方程与方程组
教学准备
一. 教学目标：
1. 掌握一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程、分式方程的定义，
2. 使学生掌握解方程的基本思想、方法、步骤。并能熟练运用各技巧解一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程、分式方程。
3. 列一元一次方程二元一次方程组、一元二次方程、分式方程解应用题。
二. 教学重点与难点
1. 一元二次方程、分式方程的解法及其运用
2. 列方程解决生活实际中的问题
三.知识要点
知识点1、方程（组）的解（整数解）等概念。
使等式左右两边相等的未知数的值叫做方程的解
知识点2、一元一次方程及二元一次方程组的定义
只含有一个未知数并且未知数的次数是1系数不为0的方程叫做一元一次方程
几个二元一次方程组成一组，叫做二元一次方程组
知识点3、一元一次方程、二元一次方程组的解法
一元一次方程的解法是：去分母，去括号，移项，合并同类，系数化为1
二元一次方程组的解法是：通过加减，代入消元转化为一元一次方程
知识点4、一元一次方程与一次函数、一元一次不等式之间的关系
当为二元一次方程中的一个未知数的取值确定范围时，可利用一元一次不等式组确定另一个未知数的取值范围由于任何二元一次方程都可以转化为一次函数的形式，所以解二元一次方程可以转化为：当y＝0时，求x的值。从图象上看，这相当于已知纵坐标，确定横坐标的值。
知识点5、一元二次方程的定义
ax2＋bx＋c＝0（a≠0），a，b，c均为常数，尤其a不为零要切记。
知识点6、一元二次方程的几种解法
如因式分解法、公式法等，弄清化一元二次方程为一元一次方程的转化思想。
知识点7、分式方程的解法
（1）去分母，把分式方程转化为整式方程
（2）解整式方程
（3）检验
知识点8、解分式方程要验根的原因
解分式方程时我们在方程的两边同乘了一个可能使分母为0的整式.
因为解分式方程可能产生增根，所以解分式方程必须检验.
知识点9、关于行程、工程、储蓄、打折销售等基本类型应用题的分析
掌握生活中问题的数学建模的方法，多做一些综合性的训练。
例题精讲
例1. 选择题
（1）中央电视台2套“开心辞典”栏目中，有一期的题目如图所示，两个天平都平衡，则三个球体的重
量等于（ D ）个正方体的重量。
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5 （2）如图给出的是2007年某月份的日历表，任意圈出一竖列上相邻的三个数，请你运用方程思想来研究，发现这三个数的和不可能是（ D ）
A. 69
B. 54
C. 27
D. 40
（3）小明的父亲到银行存入20000元人民币，存期一年，年利率为1.98%，到期后应交纳所获利息的20%的利息税，那么小明的父亲存款到期交利息税后共得款（ D ）
A. 20158.4元
B. 20198元
C. 20396元
D. 20316.8元
（4）我国股市交易中每买卖一次需交千分之七点五的各种费用，某投资者以每股10元的价格买入上海某股票1000股，当该股票涨到12元时全部卖出，该投资者实际盈利为（ C ）
A. 2000元
B. 1925元
C. 1835元
D. 1910元
（5）一件商品按成本价提高40%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为240元，设这件商品的成本价为x 元，根据题意，下面所列的方程正确的是（ B ）
A. x ·40%×80%＝240
B. x （1＋40%）×80%＝240
C. 240×40%×80%＝x
D. x ·40%＝240×80%
（6）在3×3方格上做填字游戏，要求每行每列及对角线上三个方格中的数字和都等于S ，又填在图中三格中的数字如图，若要能填成，则（ B ）
10
8
13 A. S ＝24
B. S ＝30
C. S ＝31
D. S ＝39
（7）已知方程组42ax by ax by -=??+=?的解为2
1x y =??=?
，则2a －3b 的值为（ B ）
A. 4
B. 6
C. －6
D. －4
（8）如图，平行四边形ABCD 的周长是48，对角线AC 与BD 相交于点O ，AOD △的周长比AOB △的周长多6，若设AD x =，AB y =，则可用列方程组的方法求AD ，AB 的长，这个方程组可以是：（ A ）
Ａ
Ｄ
Ｏ
（第8题图）
A. 2()486x y x y +=??
-=? B. 2()486x y y x +=??-=? C. 486x y x y +=??-=? D. 48
6
x y y x +=??-=?
（9）如图，已知函数y ＝ax ＋b 和y ＝kx 的图象交于点P ，?则根据图像可得，关于,y ax b y kx =+??=?
的二元一
次方程组的解是（ C ）
A. 4
4.22x x B y y ==-???
?
==?? 4
4
..22x x C D y y =-=????=-=-??
（10）不解方程判别方程2x 2
＋3x －4＝0的根的情况是（ B ） A. 有两个相等实数根； B. 有两个不相等的实数根； C. 只有一个实数根； D. 没有实数根
（11）在一幅长80cm ，宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形图．如果要使整个挂
图的面积是5400cm 2
，设金色纸边的宽为xcm ，那么x 满足的方程是（ B ）
A. x 2＋130x －1400＝0
B. x 2
＋65x －350＝0
C. x 2－130x －1400＝0
D. x 2
－65x －350＝0
（12）两圆的半径分别是方程x 2
－3x ＋2＝0的两根。且圆心距d ＝1，则两圆的位置关系是（ B ） A. 外切 B. 内切 C. 外离 D. 相交
（13）已知x 是实数，且2)3(332
2
=+-+x x x
x ，那么x 2＋3x 的值为（ B ） A. 1
B. －3或1
C. 3
D. －1或3
（14）分式223
1
x x x +--的值为0，则x 的取值为（ A ）。
A. x ＝－3
B. x ＝3
C. x ＝－3或x ＝1
D. x ＝3或x ＝－1
（15）若关于x 的分式方程4
62222
--=-++x x
x m x 有增根，则m 的值为（ C ） A. －2 B. 0 C. 1 D. 2
例2. 填空题
（1）我市某县城为鼓励居民节约用水，对自来水用户按分段计费方式收取水费：若每月用水不超过7立方米，则按每立方米1元收费；若每月用水超过7立方米，则超过部分按每立方米2元收费，如果某居民户今年5月缴纳了17元水费，那么这户居民今年5月的用水量为12立方米。
（2）把一张面值50元的人民币换成10元、5元的人民币，共有
4种换法．
（3）若一个等腰三角形三边长均满足方程x 2
－6x ＋8＝0，则此三角形的周长为10．
（4）当k 的值是0（填出一个值即可）时，方程x
x x
k x x --=-221 只有一个实数根。
例3. 方程（m ＋1）x |m|＋1
＋（m －3）x －1＝0．
（1）m 取何值时，方程是一元二次方程，并求出此方程的解；
（2）m 取何值时，方程是一元一次方程．
解：（1）m ＝1，x 121313
x +-=（2）m ＝0或m ＝－1
例4. 某校的一间阶梯教室，第1排的座位数为a ，从第2排开始，每一排都比前一排增加b 个座位。 第1排的座位数 第2排的座位数 第3排的座位数 第4排的座位数 …… a
a ＋b
a ＋2b
……
⑵已知第4排有18个座位，第15排座位数是第5排座位数的2倍，求第21排有多少个座位？ 解：（1）b a 3+
（2）依题意得?
??+=+=+)4(214183b a b a b a
解得??
?==2
12b a
∴12＋20×2＝52
答：第21排有52个座位.
例5. 某印刷厂1?月份印刷了书籍60?万册，?第一季度共印刷了200万册，问2、3月份平均每月的增长率是多少？
解：设2、3月份平均每月的增长率为x ，即60＋60（1＋x ）＋60（1＋x ）2
＝200
设增长率为x 列方程60＋60（1＋x ）＋60（1＋x ）2
＝200 例6. 探究：
（1）方程x 2
＋2x ＋1＝0的根为x 1＝____，x 2＝_____，则x 1＋x 1＝______，x 1·x 2＝_____；
（2）方程x 2
－3x －1＝0的根为x 1＝____，x 2＝_____，则x 1＋x 2＝______，x 1·x 2＝_____；
（3）方程3x 2
＋4x －7＝0的根为x 1＝_____，x 2＝_____，则x 1＋x 2＝______，x 1·x 2＝_____． 由（1）（2）（3）你能得到什么猜想？并证明你的猜想．请用你的猜想解答下题
已知23是方程x 2
－4x ＋C ＝0的一个根求方程的另一个根及C 的值．
解：（1）x 1＝－1，x 2＝－1，x 1＋x 2＝－2，x 1·x 2＝1 （2）x 1＝
2313313
22
x +=，x 1＋x 2＝3，x 1·x 2＝－1 （3）x 1＝1，x 2＝－
73，x 1＋x 2＝－43，x 1·x 2＝－7
3
猜想：ax 2
＋bx ＋c ＝0的两根为x 1与x 2，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝c a
，证明略
应用：另一根为23，C ＝1
例7. ?某体育彩票经销商计划用45000?元从省体彩中心购进彩票20扎，每扎1000张，已知体彩中心有A ，
B ，
C 三种不同价格的彩费，进价分别是A?种彩票每张1.5元，B 种彩票每张2元，C 种彩票每张2.5元． （1）若经销商同时购进两种不同型号的彩票20扎，用去45000元，请你设计进票方案； （2）若销售A 型彩票一张获手续费0.2元，B 型彩票一张获手续费0.3元，C 型彩票张获手续费0.5元．在购进两种彩票的方案中，为使销售完时获得手续费最多，你选择哪种进票方案？
（3）若经销商准备用45000元同时购进A ，B ，C 三种彩票20扎，请你设计进票方案．
解：可设经销商从体彩中心购进A 种彩票x 张，?B 种彩票y 张，C 种彩票z 张， 则可分以下三种情况考虑：
（1）只购进A 种彩票和B 种彩票，依题意可列方程组100020,
1.5245000
x y x y +=???+=?
解得x<0，所以无解．只购进A 种彩票和C 种彩票，
依题意可列方程组100020,5000
,1.5 2.54500015000
x z x x z z +=?=???
?
+==??解得， 只购进B 种彩票和C 种彩票，依题可列方程组100020,10000
,2 2.5450010000y z y y z z +=?=????
+==??
解得，综上所述，若经销商同时购进不同型号的彩票，共有两种方案可行，即A 种彩票5扎，C 种彩票15扎或B 种彩票与C 种彩票各
10扎．
（2）若购进A 种彩票5扎，C 种彩票15扎，销售完后获手续费为0.2×5000＋0.5×15000＝8500（元）；若购进B 种彩票与C 种彩票各10扎，销售完后获手续费为0.3×10000＋0.5×10000＝8000（元），∴为使销售完时获得手续费最多，选择的进票方案为A 种彩票5扎，C 种彩票15扎．
（3）若经销商准备用45000元同时购进A ，B ，C 三种彩票共20扎．设购进A 种彩票x 扎，B 种彩票y 扎，C 种彩票z 扎，
则20,210
,1.5100021000 2.510004500010
x y z y x x y z z x ++==-+??∴?
?
?+?+?==+?? ∴1≤x<5，
又∵x 为正整数，共有4种进票方案，即A 种1扎，B 种8扎，C 种11扎，或A 种2扎，B 种6扎，C 种12扎，或A 种3扎，B 种4扎，C 种13扎，或A 种4扎，B 种2扎，C 种14扎．
一. 填空题：
1. 方程 2x ＋y ＝5 的所有正整数解为＿＿＿＿
2. 若 ?
??==2y 1
x 是方程3ax －2y ＝2 的解，则 a ＝＿＿＿＿
3. 当 a ＿＿＿＿时，方程 （a －1） x 2
＋x －2＝0 是一元二次方程。 4. 方程x 11
1x
122
+=--的解为＿＿＿＿ 5. 如果方程
x
2m
12x 1x -=
+-+有增根，那么m ＝＿＿＿＿ 6. 3名同学参加乒乓球赛，每两名同学之间赛一场，一共需要＿＿场比赛，则5名同学一共需要＿＿＿＿比赛。
7. 如图，四个一样大的小矩形拼成一个大矩形，如果大矩形的周长为12cm ，那么小矩形的周长为＿＿＿＿cm 。
8. 长20m 、宽15m 的会议室，中间铺一块地毯，地毯的面积是会议室面积的2
1
，若四周未铺地毯的留空宽度相同，则留空的宽度为＿＿＿＿。 二. 选择题：
1. 下列方程中，属于一元一次方程的是（ ）
A. x ＝y ＋1
B.
1x
1= C. x 2
＝x －1 D. x ＝1
2. 已知3－x ＋2y ＝0，则2x －4y －3的值为（ ） A. －3 B. 3 C. 1
D. 0
课后练习
3. 用“加减法”将方程组?
??-=+=-1y 4x 29
y 3x 2中的x 消去后得到的方程是（ ）
A. y ＝8
B. 7y ＝10
C. －7y ＝8
D. －7y ＝10
4. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. x ＋3＝5 B. xy ＝3
C. 0x
1
x 2=+
D. 2x 2
－1＝0
5. 若关于x 的方程
11
x a
x 2=--无解，则a 的值等于（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 6. 方程2x （x －2）＝3 （x －2）的根是（ ）
A. 2
3x = B. x ＝2 C. 2x ,23
x 21==
D. 2
3x -
= 7. 把方程x 2
＋3＝4x 配方得（ ）
A. （x －2）2＝7
B. （x －2）2＝1
C. （x ＋2）2
＝1
D. （x ＋2）2
＝2
8. 二元二次方程组?
?
?-==+10,
3xy y x 的解是（ ）
A. ???-==??
?=-=5,2;2,52211y x y x B. ??
?==???==5
,
2;2,52211y x y x C. ???=-=??
?-==5,2;2,52211y x y x D. ??
?-=-=???-=-=5,
2;2,52
211y x y x 9. 在2006年德国世界杯足球赛中，32支足球队将分为8个小组进行单循环比赛，小组比赛规则如下：胜一
场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若小组赛中某队的积分为5分，则该队必是（ ）
A. 两胜一负
B. 一胜两平
C. 一胜一平一负
D. 一胜两负
10. 某车间原计划 x 天内生产零件 50 个，由于采用新技术，每天多生产零件 5 个，因此提前3 天完成任务，则可列出的方程为（ ）
A. 5x 503x 50+=-
B. 53x 50x 50+-=
C. 5x 503x 50-=-
D. 53
x 50
x 50--= 11. 把一个小球以 20m/s 的速度竖直向上弹出，它在空中高度h （m ）与时间t （s ）满足关系：h ＝20t －5t 2
，当h ＝20时，小球的运动时间为（ ）
A. 20s
B. 2s
C. s )222(+
D. s )222(-
12. 某商品因换季准备打折出售，若按定价的七五折出售将赔 25 元，若按定价的九折出售将赚20元，则这种商品的定价为（ ）
A. 280元
B. 300元
C. 320元
D. 200元 三. 解答题
1. 我国第一条城际铁路——合宁铁路（合肥至南京）建成后，合肥至南京的铁路运行里程将由原来的312km 缩短至154km ，设计时速是原来时速的
2.5倍，旅客列车运行时间比原来缩短约
3.13h ，求合宁铁路的设计时速。
2. 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．为了实现平均每月10000?元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？请你利用方程解决这一问题．
3. 机械加工需要用油进行润滑以减少摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油量为90千克，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为36千克．为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲、?乙两个车间都组织了人员为减少实际耗油量进行攻关．
（1）甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑油用油量下降到70千克，用油的重复利用率仍然为60%。问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少千克？
（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，?同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新的基础上，润滑用油量每减少1千克，用油量的重复利用率将增加1.6%．这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到12千克．问乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？
4. 某玩具厂工人的工作时间规定：每月25天，每天8h，待遇：按件订酬，多劳多得，每月另加福利工资100元，按月结算。该厂生产A、B两种产品，工人每生产一件A产品，可得到报酬0.75元，每生产一件B种产品，可得报酬1.40元，下表记录了工人小李的工作情况：
（1）小李每生产一件A种产品、每生产一件B种产品，分别需要多少分钟？
（2）如果生产各种产品的数目没有限制，那么小李每月的工资数目在什么范围之内？
一. 填空题：
1. ?
??==??
?==3y 1
x 1y 2x 2. a ＝2 3. a ≠1 4. 0 5. m ＝－3 6. 3 10 7. 6 8. 2.5m
二. 选择题：
1. D
2. B
3. D
4. D
5. A
6. C
7. B
8. C
9. B 10. A 11. B 12. B 三. 解答题
1. 解：设旅客列车现行速度是xkm/h ，则
13.35.2154
312=-x
x ，∴x ＝80经检验x ＝80 是原方程的根，而2.5×80＝200。故设计时速是200km/h 。
2. 解：设售价为x 元，则（x －30）[600－（x －40）×10]＝10000，?
解得x ＝50，x ＝80，即售价为50元时进500个．售价为80元时进200个 3. 解：（1）由题意，得70×（1－60%）＝70×40%＝28（千克）． （2）设乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量为x 千克． 由题意，得：x ×[1－（90－x ）×1.6%－60%]＝12，
整理得x －65x －750＝0，解得：x 1＝75，x 2＝－10（舍去），（90－75）×1.6%＋60%＝84%． 答：（1）技术革新后，?甲车间加工一台大型机械设备的实际耗油量是28千克．（2）技术革新后，?乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量是75千克，用油的重复利用率是84%．
4. 解：设小李每生产一件A 种产品、每生产一件B 种产品分别需要xmin 和ymin ，根据题意，得??
?=+=+85
2335
y x y x 解之，得?
?
?==2015
y x
（2）方法一：设小李每月生产A 种产品x 件，B 种产品y 件（x 、y 均为非负整数），月工资数目为w 元，
根据题意，
得?????≥≥++=??=+0,010040.175.060
8252015y x y x w y x 即??
?
??≤≤=<-+-=-=8000,0,03.0,9403.075.0600x x x w x y 时因此当由于 w 最大＝－0.3·0＋940，当x ＝800时，w 最小＝－0.3·800＋940＝700，因为生产各种产品的数目没有限制，
所以700≤w ≤940，即小李每月的工资数目不低于700元而不高于940元。
方法二：由（1）知小李生产A 种产品每分钟可获利0.05元，生产B 种产品每分钟可获利0.07元，若小李全部生产A 种产品，每月的工资数目为700元，若小李全部生产B 种产品，每月的工资数目为940元，小李每月的工资数目不低于700元而不高于940元。
练习答案
一次方程组的应用 一.本讲数学内容 列方程组解应用题 二．技能要求： 熟练掌握用二元、三元一次方程组解简单的应用题。 三．重要数学思想： 通过列方程组解应用题的训练，进一步领会方程的思想。 四．主要数学能力： 1．通过列二元或三元一次方程组解决应用问题的训练，学习把实际问题抽象成数学问题的方法，进一步培养分析问题和解次实际问题的能力。 2．通过将一些代数问题转化为方程组问题的方法的学习，培养运用转化思想去解决问题，发展思维能力。 五．列方程组解应用题的一般步骤是： ①审题：弄清问题中的已知量是什么，未知量是什么，题目中的数量关系，尤其是要弄清给出了哪些等量关系。 ②设未知数：一般有两种，设直接未知数（将题目中要求的未知数设为x,y），或间接未知数（与问题中要求的未知数相关的另一些未知数用x,y表示），看哪一种便于使用已知条件列出较简单的方程就选用哪一种。 ③列方程：根据已知条件中某些相等关系列出两个独立的二元一次方程而组成二元一次方程组。
④解这个方程组：根据所列方程组的特点，选择适当的方法求得方程组的解。 ⑤检验并作答：根据应用题中，所设未知数的实际意义判断方程组的解是否符合题意，最后写出答案。 六. 例题解析 第一阶梯 [例1]有10分和20分的两种邮票共16枚,总计价值2.50元,问10分和20分的邮票各多少枚？ 提示： 通过情景1和2,我们可以很容易地就解决了这个问题.在情景3中的共有两个等量关系有： 10分的张数＋20分的张数＝16张; 10分×10分的张数＋20分×20分的张数＝250分. 参考答案： 解：设10分的邮票有x枚,20分的邮票有y枚,根据题意,得 由②得：x+2y=25. （3） （3）－（1）得：y=9:
三、方程和方程组 1.某河上游的A地，为改善流域环境，把一部分牧场改为林场。改变后，林场与牧场共有162 公顷，牧场面积是林场面积的20％，问退牧还林后林场面积为多少公顷？ 2.某队伍长450m，以1.5m/s的速度行进，一个通讯兵从排尾赶到排头，并立即返回排尾，他 的速度是3m/s，那么往返需要多少时间？ 3.一个容器盛满酒精20L，倒出一部分后又用水加满；第二次又倒出与第一次相同体积的酒精 溶液，再用水加满，这时容器内的水是纯酒精的3倍，求每次倒出溶液的体积。 4.某厂以500万元资金投入生产，在一年中可以得到一定的利润，第二年又以这500万元资金 和上年的利润一并投入生产，结果得利润42.2万元。已知第二年的利润比第一年增加2.5％，求第一年的利润是投产资金的百分之几？ 5.一水池装有A、B两水管，单独打开A管比单独打开B管注满水池多用10小时，现在先打开 B管10小时后，再打开A管，共同注水6小时将水池注满。问同时打开两管注满水池需要几小时？ 6.一船由A港到B港顺流需行6小时，由B港逆流需行8小时。一天船从早晨6点由A港出发 顺流行到B港时，发现一救生圈在途中掉落在水中，立刻返回，1小时后找到救生圈。问：（1）若船按水流速度由A港漂流到B港需要多少小时? （2）救生圈是何时掉入水中的？ 7.甲、乙两人分别骑摩托车从A、B两地相向而行。甲行1小时后，乙才出发，又经过4小时两 人在途中的C地相遇。相遇后两人按原来的方向继续前进。乙在由C地到达A地的途中因故停了20分钟，结果乙由C地到达A地时比甲由C地到达B地还提前了40分钟。已知乙比甲每小时多行驶4km，求甲、乙两车的速度。 8.某初一学生在做作业时，不慎将墨水瓶打翻，使一道作业题只看到如下字样：“甲、乙两地相 距40km，摩托车的速度为45km/h，运货汽车的速度为35km/h， ？”请将这道作业题补充完整，并列方程解答。 9.某校参加数学竞赛的有120名男生，80名女生；参加英语竞赛的有120名女生，80名男生。 已知该校总共有260名学生参加了竞赛，其中有75名男生两科竞赛都参加了，那么参加数学竞赛而没有参加英语竞赛的女生人数是多少人？ 10.果品公司购进苹果5.2万千克，每千克的进价是0.98元，付运费的开支1840元，预计损耗 为1％。如果希望全部销售后能获利17％，问每千克苹果零售价应当定为多少元？ 11.某种商品因换季准备打折出售。如果按定价的七五折出售将赔25元；而按定价的九折出售
二元一次方程组的应用 【和差倍分】 1.甲、乙两人各有书若干本，如果甲从乙处拿来10本，那么甲拥有的书是乙所剩书的5倍；如果乙从甲处拿来10本，那么乙所有的书与甲所剩的书相等，问甲、乙两人原来各有几本书？ 2.某书店的两个下属分店共有某种图书5000册,若将甲书店的该种图书调出400册给乙书店,这样乙书店该种图书的数量仍比甲书店该种图书的数量的一半还少400册.求这两个书店原有该种图书各多少。 3.甲乙两盒中各有一些小球，如果从甲盒中拿出10个放入乙盒，则乙盒球就是甲盒球数的6倍，若从乙盒中拿出10个放入甲盒，乙盒球数就是甲盒球数的3倍多10个，求甲乙两盒原来的球数各是多少？ 【行程问题】 1.甲、乙两人在200米的环形跑道上练习径走，当他们从某处同时出发背向行走时，每30秒相遇一次；同向行走时，每隔4分钟相遇一次，设甲、乙的速度分别为每分钟x米，每分钟y米，则可列方程组是 2.甲、乙两人在东西方向的公路上行走，甲在乙的西边300米，若甲、乙两人同时向东走30分钟后，甲正好追上乙；若甲、乙两人同时相向而行，2分钟后相遇，问甲、乙两人的速度是多少？
3.一辆汽车从A地驶往B地，前1/3路段为普通公路，其余路段为高速公路．已知汽车在普通公路上行驶的速度为60km/h，在高速公路上行驶的速度为100km/h，汽车从A地到B地一共行驶了2.2h．汽车在普通公路和高速公路上各行驶了多少小时？ 4.某铁桥长1 000米，一列火车从桥上通过，从车头到桥到车尾离桥共用一分钟时间，整列火车完全在桥上的时间为40秒钟，求火车车身的总长和速度。 5.甲乙两人以不变的速度在环形路上跑步，相向而行每隔两分钟相遇一次；同向而行，每隔6分相遇一次，已知甲比乙跑的快，求甲乙每分钟跑多少圈？ 6.一列快车长168米，一列慢车长184米，如果两车相同而行，从相遇到离开需4秒；如果同向而行，从快车追及慢车到离开需16秒，求两车的速度。 7.甲、乙二人在上午8时，自A、B两地同时相向而行，上午10时相距36km，?二人继续前行，到12时又相距36km，已知甲每小时比乙多走2km，求A，B两地的距离。 【组合问题】 1.某校运动员分组训练，若每组7人，余3人；若每组8人，则缺5人；设运动员人数为x 人，组数为y组，则列方程组是
班级 姓名 学号 成绩 一、精心选一选 1．下列运算正确的是（ ） Ａ．()11a a --=-- Ｂ．( ) 2 3624a a -= Ｃ．()2 22a b a b -=- Ｄ．3 2 5 2a a a += 2．如图，由几个小正方体组成的立体图形的左视图是（ ） 3．下列事件中确定事件是（ ） Ａ．掷一枚均匀的硬币，正面朝上 Ｂ．买一注福利彩票一定会中奖 Ｃ．把4个球放入三个抽屉中，其中一个抽屉中至少有2个球 Ｄ．掷一枚六个面分别标有1，2，3，4，5，6的均匀正方体骰子，骰子停止转动后奇数点朝上 4．如图，AB CD ∥，下列结论中正确的是（ ） Ａ．123180++=o ∠ ∠∠ Ｂ．123360++=o ∠ ∠∠ Ｃ．1322+=∠∠∠ Ｄ．132+=∠ ∠∠ 5．已知24221 x y k x y k +=??+=+?，且10x y -<-<，则k 的取值范围为（ ） Ａ．112 k -<<- Ｂ．102 k << Ｃ．01k << Ｄ． 1 12 k << 6．顺次连接矩形各边中点所得的四边形（ ） Ａ．是轴对称图形而不是中心对称图形 Ｂ．是中心对称图形而不是轴对称图形 Ｃ．既是轴对称图形又是中心对称图形 Ｄ．没有对称性 7．已知点()3A a -，，()1B b -，，()3C c ，都在反比例函数4 y x = 的图象上，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） Ａ．a b c >> Ｂ．c b a >> Ｃ．b c a >> Ｄ．c a b >> 8．某款手机连续两次降价，售价由原来的1185元降到580元．设平均每次降价的百分率为x ，则下面列出的方程中正确的是（ ） Ａ．2 1185580x = Ｂ．()2 11851580x -= Ｃ．( )2 11851580x -= Ｄ．()2 58011185x += 9．如图，P 是Rt ABC △斜边AB 上任意一点（A ，B 两点除外），过P 点作一直线，使截得的三角形与Rt ABC △相似，这样的直线可以作（ ） Ａ．1条 Ｂ．2条 Ｃ．3条 Ｄ．4Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． A B D C 3 2 1 第4题图 P 第9题图
6.11 一次方程组的应用(1) 班级 姓名 学号 【学习目标/难点重点】 1.能根据题意合理设元，找出等量关系，列出一次方程组解应用题， 2.经历和体验解决实际问题的过程，提高解决实际问题的能力. 【学习过程】 一、课前预习： 1.参观上海科技馆的成人票、学生票的票价分别为60元、45元.一天，科技馆卖出成人票、学生票共1万张，票务收入为51万元，问这两种票各卖出多少张. 分析：本题中的等量关系有： 二、新课学习 1.例题1:六年级（1）班、（2）班各有44人，两个班都有一些同学参加课外天文小组，（1）班参加天文小组的人数恰好是（2）班没有参加天文小组的人数的3 1，（2）班参加天文小组的人数恰好是（1）班没有参加天文小组的人数的 4 1，问六年级（1）班、（2）班没有参加天文小组的各多少人？
2.小结——用二元一次方程组解实际问题的一般步骤： 3.例题2：某商场购进甲、乙两种服装，都加价40%后出售.春节其间商场搞优惠促销活动，决定将甲、乙两种服装分别按标价的八折和九折出售.某顾客购买甲、乙两种服装共付款182元，甲、乙两种服装标价之和为210元，问甲、乙两种服装的进价和标价各是多少钱？ 三、课堂小结 1.能根据题意合理设元，找出等量关系，列出一次方程组解应用题， 2.二元一次方程组解实际问题的一般步骤. 四、课堂检测 数学习题册习题6.11 1，2，3，
课课精炼 一、填空题： 1.两数之和为20，两数之差为4，设较大数为x ，较小数为y ，则列方程组 . 2.已知甲、乙两种商品的原价之和为100元，后来甲商品降价10%，乙商品提价5%，调价后，甲、乙两种商品的单价之和与原单价之和提高了2%，设甲商品的原单价为x 元，乙商品的原单价为y 元，则列方程组 . 二、选择题： 3.一篮子苹果分给若干个人，如果每人分6个，那么就余15个；如果每人分9个，那么就缺3个.设这篮子苹果有x 个，有y 个人分，则下列方程组中正确的有 （ ） 1）???+=-=39156y x y x 2）???-=++=3 9156156y y y x 3）?? ?=+=-y x y x 93615 4）???=+-=y x y x 93156 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 三、应用题 4.国庆长假期间，某旅行社接待一日游和三日游的游客共2200人，收旅行费200万元，其中一日游每人收费200元，三日游每人收费1500元.该旅行社接待的一日游和三日游旅客个多少人？
专题学习：一次方程与一次方程组的综合应用 【写在前面】 一次方程组是在一元一次方程的基础上展开的， “消元”是解一次方程组的基本思想，即通过消元把一次方程组转化为一元一次方程来解，而代人法、加减法是消元的两种基本方法． 对于含有字母系数的二元一次方程组，我们可以进一步讨论解的特性、解的个数以及解与解和方程（组）与方程（组）的关系.基本思路是首先要进行分析，挖掘题目所隐含的条件，巧妙地列出相应的方程或方程组，再通过消元等方法转化，将方程组的解的讨论转化为一元一次方程解的讨沦． 另外，一次方程组是解决许多实际问题的有力工具，它被广泛地应用于社会生活的多个领域，主要体现在：首先，用于解代数式的化简与求值问题，一些表面与方程组无关的问题，但经过分析，借助有关概念、性质、对问题的理解，我们可通过建立一次方程组来解决．其次，用于解应用题， 这不是本专题的内容，不做赘述. 【知识铺垫】 1.二元一次方程（组）的概念及解法； 2.含参数一次方程（组）. 【思想方法】 方程模型的构建，分类讨论，转化思想（消元），参数常数化 【例题精讲】 一、 不同情境下方程（组）的构建 【典型例题】 1. 已知-+-m n m n x y x y 131 2与2是同类项，则()-n m 2013=_______。（同类项） 2. 若0)3(33252=++-+b a b a ，则a +b 的值为=_______。（非负性） 3. 已知：++-+==x y x y x y 3221456 ，求x 、y 的值.（连续等式的含义） 4. 已知一次式y =kx +b ，当x =20，30时，y 的值分别为68，86，求k ，b 的值.（方程到方程组） 5. 若++--+=m n m n x y 25942742是关于x 、y 的二元一次方程，求+(+)m n 20131的值.（方程的概念） 6. 若关于x 的方程m (x -1)＝2001-n (x -2)有无数个解，求m 2003+n 2003的值．（无数解的理解）
2020学年中考数学试卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，满分36分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．（3分）|﹣5|的相反数是（） A．﹣5 B．5 C．D．﹣ 2．（3分）在下列图案中，既是轴对称又是中心对称图形的是（） A．B．C．D． 3．（3分）下列各式中，运算正确的是（） A．（a3）2=a5B．（a﹣b）2=a2﹣b2 C．a6÷a2=a4D．a2+a2=2a4 4．（3分）若式子有意义，则实数m的取值范围是（） A．m＞﹣2 B．m＞﹣2且m≠1 C．m≥﹣2 D．m≥﹣2且m≠1 5．（3分）某校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了一个班级的学生，对他们一周的读书时间进行了统计，统计数据如下表所示： 则该班学生一周读书时间的中位数和众数分别是（） A．9，8 B．9，9 C．9.5，9 D．9.5，8 6．（3分）如图，将一副直角三角板按图中所示位置摆放，保持两条斜边互相平行，则∠1=（） A．30°B．25°C．20°D．15° 7．（3分）计算：（）﹣1+tan30°?sin60°=（）
A．﹣ B．2 C．D． 8．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO=CO，BO=DO．添加下列条件，不能判定四边形ABCD是菱形的是（） A．AB=AD B．AC=BD C．AC⊥BD D．∠ABO=∠CBO 9．（3分）已知反比例函数y=﹣，下列结论：①图象必经过（﹣2，4）；②图象在二，四象限内；③y随x的增大而增大；④当x＞﹣1时，则y＞8．其中错误的结论有（）个 A．3 B．2 C．1 D．0 10．（3分）如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O 在格点上，则∠BED的正切值等于（） A．B．C．2 D． 11．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，下列结论： ①abc＜0；②2a﹣b＜0；③b2＞（a+c）2；④点（﹣3，y1），（1，y2）都在抛物线上，则有y1＞y2． 其中正确的结论有（） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
专题07 方程与方程组的解法 一、知识点精讲 一元一次方程 ⑴在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。 ⑵解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。 ⑶关于方程ax b =解的讨论 ①当0a ≠时，方程有唯一解b x a =； ②当0a =，0b ≠时，方程无解 ③当0a =，0b =时，方程有无数解；此时任一实数都是方程的解。 二元一次方程 在一个方程中，含有两个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫二元一次方程。 二元一次方程组： （1）两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。 （2）适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。 （3）二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。 （4）解二元一次方程组的方法：①代入消元法，②加减消元法③整体消元法，。 二、典例精析 ①一元高次方程的解法 思想：降次 方法：换元、因式分解等 【典例1】解方程. （1）4213360x x -+= （2）63980x x -+= 【答案】见解析 【解析】 （1）4222 13360(4)(9)02 3.x x x x x x -+=?--=?=±=±或 （2）6333 980(1)(8)1 2.x x x x x x -+=?--?==或 【典例2】解方程.
（1）32+340x x x -= （2）3210x x -+= 【答案】见解析 【解析】 （1）322 +340(34)0(4)(1)04 1.x x x x x x x x x x x -=?+-=?+-?==-=或或 （2 ）33221010(1)(1)1x x x x x x x x x x -+=?--+=?-+-?==或 ②方程组的解法 解方程组的思想：消元 解方程组的方法：①代入消元法，②加减消元法，③整体消元法等。 【典例3】解方程组. 347(1)295978x z x y z x y z +=??++=??-+=? 3(2)45x y y z z x +=?? +=??+=? 【答案】见解析 【解析】 5 3471(1)29359782x x z x y z y x y z z =?+=???? ++=?=???? -+=??=-? 3(2)45x y y z z x +=??+=??+=?213x y z =?? ?=??=? 【典例4】解方程组22 210 4310x y x y x y --=??-++-=? 【答案】见解析 【解析】 22 2104310x y x y x y --=??-++-=?8115 1115x x y y ? = ?=?????=??= ?? 或 【典例5】解方程组.
一次方程(组)的应用(一) 典型例题分析 一、代数式与方程（组）问题 小王购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示。根据图中的数据（单位：m ），解答下列问题： （1）用含x 、y 的代数式表示地面总面积； （2）已知客厅面积比卫生间面积多21m 2，且地面总面积是卫生间面积的15倍。若铺1m 2地砖 的平均费用为80元，那么铺地砖的总费用为多少元？ 二、方程(组)与几何问题 用8块相同的长方形地砖拼成一块矩形地面，地砖的拼放方式及相关数据如图所示，求每块地砖的长与宽. 一个长方形如图所示恰分成六个正方形,其中最小的正方形面积是1 平方厘米.求这个长方形 的面积. 三、图表信息题 今年5月27日，印尼中爪哇省发生强烈地震，给当地人民造成巨大的经济损失．某学校积极组织捐款支援灾区，初三 (1)班55名同学共捐款274元，捐款情况如右表．表中捐款2元和5元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，请你帮助确定表中数据，并说明理由． 2006年“五一”黄金周心连心集团湖南岳阳超市，七天销售总额达120万元，具体分配情况如图． 1)由图可知，日用品类销售额占总销售额的百分比为____，日用品类销售额是_____万元． 2)已知2005年心连心超市在“五一”黄金周的食品类销售额是60万元，若年增长率保持不变，请预测2007年“五一”黄周食品类销售额是多少万元？ （浙江绍兴2004） 元，则所用水为 度. 四、工程与经济问题 有一市政建设工程，若甲、乙两工程队合做，需要12个月完成；若甲队先做5个月，剩余部分再由甲、乙两队合做，还需要9个月才能完成。 （1）甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少个月？ （2）已知甲队每月施工费用5万元，乙队每月施工费用3万元。要使该工程施工总费用不超过95万元，则甲工程队至多施工多少个月？ 五、商品利润及打折销售问题 甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50﹪的利润定价，乙服装按40﹪的利润定价。在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店共获利157 元，求甲、乙两件服装的成本各是多少元？ 25 题图
扬州市初中毕业、升学统一考试数学试题 第Ⅰ卷（共24分） 一、 选择题：（本大题共8个小题,每小题3分,共24分.） 二、 1.若数轴上表示1-和3的两点分别是点A 和点B ，则点A 和点B 之间的距离是（ ） A ．4- B ．2- C ．2 D ．4 2.下列算式的运算结果为4a 的是（ ） A ．4a a ? B ．()22a C ．33a a + D ．4a a ÷ 3.一元二次方程2720x x --=的实数根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．不能确定 4.下列统计量中，反映一组数据波动情况的是（ ） A ．平均数 B ．众数 C.频率 D ．方差 5.经过圆锥顶点的截面的形状可能是（ ） A ． B ． C. D ． 6.若一个三角形的两边长分别为2和4，则该三角形的周长可能是（ ） A ．6 B ．7 C. 11 D ．12 7.在一列数：1a ，2a ，3a ，???，n a 中，13a =，27a =，从第三个数开始，每一个数都等于它前两个数之积的个位数字，则这一列数中的第2017个数是（ ） A ．1 B ．3 C.7 D ．9 8.如图，已知C ?AB 的顶点坐标分别为()0,2A 、()1,0B 、()C 2,1，若二次函数21y x bx =++的图象与 阴影部分（含边界）一定有公共点，则实数b 的取值范围是（ ） A ．2b ≤- B ．2b <- C. 2b ≥- D ．2b >- 第Ⅱ卷（共126分） 二、填空题（每题3分，满分30分，将答案填在答题纸上） 9.2017年5月18日，我国在南海北部神弧海域进行的可燃冰试开采成功，标志着 我国成为全球第一个在海域可燃冰开采中获得连续稳定的国家．目前每日的天然气 试开采量约为16000立方米，把16000立方米用科学记数法表示为 立方米． 10.若2a b =，6b c =，则a c = ．11.因式分解：2327x -= ．
二元一次方程组及其实际应用 【教学重点】：掌握二元一次方程组求解方法，并学会根据实际情况巧借二元一次方程解决问题。 【教学难点】：会运用二元一次方程解决实际问题。 【教学流程】 一、注意力训练 二、趣题引入 二果问价：九百九十九文钱，甜果苦果买一千。甜果九个十一文，苦果七个四文钱。 试问甜苦果几个，又问各该几个钱。（注：文钱，也称文,古代的一种货币单位） 小结： 三、知识点回顾： 1、二元一次方程（组）的有关概念 1）二元一次方程的概念：含有___个未知数，并且未知数的项的最高次数是__，这样的整式方程叫做二元一次方程。 注：判定一个方程是二元一次方程必须同时满足三个条件：整式方程、“二元”、“一次”。 2）二元一次方程的一般形式是______________________。 3）二元一次方程的解。 4）二元一次方程组的概念：有几个一次方程组成并且含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组。 5）二元一次方程组的解 2、二元一次方程组的解法：（1）___________；（2）___________。
3、 二元一次方程组的应用 4、 列二元一次方程组解应用题的步骤：（与列一元一次方程解应用题步骤类似） 1）审题：弄清已知量、待求量和题中包含的数量关系，特别注意隐含的条件； 2）考虑如何根据等量关系设出未知数（如x,y); 3）找出能表示应用题全部含义的两个等量关系，根据等量关系列出方程组； 4）解方程组，求未知数的值； 5）检验是否符合实际问题并写出答案。 四、讲练结合 考点1、用代入法解下列方程组 例1、 例 2、 小结：代入法步骤 考点2、用加减法解下列方程组 例3、 例 4、 218,3 2. a b a b +=?? =+?35,5215.x y x y -=??+=?5225,3415. x y x y +=??+=? 327,6211.x y x y +=??-=?
中考数学试题(及答案) 一、选择题 1．华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据 0.000000007用科学记数法表示为( )． A ．7710?﹣ B ．8 0.710?﹣ C ．8710?﹣ D ．9710?﹣ 2．下列四个实数中，比1-小的数是（ ） A ．2- B ．0 C ．1 D ．2 3．在数轴上，与表示6的点距离最近的整数点所表示的数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．若一元二次方程x 2﹣2kx +k 2＝0的一根为x ＝﹣1，则k 的值为（ ） A ．﹣1 B ．0 C ．1或﹣1 D ．2或0 5．下列图形是轴对称图形的有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 6．将两个大小完全相同的杯子（如图甲）叠放在一起（如图乙），则图乙中实物的俯视图 是（ ）. A ． B ． C ． D ． 7．分式方程 ()()31112x x x x -=--+的解为（ ） A ．1x = B ．2x = C ．1x =- D ．无解 8．将一个矩形纸片按如图所示折叠，若∠1=40°，则∠2的度数是（ ） A ．40° B ．50° C ．60° D ．70° 9．甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价相同的商品，甲超市先降价20%，后又降价10%；乙超市连续两次降价15%；丙超市一次性降价30%.则顾客到哪家超市购买这种商品更合算（ ）
A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．一样 10．已知直线//m n ，将一块含30°角的直角三角板ABC 按如图方式放置 （30ABC ∠=?），其中A ，B 两点分别落在直线m ，n 上，若140∠=?，则2∠的度数为（ ） A ．10? B ．20? C ．30° D ．40? 11．如图，在平行四边形ABCD 中，M 、N 是BD 上两点，BM DN =，连接AM 、 MC 、CN 、NA ，添加一个条件，使四边形AMCN 是矩形，这个条件是( ) A ．12 OM AC = B ．MB MO = C ．B D AC ⊥ D ．AMB CND ∠=∠ 12．cos45°的值等于( ) A ．2 B ．1 C ． 3 D ． 22 二、填空题 13．在学习解直角三角形以后，某兴趣小组测量了旗杆的高度．如图，某一时刻，旗杆AB 的影子一部分落在水平地面L 的影长BC 为5米，落在斜坡上的部分影长CD 为4米．测得斜CD 的坡度i ＝1： ．太阳光线与斜坡的夹角∠ADC ＝80°，则旗杆AB 的高度 _____．（精确到0.1米）（参考数据：sin50°＝0.8，tan50°＝1.2， ＝1.732） 14．若a ，b 互为相反数，则22a b ab +=________. 15．若关于x 的一元二次方程kx 2+2(k+1)x+k －1=0有两个实数根，则k 的取值范围是 16．在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点E 是BC 边上的动点，连接AE ，过点E 作AE 的垂线交AB 边于点F ，则AF 的最小值为_______ 17．我国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，“一带一路”地区覆盖总人口约为4400000000人，将数据4400000000用科学记数法表示为______．
中考复习专题——方程和方程组及其应用 基础知识点： 一、方程有关概念 1、方程：含有未知数的等式叫做方程。 2、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解，含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根。 3、解方程：求方程的解或判断方程无解的过程叫做解方程。 4、方程的增根：在方程变形时，产生的不适合原方程的根叫做原方程的增根。 二、一元方程 1、一元一次方程 （1）一元一次方程的标准形式：ax+b=0（其中x 是未知数，a 、b 是已知数，a ≠0） （2）一元一次方程的最简形式：ax=b （其中x 是未知数，a 、b 是已知数，a ≠0） （3）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1。 （4）一元一次方程有唯一的一个解。 2、一元二次方程 （1）一元二次方程的一般形式：02=++c bx ax （其中x 是未知数，a 、b 、c 是已知数，a ≠0） （2）一元二次方程的解法： 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法 （3）一元二次方程解法的选择顺序是：先特殊后一般，如没有要求，一般不用配方法。 （4）一元二次方程的根的判别式：ac b 42-=? 当Δ ＞0时?方程有两个不相等的实数根； 当Δ =0时?方程有两个相等的实数根； 当Δ < 0时?方程没有实数根，无解； 当Δ≥0时?方程有两个实数根 注：常用公式 配方式
（5）一元二次方程根与系数的关系： 若21,x x 是一元二次方程02=++c bx ax 的两个根， （6）以两个数21,x x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：0)(21212=++-x x x x x x 例1、解下列方程： （1）2)3(2 12=+x ；（2）1322=+x x ；（3）22)2(25)3(4-=+x x 分析：（1）用直接开方法解；（2）用公式法；（3）用因式分解法 （4）配方法 [规律总结]如果一元二次方程形如)0()(2≥=+n n m x ，就可以用直接开方法来解；利用公式法可以解任何一个有解的一元二次方程，运用公式法解一元二次方程时，一定要把方程化成一般形式。 例2、解下列方程： （1）)(0)23(2为未知数x b a x a x =+--； （2）08222=-+a ax x 分析：（1）先化为一般形式，再用公式法解；（2）直接可以十字相乘法因式分解后可求解。 [规律总结]对于带字母系数的方程解法和一般的方程没有什么区别，在用公式法时要注意判断△的正负。 例3、已知关于x 的方程：032)1(2=+++-p px x p 有两个相等的实数根，求p 的值。 分析：由题意可得?=0，把各系数代入?=0中就可求出p ，但要先化为一般形式。 [规律总结]对于根的判别式的三种情况要很熟练，还有要特别留意二次项系数不能为0 例4、已知a 、b 是方程0122=--x x 的两个根，求下列各式的值： （1）22b a +；（2）b a 11+ 分析：先算出a+ b 和ab 的值，再代入把（1）（2）变形后的式子就可求出解。 [规律总结]此类题目都是先算出两根之和和两根之积，再把要求的式子变形成含有两根之和和两根之积的形式，再代入计算。但要注意检验一下方程是否有解。 例5、求作一个一元二次方程，使它的两个根分别比方程052=--x x 的两个根小3 分析：先出求原方程的两根之和21x x +和两根之积21x x 再代入求出)2()3(21-+-x x 和)3)(3(21--x x 的值，所求的方程也就容易写出来。解：略 [规律总结]此类题目可以先解出第一方程的两个解，但有时这样又太复杂，用根与系数的关系就比较简单。 三、分式方程 （1）定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 （2）分式方程的解法：一般解法：去分母法，方程两边都乘以最简公分母。 特殊方法：换元法。 （3）检验方法：一般把求得的未知数的值代入最简公分母，使最简公分母不为0的就
人教版数学七年级下册 第八章 二元一次方程组 8．3 实际问题与二元一次方程组 和差倍分问题 专题练习题 1． 已知∠1与∠2互补，并且∠1比∠2的3倍还大20°，若设∠1＝x °，∠2＝y °，则x ，y 满足的方程组为( ) A .???x ＋y ＝90x ＝3y ＋20 B .???x ＋y ＝90y ＝3x ＋20 C .???x ＋y ＝180x ＝3y ＋20 D .? ??x ＋y ＝180y ＝3x ＋20 2．一种饮料有两种包装，5大盒、4小盒共装148瓶，2大盒、5小盒共装100瓶，大盒与小盒每盒各装多少瓶？设大盒装x 瓶，小盒装y 瓶，则可列方程组( ) A .???5x ＋4y ＝1482x ＋5y ＝100 B .???4x ＋5y ＝1482x ＋5y ＝100 C .???5x ＋4y ＝1485x ＋2y ＝100 D .???4x ＋5y ＝1485x ＋2y ＝100 3．一篮水果分给一群小孩，若每人分8个，则差3个水果；若每人分7个，则多4个水果，在这个问题中，有小孩____人，水果____个． 4．甲种电影票每张20元，乙种电影票每张15元．若购买甲、乙两种电影票共40张，恰好用去700元，则甲种电影票买了____张． 5．一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，求这个两位数．设个位数字为x ，十位数字为y ，下面所列方程组正确的是( ) A .???x ＋y ＝8xy ＋18＝yx B .? ??x ＋y ＝810（x ＋y ）＋18＝yx C .???x ＋y ＝810x ＋y ＋18＝yx D .???x ＋y ＝8x ＋10y ＋18＝10x ＋y 6．一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大9；如果交换十位上的数与个位上的数，所得两位数比原两位数大27，求这个两位数． 7．某车间有60名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片200片或镜架50个．应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排x 名工人生产镜片，y 名工人生产镜架，则可列方程组( ) A .???x ＋y ＝602×200x ＝50y B .???x ＋y ＝60200x ＝50y C .???x ＋y ＝60200x ＝2×50y D .???x ＋y ＝5050x ＝200y 8．家具厂生产方桌，按设计1立方米木材可制作50个桌面或300个桌腿，现有10立方米木材，怎样分配木材才能使生产的桌面和桌腿恰好配套，并指出共可生产多少张方桌？(一张方桌按1个桌面4条桌腿配置) 9．有大小两种船，1艘大船与4艘小船一次可以载乘客46人，2艘大船与3艘小船一次可以载乘客57人，则1艘大船和1艘小船一次可以载乘客的人数分别是( ) A ．18人，7人 B ．17人，8人 C ．15人，7人 D ．16人，8人 10．某校举行安全知识竞赛，其评分规则如下：答对一题得5分，答错一题得－5分，不作答得0分．已知试题共20道，满分100分，凡优秀(得分80分或以上)者才有资格参加决赛．小明同学在这次竞赛中有2道题未答，但刚好获得决赛资格，则小明答对____道题，答错____道题．
【典型题】中考数学试题含答案 一、选择题 1．在庆祝新中国成立70周年的校园歌唱比赛中，11名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩取前5名进入决赛．如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小明需要知道这11名同学成绩的( ) A ．平均数 B ．中位数 C ．众数 D ．方差 2．已知林茂的家、体育场、文具店在同一直线上，图中的信息反映的过程是：林茂从家跑步去体育场，在体育场锻炼了一阵后又走到文具店买笔，然后再走回家．图中x 表示时间，y 表示林茂离家的距离．依据图中的信息，下列说法错误的是（ ） A ．体育场离林茂家2.5km B ．体育场离文具店1km C ．林茂从体育场出发到文具店的平均速度是50min m D ．林茂从文具店回家的平均速度是60min m 3．如图，在矩形ABCD 中，AD=2AB ，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，DH ⊥AE 于点H ，连接BH 并延长交CD 于点F ，连接DE 交BF 于点O ，下列结论：①∠AED=∠CED ；②OE=OD ；③BH=HF ；④BC ﹣CF=2HE ；⑤AB=HF ，其中正确的有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 4．如图，在ABC V 中，90ACB ∠=?，分别以点A 和点C 为圆心，以大于 1 2 AC 的长为半径作弧，两弧相交于点M 和点N ，作直线MN 交AB 于点D ，交AC 于点E ，连接 CD .若34B ∠=?，则BDC ∠的度数是（ ）
A．68?B．112?C．124?D．146? 5．如图，若锐角△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外（与点C在AB同侧），则下列三个结论：①sin∠C＞sin∠D；②cos∠C＞cos∠D；③tan∠C＞tan∠D中，正确的结论为（） A．①②B．②③C．①②③D．①③ 6．菱形不具备的性质是（） A．四条边都相等 B．对角线一定相等 C．是轴对称图形 D．是中心对称图形 7．点 P（m + 3，m + 1）在x轴上，则P点坐标为（） A．（0，﹣2）B．（0，﹣4）C．（4，0）D．（2，0） 8．不等式x+1≥2的解集在数轴上表示正确的是（） A．B． C． D． 9．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上， OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩 形OABC面积的1 4 ，那么点B′的坐标是（） A．（－2，3）B．（2，－3）C．（3，－2）或（－2，3）D．（－2，3）或（2，－3） 10．如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若7，
实际问题与二元一次方程组题型归纳 知识点一：列方程组解应用题的基本思想 列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来， 找出题目中的相等关系. 一般来说，有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：(1)方程两边表示的是同类量；(2)同类量的单位要统一；(3)方程两边的数值要相等. 知识点二：列方程组解应用题中常用的基本等量关系 1.行程问题： (1)追击问题：追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行。这类问题比较直观，画线 段,用图便于理解与分析。其等量关系式是:两者的行程差＝开始时两者相距的路程；； ； (2)相遇问题:相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。这类问题也比较直观， 因而也画线段图帮助理解与分析。这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和＝总路程。 (3)航行问题：①船在静水中的速度＋水速＝船的顺水速度； ②船在静水中的速度－水速＝船的逆水速度； ③顺水速度－逆水速度＝2×水速。 注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。 2．工程问题：工作效率×工作时间=工作量. 3．商品销售利润问题： (1)利润＝售价－成本(进价)；(2)；(3)利润＝成本（进价）×利润率； (4)标价＝成本(进价)×(1＋利润率)；(5)实际售价＝标价×打折率； 注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；为负时，就是亏损。打几折就是按标价 的十分之几或百分之几十销售。（例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十）4．储蓄问题： (1)基本概念 ①本金：顾客存入银行的钱叫做本金。②利息：银行付给顾客的酬金叫做利息。 ③本息和：本金与利息的和叫做本息和。④期数：存入银行的时间叫做期数。 ⑤利率：每个期数内的利息与本金的比叫做利率。⑥利息税：利息的税款叫做利息税。 (2)基本关系式 ①利息＝本金×利率×期数 ②本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数) ③利息税＝利息×利息税率＝本金×利率×期数×利息税率。
【典型题】中考数学试题(含答案) 一、选择题 1．如图，下列四种标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的为（）A．B．C．D． 2．若一个凸多边形的内角和为720°，则这个多边形的边数为() A．4B．5C．6D．7 3．在数轴上，与表示6的点距离最近的整数点所表示的数是() A．1B．2C．3D．4 4．下列命题正确的是（） A．有一个角是直角的平行四边形是矩形B．四条边相等的四边形是矩形 C．有一组邻边相等的平行四边形是矩形D．对角线相等的四边形是矩形 5．在“朗读者”节目的影响下，某中学开展了“好书伴我成长”读书活动．为了解5月份八年级300名学生读书情况，随机调查了八年级50名学生读书的册数，统计数据如下表所示： 册数01234 人数41216171 关于这组数据，下列说法正确的是（） A．中位数是2 B．众数是17 C．平均数是2 D．方差是2 6．如图，⊙O的半径为5，AB为弦，点C为?AB的中点，若∠ABC=30°，则弦AB的长为（） A．1 2 B．5C 53 D．3 7．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，且a>b>c，a＋b＋c＝0，有以下四个命题，则一定正确命题的序号是（） ①x=1是二次方程ax2＋bx＋c=0的一个实数根； ②二次函数y＝ax2＋bx＋c的开口向下； ③二次函数y＝ax2＋bx＋c的对称轴在y轴的左侧； ④不等式4a+2b+c>0一定成立．
A ．①② B ．①③ C ．①④ D ．③④ 8．如图，是一个几何体的表面展开图，则该几何体是（ ） A ．三棱柱 B ．四棱锥 C ．长方体 D ．正方体 9．实数,,a b c 在数轴上的对应点的位置如图所示，若a b =，则下列结论中错误的是（ ） A ．0a b +> B ．0a c +> C ．0b c +> D ． 0ac < 10．如图,某小区规划在一个长16m ，宽9m 的矩形场地ABCD 上，修建同样宽的小路，使其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分种草，如果使草坪部分的总面积为112m 2 ，设小路的宽为xm ，那么x 满足的方程是（ ） A ．2x 2-25x+16=0 B ．x 2-25x+32=0 C ．x 2-17x+16=0 D ．x 2-17x-16=0 11．“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则下面所列方程中正确的是（ ） A ．606030(125%)x x -=+ B ．6060 30(125%)x x -=+ C ． 60(125%)60 30x x ?+-= D ． 6060(125%) 30x x ?+-= 12．cos45°的值等于( ) A ．2 B ．1 C ．3 D ． 22 二、填空题 13．如图，矩形ABCD 中，AB=3，对角线AC ，BD 相交于点O ，AE 垂直平分OB 于点E ，则AD 的长为____________． 14．如图所示，图①是一个三角形，分别连接三边中点得图②，再分别连接图②中的小三角形三边中点，得图③……按此方法继续下去．