第四章：力学量用算符表示
[1]设[])(,,q f ih p q =是q 的可微函数，证明下述各式：[一维算符] （1）[
]
.2)(,2
hipf q f p q =
（证明）根据题给的对易式及[];0)(,=q f q
[]qf p f qp fq p f qp
f p q 2222
2
,-=-=
f ih qp p qppf f pq p qppf )()(--=-=
hipf pf hi pq qp 2)(=+-=
（2）)(])(,[pf fq ih p q pf q +=
（证明）同前一论题
)(],[hi qp pf qpfp pfpq qpfp pfp q --=-= hipf pqfp qpfp hipf pfpq qpfp +-=+-=
)()(pf fp hi hipf fp pq qp +=+-=
（3）ihfp p q f q 2])(,[2
=
[证明]同前一题论据：
fppq fqpp fppq qfpp fp q -=-=],[2
hifp fpqp fqpp hi qp fp fqpp +-=--=)( hifp hifp p pq qp f 2)(=+-=
（4）i
f p i
h q f p p 22
)](,[=
[证明]根据题给对易式外，另外应用对易式
i
f i
h q f p =
)](,[ dq df f i ≡)(
)(],[2222fp pf p fp p f p f p p -=-=
物83-309蒋
~80~
i
f p i
h f p p 22],[=
= （5）p pf i
h p q pf p i
=
])(,[ （证明）论据同（4）：
p fp pf p pfp fp
p pfp p )(],[22-=-=
p pf i
h i
=
（6）2
2
])(,[p f i
h p q f p i =
（证明）论据同（4）：
2
2222)(],[p f i
h p fp pf fp pfp fp p i =
-=-=
(2)证明以下诸式成立： (1)
(证明)根据坐标分角动量对易式
为了求证 该矢量关系式，计算等号左方的矢量算符的x 分量。
以及
看到
由于轮换对称性，得到特征的公式。
~81~
(2)
（证明）证法与（1）类似，但需先证 分量与 分量的对易律
同理可证明其他轮换式，由此得普通式
取待证的公式等号左方的x 分量，并用前一式加以变形：
根据轮换对称性，证明待证式成立。 (3)
注意 与x 没有共同坐标。 (4)
注意
没有共同坐标，因此可以对易即
，故
)()(22
22z y x x z y l l p p l l A +-+=
z
z x x z z x x z z y y x x y y x x y y x x x x y x x y l l p p l l p p l l l l p p l l p p l l l p p l l p p l )()()()(2222-+-+-+-=-+-=z x z x z z y x y x y y l p l p l l l p l p l l ],[],[],[],[+++=
}{z y y z y z z y l p p l l p p l hi ++--= )}(){(y z z y y z z y p l p l l p l p hi ---=
})(){(x x p l l p hi ρρρ*-*=
(3) l ?
为粒子角动量。F 为另一力学量，证明： )(],[p
F p r F r hi F l ??ττ???*+??*-=
其中r τ??
表示空间坐标的梯度，p
???表示动量空间的梯度。 [证明]按照题意
z k y j x i
r ??
+??+??=?????τ z
y x p k p j p i r ??+??+??=?????τ 又F 可看作坐标r τ，动量p ?
的函数，它一般可以表示成
n i ni
ni p r C p r F F )(),(τ?τ∑==
),,,3,2,1,0(z y x i n ==ΛΛ
为使证明题给论据清楚，可以先导出两种交换关系，作为后文的准备，设)(r ψ为任意波函数
ψ??=ψ??-ψ??=ψx F
i h x F F x i h F p x })({],[
x
F
i h F p x ??=],[
)(],[ψ-ψ=ψ∑∑X p C P XC F X ni
n i ni ni
n i ni
在前式的最后一项中，当I=x 时，可利用莱勃尼兹公式：
ψ??+ψ=?ψ?+?ψ?=ψ??=ψ--n
x x
n x n n n n n n n
x
P P i h XP x n x X i h X x i h X P )()()()()(11
当ψ=ψψ=ψ=n
z n z n y n y XP X P XP X P z y i )(;)(:,
因此：
∑∑∑ψ??
-
ψ-ψ=ψni
n i
ni x
ni
n i ni ni
n i ni P XC
P i h P XC P XC F x ],[
ψ??=x
P F hi
x
P F
hi
F X ??=],[ 现在利用前二式来证明题给一式的x 分量的关系成立，该式左方：
x x x x Fl F l F l F l -==],[],[ 3)()(y z y z zp yp F F zp yp ---=
F FyP F yP z z +-=
y
y z z y y y z z z p F z F p Z p F y F p y p Fz zF Fp F p z P Fy yF FP F P y ],[],[],[],[)()()()(--+=-----+-=
86-87
利用（1）和（2）得
同理可得
综合3式得
[4]设算符A，B与它们的对易式[A，B]都对易。证明
(甲法）递推法，对第一公式左方，先将原来两项设法分裂成四项，分解出一个因式，再次分裂成六项，依次类推，可得待证式右方，步骤如下：
按题目假设
重复运算n-1次以后，得
（乙法）数学归纳法，待证一式当n=1时，是明显成立的，假设当m=k时该式成立，而k 1，则应有
现在计算有:
利用前述的假设
但又按题目假设
用于前一式得待证一式。
关于第二个公式也可按相同的步骤证明，不另列述。
但若第一式证实，则亦可从第一式推第二式，注意
A，
=
B
，-
[A
]
B
[
]
88-89
将第一式对易式中两算符对易得
再将文字A，B对易得
（5）证明
（证明）本题的证法与题四的第一法完全相同，只是条件A，B与[A，B]对易一点不能使用，即
从原来的对易式经过总数n-1次运算后，得
取A=q，B=p，注意[q，p]=hi代入前一式后，有
(6)证明 是厄密算符
证明）本题的算符可以先行简化，然后判定其性质
是厄密算符，因此原来算符也是厄密的。 另一方法是根据厄密算符的定义：
用于积分最后一式： 前式=
说明题给的算符满足厄密算符定义。
（7）证 (A 等是实数)是厄密算符
（证明）此算符 F( ) 不能简化，可以用多次运算证明，首先假定已经证明动量是厄密算符，则
运用这个关系于下面的计算：
τ?τ
ψτ?τψd P A d P F n n
?)?(∑?≡????
???
????∑=>τ
τ?ψd P
A n n
n n ?0
???-?∑=τ?ψd P P
A n n )?(?1 ???-?∑=τ?ψd P P
A n n )?()?(1 ???-?∑=τ?ψd P P
P A n n )?(?)(2 τ?ψd P P P P A n n )?(?)??(3-?∑= ???-?∑=τ?ψd P P P A n n )?(?)?(32 τ?ψd P P P
A n n )?(?)?(42-?∑= ???-?∑=τ?ψd P P P
A n n )?(?)?(42ΛΛ ????=τ
τ?ψd P
F ])?([ )?(P
F 满足厄密算符的定义。
（8）证明2
?n m m n nm n m p x x p
A +∑-（nm A 实数）是厄密算符。
（证明）方法同前题，假定已经证明p
?,x ?都是厄密算符，即： τ?ψτ?ψd p d p
???????=?)?(? τ?ψτ?ψd x d x
???????=?)(? 又按题意得证算符是一维的。
dx x p p dx x p m
n m
n ?
?
-?=?)??(???1?ψ?ψ ~90~ 物83-309蒋
dx x p p
m n )??()?(1?ψ-?=? dx x p x dx x p
m n m n ?ψ?ψ1?)??(?)?(-?=?=??ΛΛ dx p x
n m ?ψ?=?)??(ΛΛ 这证明m m x p
??不是厄密算符，但满足 dx p
x dx x p n m m n ???=??ψ?ψ)??()??( 同理可证明
dx x p dx p
x
m n n m
???=??ψ?ψ)??()??( 将前二式相加除2，得
dx x p
p x
dx p x x p m n n m n m m n ???+=+??ψ?ψ)2
????(2???? 因此2
????n m m n p x x p
+是厄密算符。
因此∑-+n
m n m m n nm
p x x p
A 2
????也是。 又假定用0?0
?=*作为厄密算符0?的定义，并设=?*)??(ΛΛB A )??(**?A B
Λ则本题可用较简方式来证明如下： 因为 *=p p
?? *=x x ?? 所以有 n n p p
)?(?*= m m x x )?(?*= n m n m m n m n p x p x x p x p
??)?()?()}?()?{()??(==?=**** 同理有
m n m n n m n m x p x p p x p x
??)?()?()}?()?{()??(==?=**** 相加除2，得：
这证明右方一式是厄密算符。
（9）证明，若 当
大时并不趋于0，则
不一定是厄密算符。
~91~
（证明）设, 是任选的两个函数，适用分步法计算下列积分
继续将后一积分作分步运算，共作n 次，其结果将是：
由此计算可知若大括号里总和为0，则算符符合厄密算符定义，但按题意时，不趋于0，因此我们无法证明大括号里总和为0
[10]证明其中A(p,q),B(p,q)是正则动量和坐标的函数，上式左方是相应的算符。{A,B}是经典力学中的poisson括弧在多变量情形
i=1,2,3......i 自由度
（证明）本题意思是要证明等号两边式子等效，但左方是算符式，可以使用自变量
间的对易关系进行变形，为了证明方便，可设定
的函数形式如下：
式中
是指两组已知的复数，若
不能用的形式表示，则下面的证法无效，
按此假设，可进行下述的变形运算：
I ≡[A,B]=
最后一式中出现座标的幂、动量幂之间的对易式，这类对易式的简化
并未有过，需做专门的计算；兹以[]
l
m p q ,的简化为例：
[]
m l l m l m
q p p q p q
-≡,
试将此对易式的第一项加以连续变形，并且运用已证过的公式：
()[]q
f
hi q f p ??-=,
（4） ()
1-?=l m l m p p q p q
（5）
利用（4）式，令()m
q q f =则有以下诸式：
或： 1
-+=m m m himq pq p q
（6） 同理有 ()2
111----+=m m m q m hi pq p q
（7）
依次类推…………………………………… 将（6）式代入（5）有：
()
11--+=l m m l m p himq pq p q
112---+=l m l m p himq p pq
（8）
将最后一式第一项分解，重复应用（6）：
()
112---+=l m l m l m p himq p p q p p q
()112
1
----++=l m l m m
p himq p
himq pq p
112122-----++=l m l m l m p himq p himpq p q p
运用式（7）于前式中的1
-m pq :
()[]
121221------+=l m m l m l m p q m hi p q him p q p p q
11--+l m p himq
11222---+=l m l m p himq p q p ()2221---+l m p q m m h
（9）
与（8）式比较，增加2h 的高阶次。
312)(--+=l m m l m p himq pq p p q
()2221112-----++l m l m p q m m h p himq []
32133)1(------+=l m m l m p q m hi p q himp p q p ()2221112-----++l m l m p q m m h p himq
3222133)1(------++=l m l m l m p pq m m h p himpq p q p ()2221112-----++l m l m p q m m h p himq ()[
]
321331------+=l m m l m p q m hi p q him p q p
()()[
]
332221------+l m m p q m hi p q m m h
物83-309蒋
()2221112-----++l m l m p q m m h p himq
11333---+=l m l m l m p himq p q p p q
()+-+--22213l m p q m m h ()()33321-----l m p q m m im h
（10）
按同样方法连续变形l 次，得到下式；式中假设l m >。
()()()
!212
12-?
-+=--l l hi p lmq hi q p p q l m m l l m ()()()()m
l l hi p q m m l m !
11112
2γγγγ+--+-?---ΛΛΛ
++---γ
γγl m p q m )1(Λ l m l l q l m m hi --+-?-)1()()1(1ΛΛ
或改写作：
Λ+---=----2211)1(!
2)
1()()(],[l m l
l m l m p q m m l l hi p lmq hi p q 11)1()()1(--+--m l l q l m m hi ΛΛΛ （11）
将此式代到（3）式中，得下式：
2
1[{],[--∑∑=l m k mn kl
kl mn p hilmq q D C B A
+-+--+----11222
[])1()1(2
n k m n l m p hiknq q p p q m m l l h Λ =+----}.....])1()1(2
1222
l n k p p q k k n n η })]
1()1()1()1([)({222211以上幂ηηη+---+++--+-+-+-+∑∑l n k m l n k m kl mn
kl
mn p q k k n n m m l l p q kn lm l D C 将这对易式遍乘以i η，则右方各项中，第一项将与i η无关，第二项以后含i η以上的幂，取
极限0→i η时将留下第一项
∑∑??-=-+-+→mn kl kl
mn l n k m D C p q kn lm i B A 110)(]?,?[lim ηη （12） 其次再考察题给公式等号右方的泊松括号，（用正则座标和正则动量表示的式子），我们论证的情形中，自由度1=ε，因而p p i = q q i =按经典力学定义：
∑????-????=i
i
i i i q B
p A p B q A B A )(
},{
~95~
=
n m mn
mn p q C q q B p A p B q A ∑??
=????-????
n m mn l k kl p q C p
p q D p ∑∑??
-?? l k kl p q D q
∑??
=
)(1111l k n m l k n mn
kl m kl mn
p kq p nq p lq p mq D C
----?-?∑∑
∑∑-+-+-=mn
kl
l n k m kl mn p q kn lm D C 11)( （13）
两种计算的结果相同，因而题给的结果相同，因而题给的公式得到证实。
[11]设F(x ，p)是x k ，p k 的整函数，证明：
k
k x F
i F p ??=
η],[ ⑴ k
k p F
i p F ??=η
],[ ⑵ 整函数是指n
i m k mn
ki
mn ki p x C
p x F ∑∑=
123
],[，mn ki C 是数值系数
[证明]本题照题给的表示式应当是三维的算符，其展开形式：
}
{],[33332332133132232
2221221311321121111n m mn n m mn n m mn n m mn mn
n
m mn n m mn n m mn n m mn n m mn p x C p x C p x C p x C p x C p x C p x C p x C p x C p x F ++++++++=∑
先证第一式∑∑∑-+-=-=
=ki
mn z n i n i z m
k n i z m k m k z mn ki ki mn z n
i m k n i m k z mn ki ki
mn
n
i m k mn ki x x p p p p x p p x x p C p p x p x p C
p x C p p x F p )}]
(){(}]
{]
,[]],[,[
∑+=
ki
mn
n i z m
k n i m k z mn ki p p x p x p C
]},[],{[ ⑴
最后一式曲括号内第一项为k z ≠时为0，因为座标不同，k z ≠时
m z z
m z z x x i x p ??=
η],[
第二对易式],[n
i z p p 任何情形是零，因而⑴改写成：
kz n l m
k k kl
mn
mn kl s p x x i c p x F p δ????=∑)()],(,[η??
n l m k mn kl z
p x c
x i ∑??=
η
),(p x F x i z
?
?η??=
(2) 第二式证明与前半题类似
],[)],(,[∑=kl
mn
n
l m k mn kl z z p x c x p x F x
}{z n
l m k n l z m k n l l m k n l m k z mn kl x p x p x x p x x p x x c -+-=∑
]},[],{[n l z m k n l m k z mn kl p x x p x x c +=∑ （3）
最后一式曲括号内0],[=m
k z x x
lz n l l
n l z p p i
p x δ)(],[??
=η 这公式的详细证明参看第3题，于是（3）式应写成
lz n l kl
mn
l m
k mn kl z p p i x c p x F x δ)()],(,[∑??=η??
∑??
=n l m k mn kl z
p x c
p i
η
),(p x F p i
l
??η??= 这样，第二式得到了证明，这两类式子形式相似，是因为p x ,是一对正则共轭量的缘故。
[12]设)(r f ?
是只赖于空间的力学算符，证明：
22)(2)]](,[),([f r f r f ?-=??
? （1）
设ψ是依赖于座标的波函数)(r ?
ψψ=，先作以下计算
ψψψ222)()](,[?-?=?f f r r f ?
?
∑=??-??=12322
22})({i i i
x f f x ψψ
}2{222222i i i i i x f x f x x f x f ??-??+????+??=∑ψ
ψψψ
}2{22i i i
x x f x f ??
???+??=∑
???+?=f f 22 （2）
代入题给式（1），并运算于)(r ?
ψ：
ψψ})2()2({)]](,[),([22222f x x f x f x x f x f f r f r f i i i i
i i i ?????+??-?????+??=?∑?
?
=)}(22{2
222ψψψψf x x f f x f x x f f x f f i i i
i i i i ??
???-??-?????+??∑ 消去第一，第三项 前式ψψψψ∑∑??-=?????-?????-?????=
2)(2}222{i
i i i i i
i i x f
x f x f x f x f x x f f
首末两式移去函数ψ，得到特征公式（1）
[13]利用测不准系估计谐振子的基态能量
[解]写下一维谐振子的经典的能量公式，或算符关系式：
2
222??2
222222x m m p x m m H E ωω+=+?-==η (1)
取能量的平均值：
2222
21x m p m E ω+= 在一维谐振子的情形，座标的平均值0=x ，动量平均值0=p 计算座标和动量的“不确定度”（即均方根偏差）p x δδ,。
按一般公式 22222)()()(x x x x x x =-=-=δ
22222)()()(p p p p p p =-=-=δ （2） 因此能量平均值公式（1）可改用“不确定度”表示
222
)(2
)(21x m p m E δωδ+= （3） 但根据测不准关系式：
2
η
≥?x p δδ
作为估计，可以直接取其下限，即认为
2η
??x p δδ x
p δδ2η
?
将此结果代入式（3），并且计算E 的极小值，就是所求的基态能量：
2
22)(8)(2)(x m x m x E δδωδη
+
= =2
}12{222ωδωδωηη+-x m x m 用此取括号内值为零的条件，得 2
min ω
η=E 这时ω
δm x 2η
=
[14]利用测不准关系估计类氢原子中电子的基态能量（设原子核带电Ze ）。
（解）本题原是三维问题，但作为估计，计算不需严格正确，方法同前题。
r
Ze m p E 222??-= （1） 取能量的平均值，由于中心对称性，可以认为动量的平均值是零0=p ?
，（这个平均值本是个矢量，但它的分量都是零）因此22)(p p ?δ，此外，根据计算（第六章九题）知道在氢原子情形，2
3a r = 2
2
3a r =，因而a a r ?=
23δ。此外a r 1)1(=，222
)1(a
r =， 所以a
r
1
)1
(=
δ，因此为计算方便，可取 r
r δδ1
)1(=
对能量关系式取平均值
)
(2)()(22
222r Ze m p r Ze m p E δδ-
=-= （3）
利用测不准关系式，可以计算（3）的极值，但p 与r 之间并无已知的对易关系式，此可作 一维问题处理，认为2
η
≥
?r p δδ，并用 η=?r p δδ （4）
则（3）式成为：)(2)()(2
2p Ze m p p E δδδη
-=
2
422422222}2){(21ηηηme Z e m Z p mZe p m -+-=δδ = ηη2)(214
222me Z Zme p m --δ 当取η
2
Zme p =δ时，E 有极小值
η
242min
me Z E -=就是基态能量
[15]求证力学量x 与)(x p F 的测不准关系：
x
p F
F x ??≥
???2)()(22η （证明）根据（课本）测不准的普遍公式，若B A
?,?为任两个力学算符，B A ??,为它们的偏差，B A δδ,为不确定度，则：
2
2
2
]?,?[4
1)()(B A B A ≥???
或]?
,?[2
1,B A B A ≥
δδ （1） 本题中)(?,?x P F B x A ==因此，有关的测不准关系写成： ])(,[2
1
)()(22x P F x F x ≥
??? （2） 在本章第（11）题的第二个公式已指出
x
x p F
i
p F x ??=η)](,[ 代入（2），就得到待证的公式。 [16]求证在n l 的本征态下0==y x l l
（证明）角动量分量算符满足对易关系：
x
y z z y l i l l l l ?????η=- 两边取平均值，设im Y 是z l 本征态波函数，用标乘积运算符号：
)?,()]????[(im x im im y x x y im Y l Y i Y l l l l Y η=- )??]?[?,(im y x im x y im Y l l Y l l Y -
)???,(im y x im y im Y l l Y l m Y -=η )??,()?,(im y x im im y im Y l l Y Y l Y m -=η )?,?()?,(im y im x im y im Y l Y l Y l Y m -=η )?,()?,(im
y im im y im Y l Y m Y l Y m ηη-= 前面的连等式中利用了标乘积分配律以及算符x l ?的厄密性，这样证明0=x l 利用对易关系：y
z x x z l i l l l l ?????η=- 可以类似的证明0=y l 。
附带指出，虽然x l ?，y l ?在x l ?本征态中平均值是零，但乘积x l ?y
l ?的平均值不为零，能够证明：,2
1
2y x y x l l i m l l -==
η说明y x l l ??不是厄密的。2?x l ，2?y l 的平均值见下题。 [17]设粒子处于),(?θim Y 状态，求2
x l ?，2
y l ?
（解）),(?θim Y 是算符y l l ?,?2的共同本征状态，在此态中，算符x
l ?，y l ?具有对称性，因而可假设2
2
y x l l ?=?，又已知0=?=?y x l l
利用算符恒等式：2
2
2
2
????z
y x l l l l ++= 计算这个式子的各量在态im Y 中的平均值，用标积符号：
))???(,()?,(2222im z y x im im im Y l l l Y Y l Y ++= ))??2(,(2
2
im
y x im Y l l Y += 因im Y 满足本征方程式im
im x im im Y m Y l Y l l Y l ηη=+=?)1(?22
137 第5章 力学量的算符表示 §5.1 算符及其运算规则 在第二章中，已经引入了算符的概念，动量算符和哈密顿量算符分别为 ?-= i ?p (5.1.1) )(2?22 r V m H +?-= (5.1.2) 在量子力学中，算符表示对它后面的波函数的一种运算或者操作，上述的动量算符与哈密顿算符皆表示对其后面的波函数的微商运算，本 章的后面将引入的宇称算符π ?则表示对其后面的波函数的一种操作，即把波函数中的坐标变量改变一个符号。由算符化规则可知，物理上可观测的力学量（例如，坐标、动量、角动量和能量等）与相应的算符相对应，并要求相应的算符为线性厄米特算符，力学量的取值情况由相应算符满足的本征方程的解来决定。 §5.1.1 算符及其运算规则 1、线性算符
138 满足下列运算规则 22112211??)(?ψψψψA c A c c c A +=+ (5.1.3) 的算符A ?，称之为线性算符，其中，21,c c 是两个任意复常数，21,ψψ是两个任意的波函数。在量子力学中，可观测量对应的算符都是线性算符，这是状态叠加原理所要求的。如无特殊声明，下面所涉及到的算符皆为线性算符。 2 、单位算符 若对任意的波函数ψ，算符I ?满足 ψψ=I ? (5.1.4) 则称I ?为单位算符。 3、 算符之和 若对任意的波函数ψ，下式 ψψψB A B A ??)??(+=+ (5.1.5) 总是成立，则称算符B A ??+为算符A ?与算符B ?之和。算符的加法运算满足交换律和结合律，即 A B B A ????+=+ (5.1.6) C B A C B A ?)??()??(?++=++ (5.1.7) 4、 算符之积 两个算符A ?和B ?之积记为)??(B A ，对任意的波函数ψ，算符)??(B A 的作用定义为下列运算 )?(?)??(ψψB A B A = (5.1.8)
第三章 量子力学中的力学量 1. 证明 厄米算符的平均值都是实数（在任意态） [证] 由厄米算符的定义 **??()F d F d ψψτψψτ=?? 厄米算符?F 的平均值 *?F F d ψψτ=? **?[()]F d ψψτ=? * * *?[ ]F d ψψτ=? **?[()]F d ψψτ=? ** ?[ ]F d ψψτ=? * F = 即厄米算符的平均值都是实数 2. 判断下列等式是否正确 （1）???H T U =+ （2）H T U =+ （3）H E T U ==+ [解]：（1）（2）正确 （3）错误 因为动能，势能不同时确定，而它们的平均值却是同时确定 。 3. 设()x ψ归一化，{}k ?是?F 的本征函数，且 ()()k k k x c x ψ? =∑ （1）试推导k C 表示式 （2）求征力学量F 的()x ψ态平均值2 k k k F c F =∑ （3）说明2 k c 的物理意义。 [解]：（1）给()x ψ左乘* ()m x ?再对x 积分 * *()()()()m m k k k x x dx x c x dx ? ??τ?=??* ()()k m k k c x x dx ??=∑? 因()x ψ是?F 的本函，所以()x ψ具有正交归一性
**()()()()m k m k k k k k x x dx c x x dx c mk c ?ψ??δ===∑∑?? ()m k = *()()k m c x x dx ?ψ∴=? （2）k ?是?F 的本征函数，设其本征值为k F 则 ?k k k F F ??= **??m k m k k k F F dx F c dx ψψψ?==∑?? * *()m m k k k k c x F c dx ? ?=∑∑? **m k k m k x mk c c F d ??=∑? *m k k mk mk c c F δ=∑ 2 k k k c F = ∑ 即 2 k k k F c F = ∑ （3）2 k c 的物理意义；表示体系处在ψ态，在该态中测量力学量F ，得到本征值k F 的 几率为2 k c 。 4. 一维谐振子处于基态ψ0（x ）态，求该态中 （1） 势能的平均值221 2 U x μω= （2） 动能的平均值2 2p T μ = （3） 动量的几率分布。 解：(1) ? ∞ ∞ --==dx e x x U x 2 22 2222121απ αμωμω μωμωαμωαπαπ αμω ?==?= 2 2 222241212121221 ω 4 1 = （ 2 210 2n ax n n x e dx a ∞ -+= ?
第3章 力学量用算符表达 习题3.1 下列函数哪些是算符22 dx d 的本征函数，其本征值是什么？ ①2x ， ② x e ， ③x sin ， ④x cos 3， ⑤x x cos sin + 解：①2)(222 =x dx d ∴ 2 x 不是22 dx d 的本征函数。 ② x x e e dx d =22 ∴ x e 是22 dx d 的本征函数，其对应的本征值为1。 ③x x dx d x dx d sin )(cos )(sin 22-== ∴ 可见，x sin 是22 dx d 的本征函数，其对应的本征值为－1。 ④x x dx d x dx d cos 3)sin 3()cos 3(22-=-= ∴ x cos 3 是22 dx d 的本征函数，其对应的本征值为－1。 ⑤) cos (sin cos sin sin (cos )cos (sin 22x x x x x x dx d x x dx d +-=--=-=+） ∴ x x cos sin +是22 dx d 的本征函数，其对应的本征值为－1。 3.2 一维谐振子处在基态t i x e t x ωαπ αψ2 2 022),(-- =，求： (1)势能的平均值222 1 x V μω= ； (2)动能的平均值μ 22 p T =.
解：(1) ? ∞ ∞ --== dx e x x V x 2 222222121α π αμωμω μωμωαμωα παπαμω ?==?= 2 2 222241212121221 ω 41= (2) ?∞∞ -==dx x p x p T )(?)(2122 *2ψψμμ ?∞∞ ----=dx e dx d e x x 2 22 221 2 22 21 )(21αα μ πα ?∞ ∞ ---= dx e x x 2 2)1(22222αααμ πα ][22 22 22222??∞∞ --∞∞---= dx e x dx e x x ααααμ πα ]2[23222απ ααπαμ πα?-= μω μαμαπαμπ α? ===442222222 ω 4 1 = 或 ωωω 4 1 4121=-= -=V E T 习题3.3 指出下列算符哪个是线性的，说明其理由。 ① 2 22 4dx d x ； ② []2 ； ③ ∑=N k 1 解：①2 2 2 4dx d x 是线性算符 φ ???φ?22 22222122 2 2122221222 44 )(4)(4)(4 dx d x c dx d x c c dx d x c dx d x c c dx d x ?+?=+=+ ②[]2 不是线性算符
第三章力学量和算符 内容简介：在上一章中，我们系统地介绍了波动力学，它的着眼点是波函数。用波函数描述粒子的运动状态。本章将介绍量子力学的另一种表述，它的着眼点是力学量和力学量的测量，并证实了量子力学中的力学量必须用线性厄米算符表示。然后进一步讨论力学量的测量，它的可能值、平均值以及具有确定值的条件。我们将证实算符的运动方程中含有对易子，出现。 §3.1 力学量算符的引入 §3.2 算符的运算规则 §3.3 厄米算符的本征值和本征函数 §3.4 连续谱本征函数 §3.5 量子力学中力学量的测量 §3.6 不确定关系 §3.7 守恒与对称 在量子力学中。微观粒子的运动状态用波函数描述。一旦给出了波函数，就确定了微观粒子的运动状态。在本章中我们将看到：所谓“确定”，是在能给出概率以及能求得平均值意义下说的。一般说来。当微观粒子处在某一运动状态时，它的力学量，如坐标、动量、角动量、能量等，不同时具有确定的数值，而具有一系列可能值，每一可能值、均以一定的概率出现。当给定描述这一运动状态的波函数后，力学量出现各种可能值的相应的概率就完全确定。利用统计平均的方法，可以算出该力学量的平均值，进而与实验的观测值相比较。既然一切力学量的平均值原则上可由给出，而且这些平均值就是在所描述的状态下相应的力学量的观测结果，在这种意义下认为，波函数描写了粒子的运动状态。 力学量的平均值
对以波函数(,)r t ψ描述的状态，按照波函数的统计解释，2 (,)r t ψ表示在t 时刻在 r r d r →+中找到粒子的几率，因此坐标的平均值显然是: ()2 * (,)(,)(,) 3.1.1r r t rdr r t r r t dr ψψψ∞ ∞ -∞ -∞ = =?? 坐标r 的函数()f r 的平均值是： ()()() *(,)(,) 3.1.2f r r t f r r t dr ψψ∞ -∞ =? 现在讨论动量的平均值。显然，P 的平均值P 不能简单的写成 2(,)P r t Pdr ψ∞ -∞ = ?，因为2 (,)r t dr ψ只表示在 r r dr →+中的概率而不代表在 P P dP →+中找到粒子的概率。要计算P ，应该先找到在t 时刻，在P P dP →+中找 到粒子的概率2 (,)C P t dP ，这相当于对(,)r t ψ作傅里叶变化，而(,)C r t 有公式 给出。动量p 的平均值可表示为 但前述做法比较麻烦，下面我们将介绍一种直接从(,)r t ψ 计算动量平均值的方法。由（3.1.4）式得 利用公式 可以得到 记动量算符为 ?p i =-? 则 ()* ?(,)(,) 3.1.9p r t p r t dr ψ ψ∞ -∞ = ? 从而有 ()()()* ?(,)(,) 3.1.10f p r t f p r t dr ψψ∞ -∞ = ? 例如：动能的平均值是 角动量L 的平均值是
第三章 力学量和算符 内容简介：在上一章中，我们系统地介绍了波动力学，它的着眼点是波函数 。用波函数描述粒子的运动状态。本章将介绍量子力学的另一种表述，它的着眼点是力学量和力学量的测量，并证实了量子力学中的力学量必须用线性厄米算符表示。然后进一步讨论力学量的测量，它的可能值、平均值以及具有确定值的条件。我们将证实算符的运动方程中含有对易子，出现 。 § 3.1 力学量算符的引入 § 3.2 算符的运算规则 § 3.3 厄米算符的本征值和本征函数 § 3.4 连续谱本征函数 § 3.5 量子力学中力学量的测量 § 3.6 不确定关系 § 3.7 守恒与对称 在量子力学中。微观粒子的运动状态用波函数描述。一旦给出了波函数，就确定了微观粒子的运动状态。在本章中我们将看到：所谓“确定”，是在能给出概率以及能求得平均值意义下说的。一般说来。当微观粒子处在某一运动状态时，它的力学量，如坐标、动量、角动量、能量等，不同时具有确定的数值，而具有一系列可能值，每一可能值、均以一定的概率出现。当给定描述这一运动状态的波函数 后，力学量出现各种可能值的相应的概率就完全确定。利用统计平均的方法，可以算出该力学量的平均值，进而与实验的观测值相比较。既然一切力学量的平均值原则上可由 给出，而且这些平均值就是在 所描述的状态下相应的力学量的观测结果，在这种意义下认为，波函数描写了粒子的运动状态。 力学量的平均值 对以波函数(,)r t ψ描述的状态，按照波函数的统计解释，2 (,)r t ψ表示在t 时刻在 r r d r →+中找到粒子的几率，因此坐标的平均值显然是: ()2 *(,) (,)(,) 3.1.1r r t rdr r t r r t dr ψψψ∞ ∞ -∞ -∞ = =?? 坐标r 的函数()f r 的平均值是： ()()()* (,)(,) 3.1.2f r r t f r r t dr ψψ∞ -∞ =? 现在讨论动量的平均值。显然，P 的平均值P 不能简单的写成 2(,)P r t Pdr ψ∞ -∞ = ?，因为2 (,)r t dr ψ只表示在 r r dr →+中的概率而不代表在 P P dP →+中找到粒子的概率。要计算P ，应该先找到在t 时刻，在P P dP →+中找 到粒子的概率2 (,)C P t dP ，这相当于对(,)r t ψ作傅里叶变化，而(,)C r t 有公式 给出。动量p 的平均值可表示为 但前述做法比较麻烦，下面我们将介绍一种直接从(,)r t ψ
第三章 算符和力学量算符 算符概述 设某种运算把函数u 变为函数v ，用算符表示为： ?Fu v = （） ? F 称为算符。u 与v 中的变量可能相同，也可能不同。例如，11du v dx =，22xu v =3 v =， (,) x t ?∞ -∞ ，(,)x i p x h x e dx C p t -=，则d dx ，x dx ∞ -∞ ，x i p x h e -?都是算符。 1．算符的一般运算 （1）算符的相等：对于任意函数u ，若??Fu Gu =，则??G F =。 （2）算符的相加：对于任意函数u ，若???Fu Gu Mu +=，则???M F G =+。算符的相加满足交换律。 （3）算符的相乘：对于任意函数u ，若???FFu Mu =，则???M GF =。算符的相乘一般不满足交换律。如果????FG GF =，则称?F 与?G 对易。 2．几种特殊算符 （1）单位算符 对于任意涵数u ，若?I u=u ，则称?I 为单位算符。?I 与1是等价的。 （2）线性算符 对于任意函数u 与v ，若**1212 ???()F C u C v C Fu C Fv +=+，则称?F 为反线性算符。 （3）逆算符 对于任意函数u ，若????FGu GFu u ==则称?F 与?G 互为逆算符。即1??G F -=，111??????,1F G FF F F ---===。 并非所有的算符都有逆算符，例如把零作为算符时，称之为零算符，零算符就没有逆算符。 对于非齐次线性微分方程：?()()Fu x af x =，其中?F 为d dx 与函数构成的线性算符，a 为常数。
第三章 表示力学量的算符 第一部分；基本思想与基本概念题目 1. 举例说明算符与它表示力学量之间的关系。 2. 如何理解力学量完全集？ 3. 守恒量有哪些特征？ 4. 量子力学中的守恒量与经典力学守恒量有何区别？ 5. 如何构造力学量算符？ 6. 若ψ1与ψ2是力学量F 属于同一本征值λ的两个不同本征函数，则ψ＝C 1ψ1＋C 2ψ2（C 1，C 2是任意常数）是否仍是F 的本征函数。 7. 设[?，?]＝0，则力学量?和?是否一定可同时确定？ 8. 设[?，?]≠0，则力学量?和?是否一定不可同时确定？ 9. 试述│C n │2的物理意义。 10. 对于氢原子哪些力学量组成力学量完全集？ 11. 对氢原子n ，l ，m 这三个量子数分别决定哪些力学量？ 12. 线性谐振子的能量是守恒量，那它能否处于能量没有确定值的状态？举例说明。 13. t ＝0时，粒子处于力学量F 的 本征态，则在t 时刻它是否处于该本征态？ 14. 2?L 的本征态是否一定是 ?z L 的本征态？举例说明。 15. ?z L 的本征态是否一定是2?L 的本征态？ 16. 当氢原子处于ψnlm （r ，θ，φ）＝R nl （r ）Y lm （θ，φ）态时，哪
些力学量可同时确定，其值分别是多少？ 17. 若[?，?]＝0，则粒子是否一定处于A 和B 两力学量的共同本征态？ 第二部分：基本技能训练题 1. 证明厄密算符的平均值都是实数（在任意态） 2. 判断下列等式是否正确 12???() () E H T U (3) H E T U H T U =+==+==+ 3. 设ψ（x ）归一化，｛?k ｝是 ?F 的本征函数，且 ()()k k k x C x ψ?=∑ （1） 试推导C k 的表达式。 （2） 求证力学量在ψ（x ）态的平均值 2 k k k F C F =∑。 （3） 说明|C k |2的物理意义。 4. 一维谐振子处于基态ψ0（x ）态，求该态中 （1） 势能的平均值221 2 U x μω= （2） 动能的平均值2 2p T μ = （3） 动量的几率分布。 5. 氢原子处于 (,,)r a r ψθ?- = 态，求 （1） r 的平均值。 （2） －e 2/r 的平均值
力学量算符之间的对易关系 讨论微观态ψ中某一力学量F 时，总是以∧ F 的本征质谱作为力学量F 的可能值。若我们同时观测状态ψ中的一组不同力学量 ,, G F ，将会得到什么结果呢？这一讲我们主要讨论这个问题。主要内容有： 一个关系：力学量算符之间的对易关系 三个定理?? ? ??力学量守恒定理不确定关系逆定理）共同本征态定理（包括 1 算符之间的对易关系 1.1 算符的基本运算关系 （1）算符之和：算符∧ F 与∧ G 之和∧ ∧+G F 定义为 ψψψ∧ ∧∧∧+=+G F G F )( （1） ψ为任意函数。一般∧ ∧ ∧ ∧ +=+F G G F ，例如粒子的哈密顿算符)()(22 r U T r U p H +=+=∧∧∧ μ 是 动能算符∧ T 与势能算符)(r U 之和。 （2）算符之积：算符∧ F 与∧ G 之积定义为 )()(ψψ∧ ∧∧∧=G F G F （2） 显然，算符之积对函数的作用有先后作用次序问题，一般不能颠倒，即∧ ∧∧ ∧≠F G G F 常记为 ∧ ∧ ∧ ∧≠-0F G G F （3） n 个相同算符∧F 的积定义为算符∧ F 的n 次幂 例如 dx d F =∧ ，则 222dx d F =∧，n n n dx d F =∧ 。 为了运算上的方便，引入量子括号 ∧ ∧∧∧∧∧-=??????F G G F G F , （5） 若 0,≠?? ? ???∧∧G F （6） 称算符∧F 与∧G 是不对易的（不能交换位臵），即∧ ∧∧∧≠F G G F 。
若 0,=?? ? ???∧∧G F （7） 称算符∧F 与∧G 是对易的，即∧ ∧∧∧=F G G F 。 下面几个经常使用的对易关系，请自行证明。 ?????????+=+=+=+-=∧∧∧∧∧∧∧ ∧∧∧ ∧∧∧∧∧∧ ∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧ ∧) 11(],[],[],[)10(],[],[],[)9(] ,[],[],[)8(],[],[G M F M G F M G F M G F M F G M G F M F G F M G F F G G F 1.2 坐标算符与动量算符的对易关系 坐标算符是乘数因子，相互对易 []0],[0],[0 ,===x z z y y x （12） 动量算符是微分算符，因为 x y y x ???= ???2 2 ，则 0,0,0 ,=?? ? ???=?? ? ???=?? ? ???∧∧∧∧∧∧x z z y y x p p p p p p （13） 坐标算符与动量算符：设ψ为任意函数 ?? ??? ?? --=??-=??-=∧∧ψ ψψψψψx x i i x x i x p x x i p x x x )( 比较后可得 ψψψ i x p p x x x =-∧ ∧，即 i p x x =??? ???∧, （14a ） 但是 0,0 ,=?? ? ???=?? ? ???∧∧z y p x p x （14b ） 同理可得坐标算符与动量算符的其它对易关系式，可概括为 ij j i i p x δ =?? ? ???∧ , (14c) 其中 ),,()3,2,1(z y x i x i ≡== ),,()3,2,1(∧ ∧∧∧≡=z y x j p p p j p ※坐标算符与动量算符的对易关系是最基本的对易关系，其它力学量的对易关系均可由 此导出。 1.3 角动量算符的对易关系
算符即运算规则算符即运算规则。。它作用在一个函数ψ(x)(x)上即是对上即是对ψ(x)(x)进行某进行某 种运算种运算，，得到另一个函数?(x) §1.7 1.7 量子力学中的力学量和算符量子力学中的力学量和算符 例： )()(?x x F ?ψ=)()(?x xf x f x =)()(?x f x f I =dx d D = ?1、定义
2、乘法与对易 算符的乘法一般不服从交换律: )?(??ψψB A B A ≡A B B A ????≠例如:
则算符的对易式可记为则算符的对易式可记为：：若对任意若对任意ΨΨ，都有： 则称 和 对易: 引入记号: ψψA B B A ????=A ?B ?]?,?[????B A A B B A ≡?0]?,?[=B A I x D ?]?,?[=h i p x x =]?,?[易证:
可定义算符的可定义算符的n n 次方为： A A A A n ???????=可定义算符的多项式和算符的函数可定义算符的多项式和算符的函数。。例如：
3、线性算符 设C 1, C 2为常数为常数，，若算符满足： 则称其为线性算符则称其为线性算符。。 量子力学态叠加原理要求力学量算符必须是线性算符 例如例如，，下列算符为线性算符下列算符为线性算符：： 2 2112211??)(?Ψ+Ψ=Ψ+ΨF C F C C C F x p H y x x ?,?,,2 ??? ??
算符的本征值方程:4、本征函数本征函数、、本征值 λ为算符 的本征值的本征值，，为算符 的本征值为λ的本征函数的本征函数。。 例如，e 2x 是微商算符的本征函数： )()(?x x F λψψ=)(x ψF ?F ?F ?
波函数和薛定谔方程-力学量算符1．一维运动的粒子处在 的状态，其中，求： （1）粒子动量的几率分布函数； （2）粒子动量的平均值。 [解]首先将归一化，求归一化系数A。 （1）动量的几率分布函数是 注意到中的时间只起参数作用，对几率分布无影响，因此可有 令 代入上式得
（2） 动量p的平均值的结果从物理上看是显然的，因为对本题说来，粒子动量是和是的几率是相同的。讨论： ①一维的傅里叶变换的系数是而不是。 ②傅里叶变换式中的t可看成参变量。因此，当原来坐标空间的波函数不含时间变量时， 即相当于的情况，变换式的形式保持不变。 ③不难证明，若是归一化的，则经傅里叶变换得到也是归一化的。 2．设在时，粒子的状态为 求粒子动量的平均值和粒子动能的平均值。 [解]方法一：根据态迭加原理和波函数的统计解释。任意状态总可以分解为单 色平面波的线性和，即，展开式的系数表示粒子的动量为p时的几率。知道了几率分布函数后，就可按照 求平均值。
在时，动量有一定值的函数，即单色德布罗意平面波为，与的展开式比较可知，处在状态的粒子动量可以取 ，而， 粒子动量的平均值为 A可由归一化条件确定 故 粒子动能的平均值为 。 方法二：直接积分法
根据函数的性质，只有当函数的宗量等于零时，函数方不为零，故的可能值有 而 则有及。 讨论：①由于单色德布罗意平面波当时不趋于零，因此的归一化积分是发散的，故采用动量几率分布的概念来求归一化系数。 ②本题的不是平方可积的函数，因此不能作傅氏积分展开，只能作傅氏级数展 开，即这时对应于波函数的是分立谱而不是连续谱，因此计算积分， 得到函数。 ③在连续谱函数还未熟练以前，建议教学时只引导学生按方法一做，在第三章函 数讲授后再用函数做一遍，对比一下，熟悉一下函数的运算。 3．一维谐振子处在 的状态，求： （1）势能的平均值； （2）动量的几率分布函数； （3）动能的平均值 [解]先检验是否归一化。 是归一化的。 （1）
自主学习01 教材内容 第三章力学量与算符 知识框架重点难点第一节第二节第三节第四节 第五节第六节第七节第八节本章习题本章自测
重点难点
通过本章的学习，应使学生掌握量子力学中的力学量用算符表示的基本原理， 表示力学量的算符，动量算符和角动量算符，厄米算符本征函数的正交性，算符与力学量的关系，算符的关系，两力学量同时有确定值的条件，不确定性关系，力学量平均值随时间的变化，守恒定律，掌握力学量随时间的演化规律。 §3.1 力学量的平均值，力学量用算符表示 [本节要求] 理解力学量的平均值的概念，掌握力学量的算符表示 [重点难点] 力学量的算符表示 [本节内容] 粒子处于波函数 )(r ψ所描述的状态下,虽然不是所有的力学量都有确定的观测值,但它们都有确定 的几率分布,因而有确定的平均值. 粒子处于归一化状态 )(r ψ,其位置坐标的几率密度为ψψ*.这样,位置坐标的平均值为 ()()()()x d r r r x d r r r r 33 ψψ ψψ ??* * == (1) 波长是用以刻画波动在空间变化快慢的,是属于整个波动的量.因此,“空间某一点的波长”的提法是没有意义的.再根据德布罗意关系式p=h/λ,“微观粒子在空间某点的动量”的提法也是没有意义的.因此, 不能像求位置的平均值那样求动量的平均值.按前面所述,给定波函数)(r ψ后,测得粒子的动量在p 到p d p +之间的几率为 p d p 3 2 )( ?,其中 x d e r p r p i 32 3)() 2(1)( ?-?∞ -∞ += ψπ? (2) 其逆变换为 ()()()p d r p i e p r 32 321 ?∞+∞ -?= ?πψ (3)
第四章：力学量用算符表示 [1]设[])(,,q f ih p q =是q 的可微函数，证明下述各式：[一维算符] （1）[ ] .2)(,2 hipf q f p q = （证明）根据题给的对易式及[];0)(,=q f q []qf p f qp fq p f qp f p q 2222 2 ,-=-= f ih qp p qppf f pq p qppf )()(--=-= hipf pf hi pq qp 2)(=+-= （2）)(])(,[pf fq ih p q pf q += （证明）同前一论题 )(],[hi qp pf qpfp pfpq qpfp pfp q --=-= hipf pqfp qpfp hipf pfpq qpfp +-=+-= )()(pf fp hi hipf fp pq qp +=+-= （3）ihfp p q f q 2])(,[2 = [证明]同前一题论据： fppq fqpp fppq qfpp fp q -=-=],[2 hifp fpqp fqpp hi qp fp fqpp +-=--=)( hifp hifp p pq qp f 2)(=+-= （4）i f p i h q f p p 22 )](,[= [证明]根据题给对易式外，另外应用对易式 i f i h q f p = )](,[ dq df f i ≡)( )(],[2222fp pf p fp p f p f p p -=-= 物83-309蒋 ~80~
i f p i h f p p 22],[= = （5）p pf i h p q pf p i = ])(,[ （证明）论据同（4）： p fp pf p pfp fp p pfp p )(],[22-=-= p pf i h i = （6）2 2 ])(,[p f i h p q f p i = （证明）论据同（4）： 2 2222)(],[p f i h p fp pf fp pfp fp p i = -=-= (2)证明以下诸式成立： (1) (证明)根据坐标分角动量对易式 为了求证 该矢量关系式，计算等号左方的矢量算符的x 分量。 以及 看到 由于轮换对称性，得到特征的公式。 ~81~
姓 名:__刘 珺__ 学 号:_06 专业班级:_2009级物理学二班 摘 要：由于微观粒子具有波粒二象性，所以在计算中必须采用新的方式来表示微观粒子的力学量——算符。本文简单叙述关于力学量算符的基本理论并详细说明了两种基本的力学量算符。 关键字：力学量算符；对易；本征值；动量算符；角动量算符 1. 引言 1923年，法国物理学家德布罗意于提出微观粒子具有波粒二象性的假说。 德布罗意认为：正如光具有波粒二象性一样，实体的微粒(如电子、原子等)也具有这种性质，即既具有粒子性也具有波动性。这一假说不久就为实验所证实。 由于观粒子具有波粒二象性，微观粒子所遵循的运动规律就不同于宏观物体的运动规律，描述微观粒子运动规律的量子力学也就不同于描述宏观物体运动规律的经典力学。 量子力学与经典力学的差别首先表现在对粒子的状态和力学量的描述及其变化规律上。在量子力学中，粒子的状态用波函数描述，它是坐标和时间的复函数。当微观粒子处于某一状态时，它的力学量(如坐标、动量、角动量、能量等)一般不具有确定的数值，而具有一系列可能值，每个可能值以一定的几率出现。当粒子所处的状态确定时，力学量具有某一可能值的几率也就完全确定。在描述力学量时，便引入了力学量算符。2. 力学量算符基本概念 算符及其运算规则 （一）算符的定义： 算符是指作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号。 我们通常用上方加“∧”的字母来表示算符，例如： i x dx d P F ,3,,,, ,∧ ∧ 。算符作 用在一个函数u 上，使之变成另一个新的函数v ，例如：v dx du v u F ==∧ , ，dx d 是 微商算符。 （二）算符的运算规则： 1.算符相等：如果u u Q P ∧ ∧ =，则Q P ∧ ∧ =。
第三章 力学量的算符表示 1．如果算符α?、β?满足条件1????=-αββα ， 求证：βαββα?2????22=-， 233?3????βαββα=-， 1?????-=-n n n n βαββα [证] 利用条件1????=-αββα，以β?左乘之得 βαββαβ??????2=- 则有 βαβββα????)1??(2=-- 最后得 βαββα?2????22=-。 再以β? 左乘上式得 222?2)????(?βαββαβ=-， 即232?2?????βαββαβ=- 则有 233?3????βαββα=- 最后得 233?3??βαββα=- 应用数学归纳法可以证明 1?????-=-n n n n βαββα： 先设 211?)1(???----=-n n n n βαββα 成立， 以β? 左乘上式得 11?)1(?????---=-n n n n βαββαβ 则有 11?)1(???)1??(---=--n n n n βαβββα 最后得 1?????-=-n n n n βαββα 2．证明 {}+ ++ )???()???(2 1 2 1n n M M M L L L {} ++=++-+++-+)???()???(11 11 M M M L L L m m n n [证] 应用+ + + ++A B B A ?? )??( 及 ++++=+B A B A ??)??(， 则 ====+-+-++-++ )???(??)???(?)???(21112121n n n n n n L L L L L L L L L L L L +++-+=1 21 ????L L L L n n 同理可证 ++-++=1121???)???(M M M M M M m m m 则 { }{} ++=+++++)???()???()???()???(21212121m n m n M M M L L L M M M L L L { } ++=++-+++-+)???()???(1 111M M M L L L m m n n 3．若算符L e ?满足
波函数和薛定谔方程-力学量算符 1．一维运动的粒子处在 的状态，其中，求： （1）粒子动量的几率分布函数； （2）粒子动量的平均值。 [解]首先将归一化，求归一化系数A。 （1）动量的几率分布函数是 注意到中的时间只起参数作用，对几率分布无影响，因此可有 令 代入上式得 （2） 动量p的平均值的结果从物理上看是显然的，因为对本题说来，粒子动量是和是的几率是相同的。讨论： ①一维的傅里叶变换的系数是而不是。 ②傅里叶变换式中的t可看成参变量。因此，当原来坐标空间的波函数不含时间变量时， 即相当于的情况，变换式的形式保持不变。
③不难证明，若是归一化的，则经傅里叶变换得到也是归一化的。 2．设在时，粒子的状态为 求粒子动量的平均值和粒子动能的平均值。 [解]方法一：根据态迭加原理和波函数的统计解释。任意状态总可以分解为单色平面波的线性和，即，展开式的系数表示粒子的动量为p时的几率。知道了几率分布函数后，就可按照 求平均值。 在时，动量有一定值的函数，即单色德布罗意平面波为，与的展开式比较可知，处在状态的粒子动量可以取 ，而，粒子动量的平均值为 A可由归一化条件确定 故 粒子动能的平均值为 。 方法二：直接积分法
根据函数的性质，只有当函数的宗量等于零时，函数方不为零，故的可能值有 而 则有及。 讨论：①由于单色德布罗意平面波当时不趋于零，因此的归一化积分是发散的，故采用动量几率分布的概念来求归一化系数。 ②本题的不是平方可积的函数，因此不能作傅氏积分展开，只能作傅氏级数展开，即 这时对应于波函数的是分立谱而不是连续谱，因此计算积分，得到函数。 ③在连续谱函数还未熟练以前，建议教学时只引导学生按方法一做，在第三章函数讲 授后再用函数做一遍，对比一下，熟悉一下函数的运算。 3．一维谐振子处在 的状态，求： （1）势能的平均值； （2）动量的几率分布函数； （3）动能的平均值 [解]先检验是否归一化。 是归一化的。 （1） . 其中应用及 （2）由于是平方可积的，因此可作傅氏变换求动量几率分布函数
关于力学量算符本征函数的正交归一性 一、余雷，力学量算符本征函数的正交归一性，贵州师范大学学报(自然科学版)，1998年第16卷第1期 量子力学中关于力学量的基本假设要求： 设某力学量用算符A ?表示，则 n n n a A ??=?（分立谱） （1） a a a A ??=?（连续谱） （2） 1 力学量用线性厄米算符表示； 2 表示力学量算符的本征函数构成完全集，即任一波函数ψ可用力学量算符A ?的本征函数n ?或a ?展开： n n n c ?ψ∑= （3） da a c a ?=?ψ)( （4） 3 几率描述： 在（3）或（4）的ψ态中测力学量A 所得的值必在（1）的n a 或（2）的a 之内。若ψ、n ?、a ?均是归一化的，则在（1）中测得A 的值为n a 的几率为2 n c ；在（4）中测A 得的值在da a a +→内的几率为da a c 2)( 同一力学量算符的线性无关的本征函数的归一化系数一般不同。 例如，一维线性谐振子的能量算符的本征函数的归一化系数n N 与量子数n 有关；轨道角动量平方算符、轨道角动量第三个分量算符的共同本征函数的归一化系数与量子数 和m 有关；当然，也有例外，如一维无限深势阱能量算符的本征函数 ?????<+>=a x a x a n A a x x n n )(2sin 0)(πψ
其归一化系数a A n 1=，所有线性无关的本征函数的归一化系数相同。 又如，轨道角动量第三个分量算符的本征函数??ψim m m e A =)(的归一化系数为π 21=m A ，也是所有线性无关的本征函数的归一化系数相同；再有，动量分量算符的所有线性无关的本征函数的归一化系数相同。 ● 力学量算符线性无关的本征函数并不全部正交 力学量算符是厄米算符，厄米算符具有属于不同本征值的本征函数正交的重要性质，而对于同一本征值的多个线性无关的本征函数（有简并情况）并不一定正交。此时，对属于同一本征值的多个线性无关的本征函数，可以把它们线性叠加为个数相同的线性无关且相互正交的本征函数。正交化方法很多，常用的方法是选择一组力学量，这组力学量算符间两两对易，它们的本征值能对简并的本征函数分类，此时，正交性问题自动得到解决。 ● 力学量算符本征函数的正交归一性是力学量几率描述假设的要求 几率描述假设要求力学量算符的本征函数正交 几率描述假设要求力学量算符的本征函数是归一化的