不定积分的求解方法论文

重庆三峡学院毕业设计（论文）题目：归结不定积分的求解方法

专业：数学与应用数学

年级：2010级

学号：201006034208

作者：林相群

指导老师：吴艳秋（讲师）

完成时间：2014年5月

目录

摘要 ............................................................................................................................................................... I Abstract........................................................................................................................................................ I I

1 引言 (1)

2 不定积分的求解方法 (1)

2.1 基本公式法 (1)

2.2 分项积分法、因式分解法 (2)

2.3 “凑”微分法（第一类换元积分法） (3)

2.4第二类换元积分法 (4)

2.5分部积分法 (4)

2.6有理函数的积分 (5)

3 各种方法所对应的题型 (5)

3.1 基本公式法 (5)

3.2 分项积分法、因式分解法 (6)

3.3 “凑”微分法（第一类换元积分法） (7)

3.4第二类换元积分法 (8)

3.5分部积分法 (8)

3.6有理函数的积分 (9)

4 解决不定积分的一般步骤 (10)

致谢 (11)

参考文献 (11)

归结不定积分的求解方法

林相群

（重庆三峡学院数学与统计学院数学与应用数学专业2010级重庆万州 404000）

摘要：不定积分的求解方法在本科阶段可以归为六大类：基本公式法、分项积分法+因式分解法、“凑”微分法（第一类换元积分法）、第二类换元积分法、分部积分法、有理函数的积分法。当我们看到所求不定积分已经对应了公式表中的某一条时，我们便用“公式法”求解。但实际问题一般较为复杂，所以我们都需将原题通过其他方法进行变换，使其满足公式再计算。“分项积分法+因式分解法”通过把多项式分解成单项式求积分，但结合三角恒等式，我们可以将高次三角函数降幂，化成容易积分的形式。当被积函数为复合函数时，我们多考虑换元积分法。“第一类换元积分法”通过为复合函数的中间变量“凑微分”达到解题目的。“第二类换元积分法”多用于当第一类无法实行时，但“第二类换元积分法”的换元形式比较不容易看出来，真正做到灵活运用需要累积许多经验。当被积函数是幂函数、三角函数、指数函数、对数函数中任意两个的乘积时，我们多考虑用“分部积分法”。“分部积分法”有着明显特征，并十分容易上手，是一种很好的解题方法。而“有理函数的积分法”与“第二类换元积分法”一样，没有特别固定的套路，多凭借经验和灵活运用。所以一般拿到题目可先考虑用别的方法。在拿到不定积分的题目时，我们要分析题目属于上述六种解题类型的哪一类。排除掉不可能的类型，再在可能的类型中进行进一步筛选，直到留下两种或两种以下的解题方法后，再进行尝试。若用某种方法解题时，无论怎么解都解不出答案，那么可先检查自己有没有运算的错误，或者是否选错了方法。总之，不定积分虽然有很多题型，但是解题的方法离不开上述六种，只要掌握了上述六种任何不定积分都不再是难题！

关键词：不定积分；基本公式法；换元积分法；分部积分法；有理函数的积分法

The method of calculating the indefinite integral

LIN Xiang-qun

(Grade 2007, Mathematics and Applied Mathematics, College of Mathematics and Computer Science, Chongqing Three Gorges University, Wanzhou, Chongqing 404000 )

Abstract:The method of indefinite integral in the undergraduate stage can be classified into six categories: basic formula method, component integration method & factorization method, "collect" differential method (the first kind of change of variable in an indefinite integral), the second kind of change of variable in an indefinite integral, integration by parts method, primitives of rational functions method. When we see for indefinite integral has corresponding formula in the table, we use "formula method". But the actual problem is more complicated, so we all shall transfer the indefinite integral through other methods to make it meet the formula in the end. "component integration method & factorization method" using for the polynomial into monomial then find indefinite integral respectively, and combined with trigonometric identity, we can handle high time trigonometric function to drop power, thus easy to integrate. When the integrand is composite function, we consider changing the variable. "The first kind of change the variable" working by the given the middle variable of the composite function to solving the problem. "The second kind of change of variable in an indefinite integral" is working when the first kind of failing to solve the problem. But "the second" is less likely to see immediately because that question is truly flexible and need to accumulate many experiences. When the integrand is mixing by power function, trigonometric function, exponential function and logarithmic function of any two, we consider using the "integration by parts method "."Integration by parts method” has obvious characteristic and is very easy to use, is a kind of good method to solve problems. And "primitives of rational functions method" is similar to "the second kind of change of variable in an indefinite integral" method: there is no special characteristic, all we need is more experiences and flexible insights. So we can consider to use other methods first when we get the problem, then analysis the kind of the six types to find which type is not helpful and which is until leaves one or two possible methods for further trying. If no matter how to solve the question all was fail, we can check if the first operation is error or if we choose the wrong way. All in all, indefinite integral question although have many type, the problem solving method is not far away from these method above. As long as to master the six kinds, any indefinite integral is no longer a problem!

Keywords: Indefinite Integral; Basic Formula Method; Change the Variable; Integration by Parts;

Primitives of Rational Functions

2014届数学与应用数学专业毕业设计（论文）

1 引言

函数f 在区间I 上的全体原函数称为f 在I 上的不定积分，记作

(),?dx x f (1.1)

其中称

?

为积分号，()dx x f 为被积表达式，x 为积分变量。若() x F 是()x f 的某一个原函数，

则不定积分可记为

()(),C x F dx x f +=? (1.2)

其中C 为任意常数。

定积分的思想在古代就已萌芽，但是17世纪下半叶之前，有关定积分的完整理论还未形成。直到牛顿--莱布尼茨公式建立以后，计算问题得以解决，定积分才迅速建立发展起来，并对数学的进程做出了巨大的贡献。在初学定积分时，学生容易有困难，所以先引进求导的逆运算——求不定积分，为学生的学习提供了方便，拓展了学生的思维。20世纪以来，随着大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和发展，相继出现各种各样的微分方程，通过不定积分我们得出这些问题的解，从而处理各种科学问题，促进社会发展。所以不定积分的求解不仅是学校对我们的要求，也是适应社会发展的学习趋势。

不定积分是一元微积分中非常重要的内容之一，是积分学中最基本的问题之一，又是求定积分的基础，牢固掌握不定积分的理论和运算方法，可以使学生进一步巩固所学的导数和微分学及其它相关的数学知识，掌握好不定积分的方法是非常重要的。

现下学生们解决不定积分的题目普遍觉得困难，即便最后解决了题目，可能也走了许多弯路，最后若能从“弯路”中总结不定积分的求解方法，那么那些“弯路”都是有价值的，但是若只求结题，事后不总结，那么就是在浪费时间，也逐渐减少了学生对数学的学习热情。本文针对一些常见的函数不定积分的方法进行归纳，希望能提供一种简便的有效途径使得大学生具备解决不定积分题目的便捷能力和基本素质。

2 不定积分的求解方法

常见的不定积分求解方法有基本公式法、分项积分法、因式分解法、“凑”微分法（第一类换元积分法）、第二类换元积分法、分部积分法、有理函数的积分法等。

2.1 基本公式法

我们将一些常见函数的积分归纳成一个积分公式表，如下： 1)

?+=C kx kdx （k 是常数）

， ?++=+C x dx x 1

1

μμμ

（1-≠μ），?+=C x x dx ln ， ?+=C a a dx a x

x

ln ；

2)

?+-=C x xdx cos sin ，?+=C x xdx sin cos ，

林相群：归结不定积分的求解方法

C x xdx +-=?cos ln tan ，?+=C x xdx sin ln cot ，

?+=+C x dx x 2tan cos 11，?+??

?

??-=+C x dx x 42tan sin 11π， ?++=C x x xdx tan sec ln sec ，?+-=C x x xdx cot csc ln csc ，

?+=C x xdx tan sec 2，?+-=C x xdx cot csc 2

，

?+=C x xdx x sec tan sec ，?+-=C x xdx x csc cot csc ；

3)

?

+=-C a x x a dx arcsin

2

2（?+=-C x x

dx

arcsin 12），

?+=+C a

x a x a dx arctan 122（?+=+C x x dx

arctan 12）， ()

?

+++=+C a x x a x dx 222

2ln ，?

+-+=-C a x x a x dx 222

2ln ，

?++-=-C a x a

x a a x dx ln 2122，

C x a x a x a dx x a +-+=-?

23

22

2

2

arcsin 2。

2.2 分项积分法、因式分解法

分项积分法和因式分解法是基于不定积分两大性质而得。根据不定积分的定义，可以推得它

有如下两个性质：

性质1 设函数()x f 及()x g 的原函数存在，则

()()[]()()???±=±.dx x g dx x f dx x g x f (2.2.1)

性质2 设函数()x f 的原函数存在，k 为非零常数，则

()()??=.dx x f k dx x kf (2.2.2)

利用不定积分的这两个性质，可以将复杂积分分解为几项，通过求出每一项的不定积分达到解题的效果。如：

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().3

2

572555523

27

2

12

5

2

12521252C x x dx x dx x dx x dx x dx x x dx x x +?-=-=-=???

? ??-=-?????

?

2.3 “凑”微分法（第一类换元积分法）

如果函数()x g 可以化为()()[]()x x f x g ??'=的形式，那么有

()[]()()[]??+='=,)(C x F dx x x f dx x g ??? (2.3.1)

其中F 是f 的原函数。这种第一类换元积分法即通过变量代换()x u ?=，将积分

()[]()?'dx x x f ??化为积分()?du u f 进行计算。

若复合函数中间变量的微分显然存在于被积函数中，如?

xdx 2cos 2的被积函数中，“x 2cos ”是一个复合函数，“2”恰好是中间变量“x 2”的微分，那么就有

().

2sin 22cos 22cos 22cos 2cos 2C x x

xd dx

x x dx

x xdx +=='

?=?=????

若复合函数中间变量的微分并没有存在于被积函数中，但可以添加，我们就可以通过“凑”

微分的方式进行换元积分。如

?+dx x 231

中间变量x 23+的微分为2，但并没有作为因式存在于

被积函数中，这时我们可以乘进一个2，再通过乘以一个2

1

的方法求解：

().23ln 2

1

2323121231

221231C x x d x dx

x dx x ++=++=+??=+??? 第一类换元积分法又叫做“凑”微分法的原因为是，我们总是在解题过程中，为被积复合函数的中间变量凑一个微分，从而达到换元解题的目的。

林相群：归结不定积分的求解方法

2.4第二类换元积分法

将积分

()?dx x f 中的x 适当地选择变量代换为()t x φ=，则有

()()[]()()[]

,1C x dt t t f dx x f +Φ='=-?

?φφφ (2.4.1)

其中Φ师φ的原函数。

这公式的成立是需要一定条件的。首先，()[]()t t f φφ'有原函数；其次，()[]()?

'dt t t f φφ求出

后必须用()t x φ=的反函数()x t 1

-=φ

代回去，为了保证这反函数存在而且是可导的，我们假定

直接函效()t x φ=在t 的某一个区间（这区间和所考虑的x 的积分区间相对应）上是单调的、可导的，并且()0≠'t φ。

第二类换元积分法与第一类不同的是，我们换的元通常没有那么明显的逻辑性，换元的选择需要凭借个人的经验。

例2.4：求

).0(22>-?

a dx x a

解：令t a x sin =，2

2

π

π

<

<-

t ，则

().2

1arcsin 21241arcsin 21cos sin 24

1

212sin 41

2122cos 41

212cos 21

21cos cos cos sin 2322222222222222

2

2

2

2

22C x a x a x a C a x a a x a a x a C t t a t a C t a t a t td a a tdt

a dt a tdt

a tdt a t a dt t a a dx x a +-+=+-???+=+?+=++=+=+==?=-=

-???????

2.5分部积分法

分部积分法是一种经常用到的积分法。

设函数()x u u =及()x v v =具有连续导数，那么

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???-=='..vdu uv udv dx v u (2.5.1)

例2.5：求?

xdx x cos 。 解：（将u 看作x ，v 看作x sin ）

.

cos sin sin sin sin cos C x x x xdx

x x x

xd xdx x ++=-==???

2.6有理函数的积分

利用多项式的除法，总可以将一个假分式化成一个多项式与一个真分式之和的形式，例如

.1

41213222

224++-=+++x x x x x

对子真分式

()()

x Q x P ，如果分母可分解为两个多顶式的乘积

()()(),21x Q x Q x Q =

且() x Q 1与()x Q 2没有公因式，那么它可分拆成两个真分式之和

()()()()()()

,2211x Q x P x Q x P x Q x P +=

如果多项式还可再分拆成更简单的部分分式，就按上述方法继续分。

最后，有理函数的分解式中只出现多项式、

()()k a x x P -1、()()

l

q px x x P ++22等三类函数（这里042<-q p ，()x P 1为小于k 次的多项式，

()x P 2为小于l 2次的多项式），根据(2.2.1)和(2.2.2)，多项式的积分可容易求得。

3 各种方法所对应的题型

3.1 基本公式法

当我们看到所求不定积分已经对应了公式表中的某一条（如

?3

x dx 可以化成?-dx x 3

用公式?++=+C x dx x 11μμμ

（1-≠μ）求解，?dx x

2可以用公式?+=C a a dx a x x ln 求解）

，此时我们便用公式法求解。在实际问题中，一般并不如此简单，都需将原题通过其他方法进行变换，从而满

足公式表再计算。

林相群：归结不定积分的求解方法

例3.1：求

?3x x dx

。

解：??-=dx x x

x dx 3

4

3

.

3

313

433

113

4C x

C x C

x

+-=+-=++-=

-+-

3.2 分项积分法、因式分解法

这一方法通过把多项式分解成单项式求积分，如将

()?

-dx x x 52分解成为

??-dx x dx x

2

12

55。不过这一方法的更高价值在于对带有三角函数的积分求解，借助三角恒等式，

可以将高次三角函数降幂，化成容易积分的形式。所以我们在碰到两个因式相乘除、高次三角函数积分时，就要考虑用这种方法。

例3.2.1：求

()?

-dx

x x 2

31。

解：

()?

?-+-=

-dx x

x x x dx x x 2232

31

331 .1ln 33233133222C x

x x x x

dx

x dx dx xdx dx

x x x +++-=-+-=??? ?

?

-+-=?????

例3.2.2：求?

xdx 2

tan 。

解：先利用三角恒等式化成表中所列类型的积分，然后再逐项求积分：

().

tan sec 1sec tan

2

22

C x x dx dx x dx x xdx +-=-=-=

????

一般的，对于x x l k

22cos sin

（k 、N ∈l ）型函数，总可利用三角恒等式：

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()x x 2cos 121

sin 2-=

，()x x 2cos 12

1cos 2+=化成cos2x 的多项式，进而得出积分结果。 3.3 “凑”微分法（第一类换元积分法）

当被积函数为复合函数时，首先考虑这种方法，因为我们可以为复合函数的中间变量“凑微

分”达到解题目的。

一般我们都是根据构成被积函数的复合函数中的中间变量，“凑”一个微分，从而达到解题的目的。下面介绍几种常见的“凑”微分题型： 1)

()()()?

?++=

+-b ax d b ax f na

dx x b ax f n

n n n 11， ()

()()?

?=x d x f dx x

x

f 2，

????

? ????? ??-=??

?

??x d x f dx x f x 11112

， ()()()?

?=x

x x x e d e f dx e f e ， ()()()?

?=x d x f dx x

x f ln ln ln ； 2)

()()()?

?=

-x d x f dx x

x f arcsin arcsin 1arcsin 2

，()()()?

?=+x d x f dx x

x f arctan arctan 1arctan 2， ()()()??=x d x f xdx x f sin sin cos sin ，()()()??-=x d x f xdx x f cos cos sin cos ， ()()()??=x d x f xdx x f tan tan sec

tan 2

，()()()??-=x d x f xdx x f cot cot csc cot 2，

()()()??=x d x f xdx x x f sec sec tan sec sec ，()()()??-=x d x f xdx x x f csc csc cot csc csc 。 上述几个题型只是将比较常见的“凑”微分题型进行展现，不难看出这些题型都是中间变量

的微分已经存在于被积函数中的类型，但是有时也需进行一定变形才能发现，如

.tan 111111

1

12

2

222C a

x acr a a x

d a x a dx

a x a dx x a +=??? ??+=??

?

??+?

=+??? 对于中间变量的微分未存在于题干中的题目，我们可以通过乘以因式。再除以因式的方法“凑”出微分，如2.3中的

?+dx x 231

。

林相群：归结不定积分的求解方法

3.4第二类换元积分法

在我们碰到被积函数是复合函数时，有很大一部分的中间变量的微分是无法用用第一类换元积分法“凑”出来的，这时我们就要用第二类换元积分法。第二类换元积分法的换元形式十分多变，真正做到灵活运用需要累积许多经验。

当我们碰到下面这些情况时，要先想到用第二类换元积分法：

1) 当被积函数中含有22x a -时，令t a x sin =；

当被积函数中含有22a x +时，令t a x tan =； 当被积函数中含有22a x -时，令t a x sec =。

（注意：当进行完三角函数换元后，通常要画一个如例2.4般的三角形，方便将“元”换回来）

2) 当被积函数中含有无理函数时，转换为有理函数，如令t x =。

第二类换元积分法相较于第一类换元积分法用到较少，只要找准代换关系，题目便会迎刃而解。

例3.4.1：求

(

)

?+dx x

x

311。

解：被积函数中出现了两个根式x 及3x 。为了能同时消去这两个根式，可以令6

t x =。

于是dt t dx 5

6=，从而所求积分为

(

)

()()()

.

arctan 6arctan 61116161616622

23

25

3C x x C

t t dt t dt

t t dt t t t x

x

dx +-=+-=?

?? ??

+-=+=+=+????

3.5分部积分法

当被积函数是幂函数、三角函数、指数函数、对数函数中任意两个的乘积时，首先考虑用分部积分法。

选择u 、v 时要注意，要使?vdu 相对于?

udv 较为好求。下面对常见的u 、v 选择进行呈现：

v

u e x ax k 、

u

v

x x k ln 、

v

u

v

u

bx x bx x k k /cos /sin 、

u

v

u

v

ax x ax x k k /arctan /arcsin 、

2014届数学与应用数学专业毕业设计（论文）

u

v

u v

bx e bx e ax ax /cos /sin

上述关系可以理解为，在选择u 时的考虑顺序为：对>反三>幂>三>指。

例3.5.1：求?

xdx arccos 。

解：设x u arccos =，dx dv =，那么

()

()().

1arccos 111

2

1arccos 1arccos arccos arccos arccos 2221

22

C x x x x d x x x dx

x

x

x x x xd x x xdx +--=---=-+=-=??

??

3.6有理函数的积分

有理函数的积分与第二类换元积分法一样，没有固定的套路，多凭借经验和灵活运用。一般来说，这种方法较前5种用到的比较少，所以拿到题目可先考虑用别的方法。

虽然如此，但是还是有些特别类型的题目需要用到这种方法，当遇到类似下面的题目时，即用有理函数的积分方法。

例3.6.1：求

?+-+dx x x x 651

2。

解：被积函数的分母分解成()()23--x x ，故可设

,2

36512-+-=+-+x B

x A x x x

其中A 、B 为待定系数。上式两端去分母后，得

()(),321-+-=+x B x A x

即 ().321B A x B A x --+=+ 比较上式两端同次幂的系数，即有

??

?-=+=+,

132,

1B A B A 从而解得 .3,4-==B A 于是

.2334

6512dx x x dx x x x ???

?

? ??---=+-+ .2ln 33ln 4C x x +---=

林相群：归结不定积分的求解方法

例3.6.2：求

()()?---dx x x x 113

2。

解：被积函数分母的两个因式1-x 与12

-x 有公因式，故需再分解成()()112

+-x x 。设

()()(),1

11132

2++-+=+--x C

x B Ax x x x 则 ()()(),1132

-+++=-x C x B Ax x

即 ()(),232

C B x C B A x C A x ++-+++=-

有 ?????-=+=-+=+,3,12,0C B C B A C A 解得??

?

??-=-==.1,2,1C B A

于是()()()()

()()

.

1ln 1

1

1ln 1ln 1111112113

113

2

22

2C x x x x dx x x dx x x x dx x x x dx

x x x ++--+-=+----=??

?

???+---=

+--=---???? 4 解决不定积分的一般步骤

在拿到不定积分的题目时，我们要分析题目属于上述六种解题类型的哪一类。排除掉不可能的类型，再在可能的类型中进行进一步筛选，直到留下两种或两种以下的解题方法后，再进行尝试。

若用某种方法解题时，无论怎么解都解不出答案，那么可先检查自己有没有运算的错误，或者是否选错了方法。

1. 直观型用“基本公式法”；

2. 被积函数是多个因式相乘除的用“分项积分法”、“因式分解法”、“第一类换元积分法”、

“第二类换元积分法”、“有理函数的积分法”；

3. 被积函数带有某个函数微分的用“第一类换元积分法”、“分部积分法”；

4. 被积函数有无理函数的首先考虑用“第一类换元积分法”、“第二类换元积分法”；

5. 被积函数是幂函数、三角函数、指数函数、对数函数中任意两个的乘积时，用“分部积

分法”。

总之，不定积分虽然有很多题型，但是解题的方法离不开上述六种，只要掌握了上述六种任何不定积分都不再是难题！

2014届数学与应用数学专业毕业设计（论文）

致谢

在论文完成之际，我的心情万分激动。从论文的选题、资料的收集到论文的撰写编排整个过程中，我得到了许多的热情帮助。

我首先要感谢吴艳秋老师，她热心亲和，对我的研究提出了很多宝贵的意见，使我的研究工作有了目标和方向。在大学里，她对我及全班学生进行了悉心的指导和教育，使我不断地学习提高，同时，吴艳秋老师严谨的治学、教学态度也令我十分敬佩，是我以后学习和工作的榜样，在此表示最诚挚的谢意。

同时感谢我的同学张文馨、杨烨、石明艳，当我在万里之外进行研究时给予我精神上的支持和学习上的鼓励，使我在论文撰写时得心应手。

最后，感谢所有关心我、帮助过我的老师、同学和朋友!

参考文献

[1]同济大学数学系，高等数学[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]李永乐、李正元，数学复习全书[M].北京：国家行政学院出版社，2007.

[3]龚友运，等.高等数学一册[M].武汉：华中科技大学出版社，2006.

[4]期刊论文吴维峰.Wu Weifeng 探求不定积分的一题多解莫忘解法的正确性 -潍坊教育学院学报2009,22(4).

[5]期刊论文苏晓宇.赵连庆不定积分中的一题多解 -科技资讯2010(27).

[6]期刊论文金顺利.杨世民关于不定积分的一题多解 -沧州师范专科学校学报2001,17(3).

不定积分求解方法及技巧小汇总

不定积分求解方法及技巧小汇总 摘要：总结不定积分基本定义，性质和公式，求不定积分的几种基本方法和技巧，列举个别典型例子，运用技巧解题。 一?不定积分的概念与性质 定义1如果F (x)是区间I上的可导函数，并且对任意的x I，有F'(x)=f(x)dx则称F (x)是f(x)在区间I上的一个原函数。 定理1 (原函数存在定理)如果函数f(x)在区间I上连续，那么f(x)在区间I上一定有原函数，即存在可导函数 F (x),使得F (x) =f(x) (x I) 简单的说就是，连续函数一定有原函数 定理2设F (x)是f(x)在区间I上的一个原函数，贝U (1) F (x) +C也是f(x)在区间I上的原函数，其中C是任意函数； (2)f(x)在I上的任意两个原函数之间只相差一个常数。 定义2 设F (x)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么f(x)的全体原函数 F (x) +C称 为f(x)在区间I上的不定积分，记为f(x)d(x),即f(x)d(x)=F(x)+C 其中记号称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)d(x)称为被积表达式，x称为积分 变量，C称为积分常数。 性质1设函数f(x)和g(x)存在原函数，则[f(x) g(x)]dx= f(x)dx g(x)dx. 性质2 设函数f(x)存在原函数，k为非零常数，贝U kf(x)dx=k f(x)dx. 二.换元积分法的定理 如果不定积分g(x)dx不容易直接求出，但被积函数可分解为g(x)=f[ (x)] ( (x).做变量代换u= (x),并注意到’(x) dx=d (x),则可将变量x的积分转化成变量u的积分，于是有 g(x)dx= f[ (x)] ( (x)dx= f(u)du. 如果f(u)du 可以积出，则不定积分g(x)dx的计算问题就解决了，这就是第一类换元法。第一类换元法就是将复合函数的微分法反过来用来求不定积分。

定积分的方法总结

定积分的方法总结 定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例析定积分计算的几种常用方法． 一、定义法 例1、求 s i n b a x d x ? ， （b a <） 解:因为函数s i n x 在],[b a 上连续，所以函数sin x 在],[b a 上可积，采用特殊的 方法作积分和．取h = n a b -，将],[b a 等分成n 个小区间, 分点坐标依次为 ?=+<<+<+

一道非常难的不定积分题目的解法

求∫arcsinx * arccosx dx的不定积分 解题思路：反复运用换元，将arcsinx 换成sinx的形式，将arccox 换成cosx的形式，最终简化题目的难度！ 解题过程：第一步换元：将arccosx=t (xε[0,1]，tε[0,π/2])，从而得出cost=x.将∫arcsinxarccosx dx换成∫t arcsin(cost) d(cost)。接下来怎么解呢？ 先看看∫arcsinx dx=arcsinx *x- ∫xd(arcsinx) 从而简化题目的难度！那么你是否会产生一个想法，上面那条题目是否可以转化呢！ 于是∫t* arcsin(cost)* d(cost)= ∫ td(arcsin(cost)cost+sint)= t(arcsin(cost)cost+sint)- ∫(arcsin(cost)cost+sint)dt 从而求∫ arcsin(cost)cost dt 第二步换元：将arcsin(cost)=p ,从而 sinp=cost,t=arccos(sinp).最终∫arcsin(cost)cost dt=∫psinp d(arccos(sinp))= ∫p sinp *(-1/√ 1-(sinp)^2)*cosp dp=∫p sinp*(-1/cosp)*cosp dp=-∫psinp dp=∫p dcosp=pcosp-∫cosp dp=pcosp-sinp+c 第三步：总结出答案，表示成x的形式。 ∫arcsin(cost)cost dt= arcsin(cost)(√ 1-cos^t)-cost+c

∫(arcsin(cost)cost+sint)dt= arcsin(cost)(√ 1-cos^t)-cost-cost+c= arcsin(cost)(√ 1-cos^t)-2cost+c ∫arcsinxarccosx dx=arcsinx(√1-x^2)-2x+c 这条题目很难，但是换元转化的思想很重要！！！ 淮师 3/25/2010

七大积分总结

七大积分总结 一． 定积分 1. 定积分的定义：设函数f(x)在[a,b]上有界，在区间[a,b]中任意插入n －1个分点： a=x 0

? ??==b a b a b a du u f dt t f dx x f )()()(。 （2） 定义中区间的分法与ξi 的取法是任意的。 （3） 定义中涉及的极限过程中要求λ→0，表示对区间[a,b]无限细分的过程，随λ →0必有n →∞，反之n →∞并不能保证λ→0，定积分的实质是求某种特殊合式的极限： 例：∑?=∞→=n i n n i f dx x f 1 1 0n 1 )()(lim （此特殊合式在计算中可以作为公式使用） 2. 定积分的存在定理 定理一 若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。 定理二 若函数f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间上可积。 3. 定积分的几何意义 对于定义在区间[a,b]上连续函数f(x)，当f(x)≥0时，定积分 ? b a dx x f )(在几何上表示由曲线y=f(x),x=a,x=b 及x 轴所围成的曲边梯形的面积；当f(x) 小于0时，围成的曲边梯形位于x 轴下方，定积分?b a dx x f )(在几何意义上表示曲边梯形面积的负值。若f(x)在区间上既取得正值又取得负值时，定积分的几何意义是：它是介于x 轴，曲线y=f(x),x=a,x=b 之间的各部分曲边梯形的代数和。 4．定积分的性质 线性性质（性质一、性质二）

不定积分解题方法及技巧总结

不定积分解题方法及技巧总 结 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

? 不定积分解题方法总结 摘要：在微分学中，不定积分是定积分、二重积分等的基础，学好不定积分十分重要。然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循”。本文论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。 关键词：不定积分；总结；解题方法 不定积分看似形式多样，变幻莫测，但并不是毫无解题规律可言。本文所总结的是一般规律，并非所有相似题型都适用，具体情况仍需要具体分析。 1.利用基本公式。（这就不多说了~） 2.第一类换元法。（凑微分） 设f(μ)具有原函数F(μ)。则 C x F x d x f dx x x f +==???)]([)()]([)(')]([????? 其中)(x ?可微。 用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2： 例1：? +-+dx x x x x ) 1(ln )1ln( 【解】) 1(1111)'ln )1(ln(+-=-+= -+x x x x x x C x x x x d x x dx x x x x +-+-=-+-+-=+-+??2)ln )1(ln(2 1)ln )1(ln()ln )1(ln()1(ln )1ln(例2：? +dx x x x 2 ) ln (ln 1 【解】x x x ln 1)'ln (+= C x x x x x dx dx x x x +-==++??ln 1 )ln (ln )1(ln 122 3.第二类换元法：

不定积分的常用求法(定稿)[1]

郑州大学毕业论文 题目：不定积分的常用求法 指导老师：任国彪职称：讲师 学生姓名：王嘉朋学号：20082100428 专业：数学与应用数学（金融数学方向） 院系：数学系 完成时间：2012年5月25日 2012年5月25日

摘要 微积分是微分学与积分学的简称，微积分的创立是数学史上最重要的事情之一。不定积分的相关知识是微积分中重要的知识，掌握不定积分的求法是学好微积分的前提。另外，不定积分的求法和定积分的求法有一定的相关性，在求面积以及质量中也有一定的应用。但是不定积分的计算是数学分析中的难点之一。求不定积分的方法灵活多样，本文介绍了微分学的来源，创立以及发展历史。并且基于自己对不定积分的理解，通过实例对不定积分的求法进行了总结。 关键字：微积分，微分学，积分学，不定积分，求解方法。 Abstract: Calculus is short for differential calculus and integral calculus and its foundation is one of the most important events in math history. Relevant knowledge in indefinite integral is very significant in calculus learning. Grasping solutions to indefinite integral is the premise of leaning calculus well. Besides, there is correlation between solutions to indefinite integral and definite integral. Indefinite integral can be applied in obtaining area and mass. However，calculating indefinite integral is one of the most hardest parts in math analysis. A variety of methods can be used in seeking indefinite integral. This paper introduced the origin of calculus, founding and developing history. Besides, through some examples based on understanding of indefinite integral，this paper also summarized solutions to indefinite integral. Keywords: calculus; differential calculus; integral calculus; solutions

定积分总结

定积分讲义总结 内容一 定积分概念 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L 将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ?（b a x n -?= ），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=L ，作和式：1 1 ()()n n n i i i i b a S f x f n ξξ==-=?=∑∑ 如果x ?无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。记为：()b a S f x dx = ? 其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。 说明：（1）定积分 ()b a f x dx ? 是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()b a f x dx ?，而不是n S ． （2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和： 1()n i i b a f n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞=-=∑? 例1．弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力()F x kx =（k 为常数，x 是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长b 所作的功． 分析：利用“以不变代变”的思想，采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解． 解： 将物体用常力F 沿力的方向移动距离x ，则所作的功为W F x =?． 1．分割 在区间[]0,b 上等间隔地插入1n -个点，将区间[]0,1等分成n 个小区间： 0,b n ??????，2,b b n n ?? ????，…，()1,n b b n -?????? 记第i 个区间为()1,(1,2,,)i b i b i n n n -???=? ? ??L ，其长度为()1i b i b b x n n n -??=-= 把在分段0, b n ? ???? ?，2,b b n n ?? ????，…，()1,n b b n -?????? 上所作的功分别记作：1W ?，2W ?，…，n W ? （2）近似代替 有条件知：()()11i i b i b b W F x k n n n --???=??=?? ? ?? (1,2,,)i n =L （3）求和 ()1 1 1n n n i i i i b b W W k n n ==-=?=??∑∑ =()()22222 110121122n n kb kb kb n n n n -?? ++++-==-?? ?? ??? L

定积分求面积

找一个函数来描述要求解的曲面一侧的高度，然后描述无穷小单元的面积。其实，不管是什么样的坐标，思路都是一样的。事实上，最原始的方法可以用方格子图纸来计算面积。用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积和平面曲线的弧长。Mbth是一种积分，它是函数f(X)在区间[a，b]上的积分和的极限。 这里要注意定积分和不定积分的关系：如果有定积分，就是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，只有一个数学计算关系(牛顿-莱布尼兹公式)。定积分定义：设函数f(X)在区间[a，b]上连续，将区间[a，b]分成n个子区间[x0，x1]，(x1，x2]，(x2，x3]，…。，(xn-1，xn]，其中x0=a，xn=b。可以知道，每个区间的长度依次为x1=x1-x0，并且每个子区间(xi-1，xi]中的任意点ξi(1，2，…，n)被用作求和公式。 这个求和公式称为积分和。设λ=max{x1，x2，…，xn}(即，λ是最大间隔长度)。如果当λ→为0时存在积分和极限，则这个极限称为函数f(X)在区间[a，b]上的定积分，记为，函数f(X)在区间[1]内，其中：a称为积分下限，b称为积分上限，区间[a，b]称为积分区间，函数f(X)称为被积函数，x称为积分变量，f(X)dx称为被积函数表达式，∫称为整数。 之所以叫定积分，是因为积分后得到的值是定的，是常数，不是函数。

根据上述定义，如果函数f(X)可以在区间[a，b]内积分，则存在n等分的特殊除法： 特别地，根据上述表达式，当区间[a，b]恰好是区间[0，1]时，区间[0，1]的积分表达式如下： 1.当a=b时， 2.当a>b时， 3.在整数前可以提到常量。 4.代数和的积分等于积分的代数和。 5.定积分的可加性：如果将积分区间[a，b]分成两个子区间[a，c]和[c，b]，则有由于性质2，如果f(X)在区间d上可积，则区间d(可能不在区间[a，b]上)中的任何c都满足条件。 6.如果f(X)在区间[a，b]内≥0。 7.积分中值定理：如果f(X)在[a，b]上连续，则在[a，b]中至少有一个点ε

常见不定积分的求解方法

常见不定积分的求解方法的讨论 马征 指导老师：封新学 摘要介绍不定积分的性质，分析常见不定积分的各种求解方法：直接积分法、第一类换元法（凑微法）、第二类换元法、分部积分法，并结合实际例题加以讨论，以便于在解不定积分时能快速选择最佳的解题方法。 关键词不定积分直接积分法第一类换元法（凑微法）第二类换元法分部积分法。 The discussion of common indefinite integral method of calculating Ma Zheng Abstract there are four solutions of indefinite integration in this discourse: direct integration; exchangeable integration; parcel integration. It discussed the feasibility which these ways in the solution of integration, and it is helpful to solve indefinite integration quickly. Key words Indefinite integration,exchangeable integration, parcel integration.

0引言 不定积分是《高等数学》中的一个重要内容，它是定积分、广义 积分、狭积分、重积分、曲线积分以及各种有关积分的函数的基础， 要解决以上问题，不定积分的问题必须解决，而不定积分的基础就是 常见不定积分的解法。不定积分的解法不像微分运算时有一定的法 则，它要根据不同题型的特点采用不同的解法，积分运算比起微分运 算来，不仅技巧性更强，而且也已证明，有许多初等函数是“积不出 来”的，就是说这些函数的原函数不能用初等函数来表示，例如 ?-x k dx 22sin 1（其中10<

不定积分的解题方法与技巧

不定积分的解题方法与技巧-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

一． 直接积分法（公式法） 利用不定积分的运算性质和基本积分公式直接求出不定积分 二． 第一类换元法 1.当遇到形如? ++c bx ax dx 2 的不定积分，可分为以下三种情况： （1）当0>?时，可将原式化为()()21x x x x --， 其中，21,x x 为c bx ax ++2的两个解，则原不定积分为： ()()()()()?? ? ?? ?------=--??? 221112211 x x x x d x x x x d x x x x x x dx ()C x x x x x x +---= 2 1 12ln 1 （2）当0=?时，可利用完全平方公式，化成() () ? --2 k x k x d 。然后根据基本积分 公式即可解决。 （3）当0

不定积分解法总结

不定积分解题方法总结 摘要：在微分学中，已知函数求它的导数或微分是需要解决的基本问题。而在实际应用中，很多情况需要使用微分法的逆运算——积分。不定积分是定积分、二重积分等的基础，学好不定积分十分重要。然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循”。本文论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。 关键词：不定积分；总结；解题方法 不定积分看似形式多样，变幻莫测，但并不是毫无解题规律可言。本文所总结的是一般规律，并非所有相似题型都适用，具体情况仍需要具体分析。希望本文能起到抛砖引玉的作用，为读者在学习不定积分时提供思路。文中如有错误之处，望读者批评指正。 1 换元积分法 换元积分法分为第一换元法（凑微分法）、第二换元法两种基本方法。而在解题过程中我们更加关注的是如何换元，一种好的换元方法会让题目的解答变得简便。 1.当出现 22x a ±，22a x -形式时，一般使用t a x sin ?=，t a x sec ?=， t a x tan ?=三种代换形式。 C x a x x a dx C t t t t a x x a dx +++=+++==+? ??222 22 2 ln tan sec ln sec tan 2.当根号内出现单项式或多项式时一般用t 代去根号。 C x x x C t t t tdt t t tdt t x t dx x ++-=++-=--==???sin 2cos 2sin 2cos 2) cos cos (2sin 2sin 但当根号内出现高次幂时可能保留根号， c x dt t dt t t dt t t t dt t t t t x x x dx +- =--=--=--=??? ? ??-?-? = --? ????66 12 12 5 12 6 212 12arcsin 6 1 11 6 1 111 11 1 11 1 3.当被积函数只有形式简单的三角函数时考虑使用万能代换法。 使用万能代换2 tan x t =，

求不定积分的方法及技巧小汇总

求不定积分的方法及技巧小汇总~ 1.利用基本公式。（这就不多说了~） 2.第一类换元法。（凑微分） 设f(μ)具有原函数F(μ)。则 C x F x d x f dx x x f +==???)]([)()]([)(')]([????? 其中)(x ?可微。 用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2： 例1：? +-+dx x x x x ) 1(ln )1ln( 【解】) 1(1111)'ln )1(ln(+-=-+= -+x x x x x x C x x x x d x x dx x x x x +-+-=-+-+-=+-+??2 )ln )1(ln(2 1)ln )1(ln()ln )1(ln()1(ln )1ln(例2：? +dx x x x 2 )ln (ln 1 【解】x x x ln 1)'ln (+= C x x x x x dx dx x x x +-==++??ln 1 )ln (ln )1(ln 122 3.第二类换元法： 设)(t x ?=是单调、可导的函数，并且)(')]([.0)('t t f t ???又设≠具有原函数，则有换元公式 ??=dt t t f dx f )(')]([x)(?? 第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。常见的变换形式需要熟记会 用。主要有以下几种： acht x t a x t a x a x asht x t a x t a x a x t a x t a x x a ===-===+==-；；：；；：；：csc sec )3(cot tan )2(cos sin )1(222222

定积分计算的总结论文

定积分计算的总结论文公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]

定积分计算的总结 闫佳丽 摘 要：本文主要考虑定积分的计算,对一些常用的方法和技巧进行了归纳和总结.在定积分的计算中,常用的计算方法有四种：（1）定义法、（2）牛顿—莱布尼茨公式、（3）定积分的分部积分法、（4）定积分的换元积分法. 关键词：定义、牛顿—莱布尼茨公式、分部积分、换元. 1前言 17世纪后期，出现了一个崭新的数学分支—数学分析.它在数学领域中占据着主导地位.这种新数学思想的特点是非常成功地运用了无限过程的运算即极限运算.而其中的微分和积分这两个过程，则构成系统微积分的核心.并奠定了全部分析学的基础.而定积分是微积分学中的一个重要组成部分. 2正文 那么，究竟什么是定积分呢我们给定积分下一个定义：设函数()f x 在[],a b 有定义，任给[],a b 一个分法T 和一组{}k ξξ=，有积分和 1 (,)()n k k k T f x σξξ==?∑，若当()0l T →时，积分和(,)T σξ存在有限极限， 设()0()0 1 lim (,)lim ()n k k l T l T k T f x I σξξ→→==?=∑，且数I 与分法T 无关，也与k ξ在[]1,k k x x -的取法无关，即{}0,0,:(),k T l T εδδξξ?>?>?

不定积分求解方法毕业论文设计

不定积分求解方法毕业论文设计

学号 14121401576 Hunan Institute of Science and Technology 本科毕业论文 题目：关于不定积分解题思路的探讨 作者何宇届别2017 系别数学学院专业数学与应用数学 指导教师罗德仁职称讲师 完成时间2017年5月

关于不定积分解题思路的探讨 On the resolving idea of indefinite integral 专业:数学与应用数学 作者:何宇 指导老师:罗德仁 湖南理工学院数学学院 二○一七年五月岳阳

摘要 不定积分是求定积分的基础, 在一元微积分学中占有重要地位. 学好不定积分, 对于导数和微分学中其他相关知识的巩固很有帮助. 求解不定积分常用的方法主要有: 基本公式法, 换元积分法, 分部积分法, 有理函数的积分法. 如何快速找到解题的突破口, 灵活使用各类方法是关键. 我们从被积函数的特点出发, 从易到难, 对不定积分进行多角度的观察和分析, 比较各类积分法, 发现和总结规律, 提高不定积分解题能力. 关键词: 不定积分; 基本公式法; 换元积分法; 分部积分法; 有理函数的积分法

Abstract Indefinite integral is the foundation of definite integral, i t occupies an important position in unitary differential calculus. Grasp the solving methods of indefinite integral is helping to derivative and other relevant knowledge. S everal methods of solving i ndefinite integral are f requently used, such as basic formula method, change the variable, integration by parts, primitives of rational functions. What matters is how to quickly find the ideas of subject and flexibly use various method. We observed and analysised the indefinite integral multi-angle, on the characteristics of integrand, from simple to difficult, compare various methods, sum up the laws, improve solving ability of the indefinite integral problem . Keywords:indefinite integral; basic formula method; change the variable; integration by parts;integration by parts primitives of rational functions

常用求导积分公式及不定积分基本方法

常用求导积分公式及不定积分基本方法 This model paper was revised by LINDA on December 15, 2012.

一、基本求导公式 1. ()1x x μμμ-'= ()ln 1x x '= 2. (sin )cos x x '= (cos )sin x x '=- 3. 2(tan )sec x x '= 2(cot )csc x x '=- 4. (sec )tan sec x x x '= (csc )cot csc x x x '=- 5. ()ln x x a a a '=，()x x e e '= 6. () 2arctan 11x x '+= ()arcsin x '= () 2arccot 11x x '+=- ()arccos x '= 二、基本积分公式 1. 1d (111)x x x C μμμμ+=+ =-/ +?， 1ln ||+dx x C x =? 2. d ln x x a a x C a =+?，d x x e x e C =+? 3. sin d cos x x x C =-+?， cos d sin x x x C =+? 4. 2sec d tan x x x C =+? 2csc d cot x x x C =-+? 5. tan d ln |cos |x x x C =-+? cot d ln |sin |x x x C =+?

6. sec d ln |sec tan |x x x x C =++? csc d ln |csc cot |x x x x C =-+? 7. 2 1d arctan 1x x C x =++? arcsin x x C =+ 2211d arctan x x C a x a a =++? arcsin x x C a =+ 8. ln x x C =+ ( ln x x C =++ 9. 221 1d ln 2x a x C a x a x a -=+-+? 三、常用三角函数关系 1. 倍角公式 21cos 2sin 2x x -= 21cos 2cos 2x x += 2. 正余切与正余割 正割 1 sec cos x x = 22sec 1tan x x =+ 余割 1csc sin x x = 2 2csc 1cot x x =+ 四、常用凑微分类型 1. 1 1 ()d d ()ln ()()()f x x f x f x C f x f x '==+??;

不定积分解题方法及技巧总结

? 不定积分解题方法总结 摘要：在微分学中，不定积分是定积分、二重积分等的基础，学好不定积分十分重要。然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循”。本文论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。 关键词：不定积分；总结；解题方法 不定积分看似形式多样，变幻莫测，但并不是毫无解题规律可言。本文所总结的是一般规律，并非所有相似题型都适用，具体情况仍需要具体分析。 1.利用基本公式。（这就不多说了~） 2.第一类换元法。（凑微分） 设f(μ)具有原函数F(μ)。则 C x F x d x f dx x x f +==???)]([)()]([)(')]([????? 其中)(x ?可微。 用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2： 例1：? +-+dx x x x x ) 1(ln )1ln( 【解】) 1(1 111)'ln )1(ln(+- =-+= -+x x x x x x C x x x x d x x dx x x x x +-+-=-+-+-=+-+??2 )ln )1(ln(2 1)ln )1(ln()ln )1(ln()1(ln )1ln(例2：? +dx x x x 2 )ln (ln 1 【解】x x x ln 1)'ln (+= C x x x x x dx dx x x x +-==++??ln 1 )ln (ln )1(ln 122 3.第二类换元法： 设)(t x ?=是单调、可导的函数，并且)(')]([.0)('t t f t ???又设≠具有原函数，则有换元公式 ??=dt t t f dx f )(')]([x)(??

定积分应用方法总结(经典题型归纳).docx

精品文档 定积分复习重点 定积分的考查频率不是很高，本讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义，使 用微积分基本定理计算定积分，使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物 理问题等． 1. 定积分的运算性质 (1) b b kf (x)dx k f (x)dx(k 为常数 ). a a (2) b b f 1 ( x)dx b 2 ( x)dx. [ f 1 ( x) f 2 ( x)]dx f a a a b c b 其中 a

[全]高等数学之不定积分的计算方法总结[下载全]

高等数学之不定积分的计算方法总结不定积分中有关有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的求法,是考研中重点考察的内容，也是考研中的难点。不定积分是计算定积分和求解一阶线性微分方程的基础，所以拿握不定积分的计算方法很重要。不定积分考查的函数特点是三角函数、简单无理函数、有理函数综合考查,考查方法是换元积分法、分部积分法的综合应用。不定积分的求法的理解和应用要多做习题,尤其是综合性的习题,才能真正掌握知识点,并应用于考研。 不定积分的计算方法主要有以下三种： (1)第一换元积分法,即不定积分的凑微分求积分法; (2)第二换元积分法 (3)分部积分法常见的几种典型类型的换元法:

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当积分j/O心(X)不好计算容易计算时［使用分部私jf(A-)Jg(.v)二f(x)g(x)- J g(x)df(x).常见能使用分部积分法的类型： ⑴卩"“dx J x n srn xdx J尢"cos皿等，方法是把。',sin-t, cosx 稽是降低X的次数 是化夫In 尢9 arcsine arctanx. 例11: J (1 + 6-r )arctanAz/.r ：解：arctan f xdx等，方法是把疋； Jx" arcsm11xdx