§6.5 不考虑交互作用的正交试验设计
下面我们先来看一种比较简单的情形，即不考虑因子之间交互作用的情形。不考虑交互作用的正交试验设计和数据处理，可按下列步骤进行：
（1）选正交表 。
)(m
n r L 选择的原则是： 要等于因子的水平数； 要大于或等于因子的个数； 是试验r m n 次数，要尽可能小。
例如，问题中有4个因子，每个因子都是2个水平。选正交表时，首先要选 =2 的r 表。这样的正交表有 。在 中，=3 ，小于因子的 ),2(),2(),2(15
167
83
4L L L )2(3
4L m 个数4，所以不符合要求。在 中， ，大于因子的个数 ),2(),2(15
167
8L L ,15,7=m 4，符合要求。在符合要求的正交表中，还要选试验次数 尽可能小的那一个表。显然，n 在 中，=8 为最小，所以，我们最后选定正交表 。
)2(7
8L n )2(7
8L （2）设计表头。
将各因子安排在正交表的各列上方，每个因子占1列，这称为表头。在不考虑交互作用的正交试验设计中，表头上的因子可以任意安放。表头上不放因子的列，称为空白列。
（3）按照设计做试验，取得试验观测值。
正交表的每一行代表一种水平组合，对每一种水平组合做一次试验。按照第 行的k 水平组合所做的第 次试验，所得到的观测值记为 。正交表有 行，所以，一共k k X n 要做 次试验，共得到 个试验观测值： 。
n n n X X X ,,,21 （4）在正交表的每一列中，求出与各水平对应的均值，以及这一列的平方和。 设我们考虑的是第 列。在这一列中，表示水平的数字 ，每一个都重j r ,,2,1 复出现 次。设与这一列中的数字 对应的那几行的试验观测值之和为 ，与这r n 1j W 1一列中的数字 对应的那几行的试验观测值之和为 ， ，与这一列中的数字 2j W 2 r 对应的那几行的试验观测值之和为 。将 分别除以 ，就得j r W j r j j W W W ,,,21 r n 到与这一列中各水平对应的均值 。
,11r
n W X j j =
,22r
n W X j j =
r
n W X j r j r =
, 然后，从
出发，求出这一列的平方和
j r j j X X X ,,,21 ，其中， 是总均值。具体算法是，把
∑=-=r i j i j X X r n SS 12
(∑==n k k X n X 1
1 看作样本， 就是样本均值， 就是样本方差再乘以 （或修
j r j j X X X ,,,21 X j SS n
正样本方差再乘以 ） 。
r r n )1(-（5）列方差分析表，作显著性检验。 来源 平方和 自由度 均方
值 F 分位数
A A SS 1-=r f A A A A f SS MS =
e
A
A MS MS F = ),(1e A f f F α-
B B SS
1-=r f B B B B f SS MS = e B
B MS MS F =
),(1e B f f F α-
误差
e SS
e f
e e e
f SS MS = 总和
T SS
1-=n f T
其中， 是总平方和。 分别是表头为 ∑=-=
n
k k T X X SS 1
2
)( ,,B A SS SS ,,B A 的各列的平方和。 是误差平方和。可以证明，
---=B A T e SS SS SS SS ，即总平方和等于各列的平方和之和，所以， 也就是空白列的平方和
∑==m
j j T SS SS 1
e SS 之和。
是总自由度， 是各因子的自由度，
1-=n f T 1-===r f f B A 是误差自由度。
---=B A T e f f f f
，， 是各因子的均方， 是误
A A A f SS MS =
B B B f SS MS = e e e f SS MS =差均方。
可以证明，若因子的作用不显著，则～；若因子 的作A e
A
A MS MS F =
),(e A f f F A 用显著，则 的值会偏大，统计量 的分布，相对于 分布来说，峰值的A F A F ),(e A f f F 位置会有一个向右的偏移。
若因子的作用不显著，则 ～ ；若因子的作用显著，则 B e
B
B MS MS F =
),(e B f f F B 的值会偏大，统计量 的分布，相对于 分布来说，峰值的位置会有一
B F B F ),(e B f f F 个向右的偏移。
所以，像在方差分析中一样，只要给定显著水平
，就可以用 分布检验因子
αF 的作用是否显著。
,,B A
（6）寻找最优水平组合。
对每一个因子，在以它为表头的那一列中，比较各水平的均值的大小，可以确定哪一个水平最优。
由于不考虑交互作用，所以，只要将各因子的最优水平组合起来，就是最优水平组合。 下面看一个实际例子。
例1 某化工厂为提高产品的收得率（单位：%） ，进行 因子 水平正交试验。33所取的因子和水平分别为：
因子 是反应温度， 是80?C ， 是85?C ， 是90?C ；
A 1A 2A 3A 因子 是反应时间， 是90分钟， 是120分钟， 是150分钟 ；
B 1B 2B 3B 因子 是用碱量， 是5% ， 是6% ， 是7% 。
C 1C 2C 3C 要求进行不考虑交互作用的正交试验设计，检验因子 的作用是否显著（显C B A ,,著水平 ） ，并且找出最优水平组合。
05.0=α解
（1）选正交表。按照 ，， 尽可能小的原则，选用 。 3=r 3≥m n )3(4
9L （2）设计表头。将因子 依次安排在第 列。 C B A ,,3,2,1（3）按照设计做试验，取得试验观测值。试验得到的观测值见下表。 （4）求各列与各水平对应的均值和各列的平方和。计算结果见下表。 表头
A
B
C 列号
试验号
1 2 3 4 观测值（收得率）
k X 1 1 1 1 1 31 2 1 2 2 2 54 3 1 3 3 3 38 4 2 1 2 3 53 5 2 2 3 1 49 6 2 3 1 2 42 7 3 1 3 2 57 8 3 2 1 3 62 9
3 3 2 1 64
j X 141 47 45 48 j X 248 55 57 51
j X 361 48 48 51
5011
==∑=n
k k X n X
j SS 618
114
234
18
∑=-=n k k T X X SS 1
2
)(9841
==∑=m
j j SS
（5）列方差分析表，作显著性检验。 来源
平方和
自由度
均方
值 F 分位数
A 618=A SS 21=-r 309
33.34=A F 0.19)2,2(95.0=F B
114=B SS 21=-r 57
33.6=B F 0.19)2,2(95.0=F
C 234=C SS
21=-r 117
00.13=C F
0.19)2,2(95.0=F 误差
18=e SS 22228=---
9 总和
984=T SS
81=-n
因为 ，所以因子 作用显著。 ),(0.1933.341e A A f f F F α-=>=A 因为 ，所以因子 作用不显著。 ),(0.1933.61e B B f f F F α-=<=B 因为 ，所以因子 作用也不显著。 ),(0.1900.131e C C f f F F α-=<=C (6) 寻找最优水平组合。
对于因子 ，因为 的均值 ， 的均值 ， 的均A 1A 4111=X 2A 4821=X 3A 值 ，其中 最大，所以 是最优水平。
6131=X 6131=X 3A 对于因子 ，因为 的均值 ， 的均值 ， 的均B 1B 4712=X 2B 5522=X 3B 值 ，其中 最大，所以 是最优水平。
4832=X 5522=X 2B 对于因子 ，因为 的均值 ， 的均值 ， 的均C 1C 4513=X 2C 5723=X 3C 值 ，其中 最大，所以 是最优水平。
4833=X 5723=X 2C 把3个因子的最优水平组合起来，就得到最优水平组合 ，即反应温度),,(223C B A 为90?C ，反应时间为120分钟，用碱量为6% 。
由于因子 很不显著，即反应时间的不同对于收得率没有显著的影响，为了节省反B 应时间，也可以考虑把反应时间改为90分钟，选用水平组合 。
),,(213C B A 因子 也不十分显著，即用碱量的不同对于收得率也没有太大的影响，如果希望节C 省用碱量，还可以考虑把用碱量改为5%，选用水平组合 。
),,(113C B A 得到最优水平组合后，还可以对它以及在它的附近再做几次试验，看看它是否确实最优，是否还可以作改进，进一步得到更好的结果。
正交实验设计 1．概述 任何生产部门，任何科学实验工作，为达到预期目的和效果都必须恰当地安排实验工作，力求通过次数不多的实验认识所研究课题的基本规律并取得满意的结果。例如为拟定一个正确而简便的分析方法，必然要研究影响这种分析方法效果的种种条件，诸如试剂浓度和用量、溶液酸度、反应时间以及共存组分的干扰等等。同时，对于影响分析效果的每一种条件，还应通过试验选择合理的范围。在这里，我们把受到条件影响的反系方法的准确度、精密度以及方法的效果等叫做指标；把试验中要研究的条件叫做因素；把每种条件在试验范围内的取值（或选取的试验点）叫做该条件的水平。这就是说我们常常遇到的问题可能包括多种因素，各种因素又有不同的水平，每种因素可能对分析结果产生各自的影响，也可能彼此交织在一起而产生综合的效果。 正交试验设计就是用于安排多因素实验并考察各因素影响大小的一种科学设计方法。它始于1942年，之后在各个领域里都得到很快的发展和广泛应用。这种科学设计方法是应用一套已规格化的表格——正交表来安排实验工作，其优点是适合于多种因素的实验设计，便于同时考查多种因素各种水平对指标的影响通过较少的实验次数，选出最佳的实验条件，即选出各因素的某一水平组成比较合适的条件，这样的条件就所考查的因素和水平而言，可视为最佳条件。另一方面，还可以帮助我们在错综复杂的因素中抓住主要因素，并判断那些因素只起单独的作用，那些因素除自身的单独作用外，它们之间还产生综合的效果。数理统计上的实验设计还能给出误差的估计。 2. 试验设计的基本方法 全面试验法 正交设计的方法，首先应根据实验的目的,确定影响实验结果的各种因素，选择这些影响因素的试验点，进而拟出实验方案，之后按所拟方案进行实验并对实验结果作出评估。必要时再拟出进一步的实验方案，使实验工作更趋完善，所得结果也更为可靠。 如在研究某一显色反应时，为选择合适的显色温度、酸度和显色完全的时间，可作如下的试验安排。 首先确定上述三因素的实验范围： 显色温度： 25——35℃ （温度以A表示） 酸浓度：——L （酸浓度以B表示）
第四节 考虑交互作用的正交试验分析 在多因素的试验中,除了各个因素对指标的单独影响外,还存在着因素间的联合作用.这种两个或多个因素之间对指标的相互制约或相互促进的联合作用称为因素间的交互作用.例如,药物的配伍密切影响疗效,有时存在协同作用,有时存在拮抗作用. 比如磺胺甲基异噁(SMZ)和甲氧苄胺嘧啶(TMP)均为抗菌药,单用时均会产生耐药性且抗菌效果不佳.两药合用可使磺胺药抗菌作用增强数倍到数十倍,从而减少耐药菌株的产生,对磺胺药已耐药的菌株也将被抑制,尤其对大肠杆菌、流感杆菌和金葡菌的抗菌作用比磺胺药单用要强4~8倍.同时,在药物的生产过程中,反应时的温度、物料的浓度、搅拌的速度、酸碱度等因素之间,可能会因水平搭配的不同,而表现出不容忽视的交互作用. 内容分布图示 ★ 考虑交互作用的正交试验分析 ★ 例1 ★ 内容小结 内容要点： 两个因素A 和B 间的交互作用称为一级交互作用,记为A ×B.三个因素A,B 和C 之间的交互作用,称为二级交互作用,记为A ×B ×C .三个以上因素之间的交互作用,称为高级交互作用.在多因素试验中如果不能确定因素间是否存在交互作用,通常就要考察因素间交互作用对试验结果影响大小.在正交试验设计中,如果要考虑因素间的交互作用,需要把交互作用作为独立的因素来对待.因素间的交互作用可直接在正交表反映出来,许多正交表都有它相应的交互作用表.交互作用表是用来安排交互作用试验的,把交互作用看成是一个因素,它在正交表中也占一定的列,此列叫交互作用列.任两列间的交互作用可从交互作用表中查出应安排在哪一列上. 例题选讲 例1（E01）某农药厂生产一种农药,收率不很理想,且不稳定,想通过试验寻找合适的生产条件以掌握规律,通过产品收率,达到稳产高产的目的.根据以往经验,考查四个因素,每个因素各取二个水平,因素和水平如下表, 水平 因素 反应温度A(℃) 反应时间B(h) 配比C 真空度D(Pa) 1 60 2.5 1.1:1 500×133.3324 2 80 3.5 1.2:1 600×133.3324 其中因素A 和B 之间存在交互作用. 由于考察的是四因素两水平,112=-====D C B A f f f f ,故有 4=+++=D C B A f f f f f 试,在2水平正交表中,选用正交表)2(78L .将A,B,C,D 四个因素 分别安排在1,2,4,7列上,查)2(7 8L 交互作用表,可以知道交互作用A ×B 应安排在第三列上,
L9（34） 序号 1 2 3 4 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 3 1 3 3 3 4 2 1 2 3 5 2 2 3 1 6 2 3 1 2 7 3 1 3 2 8 3 2 1 3 9 3 3 2 1 回首页 正交试验设计法 正交试验设计法的基本思想 正交表 正交表试验方案的设计 试验数据的直观分析 正交试验的方差分析 常用正交表 1．正交试验设计法的基本思想 正交试验设计法，就是使用已经造好了的表格--正交表--来安排试验并进行数据分析的一种方法。它简单易行，计算表格化，使用者能够迅速掌握。下边通过一个例子来说明正交试验设计法的基本想法。 [例1]为提高某化工产品的转化率，选择了三个有关因素进行条件试验，反应温度(A)，反应时间(B)，用碱量(C)，并确定了它们的试验范围： A：80-90℃ B：90-150分钟 C：5-7％ 试验目的是搞清楚因子A、B、C对转化率有什么影响，哪些是主要的，哪些是次要的，从而确定最适生产条件，即温度、时间及用碱量各为多少才能使转化率高。
试制定试验方案。 这里，对因子A，在试验范围内选了三个水平；因子B和C 也都取三个水平： A：Al＝80℃，A2＝85℃，A3=90℃ B：Bl＝90分，B2＝120分，B3=150分 C：Cl＝5％，C2＝6%，C3＝7% 当然，在正交试验设计中，因子可以是定量的，也可以是定性的。而定量因子各水平间的距离可以相等，也可以不相等。 这个三因子三水平的条件试验，通常有两种试验进行方法： (Ⅰ)取三因子所有水平之间的组合，即AlBlC1，A1BlC2，A1B2C1，……，A3B3C3，共有 33=27次 试验。用图表示就是图1 立方体的27个节点。这种试验法叫做全面试验法。 全面试验对各因子与指标间的关系剖析得比较清楚。但试验次数太多。特别是当因子数目多，每个因子的水平数目也多时。试验量大得惊人。如选六个因子，每个因子取五个水平时，如欲做全面试验，则需56＝15625次试验，这实际上是不可能实现的。如果应用正交实验法，只做25次试验就行了。而且在某种意义上讲，这25次试验代表了15625次试验。 图1 全面试验法取点.......... (Ⅱ)简单对比法，即变化一个因素而固定其他因素，如首先固定B、C于Bl、Cl，使A变化之： ↗A1 B1C1 →A2 ↘A3 (好结果) 如得出结果A3最好，则固定A于A3，C还是Cl，使B变化之： ↗B1 A3C1 →B2 (好结果) ↘B3 得出结果以B2为最好，则固定B于B2，A于A3，使C变化之： ↗C1 A3B2→C2 (好结果) ↘C3 试验结果以C2最好。于是就认为最好的工艺条件是A3B2C2。 这种方法一般也有一定的效果，但缺点很多。首先这种方法的选点代表性很差，如按上述方法进行试验，试验点完全分布在一个角上，而在一个很大的范围内没有选点。因此这种试验方法不全面，所选的工艺条件A3B2C2不一定是27个组合中最好的。其次，用这种方法比较条件好坏时，是把单个的试验数据拿来，进行数值上的简单比较，而试验数据中必然要包含着误差成分，所以单个数据的简单比较不能剔除误差的干扰，必然造成结论的不稳定。
正交试验设计 1正交试验的引入 在实际的生产实践当中，由于需要考虑的因素（对结果产生影响的变量）通常比较多，同时，每个因素的水平个数（每个变量的可取值个数）也不止一两个。如果对每个因素的每个水平交互搭配全部进行试验，例如：对于5因素4水平的 实验，全部次数为：541024 ，需要用相当长的时间进行统计分析计算，同时耗费了大量的人力物力。 而如果采用正交试验设计，试验的次数将大大减少，同时对统计结果的分析也变得简单。正交试验设计是利用正交表科学的安排与分析多因素试验的方法，是最常用的试验设计之一。 2正交表的分类及优势 正交表分为：等水平正交表和混合水平正交表。等水平代表各因素所取的水平数相同，混合水平表示各因素的水平数不一定相同。 正交表的优点：（1）能够在所有方案中均匀的选出具有代表性的方案； （2）通过对少数试验的分析，可以推得较优的方案，并且较优方案往往不包含在少数进行试验了的方案中。 （3）通过对结果分析，可以得到更多有用的信息。包括各因素的重要性等。 3正交试验设计的步骤 总的来说包括两部分：一是试验设计，二是数据处理。归纳为： （1）明确试验目的，确定评价指标； （2）挑选因素，确定水平； （3）选正交表，进行表头设计：一般要求为因素数≤正交表列数 （4）明确试验方案，进行试验得到结果； （5）对结果进行统计分析：采用直观分析法或方差分析法，得到因素的主词以及优方案等信息； （6）进行验证试验，做进一步的分析。 4有交互作用的正交试验设计 在许多试验中，不仅要考虑各个因素对试验指标起作用，还有考虑因素间的交互作用对试验解结果的影响。在这种正交试验的设计当中，要把交互作用也作为因素考虑进去。可以查对应的正交表来进行表头设计。 5举例 下面通过举例来说明如何设计正交表以及对用不同的方法对试验结果进行分析。例1（三水平三因素正交表设计以及直观分析法）以下试验考虑的两个指标全部
正交实验设计法 正交实验设计法 1．正交试验设计法的基本思想 正交试验设计法，就是使用已经造好了的表格--正交表--来安排试验并进行数据分析的一种方法。它简单易行，计算表格化，使用者能够迅速掌握。下边通过一个例子来说明正交试验设计法的基本想法。 [例1]为提高某化工产品的转化率，选择了三个有关因素进行条件试验，反应温度(A)，反应时间(B)，用碱量(C)，并确定了它们的试验范围：A：80-90℃ B：90-150分钟 C：5-7％ 试验目的是搞清楚因子A、B、C对转化率有什么影响，哪些是主要的，哪些是次要的，从而确定最适生产条件，即温度、时间及用碱量各为多少才能使转化率高。试制定试验方案。 这里，对因子A，在试验范围内选了三个水平；因子B和C也都取三个水平：A：Al＝80℃，A2＝85℃，A3=90℃ B：Bl＝90分，B2＝120分，B3=150分 C：Cl＝5％，C2＝6%，C3＝7% 当然，在正交试验设计中，因子可以是定量的，也可以是定性的。而定量因子各水平间的距离可以相等，也可以不相等。 这个三因子三水平的条件试验，通常有两种试验进行方法： (Ⅰ)取三因子所有水平之间的组合，即AlBlC1，A1BlC2，A1B2C1，……，A3B3C3，共有 33=27次 试验。用图表示就是图1 立方体的27个节点。这种试验法叫做全面试验法。 全面试验对各因子与指标间的关系剖析得比较清楚。但试验次数太多。特别
是当因子数目多，每个因子的水平数目也多时。试验量大得惊人。如选六个因子，每个因子取五个水平时，如欲做全面试验，则需56＝15625次试验，这实际上是不可能实现的。如果应用正交实验法，只做25次试验就行了。而且在某种意义上讲，这25次试验代表了15625次试验。 (Ⅱ)简单对比法，即变化一个因素而固定其他因素，如首先固定B、C于Bl、Cl，使A变化之： ↗A1 B1C1 →A2 ↘A3 (好结果) 如得出结果A3最好，则固定A于A3，C还是Cl，使B变化之： ↗B1 A3C1 →B2 (好结果) ↘B3 得出结果以B2为最好，则固定B于B2，A于A3，使C变化之： ↗C1 A3B2→C2 (好结果) ↘C3 试验结果以C2最好。于是就认为最好的工艺条件是A3B2C2。 这种方法一般也有一定的效果，但缺点很多。首先这种方法的选点代表性很差，如按上述方法进行试验，试验点完全分布在一个角上，而在一个很大的范围内没有选点。因此这种试验方法不全面，所选的工艺条件A3B2C2不一定是27 个组合中最好的。其次，用这种方法比较条件好坏时，是把单个的试验数据拿来，进行数值上的简单比较，而试验数据中必然要包含着误差成分，所以单个数据的简单比较不能剔除误差的干扰，必然造成结论的不稳定。 简单对比法的最大优点就是试验次数少，例如六因子五水平试验，在不重复时，只用5+(6-1)×(5-1)＝5+5×4＝25次试验就可以了。 图1 全面试验法取点.......... 考虑兼顾这两种试验方法的优点，从全面试验的点中选择具有典型性、代表性的点，使试验点在试验范围内分布得很均匀，能反映全面情况。但我们又希望试验点尽量地少，为此还要具体考虑一些问题。
正交试验设计法[17] 正交试验设计是利用“正交表”选择试验的条件，并利用正交表的特点进行数据分析，找出最好的或满意的试验条件，适用于多因素的设计问题。正交试验法的理论基础是正交拉丁方理论与群论。在工作中可用的多因素寻优工作方法，一类是从优选区某一点开始试验，一步一步到达较优点，这类实验方法叫序贯试验法，如因素轮换法、爬山法等；另一类是，在优选区内一次布置一批试验点，通过对这批试验结果的分析，逐步缩小优选范围从而达到较优点，如正交试验法等。科研中普遍采用正交试验法，因其具有如下优点： ①实用上按表格安排试验，使用方便； ②布点均衡、试验次数较少； ③在正交试验法中的最好点，虽然不一定是全面试验的最好点，但也往往是相当好的点。特别在只有一两个因素起主要作用时，正交试验法能保证主要因素的各种可能都不会漏掉。这点在探索性工作中很重要，其他试验方法难于作到； ④正交试验法提供一种分析结果（包括交互作用）的方法，结果直观易分析。且每个试验水平都重复相同次数，可以消除部分试验误差的干扰； ⑤因其具有正交性，易于分析出各因素的主效应。 名词解释： 1 试验因素：影响考核指标取值的量称为试验因素(因子)，一般记为：A，B，C等。有定量的因素，可控因素，定性的因素，不可控因素等。 2 因素的位级(水平)：指试验因素所处的状态。 4 考核指标：根据试验目的而选定的用来衡量试验效果的量值(指标)。 5 完全因素位级组合：指参与实验的全部因素与全部位级相互之间的全部组合次数，即全部的实验次数。
6 部分因素位级组合：⑴单因素转换法⑵正交试验法 7 正交表的符号：正交表是运用组合数学理论在正交拉丁名的基础上构造的一种规格化的表格。符号：Ln(ji) 其中： L--正交表的符号 n--正交表的行数(试验次数，试验方案数) j--正交表中的数码(因素的位级数) i--正交表的列数(试验因素的个数) N=ji--全部试验次数(完全因素位级组合数) 总之，利用正交试验法的设计方案，结合代数方法对数据进行分析，可达到使试验收敛速度加快、试验的效率非常高的效果。可利用试验结果获取更多信息，准确掌握效应的趋势规律，而且优选点可超越所选水平范围和精度，从而可大大减少试验次数。这种联用技术，对于可获得定量结果或结果容易定量化，以及试验代价高时，很有效。 正交实验设计 当析因设计要求的实验次数太多时，一个非常自然的想法就是从析因设计的水平组合中，选择一部分有代表性水平组合进行试验。因此就出现了分式析因设计(fractional factorial designs)，但是对于试验设计知识较少的实际工作者来说，选择适当的分式析因设计还是比较困难的。 正交试验设计(Orthogonal experimental design)是研究多因素多水平的又一种设计方法，它是根据正交性从全面试验中挑选出部分有代表性的点进行试验，这些有代表性的点具备了“均匀分散，齐整可比”的特点，正交试验设计是分式析因设计的主要方法。是一种高效率、快速、经济的实验设计方法。日本著名的统计学家田口玄一将正交试验选择的水平组合列成表格，称为正交表。例如作一个三因素三水平的实验，按全面实验要求，须进行33=27种组合的实验，且尚未考虑每一组合的重复数。若按L9(3)3正交表按排实验，只需作9次，按L18(3)7正交表进行18次实验，显然大大减少了工作量。因而正交实验设计在很多领域的研究中已经得到广泛应用。 1．正交表
第7章 正交试验设计的极差分析 正交试验设计和分析方法大致分为二种：一种是极差分析法(又称直观分析法),另一种是方差分析法(又称统计分析法)。本章介绍极差分析法，它简单易懂，实用性强，在工农业生产中广泛应用。 7.1 单指标正交试验设计及其极差分析 极差分析法简称R 法。它包括计算和判断两个步骤，其内容如图7-1所示。 图7-1 R 法示意图 图中，K jm 为第j 列因素m 水平所对应的试验指标和， jm 为K jm 的平均 值。由K jm 的大小可以判断j 因素的优水平和各因素的水平组合，即最优组合。R j 为第j 列因素的极差，即第j 列因素各水平下平均指标值的最大值与最小值之差： R j =max( )-min( ) R j 反映了第j 列因素的水平变动时，试验指标的变动幅度。R j 越大，说明该因素对试验指标的影响越大，因此也就越重要。于是依据 R 法 1.计算 2.判断 ○1K jm , ○2R j ○1因素主次 ○2优水平 ○3最优组合
R j的大小，就可以判断因素的主次。 极差分析法的计算与判断，可直接在试验结果分析表上进行，现以例６-２来说明单指标正交试验结果的极差分析方法。 一、确定因素的优水平和最优水平组合 例6-2 为提高山楂原料的利用率，某研究组研究了酶法液化工艺制造山楂精汁。拟通过正交试验寻找酶法液化工艺的最佳工艺条件。 在例６-２中，不考虑因素间的交互作用（因例６-２是四因素三水平试验，故选用L9(34)正交表），表头设计如表６-５所示，试验方案则示于表６-６中。试验结果的极差分析过程，如表７-１所示. 表6-4 因素水平表 表6-6 试验方案及结果
正交实验设计 当析因设计要求的实验次数太多时，一个非常自然的想法就是从析因设计的水平组合中，选择一部分有代表性水平组合进行试验。因此就出现了分式析因设计(fractional factorial designs)，但是对于试验设计知识较少的实际工作者来说，选择适当的分式析因设计还是比较困难的。 正交试验设计(Orthogonal experimental design)是研究多因素多水平的又一种设计方法，它是根据正交性从全面试验中挑选出部分有代表性的点进行试验，这些有代表性的点具备了“均匀分散，齐整可比”的特点，正交试验设计是分式析因设计的主要方法。是一种高效率、快速、经济的实验设计方法。日本著名的统计学家田口玄一将正交试验选择的水平组合列成表格，称为正交表。例如作一个三因素三水平的实验，按全面实验要求，须进行33=27种组合的实验，且尚未考虑每一组合的重复数。若按L9(3)3正交表按排实验，只需作9次，按L18(3)7正交表进行18次实验，显然大大减少了工作量。因而正交实验设计在很多领域的研究中已经得到广泛应用。 1．正交表 正交表是一整套规则的设计表格，用。L为正交表的代号，n为试验的次数， t为水平数，c为列数，也就是可能安排最多的因素个数。例如L9(34)，(表11)，它表示需作9次实验，最多可观察4个因素，每个因素均为3水平。一个正交表中也可以各列的水平数不相等，我们称它为混合型正交表，如L8(4×24) (表12)，此表的5列中，有1列为4水平，4列为2水平。根据正交表的数据结构看出，正交表是一个n行c列的表，其中第j列由数码1，2，… S j组成，这些数码均各出现N/S次，例如表11中，第二列 的数码个数为3，S=3 ，即由1、2、3组成，各数码均出现次。
正交试验设计 对于单因素或两因素试验，因其因素少，试验的设计、实施与分析都比较简单。但在实际工作中，常常需要同时考察3个或3个以上的试验因素，若进行全面试验，则试验的规模将很大，往往因试验条件的限制而难于实施。正交试验设计就是安排多因素试验、寻求最优水平组合的一种高效率试验设计方法。 1 正交试验设计的概念及原理 1.1 正交试验设计的基本概念 正交试验设计是利用正交表来安排与分析多因素试验的一种设计方法。它是由试验因素的全部水平组合中，挑选部分有代表性的水平组合进行试验的，通过对这部分试验结果的分析了解全面试验的情况，找出最优的水平组合。 例如：设计一个三因素、3水平的试验 A因素，设A1、A2、A33个水平；B因素，设B1、B2、B33个水平；C因素，设C1、C2、C3 3个水平，各因素的水平之间全部可能组合有27种。 全面试验：可以分析各因素的效应，交互作用，也可选出最优水平组合。但全面试验包含的水平组合数较多（图示的27个节点），工作量大，在有些情况下无法完成。 若试验的主要目的是寻求最优水平组合，则可利用正交表来设计安排试验。 全面试验法示意图
三因素、三水平全面试验方案 正交试验设计的基本特点是：用部分试验来代替全面试验，通过对部分试验结果的分析，了解全面试验的情况。 正因为正交试验是用部分试验来代替全面试验的，它不可能像全面试验那样对各因素效应、交互作用一一分析；当交互作用存在时，有可能出现交互作用的混杂。虽然正交试验设计有上述不足，但它能通过部分试验找到最优水平组合，因而很受实际工作者青睐。 如对于上述3因素3水平试验，若不考虑交互作用，可利用正交表L9(34)安排，试验方案仅包含9个水平组合，就能反映试验方案包
§6.5 不考虑交互作用的正交试验设计 下面我们先来看一种比较简单的情形，即不考虑因子之间交互作用的情形。不考虑交互作用的正交试验设计和数据处理，可按下列步骤进行： （1）选正交表 。 )(m n r L 选择的原则是： 要等于因子的水平数； 要大于或等于因子的个数； 是试验r m n 次数，要尽可能小。 例如，问题中有4个因子，每个因子都是2个水平。选正交表时，首先要选 =2 的r 表。这样的正交表有 。在 中，=3 ，小于因子的 ),2(),2(),2(15 167 83 4L L L )2(3 4L m 个数4，所以不符合要求。在 中， ，大于因子的个数 ),2(),2(15 167 8L L ,15,7=m 4，符合要求。在符合要求的正交表中，还要选试验次数 尽可能小的那一个表。显然，n 在 中，=8 为最小，所以，我们最后选定正交表 。 )2(7 8L n )2(7 8L （2）设计表头。 将各因子安排在正交表的各列上方，每个因子占1列，这称为表头。在不考虑交互作用的正交试验设计中，表头上的因子可以任意安放。表头上不放因子的列，称为空白列。 （3）按照设计做试验，取得试验观测值。 正交表的每一行代表一种水平组合，对每一种水平组合做一次试验。按照第 行的k 水平组合所做的第 次试验，所得到的观测值记为 。正交表有 行，所以，一共k k X n 要做 次试验，共得到 个试验观测值： 。 n n n X X X ,,,21 （4）在正交表的每一列中，求出与各水平对应的均值，以及这一列的平方和。 设我们考虑的是第 列。在这一列中，表示水平的数字 ，每一个都重j r ,,2,1 复出现 次。设与这一列中的数字 对应的那几行的试验观测值之和为 ，与这r n 1j W 1一列中的数字 对应的那几行的试验观测值之和为 ， ，与这一列中的数字 2j W 2 r 对应的那几行的试验观测值之和为 。将 分别除以 ，就得j r W j r j j W W W ,,,21 r n 到与这一列中各水平对应的均值 。 ,11r n W X j j = ,22r n W X j j = r n W X j r j r = , 然后，从 出发，求出这一列的平方和 j r j j X X X ,,,21 ，其中， 是总均值。具体算法是，把 ∑=-=r i j i j X X r n SS 12 (∑==n k k X n X 1 1 看作样本， 就是样本均值， 就是样本方差再乘以 （或修 j r j j X X X ,,,21 X j SS n
第四节考虑交互作用的正交试验分析 在多因素的试验中，除了各个因素对指标的单独影响外,还存在着因素间的联合作用?这种两个或多个因素之 间对指标的相互制约或相互促进的联介作用称为因素间的交互作用?例如，药物的配伍密切影响疗效，有时存在协同作用，有时存在拮抗作用.比如磺胺甲基异噁(SMZ)和甲氧节胺喘咙(TMP)均为抗菌药，单用时均会产 生耐药性且抗菌效果不佳.两药合用可使磺胺药抗菌作用增强数倍到数卜倍，从而减少耐药菌株的产生，对磺 胺药已耐药的菌株也将被抑制, 尤其对大肠杆菌、流感杆菌和金匍菌的抗菌作用比磺胺药单用要强4~8倍.同时，在药物的生产过程中，反应时的温度、物料的浓度、搅拌的速度、酸碱度等因素之间，可能会因水平搭配的不同，而表现岀不容忽视的交互作用. 内容分布图示 ★考虑交互作用的正交试验分析 ★例1 ★内容小结 内容要点： 两个因素A和B间的交互作用称为一级交互作用，记为AXB.三个因素A.B和C之间的交互作用，称为二级交互作用?记为AXBXC.三个以上因素之间的交互作用,称为高级交互作用?在多因素试验中如果不能确定因素间是否存在交互作用，通常就要考察因素间交互作用对试验结果影响大小.在正交试验设计中，如果要考虑因素间的交互作用，需要把交互作用作为独立的因素来对待?因素间的交互作用可直接在正交表反映出来，许多正交表都有它相应的交互作用表?交互作用表是用来安排交互作用试验的?把交互作用看成是一个因素，它在正交表中也占一定的列，此列叫交互作用列?任两列间的交互作用可从交互作用表中査出应安排在哪一列上. 例题选讲 例1 (E01)某农药厂生产一种农药,收率不很理想，且不稳泄，想通过试验寻找合适的生产条件以掌握规律，通过产品收率,达到稳产高产的目的?根据以往经验,考查四个因素，每个因素务取二个水平,因素和水平如下 其中因素和之间存在交互作用. 由于考察的是四因素两水平，几=九=几=九=2-1 = 1 ,故有 几=几+几+ /c +九=4,在2水平正交表中，选用正交表厶(2?).将A.B.C.D四个因素分别安排在124,7列上，查厶(2?)交互作用表，可以知道交互作用AXB应安排在第三列上, 第5,6列没有安排因素，称为空白列?得到试验结果如下： 1 2 3 4 5 6 7 收率
什么是正交试验设计 正交试验设计(Orthogonal experimental design)是研究多因素多水平的又一种设计方法，它是根据正交性从全面试验中挑选出部分有代表性的点进行试验，这些有代表性的点具备了“均匀分散，齐整可比”的特点，正交试验设计是分析因式设计的主要方法。是一种高效率、快速、经济的实验设计方法。 日本著名的统计学家田口玄一将正交试验选择的水平组合列成表格，称为正交表。例如作一个三因素三水平的实验，按全面实验要求，须进行3^3 = 27种组合的实验，且尚未考虑每一组合的重复数。若按L9(3)正交表安排实验，只需作9次，按L18(3)正交表进行18次实验，显然大大减少了工作量。因而正交实验设计在很多领域的研究中已经得到广泛应用。 正交表是一整套规则的设计表格，用L为正交表的代号，n为试验的次数，t为水平数，c为列数，也就是可能安排最多的因素个数。例如L9(3^4)它表示需作9次实验，最多可观察4个因素，每个因素均为3水平。一个正交表中也可以各列的水平数不相等，我们称它为混合型正交表，如L8(4×2)，此表的5列中，有1列为4水平，4列为2水平。 编辑本段正交试验设计表 正交试验设计表[1] 正交试验因素水平表正交试验设计方案及试验结果极差分析表(或指标与因素关系图) 方差分析表(简单分析时可无) 正交表的性质 (1)每一列中，不同的数字出现的次数相等。例如在两水平正交表中，任何一列都有数码“1”与“2”，且任何一列中它们出现的次数是相等的；如在三水平正交表中，任何一列都有“1”、“2”、“3”，且在任一列的出现数均相等。 (2)任意两列中数字的排列方式齐全而且均衡。例如在两水平正交表中，任何两列(同一横行内)有序对子共有4种：(1，1)、(1，2)、(2，1)、(2，2)。每种对数出现次数相等。在三水平情况下，任何两列(同一横行内)有序对共有9种，1.1、1.2、1.3、2.1、2.2、2.3、3.1、3.2、3.3，且每对出现数也均相等。 以上两点充分的体现了正交表的两大优越性，即“均匀分散性，整齐可比”。通俗的说，每个因素的每个水平与另一个因素各水平各碰一次，这就是正交性。 正交表的获得有专门的算法，对应用者来说，不必深究。 编辑本段正交试验设计的安排 正交试验设计的关键在于试验因素的安排。通常，在不考虑交互作用的情况下，可以自由的将各个因素安排在正交表的各列，只要不在同一列安排两个因素即可（否则会出现混杂）。但是当要考虑交互作用时，就会受到一定的限制，如果任意安排，将会导致交互效应与其它效应混杂的情况。 因素所在列是随意的，但是一旦安排完成，试验方案即确定，之后的试验以及后续分析将根据这一安排进行，不能再改变。对于部分表，如L18（2*3^7）则没有交互作用列，如果需要考虑交互作用需要选择其它的正交表。 编辑本段正交试验设计的极差分析 在完成试验收集完数据后，将要进行的是极差分析(也称方差分析）。 极差分析就是在考虑A因素时，认为其它因素对结果的影响是均衡的，从而认为，A 因素各水平的差异是由于A因素本身引起的。 用极差法分析正交试验结果应引出以下几个结论： ①在试验范围内，各列对试验指标的影响从大到小的排队。 某列的极差最大，表示该列的数值在试验范围内变化时，使试验指标数值的变化最大。所以各列对试验指标的影响从大到小的排队，就是各列极差D的数值从大到小的排队。
正交试验设计法 正交试验设计法的基本思想 正交表 正交表试验方案的设计 试验数据的直观分析 正交试验的方差分析 补充内容 1．正交试验设计法的基本思想 正交试验设计法，就是使用已经造好了的表格--正交表--来安排试验并进行数据分析的一种方法。它简单易行，计算表格化，使用者能够迅速掌握。下边通过一个例子来说明正交试验设计法的基本想法。 [例1]为提高某化工产品的转化率，选择了三个有关因素进行条件试验，反应温度(A)，反应时间(B)，用碱量(C)，并确定了它们的试验范围： A：80-90℃ B：90-150分钟 C：5-7％ 试验目的是搞清楚因子A、B、C对转化率有什么影响，哪些是主要的，哪些是次要的，从而确定最适生产条件，即温度、时间及用碱量各为多少才能使转化率高。试制定试验方案。 这里，对因子A，在试验范围内选了三个水平；因子B和C也都取三个水平：A：Al＝80℃，A2＝85℃，A3=90℃ B：Bl＝90分，B2＝120分，B3=150分 C：Cl＝5％，C2＝6%，C3＝7% 当然，在正交试验设计中，因子可以是定量的，也可以是定性的。而定量因子各水平间的距离可以相等，也可以不相等。 这个三因子三水平的条件试验，通常有两种试验进行方法： (Ⅰ)取三因子所有水平之间的组合，即 AlBlC1，A1BlC2，A1B2C1，……，A3B3C3， 共有 33=27次 试验。用图表示就是图1 立方体的27个节 点。这种试验法叫做全面试验法。
全面试验对各因子与指标间的关系剖析得比较清楚。但试验次数太多。特别是当因子数目多，每个因子的水平数目也多时。试验量大得惊人。如选六个因子，每个因子取五个水平时，如欲做全面试验，则需56＝15625次试验，这实际上是不可能实现的。如果应用正交实验法，只做25次试验就行了。而且在某种意义上讲，这25次试验代表了15625次试验。 图1 全面试验法取点.......... (Ⅱ)简单对比法，即变化一个因素而固定其他因素，如首先固定B、C于Bl、Cl，使A变化之： ↗A1 B1C1 →A2 ↘A3 (好结果) 如得出结果A3最好，则固定A于A3，C还是Cl，使B变化之： ↗B1 A3C1 →B2 (好结果) ↘B3 得出结果以B2为最好，则固定B于B2，A于A3，使C变化之： ↗C1 A3B2→C2 (好结果) ↘C3 试验结果以C2最好。于是就认为最好的工艺条件是A3B2C2。 这种方法一般也有一定的效果，但缺点很多。首先这种方法的选点代表性很差，如按上述方法进行试验，试验点完全分布在一个角上，而在一个很大的范围内没有选点。因此这种试验方法不全面，所选的工艺条件A3B2C2不一定是27个组合中最好的。其次，用这种方法比较条件好坏时，是把单个的试验数据拿来，进行数值上的简单比较，而试验数据中必然要包含着误差成分，所以单个数据的简单比较不能剔除误差的干扰，必然造成结论的不稳定。 简单对比法的最大优点就是试验次数少，例如六因子五水平试验，在不重复时，只用5+(6-1)×(5-1)＝5+5×4＝25次试验就可以了。 考虑兼顾这两种试验方法的优点，从全面 试验的点中选择具有典型性、代表性的 点，使试验点在试验范围内分布得很均 匀，能反映全面情况。但我们又希望试验 点尽量地少，为此还要具体考虑一些问 题。 如上例，对应于A有Al、A2、A3三个平 面，对应于B、C也各有三个平面，共九 个平面。则这九个平面上的试验点都应当 一样多，即对每个因子的每个水平都要同等看待。具体来说，每个平面上都有三行、三列，要求在每行、每列上的点一样多。这样，作出如图2所示的设计，试验点用⊙表示。我们看到，在9个平面中每个平面上都恰好有三个点而每个平面
8.3.2 考虑交互作用的三水平正交试验的方差分析（因学时有限和正交表太大L27(313)，不讲解！只讲解二水平情况，因为二水平会，三水平自然也会！） 例8-4 运动发酵单细胞菌是一种酒精生产菌。为了确定其发酵培养基的最佳配方，进行了四因素三水平正交试验，试验指标为酒精浓度（g/ml）。表8-12给出了因素水平表，要求考察交互作用A×B、A×C和A×D。查附表7可得，本试验应选用L27(313)正交表，表头设计应按照“L27(313)二列间的交互作用表”进行。本例只考虑一级交互作用（p=1），所以每个三水平交互作用应占(m-1)P=(3-1)1=2列，即A ×B、A×C，和A×D在L27(313)正交表中各占二列。 表8-12 因素水平表 表头设计时应避免混杂，试验方案及试验结果见表8-13。 由交互作用表可知，将因素A、B安排在第1、2列之后，第3、4列为A×B交互作用列；再将C安排在第5列后，A×C交互作用在第6、7列；最后将D安排在第9列，则A×D交互作用类落在第8、10列（当然也可将D安排在第8列，则第9、10列为A×D交互作用列）。 表8-13 试验方案及结果分析 L27(313)
一、计算（计算过程省略） 1.计算各列各水平的K ij 值(K 1j ,K 2j ,K 3j )和K 2 ij (K 21j ,K 22j ,K 23j ) 各列各水平对应的试验数据之和K 1j ,K 2j ,K 3j ,及其平方和K 21j , K 22j , K 23j ,列于表8-13中,例如 K 1A = ∑=9 1 i i X =0.20+0.50*2+1.50+1.10+1.20*2+1.60*2=9.40=K 11 ， K 2 11= 88.36 K 2A =∑=9 1i i X =0.40+0.50+……+6.15=33.05= K 21 ， K 221=1092.30 K 3A =∑=9 1 i i X =0.40+0.30+……+2.80=25.80= K 31 ， K 231 =665.64 表示A ×B 的有两列,即第3,4列,计算后可知 K 13 =32.75, K 23 =17.90; K 33 =17.60 K 14 =26.40; K 24 =24.55, K 34 =17.30 2.计算各列的偏差平方和(S j )及其自由度(f j ) 由式(8-4),可知: S j =CT Q n T K r j m i ij -=-∑=2 2 11 r=n/m=27/3=9; CT=T 2/n=1/27×68.252=172.52