机械优化设计方法简介
一.引言
“设计”作为人们综合运用科学技术原理和知识并有目的地创造产品的一项技术，已经发展为现代社会工业文明的重要支柱。今天，设计水平已是一个国家的工业创新能力和市场竞争能力的重要标志。
许多的设计实践经验告诉我们，设计质量的高低，是决定产品的一系列技术和经济指标的重要因素。因此，在产品生产技术的第一道工序—设计上，考虑越周全和越符合客观，则效果就会越好。
在产品设计中，追求设计结果的最优化，一直是我们工作努力的目标。现代设计理论、方法和技术中的优化设计，为工程设计人员提供了一种易于实施且可使设计结果达到最优化的重要方法和技术，以便在解决一些复杂问题时，能从众多设计的方案中找出尽可能完善的或是最好的方案。这对于提高产品性能、改进产品质量、提高设计效率，都是具有重要意义的。
二．优化设计的概念
优化设计是将工程设计问题转化为最优化问题，利用数学规划的方法，借助于计算机（高速度、高精度和大存储量）的处理，从满足设计要求的一切可行方案中，按照预定的目标自动寻找最优设计的一种设计方法。机械优化设计最优化（Optimization)通常是指解决设计问题时，使其结果达到某种意义上的无可争议的完善化。最优化“OPT”在科学和技术领域内如同使用最大“MAX”和最小“MIN”一样具有普遍性。把机械设计和现代设计理论及方法相结合，借助电子计算机，自动寻找实现预期目标的最优设计方案和最佳设计参数。
三．优化设计的一般实施步骤
(1）根据设计要求和目的定义优化设计问题；
(2）建立优化设计问题的数学模型；
(3）选用合适的优化计算方法；
(4）确定必要的数据和设计初始点；
(5）编写包括数学模型和优化算法的计算机程序，通过计算机的求解计算获取最优结构参数；
(6）对结果数据和设计方案进行合理性和适用性分析。
其中，最关键的是两个方面的工作：首先将优化设计问题抽象和表述为计算机可以接受与处理的优化设计数学模型，通常简称它为优化建模；然后选用优化计算方法及其程序在计算机上求出这个模型的的最优解，通常简称它为优化计算。
优化设计数学模型是用数学的形式表示所设计问题的特征和追求的目的，它反映了设计指标与各个主要影响因素（设计参数）间的一种依赖关系，它是获得正确优化结果的前提。
由于优化计算方法很多，因而它的选用是一个比较棘手的问题，在选用时一般都遵循这样的两个原则：一是选用适合于模型计算的方法；二是选用已有计算
机程序，且使用简单和计算稳定的方法。
四．无约束优化计算方法
1．单变量优化计算方法
一维搜索就是要在初始单峰区间中求单峰函数的极小点。所以找初始单峰区间是一维搜索的第一步。
然后将初始单峰区间逐步缩小，直至极小点存在的范围小于给定的一个正数?，此?称为收敛精度或迭代精度。此时，如区间为[a(k),b(k)]，即有
b(k)-a(k)≤?
可取该区间的中点作为极小点
x*=0.5(a(k)+b(k))
(1)黄金分割法
在区间[a,b]内，适当插入两个内分点x1和x2 (x1< x2),它们把 [a,b] 分成三段。计算并比较x1和x2两点的函数值f(x1)和f(x2)，因为[a,b]是单峰区间，故
当f(x1)>f(x2)时，极小点必在[x1,b]中；
当f(x1) 无论发生在那种情况，都将包含极小点的区间缩小，即可删去最左段或最右段，然后在保留下来的区间上做同样的处理，如此迭代下去，将使搜索区间逐步减小，直到满足预先给定的精度（终止准则）时，即获得一维优化问题的近似最优解。 (2)二次插值法 二次插值的基本思想是利用目标函数在不同3点的函数值构成一个与原函数f(x)相近似的二次多项式p(x)，以函数p(x)的极值点 (即p’(x*p)=0的根)作为目标函数f(x)的近似极值点。 2.多变量优化计算方法（在此只对梯度方法做一简介） (1)梯度法 梯度方向是函数增加最快的方向，而负梯度方向是函数下降最快的方向； 梯度法以负梯度方向为搜索方向，每次迭代都沿着负梯度方向一维搜索，直到满足精度要求为止；因此，梯度法又称为最速下降法。 梯度法的优点是理论明确，程序简单，对初始点要求不严格，有着很好的整体收敛性；缺点在于在远离极小点时逼近速度较快，而在接近极小点时逼近速度较慢，收敛速度与目标函数的性质密切相关。 (2)牛顿法 利用目标函数f(x)在点x(k)处的二阶Taylor展开式去近似目标函数，用二次函数的极小点去逼近目标函数的极小点。 适用场合为：如果目标函数f(x)在R上具有连续的二阶偏导数，其Hessian矩阵G(x)正定并且可以表达为显式，那么可以使用牛顿法。 (3)修正牛顿法 为了克服牛顿法的缺点，人们保留选牛顿方向作为搜索方向，摒弃其步长恒取1，而用一维搜索确定最优步长，由此产生的算法称为修正牛顿法(或阻力牛顿法、阻尼牛顿法)。 修正牛顿法的优点是克服了牛顿法的主要缺点，特别是当迭代点接近于最优 解时，此法具有收敛速度快的优点，且对初始点的选择要求不严；修正牛顿法的缺点是仍然需要计算目标函数的Hessian矩阵和逆矩阵，所以求解的计算量和存储量很大，另外当目标函数的Hessian矩阵在某点处出现奇异时，迭代将无法进行。 (4)共轭方向法 一般地，在n维空间中可以找出n个互相共轭的方向，对于n元正定二次函数，从任意初始点出发，顺次沿这n个共轭方向最多作n次直线搜索就可以求得目标函数的极小点．这就是共轭方向法的算法形成的基本思想。对于n元正定二次目标函数，从任意初始点出发，如果经过有限次迭代就能够求得极小点，那么这种算法称为具有二次终止性。 例如牛顿法对于二次函数只须经过一次迭代就可以求得极小点，因此是二次终止的；而最速下降法不具有二次终止性；共轭方向法（包括共轭梯度法，变尺度法等）是二次终止的。 一般来说，具有二次终止性的算法，在用于一般函数时，收敛速度较快。五、约束优化设计方法 与无约束优化问题不同的是，约束优化问题的目标函数的最小值是函数在有约束条件所限定的可行域内的最小值，并不一定是目标函数的自然最小值。 约束优化方法是用来求解如下非线性约束优化问题的数值迭代算法。 1.可行方向法 数学基础：梯度法、方向导数、k—t条件 适用条件：目标函数和约束函数均为n维一阶连续可微函数、可行域是连续闭集、求解不等式约束的一种直接解法。 可行方向法是用梯度去求解约束非线性最优化问题的一种有代表性的直接解法，它是求解大型约束优化问题的主要方法之一。其收敛速度快，效果好，但程序比较复杂，直接算法，计算困难且工作量大。 2.惩罚函数法 将不等式和等式约束函数g u(X)≤0(u=1,2,…m), h v(X)=0(v=1,2,……p) 和待定系数r(k)（称为加权因子）经加权转化后，和原目标函数一起组成一个新的目标函数（惩罚函数），然后对它求最优解。 把其中不等式和等式约束函数值经加权处理后，和原目标函数结合新的目标函数： minф(X,r 1(k),r 2 (k))=f(X)+r 1 (k)ΣG[g u (X)]+r 2 (k)ΣH[h v (X)] (1)外点惩罚函数法 基本思想：外点法是将惩罚函数定义于可行区域的外部。序列迭代点从可行域外部逐渐逼近约束边界上的最优点。 外点惩罚函数法构造惩罚函数的形式为： ф(X,r(k))=f(X)+r(k)Σmax[0,g u(X)]2+r(k)ΣH[h v(X)]2 外点法将惩罚函数定义于约束可行域之外，且求解无约束问题的一系列迭代点是从可行域外部逼近原目标函数的约束最优解。 (2)内点惩罚函数法 基本思想：将新目标函数定义于可行域内，序列迭代点在可行域内逐步逼近约束边界上的最优点。内点法只能用来求解具有不等式约束的优化问题。 内点惩罚函数法构造惩罚函数的形式为： ф(X,r(k))=f(X)-r(k)Σ [1/g u(X)]或ф(X,r(k))=f(X)-r(k)Σ In[-g u(X)] 因内点法将惩罚函数定义在可行域内，故点X(0)要严格满足全部的约束条件，且应选择离约束边界较远些，即应使g (X(0))<0(u=1,2…m)。 u (3)初始惩罚因子r(0)的选择 r(0)的选择会影响到迭代计算能否正常进行以及计算效率的高低，值应适当。 若r(0)太大，则开始几次构造的惩罚函数的无约束极值点会离约束边界很远，将增加迭代次数，使计算效率降低。 若r(0)太小，惩罚函数中的障碍项的作用就会很小，使惩罚函数性态变坏，甚至难以收敛到原约束目标函数的极值点。 目前，还没有一定的有效方法，往往要经过多次试算，才能确定一个适当的r(0)。 多数情况下，一般取r(0)=1，然后根据试算的结果，加以调整。 (4)惩罚因子的缩减系数C的选择 在构造序列惩罚函数时，惩罚因子r(k)是一个逐次递减到0的数列，相邻两次迭代的惩罚因子关系式为： r(k)=Cr(k-1) 其中，C—惩罚因子的缩减系数，0 通常取值为：0.1～0.7。 六、小结及心得 在老师所给出的四种设计计算方法当中，我之所以选择了优化设计方法，是因为在上个学期我曾经选修过《现代设计方法A》，对一些优化设计方法有一些简单的学习和了解。机械优化设计方法多种多样，不是简简单单就能介绍清楚的。在此，我仅仅对无约束、有约束的优化设计方法进行了介绍，除此之外，还有多目标问题、多学科问题、离散问题的优化设计方法等等，在各行各业当中都能看到它们的影子。 说到优化设计方法，它给我的第一个印象就是要算，而且还是不停的算。优化设计方法，说白了就是给出一个具体的问题，选择了合适的计算方法，找到适合这个问题所需要的公式，然后一直迭代一直迭代，直到满足要求的精度或者终止准则，优化设计方法不适合我们用手去算，那样不仅费时费力，而且得到的结果也会有很大的误差。因此，我们在采用优化设计方法解决问题时，通常会使用计算机帮助我们进行计算，matlab就是一个不错的软件，它包含了解决工程问题所需要的多种函数，可以很快的得出运算结果即最优解。 其次，这种方法对个人数学水平的要求较高。虽然计算机可以帮助我们完成大部分的运算，但是它仍然需要我们具备较高水平的高等数学、概率论以及线性代数的知识。泰勒展开式、矩阵的运算及其逆运算、线性规划等等，都是我在运用该方法解决问题时所遇到的麻烦。 虽然这种方法很麻烦，但是它的作用也是不言而喻的。它能根据机械设计 的一般理论、方法或者行业标准，把工程设计问题按照具体要求建立一个数学模型，采用最优化技术与计算机技术自动找出最优方案，使问题的解决在某种意义上达到无可争议的完善化，对改善机械产品的质量、发展计算机辅助设计起到了重要作用。 基于MATLAB工具箱的机械优化设计 长江大学机械工程学院机械11005班刘刚 摘要：机械优化设计是一种非常重要的现代设计方法，能从众多的设计方案中找出最佳方案，从而大大提高设计效率和质量。本文系统介绍了机械优化设计的研究内容及常规数学模型建立的方法，同时本文通过应用实例列举出了MATLAB 在工程上的应用。 关键词：机械优化设计；应用实例；MATLAB工具箱；优化目标 优化设计是20世纪60年代随计算机技术发展起来的一门新学科, 是构成和推进现代设计方法产生与发展的重要内容。机械优化设计是综合性和实用性都很强的理论和技术, 为机械设计提供了一种可靠、高效的科学设计方法, 使设计者由被动地分析、校核进入主动设计, 能节约原材料, 降低成本, 缩短设计周期, 提高设计效率和水平, 提升企业竞争力、经济效益与社会效益。国内外相关学者和科研人员对优化设计理论方法及其应用研究十分重视, 并开展了大量工作, 其基本理论和求解手段已逐渐成熟。 国内优化设计起步较晚, 但在众多学者和科研人员的不懈努力下, 机械优化设计发展迅猛, 在理论上和工程应用中都取得了很大进步和丰硕成果, 但与国外先进优化技术相比还存在一定差距, 在实际工程中发挥效益的优化设计方案或设计结果所占比例不大。计算机等辅助设备性能的提高、科技与市场的双重驱动, 使得优化技术在机械设计和制造中的应用得到了长足发展, 遗传算法、神经网络、粒子群法等智能优化方法也在优化设计中得到了成功应用。目前, 优化设计已成为航空航天、汽车制造等很多行业生产过程的一个必须且至关重要的环节。 一、机械优化设计研究内容概述 机械优化设计是一种现代、科学的设计方法, 集思考、绘图、计算、实验于一体, 其结果不仅“可行”, 而且“最优”。该“最优”是相对的, 随着科技的发展以及设计条件的改变, 最优标准也将发生变化。优化设计反映了人们对客观世界认识的深化, 要求人们根据事物的客观规律, 在一定的物质基和技术条件下充分发挥人的主观能动性, 得出最优的设计方案。 优化设计的思想是最优设计, 利用数学手段建立满足设计要求优化模型; 方法是优化方法, 使方案参数沿着方案更好的方向自动调整, 以从众多可行设计方案中选出最优方案; 手段是计算机, 计算机运算速度极快, 能够从大量方案中选出“最优方案“。尽管建模时需作适当简化, 可能使结果不一定完全可行或实际最优, 但其基于客观规律和数据, 又不需要太多费用, 因此具有经验类比或试验手段无可比拟的优点, 如果再辅之以适当经验和试验, 就能得到一个较圆满的优化设计结果。 传统设计也追求最优结果, 通常在调查分析基础上, 根据设计要求和实践 机械优化设计习题及参考答案 1-1.简述优化设计问题数学模型的表达形式。 答：优化问题的数学模型是实际优化设计问题的数学抽象。在明确设计变量、约束条件、目标函数之后，优化设计问题就可以表示成一般数学形式。求设计变量向量[]12T n x x x x =L 使 ()min f x → 且满足约束条件 ()0 (1,2,)k h x k l ==L ()0 (1,2,)j g x j m ≤=L 2-1.何谓函数的梯度？梯度对优化设计有何意义？ 答：二元函数f(x 1,x 2)在x 0点处的方向导数的表达式可以改写成下面的 形式：?? ??????????????=??+??=??2cos 1cos 212cos 21cos 1θθθθxo x f x f xo x f xo x f xo d f ρ 令xo T x f x f x f x f x f ?? ????????=????=?21]2 1[)0(， 则称它为函数f （x 1，x 2）在x 0点处的梯度。 （1）梯度方向是函数值变化最快方向，梯度模是函数变化率的最大值。 （2）梯度与切线方向d 垂直，从而推得梯度方向为等值面的法线方向。梯度)0(x f ?方向为函数变化率最大方向，也就是最速上升方向。负梯度-)0(x f ?方向为函数变化率最小方向，即最速下降方向。 2-2.求二元函数f （x 1，x 2）=2x 12+x 22-2x 1+x 2在T x ]0,0[0=处函数变化率最 大的方向和数值。 解：由于函数变化率最大的方向就是梯度的方向，这里用单位向量p 表示，函数变化率最大和数值时梯度的模)0(x f ?。求f （x1，x2）在x0点处的梯度方向和数值，计算如下： ()??? ???-=????? ?+-=???? ??????????=?120122214210x x x x f x f x f 2 221)0(?? ? ????+??? ????=?x f x f x f =5 ????? ???????-=??????-=??=5152512)0()0(x f x f p ? 2-3.试求目标函数()2 221212143,x x x x x x f +-=在点X 0=[1,0]T 处的最速下 降方向，并求沿着该方向移动一个单位长度后新点的目标函数值。 解：求目标函数的偏导数 212 21124,46x x x f x x x f +-=??-=?? 则函数在X 0=[1,0]T 处的最速下降方向是 ??????-=??????-+-=?????? ??????????-=-?=====462446)(0 121210 1210 2121x x x x x x x x x f x f X f P 这个方向上的单位向量是： 13]2,3[4 )6(]4,6[T 22T -=+--==P P e 新点是 浅析机械优化设计方法基本理论 【摘要】在机械优化设计的实践中，机械优化设计是一种非常重要的现代设计方法，能从众多的设计方案中找出最佳方案，从而大大提高设计的效率和质量。每一种优化方法都是针对某一种问题而产生的，都有各自的特点和各自的应用领城。在综合大量文献的基础上，总结机械优化设计的特点，着重分析常用的机械优化设计方法，包括无约束优化设计方法、约束优化设计方法、基因遗传算方法等并提出评判的主 要性能指标。 【关键词】机械；优化设计；方法特点；评价指标 一、机械优化概述 机械优化设计是适应生产现代化要求发展起来的一门科学，它包括机械优化设计、机械零部件优化设计、机械结构参数和形状的优化设计等诸多内容。该领域的研究和应用进展非常迅速，并且取得了可观的经济效益，在科技发达国家已将优化设计列为科技人员的基本职业训练项目。随着科技的发展，现代化机械优化设计方法主要以数学规划为核心，以计算机为工具，向着多变量、多目标、高效率、高精度方向发展。]1[ 优化设计方法的分类优化设计的类别很多，从不同的角度出发，可以做出各种不同的分类。按目标函数的多少，可分为单目标优化设计方法和多目标优化设计方法按维数，可分为一维优化设计方法和多维优化设计方法按约束情况，可分为无约束优化设计方法和约束优化设计方法按寻优途径，可分为数值法、解析法、图解法、实验法和情况研究法按优化设计问题能否用数学模型表达，可分为能用数学模型表达的优化设计问题其寻优途径为数学方法，如数学规划法、最优控制法等。 1.1 设计变量 设计变量是指在设计过程中进行选择并最终必须确定的各项独立参数，在优化过程中，这些参数就是自变量，一旦设计变量全部确定，设计方案也就完全确定了。设计变量的数目确定优化设计的维数，设计变量数目越多，设计空间的维数越大。优化设计工作越复杂，同时效益也越显著，因此在选择设计变量时。必须兼顾优化效果的显著性和优化过程的复杂性。 机械优化设计习题及参考答案 1-1、简述优化设计问题数学模型的表达形式。 答:优化问题的数学模型就是实际优化设计问题的数学抽象。在明确设计变量、约束条件、目标函数之后,优化设计问题就可以表示成一般数学形式。求设计变量向量[]12 T n x x x x =使 ()min f x → 且满足约束条件 ()0 (1,2,)k h x k l == ()0(1,2,)j g x j m ≤= 2-1、何谓函数的梯度？梯度对优化设计有何意义？ 答:二元函数f(x 1,x 2)在x 0点处的方向导数的表达式可以改写成下面的形式:?? ??????????????=??+??=??2cos 1cos 212cos 21cos 1θθθθxo x f x f xo x f xo x f xo d f 令xo T x f x f x f x f x f ?? ????????=????=?21]21[)0(, 则称它为函数f(x 1,x 2)在x 0点处的梯度。 (1)梯度方向就是函数值变化最快方向,梯度模就是函数变化率的最大值。 (2)梯度与切线方向d 垂直,从而推得梯度方向为等值面的法线方向。梯度)0(x f ?方向为函数变化率最大方向,也就就是最速上升方向。负梯度-)0(x f ?方向为函数变化率最小方向,即最速下降方向。 2-2、求二元函数f(x 1,x 2)=2x 12+x 22-2x 1+x 2在T x ]0,0[0=处函数变化率最 大的方向与数值。 解:由于函数变化率最大的方向就就是梯度的方向,这里用单位向量p 表 示,函数变化率最大与数值时梯度的模)0(x f ?。求f(x1,x2)在x0点处的梯度方向与数值,计算如下: ()??????-=??????+-=???? ??????????=?120122214210x x x x f x f x f 2221)0(?? ? ????+??? ????=?x f x f x f =5 ????? ???????-=??????-=??=5152512)0()0(x f x f p 2-3、试求目标函数()2221212143,x x x x x x f +-=在点X 0=[1,0]T 处的最速下降 方向,并求沿着该方向移动一个单位长度后新点的目标函数值。 解:求目标函数的偏导数 212 21124,46x x x f x x x f +-=??-=?? 则函数在X 0=[1,0]T 处的最速下降方向就是 ??????-=??????-+-=????????????????-=-?=====462446)(0121210 121021 21x x x x x x x x x f x f X f P 这个方向上的单位向量就是: 13]2,3[4 )6(]4,6[T 22T -=+--==P P e 新点就是 ????? ???????-=+=132133101e X X 新点的目标函数值 机械优化设计——复合形方法及源程序 (一) 题目：用复合形法求约束优化问题 ()()()2221645min -+-=x x x f ；0642 2211≤--=x x g ；01013≤-=x g 的最优解。 基本思路：在可行域中构造一个具有K 个顶点的初始复合形。对该复合形各顶点的目标函数值进行比较，找到目标函数值最大的顶点（即最坏点），然后按一定的法则求出目标函数值有所下降的可行的新点，并用此点代替最坏点，构成新的复合形，复合形的形状每改变一次，就向最优点移动一步，直至逼近最优点。 (二) 复合形法的计算步骤 1）选择复合形的顶点数k ，一般取n k n 21≤≤+，在可行域内构成具有k 个顶点的初始复合形。 2）计算复合形个顶点的目标函数值，比较其大小，找出最好点x L 、最坏点x H 、及此坏点x G .. 3）计算除去最坏点x H 以外的（k-1）个顶点的中心x C 。判别x C 是否可行，若x C 为可行点，则转步骤4）；若x C 为非可行点，则重新确定设计变量的下限和上限值，即令C L x b x a ==,，然后转步骤1），重新构造初始复合形。 4）按式()H C C R x x x x -+=α计算反射点x Ｒ，必要时改变反射系数α的值，直至反射成功，即满足式()()()()H R R j x f x f m j x g 机械优化设计论文(基于MATLAB工具箱的机械优化设计)
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