2020-2021备战中考数学初中数学旋转综合经典题含答案
一、旋转
1．在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（ 0， 0），点 A（ 5，0），点 B（ 0，3）．以点 A 为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点 O， B， C 的对应点分别
为D， E， F．
（1）如图①，当点 D 落在 BC 边上时，求点 D 的坐标；
（2）如图②，当点 D 落在线段 BE 上时， AD 与 BC交于点 H．
①求证△ ADB≌ △ AOB；
②求点 H 的坐标．
（3）记 K 为矩形 AOBC对角线的交点， S 为△ KDE的面积，求 S 的取值范围（直接写出结果
即可）．
【答案】（ 1） D（ 1，3）；（ 2）①详见解析；② H（17
， 3）；（ 3）
5
30 3 34 ≤S≤303 34 ．
4 4
【解析】
【分析】
（1）如图①，在 Rt△ ACD中求出 CD即可解决问题；
（2）①根据 HL 证明即可；
②，设 AH=BH=m，则 HC=BC-BH=5-m，在 Rt△ AHC中，根据AH2=HC2+AC2，构建方程求出m 即可解决问题；
（3）如图③中，当点 D 在线段 BK 上时，△DEK的面积最小，当点 D 在 BA 的延长线上时，△ D′E′K的面积最大，求出面积的最小值以及最大值即可解决问题；
【详解】
（1）如图①中，
∵A（5， 0）， B（ 0，3 ），
∴ O A=5， OB=3， ∵四边形 AOBC 是矩形，
∴ A C=OB=3， OA=BC=5， ∠
OBC=∠C=90 ，° ∵矩形 ADEF 是由矩形 AOBC 旋转得到，
∴ A D=AO=5，
在 Rt △ ADC 中， CD=
AD 2
AC
2
=4
，
∴BD=BC-CD=1，
∴D （ 1， 3）．
（2） ① 如图 ② 中，
由四边形 ADEF 是矩形，得到 ∠ ADE=90°，
∵点 D 在线段 BE 上，
∴∠ ADB=90 ，°
由（ 1）可知， AD=AO ，又 AB=AB ，∠ AOB=90°，
∴ R t △ ADB ≌ Rt △ AOB （ HL ）．
② 如图 ② 中，由 △ ADB ≌ △ AOB ，得到 ∠BAD=∠BAO ，又在矩形 AOBC 中， OA ∥ BC ，
∴∠ CBA=∠OAB ，
∴∠ BAD=∠ CBA ，
∴ B H=AH ，设 AH=BH=m ，则 HC=BC-BH=5-m ，
在 Rt △ AHC 中， ∵ AH 2=HC 2+AC 2，∴m 2=32+（ 5-m ） 2，
∴m=
17
，
5
∴ B H=
17
，
5
∴H （ 17 ， 3）．
5
（3）如图 ③ 中，当点 D 在线段 BK 上时， △DEK 的面积最小，最小值
1 1
=
?DE?DK= × 3×
2
2
（5-
34 ）= 30 3 34 ，
2 4
当点 D 在 BA 的延长线上时， △D ′E ′K 的面积最大，最大面积 =
1 1
2
×D ′E ′×KD ′=× 3×
2
（5+
34
） =
30
3 3
4 ． 2
4
综上所述，
30 3
34 ≤S ≤30 3 34 ．
4
4
【点睛】
本题考查四边形综合题、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
2．(1)发现：如图 1，点 A 为线段 BC 外一动点，且 BC ＝a ， AB ＝ b ．填空： 当点 A 位于
时，线段 AC 的长取得最大值，且最大值为
(用含 a ， b 的式子表示 )
(2)应用：点 A 为线段 BC 外一动点，且 BC ＝4 ， AB ＝ 1，如图 2 所示，分别以 AB ， AC 为 边，作等边三角形 ABD 和等边三角形 ACE ，连接 CD ， BE ．
① 请找出图中与 BE 相等的线段，并说明理
由； ② 直接写出线段 BE 长的最大值．
(3)拓展：如图 3，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为 (2， 0)，点 B 的坐标为 (6， 0)，点 P
为线段 AB 外一动点，且 PA ＝ 2， PM ＝ PB ， ∠BPM ＝90°，请直接写出线段 AM 长的最大值及此时点 P 的坐标．
【答案】 (1)CB 的延长线上，满足条件的点 P 坐标 (2﹣ 2 【解析】
【分析】
a+b ； (2) ①CD ＝ BE ，理由见解析； ② BE 长的最大值为 5； (3) ， 2 )或(2﹣ 2 ，﹣ 2 )， AM 的最大值为 2 2 +4．
（1）根据点 A 位于 CB 的延长线上时，线段 AC 的长取得最大值，即可得到结论；（
2）
①根据已知条件易证△CAD≌ △ EAB，根据全等三角形的性质即可得CD＝ BE；② 由于线段
BE 长的最大值＝线段 CD 的最大值，根据（ 1）中的结论即可得到结果；（ 3）连接 BM，将△
APM 绕着点 P 顺时针旋转 90°得到△ PBN，连接 AN，得到△ APN 是等腰直角三角形，
根据全等三角形的性质得到PN＝ PA＝ 2， BN＝ AM ，根据当N 在线段 BA 的延长线时，线段BN 取得最大值，即可得到最大值为2 2 +4；如图2，过P作PE⊥x轴于E，根据等腰直角
三角形的性质即可求得点P 的坐标．如图 3 中，根据对称性可知当点P 在第四象限时也满
足条件，由此求得符合条件的点P 另一个的坐标．
【详解】
(1)∵点∴当点A 为线段 BC外一动点，且BC＝ a， AB＝ b，
A 位于 CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值
为
BC+AB＝ a+b，
故答案为CB 的延长线上，a+b；
(2) ①CD＝ BE，
理由：∵ △ABD 与△ACE是等边三角形，
∴AD＝ AB，AC＝ AE，∠BAD＝∠ CAE＝ 60 °，
∴∠ BAD+∠ BAC＝∠ CAE+∠ BAC，
即∠ CAD＝∠ EAB，
AD AB
在△ CAD与△ EAB
中，
CAD EAB ，
AC AE
∴△ CAD≌ △ EAB(SAS)，
∴CD＝ BE；
② ∵线段 BE长的最大值＝线段CD 的最大值，
由(1) 知，当线段CD的长取得最大值时，点 D 在
∴最大值为BD+BC＝ AB+BC＝ 5；
CB的延长线上，(3)如图1，
∵将△ APM 绕着点 P 顺时针旋转 90 °得到△PBN，连接
AN，则△ APN 是等腰直角三角形，
∴PN＝ PA＝2， BN＝ AM，
∵A 的坐标为 (2， 0)，点 B 的坐标为 (6， 0)，
∴OA＝2， OB＝ 6，
∴AB＝ 4，
∴线段 AM 长的最大值＝线段BN 长的最大值，
∴当N 在线段BA 的延长线时，线段BN 取得最大值，
最大值＝AB+AN，
∵AN＝ 2 AP＝ 2 2 ，
∴最大值为2 2 +4；
如图 2，
过P 作 PE⊥ x 轴于 E，
∵△ APN 是等腰直角三角
形，∴PE＝ AE＝2，
∴OE＝ BO﹣ AB﹣ AE＝ 6﹣4﹣2＝2﹣2，
∴P(2﹣2，2 )．
如图 3 中，
2 ，﹣2 )时，也满足条件．
根据对称性可知当点 P 在第四象限时， P(2﹣
2， 2 )或(2﹣ 2 ，﹣ 2 )，AM的最大值为
综上所述，满足条件的点P 坐标 (2﹣
2 2 +4．
【点睛】
本题综合考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，最大值问题，旋转的
性质．正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
3．已知正方形ABCD中， E 为对角线BD 上一点，过 E 点作 EF⊥BD 交 BC 于 F，连接 DF，G 为 DF 中点，连接EG，CG．
（1）请问 EG与 CG存在怎样的数量关系，并证明你的结论；
（2）将图①中△ BEF绕 B 点逆时针旋转 45°，如图②所示，取 DF 中点 G，连接 EG，CG．问（ 1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）将图①中△ BEF绕 B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（ 1）中的结论是否仍然成立？（请直接写出结果，不必写出理由）
【答案】（ 1）证明见解析（2）证明见解析（3）结论仍然成立
【解析】
【分析】
（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG=EG．
（2）结论仍然成立，连接AG，过 G 点作 MN ⊥ AD 于 M ，与 EF的延长线交于N 点；再证
明△ DAG≌ △ DCG，得出 AG=CG；再证出△ DMG≌ △FNG，得到 MG=NG；再证明
△AMG ≌ △ENG，得出 AG=EG；最后证出CG=EG．
（3）结论依然成
立．【详解】
（1） CG=EG．理由如下：
∵四边形ABCD 是正方形，∴ ∠ DCF=90 °Rt△ FCD 中，∵G 为DF 的中点，∴ CG= 1
．在FD，
2
同理．在 Rt△ DEF中， EG=
1
FD，∴ CG=EG．
2
（2）（ 1 ）中结论仍然成立，即 EG=CG．
证法一：连接 AG，过 G 点作 MN ⊥ AD 于 M，与 EF的延长线交于N 点．
在△ DAG与△ DCG 中，∵ AD=CD，∠ ADG=∠CDG， DG=DG，∴ △DAG≌ △ DCG（SAS），∴AG=CG；
在△ DMG 与△ FNG中，∵∠ DGM=∠ FGN， FG=DG，∠ MDG=∠ NFG，∴△ DMG≌ △FNG （ASA），∴ MG=NG．
∵∠ EAM=∠ AEN=∠AMN =90 ，°∴四边形 AENM 是矩形，在矩形 AENM 中， AM=EN．在
△AMG 与△ ENG中，∵ AM=EN，∠AMG=∠ ENG， MG=NG，∴ △ AMG≌ △ ENG
（ SAS），∴AG=EG，∴ EG=CG．
证法二：延长CG至 M，使 MG=CG，连接 MF， ME， EC．在△ DCG 与△ FMG 中，
∵F G=DG，∠ MGF=∠ CGD， MG=CG，∴ △ DCG≌ △ FMG，∴ MF=CD，∠ FMG=∠DCG，∴MF∥ CD∥ AB，∴ EF⊥ MF．
在 Rt△ MFE 与 Rt△ CBE中，∵ MF=CB，∠MFE=∠EBC=90°， EF=BE，∴△ MFE≌ △ CBE ∴∠ MEF=∠ CEB，∴ ∠ MEC=∠ MEF+∠ FEC=∠ CEB+∠CEF=90 °，∴ △ MEC 为直角三角形．1
∵MG=CG，∴ EG=MC，∴ EG=CG．
2
（3）（ 1）中的结论仍然成立．理由如下：
过 F 作 CD 的平行线并延长CG交于 M 点，连接EM、 EC，过 F 作 FN 垂直于 AB 于 N．
由于 G 为 FD 中点，易证△CDG≌ △ MFG，得到 CD=FM，又因为BE=EF，易证
∠EFM=∠EBC，则△ EFM≌△ EBC，∠ FEM=∠ BEC， EM=EC
∵∠ FEC+∠ BEC=90 ，°∴ ∠FEC+∠ FEM=90 °，即∠ MEC=90 °，∴△ MEC 是等腰直角三角形．
∵G 为 CM 中点，∴ EG=CG， EG⊥ CG
【点睛】
本题是四边形的综合题．（1）关键是利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答；
（2）关键是利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、全等三角形的判定和
性质解答．
4．如图所示，
(1)正方形 ABCD及等腰 Rt△ AEF有公共顶点A，∠ EAF=90°，连接 BE、 DF．将 Rt△ AEF绕点
A 旋转，在旋转过程中，BE、DF 具有怎样的数量关系和位置关系？结合图(1)给予证明；
ABCD，等腰Rt△AEF 变为Rt△ AEF，且AD=kAB，(2)将 (1)中的正方形ABCD变为矩
形
AF=kAE，其他条件不变．(1)中的结论是否发生变化？结合图(2)说明理由；
ABCD，将Rt△ AEF变为△ AEF，且
(3)将 (2)中的矩形ABCD变为平行四边
形
∠B AD=∠ EAF=a，其他条件不变． (2)中的结论是否发生变化？结合图 (3)，如果不变，直接写出结论；如果变化，直接用 k 表示出线段 BE、 DF的数量关系，用 a 表示出直线 BE、DF
形成的锐角β．
【答案】（ 1） DF=BE且 DF⊥ BE，证明见解析；（ 2）数量关系改变，位置关系不变，即
DF=kBE， DF⊥BE；（ 3）不改变． DF=kBE，β =180-α°
【解析】
【分析】
（1）根据旋转的过程中线段的长度不变，得到 AF＝ AE，又∠ BAE与∠ DAF 都与∠BAF 互余，所以∠BAE＝∠DAF，所以△FAD≌ △EAB，因此BE 与DF 相等，延长DF 交BE于G，
根据全等三角形的对应角相等和四边形的内角和等于360°求出∠ EGF＝ 90°，所以 DF⊥ BE；（2）等同（ 1）的方法，因为矩形的邻边不相等，但根据题意，可以得到对应边成比例，所
以△ FAD∽ △ EAB，所以 DF＝ kBE，同理，根据相似三角形的对应角相等和四边形的内
角和等于 360°求出∠ EHF＝ 90°，所以 DF⊥ BE；
（3）与（ 2）的证明方法相同，但根据相似三角形的对应角相等和四边形的内角和等于
360 °求出∠ EAF+∠ EHF＝ 180 °，所以 DF 与 BE 的夹角β＝ 180 °﹣α．
【详解】
（1） DF 与 BE 互相垂直且相等．
证明：延长 DF 分别交 AB、 BE于点 P、 G
在正方形ABCD和等腰直角△ AEF中
AD＝ AB， AF＝ AE，
∠BAD＝∠ EAF＝ 90 °
∴∠ FAD＝∠ EAB
∴△ FAD≌ △ EAB
∴∠ AFD＝∠ AEB， DF＝BE
∵∠ AFD+∠ AFG＝ 180 ，°
∴∠ AEG+∠AFG＝ 180 °，
∵∠ EAF＝ 90 °，
∴∠ EGF＝ 180 ﹣°90 °＝ 90 °，
∴D F⊥ BE
（2）数量关系改变，位置关系不变． DF＝ kBE， DF⊥
BE．延长 DF 交 EB于点 H，
∵AD＝ kAB， AF＝ kAE
∴ AD k ，AF
k
AB AE
AD AF
∴
AE
AB
∵∠ BAD＝∠ EAF＝a ∴∠ FAD＝∠ EAB
∴△ FAD∽ △ EAB
DF AF
∴k
BE AE
∴D F＝ kBE
∵△ FAD∽ △ EAB，
∴∠ AFD＝∠ AEB，
∵∠ AFD+∠ AFH＝ 180 ，°
∴∠ AEH+∠AFH＝180 °，
∵∠ EAF＝ 90 °，
∴∠ EHF＝ 180 ﹣°90 °＝ 90 °，
∴D F⊥ BE
（3）不改变． DF＝ kBE，β＝ 180°﹣a．延长 DF 交 EB的延长线于点 H，
∵AD＝ kAB， AF＝ kAE
AD
k ，AF
∴k
AB AE
AD AF
∴
AE
AB
∵∠ BAD＝∠ EAF＝a
∴∠ FAD＝∠ EAB
∴△ FAD∽ △ EAB
DF AF
∴k
BE AE
∴DF＝ kBE
由△ FAD∽ △ EAB得∠ AFD＝∠ AEB
∵∠ AFD+∠ AFH＝ 180 °
∴∠ AEB+∠ AFH＝ 180 °
∵四边形 AEHF的内角和为360 ，°
∴∠ EAF+∠ EHF＝ 180 °
∵∠ EAF＝α，∠ EHF＝β
∴a+ β＝ 180 ∴° β＝ 180 ﹣° a
【点睛】
本题（ 1）中主要利用三角形全等的判定和性质以及正方形的性质进行证明；（2）（ 3）利用相似三角形的判定和性质证明，要解决本题，证明三角形全等和三角相似是解题的关
键，也是难点所在．
5．如图 1， △ABC 是边长为 4cm 的等边三角形，边
AB 在射线 OM 上，且 OA=6cm ，点 D
从 O 点出发，沿
OM
的方向以
1cm/s
的速度运动，当
D 不与点
A 重合时，将 △ ACD 绕
点
C
逆时针方向旋转
60°得到 △ BCE ，连结
DE ．
（1）求证： △ CDE 是等边三角形；
（2）如图
2，当
6＜ t ＜ 10
时， △ BDE 的周长是否存在最小值？若存在，求出
△ BDE 的最小
周长；若不存在，请说明理由；
（3）如图 3，当点 D 在射线三角形？若存在，求出此时
t OM 上运动时，是否存在以 D 、 E 、 B 为顶点的三角形是直角
的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（ 1）见解析
（2）见解析 （ 3）存在
【解析】
试题分析：（ 1）由旋转的性质得到
∠ DCE=60°， DC=EC ，即可得到结论；
（2）当 6＜ t ＜ 10 时，由旋转的性质得到
BE=AD ，于是得到
C △DBE =BE+DB+DE=AB+DE=4+DE ，根据等边三角形的性质得到 DE=C
D ，由垂线段最短得到当
CD ⊥AB 时， △BDE 的周长最小，于是得到结论；
（ 3）存在， ① 当点 D 于点 B 重合时， D ， B ，E 不能构成三角形， ② 当 0≤t ＜ 6 时，由旋转的性质得到 ∠ ABE=60°， ∠ BDE ＜ 60°，求得 ∠ BED=90°，根据等边三角形的性质得到
∠DEB=60 ，°求得 ∠CEB=30 ，°求得 OD=OA-DA=6-4=2，于是得到 t=2 ÷ 1=2s ； ③ 当 6＜ t ＜ 10s 时，此时不存在； ④ 当 t ＞ 10s 时，由旋转的性质得到 ∠ DBE=60°，求得 ∠ BDE ＞ 60°，于是得到 t=14÷1=14s.
试题解析：（ 1）证明： ∵ 将 △ ACD 绕点 C 逆时针方向旋转 60°得到 △ BCE ，
∴∠ DCE=60 °， DC=EC ，
∴△ CDE 是等边三角形；
（ 2）存在，当 6＜ t ＜ 10 时，由旋转的性质得， BE=AD ，
∴C △DBE =BE+DB+DE=AB+DE=4+DE ，
由（ 1）知， △ CDE 是等边三角形，
∴ D E=CD ，
∴C △DBE =CD+4，
由垂线段最短可知，当 CD ⊥ AB 时， △ BDE 的周长最小，此时， CD=2 3 cm ，
∴△ BDE 的最小周长 =CD+4=2 3 +4；
（3）存在， ① ∵ 当点 D 与点 B 重合时， D ， B ， E 不能构成三角形，
∴当点 D 与点 B 重合时，不符合题意；
②当 0≤t＜ 6 时，由旋转可知，∠ ABE=60°，∠BDE＜60°，
∴∠ BED=90 °，
由（ 1）可知，△ CDE是等边三角形，
∴∠ DEB=60 °，
∴∠ CEB=30 °，
∵∠ CEB=∠ CDA，
∴∠ CDA=30 ，°
∵∠ CAB=60 °，
∴∠ ACD=∠ADC=30 °，
∴D A=CA=4，
∴OD=OA﹣DA=6﹣4=2，
∴t =2 ÷ 1=2s；
③当 6＜ t＜ 10s 时，由∠DBE=120 °＞ 90°，
∴此时不存在；
④当 t ＞ 10s 时，由旋转的性质可知，∠ DBE=60°，
又由（ 1）知∠ CDE=60°，
∴∠ BDE=∠ CDE+∠ BDC=60 °+∠ BDC，
而∠ BDC＞0°，
∴∠ BDE＞ 60 °，
∴只能∠ BDE=90 ，°
从而∠ BCD=30°，
∴B D=BC=4，
∴O D=14cm，
∴t =14 ÷ 1=14s.
综上所述：当t=2 或 14s 时，以 D、 E、B 为顶点的三角形是直角三角形．
点睛：在不带坐标的几何动点问题中求最值，通常是将其表达式写出来，再通过几何或代
数的方法求出最值；像第三小问这种探究性的题目，一定要多种情况考虑全面，控制变
量，从某一个方面出发去分类 .
6．如图①，在等腰△ ABC和△ ADE 中， AB=AC， AD=AE，且∠ BAC=∠ DAE=120°．（1）求证：△ ABD≌ △ ACE；
（2）把△ ADE 绕点 A 逆时针方向旋转到图②的位置，连接 CD，点 M、 P、 N 分别为 DE、DC、 BC的中点，连接 MN 、PN、 PM，判断△ PMN 的形状，并说明理由；
（3）在（ 2）中，把△ADE 绕点 A 在平面内自由旋转，若AD=4， AB=6，请分别求出
△PMN 周长的最小值与最大值．
【答案】（的最小值为1）证明见解析；（
3，最大值为15．
2）△ PMN 是等边三角形．理由见解析；（3）△ PMN 周长
【解析】
分析：（ 1）由∠ BAC=∠ DAE=120°，可得∠ BAD=∠CAE，再由 AB=AC， AD=AE，利用SAS即可判定△ ABD≌ △ ADE；（ 2）△ PMN 是等边三角形，利用三角形的中位线定理可得
1
CE， PM∥CE， PN= 1
PM= BD，PN∥BD，同（ 1）的方法可得 BD=CE，即可得 PM=PN，所
2 2
以△ PMN 是等腰三角形；再由PM∥ CE， PN∥ BD，根据平行线的性质可得∠DPM=∠ DCE，∠PNC=∠ DBC，因为∠DPN=∠ DCB+∠ PNC=∠ DCB+∠ DBC，所以
∠MPN=∠ DPM+∠ DPN=∠DCE+∠ DCB+∠ DBC=∠ BCE+∠DBC=∠ ACB+∠ ACE+∠ DBC=∠ ACB+ ∠A BD+∠DBC=∠ ACB+∠ ABC，再由∠BAC=120 ，°可得∠ ACB+∠ ABC=60 ，°即可得
∠M PN=60 °，所以△PMN 是等边三角形；（ 3）由（ 2）知，△PMN 是等边三角形，1
PM=PN= BD，所以当 PM 最大时，△ PMN 周长最大，当点 D 在 AB 上时， BD 最小， PM 2
最小，求得此时 BD 的长，即可得△ PMN 周长的最小值；当点 D 在 BA 延长线上时， BD 最大， PM 的值最大，此时求得△PMN 周长的最大值即可 .
详解：
（1）因为∠ BAC=∠ DAE=120°，
所以∠ BAD=∠ CAE，又 AB=AC，AD=AE，
所以△ ABD≌ △ ADE；
（2）△ PMN 是等边三角形．
理由：∵点 P， M 分别是 CD， DE的中点，
1
∴PM= CE， PM∥ CE，
2
∵点 N， M 分别是 BC，DE 的中点，
1
∴PN= BD， PN∥ BD，
2
同（ 1）的方法可得 BD=CE，
∴PM=PN，
∴△ PMN 是等腰三角形，
∵PM∥ CE，∴∠ DPM=∠ DCE，
∵PN∥BD，∴∠ PNC=∠ DBC，
∵∠ DPN=∠ DCB+∠ PNC=∠ DCB+∠ DBC，
∴∠ MPN=∠ DPM+∠DPN=∠ DCE+∠ DCB+∠ DBC=∠ BCE+∠DBC =∠ ACB+∠ ACE+∠ DBC=∠ ACB+∠ ABD+∠DBC=∠ACB+∠ ABC，∵∠ BAC=120 ，°∴∠ACB+∠ ABC=60 ，°
∴∠ MPN=60 °，
∴△ PMN 是等边三角形．
（3）由（ 2）知，△ PMN 是等边三角形，PM=PN= 1
BD，2
∴PM 最大时，△ PMN 周长最大，
∴点 D 在 AB 上时， BD 最小， PM 最小，
∴B D=AB-AD=2，△ PMN 周长的最小值为 3；
点 D 在 BA 延长线上时， BD 最大， PM 最大，
∴BD=AB+AD=10，△ PMN 周长的最大值为15．
故答案为△ PMN 周长的最小值为3，最大值为15
点睛：本题主要考查了全等三角形的判定及性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判
定，解决第（ 3）问，要明确点 D 在 AB 上时， BD 最小， PM 最小，△ PMN 周长的最小；点
D 在 BA 延长线上时， BD 最大， PM 最大，△PMN 周长的最大值为 15.
7．已知△ ABC 是边长为 4 的等边三角形，边 AB 在射线 OM 上，且 OA=6，点 D 是射线 OM 上的动点，当点 D 不与点 A 重合时，将△ACD 绕点 C 逆时针方向旋转 60°得到△BCE，连接
DE．
（1）如图 1，猜想：△CDE的形状是三角形．
（2）请证明（ 1）中的猜想
（3）设 OD=m，
①当 6＜ m＜10 时，△ BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出
若不存在，请说明理由．
②是否存在m 的值，使△ DEB是直角三角形，若存在，请直接写出请说明理由．
△BDE周长的最小值； m 的值；若不存
在，
【答案】（ 1）等边；（ 2）详见解析；（3）①2 3 +4；②当m=2或14时，以D、E、B 为顶点的三角形是直角三角形．
【解析】
【分析】
（1）由旋转的性质猜想结论；
（2）由旋转的性质得到∠ DCE=60°， DC=EC，即可得到结论；
（3）①当 6＜m＜ 10 时，由旋转的性质得到 BE=AD，于是得到
C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，根据等边三角形的性质得到DE=CD，由垂线段最短得到当
CD⊥AB 时，△BDE的周长最小，于是得到结论；
②存在，分四种情况讨论：a）当点 D 与点 B 重合时， D，B， E 不能构成三角形；
b）当 0≤m＜6 时，由旋转的性质得到∠ ABE=60 °，∠ BDE＜60°，求得∠ BED=90 °，根据等边三角形的性质得到∠DEB=60°，求得∠ CEB=30°，求得 OD=OA﹣ DA=6﹣4=2=m；
c）当6＜m＜10 时，此时不存在；
d）当m＞10 时，由旋转的性质得到∠ DBE=60 °，求得∠ BDE＞ 60°，于是得到m=14．
【详解】
（1）等边；
（2）∵将△ ACD绕点 C 逆时针方向旋转 60°得到△ BCE，∴ ∠ DCE=60°， DC=EC，∴△ CDE 是等边三角形．
（3）①存在，当 6＜ t ＜ 10 时，由旋转的性质得： BE=AD，
∴C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，由（ 1）知，△ CDE是等边三角形，∴ DE=CD，=CD+4，由垂线段最短可知，当CD⊥ AB 时，△ BDE 的周长最小，此时， CD=2 3 ，∴C△DBE
=CD+4=2 3 +4；
∴△ BDE的最小周
长
② 存在，分四种情况讨论：
a）∵ 当点 D 与点 B 重合时，D， B，E 不能构成三角形，∴ 当点 D 与点 B 重合时，不符合
题意；
b）当 0≤m＜6 时，由旋转可知，∠ ABE=60°，∠ BDE＜60°，∴ ∠BED=90°，由（1）可知，
△CDE是等边三角形，∴ ∠ DEB=60°，∴ ∠CEB=30°．
∵∠ CEB=∠ CDA，∴∠ CDA=30 °．
∵∠ CAB=60 °，∴ ∠ ACD=∠ ADC=30 ，°∴ DA=CA=4，∴ OD=OA﹣ DA=6﹣ 4=2，∴ m=2；
c）当 6＜m＜10 时，由∠ DBE=120 °＞90°，∴此时不存在；
d）当 m＞10 时，由旋转的性质可知，∠ DBE=60°，又由（1）知∠ CDE=60°，
∴∠ BDE=∠ CDE+∠ BDC=60 °+∠ BDC，而∠ BDC＞ 0 °，∴ ∠ BDE＞60 °，∴只能∠BDE=90 ，°从而∠ BCD=30°，∴ BD=BC=4，∴OD=14，∴ m=14．
综上所述：当m=2 或 14 时，以 D、 E、B 为顶点的三角形是直角三角形．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形周长的计算，直角三角形的判
定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
8．在正方形ABCD中，连接BD．
（1）如图 1，AE⊥ BD 于 E．直接写出∠ BAE的度数．
（2）如图 1，在（ 1）的条件下，将△ AEB以A旋转中心，沿逆时针方向旋转30°后得到△AB′，E′AB′与 BD 交于 M， AE′的延长线与BD 交于 N．
①依题意补全图1；
②用等式表示线段BM、 DN 和 MN 之间的数量关系，并证明．
（3）如图 2，E、 F 是边 BC、CD 上的点，△ CEF周长是正方形 ABCD周长的一半， AE、 AF 分别与 BD 交于 M、 N，写出判断线段 BM、 DN、 MN 之间数量关系的思路．（不必写出完整推理过程）
【答案】（ 1） 45°；（ 2）① 补图见解析；②BM 、 DN 和 MN 之间的数量关系是
BM2+MD 2=MN 2，证明见解析；（ 3）答案见解析.
【解析】
（1）利用等腰直角三角形的性质即可；
（2）依题意画出如图 1 所示的图形，根据性质和正方形的性质，判断线段的关系，再利用勾
股定理得到 FB2+BM2=FM2，再判断出 FM=MN 即可；
（3）利用△ CEF周长是正方形 ABCD周长的一半，判断出 EF=EG，再利用（ 2）证明即可．解：（ 1）∵ BD 是正方形 ABCD的对角线，∴ ∠ ABD=∠ ADB=45°，
∵AE⊥ BD，∴ ∠ ABE=∠BAE=45 ，°
（2）①依题意补全图形，如图 1 所示，
② BM 、 DN 和 MN 之间的数量关系是 BM2+MD2=MN2 ，将
△ AND 绕点 D 顺时针旋转 90°，得到△AFB，
∴∠ ADB=∠ FBA，∠BAF=∠ DAN，DN=BF， AF=AN，
∵在正方形ABCD中， AE⊥ BD，∴ ∠ ADB=∠ ABD=45 ，°
∴∠ FBM=∠ FBA+∠ABD=∠ADB+∠ABD=90 ，°
在 Rt△ BFM 中，根据勾股定理得，FB2+BM2=FM2，
∵旋转△ ANE 得到 AB1E1，∴ ∠ E1AB1=45 °，∴ ∠ BAB1+∠ DAN=90°﹣ 45°=45 °，
∵∠ BAF=DAN，∴ ∠ BAB1+∠ BAF=45°，∴∠ FAM=45°，∴ ∠ FAM=∠ E1AB1，
∵AM=AM ， AF=AN，∴△ AFM≌ △ ANM ，∴ FM=MN ，
∵F B2+BM2 =FM2，∴ DN2+BM2=MN 2，
（3）如图 2，
将△ ADF 绕点 A 顺时针旋转90°得到△ ABG，∴ DF=GB，
∵正方形 ABCD的周长为4AB，△ CEF周长为 EF+EC+CF，
∵△ CEF周长是正方形ABCD周长的一半，∴ 4AB=2（EF+EC+CF），∴ 2AB=EF+EC+CF
∵E C=AB﹣ BE， CF=AB﹣ DF，∴ 2AB=EF+AB﹣ BE+AB﹣ DF，∴ EF=DF+BE，
∵D F=GB，∴ EF=GB+BE=GE，由旋转得到 AD=AG=AB，
∵A M=AM ，∴ △ AEG≌ △ AEF，∠EAG=∠EAF=45，°和（ 2）的②一样，得到
DN2+BM2=MN 2．
“点睛”此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、旋转的性质，三角形的全
等，判断出（△ AFN≌ △ ANM，得到 FM=MM ），是解题的关键 .
9．已知 Rt△DAB 中，∠ ADB=90°，扇形 DEF中，∠ EDF=30°，且 DA=DB=DE，将 Rt△ADB 的边与扇形 DEF的半径 DE 重合，拼接成图 1 所示的图形，现将扇形 DEF绕点 D 按顺时针方向旋转，得到扇形 DE′F，′设旋转角为α（0°＜α＜ 180°）
（1）如图 2，当 0°＜α＜ 90°，且 DF′∥ AB 时，求α；
（2）如图 3，当α=120°，求证： AF′=BE．′
【答案】（ 1） 15°；（ 2）见解析．
【解析】
试题分析：（ 1）∵ ∠ADB=90°， DA=DB，∴ ∠ BAD=45°，∵ DF′∥ AB，
∴∠ ADF ′=∠ BAD=45 ，°∴α =45﹣°30 °=15 ；°
（2）∵ α=120°，∴∠ ADE′=120°，∴ ∠ADF′=120°+30°=150，°∠ BDE′=360﹣°90°﹣
120 °=150 °，∴∠ ADF′=∠BDE′，在△ ADF′和△ BDE′中，，
∴△ ADF ′≌△ BDE′∴， AF ′ =BE．′
考点：①旋转性质；②全等三角形的判定和性质．
10．如图 1，在△ ABC中， CA=CB，∠ ACB=90°， D 是△ ABC内部一点，∠ ADC=135°，将线
段CD绕点 C 逆时针旋转 90°得到线段 CE，连接
DE．（1）①依题意补全图形；
②请判断∠ ADC 和∠CDE之间的数量关系，并直接写出答案．
（2）在（ 1）的条件下，连接 BE，过点 C 作 CM⊥ DE，请判断线段 CM，AE 和 BE之间的数
量关系，并说明理由．
BP （3）如图 2，在正方形ABCD中， AB=，如果PD=1，∠ BPD=90°，请直接写出点
A 到
的距离．
【答案】（ 1）①作图见解析；② ∠ ADC+∠ CDE=180°；（2）AE=BE+2CM，理由解析；
（3）．
【解析】
试题分析：（ 1）①作 CE⊥CD，并且线段 CE是将线段 CD绕点 C 逆时针旋转 90°得到的，再连
接 DE 即可；②根据∠ ADC和∠ CDE是邻补角，所以∠ ADC+∠CDE=180°．
（2 ）由（ 1）的条件可得A、 D、E 三点在同一条直线上，再通过证明△ ACD≌ △ BCE，易得AE=BE+2CM．
（3 ）运用勾股定理，可得出点 A 到 BP 的距离．
试题解析：解：（1）① 依题意补全图形（如图）；
② ∠ADC+∠ CDE=180°．
（2）线段 CM， AE 和 BE 之间的数量关系是 AE=BE+2CM，理由如下：
∵线段 CD 绕点 C 逆时针旋转 90 °得到线段 CE，
∴CD=CE，∠ DCE=90 ．°
∴∠ CDE=∠ CED=45．°
又∵ ∠ ADC=135°，
∴∠ ADC+∠ CDE=180 ，°
∴A、D、 E 三点在同一条直线上．
∴AE=AD+DE．又∵
∠ ACB=90°，
∴∠ ACB－∠ DCB=∠ DCE－∠ DCB，即∠ ACD=∠ BCE．
又∵ AC=BC， CD=CE，
∴△ ACD≌ △ BCE．
∴A D=BE．
∵CD=CE，∠ DCE=90 ，°CM⊥ DE．∴DE=2CM．
∴A E=BE+2CM．
（3）点 A 到 BP 的距离为．考点：作图—旋转变换．
11．如图合），以1，在 Rt△ABC中，∠ ACB=90°， E是边 AC 上任意一点（点
CE为一直角边作Rt△ ECD，∠ ECD=90°，连接 BE， AD．
E 与点A， C 不重
（1）若CA=CB， CE=CD
①猜想线段BE， AD 之间的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；
②现将图 1 中的 Rt△ ECD绕着点 C 顺时针旋转锐角α，得到图2，请判断①中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（2）若 CA=8,CB=6， CE=3， CD=4， Rt△ ECD绕着点 C 顺时针转锐角α，如图 3，连接 BD，AE，计算的值．
【答案】（ 1）①BE=AD ， BE⊥ AD；②见解析；（ 2） 125．
【解析】
试题分析：根据三角形全等的判定与性质得出BE=AD，BE⊥AD；设 BE 与 AC 的交点为点
F， BE与 AD 的交点为点 G，根据∠ ACB=∠ ECD=90°得出∠ ACD=∠ BCE，然后结合
AC=BC，CD=CE得出△ ACD≌ △ BCE，则 AD=BE，∠ CAD=∠ CBF，根据∠BFC=∠AFG，∠BFC+∠ CBE=90 得°出∠ AFG+∠ CAD=90 ，°从而说明垂直；首先根据题意得出
△ACD∽ △ BCE，然后说明∠ AGE=∠BGD=90°，最后根据直角三角形的勾股定理将所求
的线段转化成已知的线段得出答案．
试题解析：（ 1）①解： BE=AD， BE⊥ AD
②BE=AD， BE⊥ AD 仍然成立
证明：设BE 与 AC 的交点为点F， BE 与 AD 的交点为点G，如图 1．
∵∠ ACB=∠ ECD=90，°∴∠ ACD=∠ BCE ∵ AC=BC CD=CE∴△ ACD≌ △ BCE
∴A D=BE ∠ CAD=∠ CBF ∵∠ BFC=∠ AFG ∠ BFC+∠CBE=90 °∴ ∠ AFG+∠ CAD=90 °
∴∠ AGF=90 °∴ BE⊥ AD
（2）证明：设 BE 与 AC 的交点为点 F，BE 的延长线与 AD 的交点为点 G，如图 2．
∵∠ ACB=∠ ECD=90，° ∴ ∠ ACD=∠ BCE ∵ AC=8， BC=6， CE=3， CD=4 ∴ △ACD∽ △ BCE
∴∠ CAD=∠ CBE ∵ ∠ BFC=∠ AFG ∠ BFC+∠CBE=90 ∴∠° AFG+∠ CAD=90 °
∴∠ AGF=90 °∴ BE⊥ AD ∴ ∠ AGE=∠ BGD=90 °
∴，．∴．
∵，，
∴
考点：三角形全等与相似、勾股定理．
4 个扇12．如图是两个可以自由转动的转盘，甲转盘被等分成3 个扇形，乙转盘被等分成形，
每一个扇形上都标有相应的数字．同时转动两个转盘，当转盘停止后，计算指针所指
区域内的数字之和．如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字
为止．
（1）请你通过画树状图或列表的方法分析，并求指针所指区域内的数字和小于10 的概率；
（2）小亮和小颖小亮和小颖利用它们做游戏，游戏规则是：指针所指区域内的数字和小于
10，小颖获胜；指针所指区域内的数字之和等于10，为平局；指针所指区域内的数字之和
大于 10，小亮获胜．你认为该游戏规则是否公平？请说明理由；若游戏规则不公平，请你
图形推理真题解析十年真题一网打尽（经 典收藏） 第1道C 本题所有图形均为左右对称的 将左边的一半去掉，剩下的右半边依次为数字1234 据此，可知后面为5。 第2题A 解析：去异存同 前图为:第一个图形与第二个图形重合,相同部分余下. 第二套图也如此.
第3题C 横着看三个图为一列 把外切小黑圆看成+，把内切小黑圆看成- 每一列都是图1和图2通过上面的算法和规律推出第3个图 第4题C 第一套图是逆时间转，每转90度加下面+一横 第二套图是从有小圆的90度扇形，开始逆时间旋转，每旋转一次，原有小圆的90度扇形+一个小圆，其他的90度扇形也加一个圆。 同理第3个图是：再图2的基础上再转90度，也是每转一次原有小圆扇形再+一个小圆，其他地方也同样加一个小圆。 根据以上的规律，能符合此规律的只有C项
第6题B 解析：（方法一） 把内分割线，分割出来的两个图形分别算出其比划再组成这个图行总的笔划（重合的线段算为2划）。 根据这个规律：第一套图的笔划是：6，7，8 第二套图的笔划是：9，10，11 （方法二） 看内角的个数呈规律递增；第一套图：6，7，8 第二套图：9，10，11 第7道C 第一套图的3个图的阴影部分可以组成一个全阴影图形 同理，第二套图的3个阴影部分也可以组成一个全阴影图形
第8道B 第一套是图内的3个原色不同，第二套是图内的3个原色相同，而且一一对应相似，两套图的3个图项的外框都是只有一个。 第9道B 根据第一套图和第二套图的各项图形方面不同，一一对应相似性， 第一套图：图1是左右对称，方位是左右。 图2是轴对称，方位是上下，左右；其对应相似性的图形是第二套图的图2。 图3是上下对称，其对称相似性的图形是第二套图的图1 那么现在就只有第一套图的图1没有对应关系，根据其左右对称的相似性只有B项符合，故答案为B 第10道B 若考虑把图2，图3，图4通过翻转、旋转、镜像，而组成图1，那么这样每个选项都可以。所以这里不考虑旋转、镜像、翻转，只考虑垂直移动，只须将第3个图垂直移动到下面，这
2020-2021备战中考数学压轴题专题初中数学旋转的经典综合题附详细答案 一、旋转 1．操作与证明：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF．取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN． （1）连接AE，求证：△AEF是等腰三角形； 猜想与发现： （2）在（1）的条件下，请判断MD、MN的数量关系和位置关系，得出结论． 结论1：DM、MN的数量关系是； 结论2：DM、MN的位置关系是； 拓展与探究： （3）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，则（2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）证明参见解析；（2）相等，垂直；（3）成立，理由参见解析. 【解析】 试题分析：（1）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的知识证明出CE=CF，继而证明出△ABE≌△ADF，得到AE=AF，从而证明出△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半和三角形中位线定理即可得出结论.位置关系是垂直，利用三角形外角性质和等腰三角形两个底角相等性质，及全等三角形对应角相等即可得出结论；（3）成立，连接AE，交MD于点G，标记出各个角，首先证明出 MN∥AE，MN=AE，利用三角形全等证出AE=AF，而DM=AF，从而得到DM，MN数量相等的结论，再利用三角形外角性质和三角形全等，等腰三角形性质以及角角之间的数量关系得到∠DMN=∠DGE=90°．从而得到DM、MN的位置关系是垂直. 试题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF=90°，∵△CEF 是等腰直角三角形，∠C=90°，∴CE=CF，∴BC﹣CE=CD﹣CF，即BE=DF， ∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，∴△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，DM、MN的位置关系是垂直；∵在Rt△ADF中DM是斜边AF的中线，∴AF=2DM，∵MN 是△AEF的中位线，∴AE=2MN，∵AE=AF，∴DM=MN；∵∠DMF=∠DAF+∠ADM， AM=MD，∵∠FMN=∠FAE，∠DAF=∠BAE，∴∠ADM=∠DAF=∠BAE，
图形的旋转经典题 一．选择题（共10小题） 1．把一副三角板按如图放置，其中∠ABC=∠DEB=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AC=BD=10，若将三角板DEB绕点B逆时针旋转45°得到△D′E′B，则点A在△D′E′B的（） A．内部 B．外部 C．边上 D．以上都有可能 2．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B、D两点间的距离为（） A． B．2 C．3 D．2 3．如图，△ABC中，AB=6，BC=4，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AEF，使得AF∥BC，延长BC交AE于点D，则线段CD的长为（） A．4 B．5 C．6 D．7 4．规定：在平面内，将一个图形绕着某一点旋转一定的角度（小于周角）后能和自身重合，则称此图形为旋转对称图形．下列图形是旋转对称图形，且有一个旋转角为60°的是（）A．正三角形 B．正方形C．正六边形 D．正十边形 5．下面生活中的实例，不是旋转的是（） A．传送带传送货物B．螺旋桨的运动 C．风车风轮的运动D．自行车车轮的运动 6．如图，在直角坐标系中放置一个边长为的正方形ABCD，将正方形ABCD沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A第三次回到x轴上时，点A运动的路线与x轴围成的图形的面积和为（） 6题 7题 9题 A．π+πB．2π+2 C．3π+3π D．6π+6 7．（2016?松北区模拟）如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD，若∠A=2∠D=100°，则∠α的度数是（） A．50°B．60°C．40°D．30° 8．一个菱形绕它的两条对角线的交点旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是（） A．360° B．270° C．180° D．90°
旋转与全等、相似中的线段数量关系 基本例题：1、如图，△ABC中，∠C＝90°.（1）将△ABC绕点B逆时针旋转90，画出旋转后的三角形；（2）若BC＝3，AC＝4，点A旋转后的对应点为A′，求A′A的长 变式1,如图Rt△AB'C'是由Rt△ABC,绕点A顺时针旋转得到的，连接C C'交AB于E, (1)证明：△CA C'∽△BA B' (2)延长C C'交B B'于F，证明：△CA E∽△FBE 变式2，△ABC绕点B逆时针旋转90°得到△DBE,若恰好得到C、E、D三点共线，则AC、BC、CD的数量关系是 变式3，△ABC绕点B逆时针旋转a°得到△DBE,若恰好得到C、E、D三点共线，则AC、
BC、CD的数量关系是 变式4、Rt△ABC中，AC=BC,∠ACB=∠ADB=90°，连接CD,求：AD、CD、BD的数量关系 变式5、Rt△ABC中，AC=kBC,∠ACB=∠ADB=90°，连接CD,探究：AD、CD、BD的数量关系 变式6、如图，在△OAB和△OCD中，∠A＜90°，OB=KOD（K＞1），∠AOB=∠COD，∠OAB与∠OCD互补，试探索线段AB与CD的数量关系，并证明你的结论。 变式7.如图AB∥CD,BC∥ED, ∠BCD+∠ACE=180°。 (1)当BC=CD 且∠ACE=90°时如图3探究线段AC和CE之间的数量关系 （2）当BC=CD 时如图2探究线段AC和CE之间的数量关系 （3）当BC=kCD时如图1探究线段AC和CE之间的数量关系（用含k的式子表示） E B C A D C A D B
80中田凌志老师提供 1如图R t △ABC ，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B 作直线MN ∥AC,点P 在直线BC 上，∠EPF=∠CAB ，且两边分别交直线AB 于E ，交直线MN 于F 。如图（1）（2）(3)探究PE 与PF 之间的数量关系，并证明 P N M F E C B A _ P _ N _ M _F _E _ C _ B _ A 图1 图2
《图形的旋转》基础典型练习题 一、选择题（每题3分，共18分） 1．下列物体的运动不是旋转的是（） A．坐在摩天轮里的小朋友B．正在走动的时针 C．骑自行车的人D．正在转动的风车叶片 2．在10分钟的时间内，分针转过的角度是（） A．15°B．30°C．15°D．30° 3．在10分钟的时间内，时钟的时针旋转过的角度是（） A．5°B．10°C．15°D．30° 4．等边三角形绕着它的中心旋转一周，可与原图形重合的次数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 5．在图形的旋转中，下列说法错误的是（） A．图形上的每一点到旋转中心的距离都相等 B．图形上的每一点转动的角度都相同 C．图形上可能存在不动的点 D．旋转前和旋转后的图形全等 6．有一种平面图形，它绕着中心旋转，不论旋转多少度，?所得到的图形都与原图形完全重合，你觉得它可能是（） A．三角形B．等边三角形C．正方形D．圆 二、填空题（7题4分，11题5分，其余每题3分，共18分） 7．经过旋转后的图形与原图形的关系是________，它们的对应线段_______，?对应角________，对应点到旋转中心的距离________． 8．一架风车有分布均匀的四个叶片，旋转一周可与原来的位置重合______次． 9．如图所示，图①沿逆时针方向旋转90°可得到图_________． 10．如上图所示，图①按顺时针方向至少旋转_______度可得图③．
11．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，?把这个三角形在平面内绕点C逆时针旋转60°至△A′B′C′，那么AA′的长度是______cm．（?不取近似值）三、作图题（每题6分，共18分） 12．如图所示，△ABC绕点A旋转后，点B与点D?重合，?作出旋转后的三角形ADE． 13．把边长为2cm的正方形ABCD，绕着点D逆时针旋转45°后，变为正方形A′B?′C′D′，作出上述图形． 14．如图所示是计算机操作人员用Flash设计出的美丽图案，?试把它按逆时针方向旋转180°，作出旋转后的图案． 四、解答题（6分） 15．如图所示，①图怎样变化可成②图呢？请你分析变化过程．
备战中考数学初中数学旋转-经典压轴题附详细答案 一、旋转 1．阅读材料：小胖同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组旋转全等的三角形．小胖把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小胖发现若∠BAC＝ ∠DAE，AB＝AC，AD＝AE，则BD＝CE． (1)在图1中证明小胖的发现； 借助小胖同学总结规律，构造“手拉手”图形来解答下面的问题： (2)如图2，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，求证：AD+CD＝BD； (3)如图3，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝m°，点E为△ABC外一点，点D为BC中点，∠EBC＝∠ACF，ED⊥FD，求∠EAF的度数（用含有m的式子表示）． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）∠EAF =1 2 m°. 【解析】 分析：（1）如图1中，欲证明BD=EC，只要证明△DAB≌△EAC即可； （2）如图2中，延长DC到E，使得DB=DE．首先证明△BDE是等边三角形，再证明 △ABD≌△CBE即可解决问题； （3）如图3中，将AE绕点E逆时针旋转m°得到AG，连接CG、EG、EF、FG，延长ED到 M，使得DM=DE，连接FM、CM．想办法证明△AFE≌△AFG，可得∠EAF=∠FAG=1 2 m°. 详（1）证明：如图1中， ∵∠BAC=∠DAE， ∴∠DAB=∠EAC， 在△DAB和△EAC中，
AD AE DAB EAC AB AC ?? ∠∠??? ＝＝＝， ∴△DAB ≌△EAC ， ∴BD=EC ． （2）证明：如图2中，延长DC 到E ，使得DB=DE ． ∵DB=DE ，∠BDC=60°， ∴△BDE 是等边三角形， ∴∠BD=BE ，∠DBE=∠ABC=60°， ∴∠ABD=∠CBE ， ∵AB=BC ， ∴△ABD ≌△CBE ， ∴AD=EC ， ∴BD=DE=DC+CE=DC+AD ． ∴AD+CD=BD ． （3）如图3中，将AE 绕点E 逆时针旋转m°得到AG ，连接CG 、EG 、EF 、FG ，延长ED 到M ，使得DM=DE ，连接FM 、CM ． 由（1）可知△EAB ≌△GAC ， ∴∠1=∠2，BE=CG ， ∵BD=DC ，∠BDE=∠CDM ，DE=DM ， ∴△EDB ≌△MDC ， ∴EM=CM=CG ，∠EBC=∠MCD ，
平移 一、知识点复习 知识点1：平移的定义： 在平面内，一个图形沿某个方向移动一定的距离，这种图形的变换叫做平移。 知识点2：平移的要素 1.平移的方向：原图上的点指向它的对应点的射线方向； 2.平移的距离：连接原图与平移后图形上的一对对应点的线段的长度。 知识点3：平移的性质 1.性质 （1）平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小。 （2）平移后的图形与原图形上对应点连成的线段， ①数量关系是相等 . ②位置关系是平行或在同一条直线上。 2.判断一组图形能不能通过平移得到的方法 （1）看对应点连线是否平行或在同一条直线上；
（2）看它的形状、大小是否发生变化，位置的变化是否由平移产生。 ★★★特别注意： 平移是由平移的方向和距离决定的，平移必须指明平移的方向和距离； 平移是在平面内，整个图形沿着某一直线平行移动的过程，原图上的每个点都沿同一方向移动相同的距离；平移的距离不能为0； 平移的方向是任意的，但就一次平移而言，只能有一个方向，一次平移完成后可以改变方向进行下一次平移。 二、典型例题 题型1：生活中平移现象 【例题1】（2017春?乌海期末）下列运动属于平移的是（） A．荡秋千 B．推开教室的门 C．风筝在空中随风飘动 D．急刹车时，汽车在地面上的滑动【例题2】：（2016春?淮安期中）下列现象：①电梯的升降运动，②飞机在地面上沿直线滑行，③风车的转动，④冷水加热过程中气泡的上升．其中属于平移的是（） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 题型2：平移的性质 【例题4】：（2016春?沧州期末）在下列说法中：①△ABC在平移过程中，对应线段一定相等；②△ABC 在平移过程中，对应线段一定平行；③△ABC在平移过程中，周长保持不变；④△ABC在平移过程中，对应边中点所连线段的长等于平移的距离；⑤△ABC在平移过程中，面积不变，其中正确的有（） A．①②③④ B．①②③④⑤ C．①②③⑤ D．①③④⑤ 题型3：与平移有关的计算
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 第二十三章旋转 测试1图形的旋转 学习要求 1.通过实例认识图形的旋转变换，理解旋转的含义；通过探索它的基本特征，理解旋转变换的基本性质. 2 .能按要求作出简单平面图形旋转后的图形. 课堂学习检测 、填空题 在平面内，把一个图形绕着某 _________ 沿着某个方向转动 _________ 的图形变换叫做旋转.这个点 O 叫做 角叫做 _______ .因此，图形的旋转是由 __________ 和 ______ 决定的. 如果图形上的点 P 经过旋转变为点 P ',那么这两点叫做这个旋转的 __________________ . 如图，△ AOB 旋转到△ A OB '的位置.若Z AOA' =90°，则旋转中心是点 _________________ .旋转角是 ______ 点是 _______ .线段 AB 的对应线段是 __________ . Z B 的对应角是 ________ . Z BOB' 如图，△ ABC 绕着点O 旋转到△ DEF 的位置，则旋转中心是 .旋转角是 ACB=Z .AO= ABC 绕其中心 O 至少旋转__ ABCD,如果绕其对角线的交点 曰 如图，正三角形 一个平行四边形 钟表的运动可以看作是 旋转了 _______ 度. 旋转的性质是对应点到旋转中心的 之间的关系是 ________ . 、选择题 9.下图中，不是旋转对称图形的是 （ 8. ，转动的 .点A 的对应 ，AB= ，/ _度，可与其自身重合. O 旋转，至少要旋转. 度，才可与其自身重合. 种旋转现象，那么分针匀速旋转时，它的旋转中心是钟表的旋转轴的轴心，经过 相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于 45分钟 ；旋转前、后的图形 7 A 10 .有下列四个说法，其中正确说法的个数是 （ ）. ① 图形旋转时，位置保持不变的点只有旋转中心； ② 图形旋转时，图形上的每一个点都绕着旋转中心旋转了相同的角度; ③ 图形旋转时， ④ 图形旋转时， A . 1个 11.如图，把菱形 对应点与旋转中心的距离相等； 对应线段相等，对应角相等，图形的形状和大小都没有发生变化 D . 4个 B . 2 个 C. ABOC 绕点O 顺时针旋转得到菱形 3个 DFO E 则下列角中不是旋转角的为 （ ）. A . Z BOF C.Z COE 12.如图，若正方形 DCEF 旋转后能与正方形 ABCD 重合，则图形所在平面内可作为旋转中心的点共有 （ ）个 B . D .
中考数学初中数学旋转-经典压轴题及详细答案 一、旋转 1．已知正方形ABCD的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与BC、DC的延长线交于点E、F，连接EF，设CE＝a，CF＝b． （1）如图1，当a＝42时，求b的值； （2）当a＝4时，在图2中画出相应的图形并求出b的值； （3）如图3，请直接写出∠EAF绕点A旋转的过程中a、b满足的关系式． 【答案】（1）422）b＝8；（3）ab＝32． 【解析】 试题分析：（1）由正方形ABCD的边长为4，可得AC＝2，∠ACB＝45°． 再CE＝a＝2∠CAE＝∠AEC，从而可得∠CAF的度数，既而可得 b=AC； （2）通过证明△ACF∽△ECA，即可得； （3）通过证明△ACF∽△ECA，即可得. 试题解析：（1）∵正方形ABCD的边长为4，∴AC＝2，∠ACB＝45°． ∵CE＝a＝2∴∠CAE＝∠AEC＝45 2? ＝22.5°，∴∠CAF＝∠EAF－∠CAE＝22.5°， ∴∠AFC＝∠ACD－∠CAF＝22.5°，∴∠CAF＝∠AFC，∴b=AC＝CF＝42 （2）∵∠FAE＝45°，∠ACB＝45°，∴∠FAC＋∠CAE＝45°，∠CAE＋∠AEC＝45°，∴∠FAC ＝∠AEC． 又∵∠ACF＝∠ECA＝135°，∴△ACF∽△ECA，∴AC CF EC CA =，∴ 42 442 =∴CF＝ 8，即b＝8．（3）ab＝32． 提示：由（2）知可证△ACF∽△ECA，∴∴AC CF EC CA =，∴ 42 42 =，∴ab＝32． 2．在Rt△ABC中，AB=BC=5，∠B=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AC的中点O处，将三角板绕点O旋转，三角板的两直角边分别交AB，BC或其延长线于E，F两点，如图①与②是旋转三角板所得图形的两种情况． （1）三角板绕点O旋转，△OFC是否能成为等腰直角三角形？若能，指出所有情况（即
01 分点突破 知识点1中心对称与中心对称图形 1. 图形的是 C 1) 2.（齐齐哈尔屮考）下列汉字或字母既是屮 心对称图形又是轴对称图形的是 知识点2平面直角坐标系与旋转 （阜新屮考）ri 章末复习 旋转 A. Bl cH D Z （济宁中考）下列图形是中心对称 如图，正方形OABC 在平面直角坐标系屮，点 A 的坐标为 （2, 0）,将正方形OABC 绕点0顺时针旋转45 0得到正方形 标为（ ） OA B' C 则点C'的坐 A. ( .2, .2) C. ( . 2, — . 2) B. (— 2, . 2) D. (2 .2, 2 .2) 3. 4. （宁夏中考）如图，在平面直角坐标系xOy
中，△ A'B'由込ABC绕点P旋转得到，则点P的坐标为 . 5. __________________________ （北京中考）如图，在平面直角坐标系xOy中, 4AOB可以看作是AOCD经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的, 写出一种由△ OCD得到△ AOB的过程:
知识点 3 6.（天津 屮考）如图, 将厶 ABC 绕 点B 顺时针 旋转60 ° E 恰好落在AB 的延长线上，连 接AD.下列结论一定正确的是（） AC = 5 cm, BC = 12 cm. 将厶ABC 绕点B 顺时针旋转60°得到△ BDE ，连接DC 交AB 于点F,则厶ACF 和厶BDF 的周长之和为 cm. 8?（徐州中考）如图，已知AC 丄BC,垂足为C, AC 二4, BC 二3. 3,将线 段AC 绕 点A 按逆时针方向旋转60°得到线段AD,连接DC, DB. (1)线段 DC 二 4; （2）求线段DB 的长度. 02 中考题型演练 9. （聊城中考）如图，将AABC 绕点C 顺时针旋转，使点B 落在AB 边上点 B'处，此时，点A 的对应点A'恰好落在BC 的延长线上，下列结论错误的是（） 得"DBE,点 C 的对应点 旋转屮的让算问题 4 A. Z ABD 二Z E B. Z CBE 二Z C C. AD II BC D. AD =BC E B
图形的平移与旋转 【考纲传真】 图形的平移与旋转是近几年中考命题的重点和热点．考察考点主要通过具体实例认识平移、旋转，并探索平移、旋转的基本性质． 【复习考纲】 1．探索图形平移、旋转的性质，发展空间观念；结合具体实例，理解平移、旋转的基本内涵． 2．掌握平移、旋转的画图步骤和方法，掌握图形在坐标轴上的平移和旋转． 【考点梳理】 一、平移定义和规律 1．平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移． 注意： （1）平移不改变图形的形状和大小（也不会改变图形的方向，但改变图形的位置）； （2）图形平移三要素：原位置、平移方向、平移距离． 2．平移的规律（性质）：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等、对应角相等． 注意：平移后，原图形与平移后的图形全等． 3．简单的平移作图 平移作图，就是把整个图案的每一个特征点按一定方向和一定的距离平行移动． 平移作图要注意：①方向；②距离． 二、旋转的定义和规律 1．旋转的定义：在平面内，将一个图形饶一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转．这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角．关键：（1）旋转不改变图形的形状和大小（但会改变图形的方向，也改变图
形的位置）； （2）图形旋转四要素：原位置、旋转中心、旋转方向、旋转角． 2．旋转的规律（性质）： 经过旋转，图形上的每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．（旋转前后两个图形的对应线段相等、对应角相等．) 注意：旋转后，原图形与旋转后的图形全等． 3．简单的旋转作图： 旋转作图，就是把整个图案的每一个特征点绕旋转中心按一定的旋转方向和一定的旋转角度旋转移动． 旋转作图要注意：①旋转方向；②旋转角度． 【典题探究】 【例1】、在下列实例中，不属于平移过程的有（ ） ①时针运行的过程；②火箭升空的过程；③地球自转的过程；④飞机从起跑到离开地面的过程。 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 【例2】、如图所示的每个图形中的两个三角形是经过平移得到的是（ ） 【例3】、下列图形经过平移后恰好可以与原图形组合成一个长方形的是（ ） A 、三角形 B 、正方形 C 、梯形 D 、都有可能 【例4】、在图形平移的过程中，下列说法中错误的是（ ） A 、图形上任意点移动的方向相同 B 、图形上任意点移动的距离相同 C 、图形上可能存在不动的点 D 、图形上任意两点连线的长度不变 【例5】、有关图形旋转的说法中错误的是（ ） A 、图形上每一点到旋转中心的距离相等 B 、图形上每一点移动的角度相同 A B C D
1.如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC,AB ⊥BC,AD=2,BC=3,将腰CD 以D 为 中心逆时针旋转90到ED ，连结AE 、CE,则△ADE 的面积是 。 2.将直角边长为5cm 的等腰直角ΔABC 绕点A 逆时针旋转15°后,得 到ΔAB ’C ’,则图中阴影部分的面积是 cm 2 3. 如图，四边形ABC ∠BAD=∠BCD=900,AB=AD, 若四边形ABCD 的面是24cm 2.则AC 长是 ▲ cm. 4. 如图，O 是正△ABC 内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO 以点B 为 旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO ′，下列结论：①△BO ′A 可以由△BOC 绕点B 逆时针旋转60°得到；②点O 与O ′的距离为4；③∠AOB=150°；④ AOBO S =6+33四形边；⑤AOC AOB 93S S 6+ 4 +=V V ．其中正确的结论是【 】 A ．①②③⑤ B ．①②③④ C ．①②③④⑤ D ．①②③ 5. Rt △ABC 中，AB=AC ，点D 为BC 中点．∠MDN=900 ，∠MDN 绕点D 旋转，DM 、DN 分别与边AB 、AC 交于E 、F 两点．下列结论①(BE+CF)=2BC ，②AEF ABC 1S S 4 ??≤，③AEDF S =四形边AD ·EF ，④AD ≥EF ，⑤AD 与EF 可能互相平分，其中正确结论的个数是【 】 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6. 如图，边长为a 的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°得到正方形A ′B ′C ′ D ′，图中阴影部分的面积为【 】 A B C E D
数学中考压轴题旋转问 题(经典) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
旋转 一、选择题 1. （广东）如图，把一个斜边长为2且含有300角的直角三角板ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转900到△A 1B 1C ，则在旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积是【 】 A ．π B ．3 C ． 33+42π D ．113 + 124 π 2. （湖北）如图，O 是正△ABC 内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO 以点B 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A 可以由△BOC 绕点B 逆时针旋转60°得到；②点O 与O′的距离为4；③∠AOB=150°；④AOBO S =6+33四形边；⑤AOC AOB 93 S S 6+ 4 +=．其中正确的结论是【 】 A ．①②③⑤ B ．①②③④ C ．①②③④⑤ D ．①②③ 3. （四川）如图，P 是等腰直角△ABC 外一点，把BP 绕点B 顺时针旋转90°到BP′，已知∠AP′B=135°，P′A ：P′C=1：3，则P′A ：PB=【 】。 A ．1：2 B ．1：2 C ．3：2 D ．1：3 4. （贵州）点P 是正方形ABCD 边AB 上一点（不与A 、B 重合），连接PD 并将线段PD 绕点P 顺时针旋转90°，得线段PE ，连接BE ，则∠CBE 等于【 】 A ．75° B ．60° C ．45° D ．30° 5. （广西）如图，等边△ABC 的周长为6π，半径是1的⊙O 从与AB 相切 于 点D 的位置出发，在△ABC 外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回 到与AB 相 切于点D 的位置，则⊙O 自转了：【 】 A ．2周 B ．3周 C ．4周 D ．5周 二、填空题 6. （四川）如图，四边形ABCD 中，∠BAD=∠BCD=900,AB=AD,若四边形ABCD 的面积是24cm 2.则AC 长是 ▲ cm.
典型例题一 例 如图，以点O 为旋转中心，将ABC ?顺时针旋转45°，画出图形． 分析 当旋转中心O 在图形之外时，O 是一个孤立的点，没有从O 出发的线段或射线作参照，就无法确定旋转的角度，因此，首先还须将O 与图形上的某点（或某些点）连结起来． 解 如图，连结OA 、OB 、OC ．将这三条线段绕O 点分别顺时针旋转45°，得C O B O A O '''、、，则C B A '''?就是按题目要求得到的旋转后的图形． 说明： 图形旋转后的效果有时不像平移那样直观，画图出现错误时可能不易发现，因此画图时要特别细心． 典型例题二 例 如图，正方形ABCD 中，E 是正方形内的一点，把AED ?绕着点A 按逆时针旋转90°，画出旋转后的三角形，并回答： （1）图中有哪些等线段和等角？ （2）哪两个三角形形状、大小都一样？ 分析 一个图形绕它的对称中心旋转一个角度后，图形中的每一点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度．本例中可以发现AD 旋转90°后，刚好与AB 重合，于是将AE 旋转90°到E A '的位置，使?='∠90E EA ，确定点E '，连E B '，则E AB '?就是ADE ?按要求旋转的三角形．（1）（2）中，根据图形旋转的特征，图形从一个位置旋转到另一个位置，形状和大小都没有改变，可确定相等的线段、相等的角以及形状相同的三角形． 答案 （1）相等的线段有：E B DE E A AE CD BC AB AD '='====,,．相等的角有：E E E AB ADE E BA DAE '∠=∠'∠=∠'∠=∠,,．
（2）ADE ?与E AB '?的形状和大小都一样． 典型例题三 例 如图，把一块砖ABCD 直立于地面上，然后将其轻轻推倒．在这个过程中，A 点保持不动，四边形ABCD 旋转到B C D A '''位置． （1）指出在这个过程中的旋转中心，并说出旋转的角度是多大？ （2）指出图中的对应线段． 分析（1）由于四边形B C D A '''是由四边形ADCB 旋转得到的，A 点保持不动，所以A 是旋转中心．又由于D A B ',,三点在一条直线上，且AB AD ⊥，所以旋转的角度是90°．（2）由于D C B A ,,,的对应点分别是D C B A ''',,,，所以不难找出图中的对应线段． 答案 （1）A 是旋转中心，旋转的角度是90°． （2）CD BC AD AB ,,,的对应线段分别是D C C B D A B A '''''',,,． 典型例题四 例 （1）把长方形ABCD 绕着顶点A 逆时针旋转60°．如图． （2）把长方形ABCD 绕着长方形内一点P 逆时针旋转60°． 解 （1）①AB 绕A 点逆时针旋转60°到B A '位置，.,60AB B A AB B ='?='∠ ②连结AC ，作.,60AC C A AC C ='?='∠ ③作.,60AD D A AD D ='?='∠ 连结B C C D '''',，则四边形D C B A '''是四边形ABCD 逆时针旋转60°得到的图形． （2）①连结AP ，作?='∠60PA A ，使.AP P A =' ②用同样的方法作出D C B '''、、，连结A D D C C B B A ''''''''、、、．
P A C B O C B A 例1：如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的动点，且∠EAF=45°， 求证:EF=DE+BF 1、在等边△ABC 中，O 为△ABC 内一点，连接AO 、BO 、CO 且AO=1,BO=2,CO= 3 ,求∠AOB ，∠BOC 的度数分别是多少？ 2、如图，P 是等腰三角形ABC 内一点，且∠C=90°，PB=3，PA=7，PC=1。求∠APB 的度数？ E
例2、基本问题两个有公共顶点的等腰△AOB和△COD，如图1所示，如果∠AOB＝∠COD＝90°，OA＝OB，OC＝OD.那么AC与BD 是否相等？为什么？ 拓展1图1中线段AC与BD除相等外，它们所在的直线还有什么特殊的位置关系？你能说明理由吗？ 拓展2若将图1中的△COD绕点O按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，如图2、图3，上面的结论还成立吗？
拓展3将上题中“∠AOB＝∠COD＝90°”改为“∠AOB＝∠COD ＝60°”，如图4，其他条件不变，那么上述结论是否仍然成立？如不成立，会有什么变化？ 拓展4将上题中“∠AOB＝∠COD＝60°”改为“∠AOB＝∠COD ＝α”，如图5，其他条件不变，那么上述结论又会有怎样的变化呢？
练习1、如图9，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE.我们探究下列图中线段BG、DE的长度关系及所在直线的位置关系： (1)①猜想如图9中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系； ②将图9中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度α，得到图10、图11的情形.请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图10证明你的判断. . .
章末复习 旋转 01 分点突破 知识点1中心对称与中心对称图形 1.（济宁中考）下列图形是中心对称图形的是 （ ） ? @ @ ? 知识点2平面直角坐标系与旋转 3. （阜新中考）如图，正方形OABC 在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（2 , 0），将正方形 OABC 绕点0顺时针旋转45 °，得到正方形 OA B ' C',则 点C'的坐标为（ ） A. （ 2, 2） B. （— 2, 2） C. （ 2，——,2） D. （2 . 2, 2丫2） 「 ------- H _ ----- ------ * 儿 A m 4. ________________________________ （宁夏中考）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，△ A B '。’由厶ABC 绕 点P 旋转得到，则点P 的坐标为 . 5. _________________________ （北京中考）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A AOB 可以看作是△ OCD 经过若干次图形的变化 （平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△ OCD 得到△ AOB 的过程： A BCD 2.（齐齐哈尔中考）下列汉字或字母既是中心对称图形又是轴对称图形的 是（ ） A rh C H D Z
知识点3旋转中的计算问题 6.（天津中考）如图，将厶ABC绕点B顺时针旋转60°得厶DBE点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD.下列结论一定正确的是（） A.Z ABD-Z E B.Z CBE=Z C C. AD// BC 7.（吉林中考）如图，在Rt△ ABC中，/ ACB= 90°, AC= 5 cm, BC= 12 cm 将厶ABC绕点B顺时针旋转60°,得到△ BDE连接DC交AB于点卩，则厶人。卩和厶BDF的周长之和为 & （徐州中考）如图，已知AC绕点A按逆时针方向旋转（1）线段DC= 4; （2）求线段DB的长度. AC= 4, 60°,得到线段AD连接 BC= 3 3，将线段 DC DB. 02 9. B' 的是（中考题型演练 （聊城中考）如图，将△ ABC绕点C顺时针旋转，使点 处，此时，点A的对应点A'恰好落在BC的延长线上，下列结论错误） B落在AB边上点
图形旋转练习题 1. 如图1，P 是正三角形ABC 内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，求∠APB 的度数。 2. 如图P 是正方形ABCD 内一点，点P 到正方形的三个顶点A 、B 、C 的距离分别为PA=1，PB=2，PC=3。求此正方形ABCD 面积。 A B C D P 3.设点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上滑动且保持∠EAF=450， A P ⊥EF 于点P （1） 求证：AP=AB ，（2）若AB=5，求ΔECF 的周长。 4.如图17，正方形ABCD ，E 、F 分别为BC 、CD 边上一点． （1）若∠EAF=45o．求证：EF=BE+DF ． （2）若⊿AEF 绕A 点旋转，保持∠EAF=45o，问⊿CEF 的周长是否随⊿AEF 位置的变化而变化？ （3）已知正方形ABCD 的边长为1，如果⊿CEF 的周长为2．求∠EAF 的度数． 5ABC 中，∠ABC=90°，点D 在AC 上，将△ABD 绕顶点B 沿顺时针方向旋转90°后得到△CBE. ⑴求∠DCE 的度数； ⑵当AB=4，AD ∶DC=1∶3时，求DE 的长. F E D C B A A A F P P B B C C
6．如图所示，△ABC 是直角三角形，BC 是斜边，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后，使AB 落到AC 上，则P 落到点P '处。如果AP=1，则PP '=___________． 7．如图,四边形ABCD 中，∠BAD=∠C=90o，AB=AD ，AE ⊥BC 于E ，若线段AE=5，则S 四边形ABCD ＝ 。 8．如图所示，已知P 是正方形ABCD 内一点，以B 为 旋转中心，把△PBC 沿逆时针方向旋转90°得到△P BA '，连接PP '， 则∠P PB '的度数是______。 9、如图，将△ABC 绕点A 旋转一定角度后能与△ADE 重合，如果△ABC 的面积是 12cm 2 ，那么△ADE 的面积是 。 10、如图，△ABC 是等边三角形，D 为BC 边上的点，∠BAD ＝15°， △ABD 经旋转后到达△ACE 的位置，那么旋转角的度数是 . 11、如图，把三角形△ABC 绕着点C 顺时针旋转350，得到△A ＇B ＇C ，A ＇B ＇交AC 于点D ，若∠A ＇DC=900，则∠A 的度数是__________。 E D C B A 11
旋转部分练习题 一．选择题 1.(2013河池)如图(1)，已知两个全等直角三角形的直角顶点及一条直角边重合．将△ACB 绕点C按顺时针方向旋转到△A'CB'的位置，其中A'C交直线AD于点E，A'B'分别交直线AD，AC于点F，G，则在图(2)中，全等三角形共有()A．5对B．4对C．3对D．2对 2.(2014湖北随州)在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC＝5，BD＝4．则下列结论错误的是() A.AE∥BC B．∠ADE＝∠BDC C．△BDE是等边三角形D．△ADE的周长是9 3.(2014黑龙江哈尔滨)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，△A′B′C 可以由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，连接AB′，且A、B′、A′在同一条直线上，则AA′的长为() A．6 B．4√3 C．3√3 D．3 4.(2014四川遂宁)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，则旋转角度为() A．30°B．60°C．90°D．150° 5.(2014甘肃兰州)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝2．将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得△A′B′C，则点B转过的路径长为() A．π/3 B．√3π /3 C．2π/3 D．π 6.(2014山东烟台)如图，将△ABC绕点P顺时针旋转90°得△A′B′C′，则点P的坐标是()A．(1，1)B．(1，2)C．(1，3)D．(1，4) 7.(2014贵州遵义)如图，已知△ABC中，∠C＝90°，，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B的长为() A．B．√3/2 C．D．1 8.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－1，0)，B(－2，3)，C(－3，1)．将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，得到△AB′C′，则点B′的坐标为（）A(2，1) B．(2，3) C．(4，1) D．(0，2) 9.(2013牡丹江)如图，△ABO中，AB⊥OB，，AB＝1，把△ABO绕点O旋转150°后得到△A1B1O，则点A1的坐标为（） A．(－1，) B．(－1，)或(－2，0) C．(，－1)或(0，－2) D．(，－1) 10.如图，在△ABC中，∠A＝60°，将△ABC绕着点C旋转一定角度后，使A′落在AB边上，此时旋转角为() A．60°B．120°C．30°D．无法确定
几何图形旋转常见问题 一、填空题 1.如图1，把边长为1的正方形ABCD绕顶点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于． 2．如图2，将一块斜边长为12cm，∠B＝60°的直角三角板ABC，绕点C沿逆时针方向旋转90°至△A′B′C′的位置，再沿CB向右平移，使点B′刚好落在斜边AB上，那么此三角板向右平移的距离是cm． 3.正△ABC的边长为3cm，边长为1cm的正△RPQ的顶点R与点A重合，点P，Q分别在AC，AB上，将△RPQ沿着边AB，BC，CA顺时针连续翻转（如图3所示），直至点P第一次回到原来的位置，则点P运动路径的长为cm． 4.如图4，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，∠BCD＝45°，将腰CD 以点D为中心逆时针旋转90°至ED，连结AE，CE，则△ADE的面积是． 二、解答题 5.如图5-1，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合)，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F. (1) 求证：BP=DP； (2) 如图5-2，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明； (3) 试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论 .
6.如图6－1是一个美丽的风车图案，你知道它是怎样画出来的吗？按下列步骤可画出这个风车图案：在图6－2中，先画线段OA，将线段OA平移至CB处，得到风车的第一个叶 片F 1，然后将第一个叶片OABC绕点O逆时针旋转180°得到第二个叶片F 2 ，再将F 1 、F 2 同时 绕点O逆时针旋转90°得到第三、第四个叶片F 3、F 4 .根据以上过程，解答下列问题： (1)若点A的坐标为(4，0)，点C的坐标为(2，1)，写出此时点B的坐标； (2)请你在图6－2中画出第二个叶片F 2 ； (3)在(1)的条件下，连接OB，由第一个叶片逆时针旋转180°得到第二个叶片的过程中，线段OB扫过的图形面积是多少？ 7.如图7，在直角坐标系中，已知点P 0的坐标为(1,0)，将线段OP 按逆时针方向旋转 45°，再将其长度伸长为OP 0的2倍，得到线段OP 1 ；又将线段OP 1 按逆时针方向旋转45°， 长度伸长为OP 1的2倍，得到线段OP 2 ；如此下去，得到线段OP 3 ，OP 4 ，…，OP n （n为正整数）. （1）求点P 6 的坐标； （2）求△P 5OP 6 的面积； （3）我们规定：把点P n (x n ,y n )（n=0,1,2,3,…）的横坐标x n 、纵坐标y n 都取绝对值后 得到的新坐标(|x n |,|y n |)称之为点P n 的“绝对坐标”．根据图中点P n 的分布规律，请你猜 想点P n 的“绝对坐标”，并写出来． 8.把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC交于点H （如图8）．试问线段HG与线段HB相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．