高等数学（上）第一章练习题
一．填空题
1． 1
2sin lim sin _________.x x x x
x →∞
?
?
+= ??
?
2． lim 9x
x x a x a →∞+??
= ?-??
， 则__________.a = 3． 若21lim
51x x ax b
x
→++=-，则___________,___________.a b == 4． 02
lim
__________.2x x x e e x
-→+-= 5． 1(12)0()ln(1)0x x x f x x k x ?-<=?++≥?
在0x =连续，则k =
6． 已知当0x →时，()
12
3
11ax
+-与cos 1x -是等价无穷小，则常数
________.a =
7． 设21
()cos 1
x k x f x x x π?+≥=?
8．设2
0()sin 0
a bx x f x bx
x x
?+≤?=?>?? 在0x =处间断,则常数a 和b 应满足关系
____________.
9．()
1
lim 123n
n n
n →∞
++=
10．
lim x →+∞?=?
11．lim x ax b →+∞
?-=?
0 ，则a = b =
12．已知111()23x
x
e f x e +=+ ，则0x =是第 类间断点
二．单项选择题
13． 当0x →时, 变量
211
sin
x x
是____________. A. 无穷小量 B. 无穷大量
C. 有界变量但不是无穷小,
D. 无界变量但不是无穷大.
14．. 如果0
lim ()x x
f x →存在，则0()f x ____________.
A. 不一定存在,
B. 无定义,
C. 有定义,
D. 0=.
15． 如果0
lim ()x x f x -
→和0
lim ()x x f x +
→存在, 则_____________.
A. 0
lim ()x x f x →存在且0
lim ()x x f x →0()f x =, B. 0
lim ()x x
f x →不一定存在,
C. 0
lim ()x x f x →存在但不一定有0
lim ()x x f x →0()f x =, D. 0
lim ()x x
f x →一定不存在.
16．当0x →时,下列四个无穷小量中,哪一个是比其它三个更高阶的无穷小量._________.
A. 2x ,
B. 1cos x -
, C. 1, D.
tan sin x x -.
17．如果1ln 11()0010x x
x x f x x e x ?>?-?
=≤≤???
, 则()f x 是____________.
A. 在(,)-∞+∞内连续
B. 在0x =处连续在1x =处间断
C. 在0x =处间断在1x =处连续
D. 在0x =、1x =处都间断。
18．函数1
10()1
x
e x
f x x x ?
?+>=?
?+≤?在0x =处间断是因为__________.
A. ()f x 在0x =处无定义
B. 00lim ()lim ()x x f x f x -
+
→→和都不
存在
C. 0lim ()x f x →不存在
D. 0
lim ()(0)x f x f →≠.
19． 函数323
()23x f x x x x
-=
--的间断点为__________.
A. 0,1x x ==
B. 0,1,3x x x ==-=,
C. 1,3x x =-=
D. 0, 3.x x ==
20．方程410x x --=至少有一个根的区间是___________.
A. ()12
0,
, B. ()12,1, C. ()2,3, D.
()1,2
21．设1
sin 0
()3(1)0
x x f x x
a x x ?
3
, D. 3
三．证明题
22．证明22212
1
lim(
)12
2
n n n n n n →∞
+++
=
+++
23．已知12x =，111
[]2
n n n
x x x +=+
，1,2,n =，
求证lim n n x →∞
存在，并求其极限
24．已知()f x 在(,)a b 内连续，且a c d b <<<，0p >，0q >，证明在(,)
a b 内至少有一点ξ，使得()()()()p f c q f d p q f ξ+=+
参考答案与提示
（1） 1 （2） ln 3 （3）-7 ，
6 （4）0 （5） 2e -
（6）3
2
- （7）2-
（8）a b ≠ （9）3 （10）0
（11）1，1
2
- （12）一 （13） D （14） A （15）B
（16）D （17）B （18）C （19）B （20）D
（21）C 证明题提示：
（22）极限存在准则Ⅰ （23）极限存在准则Ⅱ lim 1n n x →∞
= （24）()
f x 在[,]c d
上用最值定理与介值定理
第一章函数与极限阶段测验卷 学号 班级 成绩 考试说明：1、请将客观题答案全部填涂在答题卡上，写在试卷上一律无效。 2、请在答题卡上填涂好、班级、课程、考试日期、试卷类型和考号。试卷类型 划A;考号为学号的后九个数，请填涂在“考号”的九个空格并划线。 3、答题卡填涂不符合规者，一切后果自负。 一．是非判断题(本大题共10题，每题2分，共20分) 1. x y 2cos 1-=与x y sin =是相同的函数. ( ) A 、正确 B 、错误 2. 函数ln(1)y x x =-+在区间(,1)-∞-单调递增.（ ） A 、正确 B 、错误 3. 函数x y e =在(0,)+∞有界. ( ) A. 正确 B. 错误 4. 设()f x 在[,](0)a a a ->上有定义，则函数1 ()[()()]2 g x f x f x =--是奇函数.（ ） A. 正确 B. 错误 5. 函数2sin y x =是当0x →时的无穷小.（ ） A. 正确 B. 错误 6.函数y = 是初等函数.（ ） A 、正确 B 、错误 7. 当x →∞时，函数22135x y x +=+趋向于1 3 .（ ） A 、正确 B 、错误 8. 当0x →时，函数2 12 y x = 与1cos y x =-是等价无穷小.（ ） A 、正确 B 、错误 9. 211lim cos 2 x x x →∞=-（ ） A 、正确 B 、错误
10. 函数1 (12),0;, 0x x x y e x ?? +≠=??=? 在0x =处连续. ( ) A 、正确 B 、错误 二．单项选择题(本大题共12个，每题3分，共36分) 11.函数)5)(2ln(+-=x x y 的定义域为( ). A. 25≤≤-x ; B. 2>x ; C. 2>x 或5- 高等数学第一章测试卷(B ) 一、选择题。(每题4分，共20分) 1?假设对任意的 x R ，都有(x) f(x) g(x)，且]im[g(x) (x)] 0，则 lim f (x)() A.存在且等于零 B.存在但不一定为零 C. 一定不存在 D.不一定存在 1 x 2. 设函数f(x) lim 2n ，讨论函数f (x)的间断点，其结论为( ) n 1 x A.不存在间断点 B.存在间断点x 1 C.存在间断点x 0 D.存在间断点x 1 x 2 X 1 3. 函数f (x) 一2 . 1 —2的无穷间断点的个数为( ) X 1 \ x 7.[x]表示取小于等于x 的最大整数，则lim x - x 0 x f(x) asinx A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4.设函数f (x)在( )内单调有界, ｛X n ｝为数列，下列命题正确的是( A.若｛x n ｝收敛，则｛ f (x n ) ｝收敛 B.若｛&｝单调，则｛ f (x n ) ｝收敛 0若｛ f (X n ) ｝收敛，则仏｝收敛 D.若｛ f (X n ) ｝单调，则 ｛X n ｝收敛 5.设｛a n ｝, ｛b n ｝, ｛C n ｝均为非负数列，且 lim n a n 0,lim b n 1,limc n n n ，则() A. a n b n 对任意n 成立 B. b n C n 对任意n 成立 C.极限lim a n C n 不存在 n D. 极限lim b n C n 不存在 n 二、填空题(每题 4分，共 20分) 6.设 X, f (X) 2f (1 X) 2 x 2x , 则 f (X) 8.若 lim]1 X X ( 丄 X a)e x ] 1, 则实数a 9.极限lim X (X 2 X a)(x b) 10.设 f (X)在 x 0处可导, f (0) 0,且f (0) b ，若函数 F(x) 在x 0处连续, 则常数 A 《 高等数学》 一.选择题 1.当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的（） A)、x y =B)、x y sin =C)、x y cos 1-=D)、1-=x e y 2.函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3.下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、 (( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4.下列各式正确的是（） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+?D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5.下列等式不正确的是（）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =???????B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=???? ??? C ）、()()x f dx x f dx d x a =???????D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6.0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7.设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（） 高等数学第一章测试题 一、单项选择题 1.0 . (),()x x x x x x βα→→当时，都是无穷小，则当时（,）不一定是无穷小 ()()()x A x αβ+ () 22()()x B x αβ+ ()ln[1()()]x C x αβ+? ()2 ()() x x D αβ 答案：D 2 0() (),()1,. () lim x x x x x x x ααββ→===解析：当时 2 1 2.( )0,,,1 lim x x ax b x a b a b →∞ +--=+则常数的值所组成的数组（）为（）设 10011111A B C D -（）（，）（）（，）（）（，）（）（，） 答案：D 解析： 0)1 1(2 lim =--++∞ →b ax x x x 1 ) 1)((1)11( 2 2 lim lim +++-+=--++∞ →∞ →x x b ax x b ax x x x x 01 1)()1(2 lim =+-++--=∞ →x b x b a x a x 10,0,a a b -=+=则分子的二次项和一次项系数为零: 即1,1-==b a 22 1)32 3(x f x x x -=-+、已知函数， 下列说法正确的是（ ）。 2(A)f(x)有个无穷间断点 ())1(1B f x 有个可去间断点，个无穷间断点 ()2()C f x 有个第一类间断点 ()111()f D x 有个可去间断点，个无穷间断点,个跳跃间断 答案：B 221(1)(1)1 ()32(2)(1)2 x x x x f x x x x x x --++=== -+---解析： 212320,1,2x x x x -+===令得 2.1x x ==是可去间断点，是无穷间断点 4、 是 。 A.奇函数 B.周期函数 C.有界函数 D.单调函数 答案：A ()()f x f x -=-解析： 1()11115. f x x = + +、函数的定义域为＿＿＿＿ A. 0,≠∈x R x 但 1 ,10 .x R B x ∈+≠ 1,0,1,.2x x C R ∈≠-- 0.,,1x R x D ∈≠- x ∈R,但x ≠0,?1 答案：C 解析：略. 6、 答案：C |sin | ()cos x f x x xe -=()x -∞<<+∞的值为 ， 极限)00()1(lim 0≠≠+→b a a x x b x 答（ ） ． ． a be D e C a b B A a b ) ()(ln )(1)( 《高等数学》 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ） 、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin 第一章 练习题 一、 设()0112>++=?? ? ??x x x x f ，求)(x f 。 二、 求极限： 思路与方法： 1、利用极限的运算法则求极限； 2、利用有界变量与无穷小的乘积仍是无穷小这一性质； 3、利用两个重要极限：1sin lim 0=→x x x ，e x x x =??? ??+∞→11lim ； 4、利用极限存在准则； 5、用等价无穷小替换。注意：用等价无穷小代替时被代替的应是分子、分母或其无穷小因子。如果分子或分母是无穷小的和差，必须将和差化为积后方可用等价无穷小代替积中的因子部分。 6、利用函数的连续性求极限，在求极限时如出现∞-∞∞ ∞,,00等类型的未定式时，总是先对函数进行各种恒等变形，消去不定因素后再求极限。 7、利用洛比达法则求极限。 1、()()()35321lim n n n n n +++∞ → 2、???? ? ?---→311311lim x x x 3、122lim +∞ →x x x 4、x x x arctan lim ∞ → 5、x x x x sin 2cos 1lim 0-→ 6、x x x x 30 sin sin tan lim -→ 7、()x x 3cos 2ln lim 9 π → 8、11232lim +∞→??? ??++x x x x 三、 已知(),0112lim =??? ?????+-++∞→b ax x x x 求常数b a ,。 四、 讨论()nx nx n e e x x x f ++=∞→12lim 的连续性。 五、 设()12212lim +++=-∞→n n n x bx ax x x f 为连续函数，试确定a 和b 的值。 六、 求()x x e x f --=111 的连续区间、间断点并判别其类型。 七、 设函数()x f 在闭区间[]a 2,0上连续，且()()a f f 20=，则在[]a ,0上 至少有一点，使()()a x f x f +=。 八、 设()x f 在[]b a ,上连续，b d c a <<<，试证明：对任意正数p 和q ， 至少有一点[]b a ,∈ξ，使 ()()()()ξf q p d qf c pf +=+ 四川理工学院试卷（2007至2008学年第一学期） 课程名称： 高等数学(上)(A 卷) 命题教师： 杨 勇 适用班级： 理工科本科 考试(考查)： 考试 2008年 1 月 10日 共 6 页 注意事项： 1、 满分100分。要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。 2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否 则视为废卷。 3、 考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。 4、 如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷 分别一同交回，否则不给分。 试 题 一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分） 1. =--→1 ) 1sin(lim 21x x x ( C ) (A) 1； (B) 0； (C) 2； (D) 2 1 2.若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则dx e f e x x )(? --为( B ) (A) c e F x +)(； (B) c e F x +--)(； (C) c e F x +-)(； (D ) c x e F x +-) ( 3.下列广义积分中 ( D )是收敛的. (A) ? +∞ ∞ -xdx sin ； (B)dx x ? -111 ； (C) dx x x ?+∞ ∞-+2 1； (D)?∞-0dx e x 。 4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数，则下列结论错误的是( B ) (A) )(x f 可导，则)(x f 一定连续； (B) )(x f 可微，则)(x f 不一定可导； (C) )(x f 可积（常义），则)(x f 一定有界； (D) 函数)(x f 连续，则? x a dt t f )(在[]b a ,上一定可导。 5. 设函数=)(x f n n x x 211lim ++∞→ ，则下列结论正确的为( D ) (A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1=x ； (C) 存在间断点0=x ； (D) 存在间断点1-=x 二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分） 1. 极限=-+→x x x 1 1lim 20 _0____. 2. 曲线? ??=+=3 2 1t y t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程x xe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22 )2(2 1+- ，则该方程的通解为 . 4. 设)(x f 在2=x 处连续，且22 ) (lim 2=-→x x f x ，则_____)2(='f 5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F （牛顿）与伸长量s 成正比，即ks F =（k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________焦耳。 6．曲线23 3 2 x y =上相应于x 从3到8的一段弧长为 . 三、设0→x 时，)(22 c bx ax e x ++-是比2 x 高阶的无穷小，求常数c b a ,,的值（6分） 第一章函数、极限、连续 一、单项选择题 1.区间[a,+∞)，表示不等式（） 2.若 3.函数是（）。 （A）偶函数（B）奇函数（C）非奇非偶函数（D）既是奇函数又是偶函数 4.函数y=f(x)与其反函数 y=f-1（x）的图形对称于直线（）。 5.函数 6.函数 7.若数列{x n}有极限a,则在a的ε邻域之外，数列中的点（） （A）必不存在 （B）至多只有有限多个 （C）必定有无穷多个 （D）可以有有限个，也可以有无限多个 8.若数列{ x n }在（a-ε, a+ε）邻域内有无穷多个数列的点，则（），（其中为某一取定的正数） （A）数列{ x n }必有极限，但不一定等于 a （B）数列{ x n }极限存在且一定等于 a （C）数列{ x n }的极限不一定存在 （D）数列{ x n }一定不存在极限 9.数列 （A）以0为极限（B）以1为极限（C）以（n-2）/n为极限（D）不存在极限 10.极限定义中ε与δ的关系是（） （A）先给定ε后唯一确定δ （B）先确定ε后确定δ，但δ的值不唯一 （C）先确定δ后给定ε （D）ε与δ无关 11.任意给定 12.若函数f（x）在某点x0极限存在，则（） （A） f（x）在 x0的函数值必存在且等于极限值 （B） f（x）在x0的函数值必存在，但不一定等于极限值 （C） f（x）在x0的函数值可以不存在 （D）如果f（x0）存在则必等于极限值 13.如果 14.无穷小量是（） （A）比0稍大一点的一个数 （B）一个很小很小的数 （C）以0为极限的一个变量 （D）0数 15.无穷大量与有界量的关系是（） （A）无穷大量可能是有界量 第一章综合测试题 一、填空题 1 、函数1()arccos(1) f x x =-的定义域为 . 2、设()2ln f x x =,[()]ln(1ln )f g x x =-, 则()g x = . 3、已知1tan ,0,()ln(1) , 0ax x e e x f x x a x +?+-≠?=+??=? 在0x =连续，则a = . 4、若lim 25n n n c n c →∞+??= ?-?? ，则c = . 5 、函数y =的连续区间为 . 二、选择题 1、 设()f x 是奇函数，()g x 是偶函数， 则（ ）为奇函数. （A ）[()]g g x （B ）[()]g f x （C ）[()]f f x （D ）[()]f g x 2、 设)(x f 在(,)-∞+∞内单调有界， {}n x 为数列，则下列命题正确的是（ ）. （A ）若{}n x 收敛，则{()}n f x 收敛 （B ）若{}n x 单调，则{()}n f x 收敛 （C ）若{()}n f x 收敛，则{}n x 收敛 （D ）若{()}n f x 单调，则{}n x 收敛 3、 设21(2)cos ,2,()4 0, 2, x x f x x x ?+≠±?=-??=±? 则()f x （ ）. （A ）在点2x =，2x =-都连续 （B ）在点2x =，2x =-都间断 （C ）在点2x =连续，在点2x =-间断 （D ）在点2x =间断，在点2x =-连续 4、 设lim 0n n n x y →∞ =，则下列断言正确的是（ ）. （A ）若{}n x 发散，则{}n y 必发散 （B ）若{}n x 无界，则{}n y 必有界 （C ）若{}n x 有界，则{}n y 必为无穷小 （D ）若1n x ?????? 收敛 ，则{}n y 必为无穷小 5、当0x x →时，()x α与()x β都是关于0x x -的m 阶无穷小，()()x x αβ+是关于0x x -的n 阶无 高等数学（下）模拟试卷一 一、填空题（每空3分，共15分） （1）函数 11z x y x y =+ +-的定义域为 （2）已知函数 arctan y z x =，则z x ?= ? （3）交换积分次序， 2 220 (,)y y dy f x y dx ? ? ＝ （4）已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? （5）已知微分方程230y y y '''+-=，则其通解为 二、选择题（每空3分，共15分） （1）设直线L 为321021030x y z x y z +++=?? --+=?，平面π为4220x y z -+-=，则（） A.L 平行于πB.L 在π上C.L 垂直于πD.L 与π斜交 （2）设是由方程 222 2xyz x y z +++=确定，则在点(1,0,1)-处的dz =（） dx dy +2dx dy +22dx dy +2dx dy -（3）已知Ω是由曲面222425()z x y =+及平面5 z =所围成的闭区域，将 2 2()x y dv Ω +???在柱面坐标系下化成三次积分为（） 22 5 3 d r dr dz πθ? ??. 24 5 3 d r dr dz πθ? ?? 22 5 3 50 2r d r dr dz πθ? ??. 22 5 20 d r dr dz π θ? ?? （4）已知幂级数，则其收敛半径（） 2112 2（5）微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y * =（） ()x ax b xe +()x ax b ce ++()x ax b cxe ++ 三、计算题（每题8分，共48分） 1、 求过直线1L :1231 01x y z ---==-且平行于直线2L ：21211x y z +-==的平面方程 2、 已知 22 (,)z f xy x y =，求z x ??，z y ?? 3、 设 22{(,)4}D x y x y =+≤，利用极坐标求 2 D x dxdy ?? 4、 求函数 22 (,)(2)x f x y e x y y =++的极值 得分 阅卷人 高等数学第一章测试卷（B ） 一、选择题。（每题4分，共20分） 1.假设对任意的∈x R ，都有)()()(x g x f x ≤≤?，且0)]()([lim =-∞→x x g x ?，则)(lim x f x ∞ →（ ） A.存在且等于零 B.存在但不一定为零 C.一定不存在 D.不一定存在 2.设函数n n x x x f 211lim )(++=∞→，讨论函数)(x f 的间断点，其结论为（ ） A.不存在间断点 B.存在间断点1=x C.存在间断点0=x D. 存在间断点1-=x 3.函数222111)(x x x x x f +--=的无穷间断点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4.设函数)(x f 在),(+∞-∞内单调有界，}{n x 为数列，下列命题正确的是（ ） A.若}{n x 收敛，则｛)(n x f ｝收敛 B.若}{n x 单调，则｛)(n x f ｝收敛 C.若｛)(n x f ｝收敛，则}{n x 收敛 D.若｛)(n x f ｝单调，则}{n x 收敛 5.设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且∞===∞ →∞→∞→n n n n n n c b a lim ,1lim ,0lim ，则（ ） A. n n b a <对任意n 成立 B. n n c b <对任意n 成立 C. 极限n n n c a ∞→lim 不存在 D. 极限n n n c b ∞ →lim 不存在 二、填空题（每题4分，共20分） 6.设x x x f x f x 2)1(2)(,2-=-+?，则=)(x f ____________。 7.][x 表示取小于等于x 的最大整数，则=??????→x x x 2lim 0__________。 8.若1])1(1[lim 0=--→x x e a x x ，则实数=a ___________。 9.极限=???? ??+-∞→x x b x a x x ))((lim 2 ___________。 10.设)(x f 在0=x 处可导，b f f ='=)0(,0)0(且，若函数?????=≠+=00sin )()(x A x x x a x f x F 在0=x 处连续，则常数=A ___________。 《高等数学》试题30 考试日期：2004年7月14日 星期三 考试时间：120 分钟 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ） 、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin 高等数学第七版课后练 习题 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998 第一章、函数、极限与连续 1、已知函数2,02()2,24x f x x ≤≤?=?-<≤? ，试求函数g()(2)(5)x f x f x =+-的定义域。 2、设函数()y f x =的定义域是[]0,8，试求3()f x 的定义域。 3、已知函数[]()12f x 的定义域，，试求下列函数的定义域。 4、要使下列式子有意义，函数()f x 应满足什么条件 5、求下列函数的定义域。 6、在下列各对函数中，哪对函数是相同的函数。 7、设函数()2,()55x f x g x x ==+，求1(1),(),(()),(())f x g f g x g f x x x +-的表达式。 8、设2()23,()45f x x g x x =+=-，求(()),(()),(())f g x g f x f f x 的表达式。 9、设2211(),()f x x f x x x +=+求。 10、设(1)(1),()f x x x f x -=-求。 11、下列函数中，那哪些是奇函数，哪些是偶函数哪些是非奇非偶函数。 12、判断下列函数的奇偶性。 13、求下列函数的周期。 14、下列函数能够复合成一个函数。 15、函数13ln sin y y x ==，由哪些较简单的函数复合而成。 16、设()1x f x e =+，函数2(2)()1x x x φ+=+，求1(())f x φ-。 17、下列函数的极限。 18、求下列函数的极限。 19、求下列函数的极限。 20、求下列极限。 21、求下列函数的极限。 高数第一周测试题 出题人：洪义伟姜继伟贾西南马刚 一、选择题 1. 数列有界是函数收敛的（） A 充要条件 B 必要条件 C 充分条件D即非充分条件又非必要条件 2.根据limXn=a的定义，对任给ε＞0，存在正整数N，使得对于n＞N的一切Xn，不等式|Xn—a|＜ε都成立，这里的N（） A 是ε的函数N（ε），且当ε减小时N（ε）增大 B 与ε有关，但ε给定时N并不唯一确定 C 是由ε所唯一确定的 D 是一个很大的常数，与ε无关 3. f(x)=在其定义域（—∞，+∞）上是（） A 最小正周期为3π的周期函数 B 最小正周期为的周期函数 C 最小正周期为的周期函数D非周期函数 5.函数f（x）=（x∈R）的值域是（） A (0，1) B (0，1] C [0，1) D [ 0 , 1 ] 7.函数f(x)=x2-mx+5在区间[-2,+∞]上是增函数，在区间（-∞，-2）上是增函数，则f（1）等于( ) A -7 B 1 C 17 D 25 8.下列函数是无穷小量的是（） ( ) A g(2)>g(-1)>g(-3) B g(2)>g(-3)>g(-1) C g(-1)>g(-3)>g(2) D g(-3)>g(-1)>g(2) A 1 B ∞ C 2 D 0 二、填空题 13.求 的定义域＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 14. 已知求f (5)＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 15.数列 的极限＿＿＿＿＿＿。 16.求函数 的极限＿＿＿＿＿＿。 三、 解答题 17.求函数 在指定定义域下的单调性。 18.求 的极限。 19.用数列极限的定义证明 。 20.用函数极限的定义证明 。 21.根据定义证明 22.求 的极限。 ???<+≥-=8,)]5([8 ,3)(x x f f x x x f 江南大学现代远程教育 第一阶段测试卷 考试科目:《高等数学》高起专 第一章至第二章（总分100分） 时间：90分钟 一．选择题 (每题4分，共20分) 1. 函数 y =的定义域是 ( A ). (a) (2,6)- (b) (2,6] (c)[2,6) (d)[2,6]- 2. 设12f x x = +（）， 则(())f f x = ( D ) (a) 522x x ++ (b) 25x + (c) 2x + (d) 252x x ++ 3. 10 lim(19)x x x →- C (a) e (b) 9 (c) 9e - (d) ∞ 4. 2 20lim sin(4) x x x → D (a) 12 (b) 13 (c) 1 (d) 14 5. 在 0x → 时, 1cos x - 是关于 x 的 ( C ) (a) 低阶无穷小量 (b) 等价无穷小量 (c) 高阶无穷小量 (d) 同阶但不等价无穷小量 二.填空题(每题4分，共28分) 6. 设(5)3f x x =-, 则 ()f x =___ 35x -________. 7. 函数() f x = 的定义域是___-1 10. 设34,0,()5,0,12tan ,0x x f x x x x -? , 则 0lim ()x f x +→=__1_____. 11. 24lim(1)x x x +→∞-=_____. 12. 32332lim 325x x x x x x →∞+--+= 3 1 . 三.解答题(满分52分) 13. 求 47lim()48 x x x x →∞-- . 14. 求 02lim sin 3x x → . 15. 求 32sin lim 254cos x x x x x →∞+-+-. 16. 求 2lim x →- 17. 求 123lim 24 n n n +→∞-+ . 理科A 班第一章综合测试题 一、填空题 1 、函数1()arccos(1) f x x =-的定义域为 . 2、设()2ln f x x =,[()]ln(1ln )f g x x =-, 则()g x = . 3、已知1tan ,0,()ln(1) , 0ax x e e x f x x a x +?+-≠?=+??=? 在0x =连续，则a = . 4、若lim 25n n n c n c →∞+??= ?-?? ，则c = . 5 、函数y =的连续区间为 . 二、选择题 1、 设()f x 是奇函数，()g x 是偶函数， 则（ ）为奇函数. （A ）[()]g g x （B ）[()]g f x （C ）[()]f f x （D ）[()]f g x 2、 设)(x f 在(,)-∞+∞内单调有界， {}n x 为数列，则下列命题正确的是（ ）. （A ）若{}n x 收敛，则{()}n f x 收敛 （B ）若{}n x 单调，则{()}n f x 收敛 （C ）若{()}n f x 收敛，则{}n x 收敛 （D ）若{()}n f x 单调，则{}n x 收敛 3、 设21(2)cos ,2,()4 0, 2, x x f x x x ?+≠±?=-??=±? 则()f x （ ）. （A ）在点2x =，2x =-都连续 （B ）在点2x =，2x =-都间断 （C ）在点2x =连续，在点2x =-间断 （D ）在点2x =间断，在点2x =-连续 4、 设lim 0n n n x y →∞ =，则下列断言正确的是（ ）. （A ）若{}n x 发散，则{}n y 必发散 （B ）若{}n x 无界，则{}n y 必有界 （C ）若{}n x 有界，则{}n y 必为无穷小 （D ）若1n x ?????? 收敛 ，则{}n y 必为无穷 高等数学（上）第一章练习题 一．填空题 1． 12sin lim sin _________.x x x x x →∞??+= ??? 2． lim 9x x x a x a →∞+??= ?-?? ， 则__________.a = 3． 若21lim 51x x ax b x →++=-，则___________,___________.a b == 4． 02lim __________.2x x x e e x -→+-= 5． 1(12)0()ln(1)0 x x x f x x k x ?-<=?++≥?在0x =连续，则k = 6． 已知当0x →时，()1 2311ax +-与cos 1x -是等价无穷小，则常数________.a = 7． 设21()cos 1 x k x f x x x π?+≥=??? 在0x =处间断,则常数a 和b 应满足关系____________. 9．()1lim 123n n n n →∞++= 10 ．lim x →+∞?=? 11 ．lim x ax b →+∞?-=? 0 ，则a = b = 12．已知111()23x x e f x e +=+ ，则0x =是第 类间断点 二．单项选择题 13． 当0x →时, 变量211sin x x 是____________. A. 无穷小量 B. 无穷大量 C. 有界变量但不是无穷小, D. 无界变量但不是无穷大. 14．. 如果0 lim ()x x f x →存在，则0()f x ____________. A. 不一定存在, B. 无定义, C. 有定义, D. 0=. 15． 如果0lim ()x x f x -→和0 lim ()x x f x +→存在, 则_____________. 第一部分： 1．下面函数与y x =为同一函数的是（） 2 .A y= .B y=ln .x C y e =.ln x D y e = 解：ln ln x y e x e x === Q，且定义域() , -∞+∞，∴选D 2．已知?是f的反函数，则()2 f x的反函数是（） () 1 . 2 A y x ? =() .2 B y x ? =() 1 .2 2 C y x ? =() .22 D y x ? = 解:令() 2, y f x =反解出x：() 1 , 2 x y =?互换x，y位置得反函数() 1 2 y x =?，选A 3．设() f x在() , -∞+∞有定义，则下列函数为奇函数的是（） ()() .A y f x f x =+-()() .B y x f x f x =-- ?? ?? () 32 .C y x f x =()() .D y f x f x =-? 解：() 32 y x f x = Q的定义域() , -∞+∞且()()()()() 3232 y x x f x x f x y x -=-=-=-∴选C 4．下列函数在() , -∞+∞内无界的是（） 2 1 . 1 A y x = + .arctan B y x =.sin cos C y x x =+.sin D y x x = 解: 排除法：A 2 1 122 x x x x ≤= + 有界，B arctan 2 x π <有界， C sin cos x x +≤，故选D 5．数列{}n x有界是lim n n x →∞ 存在的（） A 必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 无关条件 解：Q{}n x收敛时，数列n x有界（即n x M ≤），反之不成立，（如() {}11n--有界，但不收敛，选A. 6．当n→∞时，2 1 sin n 与 1 k n 为等价无穷小，则k= （） A 1 2 B 1 C 2 D -2 解：Q 2 2 11 sin lim lim1 11 n n k k n n n n →∞→∞ ==，2 k=选C 第一章综合测试题解答 一、1．[1,2) 2 ．()g x = 3． 11e - 4．ln 5 5 ．[ 二、1．（C ） 2．(B) 3．（D ） 4.（D ） 5.（C ） 三、解 2 0,0, 0, ()00, 0, 1 ()(||)[()],0. (),()0,0, 2x x x f x x x f x x x x x x x ????<< 高等数学试题及答案 一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设f(x)=lnx ，且函数?(x)的反函数1?-2(x+1)(x)=x-1 ，则[]?=f (x)（ ） ....A B C D x-2x+22-x x+2 ln ln ln ln x+2x-2x+22-x 2．()002lim 1cos t t x x e e dt x -→+-=-?（ ） A ．0 B ．1 C ．-1 D ．∞ 3．设00()()y f x x f x ?=+?-且函数()f x 在0x x =处可导，则必有（ ） 0 .lim 0.0.0.x A y B y C dy D y dy ?→?=?==?= 4．设函数,131,1 x x x ?≤?->?22x f(x)=，则f(x)在点x=1处（ ） A.不连续 B.连续但左、右导数不存在 C.连续但不可导 D. 可导 5．设C +?2-x xf(x)dx=e ，则f(x)=（ ） 2222-x -x -x -x A.xe B.-xe C.2e D.-2e 二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 6.设函数f(x)在区间[0，1]上有定义，则函数f(x+14)+f(x-14 )的定义域是__________. 7．()()2lim 1_________n n a aq aq aq q →∞++++<= 8．arctan lim _________x x x →∞= 9.已知某产品产量为g 时，总成本是2 g C(g)=9+800 ，则生产100件产品时的边际成本100__g ==MC 10.函数3()2f x x x =+在区间[0，1]上满足拉格朗日中值定理的点ξ是高等数学第一章测试卷
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