0； （ii）若关于x的不等式g（x）≤e x在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范围． 12．已知函数f（x）=e x（e x﹣a）﹣a2x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）≥0，求a的取值范围．高考数学导数题型归纳
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