圆锥曲线题型总结：圆锥曲线与向量的结合
一、PB AP λ=
【2004全国1理21】设双曲线C ：1x 2
22=-y a
（a ＞0）与直线l ：x+y=1相交于两个不同的点A 、B ．设直
线l 与y 轴的交点为P ，且12
5
=
．求a 的值． 【解析】设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），P （0，1）
联立??
???=+=-1x 1x 2
22y y a 整理得（1-2a ）2x +22a x-22
a =0.
又因为PB PA 125=，即???????-=-=)1(125)1(125x 2121y y x 构造两根之和与两根之积得???????=?=+②
x 125①1217x 2221221x x x x 由②①2消去
x 2得2
1221)x x x x +（=60289
，再由韦达定理得2
21a 2a -=60289，解得a=1317.
【2014四川理】已知3
x 2
2
y -=1（x>1）设直线y=﹣2x+m 与y 轴交于点P ，与C 相交于点Q 、R ，且|PQ|＜
|PR|，求
PQ
PR 的取值范围．
【解析】设Q （x 1，y 1），R （x 2，y 2），
联立???+-==--m
x y y 203x 32
2
整理得 2x +4mx-2
m +3=0.因为直线与双曲线的右支相交，所以?????>?>+>?00x 0
2
121x x x 解得m>1.
又因为x ≠1，所以m ≠2.则可设PQ PR
=12x x =1
2
x x =λ（λ>1），则???=?+=+②
x ①)1(x 2
221221λλx x x x ，利用②①2
消去x 2
得21221)x x x x +（=λλ21）（+，再利用韦达定理得2
12
21)x x x x +（=316m 22+m ；316m 22+m =λλ2
1）（+，于是
316m 22
+m ）（），（16,7647644?∈，解得1<λ<7或7<λ<7+43，故PQ
PR 的取值范围是（1,7）?（7，7+43）
【2012四川文21】 已知C:4
x 2
2
y -=1（x ≠1且x ≠-1）设直线(0)y x m m =+>与y 轴交于点P ，与轨
迹C 相交于点Q R 、，且||||PQ PR <，求||
||
PR PQ 的取值范围。
【解析】解法一：设Q （x 1，y 1），R （x 2，y 2），
联立???+==--m
x y y 04x 422整理得 32x -2mx-2m -4=0.则可设PQ PR =12x x =12-x x =λ（λ>1），即x 2=-λx 1,此时
△=（-2m ）2
-4x3(-m 2
-4)=16m 2
+48>0,而当x=1或x=-1为方程 的根时，m 的值为-1或1.
结合题设可知m>0且m ≠1.则???=?=+②x -①)-1(x 2
221221λλx x x x ，利用②①2消去x 2得2
1221)x x x x +（=λλ--12
）（
，再利用韦达定理得2
12
21)x x x x +（=12-3-4m 22m ；12-3-4m 22m =λλ--12
）（，，于是12-3-4m 22m ）（），（0,154-154-34-?∈，解得1<
λ<
35或35<λ<3，故PQ
PR 的取值范围是（1,35）?（35
， 3）. 解法二： 由???=--+=0
442
2y x m x y 消去y ，可得3x 2-2mx-m 2
-4=0. 其判别式?=（-2m)2
－4×3（-m 2
-4）=16m 2
+48>0①
而当x=1或x=-1为方程 的根时，m 的值为-1或1. 结合题设（m>0）可知，m>0，且m ≠1
设Q 、R 的坐标分别为（X Q ,Y Q ）,(X R ,Y R ),则为方程①的两根. 因为PR PQ <,所以
X
X
R
Q
<，
3
3
2
,3
3
2
2
2
++=
+-=
m
X m
X
m m P Q
所以
1
3
1221131213
122
2
2-+
+
=++
++
==m
m
X
X m
PQ
PR
R
P 。
此时23
1,13
12
2
≠+
>+
m
m
且
所以3
51
3
1221,31
3
12211m
2
2
≠
-+
+
<-+
+
<且m
所以3
5,31≠
=
<=<
X
X X
X P
R P
R PQ
PR PQ
PR 且 综上所述，
）
，（），的取值范围是（33
5
351?PQ PR
【2010重庆理15】已知以F 为焦点的抛物线x y 42
=上的两点B A 、满足3AF FB =
，则弦AB 的中点到
准线的距离为___________.
【解析】解析一：设l:x=ty+1，A （x 1,y 1）,B(x 2,y 2),联立??
?=+=x
y ty 41
x 2
，整理得y 2
-4ty-4=0,由韦达定理得
y 1+y 2=4t,y 1y 2=-4.又3AF FB = ，???=--=21213)
1(3)x -1y y x （构造两根之和与两根之积得???-=-=+2
22122132y y y y y y 则2
1221)y y y y +（=-34
，即t=33±. 因此AB 中点到准线的距离为d=2)1x )1x 21+++（（=24)(t 21++y y =3
8
.
解法二：设BF m =，由抛物线的定义，知13AA m =，1BB m =，
ABC ?∴中，2AC m =，4AB m =，
由相似三角形性质，得
224m m m m -=，解得4
3
m =， 根据梯形中位线定理，得弦AB 的中点到准线的距离为38223m m m +==，答案为：8
3
.
【2004全国2理21】给定抛物线C ：y 2
=4x ，F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点。设
AF FB λ=，若λ∈[4,9]，求l 在y 轴上截距的变化范围.
【解析】解法一：设l ：x=ty+1,设),,(),,(2211y x B y x A 联立联立???=+=x
y ty 41x 2，整理得y 2
-4ty-4=0,由
韦达定理得y 1+y 2=4t,y 1y 2=-4.又AF FB λ=，??
?-=-=-1
212)
1(1x y y x λλ构造两根之和与两根之积得
???-==+2
1
21121-1y y y y y y λλ）（则2
1221)y y y y +（=λλ--12）（=-4t 2，则t 2=λλ4-12）（.①当t>0时，有t=
2-121λλ+]3443[，∈;②当t<0时，有t= - 2-1
21λ
λ+]34-43-[，
∈而l 在y 轴上的截距为-t 1
]34-43-[，
∈]3443[，?，故直线l 在y 轴上的截距的变化范围是].3
4,43[]43,34[?-- 解法二：C 的焦点为F （1，0），
设),,(),,(2211y x B y x A 由题设λ= 得 ),,1(),1(1122y x y x --=-λ 即??
?-=-==.12
12),
1(1y y x x λλ
由②得2
12
2
2y y λ=， ∵ ,4,422
212
1x y x y == ∴.12
2x x λ=③ 联立①、③解得λ=2x ，依题意有.0>λ ∴),2,(),2
,(λλλλ-B B 或又F （1，0）
，得直线l 方程为 ① ②
),1(2)1()1(2)1(--=--=-x y x y λλλλ或
当]9,4[∈λ时，l 在方程y 轴上的截距为
,1
212---λλ
λλ或 由
,1
2
1212-++=-λλλλλ 可知
12-λλ在[4，9]上是递减的， ∴
,4
3
1234,341243-≤--≤-≤-≤λλλλ 直线l 在y 轴上截距的变化范围为].3
4
,43[]43,34[?--
【2009?天津理】已知椭圆
的两个焦点分别为F 1（﹣c ，0）和F 2（c ，0）（c ＞0），
过点的直线与椭圆相交于A ，B 两点，且F 1A ∥F 2B ，|F 1A|=2|F 2B|．
（1）求椭圆的离心率；（2）求直线AB 的斜率； 【解析】（1）解：由F 1A ∥F 2B 且|F 1A|=2|F 2B|，
得，从而
整理，得a 2=3c 2
，故离心率
（2）解法一：由（1）可设椭圆123x 22
22=+c
y c ，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），因为F 1A ∥F 2B ，|F 1A|=2|F 2B|．所
以F F 212=，即???=-=+21212)(2x y y c x c 又由???
????-=-=22222212
21322y 3
22y x c x c 于是?????-=--=+)322(4322)(2x 222
21221x c x c c x c 解得??
?
??==c x 32
x 21从而得到A （0，c 2±），因此k AB =32±,故直线AB 的斜率是32±。 （3）解法二：由椭圆的对称性，延长AF 1交椭圆于C ，则12CF B F =，设l AC :x=ty-c ，设A （x 1，y 1），B （x 2，
y 2），联立?????=+=123x c
-x 2222c
y c ty 整理得（3+2t 2）y 2-4tcy-4c 2
=0,，因为F 1A ∥F 2B ，|F 1A|=2|F 2B|．所以B F A F 212=,
即112CF A F =，则有即???-=-=+21212)-c (2x y y x c 故?????-=?-=+2212212
2y y y y y y 即21221)y y y y +（=-21
=-2
223t 4t + 解得t= 22±
,若t=22,联立后的方程为2y 2-2cy-2c 2
=0从而得到A （0，c 2），因此k AB =32-;若t= -2
2,联立后的方程为2y 2
+2cy-2c 2
=0从而得到A （0，-c 2），因此k AB =
32;综上所述直线AB 的斜率是3
2
±。 解析三：由椭圆的对称性，延长AF 1交椭圆于C ，则12CF F =，根据公式e=1
1
k 12
+-+λλ,此处e=33,
λ=2,则k=2±.当k=2时，直线AC 为y=2(x+c),联立?????=++=1
23x c)
(x 2y 2222c y
c 整理得2x 2
+3cx=0,解得???
??-==c x 230
x 21则??
???-==c y 22c 2y 21于是直线AB 的斜率为k=3230y 11-=--c x ;当k=-2,同理可得AB 的斜率为32。综上所述直线AB 的斜率是3
2±。
解法四：由（I ）得b 2
=a 2
﹣c 2
=2c 2
，所以椭圆的方程可写为2x 2
+3y 2
=6c 2
设直线AB 的方程为
，即y=k （x ﹣3c ）．
由已知设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则它们的坐标满足方程组
消去y 整理，得（2+3k 2
）x 2
﹣18k 2
cx+27k 2c 2
﹣6c 2
=0． 依题意，
而①
②
由题设知，点B 为线段AE 的中点，所以x 1+3c=2x 2③ 联立①③解得
，
将x 1，x 2代入②中，解得．
结论：已知椭圆1x 2222=+b y a （a>b>0）的两个焦点分别为F 1（-c,0）,F 2(c,0)（c>0）,过点E （ c
2
a ，0）
的直线与椭圆相交于A,B 两点，若）121±≠=λλF F ，则该直线一定过（0，b ）或（0，-b ）
【2011浙江理15】设F 1,F 2分别为椭圆1y 3
x 22
=+的左右焦点，A ，B 在椭圆上，若F F 215=，求点A 的坐标。
【解析】解法一：由椭圆的对称性，延长AF 1交椭圆于C ，因为12CF F =，则115CF F =。
设l AC :x=ty-2,A(x 1，y 1) C(x 2,y 2),联立?????-==+213x 2
2ty x y ，整理得（3+t 2）y 2
-22y-1=0.由115F =得
???-=-=-21215)2(52x y y x 。构造两根之和与两根之积得?????-=?-=+22
122125y y 4y y y y 即21221)y y y y +（=-1516
=-2
23t 8t + 解得t= 2±,若t=2,联立后的方程为5y 2
-4y-1=0,此时y 1=1,即A （0,1）；若t=-2,联立后的方程为
5y 2
+4y-1=0,此时y 1=-1,即A （0,-1）。综上所述A （0，1±）
解法二：由椭圆的对称性，延长AF 1交椭圆于C ，因为12CF B F =，则115CF A F = 。 根据公式e=1
1
k
12
+-+λλ,此处e=36,λ=5,则k=22±.当k=22时，直线AC 为y=22(x+2),联立
???????=++=1y 3
x )2(x 22
y 22整理得5x 2+62x=0,解得?????-
==（舍去）5260x 21x ，故A （0,1）；当k=-22，y=-22(x+2),联立???????=++=1y 3
x )2(x 22
-y 22整理得5x 2+62x=0,解得?????-
==（舍去）5260x 21x ，故A （0,-1）；综上所述，点A 的坐标为（0，1±）
二、1λ=，2λ=型
【2006山东理21】过点P (0,4)的直线l ，交双曲线C ：2
2
13
y x -=于A,B 两点，交x 轴于Q 点（Q 点与C 的顶点不重合）.当PQ =1λQB QA 2λ=，且3
8
21-
=+λλ时，求Q 点的坐标. 解： 解法一：由题意知直线l 得斜率k 存在且不等于零，设l 的方程：4y kx =+，1122(,),(,)A x y B x y 则
4
(,0)Q k -
1PQ QA λ= ,
11144
(,4)(,)x y k k
λ∴--=+。
∴1114444k kx x k
λ-
=
=-++ 同理
124
4
kx λ=-
+
1212448
443
kx kx λλ+=-
-=-++.
即 2121225()80k x x k x x +++=①
联立
2
2413y kx y x =+??
?-=??
消去y 得2
2
(3)8190k x kx ---=.
当2
30k -=时，则直线l 与双曲线得渐近线平行，不合题意，2
30k -≠。
由韦达定理有：122
12283193k x x k x x k ?+=??-??=-
?-?
代入①式得 2
4,2k k ==± ∴所求Q 点的坐标为(2,0)±。
解法二：由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零。 设l 的方程：114,(,)y kx A x y =+，22(,)B x y 则4
(,0)Q k
-
1PQ QA λ=
11144
(,4)(,)x y k k
λ∴--=+
1111111
14444()44x k k x k k y y λλλλ?=--??-=+??
∴???
??-==-???
11)(,A x y 在双曲线C 上， ∴
21211
11616
()10k λλλ+--= ∴22
2211161632160.3
k k λλλ++-
-= ∴2221116
(16)32160.3
k k λλ-++-=
同理有：22
22216(16)32160.3
k k λλ-++-= 若2160,k -=则直线l 过顶点，不合题意.2
160,k ∴-≠
12,λλ∴是二次方程222
16(16)32160.3
k k λλ-++-
=的两根. 122328
163
k λλ∴+=
=--
24k ∴=，此时0,2k ?>∴=±.∴所求Q 的坐标为(2,0)±.
解法三：由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零 设l 的方程，11224,(,),(,)y kx A x y B x y =+，则4
(,0)Q k
-
. 1PQ QA λ= ，Q ∴分PA
的比为1λ.
由定比分点坐标公式得111
11
11111144(1)14401x x k k y y λλλλλλλ??
-==-+??+??→??
+??=-=??+??
下同解法一
解法四：由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零
设l 的方程：11224,(,),(,)y kx A x y B x y =+，则4
(,0)Q k
-
. 12PQ QA QB λλ== ，
111222444
(,4)(,)(,)x y x y k k k
λλ∴--=+=+.
11224y y λλ∴-==，
114y λ∴=-
，22
4y λ=-， 又128
3
λλ+=-
， 121123
y y ∴
+= 即12123()2y y y y +=
将4y kx =+代入2
2
13
y x -=得222(3)244830k y y k --+-= 230k -≠ ，否则l 与渐近线平行。
2
12122
224483,33k y y y y k k -∴+==--。 2
22
244833233k k k -∴?=?-- 2k ∴=±
(2,0)Q ∴±
【2007年福建理20】过点F 的直线交抛物线C ：y 2
=4x 于A 、B 两点，交直线l 于点M ，已知AF
MA 1λ=，
2λ=，求12λλ+的值.
【解析】.
设1122(,),(,)A x y B x y ,lAB:x=my+1(m ≠0),则M （-1，-
m
2） 联立方程组,消去x 得:,
,故
由,得:,,整理得:
,,
=0.
【例】已知抛物线y 2
=2px （p>0）,过点E （m,0）的直线交抛物线于点M,N 交y 轴于点P ，若λ=，
AF PN μ=，则μλ+=（ ）
A.1
B.-
2
1
C.-1
D.-2 【解析】设l MN :x=ty+m(t ≠0),1122(,),(,)M x y N x y ,则P （0，-t m ），联立???+==m
ty x px 2y 2，整理得y 2
-2pty-2pm=0,
△=4p 2t 2
+8pm>0又λ=，得（x 1,y 1+
t m ）=λ(m-x 1,-y 1),则λ=-1-1
y m
t ；同理μ=，得
μ=-1-
2y m t ，故μλ+=-1-1y m t -1-2y m
t =-2-t m ˙2
121y y y y +=-2-t m ˙pm 2pt 2-=-1.
【例】已知抛物线y 2
=4x （p>0）,过点M （0,2）的直线交抛物线于点A,B ，交x 轴于点C ，若α=，
β=，试问βα+是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由（ ）
【解析】设l AB :x=m(y-2)(m ≠0),1122(,),(,)A x y B x y ,C （-2m,0），联立???-==)
2(m 4y 2y x x ，整理得y 2
-4my+8m=0,
△16m 2
-32m>0得m>2或m<0.又
α=，得（x 1,y 1-2）=α
(-2m-x 1,-y 1),则α=-1+
1
y 2
；同理BC MB β=，得β=-1+2
y 2
，故βα+=-1+
1y 2-1+2y 2=-2+2˙2
12
1y y y y +=-2+2˙m 84m =-1.
三、OB OA OM μλ+=
直线交椭圆于A 、B 两点，设M 为椭圆上任意一点，且),( R OB OA OM ∈+=μλμλ，证明22μλ+为
定值
【解析】设直线AB 的方程为b 2-=x y ，A （11,y x ），B 22,(y x ），M （x ，y ）；联立????
?=+-=222332y b
y x b
x 化
简得03b 2642
2=+-b x x .则.4
3,b 22322121b x x x x ==+
y 1y 2=）
（）（b 2b 221-?-x x =21x x -2212)(b 2b x x ++=2b 43-23b +22b =-2b 4
1
因为 OB OA OM
μλ+=即),,(),(),(2211y x y x y x μλ+=
??
?+=+=∴.
,2121x x y x x x μλμλ ),(y x M 在椭圆上，.3)(3)(2
221221b y y x x =+++∴μλμλ 即.3)3(2)3()3(2
21212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ① 即2
3b （2
2μλ+）-2λμ（2b 43-2
b 4
3）=23b 。 所以2
2
μλ+=1
【2009全国卷2理21】 已知椭圆22
:132
x y C +=，过右焦点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，当l 的斜
率为1时，C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有OP OA OB =+
成立？
若存在，求出所有的P 的坐标与l 的方程；若不存在，说明理由。
【解析】设11(,)A x y 、B 22(,)x y 由题意知l 的斜率为一定不为0，故不妨设 :1l x my =+ 代入椭圆的方程中整理得22(23)440m y my ++-=，显然0?>。
由韦达定理有：1224,23m y y m +=-
+122
4
,23
y y m =-+．．．．．．．．① .假设存在点P ，使OP OA OB =+
成立，则其充要条件为：
点1212P (,)x x y y ++的坐标为，点P 在椭圆上，即
22
1212()()132
x x y y +++=。 整理得2222112212122323466x y x y x x y y +++++=。 又A B 、在椭圆上，即22221122236,236x y x y +=+=.
故12122330x x y y ++=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．② 将212121212(1)(1)()1x x my my m y y m y y =++=+++及①代入②解得2
1
2
m =
12y y ∴+=-,12x x +=22432232m m -+=+,即3(,2P .
当3,(,:12m P l x y =
=+;
当3,(,),:12222
m P l x y =-
=+.
【2011?重庆文21】如图，椭圆22
142
x y +=的中心为原点0，设动点P 满足：=
+2
，其中M 、N 是
椭圆上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为﹣，问：是否存在定点F ，使得|PF|与点P 到直线l ：x=2的
距离之比为定值；若存在，求F 的坐标，若不存在，说明理由．
【解析】设动点P （x ，y ），M （x 1，y 1 ）、N （x 2，y 2 ）．∵动点P 满足：
=
+2
，
∴（x ，y ）=（x 1+2x 2，y 1+2y 2 ），∴x=x 1+2x 2，y=y 1+2y 2，
∵M 、N 是椭圆上的点，∴x 12+2y 12﹣4=0，x 22+2y 22
﹣4=0．
∴x 2+2y 2=（x 1+2x 2）2+2 （y 1+2y 2）2=（x 12+2y 12 ）+4（x 22+2y 22
）+4（x 1x 2+2y 1y 2 ） =4+4×4+4（x 1x 2+2y 1y 2 ）=20+4（x 1x 2+2y 1y 2 ）． ∵直线OM 与ON 的斜率之积为﹣，∴
?
=﹣，∴x 2
+2y 2
=20，
故点P 是椭圆 =1 上的点，焦点F （，0），准线l ：x=2，离心率为，
根据椭圆的第二定义，|PF|与点P 到直线l ：x=2的距离之比为定值，
故存在点F （
，0），满足|PF|与点P 到直线l ：x=2的距离之比为定值．
【2006四川理21】已知两定点1(F 2F 满足条件212PF PF -=
的点P 的轨迹是
曲线E ，直线ｙ＝kx －1与曲线E 交于A 、B 两点。如果
AB = 且曲线E 上存在点C ，使,OA OB mOC +=
求m ABC ?的值和的面积S 。
【解析】由双曲线的定义可知，曲线
E 是以())12,
F F 为焦点的双曲线的左支，
且1c a ==，易知1b =，故曲线E 的方程为()2210x y x -=<
设()()1122,,,A x y B x y ，由题意建立方程组22
1
1
y kx x y =-??-=? 消去y ，得()221220k x kx -+-= 又已知直线与双曲线左支交于两点,A B ，有
()()222
12
212210281020
1201k k k k x x k x x k ?-≠??=+->???-?+=?-?
解得1k <- 又∵
12AB x x =
-
=
=
=依题意得
= 整理后得 42
2855250k k -+=
∴257k =
或25
4k = 但1k <
<- ∴2
k =
- 故直线AB 10y ++= 设(),c c C x y ，由已知OA OB mOC +=
，得()()()1122,,,c c x y x y mx my +=
∴()1212,,c c x x y y mx my m
m ++??
= ???，()
0m ≠
又12221k x x k +==--()212122222
22811
k y y k x x k k +=+-=-
==-- ∴点8C m ???
?
?
将点C 的坐标代入曲线E 的方程，得
22
8064
1m m -= 得4m =±，但当4m =-时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意
∴4m =，C 点的坐标为()
2
C 到AB
13
=
∴ABC ?的面积11
23
S =?=
【2011?江西理】P （x 0，y 0）（x 0≠±a ）是双曲线E ：上一点，M ，N 分别是双
曲线E 的左右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为．
（1）求双曲线的离心率；
（2）过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足
，求λ的值．
【解析】（1）∵P （x 0，y 0）（x 0≠±a ）是双曲线E ：
上一点，
∴，① 由题意又有
，②
联立①、②可得a 2
=5b 2
，c 2
=a 2
+b 2
，则e=
，
（2）联立，得4x 2
﹣10cx+35b 2
=0，
设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=，x 1?x 2=
，
设
=（x 3，y 3），
，即
又C 为双曲线上一点，即x 32
﹣5y 32
=5b 2
，
有（λx 1+x 2）2﹣5（λy 1+y 2）2=5b 2
，
化简得：λ2（x 12﹣5y 12）+（x 22﹣5y 22）+2λ（x 1x 2﹣5y 1y 2）=5b 2
，
又A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）在双曲线上，所以x 12﹣5y 12=5b 2，x 22﹣5y 22=5b 2
， 而x 1x 2﹣5y 1y 2=x 1x 2﹣5（x 1﹣c ）（x 2﹣c ） =﹣4x 1x 2+5c （x 1+x 2）﹣5c 2
=﹣4+5c ﹣5c 2
=
﹣35b 2
=
?6b 2﹣35b 2=10b 2
，
得λ2
+4λ=0，解得λ=0或﹣4．
【2010江西文20】已知过抛物线()022
>=p px y 的焦点，斜率为22的直线交抛物线于
()12,,A x y ()22,B x y （12x x <）两点，且9=AB ．
（1）求该抛物线的方程；
（2）O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OB OA OC λ+=，求λ的值．
【解析】（1）直线AB 的方程是,
05x 4px 2y ),2
(22222=+-=-=p px p
x y 联立，从而有与
所以：4
521p
x x =
+，由抛物线定义得：921=++=p x x AB ，所以p=4， 抛物线方程为：x y 82
=
（2）、由p=4，,05x 422=+-p px 化简得0452=+-x x ，从而,4,121==x x 24,222
1=-=y y ,从而A:(1,22-),B(4,24)
设)24,4()22,1()(3,3λ+-==→
y x OC =)2422,41(λλ+-+，又32
38x y =，即()[]
=-2
1222λ8
（41+λ），即14)12(2
+=-λλ，解得2,0==λλ或
圆锥曲线解题方法技巧归纳 第一、知识储备： 1. 直线方程的形式 （1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 （2）与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ ②点到直线的距离d = ③夹角公式：2121 tan 1k k k k α-= + （3）弦长公式 直线 y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：12AB x =- = 或12AB y y =- （4）两条直线的位置关系 ①1212l l k k ⊥?=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=?且 2、圆锥曲线方程及性质 (1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式） 标准方程：22 1(0,0)x y m n m n m n +=>>≠且 2a = 参数方程：cos ,sin x a y b θθ== (2)、双曲线的方程的形式有两种 标准方程：22 1(0)x y m n m n +=?< 距离式方程： 2a = (3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？
22 222b b p a a 椭圆：；双曲线：；抛物线： (4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？ 如：已知21F F 、是椭圆13 42 2=+y x 的两个焦点，平面内一个动点M 满足221=-MF MF 则 动点M 的轨迹是（ ） A 、双曲线； B 、双曲线的一支； C 、两条射线； D 、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式：1 2 2tan 2 F PF P b θ ?=在椭圆上时，S 1 2 2cot 2 F PF P b θ ?=在双曲线上时，S （其中222 1212121212||||4,cos ,||||cos |||| PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==?=?） (6)、记住焦半径公式：（1）00;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为，可简记为 “左加右减，上加下减”。 （2）0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为 （3）11||,||22 p p x x y ++抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为 (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？ 第二、方法储备 1、点差法（中点弦问题） 设() 11,y x A 、()22,y x B ，()b a M ,为椭圆13 42 2=+y x 的弦AB 中点则有 1342 12 1=+y x ，1342 22 2=+y x ；两式相减得( )()03 4 2 2 2 1 2 2 21=-+-y y x x ? ()() ()() 3 4 21212121y y y y x x x x +-- =+-?AB k =b a 43- 2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什 么？如果有两个参数怎么办？ 设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，
锥曲线基本题型总结: 提纲: 一、定义的应用： 1、定义法求标准方程： 2、涉及到曲线上的点到焦点距离的问题： 3、焦点三角形问题： 二、圆锥曲线的标准方程： 1、对方程的理解 2、求圆锥曲线方程（已经性质求方程） 3、各种圆锥曲线系的应用： 三、圆锥曲线的性质： 1、已知方程求性质： 2、求离心率的取值或取值范围 3、涉及性质的问题： 四、直线与圆锥曲线的关系： 1、位置关系的判定： 2、弦长公式的应用： 3、弦的中点问题： 4、韦达定理的应用： 一、定义的应用： 1.定义法求标准方程： （1）由题目条件判断是什么形状，再由该形状的特征求方程：（注意细节的处理）
1?设F-F2为泄点,∣F1F2∣=6 ,动点M满足IMF I I+∣M F2I= 6 ,则动点M的轨迹是（） 1/1 C.圆 D.线段【注:2a>|Fi F2I是椭圆，2a=∣Fι F2 I是线段】 2.设％4, O), C(4,0) ,KZLlSC的周长等于18侧动点/1的轨迹方程为() A.5J+= 1 (yH0) - B.+ ? f ( X2,9)=1 (yH 0 ) C错误!-错误!=1 G?≠ 0) °D?错误! + = 1 (y≠0)【注:检验去点】 3.已知力(0, — 5)、B(0,5),昭I 一砂∣=2α,当α=3或5时，P点的轨迹为() A.双曲线或一条直线 B.双曲线或两条直线 C.双曲线一支或一条直线 D.双曲线一支或一条射线【注:2a<|F I F2∣是双曲线，2a=∣ F1F2∣?射线，注意一支与两支的判断】 4?已知两左点巧(一 3,0),尸2(3.0),在满足下列条件的平而内动点P的轨迹中,是双曲线的是() A↑?PF i?-?PF2 I |=5 B.∣ I PFll-I PF2? I =6 C.∣∣PF1∣-∣PF2∣∣=7 D.∣ I PF1?-?PF2? I =0 【注ι2a<∣Fι F2∣是双曲线】 5?平而内有两个泄点Fι(-5,0)和F2( 5 ,0),动点P满足IPF I l-I PF沪6 ,则动点P的轨迹方程是() A.? f(x2, 1 6)- 错误! = l(xW-4) " B.错误!?=l(xW?3)
圆锥曲线题型总结
直线和圆锥曲线常考题型 运用的知识： 1、中点坐标公式：1212,y 22 x x y y x ++= =，其中,x y 是点 1122(,)(,)A x y B x y ，的中点坐标。 2、弦长公式：若点 1122(,)(,)A x y B x y ，在直线(0)y kx b k =+≠上， 则 1122y kx b y kx b =+=+，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一， AB === = 或者 AB === = 3、两条直线111222: ,:l y k x b l y k x b =+=+垂直：则121k k =- 两条直线垂直，则直线所在的向量120v v = 4、韦达定理：若一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠有两个不同的根12,x x ，则1212,b c x x x x a a +=-=。 常见的一些题型： 题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22 : 14x y C m +=始终有交点，求m 的取值范围 解：根据直线:1l y kx =+的方程可知，直线恒过定点（0，1），椭圆22 : 14x y C m +=过动点04m ≠（，且，如果直线 :1l y kx =+和椭圆22 :14x y C m + =14m ≥≠，且，即14m m ≤≠且。 规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点： :101l y kx =+?过定点（，） :(1)1l y k x =+?-过定点（，0） :2(1)1l y k x -=+?-过定点（，2）
1 2 圆锥曲线的七种常考题型 题型一：定义的应用 1、圆锥曲线的定义： （1） 椭圆 （2） 双曲线 （3） 抛物线 2、定义的应用 （1） 寻找符合条件的等量关系 （2） 等价转换，数形结合 3、定义的适用条件： 典型例题 例 1、动圆 M 与圆 C ： ( x +1)2 + y 2 = 36 内切,与圆 C ： ( x -1)2 + y 2 = 4 外切,求圆心 M 的 轨迹方程。 例 2、 = 8 表示的曲线是 题型二：圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： 1、椭圆：由 x 2、y 2 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 2、双曲线：由 x 2、y 2 系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； 3、抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 典型例题 x 2 例 1、已知方程 + y 2 2 - m = 1表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m 的取值范围是 例 2、k 为何值时,方程 x 2 9 - k - y 2 5 - k = 1 表示的曲线： (1)是椭圆；(2)是双曲线. m -1
3 3 2 题型三：圆锥曲线焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题 1、常利用定义和正弦、余弦定理求解 2、 PF 1 = m ，PF 2 = n ， m + n ，m - n ，mn ，m 2 + n 2 四者的关系在圆锥曲线中的应用 典型例题 x 2 例 1、椭圆 a 2 + y 2 b 2 = 1(a > b > 0) 上一点 P 与两个焦点 F 1，F 2 的张角∠F 1PF 2 =， 求?F 1PF 2 的面积。 例 2、已知双曲线的离心率为 2，F 1、F 2 是左右焦点，P 为双曲线上一点，且∠F 1PF 2 = 60 ， S ?F PF = 12 ．求该双曲线的标准方程 1 2 题型四：圆锥曲线中离心率，渐近线的求法 1、a ,b ,c 三者知道任意两个或三个的相等关系式，可求离心率，渐进线的值； 2、a ,b ,c 三者知道任意两个或三个的不等关系式，可求离心率，渐进线的最值或范围； 3、注重数形结合思想不等式解法 典型例题 例 1、已知 F 、 F x 2 是双曲线 - y 2 = （ ）的两焦点，以线段 F F 为边作 1 2 a 2 b 1 a > 0，b > 0 1 2 正三角形 MF 1F 2 ，若边 MF 1 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ） A. 4 + 2 B. x 2 y 2 - 1 C. 3 + 1 D. + 1 2 例 2、双曲线 - a 2 b 2 = 1 (a > 0，b > 0) 的两个焦点为 F 1、F 2,若 P 为其 上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为 A. (1，3) B. (1， 3] C.(3,+ ∞ ) D. [3, +∞) 3 3
姓 名 年级 性 别 学 校 学 科 教师 上课日期 上课时间 课题 直线和圆锥曲线总结 题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22 :14x y C m +=始终有交点，求m 的取值范围 题型二：弦的垂直平分线问题 例题2、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2 y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ?是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。 题型三：动弦过定点的问题 例题3、已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为32，且在x 轴上的顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。 （I ）求椭圆的方程； （II ）若直线:(2)l x t t =>与x 轴交于点T,点P 为直线l 上异于点T 的任 一点，直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点，试问直线MN 是否通过椭 圆的焦点？并证明你的结论
题型四：过已知曲线上定点的弦的问题 例题4、已知点A 、B 、C 是椭圆E ：22221x y a b += (0)a b >>上的三点，其中点A (23,0)是椭圆的右顶点，直线BC 过椭圆的中心O ，且0AC BC =，2BC AC =，如图。(I)求点C 的坐标及椭圆E 的方程；(II)若椭圆E 上存在两点P 、Q ，使得直线PC 与直线QC 关于直线3x =对称，求直线PQ 的斜率。 题型五：共线向量问题 例题5、设过点D(0,3)的直线交曲线M ：22 194 x y +=于P 、Q 两点，且DP DQ ,求实数的取值范围。
）直接法：直接利用条件建立之间的关系； 和直线的距离之和等于 ），端点向圆作两条切线
的距离比它到直线的距离小于 ：和⊙：都外切，则动圆圆心 代入转移法：动点依赖于另一动点的变化而变化，并且又在某已知曲线上，则可先用的代数式表示，再将代入已知曲线得要求的轨 是抛物线上任一点，定点为,分所成的比为 参数法：当动点坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。 过抛物线的焦点作直线交抛物线于
?OA OB ⊥?121K K ?=-?0OA OB ?= ?12120 x x y y += ②“点在圆内、圆上、圆外问题” “直角、锐角、钝角问题” “向量的数量积大于、等于、小于0问题”?? >0； ?1212x x y y + ③“等角、角平分、角互补问题” 斜率关系（或）；?120K K +=12K K = ④“共线问题” （如： 数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）； AQ QB λ= ?（如：A 、O 、B 三点共线直线OA 与OB 斜率相等）；? ⑤“点、线对称问题” 坐标与斜率关系；? ⑥“弦长、面积问题” 转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式的合理选择）；?六、化简与计算；七、细节问题不忽略； ①判别式是否已经考虑；②抛物线问题中二次项系数是否会出现0.基本解题思想： 1、“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2、“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3、证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。 4、处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明 5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决； 6、转化思想：有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验； 7、思路问题：大多数问题只要忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而
第五篇 高考解析几何万能解题套路 解析几何——把代数的演绎方法引入几何学，用代数方法来解决几何问题。 与圆锥曲线有关的几种典型题，如圆锥曲线的弦长求法、与圆锥曲线有关的最值(极值)问题、与圆锥曲线有关的证明问题以及圆锥曲线与圆锥曲线有关的证明问题等，在圆锥曲线的综合应用中经常见到。 第一部分：基础知识 1.概念 特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F 1，F 2的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数,a b ，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向； （2）在椭圆中，a 最大，222 a b c =+，在双曲线中，c 最大，222c a b =+。 2.圆锥曲线的几何性质： （1）椭圆（以122 22=+b y a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0）， 四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2 a x c =±； ⑤离心率：c e a =，椭圆?01e <<，e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。 （2）双曲线（以22221x y a b -=（0,0a b >>）为例）：①范围：x a ≤-或,x a y R ≥∈；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），两个顶点(,0)a ±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时， 称为等轴双曲线，其方程可设为22,0x y k k -=≠；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离 心率：c e a =，双曲线?1e >，等轴双曲线?e =e 越小，开口越小，e 越大，开口越大；⑥两条渐近线：b y x a =±。 （3）抛物线（以22(0)y px p =>为例）：①范围：0,x y R ≥∈；②焦点：一个焦 点(,0)2 p ，其中p 的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴0y =，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线2p x =-； ⑤离心率：c e a =，抛物线?1e =。
圆锥曲线基本题型总结：提纲： 一、定义的应用： 1、定义法求标准方程： 2、涉及到曲线上的点到焦点距离的问题： 3、焦点三角形问题： 二、圆锥曲线的标准方程： 1、对方程的理解 2、求圆锥曲线方程（已经性质求方程） 3、各种圆锥曲线系的应用： 三、圆锥曲线的性质： 1、已知方程求性质： 2、求离心率的取值或取值范围 3、涉及性质的问题： 四、直线与圆锥曲线的关系： 1、位置关系的判定： 2、弦长公式的应用： 3、弦的中点问题：
4、韦达定理的应用： 一、定义的应用： 1. 定义法求标准方程： (1)由题目条件判断是什么形状，再由该形状的特征求方程：(注意细节的处 理) 1.设F1, F2 为定点，|F1F2| =6,动点M满足|MF1| + |MF2| = 6,则动点M的轨 迹是() A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段【注：2a>|F1 F2| 是椭圆，2a=|F1 F2|是线段】 2. 设 B - 4,0) , C4,0),且厶ABC的周长等于18,则动点A的轨迹方程为) x2 y2 y2 x2 A.25+ -9 = i y z0) B.25^9 = 1 徉0) x2 y2 y2 x2 C.^+16= 1 y z 0) D￡+_9 = 1 y z 0) 【注：检验去点】 3. 已知A0, - 5)、B0,5) ,|PA| - |PB| = 2a,当a= 3 或 5 时，P点的轨迹为) A. 双曲线或一条直线 B. 双曲线或两条直线 C. 双曲线一支或一条直线
D. 双曲线一支或一条射线【注：2av|F1 F2|是双曲线，2a=|F1 F2|是射线，注意一支与两支的判断】
高考数学试题分类详解——圆锥曲线 一、选择题 1.设双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( C ) （A （B ）2 （C （D 2.已知椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ，若3F A F B =,则||AF = (A). (B). 2 (D). 3 3.过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线 的交点分别为,B C ．若1 2 AB BC =，则双曲线的离心率是 ( ) A B C D 4.已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴， 直 线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是（ ） A B ．2 C ．13 D ．12 5.点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2 y x =于,A B 两点，且 |||PA AB =，则称点P 为“ 点”，那么下列结论中正确的是 （ ） A ．直线l 上的所有点都是“点” B ．直线l 上仅有有限个点是“点” C ．直线l 上的所有点都不是“ 点” D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“ 点” 6.设双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2 +1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为 ( ). A. 4 5 B. 5 C. 25 D.5 7.设斜率为2的直线l 过抛物线2 (0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点)
直线和圆锥曲线常考题型 运用的知识： 1、中点坐标公式：1212,y 22 x x y y x ++= =，其中,x y 是点 1122(,)(,)A x y B x y ，的中点坐标。 2、弦长公式：若点1122(,)(,)A x y B x y ，在直线(0)y kx b k =+≠上， 则 1122y kx b y kx b =+=+，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一， AB === = 或者 AB === = 3、两条直线111222: ,:l y k x b l y k x b =+=+垂直：则121k k =- 两条直线垂直，则直线所在的向量120v v = 4、韦达定理：若一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠有两个不同的根12,x x ，则1212,b c x x x x a a +=-=。 常见的一些题型： 题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22 : 14x y C m +=始终有交点，求m 的取值范围 解：根据直线:1l y kx =+的方程可知，直线恒过定点（0，1），椭圆22 : 14x y C m +=过动点04m ±≠（，且，如果直线 :1l y kx =+和椭圆22 :14x y C m + =14m ≥≠，且，即14m m ≤≠且。 规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点： :101l y kx =+?过定点（，） :(1)1l y k x =+?-过定点（，0） :2(1)1l y k x -=+?-过定点（，2） 题型二：弦的垂直平分线问题 例题2、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2 y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ?是等边三角形，若存在， 求出0x ；若不存在，请说明理由。 解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。
直线与圆锥曲线题型总结标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-
直线和圆锥曲线基本题型 题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22 :14x y C m +=始终有交点，求m 的取值范 围 解：根据直线:1l y kx =+的方程可知，直线恒过定点（0，1），椭圆 22 :14x y C m +=过动点04m ±≠（，且，如果直线:1l y kx =+和椭圆22 :14x y C m +=始 终有交点，则 14m ≥≠，且，即14m m ≤≠且。 题型二：弦的垂直平分线问题 例题2、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ?是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。 解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。 设直线:(1)l y k x =+，0k ≠，11(,)A x y ，22(,)B x y 。 由2 (1) y k x y x =+?? =?消y 整理，得 2222(21)0k x k x k +-+= ① 由直线和抛物线交于两点，得2242(21)4410k k k ?=--=-+> 即21 04 k << ② 由韦达定理，得：212221 ,k x x k -+=-121x x =。则线段 AB 的中点为 22 211(,)22k k k --。 线段的垂直平分线方程为：2 2 1112()22k y x k k k --=-- 令y=0,得021122 x k = -，则211( ,0)22 E k -
目录 圆锥曲线十大题型全归纳 题型一弦的垂直平分线问题 (2) 题型二动弦过定点的问题 (3) 题型三过已知曲线上定点的弦的问题 (4) 题型四共线向量问题 (5) 题型五面积问题 (7) 题型六弦或弦长为定值、最值问题 (10) 题型七直线问题 (14) 题型八轨迹问题 (16) 题型九对称问题 (19) 题型十存在性问题 (21)
圆锥曲线题型全归纳 题型一：弦的垂直平分线问题 例题1、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2 y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)， 使得ABE ?是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。
题型二：动弦过定点的问题 例题2、已知椭圆C ：22 221(0)x y a b a b +=>>的离心率为3，且在x 轴上的顶点分别为 A 1(-2,0),A 2(2,0)。 （I ）求椭圆的方程； （II ）若直线:(2)l x t t =>与x 轴交于点T,点P 为直线l 上异于点T 的任一点，直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论
题型三：过已知曲线上定点的弦的问题 例题4、已知点A 、B 、C 是椭圆E ：22 221x y a b += (0)a b >>上的三点，其中点A (23,0)是 椭圆的右顶点，直线BC 过椭圆的中心O ，且0AC BC =，2BC AC =，如图。(I)求点C 的坐标及椭圆E 的方程；(II)若椭圆E 上存在两点P 、Q ，使得直线PC 与直线QC 关于直线3 x =对称，求直线PQ 的斜率。
圆锥曲线基本题型总结： 提纲： 一、定义的应用： 1、定义法求标准方程： 2、涉及到曲线上的点到焦点距离的问题： 3、焦点三角形问题： 二、圆锥曲线的标准方程： 1、对方程的理解 2、求圆锥曲线方程（已经性质求方程） 3、各种圆锥曲线系的应用： 三、圆锥曲线的性质： 1、已知方程求性质： 2、求离心率的取值或取值范围 3、涉及性质的问题： 四、直线与圆锥曲线的关系： 1、位置关系的判定： 2、弦长公式的应用： 3、弦的中点问题： 4、韦达定理的应用： 一、定义的应用： 1.定义法求标准方程： （1）由题目条件判断是什么形状，再由该形状的特征求方程：（注意细节的处理）1.设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M的轨迹是( )
A ．椭圆 B ．直线 C ．圆 D ．线段 【注：2a>|F 1 F 2|是椭圆，2a=|F 1 F 2|是线段】 2.设B －4,0)，C 4,0)，且△ABC 的周长等于18，则动点A 的轨迹方程为 ) A.x 225＋y 29 ＝1 y ≠0) B.y 225＋x 29＝1 y ≠0) C.x 216＋y 216＝1 y ≠0) D.y 216＋x 2 9＝1 y ≠0) 【注：检验去点】 3.已知A 0，－5)、B 0,5)，|PA |－|PB |＝2a ，当a ＝3或5时，P 点的轨迹为 ) A.双曲线或一条直线 B.双曲线或两条直线 C.双曲线一支或一条直线 D.双曲线一支或一条射线 【注：2a<|F 1 F 2|是双曲线，2a=|F 1 F 2|是射线，注意一支与两支的判断】 4.已知两定点F 1－3,0)，F 23,0)，在满足下列条件的平面内动点P 的轨迹中，是双曲线的是 ) A.||PF 1|－|PF 2||＝5 B.||PF 1|－|PF 2||＝6 C.||PF 1|－|PF 2||＝7 D.||PF 1|－|PF 2||＝0 【注：2a<|F 1 F 2|是双曲线】 5.平面内有两个定点F 1－5,0)和F 25,0)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝6，则动点P 的轨迹方程是 ) A.x 216－y 29＝1x ≤－4) B.x 29－y 216＝1x ≤－3) C.x 216－y 29＝1x ≥4) D.x 29－y 2 16＝1x ≥3) 【注：双曲线的一支】 6.如图，P 为圆B ：x ＋2)2＋y 2＝36上一动点，点A 坐标为2,0)，线段AP 的垂直平分线交直线BP 于点Q ，求点Q 的轨迹方程. 7.已知点A(0，3)和圆O 1：x 2＋(y ＋3)2＝16，点M 在圆O 1上运动，点P 在半径O 1M 上，且|PM|＝|PA|，求动点P 的轨迹方程．
圆锥曲线整理 1．圆锥曲线的定义： (1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)； (2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)； (3)抛物线：|MF |＝d . 圆锥曲线的定义是本部分的一个重点内容，在解题中有广泛的应用，在理解时 要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在x 轴上时12 222=+b y a x （0a b >>）,焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1（0a b >>）。 （2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22 22b x a y -＝1（0,0a b >>）。 （3）抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时2 2(0)y px p =->，开口向上时22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。 注意：1.圆锥曲线中求基本量，必须把圆锥曲线的方程化为标准方程。 2.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： 椭圆：由x 2 ,y 2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 双曲线：由x 2 ,y 2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； 抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 在椭圆中，a 最大，2 2 2 a b c =+，在双曲线中，c 最大，2 2 2 c a b =+。 3．与双曲线x 2a 2－ y 2 b 2 ＝1有相同渐近线的双曲线方程也可设为x 2a 2－ y 2 b 2 ＝λ(λ≠0)， 渐近线方程为y ＝±b a x 的双曲线方程也可设为x 2a 2－ y 2 b 2 ＝λ(λ≠0)．要求双曲线x 2a 2－ y 2b 2 ＝λ(λ≠0)的渐近线，只需令λ＝0即可． 4．直线与圆锥曲线的位置关系的判断是利用代数方法，即将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，根据方程组解的个数判断直线与圆锥曲线的位置关系． 解决直线与圆锥曲线问题的通法 (1)设方程及点的坐标． (2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程． (3)应用韦达定理及判别式． (4)结合已知、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解． 5．若直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，且直线P 1P 2的斜率为 k ，则弦长|P 1P 2|＝1＋k 2|x 1－x 2|＝ 1＋1 k 2|y 1－y 2|(k ≠0)．|x 1－x 2|，|y 1－y 2|
圆锥曲线整理 1．圆锥曲线的定义： (1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)； (2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)； (3)抛物线：|MF |＝d . 圆锥曲线的定义是本部分的一个重点内容，在解题中有广泛的应用，在理解时 要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>）,焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1 （0a b >>）。 % （2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22 22b x a y -＝1（0,0a b >>）。 （3）抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时2 2(0)y px p =->，开口向上时22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。 注意：1.圆锥曲线中求基本量，必须把圆锥曲线的方程化为标准方程。 2.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： 椭圆：由x 2 ,y 2 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 双曲线：由x 2 ,y 2 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； 抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 在椭圆中，a 最大，222a b c =+，在双曲线中，c 最大，222 c a b =+。 | 3．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线的双曲线方程也可设为x 2a 2－y 2 b 2＝λ(λ≠0)，渐近线方程为y ＝±b a x 的双曲线方程也可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．要求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)的渐近线，只需令λ＝0即可． 4．直线与圆锥曲线的位置关系的判断是利用代数方法，即将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，根据方程组解的个数判断直线与圆锥曲线的位置关系． 解决直线与圆锥曲线问题的通法 (1)设方程及点的坐标． (2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程． (3)应用韦达定理及判别式． (4)结合已知、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解． — 5．若直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，且直线P 1P 2的斜率为k ， 则弦长|P 1P 2|＝1＋k 2|x 1－x 2|＝ 1＋1 k 2|y 1－y 2|(k ≠0)．|x 1－x 2|，|y 1－y 2|的求法， 通常使用根与系数的关系，需要作下列变形：|x 1－x 2|＝x 1＋x 2 2－4x 1x 2，|y 1 －y 2|＝ y 1＋y 2 2－4y 1y 2. 6．与圆锥曲线的弦的中点有关的问题 (1)通法．联立方程利用根与系数的关系 (2)“点差法”．点差法的作用是用弦的中点坐标表示弦所在直线的斜率． 点差法的步骤： ①将两交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的坐标代入曲线的方程． ②作差消去常数项后分解因式得到关于x 1＋x 2，x 1－x 2，y 1＋y 2，y 1－y 2的关系式．
圆锥曲线的七种常考题型 题型一：定义的应用 1、圆锥曲线的定义： （1）椭圆 （2）双曲线 （3）抛物线 2、定义的应用 （1）寻找符合条件的等量关系 （2）等价转换，数形结合 3、定义的适用条件： 典型例题 例1、动圆M 与圆C 1：()2 2 136x y ++=内切,与圆C 2：()2 2 14x y -+=外切,求圆心M 的 轨迹方程。 例2、方程() () 2 2 22668x y x y -+- ++=表示的曲线是 题型二：圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： 1、椭圆：由2 2 x y 、分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 2、双曲线：由2 2 x y 、系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； 3、抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 典型例题 例1、已知方程1212 2=-+-m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 例2、k 为何值时,方程 1592 2=---k y k x 表示的曲线： (1)是椭圆；(2)是双曲线.
题型三：圆锥曲线焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题 1、常利用定义和正弦、余弦定理求解 2、12PF m PF n ==，，2 2 m n m n mn m n +-+，，，四者的关系在圆锥曲线中的应用 典型例题 例1、椭圆x a y b a b 222 210+=>>()上一点P 与两个焦点F F 12，的张角α=∠21PF F ， 求21PF F ?的面积。 例2、已知双曲线的离心率为2，F 1、F 2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且 6021=∠PF F ， 31221=?PF F S ．求该双曲线的标准方程 题型四：圆锥曲线中离心率，渐近线的求法 1、a,b,c 三者知道任意两个或三个的相等关系式，可求离心率，渐进线的值； 2、a,b,c 三者知道任意两个或三个的不等关系式，可求离心率，渐进线的最值或范围； 3、注重数形结合思想不等式解法 典型例题 例1、已知1F 、2F 是双曲线122 22=-b y a x （00>>b a ，）的两焦点，以线段21F F 为边作 正三角形21F MF ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ） A. 324+ B. 13- C. 2 1 3+ D. 13+ 例2、双曲线)00(122 22>>=-b a b y a x ，的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其 上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为 A. (1，3) B.(]13， C.(3,+∞) D.[)3,+∞
圆锥曲线大题题型归纳 基本方法： 1． 待定系数法：求所设直线方程中的系数，求标准方程中的待定系数a 、b 、c 、e 、p 等等； 2． 齐次方程法：解决求离心率、渐近线、夹角等与比值有关的问题； 3． 韦达定理法：直线与曲线方程联立，交点坐标设而不求，用韦达定理写出转化完成。要注意：如果方程的根很容易求出，就不必用韦达定理，而直接计算出两个根； 4． 点差法：弦中点问题，端点坐标设而不求。也叫五条等式法：点满足方程两个、中点坐标公式两个、斜率公式一个共五个等式； 5． 距离转化法：将斜线上的长度问题、比例问题、向量问题转化水平或竖直方向上的距离问题、比例问题、坐标问题； 基本思想： 1．“常规求值”问题需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2．“是否存在”问题当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3．证明“过定点”或“定值”，总要设一个或几个参变量，将对象表示出来，再说明与此变量无关； 4．证明不等式，或者求最值时，若不能用几何观察法，则必须用函数思想将对象表示为变量的函数，再解决； 5．有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验； 6．大多数问题只要真实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。 题型一：求直线、圆锥曲线方程、离心率、弦长、渐近线等常规问题 例1、 已知F 1，F 2为椭圆2100x +2 64 y =1的两个焦点，P 在椭圆上，且∠F 1PF 2=60°，则△F 1PF 2的面积为多少 点评：常规求值问题的方法：待定系数法，先设后求，关键在于找等式。 变式1、已知12,F F 分别是双曲线223575x y -=的左右焦点，P 是双曲线右支上的一点，且 12F PF ∠=120?，求12F PF ?的面积。
圆锥曲线基本题型总结: 提纲: 一、定义的应用: 1、定义法求标准方程: 2、涉及到曲线上的点到焦点距离的问题: 3、焦点三角形问题: 二、圆锥曲线的标准方程: 1、对方程的理解 2、求圆锥曲线方程(已经性质求方程) 3、各种圆锥曲线系的应用: 三、圆锥曲线的性质: 1、已知方程求性质: 2、求离心率的取值或取值范围 3、涉及性质的问题: 四、直线与圆锥曲线的关系: 1、位置关系的判定: 2、弦长公式的应用: 3、弦的中点问题: 4、韦达定理的应用: 一、定义的应用: 1.定义法求标准方程: (1)由题目条件判断就是什么形状,再由该形状的特征求方程:(注意细节的处理) 1、设F1,F2为定点,|F1F2|＝6,动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6,则动点M的轨迹就是() A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段【注:2a>|F1 F2|就是椭圆,2a=|F1 F2|就是线段】 2、设B(－4,0),C(4,0),且△ABC的周长等于18,则动点A的轨迹方程为()
A 、x 225＋y 29 ＝1 (y ≠0) B 、y 225＋x 29＝1 (y ≠0) C 、x 216＋y 216＝1 (y ≠0) D 、y 216＋x 29 ＝1 (y ≠0) 【注:检验去点】 3、已知A (0,－5)、B (0,5),|P A |－|PB |＝2a ,当a ＝3或5时,P 点的轨迹为( ) A 、双曲线或一条直线 B 、双曲线或两条直线 C 、双曲线一支或一条直线 D 、双曲线一支或一条射线 【注:2a<|F 1 F 2|就是双曲线,2a=|F 1 F 2|就是射线,注意一支与两支的判断】 4、已知两定点F 1(－3,0),F 2(3,0),在满足下列条件的平面内动点P 的轨迹中,就是双曲线的就是( ) A 、||PF 1|－|PF 2||＝5 B 、||PF 1|－|PF 2||＝6 C 、||PF 1|－|PF 2||＝7 D 、||PF 1|－|PF 2||＝0 【注:2a<|F 1 F 2|就是双曲线】 5、平面内有两个定点F 1(－5,0)与F 2(5,0),动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝6,则动点P 的轨迹方程就是( ) A 、x 216－y 29 ＝1(x ≤－4) B 、x 29－y 216＝1(x ≤－3) C 、x 216－y 29＝1(x ≥4) D 、x 29－y 216 ＝1(x ≥3) 【注:双曲线的一支】 6、如图,P 为圆B :(x ＋2)2＋y 2＝36上一动点,点A 坐标为(2,0),线段AP 的垂直平分线交直线BP 于点Q ,求点Q 的轨迹方程、
圆锥曲线基本题型总结： 提纲: 一、定义的应用： 1、定义法求标准方程: 2、涉及到曲线上的点到焦点距离的问题： 3、焦点三角形问题： 二、圆锥曲线的标准方程: 1、对方程的理解 2、求圆锥曲线方程（已经性质求方程） 3、各种圆锥曲线系的应用: 三、圆锥曲线的性质: 1、已知方程求性质: 2、求离心率的取值或取值范围 3、涉及性质的问题： 四、直线与圆锥曲线的关系: 1、位置关系的判定: 2、弦长公式的应用： 3、弦的中点问题： 4、韦达定理的应用： 一、定义的应用: 1.定义法求标准方程： (1）由题目条件判断是什么形状，再由该形状的特征求方程:(注意细节的处理) 1.设F１,F2为定点,|F1Ｆ2|=６，动点M满足|MF１|＋|MＦ2|＝６,则动点M的轨迹是(）
A ．椭圆 B ．直线 C .圆 D ．线段 【注:2a>|F 1 F 2｜是椭圆，2a=|F 1 F 2｜是线段】 2．设B (-4，0)，C (4,0）,且△ABC 的周长等于1８,则动点Ａ的轨迹方程为( ) A. ｘ2 25 +＝1 (y ≠0) ??B.＋＼f （ｘ2,9)=1 (y ≠０) C.错误!+错误!=１ (y ≠０） ? Ｄ.错误!＋＝１ (y ≠０) 【注:检验去点】 3．已知Ａ(0，－５)、Ｂ(0,5)，|P A |－|PB |＝2a ,当a ＝3或5时，P 点的轨迹为( ） A.双曲线或一条直线 B.双曲线或两条直线 C.双曲线一支或一条直线 D ．双曲线一支或一条射线 【注:2a<|Ｆ１ F 2|是双曲线，２a=｜Ｆ1 F 2|是射线，注意一支与两支的判断】 ４.已知两定点Ｆ1(－３,0）,Ｆ2(3,0)，在满足下列条件的平面内动点P 的轨迹中,是双曲线的是( ) A.||PF １|－|ＰF 2｜|=5 Ｂ.|｜PF 1|-|ＰF 2|｜＝6 C.||PF 1|－|PF 2||=７ D.|｜PF 1|-|PF 2|｜=0 【注:2ａ<|Ｆ1 F 2|是双曲线】 5.平面内有两个定点F 1(－5,0)和F 2(５,0)，动点P 满足|PF １|－|ＰF ２|=６,则动点P 的轨迹方程是( ) A.＼f(x 2,１6)－错误!＝1(x ≤－4) ?? ?B.错误!-＝1(ｘ≤-３) C.－＝1(x ≥４) ? D ．-错误!＝1(x ≥3） 【注：双曲线的一支】 6.如图,P 为圆B ：(ｘ+2)2+y ２ =36上一动点,点Ａ坐标为(2,０),线段AP 的垂直平分线交直线BP 于点Q ,求点Q 的轨