典型例题
轴对称与中心对称的关系
例1(05年河北省中考)等边三角形、正方形、菱形和等腰梯形这四个图形中,是中心对称图形的有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
分析:正方形和菱形都是中心对称图形,对称中心是对角线的交点,等边三角形是旋转对称图形,旋转角度是120°,240°,等腰梯形只是轴对称图形.
答案:B
例2如图23-2-1,画出△ABC关于点O成中心对称的图形.
分析:连接AO、BO、CO,并分别延长AO、BO、CO,到A′、B′、C′使OA′=AO,OB′=BO,OC′=OC;再连接A′B′、B′C′、A′C′.则△A′B′C,就是△ABC 关于点O成中心对称的图形.
答案:如图23-2-1,△A′B′C′即为所求作的图形.
例3如图23-2-2,点A的坐标为(3,3),将△ABC先向下平移4个单位得△A′B′C′,再将△A′B′C′绕点O逆时针旋转180°得△A″B″C″.请你画出△A′B′C′和△A″B″C″,并写出点A″的坐标.
分析:只需作出三角形三个顶点的对应点,将△A′B′C′绕点O逆时针旋转180°得△A″B″C″,即作△A″B″C″与△A′B′C′关于点O成中心对称,A点向下平移4个单位得A′,其坐标为(3,-1),A″与A′关于O点成中心对称,故A″的坐标为(-3,1).答案:如图23-2-2,△A′B′C′和△A″B″C″即为所求作的三角形,点A″的坐标为(-3,1).
例4(05年宁波市中考)已知:如图23-2-3,平行四边形ABCD.
(1)画出平行四边形A1B1C1D1、使平行四边形A1B1C1D1,与平行四边形ABCD关于直线MN对称;
(2)画平行四边形A2B2C2D2,使平行四边形A2B2C2D2与平行四边形ABCD关于点O中心对称.
(3)平行四边形A1B1C1D1与平行四边形A2B2C2D2是对称图形吗?若是,请在图上画出对称轴或对称中心.
分析:根据轴对称和中心对称的特征分别找出A、B、C、D四个点关于MN的对称点A1B1C1D1,关于O点的对称点A2B2C2D2.顺次连接起来即得平行四边形A1B1C1D1和平行四边形A2B2C2D2;判断平行四边形A1B1C1D1与平行四边形A2B2C2D2的对称关系,连接几对对应点,发现对应点的连线被直线EF垂直平分,故平行四边形A1B1C1D1与平行四边形A2B2C2D2是成轴对称的图形,对称轴是直线EF.
答案:如图23-2-3,
(1)平行四边形A1B1C1D1,即为所求的平行四边形.
(2)平行四边形A2B2C2D2即为所求的平行四边形.
(3)是轴对称图形,对称轴是直线EF.
拓展延伸当对称轴互相垂直时,两次轴对称得到的图形与原图形成中心对称.
跟踪巧练1如图23-2-4,∠DOE为直角,如果△ABC关于OD的对称图形是△A′B′C′,△A′B′C′关于OE的对称图形是△A″B″C″,则△ABC与△A″B″C″的关系是()
A.以∠DOE的平分线成轴对称
B.关于点O成中心对称
C.平移关系
D.不具备任何关系
跟踪巧练答案:
1.B 提示:当对称轴互相垂直时,两次轴对称后得到的图形与原图形成中心对称.
借助中心对称图形的性质将一些图形分成面积相等的两部分
例5有5个大小相同的圆放置成如图23-2-5所示的那样,若想用一条直线,把它们分割成面积相等的两部分,应如何画?
分析:圆O1、O2、O4、O5组合在一起成为一个中心对称图形,对称中心为O4O2、O1O5的交点M,圆O3是中心对称图形,对称中心是点O3,过点M和O3的直线既平分圆O1、O2、O4、O5,又平分圆O3,即直线MO3把这五个圆组成的图形面积平分,如图23-2-6,类似的还有四种画法.
答案:如图23-2-6,还有如图23-2-7中,(1)(2)(3)(4)四种画法.
跟踪巧练2一块如图23-2-8的钢板,请你用一条直线将其分割成面积相等的两部分.(用3种方法,保留痕迹)
2.解:如图23-2-12(1)(2)(3)三种画法.
乐学教育学员个性化教学辅导教案学科:数学任课教师:韩老师授课时间:年月日(星期 )
本次课授课内容 旋转对称 一.课前准备 1、如果一个图形绕着某一定点旋转一定的角度后能与自身,那么这个图形就叫做。 2、请说出数学中你熟悉的三个旋转对称图形(1)、(2)、 (3),并回答分别至少旋转多少度后能与自身重合。 3、旋转任意角度都能与自身重合的图形是。 例1、观察下列图形,其中不是旋转对称图形的有() (1) (2) (3) C (4) X 例2、如下图,它们绕哪一个点至少旋转多少度能与自身重合?(右图考虑颜色) 例3、如下图(1)、(2),请问: (l )它们是不是旋转对称图形? (2)若是,旋转中心在何处,需要旋转多少度后,能与自身重合? (3)它们是轴对称图形吗? (1)(2) 例4、如右图,画△ABC 和过点P 的两条直线PQ 、PR 。画出△ABC 关于PQ 对称的三角形△A ′B ′C , 再画出△A ′B ′C 关于PR 对称的三角形△A ′′B ′′C ′′。观察△ABC 和△A ′′B ′′C ′′,你能发现这两个 三角形有什么关系吗?
中心对称 1、中心对称的定义: 一个图形绕着某一点旋转后能与另一图形重合,那么,我们就说这两图形成中心对称图形。这个点就是它们的对称中心。 定义中的三个要点:(l)有一个对称中心——点;(2)图形绕中心旋转180度;(3)旋转后与另一图形重合。 2.中心对称的性质:中心对称的两个图形具有如下性质: (1)关于中心对称的两个图形; (2)关于中心对称的两个图形,对称点的连线都过,并且被平分. 3.中心对称图形 把一个图形绕某一点旋转后 ,如果旋转后的图形能够和原来的图形,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的. 中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。 4.中心对称与中心对称图形之间的关系: 区别: (1)中心对称是指两个图形的关系,中心对称图形是指具有某种性质的图形。 (2)成中心对称的两个图形的对称点分别在两个图形上,中心对称图形的对称点在一个图形上。 联系: 若把中心对称图形的两部分看成两个图形,则它们成中心对称;若把中心对称的两个图形看成一个整体,则成为中心对称图形。 当堂训练 知识点1:中心对称 1.如右所示的4组图形中,左边图形与右边图形成中心对称的有()A.1组 B.2组 C.3组 D.4组 知识点2:中心对称图形 2.下列图形中,不是中心对称图形的是()
9.2中心对称与中心对称图形 【教学目标】 1.了解中心对称图形及其基本性质; 2.在探索的过程中培养有条理地表达,及与人交流合作的能力; 3.经历观察、操作、发现、探究中心对称图形的有关概念和基本性质的过程,培养学生观察能 力和动手操作能力,感受对称、匀称、均衡的美感,积累一定的审美体验. 【教学重点】中心对称图形概念及其基本性质. 【教学难点】中心对称的性质、成中心对称的图形的画法. 【预习导航】 1.观察欣赏几幅图片 (1)几幅轴对称的图片; (2)几幅中心对称的图片. 2.观察两个实物图 问题1:他们的形状、大小是否相同? 问题2:如果将其中一个图形绕着某一点旋转1800,能与另一个重合吗? 3.概念探究: (1)概念:如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形重合,那么我们就说,这两个图形成中心对称,这个点叫做对称中心,两个图形中的对应点叫做对称点. (2)探索:操作1:用一张透明纸覆盖在图9-4上,描出四边形ABCD.用大头针钉在点O处,将四边形ABCD绕点O旋转180度. 问题1:四边形ABCD与四边形A'B'C'D'关于点O成中心对称吗? 问题2:在图9-4中,分别连接关于点O的对称点A和A'、B和B'、C和C'、D和D'.你发现了什么?操作2:中心对称与轴对称进行类比: 轴对称中心对称 有一条对称轴——直线有一个对称中心——点 图形沿对称轴对折(翻转180度)后重合图形绕对称中心旋转180度后重合
4.小结:成中心对称的2个图形,对称点的连线都经过 ,并且被 . 【课堂导学】 例:如图,D 是ΔABC 的边AC 上的一点,画ΔA 'B 'C ',使它与ΔABC 关于点D 成中心对称. 变式:其他条件不变,把点D 放到ΔABC 内部,你能画ΔA 'B 'C ',使它与ΔABC 关于点D 成中心对称吗? 【课堂检测】 1.已知A 点和O 点,画出点A 关于点O 的对称点A′. 2.已知线段AB 和O 点,画出线段AB 关于点O 的对称线段A’B’. 3.若两个图形关于某一点成中心对称,则下列说法:(1)这两个图形一定全等;(2)对称点的 连线一定经过对称中心;(3)将一个图形绕对称中心旋转某个定角必定与另一个图形重合; (4)一定存在某直线,沿该直线折叠后的两个图形互相重合 .其中,正确的是 (填序号). 4.如图, 2块同样的三角尺,它们是否关于某点成中心对称?若是,请确定它的对称中心. 第 2题 第1题 A
教学设计文案 课题:轴对称图形与轴对称 一、教学目标: 知识技能目标:①能够认识轴对称和轴对称图形,并能找出对称轴 ②知道轴对称与轴对称图形的区别与联系 过程方法目标:经历观察生活中的轴对称现象和轴对称图形,探索它们的共同特征的活动过程,发展空间观念。 情感态度目标:欣赏现实生活中的轴对称图形,体会轴对称在现实生活中的广泛应用和它的丰富的文化价值,培养学生审美情趣,增强鉴赏美的能力。 二、重点难点: 重点:轴对称与轴对称图形的概念及识别 难点:轴对称与轴对称图形的区别和联系 [学情分析]: 这节课的教学对象是初二年级的学生,他们对平面图形有了初步的认识,掌握了基本图形的特征。轴对称对他们来说虽是一个陌生的知识,但是也有了直观的认识,加上网络中各种各样的图形,有利于提高学生对轴对称与轴对称图的认识,增强对其性质的理解与运用。 [教学媒体设计阐述]: 1、学生在日常生活中,对于轴对称关注太少,不易发现其应用,因此需要利用网络上的丰富资源让学生充分感知现实生活中的各种轴对称图形。 2、由于学生的空间想象能力有限,让学生完成设计任务时为学生提供可操作的3D模型,让学生通过操作来感知轴对称图形,同时也可以作为一种验证手段。 3、在练习的设计上采用网上答题常见的形式,全面的考察学生对知识的掌握情况。 三、教学准备: 剪刀、纸张、剪好的一些几何图形、多媒体课件 教学过程: 课前预习学案 1、认识轴对称图形。从你学过的几何图形中找出几种写在下面。 2、生活中有哪些轴对称图形?试举出几例 课中实施学案:
一.创设情景(故事) 师:今天,老师要带同学们走进一个童话的世界。 (生点开蜻蜓与蝴蝶的网址,播放动画。同步,师讲故事。) 蜻蜓与蝴蝶 https://www.doczj.com/doc/c47915431.html,/content/10/0615/20/1254833_33280137.shtml 森林里有只可爱的小蜻蜓,一天它遇见了蝴蝶,对蝴蝶说:“你好,我们是一家人。”小蝴蝶就奇怪了。“我是蝴蝶,你是蜻蜓,怎么会是一家人了呢?”小蜻蜓笑了笑说:“在森林里还有很多东西和我们是一家人呢?” 这不,你瞧,小晴蜓找来了什么? (出现:飘落的枫叶,爬出的七星瓢虫) 枫叶:https://www.doczj.com/doc/c47915431.html,/mk/fzl8024.html 七星瓢虫:https://www.doczj.com/doc/c47915431.html,/wall/desktop/105.html 二、主动学习.讨论交流 (一)探究1(轴对称图形) 1、师:你知道小蜻蜓怎么想的吗?把你们各自的想法互相说说看。 师:那么,今天就让我们一起走进――生活中的轴对称(板书课题) 师:生活中有许多轴对称图形,大家虽然举出了不少事例,但是还有许多我们没有说到或者无法说出的轴对称图形,现在就让我们借助网络,还认识大千世界中形形色色的轴对称图形吧! 在幻灯片上,有一些和视图相关的网络资源,同学们可以登录感兴趣的网站,了解更多的视图知识。 2、学生登录相关网站 师:请大家到百度中,打上“美丽的轴对称图形”,搜搜看看,现实世界中的轴对称图形是多么的美丽。 百度:https://www.doczj.com/doc/c47915431.html,/ 活动:(学生自由寻找,选取一个自己认为最漂亮的通过“飞秋”发给老师进行多媒体展示) 活动:教师也在幻灯片上准备一组轴对称的图片,通过电脑展示给学生) 3、让学生思考、讨论:(1)、通过上面的搜索与观察你有什么收获? (2)、你能举出生活中的类似现象吗? 4、剪纸活动 出示剪的飞鸟图案 问题:谁能说出老师是如何剪出这幅图案?同学们也试一试,看谁剪出的图案最美。 5、学生观察这些图案,小组讨论,他们有何共同点。 结论:对折后两部分完全重合,也就是说这两部分是对称的。
中心对称与中心对称图形 习题精选(一) 1.判断题 (1)两个全等三角形构成的图形是中心对称图形。 ( ) (2)具有对称中心的四边形必是平行四边形。( ) (3)轴对称与中心对称不同,所以轴对称图形一定不是中心对称图形。( ) (4)三角形一定不是中心对称图形。( ) (5)对称中心是所有对称点连线的中点。 ( ) (6)平行四边形是中心对称图形。 ( ) 2.如图将ABCD 绕O 点旋转180°后,A 点旋转到_______点,B 点旋转到________点,旋转后的平行四边形与原位置的平行四边形互相_________。 3.中心甘情愿对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被__________平分。 4.在下列图形:线段、射线、直线、角、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的有 __________________________________。 5.若四边形ABCD 和四边形A B C D ''''关于点O 成中心对称,已知A 80∠=?,AB=7cm ,CO=9cm ,那么A '∠=________,A B ''=__________,C O '=_________。 6.下列英文大写字母中,是中心对称图形的是 ( ) A.B
B.H C.M D.Y 7.已知四边形ABCD的对角线相交于点O,且OA=OB=OC=OD,那么这个四边形是 ( ) A.仅是轴对称图形 B.仅是中心对称图形 C.是轴对称图形但不是中心对称图形 D.既是轴对称图形又是中心对称图形 8.下面扑克牌中,是中心对称图形的是 ( ) 9.下列图形中,是中心对称图形的为 ( ) A.①②③ B.①③④ C.②③④ D.①②④ 10.下列说法中,错误的是 ( ) A.一条线段是中心对称图形 B.两个全等三角形一定关于某点成中心对称
初中数学:《轴对称和中心对称》练习 一、扫描与聚集 1.我国的文字非常讲究对称美,下列四个图案,有别于其余三个图案是()A.B. C.D. 2.下列图形不一定是轴对称图形的是() A.直角三角形B.正方形C.半圆D.等腰三角形 3.观察图中的汽车商标,其中是轴对称图形的个数为() A.2 B.3 C.4 D.5 4.等腰三角形两边的长分别为2cm和5cm,则这个三角形的周长是()A.9cm B.12cm C.9cm或12cm D.在9cm或12cm之间 5.在等边三角形ABC中,CD是∠ACB的平分线,过D作DE∥BC交AC于E,若△ABC 的边长为a,则△ADE的周长为() A.2a B.C.1.5a D.a 6.下列说法中,不正确的是() A.等腰三角形底边上的中线就是它的顶角平分线 B.等腰三角形底边上的高就是底边的垂直平分线的一部分 C.一条线段是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形 D.两个三角形能够重合,它们一定是轴对称的 7.在等腰△ABC中,AB=AC,BE、CD分别是底角的平分线,DE∥BC,图中等腰三角形有()
A.3个B.4个C.5个D.6个 8.如图,AB=AC,∠A=36°,∠1=∠2,∠ADE=∠EDB,则图中等腰三角形有() A.3 B.4 C.5 D.6 9.等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于() A.顶角B.顶角的一半C.底角的一半D.底角的2倍 10.已知:在△ABC中,AB=AC,O为不同于A的一点,且OB=OC,则直线AO与底边BC的关系为() A.平行B.AO垂直且平分BC C.斜交D.AO垂直但不平分BC 二、思考与表达 11.如图,是从镜中看到的一串数字,这串数字应为. 12.如图所示,在△ABC中,DE是AC的中垂线,AE=3cm,△ABD的周长为13cm,则△ABC的周长是cm. 13.等腰三角形底边长为4cm,则腰长x的取值范围是. 14.五角星有条对称轴.
图形对称轴对称面对称中心对称
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图形轴对称与轴对称图形、中心对称,镜面对称 【知识要点】 一、轴对称图形与图形轴对称 1.轴对称图形定义:如果一个图形沿某一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,?这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴. 注意:有的轴对称图形的对称轴不止一条,如圆就有无数条对称轴. 2.图形轴对称:有一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,?那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫做对称点.两个图形关于直线对称也叫做轴对称. 3. 轴对称图形的性质:如果两个图形成轴对称,?那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线;轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线 4.轴对称与轴对称图形的区别:轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系,?成轴对称的两个图形是全等形;轴对称图形是一个具有特殊形状的图形,把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形,这两个图形是全等形,并且成轴对称. 二、轴对称变换 1.定义:由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换.? 成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着由另一个图形经过轴对称变换后得到 2.轴对称变换的性质:(1)经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样 (2)?经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称点. (3)连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分 3.作一个图形关于某条直线的轴对称图形:(1)作出一些关键点或特殊点的对称点. (2)按原图形的连接方式连接所得到的对称点,即得到原图形的轴对称图形. 三、坐标系相关 1.点P(x,y)关于x轴对称的点的坐标是(x,-y) 2.点P(x,y)关于y轴对称的点的坐标是(-x,y) 3.点P(x,y)关于原点对称的点的坐标是(-x,-y) 4.点P(x,y)关于直线x=m对称的点的坐标是(2m-x,y); 5.点P(x,y)关于直线y=n对称的点的坐标是(x,2n-y); 四、镜面对称 1.镜面对称是关于关于面的对称 2..镜面对称的两个图形全等,并且两个图形到镜面的距离相等 五、中心对称 1.中心对称图形定义:一个图形绕着某点旋转180°后能与自身重合,这种图形叫做中心对称图形,该点叫做对称中心 2.中心对称:一个图形绕着某点旋转180°后能与另一个图形重合,这那么这两个图形成中心对称 3.性质:①成中心对称的两个图形全等 ②对应点的连线经过对称中心且被对称中心平分
轴对称与中心对称 一、知识回顾 (一)、轴对称与轴对称图形: 1.轴对称:把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称,两个图形中的对应点叫做对称点,对应线段叫做对称线段。 2.轴对称图形:如果一个图形沿着一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴。 注意:对称轴是直线而不是线段 3.轴对称的性质: (1)关于某条直线对称的两个图形是全等形; (2)如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线; (3)两个图形关于某条直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上; (4)如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称。 (二)、中心对称与中心对称图形: 1.中心对称:把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果它能够和另外一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做对称中心,这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。 2.中心对称图形:在平面内,一个图形绕某个点旋转180°,如果旋转前后的图形互相重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点叫做它的对称中心。 3.中心对称的性质: (1)关于中心对称的两个图形是全等形; (2)在成中心对称的两个图形中,连接对称点的线段都经过对称中心,并且被对称中心平分;(3)成中心对称的两个图形,对应线段平行(或在同一直线上)且相等。 (四)、几种常见的轴对称图形和中心对称图形: 轴对称图形:线段、角、等腰三角形、等边三角形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形、圆对称轴的条数:角有一条对称轴,即该角的角平分线;等腰三角形有一条对称轴,是底边的垂直平分线;等边三角形有三条对称轴,分别是三边上的垂直平分线;菱形有两条对称轴,
轴对称图形、中心对称图形的基本概念 轴对称图形的定义 如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能完全重合,这个图形就是轴对称图形。 轴对称图形的性质 1)如果沿某条直线对折,对折的两部分是完全重合的,那么就称这样的图形为轴对称图形,这条直线叫做这个图形的对称轴。(对于一个图形来说) (2)把一格图形沿着某一条直线翻折过去,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形成轴对称。这条直线就是对称轴。两个图形中的对应点(即两个图形重合时互相重合的点)叫做对称点。(对于两个图形来说) (3)轴对称图形(或关于某条直线对称的两个图形)的对应线段相等,对应角相等。 中心对称的定义: 把一个图形绕着某一点旋转180°,如果它能与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称(central symmetry),这个点叫做对称中心,这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。 中心对称的性质: ①于中心对称的两个图形是全等形。 ②关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分。 ③关于中心对称的两个图形,对应线段平行(或者在同一直线上)且相等。 识别一个图形是否是中心对称图形就是看是否存在一点,使图形绕着这个点旋转180°后能与原图形重合。中心对称是指两个图形绕某一个点旋转180°后,能够完全重合,这两个图形关于该点对称,该点称为对称中心.二者相辅相成,两图形成中心对称,必有对称中点,而点只有能使两个图形旋转180°后完全重合才称为对称中点。 既是轴对称图形又是中心对称图形的有:直线,线段,两条相交直线,矩形,菱形,正方形,圆等. 只是中心对称图形的有:平行四边形等. 既不是轴对称图形又不是中心对称图形有:不等边三角形,非等腰梯形等.
轴对称与轴对称图形概念 (1)轴对称:如果把一个图形沿着一条直线对折后,与另一个图形重合,那么这两个图形成轴对称,两个图形中相互重合的点叫做对称点,这条直线叫做对称轴。 (2)轴对称图形:如果把一个图形沿某条直线对折,对折后图形的一部分与另一部分完全重合,我们把具有这样性质的图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴。 轴对称的性质 ①轴对称的两个图形是全等图形;轴对称图形的两个部分也是全等图形。 ②轴对称(轴对称图形)对应线段相等,对应角相等。 ③如果两个图形成轴对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 ④轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 ⑤两个图形关于某条直线对称,那么如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点一定在在对称轴上。 图形的平移定义 (1)平移的定义:在平面内,将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置,图形的这种移动,叫做平移变换,简称平移,平移前后互相重合的点叫做对应点。 (2)平移的性质: ①对应点的连线平行(或共线)且相等 ②对应线段平行(或共线)且相等,平移前后的两条对应线段的四个端点所围成的四边形为平行四边形(四个端点共线除外) ③对应角相等,对应角两边分别平行,且方向一致。 (3)用坐标表示平移:如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a,纵坐标不变,相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长;如果把一个图形各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a,横坐标不变,相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长。 (4)平移的条件:图形的原来位置、方向、距离 (5)平移作图的步骤和方法:将原图形的各个特征点按规定的方向平移,得到相应的对称点,再将各对称点进行相应连接,即得到平移后的图形,方法有如下三种:平行线
1 / 1 平移、旋转、轴对称、中心对称中考题 (2010哈尔滨)1.下列图形中,是中心对称图形的是(). (2010哈尔滨)2.点A(-l,4)和点B(-5,1)在平面直角坐标系中的位置 如图所示. (1)将点A、B分别向右平移5个单位,得到点A1、B1,请画出四边形 AA1B1B; (2)画一条直线,将四边形AA1B1B分成两个全等的图形,并且每个图形都 是轴对称图形. (2010珠海)3.在平面直角坐标系中,将点P(-2,3)沿x轴方向向右平移3个 单位得到点Q,则点Q的坐标是() (2010珠海)4.现有如图1所示的四张牌,若只将其中一张牌旋转180后得到图 2,则旋转的牌是() 图1 图2 A. B C D (2010年镇江市)5.动手操作(本小题满分6分) 在如图所示的方格纸中,△ABC的顶点都在小正方形的顶点上,以小正方形互 相垂直的两边所在直线建立直角坐标系. (1)作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1,其中A,B,C分别和A1,B1,C1 对应; (2)平移△ABC,使得A点在x轴上,B点在y轴上,平移后的三角形记为△ A2B2C2,作出平移后的△A2B2C2,其中A,B,C分别和A2,B2,C2对 应; (3)填空:在(2)中,设原△ABC的外心为M,△A2B2C2的外心为M,则M 与M2之间的距离为 . (2010遵义市)6 下列图形中既是中心对称图形,又是轴对称图形的是 (玉溪市2010)7. 如图3是把一张长方形的纸沿长边中点的连线对折两次后得到的 图形.再沿虚线裁剪,外面部分展开后的图形是 图3
1 / 1 B . A . C . D . A B C D O ( (玉溪市2010)8. 如图5是汽车牌照在水中的倒影,则该车牌照上的数字是 . (2010年兰州)9观察下列银行标志,从图案看既是轴对称图形又是中心对称图形的有 A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 (2010年无锡)10 下列图形中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是 ( ▲ ) (2010年连云港)11.下列四个多边形:①等边三角形;②正方形;③正五边形; ④正六边形.其中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A .①② B .②③ C .②④ D .①④ (2010年连云港)12.(本题满分10分)如图,正方形网格中的每一个小正方形的边长都是1,四边形ABCD 的四个顶点都在格点上,O 为AD 边的中点,若把四边形ABCD 绕着点O 顺时针旋转,试解决下列问题: (1)画出四边形ABCD 旋转后的图形; (2)求点C 旋转过程事所经过的路径长; (3)设点B 旋转后的对应点为B ’,求tan ∠DAB ’的值. (2010宁波市)13.下列各图是选择自历届世博会会徽中的图案,其中是中心对称图形的是 2.(2010年怀化市)14下列图形中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是( ) 15. (2010年济宁市)如图,PQR ?是ABC ?经过某种 变换后得到的图形.如果ABC ?中任意一点M 的坐标为(a ,b ),那么它的对应点N 的坐标为 . 16. (2010年郴州市)ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示,将ABC 沿y 轴翻折得到111A B C ,再将 111A B C 绕点O 旋转180得到222A B C . 请依次画出111A B C 和222A B C . A . B . C . y x C B A O 第19题 (第13题) 图5
数学精品复习资料 中考全国100份试卷分类汇编 中心对称图形、轴对称图形 1、(2013年潍坊市)下面的图形是天气预报中的图标,其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(). A. B. C. D. 答案:A. 考点:轴对称图形与中心对称图形的特征。 点评:此题主要考查了轴对称图形与中心对称图形的概念,二者既有联系又有区别。... 3、(2013杭州)下列“表情图”中,属于轴对称图形的是() A.B.C.D. 考点:轴对称图形. 分析:根据轴对称的定义,结合各选项进行判断即可. 解答:解:A.不是轴对称图形,故本选项错误; B.不是轴对称图形,故本选项错误; C.不是轴对称图形,故本选项错误; D.是轴对称图形,故本选项正确; 故选D. 点评:本题考查了轴对称图形的知识,判断轴对称的关键寻找对称轴,属于基础题.
4、(2013四川南充,7,3分)有五张卡片(形状、大小、质地都相同),上面分别画有下 列图形:①线段;②正三角形;③平行四边形;④等腰梯形;⑤圆。将卡片背面朝上洗 匀,从中抽取一张,正面图形一定满足既是轴对称图形,又是中心对称图形的概率是 ( ) A. 51 B. 52 C. 53 D. 5 4 答案:B 解析:既是轴对称图形,又是中心对称图形的有线段、圆,共2张,所以,所求概率为:5 2 5、(2013达州)下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( ) 答案:D 解析:A 、C 只是轴对称图形,不是中心对称图形;B 是中心对称图形,不是轴对称轴图形,只有D 符合。 6、(2013凉山州)下列图案中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A . B . C . D . 考点:中心对称图形;轴对称图形. 分析:根据轴对称图形与中心对称图形的概念,结合选项所给图形进行判断即可. 解答:解:A .是轴对称图形,不是中心对称图形,不符合题意; B .是轴对称图形,也是中心对称图形,符合题意; C .是中心对称图形,不是轴对称图形,不符合题意; D .不是轴对称图形,是中心对称图形,不符合题意. 故选B . 点评:本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念,轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后两部分重合. 7、(2013?宁波)下列电视台的台标,是中心对称图形的是( )
生活中的轴对称与中心对称图形 贵州省麻江县宣威中学:张绍银 [知识点]轴对称图形; 中心对称图形 [数学情境] 数学在我们的生活中无处不在,在平时的生活当中你见过学习过哪些图形呢?当你看到下面的图形时,你有什么感觉?你一定会惊讶数学的伟大,数学的美妙。 图一 图二
[提出问题] 1.图一和图二是轴对称图形吗?如果是,有几条对称? 2.图一和图二是中心对称图形吗?如果是,它的对称中心在哪里? 3.你能在图一和图二中找出与已学相关的知识点,并说出它们的具体应用吗? [解决问题] 1.图一和图二都是轴对称图形,图一有一条对称轴,图二有两条对称轴。 2.图一不是中心对称图形,图二是中心对称图形,它的对称中心在中间那个正方形的对角 线的交点处。 3.在图一中我们可以发现等腰三角形,平行线,圆的内接正方形,圆的切线,两个圆相切 等等。在图二中我们可以发现等腰直角三角形,平行线,正方形,等腰梯形,数轴,角平分线,垂直平分线等等。 举例:圆的内接正方形的应用。 如图,ABCD是一个圆的内接正方形,①请说明为什么点O为圆的圆心?②图中有几个全等的三角形,你是如何找全的?根据解答你可提出什么问题?③∠BEC为多少度? 解:①∵ABCD是一个圆的内接正方形 ∴∠ABC=90度 ∴AC是圆的直径(直角所对的弦是直径) 同理,BD也是圆的直径 ∴O是圆的圆心。(两条直径可决定圆心,即交点) ②图中共有6对全等的三角形。问题:当有n个相同的三角形时,共有几对全等的三角形?(根据排列组合可得结论) ③∠BEC=45度(同弧所对的圆周角等于圆心角的一半) [教学建议] 在本案例中,要让学生学会观察,分析生活中的数学问题,通过实地考察,了解数学在生活的广泛应用,提高学生学习数学的兴趣,增强学生学习数学信心。
九年级教学教案(人教版) 轴对称与中心对称 ?课前热身 2. 如图,P 是正△ ABC 内的一点,若将△ PBC 绕点B 旋转到△ B . 60 3. 如图,镜子中号码的实际号码是 4. 请写出一个是轴对称图形的图形名称?答: 【参考答案】 1. 2. ?考点聚焦 1. 理解轴对称和轴对称图形的联系与区别, ?会判 断一个图形是否是轴对称图形或中心 对称图形. 2 ?掌握轴对称的基本特征,并能用这些特征解决简单的问题(如折叠) 3 ?能用轴对称和中心对称的性质设计图案. ?备考兵法 1.下列四个图形中,不是 轴对称图形的是( A wJJgJWaBE *' c 3. 3265 4. 圆、矩形等 P BA 则/ PBP 的度数是() A . 45
1. 本节试题多以日常生活中的工艺品、商标图案、宣传画、字母、数字为材料,判断 是否是轴对称图形或中心对称图形,所以应熟练掌握基本图形的轴对称性,结合实际图形 进行辨认. 2 .在解轴对称和折叠类问题时,应知道折叠问题要用轴对称解决,?折痕就是两个重叠部分的对称轴,往往需要设未知数,利用勾股定理建立方程(组)解决. 3 .平面上的最短距离问题,往往要作出对称点, ?利用“两点之间线段最短”解决. ?考点链接 1.如果一个图形沿一条直线对折,对折后的两部分能,那么这个图形就 ,这条直线就是它的 2. 如果一个图形沿一条直线折叠,如果它能与另一个图形,那么这两个图形 ,这条直线就是,折叠后重合的对应点就 3.如果两个图形关于对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段 4.把一个图形绕着某一个点旋转,如果旋转后的图形能够与原来的图 ,那么这个图形叫做图形,这个点就是它的 5.把一个图形绕着某一个点旋转,如果它能够与另一个图形,那么就说 这两个图形关于这个点,这个点叫做.这两个图形中的对应点叫做 关于中心的 6.关于中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过,而且被对称中心 ?关于中心对称的两个图形是图形. 7.两个点关于原点对称时,它们的坐标符号,即点P(xy)关于原点的对称点p1 ?典例精析 例1 (内蒙古包头)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的有( 口矣冈帶 A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B
什么是中心对称图形 中心对称:在平面内,把一个图形绕着某个点旋转 180° ,如果旋转后的图形与另一个 图形重合,那么就说明这两个图形的形状 关于这个点成中心对称 (Central of symmetry graph),这个点叫做它的 对称中心(Center of symmetry ),旋转180°后重合的两个点叫做 对 称点 (corresponding points )。 理解中心对称的定义要抓住以下三个要素: (1 )有一个对称中心 一一点; (2 )图形绕中心旋转 180° ; (3)旋转后两图形重合. 中心对称的性质: 连接中心对称图形上每一对对称点的线段都经过对称中心,且被对称中心平分 中心对称图形:在平面内,把一个图形绕着某个点旋转 180。,如果旋转后的图形能与原 来的图形重合,那么这个图形叫做 中心对称图形,这个点叫做它的 对称中心.旋转180°后 重合的两个点叫做对应点 (corresp onding poi nts)。 ① 对称中心平分中心对称图形内通过该点的任意线段且使中心对称图形的面积被平分 (对称点在中心对称图形中)。 ② 成中心对称的两个图形全等。 ③ 中心对称图形上每一对对称点所连成的线段都被对称中心平分。 区分:中心对称是两个图形间的位置关系,而中心对称图形是一种具有独特特征的图 形。 中心对称图形
常见图形 常见的中心对称图形有:线段,矩形,菱形,正方形,平行四边形,圆,边数为偶数的 正多边形,某些不规则图形等。 正偶边形是中心对称图形 正奇数边形不是中心对称图形 ※正六角形是中心对称图形,等腰梯形不是中心对称图形,等边三角形(正三角形), 至少需旋转120度,而不是180度,所以它不是中心对称图形。反比例函数的图像双曲线 是以原点为对称中心的中心对称图形 什么是轴对称图形 如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合,这样的图形叫做轴对称图形(axial symmetric figure),这条直线叫做对称轴(axis of symetric);这时,我们也说这个图形关于这条直线对称。 例如等腰三角形、正方形、等边三角形、等腰梯形和圆和正多边形都是轴对称图形?有 的轴对称图形有不止一条对称轴,但轴对称图形最少有一条对称轴?圆有无数条对称轴,都 是经过圆心的直线。 要特别注意线段,有两条对称轴,一条是这条线段所在的直线,另一条是这条线段的中垂线?轴对称图形2示例
初二数学轴对称与中心对称的知识点 初二数学轴对称与中心对称的知识点 一、轴对称与轴对称图形: 2.轴对称图形:如果一个图形沿着一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴。 注意:对称轴是直线而不是线段 3.轴对称的性质: (1)关于某条直线对称的两个图形是全等形; (2)如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线; (3)两个图形关于某条直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上; (4)如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称。 4.线段垂直平分线: (1)定义:垂直平分一条线段的直线是这条线的垂直平分线。 (2)性质:①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等; ②到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。 注意:根据线段垂直平分线的这一特性可以推出:三角形三边的垂直平分线交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等。
5.角的平分线: (1)定义:把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线. (2)性质:①在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等. ②到一个角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上. 注意:根据角平分线的性质,三角形的三个内角的平分线交于一点,并且这一点到三条边的距离相等. 6.等腰三角形的性质与判定: 性质: (1)对称性:等腰三角形是轴对称图形,等腰三角形底边上的.中线所在的直线是它的对称轴,或底边上的高所在的直线是它的对称轴,或顶角的平分线所在的直线是它的对称轴; (2)三线合一:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合; (3)等边对等角:等腰三角形的两个底角相等。 说明:等腰三角形的性质除三线合一外,三角形中的主要线段之间也存在着特殊的性质,如:①等腰三角形两底角的平分线相等;②等腰三角形两腰上的中线相等; ③等腰三角形两腰上的高相等;④等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等。 判定定理:如果一个三角形的两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简称:等角对等边)。 7.等边三角形的性质与判定: 性质:(1)等边三角形的三个角都相等,并且每个角都等于60 (2)等边三角形具有等腰三角形的所有性质,并且在每条边上都有三线合一。因此等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴,而等腰三角形(非等边三角形)只有一条对称轴。
第一讲轴对称与中心对称图形 平移与旋转 知识点一:平移变换的概念 由一个图形改变为另一个图形,在改变的过程中,原图形上所有的点都沿方向运动,且运动的距离,这样的图形改变叫做图形的平移变换,简称平移. 例1、如图所示,A,B,C,D四个图形中可以由图形E平移得到的是图形( ) 同步测试: 1.如图2中的两个福娃贝贝,其中左边的福娃贝贝可 以看作是右边的福娃贝贝经过得到的. 2.学校对学生寝室进行了整顿,并举行了文明寝室评比, 结果七年级(1)班被评为文明寝室.你看她们的牙刷、牙杯放 得多整齐,你能说说她们用了数学知识中的. 知识点二:平移变换的性质 平移变换不改变图形的、和.连结对应点的线段平行(或在同一条直线上)而且. 例2、网格中有一个小甲虫(),它喜欢吃牛粪,它又会把吃剩的牛粪滚成牛粪球()藏进仓库().规定向左为L,向右为R,向上为U,向下D,如:L1表示向左平移一格,D2表示向下平移2格.例如:要把左图中的所有的牛粪球推到最近的仓库里,可以编写程序:L1-R1-U2-D3-R2-U1,小甲虫就能把所有的牛粪球推到最近的仓库.你来试一试,可编写一个怎样的程序才能使小甲虫把右边图上的所有牛粪球推到最近的仓库里.(只需写出一种可行的程序即可) 知识点三:旋转变换的概念 由一个图形改变为另一个图形,在改变的过程中,原图形上的所有点都绕一个的点,按同一个,转动同一个角度,这样的图形改变叫做图形的旋转变换,简称旋转,这个固定的点叫做中心. 例3、关于旋转变换下列说法正确的有( ) ①旋转变换不改变图形的形状;②旋转变换不改变图形的大小;③旋转变换不改变图形的位置;④旋转变换的旋转角度相等,旋转的结果就一样.
10.4 第2课时中心对称与轴对称 一、选择题 1.下列说法不正确的是( ) A.长方形既是轴对称图形,又是中心对称图形 B.线段既是轴对称图形,又是中心对称图形 C.正五角星是旋转对称图形 D.角既是轴对称图形,又是旋转对称图形 2.2018·南充下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A.扇形 B.正五边形 C.正方形 D.平行四边形 3.顺次连结正六边形的三个不相邻的顶点,得到如图1所示的图形,该图( ) 图1 A.既是轴对称图形又是中心对称图形 B.是轴对称图形但不是中心对称图形 C.是中心对称图形但不是轴对称图形 D.既不是轴对称图形也不是中心对称图形 4.在线段、平行四边形、长方形、等腰三角形、圆这几个图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5 5.直线l1⊥l2于点O,线段AB与A1B1关于l1成轴对称,线段AB与A2B2关于l2成轴对称,则下列说法中正确的有( ) ①连结AA1,则AA1被l1平分;②若AB与A2B2(或其延长线)相交,则交点在l2上;③连结A1A2,则A1A2一定过点O;④A1B1与A2B2关于点O成中心对称. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.学校计划修建一座既是中心对称图形又是轴对称图形的花坛,从学生中征集设计方案,有等边三角形、正方形、平行四边形、正五边形四种图案.你认为符合条件的是( ) A.等边三角形 B.正方形 C.平行四边形 D.正五边形 7.下面是一位美术爱好者利用网格图设计的几个英文字母的图形,你认为其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
图2 8.如图3,两个“心”形有一个公共点O,且点C,O,E在同一条直线上,OC=OE=OD,下列说法中,错误的有 ( ) 图3 ①这两个“心”形关于点O成中心对称;②点C,E是以点O为对称中心的一对对称点; ③这两个“心”形成轴对称,对称轴是过点O且与直线AB垂直的直线和直线AB;④若把这两个“心”形看作一个整体,则它又是一个中心对称图形. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 9.如图4,8×8的方格纸中的两条直线EF,MN相 图4 交于点O,对图形a分别作下列变换:①先以直线MN为对称轴作轴对称变换,再向上平移4格;②先以点O为中心旋转180°,再向右平移1格;③先以直线EF为对称轴作轴对称变换,再向右平移4格.其中能将图形a变换成图形b的是( ) A.①② B.①③ C.②③ D.③ 图5 10.如图5,在4×4的正方形网格中,每个小正方形的顶点称为格点,左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形(简称格点正方形).若再作一个格点正方形,并涂上阴影,使这两个格点正方形无重叠,且组成的图形既是轴对称图形,又是中心对称图形,则这个格点正方形的作法共有( ) A.2种 B.3种 C.4种 D.5种 二、填空题 11.线段是轴对称图形,它的对称轴是__________________________;它又是中心对称
中心对称与中心对称图形教材解析 主备人: 李芳审核: 徐红石时间:2009年10月27日 【教学目标】 比照轴对称与轴对称图形的关系,认识中心对称图形,知道中心对称图形的性质 【教学重点】中心对称图形的定义及其性质 【教学难点】1.中心对称图形与轴对称图形的区别; 2.利用中心对称图形的有关概念和基本性质解决问题。 【教学过程】 【自学质疑】 1.把一个平面图形绕一点旋转180°,如果旋转后的图形与原的图形互相重合,那么这个图形叫做____________,这个点就是它的__________。 2.中心对称图形的识别:(1)各组顶点都关于同一点对称;(2)对应点的连线经过同一点,且被该点________。 【问题探究】 1.欣赏图片: 问题:这些图形有什么共同的特征? 2.共同回顾轴对称图形,某图形沿某条轴对折能重合,那么有没有什么图形绕 着某点旋转也能重合呢? 有没有什么图形绕着某点旋转180能够重合呢? 【新知探究】 1. (引出概念)中心对称图形: 平面内,如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与自身重合,那么这个图形叫做中心对称图形。这个点就是它的对称中心。 练一练下面哪个图形是中心对称图形?
你能列举生活中的中心对称图形的例子吗? 2.探究中心对称图形的的性质: 在轴对称中,如等腰梯形ABCD 中,OP 为对称轴,则点A 与点D 是一对对应点,那么A 、D 两点连线与对称轴的关系为:被对称轴垂直且平分 下图是一幅中心对称图形,请你找出点A 绕点O 旋180O 后的对应点B,点C 的 对应点D 呢?你是怎么找的? 现在你能很快地找到点E 的对应点F 吗? 从上面的操作过程,你能发现中心对称图形上的一对对应点与对称中心的关系吗? 即:中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。 ⒊ 【例1:如图:AC=BD ,∠A=∠B ,点E 、F 在AB 上,且DE ∥CF ,试说明图形是中心对称图形的理由。 (分析:要说明图形是中心对称图形,只要说明点A 、B ,点C 、D ,点E 、F 都关于同一点对称。本例题注重引导学生根据中心对称图形的定义,用说理的方法确认一个图形是中心对称图形,并指出它的对称中心。) 例2:如图、PQ ⊥MN ,交点为O ,作出点A 关于直线MN 对称点B ,点 A 关于直 线PQ 对称点C ,试说明点B 与点C 关于点O 成中心对称 A O B C D E F B N M Q P A . O