习题
1、某公司有资金3000万元，六年内有A 、B 、C 、D 、E 五种投资项目可供
选择。其中：项目A 从第一年到第六年初均可投资，当年末可获利10%；项目B 可在第一年到四年初投资，周期为3年，到期可25%；项目C 只能在第二年初投资，周期为3年，到期可获利45%，但规定最大投资额不超过1000万元；项目D 只能在第四年初投资，周期为3年，到期可获利40%，但规定最大投资额不超800万元；项目E 只能在第五年投资，周期为2年，到期可获利35%，但规定最大投资额不超过500万元。又有项目A 、B 、C 、D 、E 的风险指数分别为0.1，0.2，0.4，0.3，0.1，问：
（1） 如何确定这些项目的每年投资额，使得第六年末公司获得最大利
润？
（2） 如何确定这些项目的每年投资额，使得第六年末公司在拥有本利
5500万元的基础上，使得投资总的风险最小？
解：用ij x 表示第i 年投入到 j 个项目的资金，则有
61
55
5144
42
41323123
22211211654
321x x x x x x x x x x x x x E
D C B A
（1） 目标函数：5544426135.14.125.11.1max
x x x x z +++=
s.t
554423233251612241555112
3144424121
3231112322211211500
800,100045.125.11.125.11.125.11.11.11.13000≥≤≤≤++=+=++=++=+=++=+ij x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
（2）目标函数：
55
4423423222126151413121111.03.04.0)
(2.0)(1.0min
x x x x x x x x x x x x x f ++++++?++++++?=s.t.
554423554442612332516122
415551123144424121
3231112322211211500
800,10005500
35.14.125.11.145.125.11.125.11.125.11.11.11.13000≥≤≤≤≥+++++≤+≤++≤++≤+≤++≤+ij x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
2、已知甲、乙、丙、丁四人完成四项工作所需时间如下表，求最优分配方案。
解：1）变换系数矩阵，增加0元素。
2）试指派（找独立0元素）
独立
0元素的个数为4 , 指派问题的最优指派方案即为甲负责D 工作，乙负责B 工作，丙负责A 工作，丁负责C 工作。这样安排能使总的工作时间最少，为4＋4＋9＋11＝28
3、电信公司准备在甲、乙两地之间沿公路架设光缆，如下图给出了两地间的公路交通图，
其中，V 1表示甲地，V 7表示乙地，点与点之间的连线（边）表示公路，边上的数值表示两地间公路长度（km ）。问如何选择架设线路可使光缆架设距离为最短？最短距离是多少？
图：甲、乙两地间公路交通图（单位：km ）
答案：架设线路选择：V 1——V 3——V 5——V 6——V 7 4、已知一个线性规划原问题如下，请写出对应的对偶模型
21max 6x x S +=
???
??≥≥+≤+0,163272
12121x x x x x x 79429118713161491514410413152----?
???????????2
424104750111006211130--?????
????????????
???????00102350960607130?????
???????00102350960607130
解：Z max =-7y 1+16y 2
???
??≥≤+-≤+-0,13622
12121y y y y y y 5、下列表是线性规划单纯形表（求Zmax ），请根据单纯形法原理和算法。 1） 计算该规划的检验数
2）计算对偶问题的目标函数值
3）确定上表中输入，输出变量
1）
2）S min =15
3） X 4输入，X 1输出。
6、已知运输问题的运价表和发量和收量如表2所示，请用最小元素法求出运输问题的一组
C j → 3 2 0 0 0 Ci x B
x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 3 x 1 3 1 12 0 -1 0 2 x 3 4 0 1 1 1/2 0 z j
3 3.5
2
-2
c j －z j
c j → 3 2 0 0 0 0 C i X 0 b X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6
(3) X 1 3 1 0 1/2 -1 0 1/2 (2) X 2 4 0 1 1 1/2 -1 0 Z j 3 2 7/2 -2 -2 3/2 C j –Z j 0 0 (-7/2) (2)
2
-3/2
可解释。
解：
B 1 B 2 B 3 B 4 a i A 1
9 A 2 6 A 3 5 b j
3
7
4
6
6、判断题(在下列各题中，你认为题中描述的内容为正确者，在题尾括号内写“√”，错误者写“×”。)
1. 图解法提供了求解线性规划问题的通用方法。
( )
2. 用单纯形法求解一般线性规划时，当目标函数求最小值时，若所有的检验数C j -Z j
≥0，则问题达到最优。
( ) 3. 在单纯形表中，基变量对应的系数矩阵往往为单位矩阵。 ( ) 4. 满足线性规划问题所有约束条件的解称为基本可行解。
( ) 5. 在线性规划问题的求解过程中，基变量和非基变量的个数是固定的。 ( ) 6. 对偶问题的目标函数总是与原问题目标函数相等。 ( ) 7. 原问题与对偶问题是一一对应的。
( ) 8. 运输问题的可行解中基变量的个数一定遵循m ＋n －1的规则。 ( ) 9. 指派问题的解中基变量的个数为m ＋n 。
( ) 10. 网络最短路径是指从网络起点至终点的一条权和最小的路线。
( )
(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)√ (6)× (7)√ (8)√ (9)× (10)√
B 1 B 2 B 3
B 4 A 1 9 A 2 4 A 3 5 3
5
4
6
运筹学习题库 数学建模题（5） 1、某厂生产甲、乙两种产品，这两种产品均需要A 、B 、C 三种资源，每种产品的资源消耗量及单位产品销售后所能获得的利润值以及这三种资源的储备如下表所示： 试建立使得该厂能获得最大利润的生产计划的线性规划模型，不求解。 解：设甲、乙产品的生产数量应为x1、x2，则x1、x2≥0，设z 是产品售后的总利润，则 max z =70x 1+120x 2 . 2、某公司生产甲、乙两种产品，生产所需原材料、工时和零件等有关数据如下： 建立使利润最大的生产计划的数学模型，不求解。 解：设甲、乙两种产品的生产数量为x 1、x 2， 设z 为产品售后总利润，则max z = 4x 1+3x 2 . 3、一家工厂制造甲、乙、丙三种产品，需要三种资源——技术服务、劳动力和行政管理。每种产品的资源消耗量、单位产品销售后所能获得的利润值以及这三种资源的储备量如下表所示：
建立使得该厂能获得最大利润的生产计划的线性规划模型，不求解。 解：建立线性规划数学模型： 设甲、乙、丙三种产品的生产数量应为x 1、x 2、x 3，则x 1、x 2、x 3≥0，设z 是产品售后的总利润，则 max z =10x 1+6x 2+4x 3 . 4、一个登山队员，他需要携带的物品有：食品、氧气、冰镐、绳索、帐篷、照相器材、通信器材等。每种物品的重量合重要性系数如表所示。设登山队员可携带的最大重量为25kg,试选择该队员所应携 试建立队员所能携带物品最大量的线性规划模型，不求解。 解：引入0—1变量x i , x i =1表示应携带物品i ，,x i =0表示不应携带物品I 5、工厂每月生产A 、B 、C 三种产品，单件产品的原材料消耗量、设备台时的消耗量、资源限量及单件产品利润如下图所示： 根据市场需求，预测三种产品最低月需求量分别是150、260、120，最高需求量是250、310、130，试建立该问题数学模型，使每月利润最大，为求解。 解：设每月生产A 、B 、C 数量为321,,x x x 。 6、A 、B 两种产品，都需要经过前后两道工序，每一个单位产品A 需要前道工序1小时和后道工序2小时，每单位产品B 需要前道工序2小时和后道工序3小时。可供利用的前道工序有11小时，后道工序有17小时。 每加工一个单位产品B 的同时，会产生两个单位的副产品C ，且不需要任何费用，产品C 一部分可出售盈利，其余只能加以销毁。 出售A 、B 、C 的利润分别为3、 7、2元，每单位产品C 的销毁费用为1元。预测表明，产品C 最多只能售出13个单位。试建立总利润最大的生产计划数学模型，不求解。
运筹学A卷) 一、单项选择题(从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案,答案选错或未选者,该题不得分。每小题1分,共10分) 1.线性规划具有唯一最优解就是指 A.最优表中存在常数项为零 B.最优表中非基变量检验数全部非零 C.最优表中存在非基变量的检验数为零 D.可行解集合有界 2.设线性规划的约束条件为 则基本可行解为 A.(0, 0, 4, 3) B.(3, 4, 0, 0) C.(2, 0, 1, 0) D.(3, 0, 4, 0) 3.则 A.无可行解 B.有唯一最优解medn C.有多重最优解 D.有无界解 4.互为对偶的两个线性规划, 对任意可行解X 与Y,存在关系 A.Z > W B.Z = W C.Z≥W D.Z≤W 5.有6 个产地4个销地的平衡运输问题模型具有特征 A.有10个变量24个约束
B.有24个变量10个约束 C.有24个变量9个约束 D.有9个基变量10个非基变量 6、下例错误的说法就是 A.标准型的目标函数就是求最大值 B.标准型的目标函数就是求最小值 C.标准型的常数项非正 D.标准型的变量一定要非负 7、m+n－1个变量构成一组基变量的充要条件就是 A.m+n－1个变量恰好构成一个闭回路 B.m+n－1个变量不包含任何闭回路 C.m+n－1个变量中部分变量构成一个闭回路 D.m+n－1个变量对应的系数列向量线性相关 8.互为对偶的两个线性规划问题的解存在关系 A.原问题无可行解,对偶问题也无可行解 B.对偶问题有可行解,原问题可能无可行解 C.若最优解存在,则最优解相同 D.一个问题无可行解,则另一个问题具有无界解 9、有m个产地n个销地的平衡运输问题模型具有特征 A.有mn个变量m+n个约束…m+n-1个基变量 B.有m+n个变量mn个约束 C.有mn个变量m+n－1约束 D.有m+n－1个基变量,mn－m－n－1个非基变量 10.要求不超过第一目标值、恰好完成第二目标值,目标函数就是
运筹学习题精选
运筹学习题精选 第一章线性规划及单纯形法 选择 1．在线性规划模型中，没有非负约束的变量称为……………………………………………………( C ) A．多余变量 B．松弛变量 C．自由变量 D．人工变量 2．约束条件为0 AX的线性规划问题的可行解集 b ,≥ =X 是………………………………………( B ) A．补集 B．凸集 C．交集 D．凹集 3．线性规划问题若有最优解，则一定可以在可行域的（ C）上达到。 A．内点 B．外点 C．顶点 D．几何点 4．线性规划标准型中bi（i=1，2，……m）必须是…………………………………………………( B) A．正数 B．非负数 C．无约束 D．非零的 5．线性规划问题的基本可行解X对应于可行域D 的………………………………………………( D) A．外点 B．所有点 C．内点 D．极点 6．基本可行解中的非零变量的个数小于约束条件数时，该问题可求得……………………………( B ) A．基本解 B．退化解 C．多重解 D．无解 7．满足线性规划问题全部约束条件的解称为…………………………………………………( C ) A．最优解 B．基本解 C．可行解 D．多重解 8．线性规划一般模型中，自由变量可以用两个非负变量的（B ）代换。 A．和 B．差 C．积 D．商 9．当满足最优检验，且检验数为零的变量的个数大于基变量的个数时，可求得………………………( A ) 第 2 页共 30 页
第 3 页 共 30 页 A ．多重解 B ．无解 C ．正则解 D ．退化解 10．若线性规划问题有最优解，则必定存在一个( D )是最优解。 A ．无穷多解 B. 基解 C. 可行解 D. 基可行解 填空 计算 1． 某厂生产甲、乙、丙三种产品，已知有关数据如下表所示,求使该厂获利最大的生产计划。 2． 目标函数为max Z =28x4+x5+2x6，约束形式为“≤”，且x1，x2，x3为松弛变量， 表中的解代入目标函数中得Z=14，求出a~g 的值，并判断→j c 0 0 0 28 1 2 B C 基 b 1x 2x 3x 4x 5x 6x 2 6x A 3 0 -14/3 0 1 1 0 2x 5 6 D 2 0 5/2 0 28 4x 0 0 E F 1 0 0 j j z c - B C 0 0 -1 G
运 筹 学 考 卷 1 / 51 / 5
考试时间: 第十六周 题号一二三四五六七八九十总分 评卷得分 ： 名 一、单项选择题。下列每题给出的四个答案中只有一个是正确的，将表示正确 姓 答案的字母写这答题纸上。（10 分, 每小题2 分） 1、使用人工变量法求解极大化线性规划问题时，当所有的检验数j 0 ，在 线 基变量中仍含有非零的人工变量，表明该线性规划问题（） A. 有唯一的最优解； B. 有无穷多个最优解； C. 无可行解； D. 为无界解 2、对偶单纯形法解最大化线性规划问题时，每次迭代要求单纯形表中（）： 号 A．b 列元素不小于零B．检验数都大于零 学 C．检验数都不小于零D．检验数都不大于零 3、在产销平衡运输问题中，设产地为m 个，销地为n 个，那么基可行解中非 零变量的个数（） 订 A. 不能大于(m+n-1)； B. 不能小于(m+n-1)； C. 等于(m+n-1)； D. 不确定。 4、如果要使目标规划实际实现值不超过目标值。则相应的偏离变量应满足（） A. d 0 B. d 0 C. d 0 D. d 0,d 0 5、下列说法正确的为（） ： 业 A．如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题也一定存在可行解 专 B．如果线性规划的对偶问题无可行解，则原问题也一定无可行解 装 C．在互为对偶的一对原问题与对偶问题中，不管原问题是求极大或极小，原 问题可行解的目标函数值都一定不超过其对偶问题可行解的目标函数 D．如果线性规划问题原问题有无界解，那么其对偶问题必定无可行解 ： 院
学 2 / 52 / 5
二、判断下列说法是否正确。正确的在括号内打“√”，错误的打“×”。（18 分，每 小题2 分） 1、如线性规划问题存在最优解，则最优解一定对应可行域边界上的一个点。（） 2、单纯形法计算中，如不按最小比列原则选取换出变量，则在下一个解中至少有一 个基变量的值为负。（） 3、任何线性规划问题存在并具有惟一的对偶问题。（） 4、若线性规划的原问题有无穷多最优解，则其最偶问题也一定具有无穷多最优解。 （）5、运输问题是一种特殊的线性规划模型，因而求解结果也可能出现下列四种情况之 一：有惟一最优解，有无穷多最优解，无界解，无可行解。（） 6、如果运输问题的单位运价表的某一行（或某一列）元素再乘上那个一个常数k ， 最有调运方案将不会发生变化。（） 7、目标规划模型中，应同时包含绝对约束与目标约束。（） 8、线性规划问题是目标规划问题的一种特殊形式。（） 9、指派问题效率矩阵的每个元素都乘上同一常数k，将不影响最优指派方案。（） 三、解答题。（72 分） max z 3x 3x 1 2 1、（20分）用单纯形法求解 x x 1 2 x x 1 2 4 2 ；并对以下情况作灵敏度分析：（1）求 6x 2 x 18 1 2 x 0, x 0 1 2 5 c 的变化范围；（2）若右边常数向量变为2 b ，分析最优解的变化。 2 20 2、（15 分）已知线性规划问题： max z x 2x 3x 4x 1 2 3 4 s. t. x 2x 2x 3x 20 1 2 3 4 2x x 3x 2x 20 1 2 3 4 x x x x , , , 0 1 2 3 4 其对偶问题最优解为y1 1.2, y2 0.2 ，试根据对偶理论来求出原问题的最优解。
一、线性规划：基本概念 1、下面的表格总结了两种产品A和B的关键信息以及生产所需的资源Q, R, S： 满足所有线性规划假设。 （1）在电子表格上为这一问题建立线性规划模型； （2）用代数方法建立一个相同的模型； （3）用图解法求解这个模型。 2、今天是幸运的一天，你得到了10000美元的奖金。除了将4000美元用于交税和请客之外，你决定将剩余的6000美元用于投资。两个朋友听到这个消息后邀请你成为两家不同公司的合伙人，每一个朋友介绍了一家。这两个选择的每一个都将会花去你明年夏天的一些时间并且要花费一些资金。在第一个朋友的公司中成为一个独资人要求投资5000美元并花费400小时，估计利润（不考虑时间价值）是4500美元。第二个朋友的公司的相应数据为4000美元和500小时，估计利润为4500美元。然而每一个朋友都允许你根据所好以任意比例投资。如果你选择投资一定比例，上面所有给出的独资人的数据（资金投资、时间投资和利润）都将乘以一个相同的比例。 因为你正在寻找一个有意义的夏季工作（最多600小时），你决定以能够带来最大总估计利润的组合参与到一个或全部朋友的公司中。你需要解决这个问题，找到最佳组合。 （1）为这一问题建立电子表格模型。找出数据单元格、可变单元格、目标单元格，并且用SUMPRODUCT函数表示每一个输出单元格中的Excel等式。 （2）用代数方法建立一个同样的模型。 （3）分别用模型的代数形式和电子表格形式确定决策变量、目标函数、非负约束、函数约束和参数。 （4）使用图解法求解这个模型。你的总期望利润是多少？ 3、伟特制窗（Whitt Window）公司是一个只有三个雇员的公司，生产两种手工窗户：木框窗户和铝框窗户。公司每生产一个木框窗户可以获利60美元，一个铝框窗户可以获利30美元。Doug制作木框窗户，每天可以制作6扇。Linda制作铝框窗户，每天可以制作4扇。Bob切割玻璃，每天可以切割48平方英尺。每一扇木框窗户使用6平方英尺的玻璃，每一扇铝框窗户使用8平方英尺。 公司需要确定每天要制作多少窗户才能使得总利润最大。 （1）为这个问题建立一个电子表格模型，找出数据单元格、可变单元格、目标单元格，
运筹学试题 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
运筹学试题 一、填空题(本大题共8小题，每空2分，共20分) 1．线性规划闯题中，如果在约束条件中出现等式约束，我们通常用增加___的方法来产生初始可行基。 2．线性规划模型有三种参数，其名称分别为价值系数、___和___。 3．原问题的第1个约束方程是“=”型，则对偶问题相应的变量是___变量。 4．求最小生成树问题，常用的方法有：避圈法和 ___。 5．排队模型M／M／2中的M，M，2分别表示到达时间为___分布，服务时间服从负指数分布和服务台数为2。 6．如果有两个以上的决策自然条件，但决策人无法估计各自然状态出现的概率，那么这种决策类型称为____型决策。 7．在风险型决策问题中，我们一般采用___来反映每个人对待风险的态度。 8．目标规划总是求目标函数的___信，且目标函数中没有线性规划中的价值系数，而是在各偏差变量前加上级别不同的____。 二、单项选择题(本大题共l0小题，每小题3分，共30分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。多选无分。 9．使用人工变量法求解极大化线性规划问题时，当所有的检验数在基变量中仍含有非零的人工变量，表明该线性规划问题【】 A．有唯一的最优解 B．有无穷多最优解 C．为无界解 D．无可行解 10．对偶单纯形法解最大化线性规划问题时，每次迭代要求单纯形表中【】 A．b列元素不小于零 B．检验数都大于零 C．检验数都不小于零 D．检验数都不大于零
11．已知某个含10个结点的树图，其中9个结点的次为1，1，3，1，1，1，3，1，3，则另一个结点的次为【】 A．3 B．2 C．1 D．以上三种情况均有可能 12．如果要使目标规划实际实现值不超过目标值。则相应的偏离变量应满足【】 13．在运输方案中出现退化现象，是指数字格的数目【】 A．等于 m+n B．等于m+n-1 C．小于m+n-1 D．大于m+n-1 14．关于矩阵对策，下列说法错误的是【】 A．矩阵对策的解可以不是唯一的 C．矩阵对策中，当局势达到均衡时，任何一方单方面改变自己的策略，都将意味着自己更少的赢得和更大的损失 D．矩阵对策的对策值，相当于进行若干次对策后，局中人I的平均赢得或局中人Ⅱ的平均损失值 【】 A．2 8．—l C．—3 D．1 16．关于线性规划的原问题和对偶问题，下列说法正确的是【】 A．若原问题为元界解，则对偶问题也为无界解
基础课程教学资料祝福您及家人身体健康、万事如意、阖家欢乐！祝福同学们快乐成长，能够取得好成绩，为祖国奉献力量 运筹学填空/选择/简答题题库 第一章运筹学概念部分欢迎使用本资料，祝您身体健康、万事如意，阖家欢乐。愿同学们健康快乐的成长。早日为祖国的繁荣昌盛奉献自己的力量 一、填空题 1．运筹学的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题，经营活动。欢迎使用本资料，祝您身体健康、万事如意，阖家欢乐。愿同学们健康快乐的成长。早日为祖国的繁荣昌盛奉献自己的力量 2．运筹学的核心主要是运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案，为决策者提供科学 决策的依据。欢迎使用本资料，祝您身体健康、万事如意，阖家欢乐。愿同学们健康快乐的成长。早日为祖国的繁荣昌盛奉献自己的力量 3．模型是一件实际事物或现实情况的代表或抽象。 4通常对问题中变量值的限制称为约束条件，它可以表示成一个等式或不等式的集合。5．运筹学研究和解决问题的基础是最优化技术，并强调系统整体优化功能。 6．运筹学用系统的观点研究功能之间的关系。 7．运筹学研究和解决问题的优势是应用各学科交叉的方法，具有典型综合应用特性。8．运筹学的发展趋势是进一步依赖于_计算机的应用和发展。 9．运筹学解决问题时首先要观察待决策问题所处的环境。 10．用运筹学分析与解决问题，是一个科学决策的过程。 11.运筹学的主要目的在于求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案。 12．运筹学中所使用的模型是数学模型。用运筹学解决问题的核心是建立数学模型，并对模型求解。 13用运筹学解决问题时，要分析，定义待决策的问题。 14．运筹学的系统特征之一是用系统的观点研究功能关系。 15.数学模型中，s.t表示约束（subject to 的缩写）。 16．建立数学模型时，需要回答的问题有性能的客观量度，可控制因素，不可控因素。17．运筹学的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题及经营活动。 18. 1940年8月，英国管理部门成立了一个跨学科的11人的运筹学小组，该小组简称为OR。 二、单选题 1．建立数学模型时，考虑可以由决策者控制的因素是（ A ） A．销售数量 B．销售价格 C．顾客的需求D．竞争价格 2．我们可以通过（C）来验证模型最优解。 A．观察 B．应用 C．实验 D．调查 3．建立运筹学模型的过程不包括（ A ）阶段。 A．观察环境 B．数据分析 C．模型设计 D．模型实施 1
3）若问题中 x2 列的系数变为（3，2）T，问最优解是否有变化； 4）c2 由 1 变为 2，是否影响最优解，如有影响，将新的解求出。 Cj CB 0 0 Cj-Zj 0 4 Cj-Zj 3 4 Cj-Zj 最优解为 X1=1/3,X3=7/5,Z=33/5 2对偶问题为Minw=9y1+8y2 6y1+3y2≥3 3y1+4y2≥1 5y1+5y2≥4 y1,y2≥0 对偶问题最优解为 y1=1/5,y2=3/5 3 若问题中 x2 列的系数变为（3，2）T 则P2’=(1/3,1/5σ2=-4/5＜0 所以对最优解没有影响 4）c2 由 1 变为2 σ2=-1＜0 所以对最优解没有影响 7. 求如图所示的网络的最大流和最小截集(割集，每弧旁的数字是（cij , fij ）。（10 分） V1 (9,5 (4,4 V3 (6,3 T 3 XB X4 X5 b 9 8 X1 6 3 3 X4 X3 1 8/5 3 3/5 3/5 X1 X3 1/3 7/5 1 0 0 1 X2 3 4 1 -1 4/5 -11/5 -1/3 1 - 2 4 X 3 5 5 4 0 1 0 0 1 0 0 X4 1 0 0 1 0 0 1/3 -1/ 5 -1/5 0 X5 0 1 0 -1 1/5 -4/5 -1/3 2/5 -3/5 VS (3,1 (3,0 (4,1 Vt (5,3 V2 解： (5,4 (7,5 V4 V1 (9,7 (4,4 V3 (6,4 (3,2 Vs (5,4 (4,0 Vt (7,7 6/9 V2 最大流＝11 (5,5 V4 8. 某厂Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品分别经过 A、B、C 三种设备加工。已知生产单位各种产品所需的设备台时，设备的现有加工能力及每件产品的预期利润见表：ⅠⅡⅢ设备能力(台.h A 1 1 1 100 B 10 4 5 600 C 2 2 6 300 单
运筹学复习题 第一章 线性规划及单纯形法 一、单选题 1. 线性规划具有无界解是指 A. 可行解集合无界 B. 有相同的最小比值 C. 存在某个检验数0k λ>，且0(1,2,,)ik a i m ≤= D. 最优表中所有非基变量的检验数非零 2. 线性规划具有唯一最优解是指 A. 最优表中非基变量检验数全部非零 B. 不加入人工变量就可进行单纯形法计算 C. 最优表中存在非基变量的检验数为零 D. 可行解集合有界 3. 线性规划具有多重最优解是指 A. 目标函数系数与某约束系数对应成比例 B. 最优表中存在非基变量的检验数为零 C. 可行解集合无界 D. 基变量全部大于零 4. 使函数Z=-x 1+x 2+2x 3 减小最快的方向是 A. (-1,1,2) B. (1,-1,-2) C. (1,1,2) D. (-1,-1,-2) 5. 当线性规划的可行解集合非空时一定 A. 包含点X =(0,0,···,0) B. 有界 C. 无界 D. 是凸集 6. 线性规划的退化基可行解是指 A. 基可行解中存在为零的非基变量 B. 基可行解中存在为零的基变量 C. 非基变量的检验数为零 D. 所有基变量不等于零 7. 线性规划无可行解是指 A. 第一阶段最优目标函数值等于零 B. 进基列系数非正 C. 用大M 法求解时，最优解中还有非零的人工变量 D. 有两个相同的最小比值 8. 若线性规划不加入人工变量就可以进行单纯形法计算 A. 一定有最优解 B. 一定有可行解 C. 可能无可行解 D. 全部约束是小于等于的形式 9. 设线性规划的约束条件为 1231242224 01234 (,,,)j x x x x x x x j ?++=? ++=??≥=? 则非退化基本可行解是 A. (2， 0，0， 0) B. (0，2，0，0) C. (1，1，0，0) D. (0，0，2，4) 10. 设线性规划的约束条件为 1231242224 01234 (,,,)j x x x x x x x j ?++=? ++=??≥=? 则非可行解是 A. (2，0，0， 0) B. (0，1，1，2) C. (1，0，1，0) D. (1，1，0，0) 11. 线性规划可行域的顶点一定是 A. 可行解 B. 非基本解 C. 非可行解 D. 是最优解 12. 1234min z x x =+
某昼夜服务的公交线路 解：设x i 表示第i班次时开始上班的司机和乘务人员数,这样我们建立如下的数学模型。目标函数：Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 s.t. x1 + x6≥60 x1 + x2≥70 x2 + x3≥60 x3 + x4≥50 x4 + x5≥20 x5 + x6≥30 x1,x2,x3,x4,x5,x6 ≥0 解得50,20,50,0,20,10（x1到x6）一共需要150人 一家中型的百货商场 解：设x i ( i = 1,2,…,7)表示星期一至日开始休息的人数,这样我们建立如下的数学模型。目标函数：Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 s.t. x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ≥28 x2 + x3 + x4 + x5 + x6≥15 x3 + x4 + x5 + x6 + x7≥24 x4 + x5 + x6 + x7 + x1≥25 x5 + x6 + x7 + x1 + x2≥19 x6 + x7 + x1 + x2 + x3≥31 x7 + x1 + x2 + x3 + x4≥28 x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7 ≥0 解得12.0.11.5.0.8.0(x1到x7) 最小值36 某工厂要做100套钢架 设x1,x2,x3,x4,x5 分别为5 种方案下料的原材料根数。这样我们建立如下的数学模型。 目标函数：Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 s.t. x1 + 2x2 +x4≥100 2x3+2x4 +x5≥100 3x1+x2+2x3+3x5≥100 x1,x2,x3,x4,x5≥0 解得30,10,0,50,0 只需要90根原料造100钢架某工厂要用三种原料1、2、3 设设x ij 表示第i 种（甲、乙、丙）产品中原料j 的含量。 目标函数：Max z = -15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33 s.t. 0.5 x11-0.5 x12 -0.5 x13≥0 -0.25x11+0.75x12 -0.25x13≤0 0.75x21-0.25x22 -0.25x23≥0 -0.5 x21+0.5 x22 -0.5 x23≤0 x11+x21 +x31≤100 x12+x22 +x32≤100 x13+x23+x33≤60 x ij≥0 , i = 1,2,3; j = 1,2,3 解得x11=100,x12=50,x13=50原料分别为第1种100 第2种50 第3种50 资源分配 解：将问题按工厂分为三个阶段，甲、乙、丙三个厂分别编号为1、2、3厂。设sk= 分配给第k个厂至第3个厂的设备台数（k=1、2、3）。xk=分配给第k个工厂的设备台数。 已知s1=5, 并有S2=T1(s1,x1)=s1-x1,S3=T2(s2,x2)=s2-x2从Sk与Xk的定义，可知s3=x3 以下我们从第三阶段开始计算。Maxr3(s3,x3)=r3(s3,x3)即F3（s3）= Maxr3(s3,x3)=r3(s3,x3). 第二阶段F2（s2）=max[r2(s2,x2)+f3(s3)]第一阶段当s1=5时最大盈利为f1(5)=max[r1(5,x1)+f2(5-x1)] 得出2个方案⑴分配给甲0台乙0台丙3台⑵分配甲2台乙2台丙1台，他们的总盈利值都是21. 背包 设Sk＝分配给第k种咨询项目到第四种咨询项目的所有客户的总工作日Xk=在第k种咨询项目中处理客户的数量已知s1=10,有S2=T1(s1,x1)=s1-x1. S3=T2(s2,x2)=s2-3x2. S4=T3(s3,x3)=s3-4x3,第四阶段F4(s4)=maxr4(s4,x4)=r4(s4,[s4/7])第三阶段F3(s3)=max[r3(s3,x3)+f4(s3-4x3)]第二阶段F2(s2)=max[r2(s2,x2)+f3(s2-3x2)]第一阶段已知s1=10，又因s2=s1-x1有F1(10)=max[r1(10,x1)+f2(10-x1)] 综上当x1*=0,x2*=1,x3*=0,x4*=1,最大盈利为28 京城畜产品 解：设：0--1变量xi = 1 (Ai 点被选用）或0 (Ai 点没被选用）。这样我们可建立如下的数学模型：Max z =36x1+40x2+50x3+22x4+20x5+30x6+25x7+48x8+58x9+61x10 s.t. 100x1+120x2+150x3+80x4+70x5+90x6+80x7+140x8+160x9+180x10 ≤720 x1 + x2 + x3 ≤2 x4 + x5 ≥1 x6 + x7 ≥1 x8 + x9 + x10 ≥2 xi≥0 且xi为0--1变量，i = 1,2,3,……,10 函数值245 最优解1,1,0,0,1,1,0,0,1,1（x1到x10的解） 高压容器公司
运筹学试题库 一、多项选择题 1、下面命题正确的是（）。 A、线性规划的标准型右端项非零； B、线性规划的标准型目标求最大； C、线性规划的标准型有等式或不等式约束； D、线性规划的标准型变量均非负。 2、下面命题不正确的是（）。 A、线性规划的最优解是基本解； B、基本可行解一定是基本解； C、线性规划有可行解则有最优解； D、线性规划的最优值至多有一个。 3、设线性规划问题（P），它的对偶问题（D），那么（）。 A、若（P）求最大则（D）求最小； B、（P）、（D）均有可行解则都有最优解； C、若（P）的约束均为等式，则（D）的所有变量均无非负限制； D、（P）和（D）互为对偶。 4、课程中讨论的运输问题有基本特点（）。 A、产销平衡； B、一定是物品运输的问题； C、是整数规划问题； D、总是求目标极小。 5、线性规划的标准型有特点（）。 A、右端项非零； B、目标求最大； C、有等式或不等式约束； D、变量均非负。 6、下面命题不正确的是（）。 A、线性规划的最优解是基本可行解； B、基本可行解一定是基本解； C、线性规划一定有可行解； D、线性规划的最优值至多有一个。 7、线性规划模型有特点（）。 A、所有函数都是线性函数； B、目标求最大； C、有等式或不等式约束； D、变量非负。 8、下面命题正确的是（）。 A、线性规划的最优解是基本可行解； B、基本可行解一定是最优； C、线性规划一定有可行解； D、线性规划的最优值至多有一个。 9、一个线性规划问题（P）与它的对偶问题（D）有关系（）。 A、（P）有可行解则（D）有最优解； B、（P）、（D）均有可行解则都有最优解； C、（P）可行（D）无解，则（P）无有限最优解； D、（P）（D）互为对偶。 10、运输问题的基本可行解有特点（）。 A、有m＋n－1个基变量； B、有m+n个位势； C、产销平衡； D、不含闭回路。
第二章思考题、主要概念及内容图解法、图解法的灵敏度分析 1. 考虑下面的线性规划问题： max z=2x1+3x2； 约束条件：x1+2x2≤6， 5x1+3x2≤15， x1，x2≥0． (1) 画出其可行域． (2) 当z=6时，画出等值线2x1+3x2=6． (3) 用图解法求出其最优解以及最优目标函数值． 2. 用图解法求解下列线性规划问题，并指出哪个问题具有惟一最优解、无穷多最优解、无界解或无可行解．(1) min f=6x1+4x2； 约束条件：2x1+x2≥1， 3x1+4x2≥3， x1，x2≥0． (2) max z=4x1+8x2； 约束条件：2x1+2x2≤10， -x1+x2≥8， x1,x2≥0． (3) max z=3x1-2x2； 约束条件：x1+x2≤1， 2x1+2x2≥4， x1，x2≥0． (4) max z=3x1+9x2；
约束条件：x1+3x2≤22， -x1+x2≤4， x2≤6， 2x1-5x2≤0， x1，x2≥0 3. 将下述线性规划问题化成标准形式： (1) max f=3x1+2x2； 约束条件：9x1+2x2≤30， 3x1+2x2≤13， 2x1+2x2≤9， x1，x2≥0． (2) min f=4x1+6x2； 约束条件：3x1-x2≥6， x1+2x2≤10， 7x1-6x2=4， x1，x2≥0． (3) min f=-x1-2x2； 约束条件：3x1+5x2≤70, -2x1-5x2=50， -3x1+2x2≥30， x1≤0，-∞≤x2≤∞． (提示：可以令x′1=-x1，这样可得x′1≥0．同样可以令x′2-x″2=x2，其中x′2，x″2≥0．可见当x′2≥x″2时，x2≥0；当x′2≤x″2时，x2≤0，即-∞≤x2≤∞．这样原线性规划问题可以化为含有决策变量x′1，x′2，x″2的线性规划问题，这里决策变量x′1，x′2，x″2≥0．) 4. 考虑下面的线性规划问题：
第一章习题 1.思考题 （1）微分学求极值的方法为什么不适用于线性规划的求解？ （2）线性规划的标准形有哪些限制？如何把一般的线性规划化为标准形式？ （3）图解法主要步骤是什么？从中可以看出线性规划最优解有那些特点？ （4）什么是线性规划的可行解，基本解，基可行解？引入基本解和基可行解有什么作用？ （5）对于任意基可行解，为什么必须把目标函数用非基变量表示出来？什么是检验数？它有什么作用？如何计算检验数？ （6）确定换出变量的法则是什么？违背这一法则，会发生什么问题？ （7）如何进行换基迭代运算？ （8）大M法与两阶段法的要点是什么？两者有什么共同点？有什么区别？ （9）松弛变量与人工变量有什么区别？试从定义和处理方式两方面分析。 （10）如何判定线性规划有唯一最优解，无穷多最优解和无最优解？为什么？ 2.建立下列问题的线性规划模型： （1）某厂生产A，B，C三种产品，每件产品消耗的原料和设备台时如表1-18所示： 润最大的模型。 （2）某公司打算利用具有下列成分（见表1-19）的合金配制一种新型合金100公斤，新合金含铅，锌，锡的比例为3：2：5。 如何安排配方，使成本最低？ （3）某医院每天各时间段至少需要配备护理人员数量见表1-20。
表1-20 假定每人上班后连续工作8小时，试建立使总人数最少的计划安排模型。能否利用初等数学的视察法，求出它的最优解？ （4）某工地需要30套三角架，其结构尺寸如图1-6所示。仓库现有长6.5米的钢材。如何下料，使消耗的钢材最少？ 图1-6 3. 用图解法求下列线性规划的最优解： ?????? ?≥≤+-≥+≥++=0 ,425.134 1 2 64 min )1(21212 12121x x x x x x x x x x z ?????? ?≥≤+≥+-≤++=0 ,82 5 1032 44 max )2(21212 12121x x x x x x x x x x z ????? ????≥≤≤-≤+-≤++=0 ,6 054 4 22232 96 max )3(2122 1212121x x x x x x x x x x x z ??? ??≥≤+-≥+ +=0,1 12 34 3 max )4(2 12 12121x x x x x x x x z
一、单选题 1．目标函数取极小（minZ ）的线性规划问题可以转化为目标函数取极大的线性规划问题求解，原问题的目标函数值等于（ ）。 A. maxZ B. max(-Z) C. –max(-Z) D.-maxZ 2．下列说法中正确的是（ ）。 A ．基本解一定是可行解 B ．基本可行解的每个分量一定非负 C ．若B 是基，则B 一定是可逆 D ．非基变量的系数列向量一定是线性相关的 3．在线性规划模型中，没有非负约束的变量称为 （ ） A.多余变量 B ．松弛变量 C ．人工变量 D ．自由变量 4. 当满足最优解，且检验数为零的变量的个数大于基变量的个数时，可求得（ ）。 A ．多重解 B ．无解 C ．正则解 D ．退化解 5．对偶单纯型法与标准单纯型法的主要区别是每次迭代的基变量都满足最优检验但不完全满足 （ ）。 A ．等式约束 B ．“≤”型约束 C ．“≥”约束 D ．非负约束 6. 原问题的第ｉ个约束方程是“＝”型，则对偶问题的变量i y 是（ ）。 A ．多余变量 B ．自由变量 C ．松弛变量 D ．非负变量 7.在运输方案中出现退化现象，是指数字格的数目( )。 A.等于m+n B.大于m+n-1 C.小于m+n-1 D.等于m+n-1 二、判断题 1．线性规划问题的一般模型中不能有等式约束。 2．对偶问题的对偶一定是原问题。 3．产地数与销地数相等的运输问题是产销平衡运输问题。 4．对于一个动态规划问题，应用顺推或逆解法可能会得出不同的最优解。 5．线性规划问题的每一个基本可行解对应可行域上的一个顶点。 6．线性规划问题的基本解就是基本可行解。 三、填空题 1．如果某一整数规划：MaxZ=X 1+X 2 X 1+9/14X 2≤51/14 -2X 1+X 2≤1/3 X 1,X 2≥0且均为整数 所对应的线性规划（松弛问题）的最优解为X 1=3/2，X 2=10/3，MaxZ=6/29，我们现在要对X 1进行分枝，应该分为 和 。 2．如希望I 的2 倍产量21x 恰好等于II 的产量2x ，用目标规划约束可表为： 3. 线性规划解的情形有 4. 求解指派问题的方法是 。 5．美国的R.Bellman 根据动态规划的原理提出了求解动态规划的最优化原理为 6. 在用逆向解法求动态规划时，f k (s k )的含义是：
运筹学题库 一、选择题 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.科技预测的短期预测时间为【】 A.1～3年 B.3～5年 C.5～10年 D.3～7年 2.下述预测方法中，不属于 ．．．定量方法的是【】 A.算术平均数预测法 B.特尔斐法 C.非线性回归预测法 D.指数平滑法 3.适用在风险条件下进行决策的方法是【】 A.最大最小决策标准 B.保守主义决策标准 C.期望利润标准 D.现实主义决策标准 4.在不确定 ．．．条件下的决策标准中，最大最小决策标准把每个可行方案在未来可能遇到最佳的自然状态的概率定为【】 A.1 B.0 C.0.5 D.0～1间任意值 5.投入库存物资方面的资金应属于【】 A.订货费用 B.保管费用 C.进厂价 D.其它支出 6.用单纯形法求解线性规划问题时引入的松弛变量在目标函数中的系数为【】 A.0 B.很大的正数 C.很大的负数 D.1 7.为建立运输问题的改进方案，在调整路线中调整量应为【】 A.负号格的最小运量 B.负号格的最大运量 C.正号格的最小运量 D.正号格的最大运量 8.求解某运输问题过程中得到如下运输方案： 以下说法错误 ．．的是【】
A.该方案中出现了退化现象 B.对于这种方案，表上作业法无法继续往下求解 C.这是一个供需平衡问题 D.对于这种方案，表上作业法仍可继续往下求解 9.下列选项中结果一定为0的是【 】 A.虚活动的作业时间 B.活动的总时差减去专用时差 C.活动的局部时差减去专用时差 D.结点时差 10.已知某一活动i →j 开始的最早时间ES i,j =3，该活动的作业时间为5，则结点j 的最迟完成时间LF j 为【 】 A.3 B.8 C.不确定 D.2 11.若u=(u 1,u 2,……,u n )为概率向量，则【 】 A.u i ≥0,(i=1,2,……,n) B. ∑=n 1 i i u =0 C.u i ≠0,(i=1,2,……,n),且 ∑=n 1 i i u =1 D.u i ≥0,(i=1,2,……,n),且 ∑=n 1 i i u =1 12.要用最少费用建设一条公路网，将五个城市连接起来，使它们可以相互到达，已知建设费用与公路长度成正比，那么该问题可以看成是【 】 A.最小枝杈树问题求解 B.树的生成问题求解 C.最短路线问题求解 D.最大流量问题求解 13.据教材介绍，不属于．．．盈亏平衡分析在企业管理中应用研究的内容是【 】 A.产品规划 B.厂址选择、设备选择 C.推销渠道的选择、自制或外购选择 D.预测人口变动情况 14.“计划性能法”是盈亏平衡分析的基础。作为“计划性能法”的第一步，是把固定成本分为【 】 A.预付成本和计划成本 B.预付成本和可变成本 C.可变成本和计划成本 D.总成本和计划成本 15.处理等待时间问题，应该运用【 】 A.随机系统的模拟方法 B.仓库系统的模拟方法 C.网络系统的模拟方法 D.排队系统的模拟方法 16．下列向量中的概率向量是【 】 A ．（0.1,0.4,0,0.5） B ．（0.1,0.4,0.1,0.5） C ．（0.6,0.4,0,0.5） D ．（0.6,0.1,0.8,-0.5） 17．当企业盈亏平衡时，利润为【 】 A ．正 B ．负 C ．零 D ．不确定 18．最小最大遗憾值决策准则用来解决【 】条件下的决策问题 A ．不确定性 B ．确定 C ．风险 D ．风险或不确定 19．在不确定的条件下进行决策，下列哪个条件是不必须具备的【 】 A ．确定各种自然状态可能出现的概率值 B ．具有一个明确的决策目标
东华理工大学长江学院2009 — 2010学年第1学期考试卷 《运筹学》课程 闭卷 （A ） 年级及专业： 073351－4 一、填空题（2′?5=10分） 1 . 将目标函数 123min 1058Z x x x =-+转化为求极大值是 . 2 . 在大M 法中,人工变量在目标函数中的系数为 (min Z 时) . 3 . 求解纯整数规划的两种方法是 、 4. 已知基变量 x 1=5.28，x 1要求取整数，则添加分枝约束 和 . 5 . 要求不超过目标值的目标函数是min Z d + = . 二 选择题（3′?5=15分） 1. 线性规划具有多重最优解是指( ) A.目标函数系数与某约束系数对应成比例 B.最优表中存在非基变量的检验数为零 C.可行解集合无界 D.存在基变量等于零 2. 要求不超过第一目标值、恰好完成第二目标值，目标函数是( ) A. B. C. D. 3. 下列变量组是一个闭回路的有( ) A.{ x 21, x 11, x 12, x 32, x 33, x 23,} B.{x 11, x 12, x 23, x 34, x 41, x 13} C.{ x 21, x 13, x 34, x 41, x 12} D.{ x 12, x 32, x 33, x 23, x 21, x 11} E.{ x 12, x 22, x 32, x 33, x 23, x 21} 4. 10,,42,734,3max 21212121或=≤+≤++=x x x x x x x x Z ，最优解是( ) A.(0,0） B.(0,1） C.(1,0） D.(1,1) 5 . 分枝定界法中( ) A.最大值问题的目标值是各分枝的下界 B.最大值问题的目标值是各分枝的上界 C.最小值问题的目标值是各分枝的上界 D.最小值问题的目标值是各分枝的下界 E.以上结论都不对 三 解答下列各题（共60分） 1. 用单纯形法求解下列线性规划（15分） Max z = 5 x 1 + 10 x 2 s.t. x 1 + x 2 < 30 2 x 1 + x 2 < 40 x 2 < 25 x 1 , x 2 ≥ 0
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四、把下列线性规划问题化成标准形式： 2、minZ=2x1-x2+2x3 五、按各题要求。建立线性规划数学模型 1、某工厂生产A、B、C三种产品，每种产品的原材料消耗量、机械台时消耗量以及这些资源的限量，单位产品的利润如下表所示：
根据客户订货，三种产品的最低月需要量分别为200，250和100件，最大月销售量分别为250，280和120件。月销售分别为250 ，280和120件。问如何安排生产计划，使总利润最大。 2、某建筑工地有一批长度为10米的相同型号的钢筋，今要截成长度为3米的钢筋 90根，长度为4米的 钢筋60根，问怎样下料，才能使所使用的原材料最省? 1．某运输公司在春运期间需要24小时昼夜加班工作，需要的人员数量如下表所示：起运时间服务员数 2—6 6—10 10一14 14—18 18—22 22—2 4 8 10 7 12 4 每个工作人员连续工作八小时，且在时段开始时上班，问如何安排，使得既满足以上要求，又使上班人数最少?
五、分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划问题．并对照指出单纯形迭代的每一步相 当于图解法可行域中的哪一个顶点。
六、用单纯形法求解下列线性规划问题： 七、用大M法求解下列线性规划问题。并指出问题的解属于哪一类。
八、下表为用单纯形法计算时某一步的表格。已知该线性规划的目标函数为maxZ=5x1+3x2，约束形式为“≤”，X3，X4为松驰变量．表中解代入目标函数后得Z=10 X l X2X3X4 —10 b -1 f g X3 2 C O 1 1／5 X l a d e 0 1 (1)求表中a～g的值 (2)表中给出的解是否为最优解? （1）a=2 b=0 c=0 d=1 e=4/5 f=0 g=－5 （2）表中给出的解为最优解 第四章线性规划的对偶理论 五、写出下列线性规划问题的对偶问题 1．minZ=2x1+2x2+4x3