一、函数的概念
一、映射
1．映射：设A 、B 是两个非空集合，如果按照某种对应关系f ，对于集合A 中的任意元素，在集合B 中都有惟一元素和它对应，这样的对应叫做集合A 到集合B 的映射，记作：B A f →:;
2．象与原象：如果B A f →:是一个A 到B 的映射，那么和A 中的元素a 对应的元素叫做象，
a 叫做原象;
3.映射的性质：
①方向性：集合A 到集合B 的映射与集合B 到集合A 的映射是不同的;
②任意性：集合A 中的任意一个元素在集合B 中都要有象，但不要求B 中的每一个元素在A 中都要有原象;
③惟一性：集合A 中元素的象是惟一的，即“一对一”、“多对一”是允许的，但“一对多”是不允许的.
二、函数
1．定义：设A 、B 是两个非空数集．．，B A f →:是从A 到B 的一个映射，则映射B A f →:就叫做A 到B 的函数，记作：()x f y =;
2．函数的三要素为:定义域、值域、对应法则，两个函数当且仅当定义域和对应法则分别相同时，二者才能称为同一函数;
3．函数的表示法有：解析式、列表法、图像法.
例1、（1）给出下列四个对应,是映射的是（ ）
① ② ③ ④ A.②④ B.
①② C. ②③ D.①④ (2)设{}{}|
02,|12,A x x B y y
=≤≤=≤≤在下图中,能表示从集合A 到集合B 的映射是
.A
.B
.D
(3)已知集合{}
04P x x =≤≤，{}
02Q x x =≤≤，下列不表示．．．
从P 到Q 的映射是 .A f ：x y x 21=
→ .B f ∶x y x 31
=→ .C f ∶x y x 3
2
=→ .D f ∶x y x =→
例2、（1）已知(),x y 在映射f 作用下的象是(),x y xy +. ① 求()2,3-在f 作用下的象
② 若在f 作用下的象是()2,3，求它的原象
（2）给定映射:(,)(2,)f x y x y xy →+，点()2,4的原象是
（3）设集合A 和B 都是实数集，映射B A f →:把集合A 中的元素x 映射到集合B 中的元素
13+-x x ，则在映射f 下，象1的原象组成的集合是( )
.A {}1 .B {}1,0,1- .C {}0 .D {}2,1,0--
二、区间的概念
设,a b 是两个实数，而且a b <，规定：
（1）满足不等式a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[,]a b ； （2）满足不等式a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，表示为(,)a b ；
（3）满足不等式a x b ≤<或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，表示为[,)a b ，(,]a b ． 这里的实数a 与b 都叫做相应区间的端点。
在数轴上，这些区间可以用一条以a 和b 为端点的线段来表示（如下表），在图中，用实心点表示包
括在区间内的端点，空心点表示不包括在区间内的端点。
例3（1）用区间表示下列集合：
（1）{|||3}x x ≤； （2）{|x x R ∈且0}x ≠； （3）{|2x x ≤-或1}x >．
（2）已知集合{|54}A x x =-<<，{|1B x x =≥或0}x <，用区间表示A ，B ，A B ，A
B ．
三、求解函数的定义域
a
b
b
例4、求下列函数的定义域 （1）42
1
-=x y （2）x x y 312--=
（3）x
x x y 1
232+-+= （4）2)1(0++=
x x y
例5、（1）已知函数)(x f 的定义域为[]4,1，求)2(x f 的定义域
（2）已知函数)1(+x f 的定义域为[]4,2，求)12(-x f 的定义域
例6已知函数()f x =R ，求实数k 的范围.
例7、下列各题中的两个函数是否表示同一个函数
（1）()=x f 2x ，()=x g 33x ；
（2）()=x f x ，()=x g 2x ；
（3）()=x f 1
1
2--x x ，()=x g 1+x ；
（4）()1+=x x x f ，()=
x g x x +2；
（5）()122
--=x x x f ，()122
--=t t t g ;
(6)
x x x f 2)()(=,2)()(x x
x g =
(7) ()0
x x f =,()1=x g
三、求函数解析式
求函数解析式的方法： （1） 待定系数法 （2） 换元法 （3） 配凑法
（4） 特殊值法和消元法
（5） 运用函数的性质求其解析式
例8、（1）已知)(x f 是单调递增的一次函数，且[]14)(-=x x f f ，求)(x f
（2）已知)(x f 是二次函数，且1)3()1(==f f ，)(x f 有最小值为-2，求)(x f
（3）已知函数23)1(2
+-=+x x x f ，求)(x f
（4）已知函数x x x f 8)4(+=+，求)(x f
（5）已知函数)(x f y =满足x x
f x f 2)1
()(2=+，，求)(x f
例9、（1）已知234(0)()(0)0(0)x x f x x x π?->?
=??
，求(2)f -，((1))f f ，((0))f f ．
（2）已知函数2(0)()1(0)0(0)x x f x x x ?>?
==??
，求(2)f ，(2)f -，((2))f f -，(((2)))f f f -．
（3）已知()2)(,111
)(2+=≠∈+=x x g x R x x
x f 且 （1） 求)2(),2(g f
（2） 求()[]2g f （3） 求()[]x g f
函数的概念与定义域
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一、函数的概念 一、映射 1．映射：设A 、B 是两个非空集合，如果按照某种对应关系f ，对于集合A 中的任意元素，在集合B 中都有惟一元素和它对应，这样的对应叫做集合A 到集合B 的映射，记作：B A f →:; 2．象与原象：如果B A f →:是一个A 到B 的映射，那么和A 中的元素a 对应的元素叫做象， a 叫做原象; 3.映射的性质： ①方向性：集合A 到集合B 的映射与集合B 到集合A 的映射是不同的; ②任意性：集合A 中的任意一个元素在集合B 中都要有象，但不要求B 中的每一个元素在A 中都要有原象; ③惟一性：集合A 中元素的象是惟一的，即“一对一”、“多对一”是允许的，但“一对多”是不允许的. 二、函数 1．定义：设A 、B 是两个非空数集．．，B A f →:是从A 到B 的一个映射，则映射B A f →:就叫做A 到B 的函数，记作：()x f y =; 2．函数的三要素为:定义域、值域、对应法则，两个函数当且仅当定义域和对应法则分别相同时，二者才能称为同一函数; 3．函数的表示法有：解析式、列表法、图像法. 例1、（1）给出下列四个对应,是映射的是（ ） ① ② ③ ④ A.②④ B.①② C. ②③ D.①④ (2)设{}{}|02,|12,A x x B y y =≤≤=≤≤在下图中,能表示从集合A 到集合B 的映射是 a m b c n A B a m b c p A B n a m b p A B n a m b A B c . A y 1 2 x O 1 2 . B y 1 2 x O 2 1 . D y 1 2 1 2 x O . C y 1 2 1 2 O x
学生：科目：第阶段第次课教师：课题 函数的基本概念与定义域 教学目标1.了解函数的的基本概念，并能熟练的应用 2.理解函数的三种表示方法，了解分段函数，并能够简单的应用 3.会求函数的定义域 重点、难点函数的定义的理解；求简单函数的定义域 考点及考试要求 1.了解函数的概念； 2.理解函数的三种表示方法； 3.了解简单的分段 函数 教学容 知识框架 知识点一、区间的概念 设b a R b a< ∈且 , , 定义名称符号数轴表示 } | {b x a x≤ ≤闭区间] , [b a } | {b x a x< <开区间) , (b a } | {b x a x< ≤前闭后开区间) , [b a } | {b x a x≤ <前开后闭区间] , (b a 区间是集合的有一种形式.对于区间的理解应注意： （1）区间的左端点必修小于右端点，有时我们将b-a成为区间的长度，对于只有一个元素的集合我们仍然用集合来表示，如{}a； （2）注意开区间) , (b a与点) , (b a在具体情景中的区别.若表示点) , (b a的集合应为{}),(b a；（3）用数轴来表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别； DOC格式.
例5.高为h ，底面半径为R 的圆柱形容器，以单位时间体积为a 的速度灌水.试求水面高y 用时间t 表示的函数式，并求其定义域. 例6.已知函数32341++-= ax ax ax y 的定义域为R ，数a 的取值围. 例7.设}20|{},20|{≤≤=≤≤=y y N x x M ，下图中的四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有（ ）
2 函数的概念、定义域、值域练习题 班级：高一（3）班 姓名： 得分： 一、选择题（4 分×9=36 分） 1. 集合 A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |0≤y ≤2}，下列不表示从 A 到 B 的函数是( ) A ．f (x )→y 1 x B ．f (x )→y 1 2 x C ．f (x )→y ＝ D ．f (x )→y ＝ ＝ ＝ x 2 3 3 2. 函数 y ＝ 1－x 2＋ x 2－1的定义域是( ) A ．[－1，1] B ．(－∞，－1]∪[1，＋∞) C ．[0，1] D ．{－1，1} 3. 已知 f (x )的定义域为[－2，2]，则 f (x 2－1)的定义域为( ) A ．[－1， 3] B ．[0， 3] C ．[－ 3， 3] D ．[－4,4] 4. 若函数 y ＝f (3x －1)的定义域是[1，3]，则 y ＝f (x )的定义域是( ) A ．[1，3] B ．[2，4] C ．[2，8] D ．[3，9] 5. 函数 y ＝f (x )的图象与直线 x ＝a 的交点个数有( ) A ．必有一个 B ．一个或两个 C ．至多一个 D ．可能两个以上 1 6. 函数 f (x )＝ ax 2＋4ax ＋3 的定义域为 R ，则实数 a 的取值范围是( ) 3 3 3 A ．{a |a ∈R } B ．{a |0≤a ≤ } C ．{a |a ＞ } D ．{a |0≤a ＜ } 4 4 4 7. 某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市 场分析，每辆客车营运的利润 y 与营运年数 x (x ∈N )为二次函数关系(如图)，则客车有营运利润的时间不超过( )年． A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 8．(安徽铜陵县一中高一期中)已知g (x )＝1－2x ，f [g (x )]＝ 1－x 2 x 2 (x ≠0)，那么f (1 ) 等于( ) A ．15 B ．1 C ．3 D ．30 9．函数 f (x )＝ 2x －1，x ∈{1,2,3}，则 f (x )的值域是( ) A ．[0，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．{1，3， 5} D ．R 二、填空题 x
2．1 函数概念 1．对于函数y ＝f (x )，以下说法正确的有( ) ①y 是x 的函数； ②对于不同的x ，y 的值也不同； ③f (a )表示当x ＝a 时函数f (x )的值，是一个常量； ④f (x )一定可以用一个具体的式子表示出来． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．区间(0,1)等于( ) A ．{0,1} B ．{(0,1)} C ．{x |0 2．下列各组函数中，表示同一个函数的是( ) A ．y ＝x －1和y ＝x 2－1x ＋1 B ．y ＝x 0和y ＝1 C ．f (x )＝x 2和g (x )＝(x ＋1)2 D ．f (x )＝(x )2x 和g (x )＝x (x )2 3．函数y ＝21－1－x 的定义域为( ) A ．(－∞，1) B ．(－∞，0)∪(0,1] C ．(－∞，0)∪(0,1) D ．[1，＋∞) 4．已知f (x )＝π(x ∈R )，则f (π2)的值是( ) A ．π2 B ．Π C.π D ．不确定 5．已知函数f (x )的定义域A ＝{x |0≤x ≤2}，值域B ＝{y |1≤y ≤2}，下列选项中，能表示f (x )的图像的只可能是( ) 6．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝??? c x ，x 函数的概念知识点总结 本节主要知识点 （1）函数的概念. （2）函数的三要素与函数相等. （3）区间的概念及其表示. 知识点一 函数的概念 初中学习的函数的传统定义 一般地,如果在一个变化过程中,有两个变量x 和y ,对于x 的每一个值,y 都有唯一的值与之对应,我们就说x 是自变量,y 是因变量,此时也称y 是x 的函数. 函数的近代定义 设A , B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数()x f 和它对应,那么就称f :B A →为从集合A 到集合B 的一个函数,记作 )(x f y =,A x ∈. 其中,x 叫作自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域;与x 的值相对应的y 值叫作函数值,函数值的集合{}A x x f y y ∈=),(叫做函数的值域.显然,值域是集合B 的子集. 对函数的近代定义的理解 （1）只有两个非空的数集之间才可能建立函数关系.定义域或值域为空集的函数是不存在的. 如x x y --= 11就不是函数. （2）注意函数定义中的“三性”:任意性、存在性和唯一性. 任意性:集合A 中的任意一个元素x 都要考虑到. 存在性:集合A 中的任意一个元素x ,在集合B 中都存在对应元素y . 唯一性:在集合B 中,与每一个元素x 对应的元素y 是唯一的.人教A版高一数学函数的概念知识点总结与例题讲解