全错位排列数公式的推导与化简
一、提出问题
装错信封问题：一个人写了n封不同的信及相应的n个不同的信封，若他把这n封信都装错了信封，那么装错信封的装法共有多少种？这是被著名数学家欧拉称为“组合数论的一个妙题”.
把n个编号元素放在n个编号位置，元素编号与位置编号各不对应的排列方法称为错位排列法.
将编号分别为1，2，3，…，n的n个不同元素a1，a2，a3，…，an，安排在这n个位置作全排列，若某个排列中每个元素都错位，则把这个全排列称为这n个不同元素的一个全错位排列.n个不同元素所有的全错位排列的个数称为全错位排列数，记为Dn，易得D1=0，D2=1，D3=2.
二、递推关系式
对于n=4，D4推导如下：按分步乘法计数原理考虑，第一步，先安排好第一个位置，有C13=3种排法.
1234a3a1第二步，当安排好第一个位置后，假设安排的是a3，此时应考虑a1的位置，包括两种情况.若a1安排在第三个位置，则a2和a4排法是D2=1；若a1不安排在第三个位置，而a2不排在第二个位置，a4不排在第4个位置，对应的排法是D3=2.因此，当第一个位置安排的是a3时，对应
的排法共有D2+D3=3，而第一个位置安排的各种情况地位相当，所以D4=C13（D2+D3）=9.
对于Dn，推导如下：
按分步乘法计数原理考虑，第一步，先安排好第一个位置，有C1n-1=n-1种排法.
12…m…nama1第二步，当安排好第一个位置后，假设安排的是am，此时应考虑a1所放的位置，包括两种情况.
若a1安排在第m个位置，则对应的排法是Dn-2；若a1不安排在第m个位置，由于a2不排在第二个位置，…，an不排在第n个位置，对应的排法是Dn-1.因此，当第一个位置安排的是an时，对应的排法共有Dn-1+Dn-2.而第一个位置安排的各种情况地位相当，所以Dn=C1n-1（Dn-1+Dn-2）. （1）整理Dn-nDn-1=-[Dn-1-（n-1）Dn-2].这表明，{Dn-nDn-1}是以D2-2D1=1为首项，公比为-1的等比数列，于是
Dn-nDn-1=（-1）n-2，故Dn=nDn-1+（-1）n，其中n≥2，n ∈N+. （2）
对于（1）式还有一种方法：设满足题意的放法有Dn种，当加入第n+1个元素和编号时，对于Dn的每一种放法，都可以把第i（i=1，2，3，…，n）个元素与第n+1个元素互换，把第i个元素放入第n+1个位置，有nDn种放法；也可先把第n+1个元素放入第i个位置，还余下n个位置，而把第i 个元素不放入第n+1个位置，其它元素也不放在对应的位置，
则此时有nDn-1种放法，所以Dn+1=nDn+nDn-1，n≥2.
三、全错位排列数公式
利用递推关系式Dn-nDn-1=（-1）n，各项同除以n！，得Dnn！-Dn-1（n-1）！=（-1）nn！，构造数列bn=Dnn！，并利用数列恒等式bn=b1+（b2-b1）+（b3-b2）+…+（bn-bn-1）有Dnn！=01！+（-1）22！+（-1）33！+…+（-1）nn！，所以Dn=n！[12！-13！+…+（-1）n1n！].
下面根据Dn=nDn-1+（-1）n利用分步迭代法推导Dn.
D2=2D1+（-1）2，D3=3D2+（-1）3=3×2D1+3（-1）2+（-1）3.由于D1=0，则D4=4D3+（-1）4=4×3（-1）2+4（-1）3+（-1）4，D5=5D4+（-1）5=5×4×3（-1）2+5×4（-1）3+5（-1）4+（-1）5=5！2！（-1）2+5！3！（-1）3+5！4！（-1）4+5！5！（-1）5，…，所以Dn=n！[12！-13！+…+（-1）n1n！].
还有一种方法：
利用递推关系式Dn=C1n-1（Dn-1+Dn-2），设Dk=k！pk，k=1、2、3、…、n，则p1=0，p2=12.
当n≥3时，由Dn=（n-1）（Dn-1+Dn-2）得n！pn=（n-1）（n-1）！pn-1+（n-1）（n-2）！pn-2，即n（n-1）！pn=（n-1）（n-1）！pn-1+（n-1）！pn-2，可知npn=（n-1）pn-1+pn-2，即npn=npn-1-pn-1+pn-2，则pn-pn-1=-pn-1-pn-2n，
pn-1-pn-2=-pn-2-pn-3n-1，……，因此有pn-pn-1=（-1n）（-1n-1）
（-1n-2）…（p2-p1）=（-1）n1n！，pn-1-pn-2=（-）n-11（n-1）！，…，p2-p1=（-1）212！.
各式两边相加得pn=12！-13！+…+（-1）n1n！.
所以Dn=n！pn=n！[1-11！+12！-13！+…+（-1）n1n！].
四、化简公式
由于e-1=1-11！+12！-13！+…+（-1）n1n！+…，e=2.71828.
即e-1=pn+（-1）n+11（n+1）！+（-1）n+21（n+2）！+…
余项为Rn=（-1）n+11（n+1）！+（-1）n+21（n+2）！+…=（-1）n+11（n+1）！（1-1n+2）+…
那么该余项取值范围如何呢？由泰勒中值定理可知，在含有x0的某个开区间（a，b）内，函数f（x）可表示为（x-x0）的一个n次多项式pn（x）与一个余项Rn（x）之和，此和是关于（x-x0）的幂级数即泰勒级数，其中pn（x）=f（x0）+f ′（x0）（x-x0）+f ″（x0）2！（x-x0）2+…+f （n）（x0）n！（x-x0）n，
余项为Rn（x）=f （n+1）（ξ）（n+1）！（x-x0）n+1.
ξ在x与x0之间.
若将函数f（x）=ex展开成x的幂级数即麦克劳林级数，由于x0=0，f （n+1）（x）=ex，则ex=1+x+x22！+x33！+…+xnn！+….
对于任何有限的x、ξ（ξ在0与x之间），余项为Rn （x）=eξ（n+1）！xn+1.
而函数f（x）=ex展开成x的幂级数中含有xn+1的项为f （n+1）（ξ）（n+1）！xn+1=ex（n+1）！xn+1，可见二者形式相似.
由于x=-1，因此e-1的幂级数的余项为Rn（-1）=（-1）n+1eξ（n+1）！，且ξ∈（-1，0）.
因此Dn=n！e-1-（-1）n+1eξn+1.
设λ=|n！Rn|=|（-1）n+1eξn+1|=eξn+1，由于eξ∈（1e，1），当n=1时，λ
排列和组合基本公式的推导，定义 先从「排列」开始。「排列」的最直观意义，就是给定n个「可区别」(Distinguishable，亦作「相异」)的物件，现把这n个物件的全部或部分排次序，「排列」问题就是求不同排列方式的总数。为了区别这些物件，我们可不妨给每个物件一个编号：1、2 ... n，因此「排列」问题实际等同於求把数字1、2 ... n的全部或部分排次序的方式总数。「排列」问题可分为「全排列」和「部分排列」两种，当我们把给定的n个数字1 、2 ... n全部排次序，求有多少种排法时，就是「全排列」问题。我们可以把排序过程分解为n个程序：第一个程序决定排於第一位的数字，第二个程序决定排於第二位的数字...第n个程序决定排於第n位的数字。在进行第一个程序时，有n个数字可供选择，因此有n种选法。在进行第二个程序时，由於在前一程序已选定了一个数字，现在可供选择的数字只剩下n-1个，因此有n-1种选法。在进行第三个程序时，由於在前一程序已选定了一个数字，现在可供选择的数字只剩下n-2个，因此有 n-2种选法。如是者直至第n个程序，这时可供选择的数字只剩下1个，因此只有1种选择。由於以上各程序是「各自独立」的，我们可以运用「乘法原理」求得答案为n×(n-1)×(n-2)×...2×1。在数学上把上式简记为n!，读作「n 阶乘」(n-factorial)。 例题1：把1至3这3个数字进行「全排列」，共有多少种排法？试列出所有排法。 答1：共有3! = 3 × 2 × 1 = 6种排法，这6种排法为1-2-3；1-3-2；2-1-3；2-3-1； 3-1-2；3-2-1。 当然，给定n个数字，我们不一定非要把全部n个数字排序不可，我们也可只抽取部分数字(例如r个，r < n)来排序，并求有多少种排法，这样的问题就是「部分排列」问题。我们可以把「部分排列」问题理解成抽东西的问题。设在某袋中有n个球，每个球都标了编号1、2 ... n。现从袋中抽r个球出来(抽出来之后不得再放回袋中)，并把球上的数字按被抽出来的顺序记下，这r个数字的序列实际便等同於一个排序。「部分排列」问题的解答跟「全排列」问题非常相似，只不过现在我们是把排序过程分解为r个而非n个步骤。进行第一个程序时，有n个数字可供选择，因此有n种选法。在进行第二个程序时，由於在前一程序已选定了一个数字，现在可供选择的数字只剩下n-1个，因此有n-1种选法。在进行第三个程序时，由於在前一程序已选定了一个数字，现在可供选择的数字只剩下n-2个，因此有n-2种选法。如是者直至第r个程序，这时可供选择的数字只剩下n-r+1个，因此只有n-r+1种选择。最后，运用「乘法原理」求得答案为n×(n-1)×(n-2)×...(n-r+1)。 我们可以把上式改写为更简的形式n! / (n-r)!，为甚麼可以这样改写？这要用到n!的定义和乘法的结合律。举一个简单的例子，由於 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5 × (4 × 3 × 2 × 1) = 5 × 4!。同样由
新高二数学上期末试卷带答案 一、选择题 1．将1000名学生的编号如下：0001，0002，0003，…，1000，若从中抽取50个学生，用系统抽样的方法从第一部分0001，0002，…，0020中抽取的号码为0015时，抽取的第40个号码为（） A．0795B．0780C．0810D．0815 2．把五个标号为1到5的小球全部放入标号为1到4的四个盒子中，并且不许有空盒，那么任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中的概率是（） A．3 20 B． 7 20 C． 3 16 D． 2 5 3．七巧板是古代中国劳动人民的发明，到了明代基本定型．清陆以湉在《冷庐杂识》中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．如图，在七巧板拼成的正方形内任取一点，则该点取自图中阴影部分的概率是（） A． 1 16 B． 1 8 C．3 8 D． 3 16 4．我国古代数学著作《九章算术》中，其意是：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问：米几何？右图是源于其思想的一个程序框图，若输出的2 S=（单位：升），则输入k的值为 A．6 B．7 C．8 D．9 5．执行如图所示的程序框图，若输入8 x=，则输出的y值为（）
A ．3 B ． 52 C ． 12 D ．34 - 6．执行如图的程序框图，如果输入72m =，输出的6n =，则输入的n 是（ ） A ．30 B ．20 C ．12 D ．8 7．某高校大一新生中,来自东部地区的学生有2400人、中部地区学生有1600人、西部地区学生有1000人.从中选取100人作样本调研饮食习惯,为保证调研结果相对准确,下列判断正确的有（ ） ①用分层抽样的方法分别抽取东部地区学生48人、中部地区学生32人、西部地区学生20人； ②用简单随机抽样的方法从新生中选出100人；
复习排列与组合 考试内容：两个原理；排列、排列数公式；组合、组合数公式。 考试要求：1）掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析和解决一些简单的问题。 2）理解排列、组合的意义。掌握排列数、组合数的计算公式，并能用它们解决一些简单的问题。 重点：两个原理尤其是乘法原理的应用。 难点：不重不漏。 知识要点及典型例题分析： 1．加法原理和乘法原理 两个原理是理解排列与组合的概念，推导排列数及组合数公式，分析和解决排列与组合的应用问题的基本原则和依据；完成一件事共有多少种不同方法，这是两个原理所要回答的共同问题。而两者的区别在于完成一件事可分几类办法和需要分几个步骤。 例1．书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书。 （1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？ （2）若从这些书中取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？ （3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法。 解：（1）由于从书架上任取一本书，就可以完成这件事，故应分类，由于有3种书，则分为3类然后依据加法原理，得到的取法种数是：3+5+6=14种。 （2）由于从书架上任取数学书、语文书、英语书各1本，需要分成3个步骤完成，据乘法原理，得到不同的取法种数是：3×5×6=90（种）。 （3）由于从书架上任取不同科目的书两本，可以有3类情况（数语各1本，数英各1本，语英各1本）而在每一类情况中又需分2个步骤才能完成。故应依据加法与乘法两个原理计算出共得到的不同的取法种数是：3×5+3×6+5×6=63（种）。 例2．已知两个集合A={1，2，3}，B={a,b,c,d，e}，从A到B建立映射，问可建立多少个不同的映射？ 分析：首先应明确本题中的“这件事是指映射，何谓映射？即对A中的每一个元素，在B中都有唯一的元素与之对应。” 因A中有3个元素，则必须将这3个元素都在B中找到家，这件事才完成。因此，应分3个步骤，当这三个步骤全进行完，一个映射就被建立了，据乘法原理，共可建立不同的映射数目为：5×5×5=125（种）。 2．排列数与组合数的两个公式 排列数与组合数公式各有两种形式，一是连乘积的形式，这种形式主要用于计算；二是阶乘的形式，这种形式主要用于化简与证明。 连乘积的形式阶乘形式 Anm=n(n-1)(n-2)……(n-m+1) = Cnm= 例3．求证：Anm+mAnm-1=An+1m 证明：左边= ∴等式成立。 评述：这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的性质：n!(n+1)=(n+1)!可使变形
国家公务员：排列组合之错位排序 排列组合的数量题目当中，有一些技巧我们常常会用到，今天我们就一起来看一下排列组合问题中常用的方法——错位排序。 我们来讨论一个问题：这是一个很经典的数学问题：有一个人写了n封信件，对应n个信封，然而粗心的秘书却把所有信件都装错了信封，那么一共有多少种装错的装法？ 这个问题可抽象为以下一个数学问题：已知一个长度为n的有序序列｛a1,a2,a3,…,an｝，打乱其顺序，使得每一个元素都不在原位置上，则一共可以产生多少种新的排列？首先考虑几种简单的情况： 原序列长度为1 序列中只有一个元素，位置也只有一个，这个元素不可能放在别的位置上，因此原序列长度为1时该为题的解是0。 原序列长度为2 设原序列为{a,b}，则全错位排列只需将两个元素对调位置{b,a}，同时也只有这一种可能，因此原序列长度为2时该问题的解是1。 原序列长度为3 设原序列为{a,b,c}，则其全错位排列有：{b,c,a},{c,a,b}，解是2。 原序列长度为4 设原序列为{a,b,c,d}，则其全错位排列有：{d,c,a,b},{b,d,a,c},{b,c,d,a},{d,a,b,c},{c,d,b,a},{c,a,d,b},{d,c,b,a},{c,d,a,b},{b,a,d,c}，解是9。 在往下数，次数会更多，那我们就可以用不完全归纳得出规律：f(n)=(n-1)f(n-2)+(n-1)*f(n-1)=(n-1)[f(n-2)+f(n-1)] 。 很明显，规律不太好记。但是我们不用记，因为在公务员考试当中，题目一般情况下比较简单，我们只需要记住D1=0；D2=1；D3=2；D4=9；D5=44。即可下面我们一起来看一道例题： 【例】（2015-山东-59）某单位从下属的5个科室各抽调了一名工作人员，交流到其他科室，如每个科室只能接收一个人的话，有多少种不同的人员安排方式？（）
排列组合公式及恒等式推导、证明（word 版） 说明：因公式编辑需特定的公式编辑插件，不管是word 还是pps 附带公式编辑经常是出错用不了。下载此word 版的，记得下载MathType 公式编辑器哦，否则乱码一堆。如果想偷懒可下截同名的截图版。另外，还有PPt 课件（包含了排列组合的精典解题方法和精典试题）供学友们下载。 一、排列数公式： !(1)(2)(1)()!m n n A n n n n m n m =---+= -L (1)(1)321n n A n n n =--创 L 推导：把n 个不同的元素任选m 个排次序或n 个全排序，按计数原理分步进行： 第一步，排第一位： 有 n 种选法； 第二步，排第二位： 有（n-1） 种选法； 第三步，排第三位： 有（n-2） 种选法； ┋ 第m 步，排第m 位： 有（n-m+1）种选法； ┋ 最后一步，排最后一位：有 1 种选法。 根据分步乘法原理，得出上述公式。 二、组合数公式： (1)(2)(1)! !!()!m m n n m m A n n n n m n C A m m n m ---+=== -L 1n n C =
推导：把n 个不同的元素任选m 个不排序，按计数原理分步进行： 第一步，取第一个： 有 n 种取法； 第二步，取第二个： 有（n-1） 种取法； 第三步，取第三个： 有（n-2） 种取法； ┋ 第m 步，取第m 个： 有（n-m+1）种取法； ┋ 最后一步，取最后一个：有 1 种取法。 上述各步的取法相乘是排序的方法数，由于选m 个，就有m!种排排法，选n 个就有n!种排法。故取m 个的取法应当除以m!,取n 个的取法应当除以n!。遂得出上述公式。 证明：利用排列和组合之间的关系以及排列的公式来推导证明。 将部分排列问题m n A 分解为两个步骤： 第一步，就是从n 个球中抽m 个出来，先不排序，此即定义的组合数问题m n C ； 第二步，则是把这m 个被抽出来的球全部排序，即全排列m m A 。 根据乘法原理，m m m n n m A C A = 即： (1)(2)(1)!!!()!m m n n m m A n n n n m n C A m m n m ---+=== -L
数列求和 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 )1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S n k n 5、 213)]1(21[+==∑=n n k S n k n [例1]，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n，n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 题1.等比数列 的前ｎ项和S ｎ＝2ｎ－１，则＝ 题2．若12+22+…+(n -1)2=an 3+bn 2+cn ，则a = ,b = ,c = 二、错位相减法求和 { a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：132)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………① [例4] 求数列??????,22,,26,24,2232n n 前n 项的和.
练习题1 已知 ，求数列｛a n ｝的前n 项和S n . 练习题2 的前n 项和为____ 三、反序相加法求和 这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +. [例6] 求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++的值 题1 已知函数 （1）证明：； （2）求 的值. 练习、求值： 四、分组法求和
排列组合公式 复习排列与组合 考试内容：两个原理；排列、排列数公式；组合、组合数公式。 考试要求：1）掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析和解决一些简单的问题。 2）理解排列、组合的意义。掌握排列数、组合数的计算公式，并能用它们解决一些简单的问题。 重点：两个原理尤其是乘法原理的应用。 难点：不重不漏。 知识要点及典型例题分析： 1．加法原理和乘法原理 两个原理是理解排列与组合的概念，推导排列数及组合数公式，分析和解决排列与组合的应用问题的基本原则和依据；完成一件事共有多少种不同方法，这是两个原理所要回答的共同问题。而两者的区别在于完成一件事可分几类办法和需要分几个步骤。 例1．书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书。 （1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？ （2）若从这些书中取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？ （3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法。 解：（1）由于从书架上任取一本书，就可以完成这件事，故应分类，由于有3种书，则分为3类然后依据加法原理，得到的取法种数是：3+5+6=14种。 （2）由于从书架上任取数学书、语文书、英语书各1本，需要分成3个步骤完成，据乘法原理，得到不同的取法种数是：3×5×6=90（种）。 （3）由于从书架上任取不同科目的书两本，可以有3类情况（数语各1本，数英各1本，语英各1本）而在每一类情况中又需分2个步骤才能完成。故应依据加法与乘法两个原理计算出共得到的不同的取法种数是：3×5+3×6+5×6=63（种）。 例2．已知两个集合A={1，2，3}，B={a,b,c,d，e}，从A到B建立映射，问可建立多少个不同的映射？ 分析：首先应明确本题中的“这件事是指映射，何谓映射？即对A中的每一个元素，在B中都有唯一的元素与之对应。” 因A中有3个元素，则必须将这3个元素都在B中找到家，这件事才完成。因此，应分3个步骤，当这三个步骤全进行完，一个映射就被建立了，据乘法原理，共可建立不同的映射数目为：5×5×5=125（种）。 2．排列数与组合数的两个公式 排列数与组合数公式各有两种形式，一是连乘积的形式，这种形式主要用于计算；二是阶乘的形式，这种形式主要用于化简与证明。 连乘积的形式阶乘形式 Anm=n(n-1)(n-2)……(n-m+1) = Cnm= 例3．求证：Anm+mAnm-1=An+1m 证明：左边= ∴等式成立。 评述：这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的性质：n!(n+1)=(n+1)!可使变
错位重排问题专项 错位重排 1-6个元素的错位重排数分别为0，1，2，9，44，265递推公式：Dm=（m-1）*[D（m-1）+D（m-2）]； 错位重排模型：把编号为1-m的小球分别放入编号为1-n的箱子错位重排（即1号球不在1号箱子、2号球不在2号箱子…m号球不在m号箱子），且每个箱子一个球，有多少种不同情况？ 楚香凝证明：假设总情况数为D（m）种，如果让1号球先选，有（m-1）种选择；假设1号球选的2号箱子，接下来让2号球选箱子，进行分类讨论： ①如果2号球选的1号箱子，相当于剩下的（m-2）个球进行错位重排，有D（m-2）种； ②如果2号球选的不是1号箱子，则题目可转化为把编号为2→m的小球分别放入编号为 1、3→m的箱子错位重排（即2号球不在1号箱子、3号球不在3号箱子…m号球不在m号箱子），相当于m-1个球错位重排，有D（m-1）种； 所以可得D（m）=（m-1）*[D（m-1）+D（m-2）]，得证； 例1：相邻的4个车位中停放了4辆不同的车，现将所有车开出后再重新停入这4个车位，要求所有车都不得停在原来的车位中，则一共有多少种不同的停放方式？【北京2014】 A.9 B.12 C.14 D.16 楚香凝解析： 解法一：四种元素错位重排有9种，选A 解法二：ABCD四辆车分别停放在一二三四号位置，A先选有三种情况，假设A选了二号，那么B再选、有三种选择，剩下C和D都只有一种选择，共3*3=9种，选A 例2：相邻的4个车位中停放了4辆不同的车，现将所有车开出后再重新停入这4个车位，要求有三辆车不能停在原来的车位中，则一共有多少种不同的停放方式？ A.2 B.6 C.8 D.9 楚香凝解析：先选出停的正确的那辆车C（4 1）=4种，剩下三辆车错位重排有2种，共4*2=8种，选C 例3：相邻的4个车位中停放了4辆不同的车，现将所有车开出后再重新停入这4个车位，要求有两辆车不能停在原来的车位中，则一共有多少种不同的停放方式？ A.2 B.6 C.8 D.9 楚香凝解析：先选出停的正确的两辆车C（4 2）=6种，剩下两辆车错位重排有1种，共6*1=6种，选B
高中数学公式口诀大全 一、《集合与函数》 内容子交并补集，还有幂指对函数。性质奇偶与增减，观察图象最明显。复合函数式出现，性质乘法法则辨，若要详细证明它，还须将那定义抓。指数与对数函数，两者互为反函数。底数非1的正数，1两边增减变故。函数定义域好求。分母不能等于0，偶次方根须非负，零和负数无对数；正切函数角不直，余切函数角不平；其余函数实数集，多种情况求交集。两个互为反函数，单调性质都相同；图象互为轴对称，Y＝X是对称轴；求解非常有规律，反解换元定义域；反函数的定义域，原来函数的值域。幂函数性质易记，指数化既约分数；函数性质看指数，奇母奇子奇函数，奇母偶子偶函数，偶母非奇偶函数；图象第一象限内，函数增减看正负。 二、《三角函数》 三角函数是函数，象限符号坐标注。函数图象单位圆，周期奇偶增减现。同角关系很重要，化简证明都需要。正六边形顶点处，从上到下弦切割；中心记上数字1，连结顶点三角形；向下三角平方和，倒数关系是对角，顶点任庖缓扔诤竺媪礁Ｓ盏脊骄褪呛茫夯蟠蠡。?nbsp; 变成税角好查表，化简证明少不了。二的一半整数倍，奇数化余偶不变，将其后者视锐角，符号原来函数判。两角和的余弦值，化为单角好求值，余弦积减正弦积，换角变形众公式。和差化积须同名，互余角度变名称。计算证明角先行，注意结构函数名，保持基本量不变，繁难向着简易变。逆反原则作指导，升幂降次和差积。条件等式的证明，方程思想指路明。万能公式不一般，化为有理式居先。公式顺用和逆用，变形运用加巧用；1加余弦想余弦，1 减余弦想正弦，幂升一次角减半，升幂降次它为范；三角函数反函数，实质就是求角度，先求三角函数值，再判角取值范围；利用直角三角形，形象直观好换名，简单三角的方程，化为最简求解集； 三、《不等式》 解不等式的途径，利用函数的性质。对指无理不等式，化为有理不等式。高次向着低次代，步步转化要等价。数形之间互转化，帮助解答作用大。证不等式的方法，实数性质威力大。求差与0比大小，作商和1争高下。直接困难分析好，思路清晰综合法。非负常用基本式，正面难则反证法。还有重要不等式，以及数学归纳法。图形函数来帮助，画图建模构造法。 四、《数列》 等差等比两数列，通项公式N项和。两个有限求极限，四则运算顺序换。数列问题多变幻，方程化归整体算。数列求和比较难，错位相消巧转换，取长补短高斯法，裂项求和公式算。归纳思想非常好，编个程序好思考：一算二看三联想，猜测证明不可少。还有数学归纳法，证明步骤程序化：首先验证再假定，从 K向着K加1，推论过程须详尽，归纳原理来肯定。 五、《复数》 虚数单位i一出，数集扩大到复数。一个复数一对数，横纵坐标实虚部。对应复平面上点，原点与它连成箭。箭杆与X轴正向，所成便是辐角度。箭杆的长即是模，常将数形来结合。代数几何三角式，相互转化试一试。代数运算的实质，有i多项式运算。i的正整数次慕，四个数值周期现。一些重要的结论，熟记巧用得结果。虚实互化本领大，复数相等来转化。利用方程思想解，注意整体代换术。几何运算图上看，加法平行四边形，减法三角法则判；乘法除法的运算，逆向顺向做旋转，伸缩全年模长短。
排列组合公式大全 （1）掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析和解决一些简单的问题。 （2）理解排列、组合的意义。掌握排列数、组合数的计算公式，并能用它们解决一些简单的问题。 知识要点及典型例题分析： 1．加法原理和乘法原理两个原理是理解排列与组合的概念，推导排列数及组合数公式，分析和解决排列与组合的应用问题的基本原则和依据；完成一件事共有多少种不同方法，这是两个原理所要回答的共同问题。而两者的区别在于完成一件事可分几类办法和需要分几个步骤。 例1 ．书架上放有3 本不同的数学书，5 本不同的语文书，6 本不同的英语书。 （1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？ （2）若从这些书中取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？ （3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法。解：（1）由于从书架上任取一本书，就可以完成这件事，故应分类，由于有3 种书，则分为3 类然后依据加法原理，得到的取法种数是：3+5+6=14 种。 （2）由于从书架上任取数学书、语文书、英语书各 1 本，需要分成3 个步 骤完成，据乘法原理，得到不同的取法种数是： 3 X 5 X 6=90 （种）。 （3）由于从书架上任取不同科目的书两本，可以有3类情况（数语各1本，数英各1 本，语英各1 本）而在每一类情况中又需分2 个步骤才能完成。故应依据加法与乘法两个原理计算出共得到的不同的取法种数是：3X 5+3X 6+5X 6=63（种）。 例2 ?已知两个集合A={1 , 2, 3}, B={a,b,c,d , e}，从A到B建立映射, 问可建立多少个不同的映射？分析：首先应明确本题中的“这件事是指映射，何谓映射？即对A 中的每一个元素，在B 中都有唯一的元素与之对应。” 因A 中有3 个元素，则必须将这3 个元素都在B 中找到家，这件事才完成。因此，应分3 个步骤，当这三个步骤全进行完，一个映射就被建立了，据乘法原理，共可建立不同的映射数目为：5 X 5 X 5=125 (种)。
排列组合公式 排列定义??? 从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，按次序排列，称为从n个中取r个的无重排列。排列的全体组成的集合用 P(n,r)表示。排列的个数用P(n,r)表示。当r=n时称为全排列。一般不说可重即无重。可重排列的相应记号为 P(n,r),P(n,r)。 组合定义从n个不同元素中取r个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序，称为从n个中取r个的无重组合。 组合的全体组成的集合用C(n,r)表示，组合的个数用C(n,r)表示，对应于可重组合 有记号C(n,r),C(n,r)。 一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于 (1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力； (2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解； (3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大； (4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。 二、两个基本计数原理及应用 (1)加法原理和分类计数法 1．加法原理 2．加法原理的集合形式
3．分类的要求 每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏) (2)乘法原理和分步计数法 1．乘法原理 2．合理分步的要求 任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同 例1：用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的六位数 集合A为数字不重复的九位数的集合，S（A）=9！ 集合B为数字不重复的六位数的集合。 把集合A分为子集的集合，规则为前6位数相同的元素构成一个子集。显然各子集没有共同元素。每个子集元素的个数，等于剩余的3个数的全排列，即3！ 这时集合B的元素与A的子集存在一一对应关系，则 S（A）=S（B）*3！ S（B）=9！/3！ 这就是我们用以前的方法求出的P（9，6） 例2：从编号为1-9的队员中选6人组成一个队，问有多少种选法？ 设不同选法构成的集合为C，集合B为数字不重复的六位数的集合。把集合B分为子集的
全错位排列与多个特殊元素特殊位置 （C ．T ） T 2=1，T 3=2，T n = (n -1) ( T n -1+T n -2) ，（n ≥3）( T n 为全错位排列数) 错位排列问题 题一 4名同学各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿出一张别人写的贺卡，则四张贺卡的不同分配方式共有 种. 题二 将编号为1，2，3，4的四个小球分别放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子放一个小球，且小球的编号与盒子的编号不能相同，则共有 种不同的放法. 这两个问题的本质都是每个元素都不在自己编号的位置上的排列问题，我们把这种限制条件的排列问题叫做全错位排列问题（所有元素均为特殊元素）. 题三 五位同学坐在一排，现让五位同学重新坐，至多有两位同学坐自己原来的位置，则不 同的坐法有 种. 题三可以分类解决：第一类，所有同学都不坐自己原来的位置； 第二类，恰有一位同学坐自己原来的位置； 第三类，恰有两位同学坐自己原来的位置. 对于第一类，就是上面讲的全错位排列问题； 对于第二、第三类有部分元素还占有原来的位置，其余元素可以归结为全错位排列问题， 我们称这种排列问题为部分错位排列问题. (多个特殊元素，多个特殊位置) 部分错位排列(多个特殊元素，多个特殊位置) 例1：5个人站成一排，其中甲不站第一位，共有多少种不同的站法。 解一：（特殊元素特殊位置优先处理）第一步：安排甲这特殊元素，有14C 种； 第二步：安排其他人，其余的四个人（元素），不受限制，故有44A 种站法。由分步乘法原理 得14C 44A =96种站法。 解二：（排除法）先考虑5个人的全排列，有55A 种不同的排法，然后除去甲排第一（有44A 种） 这样得到共有：55A －44A ＝96种。 例2：5个人站成一排，其中甲不站第一位，乙不站第二位，共有多少种不同的站法。 解一：（特殊元素特殊位置优先处理） 分析：有两个特殊元素，分类讨论，减少限制条件。 第一类：甲站在第二位，则其他的四人（含乙），不受限制，有44A 种站法。 第二类：第一步安排特殊元素甲，甲不站在第二位，则甲也不能站在第一位，故甲的站法有 13C 种；第二步安排乙，乙不站第二位，也不能选择甲以经站的一个位置，故乙的站法有13C 种； 第三步安排其他人，其余的三个人（元素），不受限制，故有33A 种站法。由分步乘法原理得 13C 13C 33A 种站法。 由分类加法原理得44A +13C 13C 33A =78种。
高中数学公式大全及巧记口诀 离2012年高考只剩63天了，因为高中数学在高考中占有较大的比分，很多同学在数学上失分很多，其主要原因是同学们对数学基础知识记忆和掌握不够到位。因此我们乐恩特教育网整理了高中数学公式大全及巧计口诀，以便同学们轻松掌握数学公式，在高考数学复习上达到事半功倍的效果！以下就是整理的高中数学公式大全及巧记口诀： 一、《集合与函数》 内容子交并补集，还有幂指对函数。性质奇偶与增减，观察图象最明显。 复合函数式出现，性质乘法法则辨，若要详细证明它，还须将那定义抓。 指数与对数函数，两者互为反函数。底数非１的正数，１两边增减变故。 函数定义域好求。分母不能等于０，偶次方根须非负，零和负数无对数； 正切函数角不直，余切函数角不平；其余函数实数集，多种情况求交集。 两个互为反函数，单调性质都相同；图象互为轴对称，Ｙ＝Ｘ是对称轴； 求解非常有规律，反解换元定义域；反函数的定义域，原来函数的值域。 幂函数性质易记，指数化既约分数；函数性质看指数，奇母奇子奇函数， 奇母偶子偶函数，偶母非奇偶函数；图象第一象限内，函数增减看正负。 二、《三角函数》 三角函数是函数，象限符号坐标注。函数图象单位圆，周期奇偶增减现。 同角关系很重要，化简证明都需要。正六边形顶点处，从上到下弦切割； 中心记上数字１，连结顶点三角形；向下三角平方和，倒数关系是对角， 顶点任意一函数，等于后面两根除。诱导公式就是好，负化正后大化小， 变成税角好查表，化简证明少不了。二的一半整数倍，奇数化余偶不变， 将其后者视锐角，符号原来函数判。两角和的余弦值，化为单角好求值， 余弦积减正弦积，换角变形众公式。和差化积须同名，互余角度变名称。 计算证明角先行，注意结构函数名，保持基本量不变，繁难向着简易变。 逆反原则作指导，升幂降次和差积。条件等式的证明，方程思想指路明。
1公吨=1t=1000kg 密度单位g/cm3 Proe密度单位公吨/mm3 1公吨/mm3=1000kg/(cm3×10-3)=109g/cm3 1g/cm3=10-9公吨/mm3 排列和组合基本公式的推导，定义 在本节中，笔者将介绍「排列」(Permutation)和「组合」(Combination)的基本概念和两个基本公式。请注意「点算组合学」中的很多概念都可以从不同角度解释为日常生活中的不同事例，因此笔者亦会引导读者从不同角度理解「排列」和「组合」的意义。 先从「排列」开始。「排列」的最直观意义，就是给定n个「可区别」(Distinguishable，亦作「相异」)的物件，现把这n个物件的全部或部分排次序，「排列」问题就是求不同排列方式的总数。为了区别这些物件，我们可不妨给每个物件一个编号：1、2 ... n，因此「排列」问题实际等同於求把数字1、2 ... n的全部或部分排次序的方式总数。「排列」问题可分为「全排列」和「部分排列」两种，当我们把给定的n个数字1 、2 ... n全部排次序，求有多少种排法时，就是「全排列」问题。我们可以把排序过程分解为n 个程序：第一个程序决定排於第一位的数字，第二个程序决定排於第二位的数字...第n个程序决定排於第n位的数字。在进行第一个程序时，有n个数字可供选择，因此有n种选法。在进行第二个程序时，由於在前一程序已选定了一个数字，现在可供选择的数字只剩下n-1个，因此有n-1种选法。在进行第三个程序时，由於在前一程序已选定了一个数字，现在可供选择的数字只剩下 n-2个，因此有n-2种选法。如是者直至第n个程序，这时可供选择的数字只剩下1个，因此只有1种选择。由於以上各程序是「各自独立」的，我们可以运用「乘法原理」求得答案为n×(n-1)×(n-2)×...2×1。在数学上把上式简记为n!，读作「n阶乘」(n-factorial)。 例题1：把1至3这3个数字进行「全排列」，共有多少种排法？试列出所有排法。 答1：共有3! = 3 × 2 × 1 = 6种排法，这6种排法为1-2-3；1-3-2；2-1-3；2-3-1；3-1-2；3-2-1。 当然，给定n个数字，我们不一定非要把全部n个数字排序不可，我们也可只抽取部分数字(例如r个，r < n)来排序，并求有多少种排法，这样的问题就是「部分排列」问题。我们可以把「部分排列」问题理解成抽东西的问题。设在某袋中有n个球，每个球都标了编号1、2 ... n。现从袋中抽r个球出来(抽出来之后不得再放回袋中)，并把球上的数字按被抽出来的顺序记下，这r个数字的序列实际便等同於一个排序。「部分排列」问题的解答跟「全排列」问题非常相似，只不过现在我们是把排序过程分解为r个而非n个步骤。进行第一
听说“9”和“44”与错位排列更配哦-全错位排列问题亲，如果我说记住两个数字就能搞定数量关系中的一类难题，你信吗? 先不用忙着回答! 或许你将信将疑，但等你看完此文，你一定能找到足够的理由让自己相信。 一、问题导入 【引例1】唐僧、孙悟空、猪八戒、沙和尚4人在某公司不同岗位任职，现在需要调换岗位，要求每个人都不能在自己原来的岗位，则共有种不同的安排方法。 【引例2】有4名同学各写了一张贺卡，先全部收集起来，然后每人从中拿出一张贺卡，要求每个人都不拿自己的贺卡，则四张贺卡的不同分配方式共有种。 【引例3】将编号为1，2，3，4的四个小球分别放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子放一个小球，且小球的编号与盒子的编号不能相同(即1不放1，2不放2，3不放3，4不放4，也就是说4个全部放错)，则共有种不同的放法。 不难发现，以上三个引例都是同一类问题，答案是多少呢?下面用枚举法给大家答案：假设原来顺序：A、B、C、D 枚举的时候注意按照一定规律进行，如果看成1、2、3、4号位置，那么第一步A可以放2、3、4号位置中的任意一个，第二步把B的位置确定，第三步确定C和D的位置：第1种错位排列：B、A、D、C(A在2位，B在1位，C、D位置就唯一确定了); 第2种错位排列：D、A、B、C(A在2位，B在3位，C、D位置就唯一确定了); 第3种错位排列：C、A、D、B(A在2位，B在4位，C、D位置就唯一确定了); 第4种错位排列：B、D、A、C(A在3位，B在1位，C、D位置就唯一确定了); 第5种错位排列：C、D、A、B(A在3位，B在4位，C、D位置可以是1、2); 第6种错位排列：D、C、A、B(A在3位，B在4位，C、D位置也可以是2、1); 第7种错位排列：B、C、D、A(A在4位，B在1位，C、D位置就唯一确定了); 第8种错位排列：C、D、B、A(A在4位，B在3位，C、D位置可以是1、2); 第9种错位排列：D、C、B、A(A在4位，B在3位，C、D位置也可以是2、1)。 可见，4个元素的错位排列一共有9种。即以上三道引例的答案都是9种。 那么，问题来了：图图老湿，我不想一个一个的枚举，眼睛都看花了，肿么办?而且如果下次不是4个元素了呢?答案又肿么办? 请耐心看下文。提前声明一下：接下来这一段需要一定的数学知识，如果觉得自己数学还不错的话可以详细逐字阅读;如果说NO，也没关系嗒，只需你记住最后结论即可哦! 二、理论推导
排列有两种定义，但计算方法只有一种，凡是符合这两种定义的都用这种方法计算。定义的前提条件是m≦n，m与n均为自然数。①从n个不同元素中，任取m个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。②从n个不同元素中，取出m个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数。 ③用具体的例子来理解上面的定义：4种颜色按不同颜色，进行排列，有多少种排列方法，如果是6种颜色呢。从6种颜色中取出4种进行排列呢。 解：A(4,4)=4x(4-1)x(4-2)x(4-3)x(4-4+1)=4x1x2x3x1=24。 A(6,6)=6x5x4x3x2x1=720。 A(6,4)=6!/(6-4)!=(6x5x4x3x2x1)/2=360。 [计算公式] 排列用符号A(n,m)表示，m≦n。 计算公式是：A(n,m)＝n(n-1)(n-2)……(n-m+1)＝n!/(n-m)! 此外规定0!=1，n!表示n(n-1)(n-2) (1) 例如：6!=6x5x4x3x2x1=720，4!=4x3x2x1=24。 组合的定义及其计算公式 1 组合的定义有两种。定义的前提条件是m≦n。 ①从n个不同元素中，任取m个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。 ②从n个不同元素中，取出m个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。 ③用例子来理解定义：从4种颜色中，取出2种颜色，能形成多少种组合。 解：C(4,2)=A(4,2)/2!={[4x(4-1)x(4-2)x(4-3)x(4-4+1)]/[2x(2-1)x(2-2+1)]}/[2x(2-1)x(2-2+1)]=[(4x3x2x1)/2]/2 =6。 [计算公式] 组合用符号C(n,m)表示，m≦n。
句子排序方法及习题附答案 怎样排列顺序错乱的句子 把排列错乱的句子整理成一段通顺连贯的话，能训练对句子的理解能力、有条理表达能力和构段能力。这样的练习一般可按五步进行。 第一步，仔细阅读每句话或每组句子，理解它们的主要内容；第二步，综合各句的意思，想想这些话主要说的是什么内容；第三步，想想全段的内容按什么顺序排列好，即找出排列顺序的依据，如，是按事情发展顺序，还是时间顺序，或方位，还是“总分”等；第四步，按确定的排列依据排列顺序；第五步，按排好的顺序仔细读两遍，看排得对不对，如发现有的句子排得位置不对，就进行调整，直到这段话排得通顺连贯为止。把错乱的句子排列好，这是小学阶段语文练习中的一个重要形式，必须好好掌握。学会排列句子，不仅能提高我们的思维能力，还能提高我们的写作能力。那么，如何学会排列好句子呢？我们可以按下列方法进行。 一、按事情发展的顺序排列 有些错乱的句子，我们在排列时，应仔细分析句与句之间的联系。常见的错乱句子，往往叙述了一件完整的事，或者活动的具体过程。那么，我们就可以按事情发展的顺序来排列。 二、按时间先后顺序排列 对一些错乱的句子，我们可以找出表示时间概念的词语，如，早晨、上午、中午、下午等词，然后按时间先后顺序进行排列句子。 三、按先总述后分述的顺序排列 根据这段话的特点，找出这句话是个中心句，其他句子都是围绕着这句话来说的。显而易见，我们可按先总后分的顺序来排列句子。 四、按空间推移的顺序排列 所谓空间推移，就是由地点的转移，表达出不同的内容。排列时，要十分注意，不要与其他的方法相混淆。 对练习排列句子有帮助 把错乱的句子排列好，这是小学阶段语文练习中的一个重要形式，必须好好掌握。学会排列句子，不仅能提高我们的思维能力，还能提高我们的写作能力。那么，如何学会排列好句子呢？我们可以按下列方法进行。 一、按事情发展的顺序排列 有些错乱的句子，我们在排列时，应仔细分析句与句之间的联系。常见的错乱句子，往往
排列组合 1. 排列组合公式 quad排列与组合二者的区别，排列计较次序而组合不计序。 quad从n从n从n个不同物件随机取rrr个物件，记排列数和组合数分别为AnrA_n^rAnr?和CnrC_n^rCnr?，则： Anr=n(n?1)?(n?r?1)=n!(n?r)!Cnr=Anrr!=n!r!(n?r)! begin{aligned} amp; A_n^r=n(n-1)cdots(n-r-1)=frac{n!}{(n-r)!} amp; C_n^r=frac{A_n^r}{r!}=frac{n!}{r!(n-r)!} end{aligned} ?Anr?=n(n?1)?(n?r?1)=(n?r)!n!?Cnr?=r!Anr?=r!(n?r)!n!? quad注:Anr(n≥r≥1)A_n^r(ngeq r geq 1)Anr?(n≥r≥1)，Cnr(n≥r≥0)C_n^r(ngeq r geq 0)Cnr?(n≥r≥0)，0!=10!=10!=1，Cn0=1C_n^0=1Cn0?=1 2. 二项式及公式推广 quad二项式展开公式为： (a+b)n=∑i=0nCniaibn?i(a+b)^n=sum_{i=0}^n C_n^ia^ib^{n-i}(a+b)n=i=0∑n?Cni?aibn?i quad系数CnrC_n^rCnr?常称为二项式系数。由(a+b)n=(a+b)?(a+b)?n(a+b)^n=underbrace{(a+b)cdots(a+b)}_{n} (a+b)n=n(a+b)?(a+b)?，若独立nnn次实验从{a，b}{a，b}{a，b}
中取数，则有CniC_n^iCni?种情况取到iii个aaa、n?in-in?i个bbb，故aibn?ia^ib^{n-i}aibn?i项的系数为CniC_n^iCni?。 quad(1) ∑i=0nCni=2nsum_{i=0}^n C_n^i=2^n∑i=0n?Cni?=2n quadquad 当a=b=1a=b=1a=b=1时，(a+b)n=2n=∑i=0nCni(a+b)^n=2^n=sum_{i=0}^n C_n^i(a+b)n=2n=∑i=0n?Cni?； quad(2) Cm+nk=∑i=0kCmiCnk?iC_{m+n}^k=sum_{i=0}^kC_m^iC_n^{k-i}Cm+n k?=∑i=0k?Cmi?Cnk?i? quadquad 因为(1+x)m+n=(1+x)m(1+x)n(1+x)^{m+n}=(1+x)^m(1+x)^n(1+x)m+n=(1+ x)m(1+x)n，即∑j=0m+nCm+njxj=(∑j=0mCmjxj)?(∑j=0nCnjxj)sum_{j=0}^{m+n}C _{m+n}^jx_j=(sum_{j=0}^mC_m^jx_j)cdot(sum_{j=0}^nC_n^jx_j) ∑j=0m+n?Cm+nj?xj?=(∑j=0m?Cmj?xj?)?(∑j=0n?Cnj?xj?)，由等式两边同幂项系数相同知Cm+nk=∑i=0kCmiCnk?iC_{m+n}^k=sum_{i=0}^kC_m^iC_n^{k-i}Cm+n k?=∑i=0k?Cmi?Cnk?i?。 3. 应用举例 quad(1) 甲乙比赛胜利概率分别为p、1?pp 、1-pp、1?p，n场比赛中甲赢m场的概率:：Cnmpm(1?p)n?mC_n^mp^m(1-p)^{n-m}Cnm?pm(1?p)n?m；