专题一 归纳法
例题1 观察下列等式：
第一个等式：a 1＝21＋3×2＋2×22＝12＋1－1
22
＋1； 第二个等式：a 2＝
2
2
1＋3×22
＋2×()
22
2
＝
122
＋1－1
23＋1
； 第三个等式：a 3＝
2
3
1＋3×23
＋2×()
23
2
＝
123
＋1－1
24＋1
； 第四个等式：a 4＝
2
4
1＋3×24
＋2×()
24
2
＝
124
＋1－125＋1
. 按上述规律，回答下列问题： (1)请写出第六个等式：a 6＝
2
6
1＋3×26
＋2×()
26
2
＝________________； (2)用含n 的代数式表示第n 个等式：a n ＝
2
n
1＋3×2n
＋2×()
2n
2
＝__________；
(3)a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝____(得出最简结果)； (4)计算：a 1＋a 2＋…＋a n .
【解析】（1）6711-2+12+1；（2）1
11-2+12+1n n
(3)a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝
12＋1－122＋1＋122＋1－123＋1＋…＋126＋1－127＋1＝12＋1－127＋1＝1443
； (4)a 1＋a 2＋…＋a n ＝12＋1－122＋1＋122＋1－123＋1＋…＋12n ＋1－12n ＋1＋1＝12＋1－1
2n ＋1＋1＝2()2n
－13()
2n ＋1＋1.
例题2 如图，在平面直角坐标系中，点A1、A2、A3…A n在x轴上，B1、B2、B3…B n在直线y
x上，若A1（1，0），
且△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为S1、S2、S3…S n．则S n可表示为（）
A．2
B．22n﹣
C．22n﹣
D．22n﹣
【解析】∵△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥A n B n，B1A2∥B2A3∥B3A4∥…∥B n A n+1，△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形，
∵直线y
x与x轴的成角∠B1OA1＝30°，∠OA1B1＝120°，
∴∠OB1A1＝30°，∴OA1＝A1B1，
∵A1（1，0），∴A1B1＝1，
同理∠OB2A2＝30°，…，∠OB n A n＝30°，∴B2A2＝OA2＝2，B3A3＝4，…，B n A n＝2n﹣1，易得∠OB1A2＝90°，…，∠OB n A n+1＝90°，
∴B1B2
，B2B3＝
B n B n+1＝2n
∴S1＝1
2×1
，S2＝
1
2×2×
，…，S n＝
1
2×2n﹣1×2n
2
2n ；故选：D．
【小结】“有比较才有鉴别”。通过比较，可以发现事物的相同点和不同点，更容易找到事物的变化规律。找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。揭示的规律，常常包含着事物的序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。
巩固提升
1. 按一定规律排列的单项式：x3，－x5，x7，－x9，x11，……第n个单项式是( )
A．
1
2
1
)1
(-
-
-n
n x
B．
1
2
)1
(-
-n
n x
C．
1
2
1
)1
(+
-
-n
n x
D．
1
2
)1
(+
-n
n x
【解析】观察可知，奇数项系数为正，偶数项系数为负，∴可以用或(为大于等于1的整数)来控制正负，指数为从第3开始的奇数，所以指数部分规律为，故选C．
2. 观察下列算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，…，则2＋22＋23＋24＋25＋…＋22 018的末位数字是( )
A．8 B．6 C．4 D．0
【解析】由题意可知，末位数字每4个算式是一个周期，分别为2，4，8，6，
∵2 018÷4＝504……2，∴22 018与22的末位数字相同，为4.
∵2＋4＋8＋6＝20，末位数字是0，∴2＋22＋23＋24＋25＋…＋22 018的末位数字是2＋4＝6.
3. 按一定规律排列的一列数依次为：﹣，，﹣，，…（a≠0），按此规律排列下去，这列数中的第n个数是_______________．（n为正整数）
A．（﹣1）n?．B．（﹣1）n+1?．C．（﹣1）n-1?．D．．
【解析】第1个数为（﹣1）1?，
第2个数为（﹣1）2?，
第3个数为（﹣1）3?，
第4个数为（﹣1）4?，
…，
所以这列数中的第n个数是（﹣1）n?．故选A。
4. a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数为＝﹣1，﹣1的差倒数＝，已知a1＝5，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数…，依此类推，a2019的值是（）
A．5 B．﹣C．D．
【解析】∵a1＝5，a2＝＝＝﹣，a3＝＝＝，a4＝＝＝5，
…
∴数列以5，﹣，三个数依次不断循环，
∵2019÷3＝673，a2019＝a3＝，故选：D．
5.如图，在△OAB中，顶点O（0，0），A（﹣3，4），B（3，4），将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结束时，点D的坐标为（）
A．（10，3）B．（﹣3，10）C．（10，﹣3）D．（3，﹣10）
【解析】∵A（﹣3，4），B（3，4），∴AB＝3+3＝6，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB＝6，
∴D（﹣3，10），
∵70＝4×17+2，
∴每4次一个循环，第70次旋转结束时，相当于△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2次，每次旋转90°，
∴点D的坐标为（3，﹣10）．故选：D．
6. 如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有2019个菱形，则n＝__________________．
【解析】根据题意分析可得：第1幅图中有1个．
第2幅图中有2×2﹣1＝3个．
第3幅图中有2×3﹣1＝5个．
第4幅图中有2×4﹣1＝7个．
…．
可以发现，每个图形都比前一个图形多2个．
故第n幅图中共有（2n﹣1）个．
当图中有2019个菱形时，2n﹣1＝2019，
n＝1010，
7. 观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2…已知按一定规律排列的一组数：250、251.252.…、299.2100．若250＝a，用含a的式子表示这组数的和是（）
A．2a2﹣2a B．2a2﹣2a﹣2 C．2a2﹣a D．2a2+a
【解析】∵2+22＝23﹣2；
2+22+23＝24﹣2；
2+22+23+24＝25﹣2；
…
∴2+22+23+…+2n＝2n+1﹣2，
∴250+251+252+…+299+2100
＝（2+22+23+...+2100）﹣（2+22+23+ (249)
＝（2101﹣2）﹣（250﹣2）
＝2101﹣250，
∵250＝a，
∴2101＝（250）2?2＝2a2，
∴原式＝2a2﹣a．故选：C．
8. 在平面直角坐标系中，一组菱形A 1C 1B 1O ，A 2C 2B 2C 1，A 3C 3B 3C 2，A 4C 4B 4C 3，…按如图2－2方式放置，已知点A 1(1，0)，A 2(3，0)，A 3(5，0)，…，A n (2n －1，0)，点B 1(0，1)，B 2(0，3)，B 3(0，5)，…，B n (0，2n －1)，则菱形A 5C 5B 5C 4的面积为( )
A ．5
B ．9
C ．5 2
D ．9 2
【解析】 根据题意得A 5(9，0)，B 5(0，9)， 则A 5B 5＝92，
又∵C 5C 4＝C 4C 3＝…＝C 1O ＝2，
∴菱形A 5C 5B 5C 4的面积为1
2×92×2＝9.
9. 观察下列等式：
①3﹣﹣1）2
，
②5﹣）2
，
③7﹣2
，
…
请你根据以上规律，写出第6个等式_________．
【解析】写出第6个等式为13﹣）2
．
故答案为13﹣）2
．
10. 如图，直线l：y＝x+1分别交x轴、y轴于点A和点A1，过点A1作A1B1⊥l，交x轴于点B1，过点B1作B1A2⊥x轴，交直线l于点A2；过点A2作A2B2⊥l，交x轴于点B2，过点B2作B2A3⊥x轴，交直线l于点A3，依此规律…，若图中阴影△A1OB1的面积为S1，阴影△A2B1B2的面积为S2，阴影△A3B2B3的面积为S3…，则S n＝_______________．
【解析】直线l：y＝x+1，当x＝0时，y＝1；当y＝0时，x＝﹣
∴A（﹣，0）A1（0，1）
∴∠OAA1＝30°
又∵A1B1⊥l，
∴∠OA1B1＝30°，
在Rt△OA1B1中，OB1＝?OA1＝，
∴S1＝；
同理可求出：A2B1＝，B1B2＝，
∴S2＝＝＝；
依次可求出：S3＝；S4＝；S5＝……
因此：S n＝
故答案为：．
11. 定义：在平面直角坐标系中，一个图形先向右平移a 个单位，再绕原点按顺时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫做图形的γ(a ，θ)变换．
如图2－5，等边三角形ABC 的边长为1，点A 在第一象限，点B 与原点O 重合，点C 在x 轴的正半轴上，△A 1B 1C 1是△ABC 经γ(1，180°)变化后所得的图象．
若△ABC 经γ(1，180°)变换后得△A 1B 1C 1，△A 1B 1C 1经γ(2，180°)变换后得△A 2B 2C 2，△A 2B 2C 2经γ(3，180°)变换后得△A 3B 3C 3，依此类推…
△A n －1B n －1C n －1经γ(n ，180°)变换后得△A n B n C n ，则点A 1的坐标是_________，点A 2 018的坐标是__________.
图2－5
【解析】 ∵△ABC 为边长为1的等边三角形，∴A ? ??
??1
2，32，
向右平移1个单位后为? ????32，32，再绕原点顺时针旋转180°，即关于原点对称后为A 1? ????－3
2，－32；
A 1向右平移2个单位后为? ????12，－32，与原点对称后为A 2? ????－12，32；A 3? ????－52，－32；A 4? ????－3
2，32…
由n ＝2 018为偶数，得A 2 018的坐标是?
????－2 017
2，32.
12. 阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值，采用以下方法：设S＝1+2+22+…+22017+22018①
则2S＝2+22+…+22018+22019②
②﹣①得2S﹣S＝S＝22019﹣1
∴S＝1+2+22+…+22017+22018＝22019﹣1
请仿照小明的方法解决以下问题：
（1）1+2+22+…+29＝_______________；
（2）3+32+…+310＝______；
（3）求1+a+a2+…+a n的和（a＞0，n是正整数，请写出计算过程）．
【解析】（1）设S＝1+2+22+ (29)
则2S＝2+22+ (210)
②﹣①得2S﹣S＝S＝210﹣1
∴S＝1+2+22+…+29＝210﹣1；
（2）设S＝1+3+32+33+34+…+310 ①，
则3S＝3+32+33+34+35+…+311 ②，
②﹣①得2S＝311﹣1，
所以S＝
11
3-1 2，
即1+3+32+33+34+ (310)
11
3-1 2；
（3）设S＝1+a+a2+a3+a4+..+a n①，则aS＝a+a2+a3+a4+..+a n+a n+1②，
②﹣①得：（a﹣1）S＝a n+1﹣1，
所以S＝
1-1
1
n
a
a
+ -，
即1+a+a2+a3+a4+..+a n＝
1-1
1
n
a
a
+ -，
13. 如图，数轴上有一动点Q 从A 出发，沿正方向移动．
(1)当AQ ＝2QB 时，则Q 点在数轴上所表示的数为_____________；
(2)数轴上有一点C ，且点C 满足AC ＝m ·BC(其中m ＞1)，求点C 在数轴上所表示的数．(用含m 的代数式表示)； (3)点P 1为线段AB 的中点，点P 2为线段BP 1的中点，点P 3为线段BP 2的中点，…依此类推，点P n 为线段BP n －1的中点，它们在数轴上表示的数分别为p 1，p 2，p 3，…，p n (n 为正整数)．
①当n ≥2时，2p n －p n －1是否恒为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由； ②记S ＝p 1＋p 2＋p 3＋…＋p n －1＋2p n ，求当n ＝2 020时S 的值． 【解析】：(2)∵AC ＝m ·BC ，∴BC ＝AC m ，
当C 在A ，B 之间时， ∵AC ＋BC ＝1，
∴AC ＋AC m ＝1，解得AC ＝m m ＋1；
当C 在点B 的右边时， ∵AC －BC ＝1，
∴AC －AC m ＝1，解得AC ＝m
m －1.
综上，C 点在数轴上所表示的数为
m m ＋1或m
m －1
； (3)①由题意得P 1表示的数为12，P 2表示的数为22
－122＝34，…，P n 表示的数为2n
－1
2
n ，
∴2p n －p n －1＝2×2n
－12n －2n －1
－12n －1＝2n
－12n －1－2n －1
－12n －1＝2n
－2
n －1
2n －1＝1，即当n ≥2时，2p n －p n －1恒为定值1；
②由①可知2p n －p n －1＝1，即2p n ＝p n －1＋1， ∴S ＝p 1＋p 2＋p 3＋…＋p 2 019＋2p 2 020 ＝p 1＋p 2＋p 3＋…＋p 2 019＋p 2 019＋1 ＝p 1＋p 2＋p 3＋…＋2p 2 018＋2
＝p 1＋2p 2＋2 018＝2p 1＋2 019＝2 020.
专题二待定系数法
这是待定系数法的一个主要用途，学生也是在这种运用过程中开始较深入的接触待定系数法．初中阶段主要有正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数这几类函数，前面三种分别可设y=kx，，y=kx+b的形式(其中k、b为待定系数，且k≠0)．而二次函数可以根据题目所给条件的不同，设成y=x2+bx+c(、b、c为待定系数)，y=(x －h) 2+k(、k、h为待定系数)，y=(x－x1)(x－x2)( 、x1、x2为待定系数)三类形式．根据题意(可以是语句形式，也可以是图象形式)，确定出h、k、、c、b、x1、x2等待定系数．一般步骤如下：
例题3 已知：
()()
22
3232
x x A B C
x x x x x x
-+
=++
-+-+
，求A，B，C的值．
【解析】去分母，得x2－x＋2＝ A(x－3)(x＋2)＋Bx(x＋2)＋Cx(x－3)．根据恒等式定义，选择x的适当值，可直接求出A，B，C的值，所以，
当x＝0时，有2＝－6A，得A＝1 3；
当x＝3时，有8＝15B，得B＝
8 15；
当x＝－2时，有8＝10C，得C＝4 5．
例题4 知关于x的方程3
21
x n
x
+
+＝2的解是负数，则n的取值范围为_______．
【解析】3
21
x n
x
+
+＝2，解方程得x＝n－2．
∵关于x的方程3
21
x n
x
+
+＝2的解是负数，
∴n－2<0，解得n<2．
又∵原方程有意义的条件为x≠－，
∴n－2≠－，即n ≠3 2．
故答案为n<2且n≠3 2．
例题5 某农贸公司销售一批玉米种子，若一次购买不超过5千克，则种子价格为20元/千克，若一次购买超过5千克，则超过5千克部分的种子价格打8折．设一次购买量为x千克，付款金额为y元．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）某农户一次购买玉米种子30千克，需付款多少元？
【解析】（1）根据题意，得
①当0≤x≤5时，y＝20x；
②当x＞5，y＝20×0.8（x﹣5）+20×5＝16x+20；
（2）把x＝30代入y＝16x+20，∴y＝16×30+20＝500；
∴一次购买玉米种子30千克，需付款500元；
巩固提升
1. 若一个二次函数的二次项系数为－1，且图象的顶点坐标为（0,－3）.则这个二次函数的表达式为________．【解析】∵抛物线二次项系数为-1，顶点坐标为（0，-3），
∴抛物线的顶点式为y=-（x－0）2-3,即y=-x2-3;
2. 若
26
x x k
++是完全平方式，则k的值是（）.
A.9
B.-9
C.±9
D.±3
【解析】设
26
x x k
++=2
()
x A
+，则26
x x k
++=22
2
x Ax A
++,∴2
26
A
A k
=
?
?
=
?，解得
3
9
A
k
=
?
?
=
?，故选A。
3. 安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千元）与每千元降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？
【解析】（1）设一次函数解析式为：y＝kx+b
当x＝2，y＝120；当x＝4，y＝140；∴，解得：，∴y与x的函数关系式为y＝10x+100 （2）由题意得：（60﹣40﹣x）（10 x+100）＝2090，
整理得：x2﹣10x+9＝0，
解得：x1＝1．x2＝9，
∵让顾客得到更大的实惠，∴x＝9，
答：商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价9元．
4. 若三点（1，4），（2，7），（a，10）在同一直线上，则a的值等于（）
A．﹣1 B．0 C．3 D．4
【解析】设经过（1，4），（2，7）两点的直线解析式为y＝kx+b，∴∴，
∴y＝3x+1，将点（a，10）代入解析式，则a＝3；故选：C．
5. 已知关于x 的分式方程2
1a x ++＝1的解是非正数，则a 的取值范围是( )
A.a ≤－1
B.a ≤－1，且a ≠－2
C.a ≤1，且a ≠－2
D.a ≤1
【解析】去分母，得a ＋2＝x ＋1， 解得x ＝a ＋1． ∵x ≤0．．且x ＋1≠0， ∴a ＋1≤0，且a ＋1≠－1， ∴a ≤－1，且a ≠－2， ∴a ≤－1，且a ≠2．故选B ．
6. 若多项式x 2
＋px ＋12可以分解成两个一次因式的积，则整数p 可取的值的个数为( C ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．8 【解析】设12可分成m ?n ，则p=m+n （m ，n 同号）， ∵m=±1，±2，±3，n=±12，±6，±4， ∴p=±13，±8，±7，共6个值．故选C ．
7. 一只小球落在数轴上的某点P 0处，第一次从P 0处向右跳1个单位到P 1处，第二次从P 1向左跳2个单位到P 2处，第三次从P 2向右跳3个单位到P 3处，第四次从P 3向左跳4个单位到P 4处……若小球按以上规律跳了(2n ＋3)次时，它落在数轴上的点P 2n ＋3处所表示的数恰好是n －3，则这只小球的初始位置点P 0所表示的数是( ) A ．－4 B ．－5 C ．n ＋6 D ．n ＋3
【解析】 设点P 0所表示的数是x ，则点P 1所表示的数是x ＋1，
点P 2所表示的数是x ＋1－2＝x －1，点P 3所表示的数是x －1＋3＝x ＋2，点P 4所表示的数是x ＋2－4＝x －2， ∵点P 2n ＋3所表示的数是n －3，∴x ＋2n ＋3＋12＝n －3，解得x ＝－5.
8. 使得5×2m ＋1是完全平方数的整数m 的个数为_______． 【解析】由题意，可设5×2m
＋1＝(2k ＋1)2
（k 为正整数）， 则5×2m
＝4k （k ＋1），即5×2
m －2＝k （k ＋1）．
由于k （k ＋1）是连续的两个正整数的积，故可知5×2
m －2
＝5 x 4
，∴m ＝4．
即使得5×2m
＋1是完全平方数的整数m 的个数只有1个．
9. 已知(19x －31)(13x －17)－(17－13x)·(11x －23)可因式分解成(ax ＋b)(30x ＋c)，其中a ，b ，c 均为整数，求a ＋b ＋c 的值．
【解析】∵(19x－31)(13x－17)－(17－13x)(11x－23)
＝(19x－31)(13x－17)＋(13x－17)(11x－23)
＝(13x－17)(30x－54)，
∴a＝13，b＝－17，c＝－54，
∴a＋b＋c＝－58.
10. 已知抛物线的对称轴为x=2，且经过点（1,4）和（5,0），试求该抛物线的表达式。【解析】根据抛物线对称轴为直线x=2，且抛物线过点（5,0），
可知抛物线与x轴另一交点为（-1,0），则设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-5），
将点（1,4）代入，得4=a×2×（-4），解得a=- 1 2，
则抛物线解析式为y=- 1
2（x+1）（x-5）=-
1
2x2+2x+
5
2
11. 已知方程x4－9x2＋12x－4＝0有一个根是1，一个根是2，解这个方程．
【解析】因为1、2是方程x4－9x2＋12x－4＝0的根，所以x4－9x2＋12x－4有因式(x－1)（x－2）．设x4－9x2＋12x－4
≡（x－1）（x－2）（x2＋mx－2）．
令x＝－1，得－24＝6（－m－1），∴m＝3．
解方程x2＋3x－2＝0，得x
因此，方程的根为1，2
12. 已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）．
（1）求该函数的关系式；
（2）求当横坐标取﹣3和1时所对应的函数值；
（3）根据（2）计算，直接写出当x的值在什么范围时，所对应的函数值大于0．
【解析】（1）已知顶点A（﹣1，4），则设顶点式y=a（x+1）2+4，
将B（2，﹣5）代入，得-5= a（2+1）2+4，解得a=-1，
则函数解析式为y=-（x+1）2+4=-x2-2x+3；
（2）当x=-3时，y=-（-3+1）2+4=0，当x=1时，y=-（1+1）2+4=0
（3）由x=-3和x=1时，y=0，且a=-1<0，即抛物线开口向下，
则当-1 13. 发现任意五个连续整数的平方和是5的倍数． 验证 (1)(－1)2＋02＋12＋22＋32的结果是5的几倍？ (2)设五个连续整数的中间一个为n，写出它们的平方和，并说明是5的倍数； 延伸(3)任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几呢？请写出理由． 【解析】(1)(－1)2＋02＋12＋22＋32＝1＋0＋1＋4＋9＝15，15÷5＝3， 即(－1)2＋02＋12＋22＋32的结果是5的3倍； (2)设五个连续整数的中间一个为n，则其余的4个整数分别是n－2，n－1，n＋1，n＋2，它们的平方和为(n－2)2＋(n－1)2＋n2＋(n＋1)2＋(n＋2)2 ＝n2－4n＋4＋n2－2n＋1＋n2＋n2＋2n＋1＋n2＋4n＋4＝5n2＋10＝5(n2＋2)， ∵n是整数，∴n2＋2是整数， ∴五个连续整数的平方和是5的倍数； (3)设三个连续整数的中间一个为n，则其余的2个整数是n－1，n＋1， 它们的平方和为(n－1)2＋n2＋(n＋1)2 ＝n2－2n＋1＋n2＋n2＋2n＋1＝3n2＋2， ∵n是整数，∴n2是整数， ∴任意三个连续整数的平方和被3除的余数是2. 14. 如图2，已知抛物线y ＝x 2 ＋bx ＋c （b ，c 是常数，且c<0）与x 轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 的左侧），与 y 轴的负半轴交于点C ，点A 的坐标为（－1，0）． (1)b ＝_______，点B 的横坐标为_______；（上述结果均用含c 的代数式表示） (2)连结BC ，过点A 作直线AE ∥BC ，与抛物线y ＝ x 2 ＋bx ＋c 交于点E ，点D 是x 轴上的一点，其坐标为(2，0)．当 C ， D ， E 三点在同一直线上时，求抛物线的解析式． 【解析】第(1)问将A （－1，0）代入y ＝ x 2 ＋bx ＋c ，可以得出b ＝ ＋c 根据一元二次方程根与系数的关系，得出－1·x B ＝1 2c ，即x B ＝－2c 第(2)问如图3，由y ＝ x 2 ＋bx ＋c ，求出此抛物线与y 轴的交点C 的坐标为(0，c)， 则可设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋c ， 将B 点坐标代入，运用待定系数法求出直线BC 的解析式为y ＝x ＋c ． 由AE ∥BC ，设直线AE ，得到解析式为y ＝ x ＋m ， 将点A 的坐标代入，运用待定系数法求出直线AE 得到解析式y ＝ x ＋ ． 解方程组，求出点E 坐标为（1－2c ，1－c ）， 将点E 坐标代入直线CD 的解析式y ＝－2c x ＋c ，求出c ＝－2， 进而得到抛物线的解析式为 213 222y x x = -- 15. 如图1，抛物线y＝x2－2x－8交y轴于点A，交x轴正半轴于点B． (1)求直线AB对应的函数关系式； (2)有一宽度为1的直尺平行于y轴，在点A、B之间平行移动，直尺两长边所在直线被直线AB和抛物线截得两线段MN、PQ，设M点的横坐标为m，且0 【解析】(1)当x＝0时，y＝－8； 当y＝0时，x2－2x－8＝0， 解得x1＝4，x2＝－2，则A（0，－8），B(4，0)． 设一次函数解析式为y＝kx＋b． 将A（0，－8），B(4，0)分别代入解析式，得 8 40 b k b =- ? ? += ?，解得 2 8 k b = ? ? =- ?，故一次函数y＝ 2x－8 (2)∵M点横坐标为m，则P点横坐标为(m＋1) ∴MN＝(2m－8)－（m2－2m－8)＝2m－8－m2＋2m－8＝－m2＋4m PQ＝[2(m＋1)－8]－[(m＋1)2－2(m＋1)－8]＝－m2＋2m＋3 ∴MN－PQ＝（－m2＋4m，）－（－m2＋2m＋3）＝2m－3 ①当2m－3＝0时，m＝3 2，即MN－PQ＝0，MN＝PQ ②当2m－3 >0时，3 2 ③当2m－3<0时，0 2，即MN－PQ<0， MN 专题三反证法 例题6 用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。 已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD交于点P，且AB、CD不是直径.求证：弦AB、CD不被P平分. 【证明】假设弦AB、CD被P平分，由于P点一定不是圆心O，连结OP， 根据垂径定理的推论，有OP⊥AB，OP⊥CD，即过点P有两条直线与OP都垂直， 这与垂线性质矛盾，即假设不成立，所以，弦AB、CD不被P平分。 人教版初中数学知识点总结目录 七年级数学（上）知识点(1) 第一章有理数(1) 第二章整式的加减(3) 第三章一元一次方程(4) 第四章图形的认识初步(5) 七年级数学（下）知识点(6) 第五章相交线与平行线(6) 第六章平面直角坐标系(8) 第七章三角形(9) 第八章二元一次方程组(12) 第九章不等式与不等式组(13) 第十章数据的收集、整理与描述(13) 八年级数学（上）知识点(14) 第十一章全等三角形(14) 第十二章轴对称(15) 第十三章实数(16) 第十四章一次函数(17) 第十五章整式的乘除与分解因式(18) 八年级数学（下）知识点(19) 第十六章分式(19) 第十七章反比例函数(20) 第十八章勾股定理(21) 第十九章四边形(22) 第二十章数据的分析(23) 九年级数学（上）知识点(24) 第二十一章二次根式(24) 第二十二章一元二次根式(25) 第二十三章旋转(26) 第二十四章圆(27) 第二十五章概率(28) 九年级数学（下）知识点(30) 第二十六章二次函数(30) 第二十七章相似(32) 第二十八章锐角三角函数(33) 第二十九章投影与视图(34) 1 七年级数学（上）知识点 人教版七年级数学上册主要包含了有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的认识初步四个章节的内容. 第一章有理数 一．知识框架 二．知识概念 1.有理数： (1)凡能写成)0p q ,p (p q ≠为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数； (2)有理数的分类: ①??? ??????????负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数②???????????????负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3．相反数： (1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0； (2)相反数的和为0 ? a+b=0 ? a 、b 互为相反数. 4.绝对值： (1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离； 初中数学考试答题技巧 一、答题原则 大家拿到考卷后，先看是不是本科考试的试卷，再清点试卷页码是否齐全，检查试卷有无破损或漏印、重印、字迹模糊不清等情况。如果发现问题，要及时报告监考老师处理。 答题时，一般遵循如下原则： 1．从前向后，先易后难。通常试题的难易分布是按每一类题型从前向后，由易到难。因此，解题顺序也宜按试卷题号从小到大，从前至后依次解答。当然，有时但也不能机械地按部就班。中间有难题出现时，可先跳过去，到最后攻它或放弃它。先把容易得到的分数拿到手，不要“一条胡同走到黑”，总的原则是先易后难，先选择、填空题，后解答题。 2．规范答题，分分计较。数学分I、II卷，第I卷客观性试题，用计算机阅读，一要严格按规定涂卡，二要认真选择答案。第II卷为主观性试题，一般情况下，除填空题外，大多解答题一题设若干小题，通常独立给分。解答时要分步骤（层次）解答，争取步步得分。解题中遇到困难时，能做几步做几步，一分一分地争取，也可以跳过某一小题直接做下一小题。 3．得分优先、随机应变。在答题时掌握的基本原则是“熟题细做，生题慢做”，保证能得分的地方绝不丢分，不易得分的地方争取得分，但是要防止被难题耗时过多而影响总分。 4．填充实地，不留空白。考试阅卷是连续性的流水作业，如果你在试卷上留下的空白太多，会给阅卷老师留下不好印象，会认为你确实不行。另外每道题都有若干采分点，触到采分点便可给分，未能触到采分点也没有倒扣分的规定。因此只要时间允许，应尽量把试题提问下面的空白处写上相应的公式或定理等有关结论。 5．观点正确，理性答卷。不能因为答题过于求新，结果造成观点错误，逻辑不严密；或在试卷上即兴发挥，涂写与试卷内容无关的字画，可能会给自己带来意想不到的损失。胡乱涂写可以认为是在试卷上做记号，而判作弊。因此，要理性答卷。 6．字迹清晰，合理规划。这对任何一科考试都很重要，尤其是对“精确度”较高的数理化，若字迹不清无法辨认极易造成阅卷老师的误判，如填空题填写带圈的序号、数字等，如不清晰就可能使本来正确的失了分。另外，卷面答题书写的位置和大小要计划好，尽量让卷面安排做到“前紧后松”而不是“前松后紧”。特别注意只能在规定位置答题，转页答题不予计分。 二、审题要点 审题包括浏览全卷和细读试题两个方面。 初中数学知识点总结 一、基本知识 ㈠、数与代数A、数与式： 1、有理数 有理数：①整数→正整数/0/负整数 ②分数→正分数/负分数 数轴：①画一条水平直线，在直线上取一点表示0（原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。③如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点距离相等。④数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。正数大于0，负数小于0，正数大于负数。 绝对值：①在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。②正数的绝对值是他的本身、负数的绝对值是他的相反数、0的绝对值是0。两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 有理数的运算： 加法：①同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。②异号相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。③一个数与0相加不变。 减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。 乘法：①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。②任何数与0相乘得0。③乘积为1的两个有理数互为倒数。 除法：①除以一个数等于乘以一个数的倒数。②0不能作除数。 乘方：求N个相同因数A的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，A叫底数，N叫次数。 混合顺序：先算乘法，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里的。 2、实数 无理数：无限不循环小数叫无理数 平方根：①如果一个正数X的平方等于A，那么这个正数X就叫做A的算术平方根。②如果一个数X的平方等于A，那么这个数X就叫做A的平方根。③一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方根。④求一个数A的平方根运算，叫做开平方，其中A叫做被开方数。 立方根：①如果一个数X的立方等于A，那么这个数X就叫做A的立方根。②正数的立方根是正数、0的立方根是0、负数的立方根是负数。③求一个数A的立方根的运算叫开立方，其中A叫做被开方数。 实数：①实数分有理数和无理数。②在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义和有理数范围内的相反数，倒数，绝对值的意义完全一样。③每一个实数都可以在数轴上的一个点来表示。 3、代数式 代数式：单独一个数或者一个字母也是代数式。 合并同类项：①所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。②把同类项合并成一项就叫做合并同类项。③在合并同类项时，我们把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。 4、整式与分式 整式：①数与字母的乘积的代数式叫单项式，几个单项式的和叫多项式，单项式和多项式统称整式。②一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。③一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。整式运算：加减运算时，如果遇到括号先去括号，再合并同类项。 幂的运算：AM+AN=A（M+N） （AM）N=AMN （A/B）N=AN/BN 除法一样。 整式的乘法：①单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同他的指数不变，作 专业资料整理分享 中考数学压轴题解题技巧 湖北竹溪城关中学明道银 解中考数学压轴题秘诀（一） 数学综合题关键是第24题和25题，我们不妨把它分为函数型综合题和几何型综合题。 （一）函数型综合题：是先给定直角坐标系和几何图形，求（已知）函数的解析式（即在求解前已知函数的类型），然后进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。初中已知函数有：①一次函数（包括正比例函数）和常值函数，它们所对应的图像是直线；②反比例函数，它所对应的图像是双曲线； ③二次函数，它所对应的图像是抛物线。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。此类题基本在第24题，满分12分，基本分2－3小题来呈现。 （二）几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式(即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定义域，最后根据所求的函数关系进行探索研究，一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求x的值等和直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是 列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。一般有直接法（直接列出含有x和y的方程）和复合法（列出含有x和y和第三个变量的方程，然后求出第三个变量和x之间的函数关系式，代入消去第三个变量，得到y＝f（x）的形式），当然还有参数法，这个已超出初中数学教学要求。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求定义域主要是寻找图形的特殊位置（极限位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。几何型综合题基本在第25题做为压轴题出现，满分14分，一般分三小题呈现。 在解数学综合题时我们要做到：数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘，化动为静多画图，分类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严谨，创新品质得提高。 解中考数学压轴题秘诀（二） 具有选拔功能的中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目，其特点是知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活。解数学压轴题，一要树立必胜的信心，二要具备扎实的基础知识和熟练的基本技能，三要掌握常用的解题策略。现介绍几种常用的解题策略，供初三同学参考。 1、以坐标系为桥梁，运用数形结合思想： 初中数学规律题解题基本方法 初中数学考试中，经常出现数列的找规律题，本文就此类题的解题方法进行探索： 一、基本方法——看增幅 （一）如增幅相等（此实为等差数列）：对每个数和它的前一个数进行比较，如增幅相等，则第n个数可以表示为：a+(n-1)b，其中a为数列的第一位数，b为增幅，(n-1)b为第一位数到第n位的总增幅。然后再简化代数式a+(n-1)b。 例：4、10、16、22、28……，求第n位数。 分析：第二位数起，每位数都比前一位数增加6，增幅相都是6，所以，第n位数是：4+(n-1)×6＝6n－2 （二）如增幅不相等，但是，增幅以同等幅度增加（即增幅的增幅相等，也即增幅为等差数列）。如增幅分别为3、5、7、9，说明增幅以同等幅度增加。此种数列第n位的数也有一种通用求法。 基本思路是：1、求出数列的第n-1位到第n位的增幅； 2、求出第1位到第第n位的总增幅； 3、数列的第1位数加上总增幅即是第n位数。 举例说明：2、5、10、17……，求第n位数。 分析：数列的增幅分别为：3、5、7，增幅以同等幅度增加。那么，数列的第n-1位到第n位的增幅是：3+2×(n-2)=2n-1，总增幅为：［3+（2n-1）］×(n-1)÷2＝（n+1）×(n-1)＝n2-1 所以，第n位数是：2+ n2-1= n2+1 此解法虽然较烦，但是此类题的通用解法，当然此题也可用其它技巧，或用分析观察凑的方法求出，方法就简单的多了。 （三）增幅不相等，但是，增幅同比增加，即增幅为等比数列，如：2、3、5、9,17增幅为1、2、4、8. （三）增幅不相等，且增幅也不以同等幅度增加（即增幅的增幅也不相等）。此类题大概没有通用解法，只用分析观察的方法，但是，此类题包括第二类的题，如用分析观察法，也有一些技巧。 二、基本技巧 （一）标出序列号：找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。找出的规律，通常包序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。 例如，观察下列各式数：0，3，8，15，24，……。试按此规律写出的第100个数是。 解答这一题，可以先找一般规律，然后使用这个规律，计算出第100个数。我们把有关的量放在一起加以比较： 给出的数：0，3，8，15，24，……。 序列号：1，2，3，4，5，……。 容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减1。因此，第n项是n2-1，第100项是1002-1。 初中数学规律题解题基本方法 （一）数列的找规律 初中数学考试中，经常出现数列的找规律题，本文就此类题的解题方法进行探索： 一、基本方法——看增幅 （一）如增幅相等（此实为等差数列）：对每个数和它的前一个数进行比较，如增幅相等，则第n个数可以表示为：a+(n-1)b，其中a为数列的第一位数，b为增幅，(n-1)b为第一位数到第n 位的总增幅。然后再简化代数式a+(n-1)b。 例：4、10、16、22、28……，求第n位数。 分析：第二位数起，每位数都比前一位数增加6，增幅相都是6，所以，第n位数是：4+(n-1)×6＝6n－2 （二）如增幅不相等，但是，增幅以同等幅度增加（即增幅的增幅相等，也即增幅为等差数列）。如增幅分别为3、5、7、9，说明增幅以同等幅度增加。此种数列第n位的数也有一种通用求法。基本思路是：1、求出数列的第n-1位到第n位的增幅； 2、求出第1位到第第n位的总增幅； 3、数列的第1位数加上总增幅即是第n位数。 举例说明：2、5、10、17……，求第n位数。 分析：数列的增幅分别为：3、5、7，增幅以同等幅度增加。那么，数列的第n-1位到第n位的增幅是：3+2×(n-2)=2n-1，总增幅为： ［3+（2n-1）］×(n-1)÷2＝（n+1）×(n-1)＝n2-1 所以，第n位数是：2+ n2-1= n2+1 此解法虽然较烦，但是此类题的通用解法，当然此题也可用其它技巧，或用分析观察凑的方法求出，方法就简单的多了。 （三）增幅不相等，且增幅也不以同等幅度增加（即增幅的增幅也不相等）。此类题大概没有通用解法，只用分析观察的方法，但是，此类题包括第二类的题，如用分析观察法，也有一些技巧。 二、基本技巧 （一）标出序列号：找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。找出的规律，通常包序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。 例如，观察下列各式数：0，3，8，15，24，……。试按此规律写出的第100个数是。解答这一题，可以先找一般规律，然后使用这个规律，计算出第100个数。我们把有关的量放在一起加以比较： 给出的数：0，3，8，15，24，……。 序列号： 1，2，3， 4， 5，……。 容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减1。因此，第n项是n2-1，第100项是1002-1。 （二）公因式法：每位数分成最小公因式相乘，然后再找规律，看是不是与n2、n3,或2n、3n,或2n、3n有关。 例如：1，9，25，49，（），（），的第n为（2n-1）2 （三）看例题： A： 2、9、28、65.....增幅是7、19、37....，增幅的增幅是12、18 答案与3有关且............即：n3+1 B：2、4、8、16.......增幅是2、4、8.. .....答案与2的乘方有关即：2n （四）有的可对每位数同时减去第一位数，成为第二位开始的新数列，然后用（一）、（二）、（三）技巧找出每位数与位置的关系。再在找出的规律上加上第一位数，恢复到原来。 例：2、5、10、17、26……，同时减去2后得到新数列： 0、3、8、15、24……， 序列号：1、2、3、4、5 初中数学必考知识点总结 一、基本知识 ㈠、数与代数 A、数与式： 1、有理数 有理数： ①整数→正整数/0/负整数 ②分数→正分数/负分数 数轴： ①画一条水平直线，在直线上取一点表示0（原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。 ②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。 ③如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两 个数互为相反数。在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点距离相等。 ④数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。正数大于0，负数小于0，正数大于 负数。 绝对值： ①在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。 ②正数的绝对值是他的本身、负数的绝对值是他的相反数、0的绝对值是0。两个负数 比较大小，绝对值大的反而小。 有理数的运算： 加法： ①同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。 ②异号相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 ③一个数与0相加不变。 减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。 乘法： ①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。 ②任何数与0相乘得0。 ③乘积为1的两个有理数互为倒数。 除法： ①除以一个数等于乘以一个数的倒数。 ②0不能作除数。 乘方：求N个相同因数A的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，A叫底数，N叫次数。混合顺序：先算乘法，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里的。 2、实数 无理数：无限不循环小数叫无理数。 平方根： ①如果一个正数X的平方等于A，那么这个正数X就叫做A的算术平方根。 ②如果一个数X的平方等于A，那么这个数X就叫做A的平方根。 ③一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方根。 ④求一个数A的平方根运算，叫做开平方，其中A叫做被开方数。 立方根： ①如果一个数X的立方等于A，那么这个数X就叫做A的立方根。 ②正数的立方根是正数、0的立方根是0、负数的立方根是负数。 ③求一个数A的立方根的运算叫开立方，其中A叫做被开方数。 实数： ②实数分有理数和无理数。 ②在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。 ③每一个实数都可以在数轴上的一个点来表示。 3、代数式 代数式：单独一个数或者一个字母也是代数式。 合并同类项： 初中数学解题技巧(史上最全) 初中数学选择题、填空题解题技巧(完美版) 选择题目在初中数学试题中所占的比重不是很大，但是又不能失去这些分数，还要保证这些分数全部得到。因此，要特别掌握初中数学选择题的答题技巧，帮助我们更好的答题，选择填空题与大题有所不同，只求正确结论，不用遵循步骤。我们从日常的做题过程中得出以下答题技巧，跟同学们分享一下。 1.排除选项法： 选择题因其答案是四选一,必然只有一个正确答案,那么我们就可以采用排除法,从四个选项中排除掉易于判断是错误的答案,那么留下的一个自然就是正确的答案。 2.赋予特殊值法： 即根据题目中的条件，选取某个符合条件的特殊值或作出特殊图形进行计算、推理的方法。用特殊值法解题要注意所选取的值要符合条件，且易于计算。 3.通过猜想、测量的方法，直接观察或得出结果： 这类方法在近年来的初中题中常被运用于探索规律性的问题，此类题的主要解法是运用不完全归纳法，通过试验、猜想、试误验证、总结、归纳等过程使问题得解。 4、直接求解法： 有些选择题本身就是由一些填空题,判断题,解答题改编而来的,因此往往可采用直接法,直接由从题目的条件出发,通过正确的运算或推理,直接求得结论,再与选择 项对照来确定选择项。我们在做解答题时大部分都是采用这种方法。如:商场促销活动中,将标价为200元的商品,在打8折的基础上,再打8折销售,现该商品的售价是( )A 、160元 B、128元 C 、120元 D、 88元 5、数形结合法： 解决与图形或图像有关的选择题，常常要运用数形结合的思想方法，有时还要综合运用其他方法。 6、代入法： 将选择支代入题干或题代入选择支进行检验，然后作出判断。 7、观察法：观察题干及选择支特点，区别各选择支差异及相互关系作出选择。 8、枚举法：列举所有可能的情况，然后作出正确的判断。 例如，把一张面值10元的人民币换成零钱，现有足够面值为2元，1元的人民币，换法有( ) (A)5种(B)6种(C)8种(D)10种。分析：如果设面值2元的人民币x张，1元的人民币y元，不难列出方程，此方程的非负整数解有6对，故选B. 9、待定系数法： 要求某个函数关系式，可先假设待定系数，然后根据题意列出方程(组)，通过解方程(组)，求得待定系数，从而确定函数关系式，这种方法叫待定系数法。 知识点1：一元二次方程的基本概念 1．一元二次方程3x 2 +5x-2=0的常数项是-2. 2．一元二次方程3x 2 +4x-2=0的一次项系数为4，常数项是-2. 3．一元二次方程3x 2 -5x-7=0的二次项系数为3，常数项是-7. 4．把方程3x(x-1)-2=-4x 化为一般式为3x 2 -x-2=0. 知识点2：直角坐标系与点的位置 1．直角坐标系中，点A （3，0）在y 轴上。 2．直角坐标系中，x 轴上的任意点的横坐标为0. 3．直角坐标系中，点A （1，1）在第一象限. 4．直角坐标系中，点A （-2，3）在第四象限. 5．直角坐标系中，点A （-2，1）在第二象限. 知识点3：已知自变量的值求函数值 1．当x=2时,函数y=32-x 的值为1. 2．当x=3时,函数y=2 1-x 的值为1. 3．当x=-1时,函数y= 3 21-x 的值为1. 知识点4：基本函数的概念及性质 1．函数y=-8x 是一次函数. 2．函数y=4x+1是正比例函数. 3．函数x y 2 1-=是反比例函数. 4．抛物线y=-3(x-2)2 -5的开口向下. 5．抛物线y=4(x-3)2 -10的对称轴是x=3. 6．抛物线2)1(2 12+-=x y 的顶点坐标是(1,2). 7．反比例函数x y 2 = 的图象在第一、三象限. 知识点5：数据的平均数中位数与众数 1．数据13,10,12,8,7的平均数是10. 2．数据3,4,2,4,4的众数是4. 3．数据1，2，3，4，5的中位数是3. 知识点6：特殊三角函数值 1．cos30°= 2 3. 2．sin 2 60°+ cos 2 60°= 1. 3．2sin30°+ tan45°= 2. 4．tan45°= 1. 5．cos60°+ sin30°= 1. 中考数学考试典型10大解题思路及方法数学学习中经常出现一些经典而实用的解题方法和思路。这里总结10大解题方法的汇总。 1、配方法：所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。 2、因式分解法：因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角函数等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。 3、换元法：换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。 4、判别式法与韦达定理：一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c∈R，a≠0)根的判别式△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至解析几何、三角函数运算中都有非常广泛的应用。 韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。 5、待定系数法：在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的重要方法之一。 6、构造法：在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。 常青藤真教育初中数学期末考试答题技巧汇总 一、答题原则 大家拿到考卷后，先看是不是本科考试的试卷，再清点试卷页码是否齐全，检查试卷有无破损或漏印、重印、字迹模糊不清等情况。如果发现问题，要及时报告监考老师处理。 答题时，一般遵循如下原则： 1．从前向后，先易后难。通常试题的难易分布是按每一类题型从前向后，由易到难。因此，解题顺序也宜按试卷题号从小到大，从前至后依次解答。当然，有时但也不能机械地按部就班。中间有难题出现时，可先跳过去，到最后攻它或放弃它。先把容易得到的分数拿到手，不要“一条胡同走到黑”，总的原则是先易后难，先选择、填空题，后解答题。 2．规范答题，分分计较。数学分I、II卷，第I卷客观性试题，用计算机阅读，一要严格按规定涂卡，二要认真选择答案。第II卷为主观性试题，一般情况下，除填空题外，大多解答题一题设若干小题，通常独立给分。解答时要分步骤（层次）解答，争取步步得分。解题中遇到困难时，能做几步做几步，一分一分地争取，也可以跳过某一小题直接做下一小题。 3．得分优先、随机应变。在答题时掌握的基本原则是“熟题细做，生题慢做”，保证能得分的地方绝不丢分，不易得分的地方争取得分，但是要防止被难题耗时过多而影响总分。 4．填充实地，不留空白。考试阅卷是连续性的流水作业，如果你在试卷上留下的空白太多，会给阅卷老师留下不好印象，会认为你确实不行。另外每道题都有若干采分点，触到采分点便可给分，未能触到采分点也没有倒扣分的规定。因此只要时间允许，应尽量把试题提问下面的空白处写上相应的公式或定理等有关结论。 5．观点正确，理性答卷。不能因为答题过于求新，结果造成观点错误，逻辑不严密；或在试卷上即兴发挥，涂写与试卷内容无关的字画，可能会给自己带来意想不到的损失。胡乱涂写可以认为是在试卷上做记号，而判作弊。因此，要理性答卷。 初中数学解题技巧总结大全 今天小编为大家整理了一篇有关初中数学解题技巧总结大全的相关内容，以供大家阅读，更多信息请关注学习方法网！ 一、选择题的解法 1、直接法：根据选择题的题设条件，通过计算、推理或判断，最后得到题目的所求。 2、特殊值法：（特殊值淘汰法）有些选择题所涉及的数学命题与字母的取值范围有关； 在解这类选择题时，可以考虑从取值范围内选取某几个特殊值，代入原命题进行验证，然后淘汰错误的，保留正确的。 3、淘汰法：把题目所给的四个结论逐一代回原题的题干中进行验证，把错误的淘汰掉，直至找到正确的答案。 4、逐步淘汰法：如果我们在计算或推导的过程中不是一步到位，而是逐步进行，既采用“走一走、瞧一瞧”的策略；每走一步都与四个结论比较一次，淘汰掉不可能的，这样也许走不到最后一步，三个错误的结论就被全部淘汰掉了。 5、数形结合法：根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义；使数量关系和图形巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种结合，寻求解题思路，使问题得到解决。 二、常用的数学思想方法 1、数形结合思想：就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义；使数量关系和图形巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种结合，寻求解体思路，使问题得到解决。 2、联系与转化的思想：事物之间是相互联系、相互制约的，是可以相互转化的。数学学科的各部分之间也是相互联系，可以相互转化的。 在解题时，如果能恰当处理它们之间的相互转化，往往可以化难为易，化繁为简。 如：代换转化、已知与未知的转化、特殊与一般的转化、具体与抽象的转化、部分与整体的转化、动与静的转化等等。 3、分类讨论的思想：在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查；这种分类思考的方法，是一种重要的数学思想方法，同时也是一种重要的解题策略。 4、待定系数法：当我们所研究的数学式子具有某种特定形式时，要确定它，只要求出式子中待确定的字母得值就可以了。 为此，把已知条件代入这个待定形式的式子中，往往会得到含待定字母的方程或方程组，然后解这个方程或方程组就使问题得到解决。 初三数学知识点考点归纳总结 一、相似三角形7个考点 考点1：相似三角形的概念、相似比的意义、画图形的放大和缩小 考核要求：1理解相似形的概念;2掌握相似图形的特点以及相似比的意义，能将已知图形按照要求放大和缩小. 考点2：平行线分线段成比例定理、三角形一边的平行线的有关定理 考核要求：理解并利用平行线分线段成比例定理解决一些几何证明和几何计算. 注意：被判定平行的一边不可以作为条件中的对应线段成比例使用. 考点3：相似三角形的概念 考核要求：以相似三角形的概念为基础，抓住相似三角形的特征，理解相似三角形的定义. 考点4：相似三角形的判定和性质及其应用 考核要求：熟练掌握相似三角形的判定定理包括预备定理、三个判定定理、直角三角形相似的判定定理和性质，并能较好地应用. 考点5：三角形的重心 考核要求：知道重心的定义并初步应用. 考点6：向量的有关概念 考点7：向量的加法、减法、实数与向量相乘、向量的线性运算 考核要求：掌握实数与向量相乘、向量的线性运算 二、锐角三角比2个考点 考点8：锐角三角比锐角的正弦、余弦、正切、余切的概念，30度、45度、60度角的三角比值. 考点9：解直角三角形及其应用 考核要求：1理解解直角三角形的意义;2会用锐角互余、锐角三角比和勾股定理等解直角三角形和解决一些简单的实际问题，尤其应当熟练运用特殊锐角的三角比的值解直角三角形. 三、二次函数4个考点 考点10：函数以及函数的定义域、函数值等有关概念，函数的表示法，常值函数 考核要求：1通过实例认识变量、自变量、因变量，知道函数以及函数的定义域、函数值等概念;2知道常值函数;3知道函数的表示方法，知道符号的意义. 考点11：用待定系数法求二次函数的解析式 考核要求：1掌握求函数解析式的方法;2在求函数解析式中熟练运用待定系数法. 注意求函数解析式的步骤：一设、二代、三列、四还原. 考点12：画二次函数的图像 考核要求：1知道函数图像的意义，会在平面直角坐标系中用描点法画函数图像;2理解二次函数的图像，体会数形结合思想;3会画二次函数的大致图像. 考点13：二次函数的图像及其基本性质 考核要求：1借助图像的直观、认识和掌握一次函数的性质，建立一次函数、二元一次方程、直线之间的联系;2会用配方法求二次函数的顶点坐标，并说出二次函数的有关性质. 注意：1解题时要数形结合;2二次函数的平移要化成顶点式. 四、圆的相关概念6个考点 考点14：圆心角、弦、弦心距的概念 考核要求：清楚地认识圆心角、弦、弦心距的概念，并会用这些概念作出正确的判断. 考点15：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 考核要求：认清圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，在理解有关圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系的定理及其推论的基础上，运用定理进行初步的几何计算和几何证明. 考点16：垂径定理及其推论 垂径定理及其推论是圆这一板块中最重要的知识点之一. 考点17：直线与圆、圆与圆的位置关系及其相应的数量关系 直线与圆的位置关系可从与之间的关系和交点的个数这两个侧面来反映.在圆与圆 的位置关系中，常需要分类讨论求解. 考点18：正多边形的有关概念和基本性质 初中数学解题技巧:常用的数学思想方法 初中数学解题技巧:常用的数学思想方法 1、数形结合思想：就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和图形巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种结合，寻求解体思路，使问题得到解决。 2、联系与转化的思想：事物之间是相互联系、相互制约的，是可以相互转化的。数学学科的各部分之间也是相互联系，可以相互转化的。在解题时，如果能恰当处理它们之间的相互转化，往往可以化难为易，化繁为简。如：代换转化、已知与未知的转化、特殊与一般的转化、具体与抽象的转化、部分与整体的转化、动与静的转化等等。 3、分类讨论的思想：在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查，这种分类思考的方法，是一种重要的数学思想方法，同时也是一种重要的解题策略。 4、待定系数法：当我们所研究的数学式子具有某种特定形式时，要确定它，只要求出式子中待确定的字母得值就可以了。为此，把已知条件代入这个待定形式的式子中，往往会得到含待定字母的方程或方程组，然后解这个方程或方程组就使问题得到解决。 5、配方法：就是把一个代数式设法构造成平方式，然后再进行所需要的变化。配方法是初中代数中重要的变形技巧，配方法在分解因式、解方程、讨论二次函数等问题，都有重要的作用。 6、换元法：在解题过程中，把某个或某些字母的式子作为一个整体，用一个新的字母表示，以便进一步解决问题的一种方法。换元法可以把一个较为复杂的式子化简，把问题归结为比原来更为基本的问题，从而达到化繁为简，化难为易的目的。 7、分析法：在研究或证明一个命题时，又结论向已知条件追溯，既从结论开始，推求它成立的充分条件，这个条件的成立还不显然，则再把它当作结论，进一步研究它成立的充分条件，直至达到已知条件为止，从而使命题得到证明。这种思维过程通常称为“执果寻因” 8、综合法：在研究或证明命题时，如果推理的方向是从已知条件开始，逐步推导得到结论，这种思维过程通常称为“由因导果” 9、演绎法：由一般到特殊的推理方法。 精选教育类文档，如果您需要使用本文档，请点击下载，祝您生活愉快，工作顺利，万事如意！ 马上就要中考了，祝大家中考都考上一个理想的高中！欢迎同学们下载，希望能帮助到你们！ 史上最全的初中数学知识点总结 第一章：实数 重要复习的知识点： 一、实数的分类： ?????? ???????????????????????????????????????无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数 1、有理数：任何一个有理数总可以写成q p 的形式，其中p 、q 是互质的整数，这是有理数的重要特征。 2、无理数：初中遇到的无理数有三种：开不尽的方 根，如2、34；特定结构的不限环无限小数，如 1.101001000100001……；特定意义的数，如π、45sin °等。 3、判断一个实数的数性不能仅凭表面上的感觉，往往要经过整理化简后才下结论。 二、实数中的几个概念 1、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 （1）实数a 的相反数是 -a ； （2）a 和b 互为相反数?a+b=0 2、倒数： （1）实数a （a ≠0）的倒数是a 1；（2）a 和b 互为倒数?1=ab ；（3）注意0没有倒数 3、绝对值： （1）一个数a 的绝对值有以下三种情况： ?????-==0,0, 00, a a a a a a （2）实数的绝对值是一个非负数，从数轴上看，一个实数的绝对值，就是数轴上表示这个数的点到原 点的距离。 （3）去掉绝对值符号（化简）必须要对绝对值符号里面的实数进行数性（正、负）确认，再去掉绝对值符号。 4、n次方根 （1）平方根，算术平方根：设a≥0，称a 叫a的平方根，a叫a的算术平方根。 （2）正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 （3）立方根：3a叫实数a的立方根。 （4）一个正数有一个正的立方根；0的立方根是0；一个负数有一个负的立方根。 三、实数与数轴 1、数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。原点、正方向、单位长度是数轴的三要素。 2、数轴上的点和实数的对应关系：数轴上的每一个点都表示一个实数，而每一个实数都可以用数轴上的唯一的点来表示。实数和数轴上的点是一一对应 初中数学选择题、填空题解题技巧(完美版) 选择题目在初中数学试题中所占的比重不是很大，但是又不能失去这些分数，还要保证这些分数全部得到。因此，要特别掌握初中数学选择题的答题技巧，帮助我们更好的答题，选择填空题与大题有所不同，只求正确结论，不用遵循步骤。我们从日常的做题过程中得出以下答题技巧，跟同学们分享一下。 1.排除选项法： 选择题因其答案是四选一,必然只有一个正确答案,那么我们就可以采用排除法,从四个选项中排除掉易于判断是错误的答案,那么留下的一个自然就是正确的答案。 2.赋予特殊值法： 即根据题目中的条件，选取某个符合条件的特殊值或作出特殊图形进行计算、推理的方法。用特殊值法解题要注意所选取的值要符合条件，且易于计算。 3.通过猜想、测量的方法，直接观察或得出结果： 这类方法在近年来的初中题中常被运用于探索规律性的问题，此类题的主要解法是运用不完全归纳法，通过试验、猜想、试误验证、总结、归纳等过程使问题得解。 4、直接求解法： 有些选择题本身就是由一些填空题,判断题,解答题改编而来的,因此往往可采用直接法,直接由从题目的条件出发,通过正确的运算或推理,直接求得结论,再与选择项对照来确定选择项。我们在做解答题时大部分都是采用这种方法。如:商场促销活动中,将标价为200元的商品,在打8折的基础上,再打8折销售,现该商品的售价是( )A 、160元 B、128元 C 、120元 D、 88元 5、数形结合法： 解决与图形或图像有关的选择题，常常要运用数形结合的思想方法，有时还要综合运用其他方法。 6、代入法： 将选择支代入题干或题代入选择支进行检验，然后作出判断。 7、观察法：观察题干及选择支特点，区别各选择支差异及相互关系作出选择。 8、枚举法：列举所有可能的情况，然后作出正确的判断。 例如，把一张面值10元的人民币换成零钱，现有足够面值为2元，1元的人民币，换法有( ) (A)5种(B)6种(C)8种(D)10种。分析：如果设面值2元的人民币x张，1元的人民币y元，不难列出方程，此方程的非负整数解有6对，故选B. 9、待定系数法： 要求某个函数关系式，可先假设待定系数，然后根据题意列出方程(组)，通过解方程(组)，求得待定系数，从而确定函数关系式，这种方法叫待定系数法。 10、不完全归纳法： 当某个数学问题涉及到相关多乃至无穷多的情形，头绪纷乱很难下手时，行之有效的方法是通过对若干简单情形进行考查，从中找出一般规律，求得问题的解决。 以上是我们给同学们介绍的初中数学选择题的答题技巧，希望同学们认真掌握，选择题的分数一定要拿下。初中数学答题技巧有以上十种，能全部掌握的最好;不能的话，建议同学们选择集中适合自己的初中数学选择题做题方法。 初中填空题解法大全 一.数学填空题的特点： 与选择题同属客观性试题的填空题，具有客观性试题的所有特点，即题目短小精干，考查目标集中明确，答案唯一正确，答卷方式简便，评分客观公正等。但是它又有本身的特点，即没有备选答案可供选择，这就避免了选择项所起的暗示或干扰的作用，及考生存在的瞎估乱猜的侥幸心理，从这个角度看，它能够比较真实地考查出学生的真正水平。考查内容多是“双基”方面，知识复盖面广。但在考查同样内容时，难度一般比择题略大。 二.主要题型： 初中填空题主要题型一是定量型填空题，二是定性型填空题，前者主要考查计算能力的计算题，同时也考查考生对题目中所涉及到数学公式的掌握的熟练程度，后者考查考生对重要的数学概念、定理和性质等数学基础知识的理解和熟练程度。当然这两类填空题也是互相渗透的，对于具体知识的理解和熟练程度 初中数学常用的十种解题方法 数学的解题方法是随着对数学对象的研究的深入而发展起来的。教师钻研习题、精通解题方法，可以促进教师进一步熟练地掌握中学数学教材，练好解题的基本功，提高解题技巧，积累教学资料，提高业务水平和教学能力。 下面介绍的解题方法，都是初中数学中最常用的，有些方法也是中学教学大纲要求掌握的。 1、配方法 所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。 2、因式分解法 因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。 3、换元法 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。 4、判别式法与韦达定理 一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c属于R，a≠0）根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。 韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。 5、待定系数法 在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系 七年级数学（上）知识点 人教版七年级数学上册主要包含了有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的认识初步四个章节的内容. 第一章 有理数 一、知识框架 二．知识概念 1.有理数： (1)凡能写成)0p q ,p (p q ≠为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统 称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数； (2)有理数的分类: ① ??? ? ?????????负分数 负整数负有理数零正分数正整数 正有理数有理数 ② ???????????????负分数正分数 分数负整数零正整数整数有理数 2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3．相反数： (1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0； (2)相反数的和为0 ? a+b=0 ? a 、b 互为相反数. 4.绝对值： (1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离； (2) 绝对值可表示为：?????<-=>=) 0a (a )0a (0) 0a (a a 或???<-≥=)0a (a )0a (a a ；绝对值的问题经常分类讨论； 5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数 大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数 ＞ 0，小数-大数 ＜ 0.(完整版)人教版初中数学知识点汇总
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