一阶线性微分方程题目20
一阶线性微分方程（ODE）是一种基于微分方程的方程形式，其中只有一项未知函数及其关于一个变量的一阶导数，这个变量通常是时间。一阶线性微分方程题目20是一个典型的一阶线性微分方程，可以利用积分的方法来求解。
一阶线性微分方程题目20的具体内容如下：
求解：y+ 4y = 8e^-2t + cos 4t, y(0)=1
解：
先求解其特解：
微分方程有其恒定系数，即4，因此有其特解为：
y=Ae^-2t+Bcos4t+Csin4t
其中A，B，C为常数，由解的初值可确定，即：
y(0)=1=A+B+C
将此代入右端得：
A+B+C=1
且A，B，C都为实数，因此有：A=1-B-C，可以将上式代入特解中得：
y=（1-B-C）e^-2t+Bcos4t+Csin4t
求解通解：
令特解的形式与方程的左端的形式相同，即：
y+4y=（1-B-C）e^-2t+Bcos4t+Csin4t
相减，得：
8e^-2t+cos 4t=0
可得：e^-2t=1/8cos 4t
代入特解，则：
y=(1-B-C)e^-2t+Bcos4t+Csin4t=1/8(1-B-C)cos4t+Bcos4t+Csin4t 因此，可以求得常数B，C的值：
B=-7/8，C=7/8
再将B，C代入A=1-B-C，则得A=1/8
因此，通解为：
y=1/8e^-2t-7/8cos4t+7/8sin4t
综上所述，一阶线性微分方程题目20的解为
y=1/8e^-2t-7/8cos4t+7/8sin4t，其中A=1/8，B=-7/8，C=7/8。
一阶线性微分方程是应用于数学建模的常用方法，研究一阶线性微分方程的方法主要有求特解和求通解的方法。求特解的方法需要了解方程的系数以及初值条件，根据特殊的关系来定义特解的形式，再根据初值条件来求出未知系数，最后得出特解。求通解的方法是在特解的基础上根据左边和特解的形式来求出系数的对称关系，再求解出未知系数，最后得出的通解。一阶线性微分方程的求解有着巨大的理论和应用价值，是数学学习和科学研究的重要分支。
第十九讲:一阶微分方程、可降阶微分方程的练习题答案 一 、单项选择题（每小题4分，共24分） 1．微分方程2()y x y dx x dy +=是 （B ） A ．一阶线性方程 B ．一阶齐次方程 C ．可分离变量方程 D ．二阶微分方程 解:变形 2 22dy xy y y y dx x x x +⎛⎫ ==+ ⎪⎝⎭ ∴原方程是一阶齐次方程,选B 2．下列微分方程中，是可分离变量的方程是 （C ） A ．'x y y e x += B ．'sin y y x -= C ．22'1y y x y x =+++ D ．'2x y xy y e += 解:()()2 211dy y x x dx =+++ ()()211x y =++∴221y y x y x '=+++ 是可分离变量方程,选C 3．2 cos dy y dx x =的通解是 （B ） A ．1 sec tan y y c x ⋅=+ B ．1 tan y c x =-+ C ．1 ln cos y c x =-+ D ．1 1 cos c y x =+ 解：221 cos dy dx y x =⎰⎰ 1 tan y c x ∴=-+ 选B 4．2'2x y xy e -+=满足(0)0y =的特解是（A ） A ．2x y xe -= B ．2x y xe = C ．2x y e -= D ．2x y e = 解：2 22xdx xdx x y e e e dx c --⎡⎤ ⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰
222x x x e e e dx c --⎡⎤=+⎣⎦ ⎰ 22x x ce xe --=+ 由 ()00y =得0c =, 故2x y xe -= 选A 5．2'3550x x y +-=满足01x y ==的特解 是 （ B ） A ．321152 y x x = + B ．3211152 y x x =++ C ．3115 y x =+ D ．2112x + 解：321552y x x c ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 由()01y =,知1c = 故特解为2 31152 x y x =++ 选B 6．可降阶微分方程''' xy y =的通解是 （D ） A ．2 y x c =+ B ．2 2 x y c =+ C ．12y c x c =+ D ．212y c x c =+ 解：(1)方程不显含y :令'y p =, ''dp y dx =,dp x p dx =. 1dp dx p x =⎰⎰33,ln ln ,,p c x p c x == 2 212122 x y c c c x c =⋅+=+ 选D 二、 填空题 7．2 ' 2y y y x x =-的通解是
一阶微分方程
第二节 一阶微分方程 一阶微分方程的一般形式为 F (x ,y ,y ′)＝0 或 y ′=f (x ,y )， 其中F (x ,y ,y ′)是x ，y ，y ′的已知函数，f (x ,y )是x ，y 的已知函数．这一节只介绍几种较简单的一阶微分方程的解法．它们通过求积分就可以找到未知函数与自变量的函数关系，我们称这种求解微分方程的方法为初等积分法． 一、 可分离变量的方程 形如 x y d d =f (x )g (y ) (10-2-1) 或 M 1(x )M 2(y )d y =N 1(x )N 2(y )d x (10-2-2) 的一阶微分方程称为可分离变量方程．其中f (x )，g (y )及M 1(x )，M 2(y )，N 1(x )及N 2(y )均为已知连续函数． 方程(10-2-1)的求解步骤如下： 先将方程(10-2-1)分离变量得
将 2 1y -作为分母时丢失了两个特解．故所求 方程的通解为： arcsin y ＝x +C （C 为任意常数）， 另外还有两个特解y ＝±1． 例2 已知某商品的需求量x 对价格P 的弹性e ＝-3P 3，而市场对该商品的最大需求量为1(万件)，求需求函数． 解 需求量x 对价格P 的弹性e ＝p x x P d d ． 依题意，得 p x x P d d ＝-3P 3， 于是 x x d ＝-3P 2d P ， 积分得 ln x =-P 3+C 1， 即 x =Ｃ3 P -e (C =1 C -e )． 由题设知P ＝0时，x =1,从而C =1．因此所求的需求函数为 x =3 P -e ． 例3 根据经验知道，某产品的净利润y 与
一、 选择题: 1、 一阶线性非齐次微分方程)()(x Q y x P y +=' 的通解是( ). (A)?+??=-])([)()(C dx e x Q e y dx x P dx x P ； (B)???=-dx e x Q e y dx x P dx x P )()()(； (C)?+??=-])([)()(C dx e x Q e y dx x P dx x P ； (D)? =-dx x P ce y )(. 2、方程y y x y x ++='22是( ). (A)齐次方程； (B)一阶线性方程； (C)伯努利方程； (D)可分离变量方程 . 3、2)1(,022==+y x dx y dy 的特解是( ). (A)222=+y x ； (B)933=+y x ； (C)133=+y x ； (D)13 333=+y x . 4、方程 x y sin ='''的通解是( ). (A) 322121cos C x C x C x y +++=； (B)32212 1sin C x C x C x y +++=； (C)1cos C x y +=； (D)x y 2sin 2=. 5、方程0='+ '''y y 的通解是( ). (A)1cos sin C x x y +-=； (B)321cos sin C x C x C y +-=； (C)1cos sin C x x y ++=； (D)1sin C x y -=.
6、若1y 和2y 是二阶齐次线性方程0)()(=+'+''y x Q y x P y 的两个特解,则 2211y C y C y +=(其中21,C C 为任意常数)( ) (A)是该方程的通解； (B)是该方程的解； (C)是该方程的特解； (D)不一定是该方程的解. 7、求方程0)(2='-'y y y 的通解时,可令( ). (A)P y P y '=''='则,； (B) dy dP P y P y =''='则,； (C)dx dP P y P y =''='则,； (D)dy dP P y P y '=''='则,. 8、已知方程02=-'+''y y x y x 的一个特解为x y =,于是方程的通解为( ). (A)221x C x C y +=； (B)x C x C y 121+=； (C)x e C x C y 21+=； (D)x e C x C y -+=21. 9、已知方程0)()(=+'+''y x Q y x P y 的一个特1y 解为, 则另一个与它线性无关的特解为( ). (A) ??=- dx e y y y dx x P )(21 121； (B) ??=dx e y y y dx x P )(21 121 ； (C) ??=-dx e y y y dx x P )(1 121； (D) ??=dx e y y y dx x P )(1 121. 10、方程x e y y y x 2cos 23=+'-''的一个特解形式是 ( ). (A) x e A y x 2cos 1=； (B) x xe B x xe A y x x 2sin 2cos 11+=； (C) x e B x e A y x x 2sin 2cos 11+=； (D) x e x B x e x A y x x 2sin 2cos 2121+=.
第十章 微分方程习题 一.填空题：（33） 1-1-40、 微分方程4233''4''')'(x y x y y =++的阶数是 . 1-2-41、 微分方程 0'2'2=+-xy yy xy 的阶数是 . 1-3-42、 微分方程0d d d d 2 2=++s x s x s 的阶数是 . 1-4-43、 x y y y y sin 5''10'''4)() 4(=-+-的阶数是 . 1-5-44、微分方程xy x y 2d d =满足条件1|'0==x y 的特解是 . 1-6-45、微分方程0 d d =+y x y 的通解是 . 1-7-46、方程 y e y x ='的通解是 . 1-8-47、 方程y y y ln '=的通解是 . 1-9-48、方程04'4''=+-y y y 的通解是 . 1-10-49、方程04'4''=+-y y y 的通解是 . 1-11-50、方程013'4''=+-y y y 的通解是 . 1-12-51、已知特征方程的两个特征根,3,221-==r r 则二阶常系数齐次微分方程 为 1-13-52、微分方程x e y =''的通解为 . 1-14-53、微分方程 x e y x sin ''2-=的通解为 . 1-15-54、若0d ),(dx ),(=+y y x Q y x P 是全微分方程, 则Q P ,应满足 . 1-16-55、与积分方程 x y x f y x x d ),(0?=等价的微分方程初值问题
是 . 1-17-56、方程 0d )2(d )(2 2=-++y xy x x y xy 化为齐次方程是 . 1-18-57、通解为 21221,(C C e C e C y x x +=为任意常数)的微分方程为 . 1-19-58、方程y x e y -=2'满足条件00==x y 的特解是 . 1-19-59、方程0dy 1dx 2 =-+x xy 化为可分离变量方程是 1-20-60、方程xy y 2'=的通解是 1-21-61、 方程 x y xy x y x y d d d d 2 2=+化为齐次方程是 1-22-62、 若t y ωcos =是微分方程09''=+y y 的解, 则=ω . 1-23-63、若kt Ce Q =满足Q dt dQ 03.0-=, 则=k . 1-24-64、y y 2'=的解是 1-25-65、某城市现有人口50(万), 设人口的增长率与当时的人口数x (万)和 x -1000的积成正比, 则该城市人口)(t x 所满足的微分方程为 1-26-66、 圆222r y x =+满足的微分方程是 1-27-67、 a x ae y =满足的微分方程是 1-28-68、一阶线性微分方程)()(d dy x Q y x P x =+的通解是 . 1-29-69、已知特征方程的两个根3,221-==r r , 则二阶常系数线性齐次微分方 程为 . 1-30-70、方程2 5x y =是微分方程y xy 2'=的 解. 1-31-71、二阶常系数非齐次微分方程的结构为其一个特解与 之和. 1-32-72、二阶常系数齐次线性微分方程0'''=++qy py y 对应的特征方程有两个不 等实根，则其通解为 . 1-33-73、将微分方程 0)2()(2 2=---dy xy x dx y xy 写成齐次微分方程的标准形式为
微积分第2版-朱文莉第10章微分方程与差分方程习题详解(1-3节) 题10.1(A) 1.指出下列微分方程的阶数： 1) x(y')-2yy'+x=； 2) y^2(4)+10y''-12y'+5y=sin2x； 3) (7x-6y)dx+(x+y)dy=S； 4) 2d^2S/dt^2+S=0. 解：(1) 1阶；(2) 4阶；(3) 1阶；(4) 2阶。 2.判断下列各题中的函数是否为所给微分方程的解？若是解，它是通解还是特解？ 1) x(dy/dx)=-2y，y=Cx^-2（C为任意常数）； 2) 2x(y'')-2y'+y=0，y=xe； 3) y''-2/(y'+y)=0，y=C1x+C2/x^2（C1，C2为任意常数）； 4) xdx+ydy=R，x+y=const（R为任意常数）。 解：(1) 通解；(2) 否；(3) 通解；(4) 通解。
3.验证：函数y=(C1+C2x)e^-x（C1，C2为任意常数）是 方程y''+2y'+y=的通解，并求满足初始条件y(0)=4，y'(0)=-2的特解。 解：由已知得y=C1e^-x+C2xe^-x，y'=C2e^-x-C1e^-x- C2xe^-x。 将y代入方程得(C1-2C2)e^-x=0，因为e^-x不为0，所以 C1=2C2. 所以通解为y=(C1+C2x)e^-x=(2C2+2C2x)e^-x=(2+2x)e^-x。 将初始条件代入得C1=4，C2=2，所以特解为 y=(4+2x)e^-x。 4.已知曲线上任一点(x,y)处的切线斜率等于该点的横坐标 与纵坐标的乘积，求该曲线所满足的微分方程。 解：根据题意，设曲线为y=f(x)，则斜率为f'(x)，根据题 意得f'(x)=xf(x)，即y'=xy，所以微分方程为dy/dx=xy。 题10.1(B) 1.写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。 1) 曲线上点(x,y)处的切线斜率等于该点横坐标的平方；
一阶常微分方程习题（一） 1．dx dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x+c y=e+e=cex 另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e. 2. ydx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：ydx=-(x+1)dy 2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y 1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=| )1(|ln 1+x c 3．dx dy =y x xy y 32 1++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+31x x + y y 2 1+dy=31x x +dx 两边积分：x(1+x)(1+y)=cx 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1+dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0也是原方程的解。 5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为： dx dy =-y x y x +- 令x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有：
-1 12++u u du=x 1dx ln(u+1)x=c-2arctgu 即 ln(y+x)=c-2arctg 2x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解：原方程为： dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令x y =u dx dy =u+ x dx du 2 11 u - du=sgnx x 1dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32+=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2e 2 e-3e=c. 9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为：dx dy =x y ln x y 令x y =u ,则dx dy =u+ x dx du u+ x dx du =ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+ln x y =cy. 10. dx dy =e
专升本高等数学(一)-常微分方程(一) (总分：91.98，做题时间：90分钟) 一、{{B}}选择题{{/B}}(总题数：13，分数：26.00) 1.下列方程为一阶线性微分方程的是______ ∙ A. (y')2+2y=x ∙ B. y'+2y2=x ∙ C. y'+y=x ∙ D. y"+y'=x （分数：2.00） A. B. C. √ D. 解析：[解析] 本题主要考查微分方程的有关概念．一阶线性微分方程要求方程中所含有关未知函数的导数的最高阶数为一阶的，且未知函数及其一阶导数均为一次幂．(答案为C) 2.微分方程的通解是______ A. B. C. D. 其中C为任意常数) （分数：2.00） A. B. C. D. √ 解析：[解析] 利用直接积分法可求得给定线性微分方程的通解 [*]．(答案为D)． 3.微分方程y"=y的通解是______ ∙ A. y=C1+C2e x ∙ B. y=e x+e-x ∙ C. y=C1e x+C2e-x ∙ D. y=Ce x+Ce-x(其中C，C1，C2为任意常数) （分数：2.00） A. B. C. √ D. 解析：[解析] 已知微分方程y"=y为二阶线性微分方程，其通解中应含两个独立的任意常数C1，C2．选项B、D中的函数不含有任意常数或者只含有一个任意常数，所以选项B、D是错误的，应筛去． 选项A中，y=C1+C2e x中含有两个任意常数，通过求导可得y'=C2e x，y"=C2e x，代入微分方程y"=y，等式关系不成立，因此y=C1+C2e x不是微分方程y"=y的通解． 选项C中，y=C1e x+C2e-x中含有两个任意常数，通过求导得y'=C1e x-C2e-x，y"=C1e x+C2e-x，代入微分方程y"=y，等式关系成立，因此y=C1e x+C2e-x是微分方程y"=y的通解．(答案为C)
第一章一阶微分方程的解法的小结⑴、可分离变量的方程： ①、形如学= m)g(y) dx 当g(y)HO时，得到 ^ = f(x)dx,两边积分即可得到结果：g(y) 当g(〃°) = o时，则y(A) = 也是方程的解。 例、^- = xy dx 解：当yHO时，有牛=沁,两边积分得到ln|y| = + + C (C为常数) 所以y = (G为非零常数址=±/) y = 0显然是原方程的解： 综上所述，原方程的解为y = C^T(G为常数) ②、形如M(x)N(y)dx+ P(x)Q(y)dy = 0 当P(x)N(y)HO时，可有空2心=纟丄1〃八两边积分可得结果； PM N(y) 当N(y" = 0时，y = y°为原方程的解，当P(x0) = 0时，x = 为原方程的解。例、- \)dx + y(x2 - \)dy = 0 解：当(X2-l)(r-l)^O时，有—= 心两边积分得到 ]_y・ f _] ln|x2-l| + ln|y2-l| = hi|C| (C H O),所以有(x2-1)(/-1) = C (CHO)； 当(x2-l)(y2-l) = 0时，也是原方程的解； 综上所述，原方程的解为(x2-l)(y2-l) = C (C为常数)。 ⑵可化为变量可分离方程的方程： ①、形如— = ^(2) dx x
解法：令n = 则dy = xdi t + udx.代入得到x — + u = g （u ）为变量可分离方程，得到 x dx f （mx.C ） = O （C 为常数）再把u 代入得到/（丄,0 = 0 （C 为常数）。 x ②、形如 ^ = G （ax + by ）^ib^0） dx 解法：令u = ax + by ,则dy = 6/^A ,代入得到- = G （u ）为变量可分藹方程, b b dx b 得到/（“,x,C ） = 0 （C 为常数）再把u 代入得到f （ax + h y>x,C ） = 0 （C 为常数）。 —“ dv a x x + b.y + c. s ③、形如丁=f( 一严一L) dx a 2x + b 2y + c 2 z/y =0>转化为一 =G （俶+ by ）.下同①; dx z v a l + b l - ) = ^(-)>下同②: t v u G + b 、— 还有几类：yf(xy}dx + xg(xy)dy = 0上=xy M (x, y)(xdx + ydy) + N (A \ y)(xdy - ydx) = 0, x = /• cos&, y =厂 sin & 以上都可以化为变 量可分离方程。 解：令u = x-y-2 ,则〃y = dx-cht,代入得到1一竺=殳上？，有仇他=一7心 dx u 所以£ = _7X + C （C 为常数），把u 代入得到IV ~V ~2； -+7A - = C （C 为常数）。 2 2 例、空=兰土1 dx x - 2 v +1 * 2\ «1 b \ HO, < g 严*社的解为（3。）, 4 a 2 b 2 a 2x + b 2y + c 2 = 0 u= x- x () v = >?-)?o 解法：1° 得到，牛=/(冲!)=/( du a 2u +b 2v dx x-y+ 5 x-y-2 dx
2021年高等数学一（专升本）考试题库（含答案）单选题 1. A、A B、B C、C D、D 答案：B 解析：
2.设．f(x)在[a，b]上连续，x∈[a，b]，则下列等式成立的是（） A、A B、B C、C D、D 答案：B 解析：由可变限积分求导公式知选B。 3. A、x+y B、x C、y D、2x 答案：D 解析： 4.
A、-1/2 B、0 C、1/2 D、1 答案：B 解析： 5.设f(x)在点xo的某邻域内有定义， （） A、A B、B C、C D、D 答案：A 解析：
6. A、-2 B、-1 C、0 D、2 答案：D 解析：由复合函数链式法则可知 2，应选D． 7.下列方程为一阶线性微分方程的是()． A、A B、B C、C D、D 答案：C 解析：一阶线性微分方程的特点是方程中所含未知函数及其一阶导数都为一次的．因此选C．
8. A、1 B、2 C、3 D、4 答案：A 解析：所给级数为不缺项情形，an=1，an+1=1因此 9.在空间直角坐标系中方程y2=x表示的是（） A、抛物线 B、柱面 C、椭球面 D、平面 答案：B 解析：空间中曲线方程应为方程组，故A不正确；三元一次方程表示空间平面，故D不正确；空间中，缺少一维坐标的方程均表示柱面，可知应选B． 10.设幂级数在x=2处收敛，则该级数在x=-1处必定()． A、发散 B、条件收敛 C、绝对收敛
D、敛散性不能确定 答案：C 解析： 11.设f(x)有连续导函数，（ A、A B、B C、C D、D 答案：A 解析：本题考核的是不定积分的性质：“先求导后积分作用抵 消”．前后两种运算不是对同一个变量的运算，因此不能直接利用上述性质．必须先变形，再利用这个性质．
常微分方程练习题 在数学中，微分方程是研究函数及其导数之间关系的方程。常微分方程（Ordinary Differential Equation，ODE）是指只含有一个自变量的 微分方程。常微分方程的研究对于很多领域都具有重要意义，比如物 理学、经济学、工程学等。本文将通过一些常见的常微分方程练习题 来帮助读者巩固对这一概念的理解。 练习题一：一阶线性常微分方程 求解微分方程 $\frac{{dy}}{{dx}} + y = 2x$。 解答： 根据微分方程的一阶线性常数系数形式，我们可以将方程写为 $\frac{{dy}}{{dx}} + P(x)y = Q(x)$ 的形式，其中 $P(x) = 1$，$Q(x) = 2x$。 首先，我们求解齐次线性微分方程 $\frac{{dy_{h}}}{{dx}} + y_{h} = 0$。解得 $y_{h} = Ce^{-x}$，其中 $C$ 为常数。 接下来，我们求解非齐次线性微分方程的特解。首先，我们猜测特解形式为 $y_{p} = Ax + B$，代入微分方程得到 $A = 2$，$B = -1$，因此特解为 $y_{p} = 2x - 1$。 最后，将齐次解和特解相加，得到原微分方程的通解为 $y = Ce^{-x} + 2x - 1$。 练习题二：二阶齐次常微分方程
求解微分方程 $y'' - 4y' + 4y = 0$。 解答： 首先，我们设 $y = e^{rx}$，代入微分方程得到 $r^{2} - 4r + 4 = 0$。解这个二次方程得到重根 $r = 2$。 因此，齐次线性微分方程的通解为 $y = (C_{1} + C_{2}x)e^{2x}$， 其中 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 为常数。 练习题三：二阶非齐次常微分方程 求解微分方程 $y'' + 3y' + 2y = 4x^{2} + 1$。 解答： 首先，我们求解齐次线性微分方程 $y'' + 3y' + 2y = 0$。设 $y = e^{rx}$，代入微分方程得到 $r^{2} + 3r + 2 = 0$。解这个二次方程得到两个根 $r_{1} = -1$，$r_{2} = -2$。 因此，齐次线性微分方程的通解为 $y_{h} = C_{1}e^{-x} + C_{2}e^{-2x}$，其中 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 为常数。 接下来，我们求解非齐次线性微分方程的特解。根据 $4x^{2} + 1$ 的形式，我们猜测特解形式为 $y_{p} = Ax^{2} + Bx + C$，代入微 分方程得到 $A = \frac{2}{3}$，$B = -\frac{5}{3}$，$C = \frac{1}{3}$，因此特解为 $y_{p} = \frac{2}{3}x^{2} - \frac{5}{3}x + \frac{1}{3}$。
微分方程练习题基础篇答案 常微分方程基础练习题答案 求下列方程的通解 1.dy xy dx = 分离变量 dy xdx y =，2 2x y Ce =，C 为任意常数 2.0xydx = 分离变量 dy dx y = ，y =C 任意常数 3.ln 0xy y y '-= 分离变量 1 ln dy dx y y x =，x y Ce = 224.()()0xy x dx x y y dy ++-= 分离变量 2211ydy xdx y x =+-，22 (1)(1)y x C +-= 2 5.(25)dy x y dx =++ 令25u x y =++则2du dy dx dx =+，22du dx u =+ 1x C =+ 6.dy x y dx x y +=-，原方程变为11y dy x y dx x +=-
，令y u x =，dy du u x dx dx =+，代入得22111u du dx u x -=+ 2arctan ln u u x C -=+ ， y u x = 回代得通解 2arctan ln y y x C x x =++ 7.0xy y '-= 方程变形 为 0dy y dx x =+=，令y u x =，代入 得dx x = arctan ln u x C =+， y u x = 回代得通解 arctan ln y y x C x x =++ 8.ln dy y x y dx x =，方程变形为ln dy y y dx x x =，令y u x =，(ln 1)du dx u u x =-，1Cx u e +=，1Cx y xe += 9.24dy xy x dx +=，一阶线性公式法222(4)2xdx xdx x y e xe dx C Ce -
大一高数试题及答案 一、填空题（每小题１分，共１０分） ________ １ １．函数ｙ＝ａｒｃｓｉｎ√１－ｘ2＋────── 的定义域为 _________ √１－ｘ2 _______________。 ２．函数ｙ＝ｘ＋ｅx上点（０，１）处的切线方程是______________。 ｆ（Xo＋２h）－ｆ（Xo－３h）３．设ｆ（X）在Xo可导且ｆ'（Xo）＝Ａ，则ｌｉｍ─────────────── h→o h ＝ _____________。 ４．设曲线过（０，１），且其上任意点（Ｘ，Ｙ）的切线斜率为２Ｘ，则该曲线的方程是 ____________。 ｘ ５．∫─────ｄｘ＝_____________。 １－ｘ4 １ ６．ｌｉｍＸｓｉｎ───＝___________。 x→∞ Ｘ ７．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｓｉｎ（ｘｙ），则ｆx（ｘ，ｙ）＝____________。 _______ R √R2－ｘ2 ８．累次积分∫ ｄｘ∫ ｆ（Ｘ2＋Ｙ2）ｄｙ化为极坐标下的累次积分为 ____________。 0 0 ｄ3ｙ３ｄ2ｙ ９．微分方程─── ＋──（─── ）2的阶数为____________。 ｄｘ3ｘｄｘ2 ∞ ∞ １０．设级数∑ ａ n 发散，则级数∑ ａ n _______________。 n=1 n=1000
二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（）内， １～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分） （一）每小题１分，共１０分 １ １．设函数ｆ（ｘ）＝── ，ｇ（ｘ）＝１－ｘ，则ｆ［ｇ（ｘ）］＝（） ｘ １１１ ①１－── ②１＋── ③ ──── ④ｘ ｘｘ１－ｘ １ ２．ｘ→0 时，ｘｓｉｎ──＋１是（） ｘ ①无穷大量②无穷小量③有界变量④无界变量 ３．下列说法正确的是（） ①若ｆ（ X ）在 X＝Xo连续，则ｆ（ X ）在X＝Xo可导 ②若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可导，则ｆ（ X ）在X＝Xo不连续 ③若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可微，则ｆ（ X ）在X＝Xo极限不存在 ④若ｆ（ X ）在 X＝Xo不连续，则ｆ（ X ）在X＝Xo不可导 ４．若在区间（ａ，ｂ）内恒有ｆ'（ｘ）〈０，ｆ"（ｘ）〉０，则在（ａ，ｂ） 内曲线弧ｙ＝ｆ（ｘ）为（） ①上升的凸弧②下降的凸弧③上升的凹弧④下降的凹弧 ５．设Ｆ'(x) ＝Ｇ'(x)，则（） ① Ｆ(X)＋Ｇ(X) 为常数 ② Ｆ(X)－Ｇ(X) 为常数 ③ Ｆ(X)－Ｇ(X) ＝０ ｄｄ ④ ──∫Ｆ（ｘ）ｄｘ＝──∫Ｇ（ｘ）ｄｘ ｄｘｄｘ 1 ６．∫ │ｘ│ｄｘ＝（） -1
考研数学一常微分方程 1. 【单项选择题】 A. x2+y2=C2 B. x2-y2=C2 C. x2+y2=C D. x2-y2=C 正确答案：A 参考解析： 2. 【单项选择题】微分方程y”+2y'-3y=e-x+x的一个特解形式为（）． A. ae-x+bx+c B. axe-x+x(bx+c) C. axe-x+bx+c D. ae x+x(bx+c) 正确答案：A 参考解析： 3. 【单项选择题】下列方程中，以y=C1e x+C2cosx+C3sinx(C1，C2，C3为任意常数)为通解的是（）． A. y'''-y''+y'-y=0 B. y'''+y''+y'-y=0 C. y'''+y''-y'-y=0 D. y'''-y''-y'-y=0 正确答案：A 参考解析：由通解y=C1e x+C2cosx+C3sinx，知其特征根为r1=1，r2=i，r3=-i，故对应的特征方程为(r-1)(r2+1)=0，即r3-r2+r-1=0，故对应的微分方程为y'''- y''+y'-y=0，A正确。 4. 【单项选择题】若二阶常系数线性齐次微分方程y"+py'+qy=0的通解为 y=C1e x+C2xe x，则非齐次微分方程y"+py'+qy=x满足y(0)=2，y’(0)=0的特解为y=（）． A. xe x-x-2 B. xe x-x+2
C. -xe x+x+2 D. -xe x-x+2 正确答案：C 参考解析：y由齐次微分方程通解为y=C1e x+C2xe x，知对应特征方程的根为 r1=r2=1，其特征方程为(r-1)2=0，即r2-2r+1=0，故p=-2，q=1，所以非齐次微分方程为y"-2y'+y=x ① 令特解y*=ax+b，代入上式，得-2a+ax+b=x，解得a=1，b=2，故①的通解为 y=C1e x+C2xe x+x+2。由y(0)=2，y'(0)=0，得C1=0，C2=-1，故y=-xe x+x+2，C正确。 5. 【单项选择题】 A. xy'-ylny=x2y B. xy'+ylny=xy2 C. xy'-ylny2=xy D. xy'+ylny=xy 正确答案：A 参考解析： 6. 【单项选择题】设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y’+P(x)y=Q(x)的两个解，若常数λ，μ，使得λy1+μy2是该方程的解，λy1-μy2是对应的齐次微分方程的解，则（）． A. B. C. D. 正确答案：B 参考解析：
大学数学习题及答案 一填空题: 1 一阶微分方程的通解的图像是维空间上的一族曲线. 2 二阶线性齐次微分方程的两个解y1(x);y2(x)为方程的基本解组充分必要条件是________. 3 方程的基本解组是_________. 4 一个不可延展解的存在区间一定是___________区间. 5 方程的常数解是________. 6 方程一个非零解为x1(t) ,经过变换_______ 7 若4(t)是线性方程组的基解矩阵, 则此方程组的任一解4(t)=___________. 8 一曲线上每一占切线的斜率为该点横坐标的2倍,则此曲线方程为________. 9 满足_____________条件的解,称为微分方程的特解. 10 如果在微分方程中,自变量的个数只有一个我们称这种微分方程为_________. 11 一阶线性方程有积分因子(). 12 求解方程的解是( ). 13已知(为恰当方程,则=____________. 14 ,,由存在唯一性定理其解的存在区间是( ). 15方程的通解是( ). 16方程的阶数为_______________. 17若向量函数在区间D上线性相关,则它们的伏朗斯基行列式w (x)=____________. 18若P(X)是方程组的基本解方阵则该方程组的通解可表示为_________. 19．方程所有常数解是____________________． 20．方程的基本解组是____________________． 21．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是____________________． 22．函数组在区间I上线性无关的____________________条件是它们的朗斯基行列式在区
第十二章 微分方程 §12-1 微分方程的基本概念 一、判断题 1.y=ce x 2(c 的任意常数)是y '=2x 的特解。 ( ) 2.y=(y '')3是二阶微分方程。 ( ) 3.微分方程的通解包含了所有特解。 ( ) 4.若微分方程的解中含有任意常数，则这个解称为通解。 （ ） 5.微分方程的通解中任意常数的个数等于微分方程的阶数。 （ ） 二、填空题 1. 微分方程.(7x-6y)dx+dy=0的阶数是 。 2. 函数y=3sinx-4cosx 微分方程的解。 3. 积分曲线y=(c 1+c 2x)e x 2中满足y x=0=0, y 'x=0=1的曲线是 。 三、选择题 1．下列方程中 是常微分方程 （A ）、x 2+y 2=a 2 (B)、 y+0)(arctan =x e dx d (C)、22x a ∂∂+22y a ∂∂=0 （D ）、y ''=x 2+y 2 2.下列方程中 是二阶微分方程 （A ）（y ''）+x 2y '+x 2=0 (B) (y ') 2+3x 2y=x 3 (C) y '''+3y ''+y=0 (D)y '-y 2=sinx 3.微分方程22dx y d +w 2y=0的通解是 其中c.c 1.c 2均为任意常数 （A ）y=ccoswx (B)y=c sinwx (C)y=c 1coswx+c 2sinwx (D)y=c coswx+c sinwx 4. C 是任意常数，则微分方程y '=323y 的一个特解是 （A ）y-=(x+2)3 (B)y=x 3+1 (C) y=(x+c)3 (D)y=c(x+1)3 四、试求以下述函数为通解的微分方程。 1．22C Cx y +=（其中C 为任意常数） 2.x x e C e C y 3221+=（其中21,C C 为任意常数） 五、质量为m 的物体自液面上方高为h 处由静止开始自由落下，已知物体在液体中受的阻力与运动的速度成正比。用微分方程表示物体，在液体中运动速度与时间的关系并写出初始条件。
一阶微分方程的通解 §2一阶微分方程的初等解法第二章一阶微分方程的初等解法§2.1 变量分离方程与变量替换§2.2 线性微分方程与常数变易法§2.3 恰当微分方程与积分因子一阶微分方程的初等解法：将微分方程的求解问题化为积分问题。 §2.1 变量分离方程与变量替换 dN rN dy N ( P 5人口模型) dt 求解d dt rN即dx ay . N ( t0 ) N 0 (1)当y 0 : 是一个解. dy (2)当y 0: y adx , 两边积分得ln y ax c 故y Ceax一、变量分离方程dy 1.变量分离方程的形式d x f ( x ) ( y ).f ( x)是x的连续函数,( y)是y的连续函数.dy 2. 变量分离方程的解法先分离变量, ( y ) f ( x )dx . 当 ( y ) 0再两边积分, ( y ) f ( x )dxdyG( y)F ( x) C(P31例1) 例1 求解方程dx 3 x 2 yy 解: 先分离变量, dy 3 x 2 dxdy再两边积分,y dy 3 x dx 12说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形, 因此可能增、减解. 或ln y x 3 ln C例2 求解方程dx x y. 解: 先分离变量, ydy xdx再两边积分,2dy ydy xdx2解得1 y2 1 x2 1 c 2 2 2故通解为x y c , 其中c为任意正常数.dy y ( c dx ) 例3 求解方程dx x (a by ) , x 0 y 0. (P31例2)解得ln y x c13即y e x c1 3 e c1 e x 即y c ex333解: (1)当y 0 : 是一个解. (a by )dy ( c dx ) dx (2)当y 0 : 先分离变量, y xdx 再两边积分, y dy c x dx 解得a ln y by c ln x dx k 即y a
一阶微分方程的通解 各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢§2一阶微分方程的初等解法 第二章一阶微分方程的初等解法 §变量分离方程与变量替换§线性微分方程与常数变易法§恰当微分方程与积分因子一阶微分方程的初等解法：将微分方程的求解问题化为积分问题。 §变量分离方程与变量替换 人口模型 dt 求解即 当是一个解. dy (2)当两边积分得ln y 故 一、变量分离方程 dy 1.变量分离方程的形式 f ( x)是x的连续函数是y的连续函数.
dy 2. 变量分离方程的解法先分离变量当 再两边积分 ( x )dx dy G( y) F (P31例1) 例1 求解方程 2 y y 解: 先分离变量 dy 再两边积分, 2 说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形, 因此可能增、减解. 或 例2 求解方程解: 先分离变量 再两边积分, 2 dy
dx 2 解得 故通解为其中c为任意正常数. 例3 求解方程 例2) 解得 3 即 即 3 3 3 解: (1)当是一个解. (a 当 先分离变量, y x dx 再两边积分 解得 即 ( k为任意正常数) 综上, 通解为y a e
为任意常数) 故通解为其中c为任意常数. ( 此式含分离变量时丢失的解y = 0 ) (P33例4) 例4 求解方程 ( x ) y, 其中P ( x )是x 的连续函数. 解: (1)当是一个解. dy (2)当 先分离变量 再两边积分, 解得ln y dy (P42习题1(2)) 练习解方程y2dx 并求满足初值条件 的特解. 解当 0 : 是一个解. 再两边积分解得 即 为任意常数) 1 综上, 通解为 为任意常数), 另有解