离散时间信号与离散时间系统
§7-1 概述
一、离散时间信号与离散时间系统
离散时间信号：只在某些离散的时间点上有值的
信号。
离散时间系统：处理离散时间信号的系统。
混合时间系统：既处理离散时间信号，又处理连
续时间信号的系统。
二、连续信号与离散信号
连续信号可以转换成离散信号，从而可以用离散时间系统（或数字信号处理系统）进行处理：
连续信号
取样
离散信号
量化
数字信号
三、 离散信号的表示方法： 1、 时间函数：f(k)<——f(kT)，其中k 为序号，相当于时间。 例如：)1.0sin()(k k f = 2、 （有序）数列：将离散信号的数值按顺序排列起来。例如： f(k)={1,0.5,0.25,0.125,……,} 时间函数可以表达任意长（可能是无限长）的离散信号，可以表达单边或双边信号，但是在很多情况下难于得到；数列的方法表示比较简单，直观，但是只能表示有始、有限长度的信号。 四、 典型的离散时间信号 1、 单位样值函数：⎩⎨⎧==其它001)(k k δ
下图表示了)(n k -δ的波形。 这个函数与连续时间信号中的
冲激函数)(t δ相似，也有着与其相似的性质。例如： )()0()()(k f k k f δδ=， )()()()(000k k k f k k k f -=-δδ。
2、 单位阶跃函数：⎩⎨⎧≥=其它001)(k k ε 这个函数与连续时间信号中的阶跃函数)(t ε相似。用它可以产生（或表示）单边信号（这里称为单边序列）。
3、 单边指数序列：)(k a k ε
比较：单边连续指数信号：
)(
)(
)(t e t e t
a at εε=，其底一定大于零，不会出现负数。
(a) 0.9a = (d) 0.9a =-
(b) 1a = (e) 1a =-
(c) 1.1a = (f) 1.1a =-
4、 单边正弦序列：)()cos(0k k A εφω+ 双边正弦序列：)cos(0φω+k A 五、 离散信号的运算 1、 加法：)()()(21k f k f k f +=<—相同的k 对应的数相加。 2、 乘法：)()()(21k f k f k f ⋅= 3、 标量乘法：)()(1k f a k f ⋅= 4、 移序：)()(1n k f k f -= 当n>0时，信号向右移（后移）——>称为减序； 当n<0时，信号向左移（前移）——>称为增序。 离散信号的移序计算相当于连续时间信号的时间平移计算。 六、 线性移不变离散时间系统 1、 线性离散时间系统 系统的激励和响应之间满足齐次性和叠加性关系的离散时间系统。 )()()()(22112211k r a k r a k e a k e a +⇔+ 2、 移不变离散时间系统 系统的激励和响应之间满足移不变关系的离散时间系统。 )()(n k r n k e -⇔- 3、 线性移不变离散时间系统 同时满足线性和移不变性的系统。 七、 离散时间系统的描述方法：见§7-3。 §7-2 抽样信号与抽样定理
离散信号可以通过对连续信号抽样得到；连续信号可以通过抽样转化为离散信号，从而可以用离散时间系统进行处理。但是，这牵涉到两个问题： 1） 怎样进行抽样？ 2） 如何抽样才能不损失原来信号中的信息？
一、 抽样器及其数学模型 抽样是通过一定的装置（等间隔地）抽取原来连续信号中的很小的一段。其等效电路 它也可以用一个开关信号相乘的数学模型来表示，
其中的开关函数为： ∑+∞-∞=-=k kT t G t s )()(τ 当0→τ时，开关函数近似为： ∑+∞-∞=→→→⋅=-=k T t kT t t s )(lim )(lim )(lim 000δτδττττ 可见，开关函数近似成为一个幅度为无穷小的周期性冲激序列。这个“无
穷小”会给我们分析带来不便，所以一般直接用幅度为1的周期性冲激序列代替它，即：
∑+∞-∞==-=k T t kT t t s )
()()(δδ 这样，抽样以后的信号为： ∑∑∑∞+-∞=∞
+-∞=+∞
-∞=-=-=-=⋅=k k k s kT t kT f kT t t f kT t t f t s t f t f )()()()()()
()()()(δδδ 显然，抽样以后的信号只与原来
的信号在某些离散的时间点上的值有关。 二、 抽样定理
显然，利用原来的信号在某些离散的时间点上的值构成的信号，是否会损失信息？或者，在何条件下，可以用抽样后的信号，不失真地还原出原来的信号？
1、 抽样信号的频谱：
∑+∞-∞=-=k s kT t t f t f )()
()(δ
∑∑∑∞+-∞
=∞
+-∞=+∞-∞=-=-=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=k s k s s
k s s s k j F T k j F k j F j F )(*)(1)(*)(2)(*)(21)(ωωδωωωδωπωωωδωωπω 其中T s πω2=，称为抽样（角）频率；T
称为抽样（取样）周期。
可见，抽样后信号的谱是抽样以前
的谱按抽样（角）频率周期化的结果。如果原来信号最大频率分量为的谱m ω，抽样频率m s ωω2>，则周期化后的各个频谱不会相互重叠。将抽样信号通过一个截止频率为2/s
ω、增益为T 的ILPF ，可以不失真地还原原来的信号。此低通滤波器的冲激响应: ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=222)(t Sa t Sa T t h c c s ωωπω 则
∑+∞-∞=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=
n s nT t Sa nT f t f 2)()()(ω
这个定理称为Nyquist 抽样定理，或Shannon 抽样定理。它说明模拟信号可以有条件地由其无数个离散点上的数值恢复出，也就是说在m s ωω2>时，用信号的一些离散的时间点上的数值来代替这个信号可以不损失任何信息。
能够完全不失真地还原信号所需要的最小的抽样频率m s ωω2=称为Nyquist 抽样频率，或Shannon 抽样频率。
（a ） 原信号()f t (b) 原
信号的频谱()F j ω
（c ）单位冲激序列()T
t δ （d ）单位冲激序列的频谱()s s ωωδ
ω（2s T πω=）
(e)1
()()()()s T f t f t f t t δδτ== (f)
()f t δ的频
谱
●在实际工程中的做法与取样中的
过程正好相反：首先测量得到f(kT),然后再构成抽样信号。工程上的采样就是指测量到kT时刻f(t)的值。
●在构成抽样信号时，不可能产生冲
激信号，这时候可以用任意的周期性脉冲信号代替，其结果不变。
●恢复信号时，ILPF是不可能实现
的，只能用其它的LPF，所以抽样频率必须进一步增加，一般取m 的
抽样信号经过非理想低通滤
波器
●如果原来的信号是一个带限信号，
则Nyquist抽样定理还可以做适当修改。
●抽样也是一个线性处理过程，它满
足齐次性和叠加性。这是我们通过
它达到用离散时间系统处理连续
信号的基础。
通过抽样可以将连续信号转化为
离散数字信号，从而可以用数字信
号处理系统进行处理，达到模拟信
号处理无法达到的效果。
§7-3 离散时间系统的描述
离散时间系统的描述方法有三种：
1） 数学模型——>差分方程
2） 物理模型——>框图
3） 系统函数——>Z.T.，在第八章中
介绍。
一、 数学模型
离散时间系统处理的信号是离散
信号，信号只在某些不连续的时间点
上存在，不存在微分，也就不可能用
微分方程描述，只能用差分方程描述
离散信号相邻的几个时间点之间的
关系。 e(t) r(t) A/D 转换 DSP 处理 D/A 转换 LPF 滤波
例7－3－1
例7－3-1 著名的斐波纳奇（Fibonacci）数列问题。假设每对大兔子每个月生一对小兔子，而每对小兔子一个月后长成大兔子，而且不会发生死亡。在最初一个月内有一对大兔子，问第n个月时一共有几对兔子。这里，每一个月中兔子的对数就构成了一个离散的时间信号。列出描述该问题的差分方程。
解：这里，我们用)(k y表示第k个月兔子的对数。显然，第k个月兔子无论大小，在第1+k个月都会是大兔子，从而在第2+k个月中生出)(k y个小兔子；同时，因为假设兔子不会死亡，第1+k月的)1
k
y对
(+
兔子在第2+k月中依然存在，使第2+k月中大兔子的个数为)1
k
y等
(+
(+
k
y。而第2+k月中兔子的总个数)1
于大兔子对数)1
y与小兔子对数)(k y之和，由此可
k
(+
以得到方程：
k
y
k
y+
=
+
+
(k
y
)
)1
(
)2
(
这就是斐波纳奇（Fibonacci）数列问题的差分方程。与微分方程一样，对于差分方程，我们一般将其中的未知的函数或序列放在方程等式的左边，而将激励函数或数列等放在等式的右边。所以，可以将上式表示成：
y
+k
-
+
k
y
k
y
(
-
(
)
(=
)2
)1
差分方程与微分方程一样，也必须
有初始条件。
如果已知y(0),则可以得到差分方
程的解：
)0()1()1(y a y +=,
)1()1()1()1()2(2y a y a y +=+=,
)0()1()2()1()3(3y a y a y +=+=,
)0()1()(y a k y k += 差分方程也可以加激励：假设k
年从外地引入x(k)个人，则：
)()()1()1(k x k y a k y ++=+。
例7－3－2
例7－3－2 一个空运控制系统，它用
一台计算机每隔一秒钟计算一次某一飞机
应有的高度)(k x ，另外用一雷达于以上计算
同时对此飞机实测一次高度)(k y ，把应有高
度)(k x 与一秒钟前的实测高度)1(-k y 相比较得
一差值，飞机的高度将根据此差值为正或为
负来改变。设飞机改变高度的垂直速度正比
于此差值，即)]1()([--=k y k x K v 米／秒。求该问题
的差分方程。
解：从第k-1秒到第k 秒这1秒钟内飞机升高为 )1()()]1()([--=--k y k y k y k x K 经整理即得
)()1()1()(k Kx k y K k y =--+ 这就是表示控制信号)(k x 与响应信号)(k y 之间关系的差分方程，它描写了这个离散时间（每隔1秒钟计算和实测一次）的空运控制系统的工作。
差分方程的一般形式：
)()1(...)1()()
()1(...)1()(011011k e b k e b m k e b m k e b k r a k r a n k r a n k r m m n ++++-+++=++++-+++--
●差分方程在形式上与微分方程相
似，只不过微分计算变成了移序计
算；
●差分方程也有阶，差分方程的阶定
义为其中最大移序与最小移序之
差；
●求解差分方程也必须有初始条件，
初始条件的个数必须等于差分方
程的阶数；
●与连续时间系统中的结论相似，线
性移不变系统可以用一个常系数
差分方程描述。
●因为差分方程可以很方便地用计
算机求其数值解，所以很多微分方
程可以近似为差分方程求近似数
值解。
例7－3－3
例7－3－3 一RC电路如图a)所示，若于输入端加一离散的抽样信号e(t)，如图b)所示，现在要求写出描写此系统工作时每隔时间T输出电压)(k u与输入信号间的关系的
差分方程。
a)
b)
解：图 (b)所示的抽样信号是一有始函数，它可以表示为如下冲激序列之和
∑∞
=-=0)()()(k kT t kT e t e δτ 现在来考察该电路在kT t ≥时的输出响应。当t 由小于kT 趋于kT 而该时刻的冲激尚未施加时，输出电压为u(k)。
由该时刻开始即t ＞kT 时的电容电压零输入分量显然应为 RC kT t zi e k u t u )()()(--= 又可知此电路的冲激响应是 RC e RC t h 11)(-= 用在这里，则可得：当t=kT 第k 个冲激)()(kT t kT e -δτ加于电路后即kT t >时，电容电压的零状态分量应为
RC
kT t zs e RC kT e t u )
()()(--=τ 于是得t>kT 后总输出电压为
RC kT t zs zi e RC kT e k u t u t u t u --⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=)()()()()(τ 当t=kT 时，上式成为
RC T e RC kT e k u k u -⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+)()()1(τ 经整理，并将)(kT e 记为一般形式)(k e ，即得
)
()()1(k e RC e k u e k u RC T RC T --=-+τ 这就是描述输出离散电压与输入抽样电压间关系的差分方程。
例7－3－4
例7－3－4 图所示一电阻的梯形网
络，其中每一串臂电阻值同为R ，每一并臂
电阻值同为另一值aR ，a 为某一正实数。所
以这网络是一重复的梯形结构。该网络各个
节点对公共节点的电压为)(k u ，k 分别为0、l 、
2、…、n 。试写出这个系统的差分方程， 电
阻的重复T 形网络
解：把系统中第1+k 个节点的电流关系特别画出如图所示。
由图显然可见，c
b a i i i +=；同时，根据图中电压电流的简单关系，此式即可写成 aR k u
R
k u k u R k u k u )1()2()1()1()(+++-+=+- 再经整理，即得该系统的差分方程
0)()1(12)2(=+++-+k u k u a a k u
二、物理模型 与连续时间系统一样，离散时间系
统也可以用框图的形式描述。
1、 基本运算单元
离散时间系统框图的基本运算单
元有加法器、标量乘法器和延时（移
序）器构成。
2、 离散时间系统框图的构成
离散时间系统框图构成与连续时
()(1)y k x k =- ()(1)(0)y k x k y =-+ (a)初始条件为零 (b)初始条
件不为零
延时器
间系统很相似，只不过将其中的积分
器变成延时（移序）器。
离散时间系统的初始状态可以包
含在延时（移序）器中。
例7－3－5 一离散时间系统由以下差分方程描写
一阶离散时间系统的
模拟框图
n 阶离散时间系统模拟框图
D
∑)(k e )1(+k y )
(k y a -
)1()()1()2(01+=++++k e k y a k y a k y 试作出此系统的模拟框图。
解 辅助函数)(k q ，就可看出
)()()1()2(01k e k q a k q a k q =++++
)1()(+=k q k y 由此两式，读者可以很容易地自行证明，它们合起来等效于所给的差分方程。
对于本题的简单方程，可令k ＝n-1，于是原方程成为
)()1()()1(01n e n y a n y a n y =-+++ 如y(k)为无限序列，k 和n 均为由-∞到∞的自然数，把此式中的n 改为k ，此式仍可成立。如y(k)为有限序列，则只要考虑到序列的起迄处有序数1的差别，上式中把n 改成k 亦可成立。于是有
)()1()()1(01k e k y a k y a k y =-+++ 如果另有一个系统的方程为
)1()1()()1(10111+=-+++k e k y a k y a k y 则读者可以自行证明，与此式相对应的模拟框图的结构仍同上图，但是)(1
k y 要由第一个延时器之前引出,如图中虚线所示。 §7-4 离散时间系统的零输入响应
第1章 思考题参考解答 1．变化规律已知的信号称之为确定信号，反之，变化规律不确定的信号称之为随机信号。以固定常数周期变化的信号称之为周期信号，否则称之为非周期信号。函数随时间连续变化的信号称之为连续时间信号，也称之为模拟信号。自变量取离散值变化的信号称之为离散时间信号。离散信号幅值按照一定精度要求量化后所得信号称之为数字信号。 2．对于最高频率为f c 的非周期信号，选取f s ＝2f c 可以从采样点恢复原来的连续信号。而对于最高频率为f c 的非周期信号，选取f s ＝2f c 一般不能从采样点恢复原来的连续信号的周期信号，通常采用远高于2f c 的采样频率才能从采样点恢复原来的周期连续信号。 3．被采样信号如果含有折叠频率以上的高频成分，或者含有干扰噪声，这些频率成分将不满足采样恢复定理的条件，必然产生频率混叠，导致无法恢复被采样信号。 4．线性时不变系统的单位脉冲响应h (n )满足n <0，h (n )=0，则系统是因果的。若 ∞<=∑∞ -∞ =P n h n |)(|，则系统是稳定的。 5．ω表示数字角频率，Ω表示模拟角频率。ω=ΩT (T 表示采样周期)。 6．不一定。只有当周期信号的采样序列满足x (n )= x (n +N )时，才构成一个周期序列。 7． 常系数差分方程描述的系统若满足叠加原理，则一定是线性时不变系统。否则，常系数差分方程描述的系统不是线性时不变系统。 8．该说法错误。需要增加采样和量化两道工序。 9．受采样频率、有限字长效应的约束，与模拟信号处理系统完全等效的数字系统不一定找得到。因此，数字信号处理系统的分析方法是先对采样信号及系统进行分析，再考虑幅度量化及实现过程中有限字长效应所造成的影响。故离散时间信号和系统理论是数字信号处理的理论基础。 10、只有当系统是线性时不变时，有y (n )= h (n )*x (n )。 11、时域采样在频域产生周期延拓效应。 12．输入信号x a (t )先通过一个前置低通模拟滤波器限制其最高频率在一定数值之内，使其满足采样频率定理的条件。因此，该滤波器亦称为抗混叠滤波器。 经抗混叠滤波后的模拟信号，在采样和模/数(A/D)转换器中每间隔T (采样周期)采样的x a (t )的幅度一次，并将其量化为二进制数据。即模拟信号x a (t )经A/D 转换为数字信号序列x (n )。 数字信号序列x (n )按照不同目的要求在DSP 中进行加工处理后，转化为输出序列y (n )。 输出序列y (n )经数/模(D/A)转换为阶梯模拟信号y a (t )，y a (t )又经过低通滤波器滤除其高频成分，使阶梯信号得到平滑后，得到所需要的模拟信号y (t )。故这里的低通滤波器又称之为平滑滤波器。 第1章 练习题参考答案 1．解：序列h (n )可用单位脉冲序列δ(n )及其加权和表示为
离散时间信号与离散时间系统
§7-1 概述 一、离散时间信号与离散时间系统 离散时间信号：只在某些离散的时间点上有值的 信号。 离散时间系统：处理离散时间信号的系统。 混合时间系统：既处理离散时间信号，又处理连 续时间信号的系统。 二、连续信号与离散信号 连续信号可以转换成离散信号，从而可以用离散时间系统（或数字信号处理系统）进行处理： 连续信号 取样 离散信号 量化 数字信号
三、 离散信号的表示方法： 1、 时间函数：f(k)<——f(kT)，其中k 为序号，相当于时间。 例如：)1.0sin()(k k f = 2、 （有序）数列：将离散信号的数值按顺序排列起来。例如： f(k)={1,0.5,0.25,0.125,……,} 时间函数可以表达任意长（可能是无限长）的离散信号，可以表达单边或双边信号，但是在很多情况下难于得到；数列的方法表示比较简单，直观，但是只能表示有始、有限长度的信号。 四、 典型的离散时间信号 1、 单位样值函数：⎩⎨⎧==其它001)(k k δ 下图表示了)(n k -δ的波形。 这个函数与连续时间信号中的
冲激函数)(t δ相似，也有着与其相似的性质。例如： )()0()()(k f k k f δδ=， )()()()(000k k k f k k k f -=-δδ。 2、 单位阶跃函数：⎩⎨⎧≥=其它001)(k k ε 这个函数与连续时间信号中的阶跃函数)(t ε相似。用它可以产生（或表示）单边信号（这里称为单边序列）。 3、 单边指数序列：)(k a k ε
比较：单边连续指数信号： )( )( )(t e t e t a at εε=，其底一定大于零，不会出现负数。 (a) 0.9a = (d) 0.9a =- (b) 1a = (e) 1a =- (c) 1.1a = (f) 1.1a =-
实验四离散时间信号与系统分析
实验四离散时间信号与系统分析 一、实验目的 1、理解离散信号及系统的时频域分析方法 2、掌握Matlab进行信号的卷积、z变换及逆z变换的方法。 3、掌握Matlab进行离散系统时频域的分析方 法 二、实验时数： 2学时 三、实验相关知识 （一）离散信号的卷积 利用函数(,) 可以计算离散信号的卷积和， c conv a b 即c(n)=a(n)*b(n)，向量c长度是a，b长度之和减1。若a(n)对应的n的取值范围为：[n1, n2]；b(n)对应的n的取值范围为：[n3, n4]，则 c(n)=a(n)*b(n)对应的n的取值范围为：[n1+n3, n2+n4]。 例4-1：已知两序列： x(k)={1,2,3,4,5;k=-1,0,1,2,3},y(k)={1,1,1; k=-1,0,1}，计算x(k)*y(k)，并画出卷积结果。
解：利用conv()函数进行离散信号的卷积，注意卷积信号的k 值范围 k_x = -1:3; x=[1,2,3,4,5]; k_y = -1:1; y=[1,1,1]; z=conv(x,y); k_z= k_x(1)+k_y(1):k_x(end)+k_y(end); stem(k_z,z); （二）离散信号的逆z 变换 离散序列的z 变换通常是z 的有理函数，可表示为有理分式的形式，因此可以现将X(z)展开成一些简单而常用的部分分式之和，然后分别求出各部分分式的逆变换，把各逆变换相加即可得到X(z)的逆变换x(n)。 设离散信号的z 变换式如下， 120121212()()1()m m n n b b z b z b z num z X z a z a z a z den z ------++++==++++ 在Matlab 中进行部分分式展开的函数为residuez ()，其调用形式如下： [r,p,k] = residuez(num,den) 其中num=[b0, b1, …, bm]表示X(z)有理分式的分子多项式为12012m m b b z b z b z ---++++；den=[a0, a1, …, am]表示X(z)有理分式的分母多 项式为12012m m b b z b z b z ---++++，注意分子分母多项式均为按z -1的降幂排列的
信号与系统 连续时间信号：随时间连续变化的信号，除个别时间上是给定的值除外，他的时间波形是平滑连续的，也称模拟信号。 离散时间信号：时间变量是离散的，函数只在某些规定的时刻有确定值，在其他时间没有定义。离散时间信号可以模拟信号抽样得到。连续时间系统：系统的输入输出都是连续的时间信号。 离散时间系统：系统的输入输出都是离散的时间信号。 模拟信号 数字信号：离散信号在各离散点的幅值被量化的信号。 微分方程的阶次 即时系统动态系统若系统在任一时刻的响应不仅与该时刻的激励有关，而 且与它过去的历史状况有关，则称为动态系统或记忆系统。 含有记忆元件(电容、电感等)的系统是动态系统。 否则称即时系统或无记忆系统。 线性系统：具有可加性，成比例性，成直线型关系。 时不变系统：系统参数不随时间的变化而变化的系统， 可逆系统：某一系统经过某一过程，有状态（1）变成状态（2）之后，如果 能使系统和环境都完全复原（即系统回到原来的状态，同时消除了原来过程对环境所产生的一切影响，环境也复原），则这样的过程就称为可逆过程。 因果系统因果系统 (casual system) 是指当且仅当输入信号激励系统时，才 会出现输出（响应）的系统。也就是说，因果系统的（响应）不会出现在输入信号激励系统的以前时刻。 零输入响应由非零初始状态引起的线性系统或电路在没有外加输入时的响应。
零状态响应电路的储能元器件（电容、电感类元件）无初始储能，仅由外部激励作用 而产生的响应。 冲激响应系统在单位冲激函数激励下引起的零状态响应被称之为该系统的“冲激响应”。 “冲激响应”完全由系统本身的特性所决定，与系统的激励源无关，是用时间函数表示系统特性的一种常用方式。 阶跃响应 卷积定理负频率是如何产生的（完全是数学运算的结果，将sinωt 写为指数时自然引入的 信号时域压缩频率扩展的理论依据——傅里叶变换的对称性 采样定理傅里叶变换与拉普拉斯变换的关系 系统函数零极点分布稳态响应全通系统最小相移网络稳定系统BIBO稳定 无失真传输佩利-维纳准则零阶抽样保持帕塞瓦尔定理Z变换Z 平面与S平面映射关系 H(Z)系统函数收敛域包含单位圆，无穷远点的含义
连续时间信号：一般也称模拟信号。 连续时间系统： 系统的输入、输出都是连续的时间信号。 离散时间信号：离散信号可以由模拟信号抽样而得，也可以由实际系统生成。 离散时间系统： 系统的输入、输出都是离散的时间信号。如数字计算机。 量化： 采样过程：就是对模拟信号的时间取离散的量化值过程。——得到的就是离散信号。 幅值量化：幅值只能分级变化。 数字信号：离散信号在各离散点的幅值被量化的信号。 系统分析： 连续时间系统——微分方程描述 时域分析：经典法（齐次解 + 特解） 【零输入响应 + 零状态响应】
变换域分析（频域分析）：拉氏变换法。 离散时间系统——差分方程描述 时域分析：经典法（ 齐次解 + 特解 ） 【零输入响应 + 零状态响应】 变换域分析（频域分析）：Z 变换法。 离散时间系统的数学模型——差分方程 单位序列： 时移性： 比例性： 抽样性： δ(k)与δ(t) 差别: 0,0()1,0k k k δ≠?=?=? 0,()1,k j k j k j δ≠?-= ?=?(),() c k c k j δδ-()()(0)( )f k k f k δδ=???≠=∞=000)(t t t δ1)(=?∞ ∞ -dt t δ
? δ(t)用面积表示强度， (幅度为∞,但强度为面积)； ? δ(k)的值就是k=0时的瞬时值（不是面积）； ? δ(t) ：奇异信号，数学抽象函数； ? δ(k)：非奇异信号，可实现信号。 利用单位序列表示任意序列 单位阶跃序列： ???=≠=0,10,0)(k k k δ0()()() i x k x i k i δ∞ ==-∑ 10()00k k k ε≥?=?
离散时间信号与系统 离散时间信号与系统是数字信号处理领域中的重要概念。离散时间信号是在离散时间点上取值的信号，而离散时间系统则是对离散时间信号进行处理或操作的系统。在本文中，我们将详细探讨离散时间信号与系统的基本概念、特性和应用。 一、离散时间信号的定义和表示 离散时间信号是在离散时间点上取值的信号，通常用序列表示。离散时间序列可以用数学公式或图形方式表示。其中，数学公式表示常用的形式是$x[n]$，而图形表示则可以通过绘制离散时间序列的点来展示。 离散时间信号可以分为有限长序列和无限长序列。有限长序列在某一区间上有值，而在其他区间有值或为零。无限长序列在整个时间轴上有值，通常会满足某些性质，如周期性或衰减性。 二、离散时间系统的定义和分类 离散时间系统是对离散时间信号进行处理或操作的系统。离散时间系统可以通过输入输出关系来定义。输入为离散时间信号，输出为对输入信号进行处理或操作后得到的信号。 离散时间系统可以分为线性系统和非线性系统、时不变系统和时变系统、因果系统和非因果系统、稳定系统和非稳定系统等不同类别。不同类别的系统具有不同的特性和性质，对信号的处理方式也会有所不同。
三、离散时间信号与系统的特性 离散时间信号与系统具有许多特性。其中一些重要的特性包括时域 特性、频域特性和稳定性。时域特性描述了信号或系统在时间上的行为，频域特性描述了信号或系统在频率上的行为，而稳定性则描述了 系统的输出是否受到输入的限制。 离散时间信号的时域特性可以通过序列的幅值、相位和频率来描述。离散时间系统的时域特性可以通过系统的冲激响应、单位样值响应和 单位阶跃响应来描述。频域特性则可以通过离散时间信号和系统的傅 里叶变换来描述。 四、离散时间信号与系统的应用 离散时间信号与系统在数字信号处理中有广泛的应用。其中一些常 见的应用包括音频处理、图像处理、通信系统和控制系统等。 在音频处理中，离散时间信号与系统用于音频信号的录制、编码和 解码。它可以通过滤波和均衡等方式改善音频信号的质量。 在图像处理中，离散时间信号与系统用于图像的压缩、增强和恢复。它可以通过滤波、变换和插值等技术来提高图像的清晰度和细节。 在通信系统中，离散时间信号与系统用于数字调制、信号解调和信 号传输等。它可以通过编码、调制和解调等方式实现高效的数据传输。 在控制系统中，离散时间信号与系统用于控制器的设计、参数估计 和系统辨识等。它可以通过反馈控制和滤波等方式实现对系统的控制 和调节。
离散时间系统的时域特性分析 离散时间系统是指输入和输出均为离散时间信号的系统，如数字滤波器、数字控制系统等。时域分析是研究系统在时间上的响应特性，包括系统的稳定性、响应速度、能否达到稳态等。 在时域分析中，我们通常关注系统的单位采样响应、阶跃响应和脉冲响应。 1. 单位采样响应 单位采样响应是指当输入信号为单位脉冲序列时，系统的输出响应。在时间域上，单位脉冲序列可以表示为: $$ u[n] = \begin{cases}1 & n=0\\ 0 & n \neq 0\end{cases} $$ 系统的单位采样响应可以表示为: $$ h[n] = T\{ \delta[n]\} $$ 其中，$T\{\}$表示系统的传输函数，$\delta[n]$表示单位脉冲序列。 通常情况下，我们可以通过借助系统的差分方程求得系统的单位采样响应。对于一种具有一阶差分方程的系统，其单位采样响应可以表示为: 2. 阶跃响应 其中，$\alpha$为系统的传递常数。 3. 脉冲响应 脉冲响应是指当输入信号为任意离散时间信号时，系统的输出响应。其主要思路是通过将任意输入信号拆解成单位脉冲序列的线性组合，进而求得系统的输出响应。 设输入信号为$x[n]$，系统的脉冲响应为$h[n]$，则系统的输出信号$y[n]$可以表示为: $$ y[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k]h[n-k] $$ 在实际计算中，通常采用卷积算法实现脉冲响应的计算，即将输入信号和脉冲响应进行卷积运算。 总之，时域特性分析是对离散时间系统进行分析和设计时的基础。对于实际工程应用中的系统，需要综合考虑其时域和频域特性，进而选择合适的滤波器结构、控制算法等来实现系统的优化设计。
电子信息工程系实验报告 课程名称：数字信号处理 实验项目名称：离散时间信号与系统的傅立叶分析 实验时间： 班级：通信091 姓名：刘跃维 学号： 实 验 目 的: 用傅立叶变换对离散时间信号和系统进行频域分析 实 验 环 境: 计算机 MATLAB 软件 原理说明： 对信号进行频域分析就是对信号进行傅立叶变换。对系统进行频域分析即对它的单位脉冲响应进行傅 立叶变换，得到系统的传输函数；也可以由差分方程经过傅立叶变换直接求它的传输函数；传输函数代表 的就是系统的频率响应特性。但传输函数是w 的连续函数，计算机只能计算出有限个离散频率点的传输函 数值，因此得到传输函数以后，应该在π2~0之间取许多点，计算这些点的传输函数的值，并取它们的 包络，该包络才是需要的频率特性。当然，点数取得多一些，该包络才能接近真正的频率特性。 注意：非周期信号的频率特性是w 的连续函数，而周期信号的频率特性是离散谱，它们的计算公式不 一样，响应的波形也不一样。 实验内容和步骤 1．已知系统用下面差分方程描述： )1()()(-+=n ay n x n y 试在95.0=a 和5.0=a 两种情况下用傅立叶变换分析系统的频率特性。要求写出系统的传输函数，并打 印w e H jw ~)(曲线。 MATLAB 代码如下： B=1;A=[1,-0.95]; subplot(2,3,3);zplane(B,A); xlabel('实部Re');ylabel('虚部Im');title('y(n)=x(n)+0.95y(n-1)传输函数零、极点分布');grid on [H,w]=freqz(B,A,'whole'); subplot(2,3,1);plot(w/pi,abs(H),'linewidth',2);grid on; xlabel('\omega/\pi');ylabel('|H(e^j^\omega)|');title('幅频响应特性'); axis([0,2,0,2.5]); subplot(2,3,2);plot(w/pi,angle(H),'linewidth',2);grid on; axis([-0.1,2.1,-1.5,1.5]); xlabel('\omega/\pi');ylabel('\phi(\omega)');title('相频响应特性'); B=1;A=[1,0.5]; subplot(2,3,6);zplane(B,A); xlabel('实部Re');ylabel('虚部Im');title('y(n)=x(n)-0.5y(n-1)传输函数零、极点分布');grid on
评阅人实验成绩 装 订 线 本科生实验报告 数字信号处理课程实验报告 实验名称离散时间信号和系统响应 一、实验原理、目的与要求 1.实验目的 （1）熟悉连续信号经理想采样前后的频谱变化关系，加深对时域采样定理的理解。 （2）熟悉时域离散系统的时域特性。 （3）利用卷积方法观察分析系统的时域特性。 （4）掌握序列傅里叶变换的计算机实现方法，利用序列的傅里叶变换对连续信号、离散信号及系统响应进行频域分析。 2. 实验原理与方法 采样是连续信号数字处理的第一个关键环节。 对一个连续信号 xa(t) 进行理想采样的过程可用下式表示。 其中xˆa(t)为xa(t)的理想采样，p(t) 为周期冲激脉冲，即 xˆa (t)的傅里叶变换为 代入并进行傅里叶变换得，
装 订 线 式中的 xa(nT ) 就是采样后得到的序列 x(n)，即 x(n) 的傅里叶变换为 比较可知 在数字计算机上观察分析各种序列的频域特性，通常对 ( ) jw X e 在[0,2p ] 上进行 M 点采样来观察分析。对长度为 N 的有限长序列 x(n) ，有 一个时域离散线性非移变系统的输入/输出关系为 上述卷积运算也可以在频域实现 3.实验要求 （1）简述实验目的及实验原理。 （2）按实验步骤附上实验过程中的信号序列、系统单位脉冲响应及系统响应序列的时 域和幅频特性曲线，并对所得结果进行分析和解释。 （3）总结实验中的主要结论。 （4）简要回答思考题
装 二、实验仪器设备（标注实验设备名称及设备号） 订 线 Windows 计算机台号 22 Matlab 软件 三、实验内容步骤及结果分析 1.分析采样序列的特性。 分析采样序列的特性。产生采样信号序列 xa(n)，使 A = 444.128 ， a = 70.711， W0 = 70.711 。
第1章时域离散时间信号和时域离散系统 第1章时域离散信号和时域离散系统本章主要内容时域离散信号的基本概念及典型序列时域离散系统的定义及其性质线性时不变系统的输入/输出δ(n )求解法时域离散系统的输入输出法：线性常系数差分方程模拟信号数字处理方法Matlab实现1.1引言信号的分类系统的分类信号的分类时 域连续信号（模拟信号）：信号的自变量和函数值都取连续值，例如语言信号、温度信号等；时域离散信号：如果自变量取离散值，而函数值取连续 值，这种信号通常来源于对模拟信号的采样；数字信号：信号的自变量和函数值均取离散值。模拟信号采样间隔T=0.005s进行等间隔采样 ，得时域离散信号x(n)，={…，0.0，0.6364，0.9，0.6364，0.0，-0.6364，-0.9，-0.63 64，…}显然,时域离散信号是时间离散化的模拟信号。如果用四位二进制数表示该时域离散信号，得到相应的数字信号x［n］={…， 0.000，0.101，0.111，0.101，0.000，1.101，1.111， 1.101，…}数字信号是幅度、时间均离散化 的模拟信号，或者说是幅度离散化的时域离散信号。系统的分类模拟系统时域离散系统数字系统模拟网络和数字网络构成的混合系统1.2 时域离散信号—序列序列的定义及表示常用的典型序列序列的周期性用单位脉冲序列表示任意序列序列的基本运算1.2.1序列的定义及表示序列的定义数字序列：离散时间信号{-2,5,-6,8,3,-7}一般只在均匀间隔的离散时间nT上给出数值{ (x) -2T),X(-1T),X(0),X(T),X(2T),…}序列的表示用集合符号表示用公式表示用图形表示序列表示用集合符号 表示x(n)={x(n)}，-∞＜n＜+∞x(n)={……,x(-2),x(-
第三章离散时间信号与系统的时域分析 (72) 3.1离散时间信号 (72) 3.1.1离散时间信号 (72) 3.1.2常用离散信号 (74) 3.1.3离散信号的基本运算 (78) 3.1.4基于MA TLAB的离散信号分析 (81) 3.2离散时间系统 (82) 3.2.1离散时间系统的描述 (82) 3.2.2差分方程的求解 (83) 3.2.3 零输入响应和零状态响应 (86) 3.2.4 单位脉冲响应h(n) (89) 3.2.5 基于MA TLAB的离散系统分析 (90) 3.3离散系统的零状态响应-卷积和 (92) 3.3.1卷积和的定义 (92) 3.3.2卷积和的解法 (93) 3.3.3卷积和的性质 (95) 3.3.4 MATLAB求解卷积和 (96) 3.4 离散LTI系统因果性与稳定性的判断 (97) 本章小结 (99) 习题三 (100)
第三章 离散时间信号与系统的时域分析 前面几章分析了连续时间信号与系统，认识了连续时间信号与系统的特性与分析方法。从本章开始，研究离散时间信号与系统。离散时间信号与系统的分析方法在许多方面与连续时间信号与系统有着相似性。在连续系统中，描述系统的数学模型是微分方程；而在离散系统中，描述系统的数学模型是差分方程。差分方程与微分方程的解法也是类似的。在连续系统中，“卷积积分”有着重要意义；而在离散系统中，“卷积和”方法具有同等重要的地位。在连续系统中，大都采用变换域方法，即傅里叶变换与拉普拉斯变换方法；而在离散系统中则采用傅里叶变换与z 变换方法。因此，在学习离散时间信号与系统时，应常常与对应的连续时间信号与系统的分析方法联系起来，比较两者的异同。只有这样，才能更好地掌握离散系统某些独特的性能，巩固和加深对连续系统的理解。 表3.1.1 离散系统与连续系统的比较 由于连续时间信号与系统和离散时间信号与系统的研究各有其应用背景，因此两者沿着各自的道路平行的发展。连续时间信号与系统主要是在物理学和电路理论方面得到发展，而离散时间信号与系统的理论则在数值分析、预测与统计等方面开展研究工作。由于数字计算机功能日趋完善，其应用也日益广泛；同时，大规模集成电路研制的进展使得体积小、重量轻、成本低、机动性好的离散系统有可能实现。因此，离散时间信号与系统的分析越来越受到人们的重视。 3.1 离散时间信号 3.1.1离散时间信号 1、离散时间信号的概念 实际上，按照信号的定义域与值域是连续还是离散的，信号可以细分为如下两大类，四种： 连续时间信号，简称连续信号：若幅度也连续，称为模拟信号；若幅度离散，称为量化信号，如图3.1.1所示。 离散时间信号，简称离散信号：若幅度也离散，称为数字信号；若幅度连续，称为抽样信号，如图3.1.2所示。 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪⎨ ⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧幅度离散：数字信号幅度连续：抽样信号离散时间信号幅度离散：量化信号幅度连续：模拟信号连续时间信号信号
自动控制原理离散系统知识点总结自动控制原理中的离散系统是指在时间域和数值范围上都是离散的系统。在离散系统中，信号是以离散时间点的形式传递和处理的。本文将对自动控制原理离散系统的知识点进行总结，包括离散系统的概念、离散信号与离散系统的数学表示、离散系统的稳定性分析与设计等。 一、离散系统的概念与特点 离散系统是指系统输入、输出和状态在时间上都是以离散的方式存在的系统。与连续系统相比，离散系统具有以下特点： 1. 离散时间：离散系统的输入、输出和状态是在离散时间点上采样得到的，而不是连续的时间信号。 2. 离散数值：离散系统的输入、输出和状态都是以离散数值的形式存在的，而不是连续的模拟数值。 二、离散信号与离散系统的数学表示 离散信号是指在离散时间点上采样得到的信号。离散系统可以通过离散信号的输入与输出之间的关系进行描述。常见的离散系统数学表示方法有差分方程和离散时间传递函数。 1. 差分方程表示：差分方程是通过离散时间点上的输入信号和输出信号之间的关系来描述离散系统的。差分方程可以是线性的或非线性的，可以是时不变的或时变的。
2. 离散时间传递函数表示：离散时间传递函数描述了离散系统输入 与输出之间的关系，类似于连续时间传递函数。离散时间传递函数可 以通过Z变换得到。 三、离散系统的稳定性分析与设计 离散系统的稳定性是指系统的输出在有限时间内收敛到有限范围内，而不是无限增长或震荡。离散系统的稳定性分析与设计是自动控制原 理中的重要内容。 1. 稳定性分析：离散系统的稳定性可以通过判断系统的极点位置来 进行分析。若系统的所有极点都位于单位圆内，则系统是稳定的；若 存在至少一个极点位于单位圆外，则系统是不稳定的。 2. 稳定性设计：若离散系统不稳定，可以通过调整系统的参数或设 计控制器来实现稳定性。常见的稳定性设计方法包括PID控制器调整、根轨迹设计等。 四、离散系统的性能指标与优化 离散系统的性能指标与优化是指通过调整控制器参数或控制策略， 使离散系统的性能得到优化。常见的性能指标包括系统的稳态误差、 响应速度、稳态误差、阻尼比等。 1. 稳态误差：稳态误差是指系统在稳态时输出与期望值之间的差距。通过调整控制器参数或控制策略，可以减小稳态误差。 2. 响应速度：响应速度是指系统从输入变化到输出稳定所需要的时间。通过调整控制器参数或控制策略，可以提高系统的响应速度。
南京邮电大学 实验报告 实验名称：离散时间信号与系统的时、频域表示离散傅立叶变换和z变换 数字滤波器的频域分析和实现 数字滤波器的设计 课程名称数字信号处理A(双语) 班级学号B13011025 姓名陈志豪 开课时间2015/2016学年，第1学期
实验名称：离散时间信号与系统的时、频域表示 实验目的和任务： 熟悉Matlab基本命令，理解和掌握离散时间信号与系统的时、频域表示及简单应用。在Matlab环境中，按照要求产生序列，对序列进行基本运算；对简单离散时间系统进行仿真，计算线性时不变（LTI）系统的冲激响应和卷积输出；计算和观察序列的离散时间傅立叶变换（DTFT）幅度谱和相位谱。 实验内容： 基本序列产生和运算：Q1.1～1.3，Q1.23，Q1.30～1.33 离散时间系统仿真：Q2.1～2.3 LTI系统：Q2.19，Q2.21，Q2.28 DTFT：Q3.1，Q3.2，Q3.4 实验过程与结果分析： Q1.1运行程序P1.1，以产生单位样本序列u[n]并显示它。 clf; n = -10:20; u = [zeros(1,10) 1 zeros(1,20)]; stem(n,u); xlabel('Time index n'); ylabel('Amplitude'); title('Unit Sample Sequence'); axis([-10 20 0 1.2]);
Q1.2 命令clf，axis，title，xlabel和ylabel命令的作用是什么？ 答：clf命令的作用：清除图形窗口上的图形； axis命令的作用：设置坐标轴的范围和显示方式； title命令的作用：给当前图片命名； xlabel命令的作用：添加x坐标标注； ylabel c命令的作用：添加y坐标标注； Q1.3修改程序P1.1，以产生带有延时11个样本的延迟单位样本序列ud[n]。运行修改的程序并显示产生的序列。 clf; n = -10:20; u = [zeros(1,21) 1 zeros(1,9)]; stem(n,u); xlabel('Time index n'); ylabel('Amplitude'); title('Unit Sample Sequence'); axis([-10 20 0 1.2]); Q1.23修改上述程序，以产生长度为50、频率为0.08、振幅为2.5、相移为90度的一个正弦序列并显示它。该序列的周期是多少？ n = 0:50;
实验报告 课程名称： 信号分析与处理 指导老师： 杨欢老师 成绩：__________________ 实验名称：离散傅里叶变换和快速傅里叶变换 实验类型： 基础实验 同组学生姓名： 第四次实验 离散时间信号和系统分析 一、实验目的 1.1掌握离散时间信号和系统的基本概念及其运算的实现； 1.2通过仿真实验，建立对典型的离散时间信号和系统的直观认识。 1.3 会用Matlab 软件进行以上练习。 二、实验原理 装 订 线
三、主要仪器设备 1.PC1台。 2.Matlab 2013仿真软件1套（不过我的Matlab到期了，下了LabVIEW代替——代码是相似的）。 四、程序文件与结果 说明：对于每道题，遵循以下格式：题干- 程序- 结果- 分析 4.1实现单位脉冲序列、单位阶跃序列、矩形序列、实指数序列、正弦型序列 程序： x=zeros(1,32);%单位脉冲序列，平移了五个单位
x(5)=1; n=0:31; subplot(3,2,1);stem(n,x,'.') x=zeros(1,32);%单位阶跃序列，平移了五个单位 n=[1:32]; x=[(n-5)>=0]; subplot(3,2,2);stem(n,x,'.') x=zeros(1,32); n=[1:32];%矩形序列 x=[(n-10)>=0&(n-20)<=0]; subplot(3,2,3);stem(n,x,'.') n=[1:20]; %实指数序列 x=exp(0.1*n); subplot(3,2,4);stem(n,x,'.') n=[1:20]; %正弦型序列 x=sin(0.1*pi*n); subplot(3,2,5);stem(n,x,'.') 结果： 通过分别查x 的值（原数据太长，这里已截取），可得： 单位脉冲序列（平移了五个单位）： n= 1 2 3 4 5 6 7 x= 0 0 0 0 1 0 0 单位阶跃序列（平移了五个单位）： n= 1 2 3 4 5 6 7 x= 0 0 0 0 1 1 1 矩形序列： n= 1 2 ... 9 10 11 12 ... 19 20 21 22 x= 0 0 ... 0 1 1 1 1 ... 1 1 0 0 实指数序列： n= 1 2 3 ... x= 1.10517 1.22140 1.34986 ... 正弦型序列： n= 1 2 3 ... x= 0.30902 0.58779 0.80902 ... 各序列图形如下 理论分析与解释：这就是对原来的连续信号进行理想采样。不过，有一点需要我们注意：对于正弦信号，理想采样的周期与正弦信号周期的比应为有理数，这样我们才能采集到一个周期序列，若比值为无理数，则采集到的序列不具有周期性，为进一步的分析造成麻烦。 4.2某有限长序列{}()8,7,9,5,1,7,9,5x n =，实现 1) ()x n 和()x n -
实验二 离散时间信号与系统的Z 变换分析 一、 实验目的 1、熟悉离散信号Z 变换的原理及性质 2、熟悉常见信号的Z 变换 3、了解正/反Z 变换的MATLAB 实现方法 4、了解离散信号的Z 变换与其对应的理想抽样信号的傅氏变换和拉氏变换之间的关系 5、了解利用MATLAB 实现离散系统的频率特性分析的方法 二、 实验原理 1、正/反Z 变换 Z 变换分析法是分析离散时间信号与系统的重要手段。如果以时间间隔s T 对连续时间信号f （t)进行理想抽样，那么，所得的理想抽样信号()f t δ为： ()()*()()*()Ts s k f t f t t f t t kT δδδ∞ =-∞ ==-∑ 理想抽样信号()f t δ的双边拉普拉斯变换F δ （s)为： ()()*()()s ksT st s s k k F s f t t kT e dt f kT e δδ∞∞∞ ---∞=-∞=-∞⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦∑∑⎰ 若令()()s f kT f k = ，s sT z e = ， 那么()f t δ的双边拉普拉斯变换F δ (s ）为： ()()()sT s k z e k F s f k z F z δ∞-==-∞= =∑ 则离散信号f （k ）的Z 变换定义为： ()()k k F z f k z ∞-=-∞= ∑ 从上面关于Z 变换的推导过程中可知，离散信号f (k ）的Z 变换F(z ）与其对应的理想抽样信号()f t δ的拉氏变换F δ （s)之间存在以下关系： ()()sT s z e F s F z δ== 同理，可以推出离散信号f (k )的Z 变换F(z)和它对应的理想抽样信号()f t δ的傅里叶变换之间的关系为 ()()j Ts z e F j F z δωΩ== 如果已知信号的Z 变换F （z ），要求出所对应的原离散序列f （k )，就需要进行反Z 变换，反Z 变换的定义为： 11()()2k f k F z z dz j π-=⎰ 其中，C 为包围1()k F z z -的所有极点的闭合积分路线。 在MATLAB 语言中有专门对信号进行正反Z 变换的函数ztrans （ ） 和itrans( ).其调用格式分 别如下： F=ztrans( f ） 对f(n)进行Z 变换,其结果为F(z ）
第一章 离散时间信号与系统的时域分析 本章内容的逻辑思路是： 从物理的角度分析离散时间信号；从数学的角度分析离散时间信号；离散时间系统概念及定性；离散时间系统的时域分析。 1.从物理的角度分析离散时间信号 从物理的角度分析离散时间信号就是通过模拟信号数字化处理方法回答以下几个问题： （1）模拟信号经理想抽样后得到的离散时间信号的时域形式； （2）离散时间信号的频域（谱）形式，由此得到时域抽样定理； （3）能否从抽样信号（离散时间信号）恢复到原模拟信号，由此得到抽样内插公式。 1.1理想抽样 由图1-21、图1-22和δ(t-nT )的抽样性质有： ∑∑∞-∞ =∞ -∞ ===-=-⋅ =⋅=n n nT t a a a a A t x nT t nT x nT t t x t p t x t x |)()()()()()()()(δδ 离散时间信号的时域特征：理想抽样。 1.2理想抽样信号的频谱——时域抽样定理 设：)()(Ω↔j X t x a a ；)()(Ω↔j X t x A A ，由下式可得到)(Ωj X A 为： s m a t j A A jm j X T dt e t x j X Ω-Ω=∞-∞ = Ω∑⎰∞ -∞ =Ω-(1)()(） 式中T s π 2= Ω称为抽样角频率，而s f T 1=称为时域抽样间隔。由上式和图1-24可知： （1）离散时间信号的频域特征：周期延拓，延拓周期T s π 2= Ω； （2）时域抽样定理：时域不失真抽样的条件是max 2f f s ≥，该条件即为奈奎斯特抽样定理。 1.3抽样的恢复——抽样内插公式 由图1-25可知，如抽样满足奈奎斯特定理（2 m ax s f f ≤ ），则可以将抽样信号通过一个理想的低通滤波器G(j Ω),该G(j Ω)的截止频率也为 2 s f （折叠频率），将延拓成份全部滤掉，而仅仅保留基带成分，即原模拟信号的频谱。在数学上，我们可以从频域和时域来分析。 频域： ⎩⎨⎧=Ωo T j G )( 2 /||2/||s s Ω≥ΩΩ<Ω
9 离散时间信号与系统 在这一章中，我们首先考虑离散时间信号，或者，更简单，离散信号。一个离散时间信号被定义在一个确切的时间点。我们定义一个离散时间信号为x[n]。其中地理变了n只可以去证书的值。在本张杰的第二个问题，我们考虑离散时间系统，或者，更简单，离散系统。离散时间系统是指所有信号在时间上都是离散的。这章紧跟着第二章的概要。 如上所述，一个离散信号只被定义为在离散的时间。例如，假设一个连续时间信号f(t)被一个数字电脑处理。[这个操作成为数字信号处理DSP。]因为计算机处理一个数字，连续时间信号必须被转换成一个序列。这种转换过程叫做采样。如果信号是按时间t的增量采样的，数字序列f(nT),n=…,-2,-1,0,1,2,…,结果。时间增量T被称为采样周期。（这里与接下来的章节有一点混乱的危险，符号T被用于表示采样周期，而在章节5和6不是这样.）图9.1(a)所示是采样过程，其中每个样本值由通过一条垂线端点表示。 通常被用于采样的硬件在标9.1(b)中。正如第一章所述，模数转换器（A/D或ADC）是一个电子电路，将每个样品取样电压信号并将其转换成一个二进制数，二进制数字可以被发送到数字计算机来被处理。因此，一个A/D勇于生成和传输数列给计算机。取样时间是由计算机的定时脉冲决定。 一个信息是关于符号整齐的。符号f（t）表示一个连续信号。符号f(nT)表示在f(t)值在t=nT。符号f[n]表示一个时域离散信号，只被定义在整数。圆括号表示连续时间；括号表示离散时间。然而，这个符号不是万能的；他在这里是用来区分f(nT)和f[n].如果f[n]是有f(t)间隔T秒采样而得，然后 f(nT)=f(t)|t=nT 还有 f[n]=f(t)|t=nT≠f(t)|t=n （9.1）
第五章 离散系统的时域分析习题解答 5-1. 画出下列各序列的图形： 。 )2()( )6( );()()( )5( );()()( )4(; 0 ,)2(30 ,2)( )3( );1()12()( )2( );2()( )1(16315324321k f k f k f k f k f k f k f k f k k k k f k k f k k k f k k -==+=⎩⎨⎧<+=++=+=- εε 5-2 写出图示各序列的表达式。 解： ) 6()3(2)()( )d ( )1()1()( )c ()]6()3([2)( )b ( )]5()1()[1()( )a (41321---+-=--=---=----=-k k k k f k k f k k k f k k k k f k εεεεεεεε 5-3. 判断以下序列(A 、B 为正数)是否为周期序列，若是周期序列，试求其周期。 )(sin )( )3( )( )2( )8 73cos()( )1(08)(k k A k f e k f k B k f k j εωπππ==-=- 解：; 14 , , 3 14)732( )1( =∴=T 且它为周期序列为有理数 ππ . , )( )3(; , 16)812( )2(它为非周期序列为单边函数它为非周期序列为无理数∴∴=k f ππ 5-4. 解：)]1()1()([1)(1100 ---+=k y b k f a k f a b k y (a) (b) )
即：)1()()1()(1010-+=-+k f a k f a k y b k y b ，为一阶的。 5-5. 出其阶次。 解：)1()()2()1()(1021-+=----k f a k f a k y b k y b k y ，二阶的。 5-6. 如果在第k 个月初向银行存款x (k )元，月息为 ，每月利息不取出，试用差 分方程写出第k 个月初的本利和y (k )，设x (k ) 10元， 0.0018，y (0) 20元，求y (k )，若k 12，则y (12)为多少。 解：)()1()1()( )1()1()()(k x k y k y k y k x k y =-+-⇒-++=αα 元63.1415 .5555)0018.1(5.5575)12(5.5555)0018.1(5.5575)(5.55755.5555205 .5555)0018.1()(5.5555)(5.55510 100018.110 , 10)( ),0018.1()(0018.1 00018.1 10)1(0018.1)(121 11 00010=-=⇒-=⇒=⇒-=⇒-=⇒-=⇒-=⇒=⨯-===⇒=-⇒=-- y k y C C C k y k y A A A A k y C k y k y k y k k d d k λλ 5-7. 设x (0)，f (k )和y (k )分别表示离散时间系统的初始状态、输入序列入和输出 序列，试判断以下各系统是否为线性时不变系统。 ) (8)0(6)( )4( )(8)0(6)( )3() ()( )2( )672sin()()( )1(2 k f x k y k f k x k y i f k y k k f k y k i +=+==+=∑-∞ =ππ 解：(1)满足齐次性和可加性，为线性系统，但显然不是时不变系统； (2)累加和满足齐次性、可加性和时不变性，为线性时不变性系统； (3)不满足齐次性、可加性和时不变性，不是线性时不变性系统； (4)虽满足时不变性，但不满足齐次性、可加性，不是线性时不变性系统； 5-8 根据差分方程式写出下列系统的传输算子H (E )： )2(2)2()1()2()1(2)( )4() (5)2(2)1()( )3() 3(3)2()2(2)( )2()2()1()2()1()( )1(211 -+-+-+---==-+-----=---+-+-+-=k f k f k f k y k y k y k f k y k y k y k f k f k y k y k f d k f c k by k ay k y 解：; )()()()()()()1(2 2121b aE E d cE E H k f dE cE k y bE aE k y --+= ⇒+++=---- . 1 22)( , 121)()4(; 2 5)()3( ; )2(3)()2(222122 2+-=+-+=+-=--=E E E H E E E E H E E E E H E E E E H