伊川高中2014-2015学年上学期第一次月考
高三年级数学（文）试卷
时间：2014年9月1日 星期五
一．选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）
1. 已知集合A ，B 均为全集U ＝{1,2，3,4}的子集，且?U (A ∪B )＝{4}，B ＝{1,2}，则A ∩?U B ＝
( )
A ．{3}
B ．{4}
C ．{3,4}
D ．?
2. 若集合M ＝{y |y ＝3x
}，集合S ＝{x |y ＝lg(x －1)}，则下列各式正确的是 ( )
A ．M ∪S ＝M
B ．M ∪S ＝S
C ．M ＝S
D ．M ∩S ＝?
3. 下列函数中既是奇函数，又在区间[－1,1]上单调递减的函数是
( )
A ．f (x )＝sin x
B ．f (x )＝－|x ＋1|
C ．f (x )＝ln 2－x
2＋x
D ．f (x )＝1
2
(2x ＋2－x )
4. 如果a ＝(1，k )，b ＝(k,4)，那么“a ∥b ”是“k ＝－2”的 ( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
5. 已知条件p ：x ≤1，条件q ：1x
＜1，则綈p 是q 的 ( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．即不充分也不必要条件
6、已知直线kx y =与曲线ln y x =相切，则k 的值为 （ ）
（ A ） e ( B ) e - ( C )
e 1 ( D ) e
1- 7. 若集合A ＝{x |x 2
－x －2＜0}，B ＝{x |－2＜x ＜a }，则“A ∩B ≠?”的充要条件是
( )
A ．a ＞－2
B ．a ≤－2
C ．a ＞－1
D ．a ≥－1
8. 函数f (x )＝1－2x
＋
1
x ＋3
的定义域为 ( )
A ．(－3,0]
B ．(－3,1]
C ．(－∞，－3)∪(－3,0]
D ．(－∞，－3)∪(－3,1]
9. 设函数f (x )＝???
21－
x
，x ≤1，
1－log 2
x ，x ＞1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是 ( )
A ．[－1,2]
B ．[0,2]
C ．[1，＋∞)
D ．[0，＋∞)
10. 设实数x 和y 满足约束条件???
x ＋y ≤10，
x －y ≤2，
x ≥4，
则z ＝2x ＋3y 的最小值为 ( )
A ．26
B ．24
C ．16
D ．14
11．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)与抛物线y 2
＝8x 有一个公共的焦点F ，且两曲
线的一个交点为P ，若|PF |＝5，则双曲线的离心率为 ( )
A ．2
B ．22
C ．5＋1
2
D ． 6
12. 已知函数y ＝f (x )(x ∈R)满足f (x ＋3)＝f (x ＋1)且当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2
，则y ＝
f (x )与y ＝lo
g 7x 的图象的交点个数为
( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13. 已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |－1≤x ≤3}，集合B ＝{x |log 2(x －2)＜1}，则A ∩(?U B )
＝________.
14．已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )，若a ⊥b ，则9x ＋3y
的最小值为________． 15. 在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝30，a 3＋a 4＝60，则a 7＋a 8＝________.
16、设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(3b －c )cos A ＝a cos C ，S
△ABC
＝2，则BA →·AC →
＝________.
伊川县实验高中2014-2015学年上学期第一次月考
高三年级数学（文）答题卷
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
（13） （14）
（15） （16）
三、解答题(本大题共6个小题，共70分）
17. 正项数列{a n }满足：a 2
n －(2n －1)a n －2n ＝0.
(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝
1
(n ＋1)a n
，求数列{b n }的前n 项和T n .
18. 已知向量a ＝?
?
?
??cos x ，－12，b ＝(3sin x ，cos 2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a ·b .
(1)求f (x )的最小正周期；
(2)求f (x )在????
??
0，π2上的最大值和最小值．
19.如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，E，F分别是AB，PC的中点．
(1)求证：EF∥平面PAD；
(2)求证：EF⊥CD；
(3)若∠PDA＝45°，求证：EF⊥平面PCD.
20.已知：圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.
(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；
(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝22时，求直线l的方程．
21．已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋b(a，b∈R)．
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若对任意a∈[3,4]，函数f(x)在R上都有三个零点，求实数b的取值范围．
22. 已知曲线C 1的参数方程为???
x ＝4＋5cos t ，
y ＝5＋5sin t
(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴
的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．
高三第一次月考参考答案
一．选择题
1-5 AACBA 6-10 CCCDD 11-12 AD 二、填空题
13. {x |－1≤x ≤2} 14. 6 15. 240 16. －1
三、解答题
17. 解 (1)由a 2
n －(2n －1)a n －2n ＝0得(a n －2n )(a n ＋1)＝0，由于{a n }是正项数列，
则a n ＝2n .
(2)由(1)知a n ＝2n ，故b n ＝1(n ＋1)a n ＝1
2n (n ＋1)
＝12? ??
??1
n －1n ＋1， ∴T n ＝12? ????1－12＋12－1
3＋…＋1n －1n ＋1 ＝12? ????1－1n ＋1＝n
2(n ＋1)
. 18. [解] f (x )＝?
??
??cos x ，－12·(3sin x ，cos 2x )
＝3cos x sin x －1
2cos 2x ，(2分)
＝
32sin 2x －1
2
cos 2x
＝sin ? ?
?
??2x －π6.(4分)
(1)f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝2π
2＝π，
即函数f (x )的最小正周期为π.(6分) (2)∵0≤x ≤π
2
，
∴－π6≤2x －π6≤5π
6.(8分)
由正弦函数的性质，得
当2x －π6＝π2，即x ＝π
3
时，f (x )取得最大值1.
当2x －π6＝－π
6，
即x ＝0时，f (0)＝－1
2
，
当2x －π6＝5π6，即x ＝π2时，f ? ????π2＝1
2，
∴f (x )的最小值为－1
2
.(11分)
因此，f (x )在??????
0，π2上最大值是1，最小值是－12
.(12分)
19. 证明 (1)取PD 的中点G ，连接AG ，FG .因为FG 为△PCD 的中位线，
所以FG ∥CD ，且FG ＝1
2CD ，
又AE ∥CD ，且AE ＝1
2CD ，
所以AE ∥FG ，且AE ＝FG ，
故四边形AEFG 为平行四边形，所以EF ∥AG . 又AG ?平面PAD ，EF ?平面PAD ， 所以EF ∥平面PAD .
(2)因为PA ⊥平面ABCD ，CD ?平面ABCD ， 所以PA ⊥CD .在矩形ABCD 中，AD ⊥CD ， 又PA ∩AD ＝A ，所以CD ⊥平面PAD . 因为AG ?平面PAD ，所以CD ⊥AG . 又EF ∥AG ，所以EF ⊥CD . (3)因为∠PDA ＝45°，
所以△PAD 为等腰直角三角形，
又AG 为等腰直角△PAD 斜边上中线，所以AG ⊥PD ， 又EF ∥AG ，所以EF ⊥PD .由(2)，得EF ⊥CD ， 又PD ∩CD ＝D ，所以EF ⊥平面PCD .
20. 解 将圆C 的方程x 2
＋y 2
－8y ＋12＝0化成标准方程为x 2
＋(y －4)2
＝4，则此
圆的圆心为(0,4)，半径为2.
(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2， 得a ＝－3
4.
(2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，
得????
?
|CD |＝
|4＋2a |
a 2＋1
，|CD |2
＋|DA |2
＝|AC |2
＝22，
|DA |＝12|AB |＝ 2.
解得a ＝－7或－1.
故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.
21. 解 (1)因为f (x )＝－x 3
＋ax 2
＋b ，
所以f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＝－3x ? ??
??
x －2a 3.
当a ＝0时，f ′(x )≤0，函数f (x )没有单调递增区间； 当a ＞0时，令f ′(x )＞0，得0＜x ＜2a 3
. 故f (x )的单调递增区间为? ????
0，23a ；
当a ＜0时，令f ′(x )＞0，得
2a
3
＜x ＜0. 故f (x )的单调递增区间为? ??
??
23a ，0.
综上所述，当a ＝0时，函数f (x )没有单调递增区间； 当a ＞0时，函数f (x )的单调递增区间为? ????
0，23a ；
当a ＜0时，函数f (x )的单调递增区间为? ??
??
23a ，0.
(2)由(1)知，a ∈[3,4]时，f (x )的单调递增区间为? ????
0，23a ，单调递减区间为(－∞，
0)和? ??
??
23a ，＋∞，
所以函数f (x )在x ＝0处取得极小值f (0)＝b ，
函数f (x )在x ＝2a 3处取得极大值f ? ????2a 3＝4a
3
27
＋b ，
由于对任意a ∈[3,4]，函数f (x )在R 上都有三个零点， 所以????
?
f (0)＜0，f ? ????
2a 3＞0，
即?????
b ＜0，4a 3
27
＋b ＞0，解得－4a 327＜b ＜0，
因为对任意a ∈[3,4]，b ＞－4a 3
27恒成立，
所以b ＞? ????
－4a 3
27max ＝－4×33
27＝－4，
所以实数b 的取值范围是(－4,0)． 22. 解 (1)将???
x ＝4＋5cos t ，
y ＝5＋5sin t 消去参数t ，
化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25， 即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.
将???
x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 所以C 1的极坐标方程为 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.
由???
x 2＋y 2
－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0，
解得??? x ＝1，y ＝1或?
??
x ＝0，y ＝2.
所以C 1与C 2交点的极坐标分别为? ?
???2，π4，? ??
??2，π2.