华附、省实、深中、广雅2020届高三年级四校联考
数 学（理科）
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页， 满分150分，考试用时120分钟. 注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上.
2．答案一律做在答题卡上，选择题的每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4. 保持答题卡的整洁，不要折叠，不要弄破，考试结束后，将试卷和答题卡一并收回.
第一部分 选择题 (共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合1,24k M x x k Z ??==
-∈????，1,42k N x x k Z ??
==+∈????
，则（***） A ．=M N B ．M ?≠ N C ．N ?≠ M D ．M N =?I
2. 原命题为“若12,z z 互为共轭复数，则
12
z z =”，其逆命题，否命题，逆否命题真假性依次为（***）
A ．真，假，真
B ．真，真，假
C ．假，假，真
D ．假，假，假
3. 已知平面向量r a ，r b 是非零向量，2=r a ，()
2⊥+r r r a a b ，则向量r b 在向量r
a 方向上的投影为（***）
A.
1- B. 1 C. 2-
D. 2
4. 平面∥α平面β的一个充分条件是（***） A ．存在一条直线a a a αβ，∥，∥ B ．存在一条直线a a a αβ?，，∥
C ．存在两条平行直线a b a b a b αββα??，，，，∥，∥
D ．存在两条异面直线a b a b a b αββα??，，，，∥，∥ 5. 函数2()log 3sin(
)2
π
=-f x x x 零点的个数是（***）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
6. 已知函数()sin 2cos2=-f x a x b x （a ，b 为常数，0≠a ，∈x R ）在12
π
=
x 处取得最大值，则函数3π??
=+
??
?
y f x 是（***） A. 奇函数且它的图象关于点,02π??
???对称 B. 偶函数且它的图象关于点,02π??
???
对称 C. 奇函数且它的图象关于π=x 对称 D. 偶函数且它的图象关于π=x 对称 7. 已知函数()f x 的图象连续且在()2,+∞上单调，又函数()2=+y f x 的图象关于y 轴对称， 若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且()()42016=f a f a ，则{}n a 的前2019项之和为（***） A ．0
B ．2019
C ．4038
D ．4040
8．函数()2sin cos2=+f x x x 在,22ππ??
-
????
上的单调减区间为（***） A ．,26ππ??--????和0,6π?????? B ．,06π??-????和,62ππ??????
C ．,26ππ??--????和,62ππ??????
D ．,66ππ??-????
9. 函数()2
112---=x x x f 的值域是（***）
A. 44,33??-????
B. 4,03??-????
C. []0,1
D. 40,3??????
10. 已知圆221x y +=，点(1,0)A ，△ABC 内接于圆，且60∠=o BAC ，当B ，C 在圆上运动时，
BC 中点的轨迹方程是（***）
A ．2212x y +=
B ．221
4x y +=
C ．221122??+=< ???x y x D. 22
1144??+=< ???
x y x 11. 已知双曲线22
22:1x y C a b
-=的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M ，
交另一条渐近线于N ，若2MF FN =u u u u r u u u r
，则双曲线的离心率（***）
A ．
3 B ．3
C D. 2 12. 若正四面体SABC 的面ABC 内有一动点P 到平面SAB ，平面SBC ，平面SCA 的距离依次成等差数列，则点P 在平面ABC 内的轨迹是（***）
A ．一条线段
B ．一个点
C ．一段圆弧
D ．抛物线的一段
第二部分 非选择题 (共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡的相应位置上.
13. 在区间[]0,2上分别任取两个数m ，n ，若向量(),=r a m n ，()1,1=r
b ，则满足1-≤r r a b 的概率
是***．
14. 已知两个等差数列
{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且
311
+=+n n A n B n ，则258
37
++=+a a a b b ***．
15. 已知随机变量X~B (2，p )，Y~N (2，σ2)，若P (X ≥1)=0.64，P (0
2
2
22=+b a c ，当()tan -B A 取最
大值时，角A 的值为***．
三、解答题：满分 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个 试题考生都必须做答，第22、23题为选考题，考生根据要求做答. （一）必考题：共60分. 17. （本小题满分12分）
已知数列{}n a 满足：21=a ，241-=+-n a a n n （2≥n ）. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若数列{}n b 满足：n n
b b b b )12(73321-++++Λ=n a ，求数列{}n b 的通项公式.
18. （本小题满分12分）
某花店根据过往某品种鲜花的销售记录，绘制出日销售量的频率分布直方图，如图所示，将日销售量落入各组区间的频率视为概率，且假设每天的销售量相互独立. （Ⅰ）求在未来的4天中，有2天的日销售量低于100枝 且另外2天不低于150枝的概率；
（Ⅱ）用ξ表示在未来的4天日销售量不低于100枝的天 数，求随机变量ξ的分布列和数学期望.
19. （本小题满分12分）
如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，直 线PC ⊥平面ABC ，E ，F 分别是PA ，PC 的中点.
（Ⅰ）记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与 平面PAC 的位置关系，并加以证明；
（Ⅱ）设2PC AB =，求二面角E l C --大小的取值范围.
20. （本小题满分12分）
已知椭圆22
22:1+=x y C a b
（0a b >>）的离心率为2，过左焦点F 的直线与椭圆交于A ，B
两点，且线段AB 的中点为21,33??
- ???
． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设M 为C 上一个动点，过点M 与椭圆C 只有一个公共点的直线为1l ，过点F 与MF 垂直的直线为2l ，求证：1l 与2l 的交点在定直线上，并求出该定直线的方程．
21. （本小题满分12分）
已知函数
()f x =ln ,x a x a +∈R ．
（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）当[]1,2x ∈时，都有()0f x >成立，求a 的取值范围；
（Ⅲ）试问过点(1,3)P 可作多少条直线与曲线()y f x =相切？并说明理由．
（二）选考题：共10分. 请考生从给出的第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把
所选题目对应的题号涂黑，注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，如果多做，则按所做的第一题计分.
22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线l 的参数方程为cos sin x m t y t α
α
=+??
=? (t 为参数，0)απ≤<，以坐标原点为极点，x 轴的
正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，射线θ?=，4
π
θ?=+
，
4
π
θ?=-
，分别与曲线C 交于,,A B C 三点(不包括极点O )，其中(,)44
ππ
?∈-
．
（Ⅰ）求证：OB OC OA +=； （Ⅱ）当12
π
?=
时，若,B C 两点在直线l 上，求m 与α的值．
23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数()222f x x a x a =+-+-．
f，求实数a的取值范围；
（Ⅰ）若()13<
f x恒成立，求实数a的取值范围. （Ⅱ）若关于x的不等式()2≥
数学（理科）参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.
4
π 14. 215 15. 0.1 16. 6π
三、解答题：满分 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由241-=+-n a a n n （2≥n ）可化为()()12220--+-+=n n a n a n . 令2=-n n c a n ，则10-+=n n c c ，即1-=-n n c c . 因为12=a ，所以1120=-=c a ， 所以0=n c ，
即20-=n a n ，故2.=n a n ……6分 （若用不完全归纳，没有证明，可给4分） （Ⅱ）由()
1233721++++-=L n n n b b b b a ，
可知()
()11231137212---++++-=≥L n n n b b b b a n ， 两式作差得()
()12122--=-=≥n n n n b a a n ， 即()2
221
=
≥-n n
b n . ……10分 又当1=n 时，也112==b a 满足上式， ……11分 故2
21
=
-n n
b . ……12分
18. （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）设日销售量为x ，“有2天日销售低于100枝，另外2天不低于150枝”为事件A. 则()1000.002500.006500.4P
x ≤=?+?=，……1分
()1500.005500.25P x ≥=?=，……2分
()2
2240.40.250.06.P A C ∴=??=……4分
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
B
C
A
D
B
A
C
B
C
D
A
A
（Ⅱ）日销售量不低于100枝的概率0.6=P ，则()~4,0.6B ξ.……6分
于是()()440.60.40,1,2,3,4.k k k P
k C k ξ-==??=……8分
则分布列为
ξ
1
2
3
4
P
16625 96625 216
625 216
625 81625
……10分
()169621621681
01234 2.4.625625625625625
E ξ∴=?
+?+?+?+?=……12分
19. （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）//平面l PAC . ……………1分
证明如下：
//Q EF AC ，AC ABC ?平面，EF ABC ?平面，
//平面∴EF ABC . ……………2分
又EF BEF ?平面，平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，
//∴EF l ． ……………3分
而,l PAC EF PAC ??平面平面，
//平面∴l PAC ． ……………………4分
（Ⅱ）解法一：设直线l 与圆O 的另一个交点为D ，连结D E ，FB ．
由（Ⅰ）知，//BD AC ，而,AC BC BD BC ⊥∴⊥．
Q PC ⊥平面ABC ，PC BD ∴⊥．
而PC BC C =I ，,BD PBC ∴⊥平面 又FB PBC ?Q 平面，BD BF ∴⊥，
FBC ∴∠是二面角E l C --的平面角． ………………8分 1
tan cos FC AB FBC BC BC ABC
∠=
==∠． 注意到0,0cos 12
ABC ABC π
<∠<
∴<∠<，tan 1FBC ∴∠>．
02
FBC π
<∠<
Q ，(
,)42
FBC ππ
∴∠∈， 即二面角E l C --的取值范围是(
,)42
ππ
． ………………12分
解法二：由题意，AC ⊥BC ，以CA 为x 轴，CB 为y 轴，CP 为z 轴建立空间直角坐标系，
设AB =2，BC =t (02)t <<，则2(0,,0),(0,0,2),(4,,0)B t F D t t -，
2(0,,2),(4,0,0)BF t BD t =-=-u u u r u u u r
. …………6分
设平面DBF 的法向量为(,,)m x y z =u r
，
则由00m BF m BD ??=???=??u r u u u r
u r u u u r 得2
20
40ty z t x -+=?-=，取2y =得(0,2,)m t =u r ． 易知平面BCD 的法向量(0,0,1)n =r
， …………8分
设二面角E l C --的大小为θ，易知θ为锐角．
2
2
||2
cos (0,2||||4
41m n m n t
t θ?===
?++u u r u u r u r r ， …………11分
4
2
π
π
θ∴
<<
，
即二面角E l C --的取值范围是(
,)42
ππ
． …………12分
20. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题可知(,0)-F c ，直线AB 的斜率存在.
设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由于点A ，B 都在椭圆上，
所以2211221+=x y a b ①，22
22
221+=x y a b
②
①—②，化简得22
212
222
12
--=-y y b a x x ③ 又因为离心率为2
2，所以2212
=b a . …………2分
又因为直线AB 过焦点F ，线段AB 的中点为21,33??
-
??
?， 所以1243+=-x x ，1223+=y y ，12
12
1
323
-=--+y y x x c ，
代入③式，得1213324233?
-=????-+?- ? ?????
c ，解得1=c . …………5分
再结合222-=a b c ，解得22=a ，21=b ，
故所求椭圆的方程为2
212
+=x y . …………6分
（Ⅱ）证明：设00(,)M x y ，由对称性，设00>y ，由2
212
+=x y ，得椭圆上半部分的方程
为=y
'()=
-=y x ，
又1l 过点M
且与椭圆只有一个公共点，所以1
2==-
l x k y ， 所以0
1000
:()2-=-
-x l y y x x y ， ④ 因为2l 过点F 且与MF 垂直，所以020
1
:(1)+=-
+x l y x y ， ⑤………10分 联立④⑤，消去y ，得22
0000122
+=----x x x y x x ，
又2
2
0012+=x y ，所以002202
+?++=x x x ，从而可得2=-x ，
所以1l 与2l 的交点在定直线2=-x 上． …………12分
21. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为{}
0x x >，()1a x a
f x x x
+'=+
=．…………………1分 （1）当0a ≥时，()0f x '>恒成立，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； （2）当0a <时， 令()0f x '=，得x a =-．
当0x a <<-时，()0f x '<，函数()f x 为减函数；
当x a >-时，()0f x '>，函数()f x 为增函数．…………………2分 综上所述，当0a ≥时，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞．
当0a <时，函数()f x 的单调递减区间为(0,)a -，单调递增区间为(,+)-∞a ．
……………………………………………………………………3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
（1）当1a -≤时，即1a ≥-时，函数()f x 在区间[]1,2上为增函数，
所以在区间[]1,2上，min ()(1)1f x f ==，显然函数()f x 在区间[]1,2上恒大于
零；………………4分
（2）当12a <-<时，即21a -<<-时，函数()f x 在[)1a -，上为减函数，在(],2a - 上为增函数，所以min ()()ln()f x f a a a a =-=-+-．
依题意有min ()ln()0f x a a a =-+->，解得>-a e ，所以21a -<<-．………………5分 （3）当2a -≥时，即2a ≤-时，()f x 在区间[]1,2上为减函数， 所以min ()(2)2ln 2==+f x f a ．
依题意有min ()2ln 20=+>f x a ，解得2ln 2a >-
，所以2
2ln 2
a -
<≤-． …………6分 综上所述，当2
ln 2
a >-时，函数()f x 在区间[]1,2上恒大于零．………………7分
（Ⅱ）另解：当1x =时，显然ln 10x a x +=>恒成立. …………4分
当(1,2]x ∈时，ln 0+>x a x 恒成立ln ?>-
x a x 恒成立ln x a x
?>-的最大值.
令()ln =-
x m x x ，则21ln '()0ln -=>x m x x ，易知()ln =-x m x x
在(1,2]上单调递增， 所以()m x 最大值为2(2)ln 2m =-，此时应有2
ln 2>-a . …………6分
综上，a 的取值范围是2
(,)ln 2
-+∞. …………7分
（Ⅲ）设切点为
000,ln )x x a x +（，则切线斜率0
1a
k x =+， 切线方程为0000
(ln )(1)()a
y x a x x x x -+=+
-． 因为切线过点(1,3)P ，则0000
3(ln )(1)(1)a
x a x x x -+=+
-． 即00
1
(ln 1)20a x x +
--=．………………① ………………8分 令1()(ln 1)2g x a x x =+
--(0)x >，则22
11(1)()()a x g x a x x x -'=-=． （1）当0a <时，在区间(0,1)上，()0g x '>，()g x 单调递增；
在区间(1,)+∞上，()0g x '<，()g x 单调递减， 所以函数()g x 的最大值为(1)20g =-<． 故方程()0g x =无解，即不存在0x 满足①式．
因此当0a <时，切线的条数为0． ………………9分
（2）当0a >时, 在区间(0,1)上，()0g x '<，()g x 单调递减，在区间(1,)+∞上，()0g x '>，()g x 单调递增，所以函数()g x 的最小值为(1)20g =-<．
取211+=>a
x e
e ，则22
1112()(11)20----=++--=>a
a g x a e ae a
．
故()g x 在(1,)+∞上存在唯一零点．
取2121
--
=<
a
x e
e
，则22
1122()(11)224++=--+--=--a
a g x a e ae a a
2
12[2(1)]+=-+a a e a ．
设2
1(1)t t a
=+
>，()2=-t u t e t ，则()2'=-t u t e ． 当1t >时，()220'=->->t u t e e 恒成立．
所以()u t 在(1,)+∞单调递增，()(1)20>=->u t u e 恒成立． 所以2()0g x >．
故()g x 在(0,1)上存在唯一零点．
因此当0a >时，过点P (1,3)存在两条切线． ………………11分
（3）当0a =时，()f x x =，显然不存在过点P (1,3)的切线．
综上所述，当0a >时，过点P (1,3)存在两条切线；
当0a ≤时，不存在过点P (1,3)的切线．………………………………12分
（Ⅲ）另解：设切点为
000,ln )x x a x +（，则切线斜率0
1a k x =+， 切线方程为0000
(ln )(1)()a
y x a x x x x -+=+
-． 因为切线过点(1,3)P ，则0000
3(ln )(1)(1)a
x a x x x -+=+
-， 即00
1
(ln 1)20a x x +
--=． ………………8分 当0a =时，020-=无解. ………………9分 当0a ≠时，12ln 1x x a
+-=-， 令1()ln 1g x x x =+
-，则21'()-=x g x x
， 易知当01<
'()0-=>x g x x
，
所以()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增. ………………10分 又(1)0g =，且0
lim ()lim ()x x g x g x →→+∞
==+∞，
故当20a -
>时有两条切线，当2
0a
-<时无切线，
即当0a <时有两条切线，当0a >时无切线. ………………11分 综上所述，0a <时有两条切线，0a ≥时无切线. ………………12分
22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
证明：（Ⅰ）依题意，4cos ?=OA ，………………………………………………1分 4cos 4π???
=+
??
?
OB ，4cos 4π???
=-
??
?
OC ，……………3分 则
4cos 4cos 44ππ?????
?+=++- ? ????
?OB OC 8cos cos 4π?=?=.=
…………5分
解：（Ⅱ）当12π?=
时，,B C 两点的极坐标分别为2,3π?? ???，6π?
?- ??
?，…………6分
化成直角坐标为(B ，(3,C . ……………………………7分
经过点,B C 的直线方程为)2=-y x ，……………………………8分 又直线l 经过点(),0m ，倾斜角为α，且0απ≤<， 故2=m ，23
π
α=
. ………………10分
23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
解：（Ⅰ）∵()13 ① 当0≤a 时，得()123-+-- a ，∴2 03-<≤a ； …………2分 ② 当102<-a ，∴1