数学分析1 期末考试试卷（A 卷）
一、填空题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分）
1、设 82lim =??
?
??-+∞→x
x a x a x ， 则 =a 。
2、设函数)
2(1
)(--=x x e x f x ，则函数的第一类间断点是 ，第二类间断点
是 。
3、设)1ln(2
x x y ++=，则=dy 。
4、设)(x f 是连续函数，且dt t f x x f )(2)(1
0?+=，则=)(x f 。
5、xdx arctan 1
?= 。
二、单项选择题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分）
1、设数列n x 与数列n y 满足0lim =∞
→n n n y x ，则下列断言正确的是（ ）。
（A ）若n x 发散，则n y 必发散。 （B ）若n x 无界，则n y 必无界。 （C ）若n x 有界，则n y 必为无穷小。 （D ）若n
x 1
为无穷小，则n y 必为无穷小。 2、设函数x x x f =)(，则)0(f '为（ ）。
（A ） 1。 （B ）不存在。 （C ） 0。 （D ） -1。 3、若),()
()(+∞<<-∞=-x x f x f 在)0(，-∞内0)(,0)(<''>'x f x f ，则
)(x f 在),0(+∞内有（ ）。
（A ）0)(,0)(<''>'x f x f 。 （B ）0)(,0)(>''>'x f x f 。
（C ）0)(,0)(<''<'x f x f 。 （D ）0)(,0)(>''<'x f x f 。 4、设)(x f 是连续函数，且?
-=dt t f x F x e x
)()(，则)(x F '等于（ ）
。 （A ）()
)(x f e f e x x ----。 （B ）()
)(x f e f e x x +---。
（C ） ()
)(x f e f e x x --- 。 （D ）()
)(x f e f e x x +--。
5、设函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3
π
=x 处取得极值，则（ ）。
（A ）)3(,1πf a =是极小值。 （B ）)3
(,1π
f a =是极大值。
（C ）)3(,2πf a =是极小值。 （D ）)3
(,2π
f a =是极大值。
三、计算题（本题共7个小题，每小题6分，满分42分）
1、求 )
1ln(sin 1tan 1lim 30x x
x x ++-+→
2、设4lim 221=-++→x
x b ax x x ，求 b a 、。
3、设)(x y y =由参数方程 ???+=+=t
t y t x arctan )1ln(2 所确定，求 22dx y
d dx dy 、。
4、设)(x f 在0=x 处的导数连续，求dx
x df x )
(sin lim 20+→ 。
5、求不定积分 dx x
x
x ?3
cos sin 。
6、求定积分dx x ?cos 4
0。
7、设???≥<=-0
sin )(2
2x xe
x x
x f x ， 求 ?-dx x f )2(31 。
四、证明下列不等式（本题10分）
1、
)2,0(,
sin 2π
π
∈< ； 2、2sin 12 π π < 五、（本题10分） 设 0 0)()(=≠??? ??-=-x x x e x g x f x ，其中)(x g 具有二阶连续导数，且1)0(,1)0(-='=g g 。 （1）求)(x f '； （2）讨论)(x f '在),(+∞-∞上的连续性。 六、（本题8分） 设函数)(x f 在[]b a ，上可导，证明：存在)(b a ，∈ξ，使得 [])()()()(22 2 ξξf a b a f b f '-=-。 (8分) 答案 一、填空题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分） 1、设 82lim =?? ? ??-+∞→x x a x a x ， 则 =a ln 2 。 2、设函数) 2(1 )(--=x x e x f x ，则函数的第一类间断0 ，第二类间断点 是 2 。 3、设)1ln(2 x x y ++=，则=dy 。 4、设)(x f 是连续函数，且dt t f x x f )(2)(1 ?+=，则=)(x f 1x - 。 5、xdx arctan 1 ?= 4 π -。 二、单项选择题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分） 1、设数列n x 与数列n y 满足0lim =∞ →n n n y x ，则下列断言正确的是（ D ）。 （A ）若n x 发散，则n y 必发散。 （B ）若n x 无界，则n y 必无界。 （C ）若n x 有界，则n y 必为无穷小。 （D ）若n x 1 为无穷小，则n y 必为无穷小。 2、设函数x x x f =)(，则)0(f '为（ C ）。 （A ） 1。 （B ）不存在。 （C ） 0。 （D ） -1。 3、若),() ()(+∞<<-∞=-x x f x f 在)0(，-∞内0)(,0)(<''>'x f x f ，则 )(x f 在),0(+∞内有（ C ）。 （A ）0)(,0)(<''>'x f x f 。 （B ）0)(,0)(>''>'x f x f 。 （C ）0)(,0)(<''<'x f x f 。 （D ）0)(,0)(>''<'x f x f 。 4、设)(x f 是连续函数，且? -=dt t f x F x e x )()(，则)(x F '等于（ A ） 。 （A ）() )(x f e f e x x ----。 （B ）() )(x f e f e x x +---。 （C ） () )(x f e f e x x --- 。 （D ）() )(x f e f e x x +--。 5、设函数x x a x f 3sin 31sin )(+ =在3 π =x 处取得极值，则（ D ） 。 （A ）)3(,1πf a =是极小值。 （B ）)3 (,1π f a =是极大值。 （C ）)3(,2πf a =是极小值。 （D ）)3 (,2π f a =是极大值。 三、计算题（本题共7个小题，每小题6分，满分42分） 1、求 ) 1ln(sin 1tan 1lim 3 x x x x ++-+→ 0030021tan sin 1 lim 2 4x x x x x x x →→→→=-===解：（分）（6分） 2、设4lim 221=-++→x x b ax x x ，求 b a 、。 21 2211lim()010,(1) (22lim lim 242, 3.(621 x x x x ax b a b b a x ax b x a a a b x x x →→→++=?++==-++++==+=?==---解：分）分） 3、设)(x y y =由参数方程 ???+=+=t t y t x arctan )1ln(2 所确定，求 22dx y d dx dy 、。 ()()2222 22222 3 222(3112212(624dy t t t t t dx t t t d y d t dt dx dt t dx t + +==++-+??+== ?? ?解： 分） 分） 4、设) (x f 在0=x 处的导数连续，求dx x df x )(sin lim 20+→ 。 22 002 (sin lim lim[(sin (4lim[(sin (0)(4x x x df f dx f f ++ + →→→'=''=解：分）=分） 5、求不定积分 dx x x x ? 3 cos sin 。 2 33222sin (cos )1(cos )(2cos cos 211[][tan ](62cos cos 2cos x x xd x dx xd x x x x dx x x C x x x --===-=-+????解：分） 分） 6、求定积分dx x ?cos 4 0。 4 2 22 00 ,2, 0,0;4, 2. 22cos 2[sin sin ] 2(2sin 2cos 21) t dx tdt x t x t t tdt t t tdt ======∴==-=+-???（分） （6分） 7、设???≥<=-0 sin )(2 2x xe x x x f x ， 求 ?-dx x f )2(31 。 2 223 10 1 2 1 1 1 1 11 20 100 2,,1,1;3, 1.21cos 2(2)()sin 2 1111()[sin 2]2222121[sin 2] 4x x x x t dx dt x t x t x f x dx f t dt xdx xe dx dx e d x x x e e --------====-==-∴-==+=--=--=-+?? ? ?? ?解：令（分） （4分） （6分） 四、证明下列不等式（本题10分） 1、 )2,0(, sin 2π π ∈< ； 2、2sin 12 π π < sin (0,) ()21 x x f x x x π ?∈?=??=?则函数在0x =处连续，且 22 cos sin cos ()(tan )0,(0,)32 x x x x f x x x x x x π -'= =-<∈（分） 所以，当(0,)2x π ∈时，()f x 单调减少，2sin ()(0)162x f f x f x ππ?? ?<<∴< < ??? （分） 220022sin sin , (0,).110222 x x x x x dx dx x ππ π ππ π π∴ <<∈?=<<= ??（分） 五、（本题10分） 设 0 0)()(=≠??? ??-=-x x x e x g x f x ，其中)(x g 具有二阶连续导数，且1)0(,1)0(-='=g g 。 （1）求)(x f '； （2）讨论)(x f '在),(+∞-∞上的连续性。 200000()0 ()(0)()1(0)lim lim lim ()()(0)1lim lim 222 x x x x x x x x x g x e f x f g x e x f x x x g x e g x e g x --→→→--→→----'==='''''+--===解：（）（3分） 2 2 2 (())(()()()(1)()()()(1)0()(6) (0)102 x x x x x g x e g x e xg x g x x e f x x x xg x g x x e x x f x g x ----''+---++'=='?-++≠??'∴=? ''-?=??）分 （2）当0x ≠时,()f x '连续.当0x =时, 200()()(1)1 lim ()lim [(0)1](0)2 x x x xg x g x x e f x g f x -→→'-++''''==-= 所以, )(x f '在),(+∞-∞上都连续. (10分) 六、（本题8分） 设函数)(x f 在[]b a ，上可导，证明：存在)(b a ，∈ξ，使得 [])()()()(22 2 ξξf a b a f b f '-=-。 证明:设2()g x x =,则)(x f 与()g x 在[]b a ，上满足柯西微分中值定理条件,故至少存在一点(,)a b ξ∈,使得 22()()()()()() ()()()2f b f a f f b f a f g b g a g b a ξξξξ ''--=?='-- 所以, 222[()()]()()f b f a b a f ξξ'-=- (8分)
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