直角坐标 直角坐标系在数学中应用广泛，是数学大厦最重要的根基之一。 在平面内画两条 直角坐标 直角坐标 互相垂直，并且有公共原点的数轴。其中横轴为X轴，纵轴为Y轴。这样我们就说在平面上建立了平面直角坐标系，简称直角坐标系。 直角坐标中的点 直角坐标中的点 坐标：对于平面内任意一点C，过点分C别向X轴、Y轴作垂线，垂足在X 轴、Y轴上的对应点a,b分别叫做点C的横坐标、纵坐标，有序数对（a,b）叫做点C的坐标。坐标平面：坐标系所在平面。 坐标原点：两坐标轴的公共原点。 象限：X轴和Y轴把坐标平面分成四个象限，右上面的叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。象限以数轴为界，横轴、纵轴上的点不属于任何象限。
极坐标 极坐标系 polar coordinates 在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系。在平面上取定一点O，称为极点。从O出发引一条射线Ox，称为极轴。再取定一个长度单位，通常规定角度取逆时针方向为正。这样，平面上任一点P的位置就可以用线段OP的长度ρ以及从Ox到OP 的角度θ来确定，有序数对（ρ，θ）就称为P点的极坐标，记为P（ρ，θ）；ρ称为P 点的极径，θ称为P点的极角。当限制ρ≥0，0≤θ<2π时，平面上除极点Ο以外，其他每一点都有唯一的一个极坐标。极点的极径为零，极角任意。若除去上述限制，平面上每一点都有无数多组极坐标，一般地，如果（ρ，θ）是一个点的极坐标，那么（ρ，θ+2nπ），（－ρ，θ+（2n+1）π），都可作为它的极坐标，这里n 是任意整数。平面上有些曲线，采用极坐标时，方程比较简单。例如以原点为中心，r为半径的圆的极坐标方程为ρ=r 等速螺线的极坐标方程为ρ=aθ 。此外，椭圆、双曲线和抛物线这3种不同的圆锥曲线，可以用一个统一的极坐标方程表示。 极坐标系到直角坐标系的转化： 在极坐标系与平面直角坐标系（笛卡尔坐标系）间转换极坐标系中的两个坐标ρ和θ可以由下面的公式转换为直角坐标系下的坐标值 x=ρcosθ y=ρsinθ 由上述二公式，可得到从直角坐标系中x和y两坐标如何计算出极坐标下的坐标θ=arctany/x ( x不等于0) 在x= 0的情况下：若y为正数θ= 90° (π/2 radians)；若y为负，则θ= 270° (3π/2 radians). 极坐标的方程 用极坐标系描述的曲线方程称作极坐标方程，通常表示为r为自变量θ的函数。 极坐标方程经常会表现出不同的对称形式，如果r(?θ) = r(θ)，则曲线关于极点
1.在动画运动规律技巧方面美国与日本动画的区别 在技巧方面，非常充分的运用了传统的动画表现手法，展现各类物体的物理现象，我们常常称其为运动规律。弹性运动，曲线运动，预备和缓冲运动。美国动画片被当做艺术品和经典作品来完成，多为电影大片，制作周期长，品质优良。在运动规律方面，日本动画制作张数仅为美国动画的五分之一。常常“停格”。因此，日本动画大量运用大量摄影技巧来弥补运动方面的不足，日本动画多为电视动画，周期短，产量大。 2.什么是动画设计稿 设计师根据分镜头台本的构图人物造型比例以及场景样稿画设计稿，设计稿最主要的任务是统一背景和人物的透视。 3.什么是动漫 动漫是由“cartoon”包括两方面内容，动画和漫画，静止不动的称为漫画，像电影一样会动的称之为动画 4.视觉残留（名词解释） 物体在移动前其影像在人眼的视网膜上会有八分之一秒左右的停留，如果这个物体形象的动作每三格动一下，观者看到的就不是静止的画面，而是运动的画面。 4.画运动规律的专用设备叫“透台”又叫“拷贝台” 5.动画专用纸有三个定位孔，叫做“动画纸”用“定位尺”来固定 6.动画线条绘制标准“准，挺，匀，活” 7.日文的“中割”也称之为“动画”，即运动物体关键动态之间呈渐变过程的，已构成一个形体的画，对一个单一的动作而言，两头极限的两张叫做原画，中间的画面就叫做中间画8.动画中有哪几种变形 主要有四类变形（1）荒诞变形（2）弹性运动变形（3）预备和缓冲变形（4）阻力变形 9.什么是弹性运动变形 物体受到力的作用时，形态会发生改变，这种改变在物理学上称之为弹性，当作用力大于反作用力时就成生了变形，物体在发生形变时会产生弹力想，当形变消失时，弹力也随之消失10.预备和缓冲变形 预备动作是指动画角色在同某一方向运动前呈现的一个反方向动作，加了物体的夸张，缓冲室物体受到惯性的影响，一时止不住而产生的物理现象，也会引起物体的变形，预备和缓冲引起的变形和夸张是动画设计中常用的一种技巧，目的是使动画片更具有戏剧性。 11.阻力变形 物体受到阻力和离心力时也会变形，阻力变形会使动作充满力度 12.什么是转面 转面就是绘制角色或物体的朝向连续变化的过程，是运动规律中最基本的技法 13.头部转面要点 用十字线（眼线和中线）表示头部的朝向，用一个圆球概括头部形状来绘制转面，首先要注意角色自身的结构，在转面过程中基本保持角色结构不变。同时要注意两种透视关系：即切割的距离和造型的透视。 14.自然转面法 绘制转面时，还有一些技巧需要注意，才能使转面过程自然生动，称为自然转面法，如果眼神与头部同步运动，那么画出的效果就很机械，绘制转面时，可以让眼神先与头部运动，或者滞后，同时配合抬头——低头的过程，使转面呈现出弧线效果，都是自然转面常用的技巧。 15.表情绘制 表情主要通过口型和五官运动来表示
运动规律——自然篇 (2012-05-19 12:15:08) 转载▼ 分类：动画技巧 标签： it 教学内容：自然现象的运动规律 教学目的：使学生了解掌握自然界中风，火，水，云，烟等的运动规律，熟练掌握自然规律在动画中的表现技法，使学生在动画创作中正确把握。 教学重点，难点：风引起的飘动，水流的大小，火的循环，烟的轻重，利用分层绘制雪花，雨的大小，体现不同物体的质感。 课时：32一部完整的动画影片，在剧情中通常会出现与角色的生活环境、气候变化有关的各种自然现象：刮风、下雨、电闪雷鸣以及水、火、烟雾等。这些自然现象也和其他各种物体活动一样，是由我们一张张画出来的，经过逐格拍摄，使之出现在银幕上。它们或者作为背景，用来表现特定的环境气候;或用于拟人，被赋予人的性格和特征。无论在神话题材、科幻题材还是警匪题材都对剧情起着毋庸置疑的衬托作用。这里，我们主要来讲述以上各种自然现象的一些运动规律，以及它们在动画中的表现方法。 风风是日常生活中常见的一种自然现象，也是动画片中常用的一种自然现象。风是空气流动产生的无形的气流，因此我们看不见风的外形。在动画片中，我们画上一些实际上并不存在的流线，就可以表现速度比较快的风。但是通常境况下，我们还是通过被风吹动的各种物体的运动来表现风。例如：微风吹动人的头发、飘带、衣摆，风刮起树叶、纸片、窗帘等。所以，我们研究风的运动规律和风的表现方法，实际上就是研究被风吹动的各种物体的运动规律和具体的表现方法。 风的表现方法大致可以分为以下三种： 1.运动线表现法凡是被风吹起的比较轻的物体，当它们被风吹离了原来的位置，在空中飘荡。例如风吹落树叶，吹起纸张、羽毛等，可以用物体的运动线（运动轨迹）来表现。在设计这类物体的运动线及运动速度时，要考虑到以下几个因素： 1）风力的强弱变化。 2）物体与运动方向之间角度的变化，迎风时上升，反之下降。3）物体与地面之间的角度的变化，接近平行时下降速度慢，接近垂直时下降速度快。
直角坐标 求助编辑百科名片 直角坐标系在数学中应用广泛，是数学大厦最重要的根基之一。 目录 定义 相关参量 编辑本段定义 在平面内画两条 直角坐标 直角坐标 互相垂直，并且有公共原点的数轴。其中横轴为X轴，纵轴为Y轴。这样我们就说在平面上建立了平面直角坐标系，简称直角坐标系。 编辑本段相关参量 直角坐标中的点
直角坐标中的点 坐标：对于平面内任意一点C，过点分C别向X轴、Y轴作垂线，垂足在X 轴、Y轴上的对应点a,b分别叫做点C的横坐标、纵坐标，有序数对（a,b）叫做点C的坐标。坐标平面：坐标系所在平面。 坐标原点：两坐标轴的公共原点。 象限：X轴和Y轴把坐标平面分成四个象限，右上面的叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。象限以数轴为界，横轴、纵轴上的点不属于任何象限。 极坐标 极坐标系 目录 极坐标系 极坐标系到直角坐标系的转化： 极坐标的方程 极坐标系 极坐标系到直角坐标系的转化： 极坐标的方程 展开 编辑本段极坐标系 polar coordinates 在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系。在平面上取定一点O，称为极点。从O出发引一条射线Ox，称为极轴。再取定一个长度单位，通常规定角度取逆时针方向为正。这样，平面上任一点P的位置就可以用线段OP的长度ρ以及从Ox到OP 的角度θ来确定，有序数对（ρ，θ）就称为P点的极坐标，记为P（ρ，θ）；ρ称为P 点的极径，θ称为P点的极角。当限制ρ≥0，0≤θ<2π时，平面上除极点Ο以外，其他
每一点都有唯一的一个极坐标。极点的极径为零，极角任意。若除去上述限制，平面上每一点都有无数多组极坐标，一般地，如果（ρ，θ）是一个点的极坐标，那么（ρ，θ+2nπ），（－ρ，θ+（2n+1）π），都可作为它的极坐标，这里n 是任意整数。平面上有些曲线，采用极坐标时，方程比较简单。例如以原点为中心，r为半径的圆的极坐标方程为ρ=r 等速螺线的极坐标方程为ρ=aθ 。此外，椭圆、双曲线和抛物线这3种不同的圆锥曲线，可以用一个统一的极坐标方程表示。 编辑本段极坐标系到直角坐标系的转化： 在极坐标系与平面直角坐标系（笛卡尔坐标系）间转换极坐标系中的两个坐标ρ和θ可以由下面的公式转换为直角坐标系下的坐标值 x=ρcosθ y=ρsinθ 由上述二公式，可得到从直角坐标系中x和y两坐标如何计算出极坐标下的坐标θ=arctany/x ( x不等于0) 在x= 0的情况下：若y为正数θ= 90° (π/2 radians)；若y为负，则θ= 270° (3π/2 radians). 编辑本段极坐标的方程 用极坐标系描述的曲线方程称作极坐标方程，通常表示为r为自变量θ的函数。 极坐标方程经常会表现出不同的对称形式，如果r(?θ) = r(θ)，则曲线关于极点（0°/180°）对称，如果r(π?θ) = r(θ)，则曲线关于极点（90°/270°）对称，如果r(θ-α) = r(θ)，则曲线相当于从极点逆时针方向旋转α°。 圆 方程为r(θ) = 1的圆。 在极坐标系中，圆心在(r0, φ) 半径为a的圆的方程为r^2-2rr0cos(θ-φ)+r0^2=a^2 该方程可简化为不同的方法，以符合不同的特定情况，比如方程r(θ)=a表示一个以极点为中心半径为a的圆。 直线 经过极点的射线由如下方程表示θ=φ ,其中φ为射线的倾斜角度，若m为直角坐标系的射线的斜率，则有φ = arctan m。任何不经过极点的直线都会与某条射线垂直。这些在点（r0, φ）处的直线与射线θ = φ 垂直，其方程为 r(θ)=r0sec(θ-φ)
课题：坐标系及直角坐标与极坐标间的互化 【学习目标】 1.通过实例了解平面直角坐标系的建立与应用,掌握直角坐标系中的伸缩变换,并灵活地进行变换. 2.通过实例了解极坐标系的建立,会用极坐标表示极坐标系内的点,掌握极坐标的应用. 3.理解极坐标与直角坐标间的相互转化,掌握转化公式,并运用公式实现极坐标与直角坐标间的相互转化. 【重点难点预测】 重点：极坐标的定义 难点：直角坐标与极坐标间的互化 【学法指导】 小组合作、讨论交流 【导学流程】 一、创设情境 为了得到函数y=2sin2x的图象,需把函数y=sinx的图象进行怎样的变换? 二、课前预习导学 问题1:对上述函数图象进行伸缩变换,即先把函数y=sinx的图象上所有的点沿着,再沿着,即可得到函数y=2sin2x的图象. 问题2:平面直角坐标系中坐标伸缩变换的定义,设点P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点,在变换?:的作用下,点P(x,y)对应到点(x,y) P''',称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 问题3:极坐标系是如何建立的?点M的极坐标是如何定义的? 在平面内取一个定点O,叫作极点;自极点O引一条射线Ox,叫作;再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其(通常取方向),这样就建立了一个. 对于平面内任意一点M,用表示点M到极点O的距离,用表示以Ox为始边,以OM为终边的角度,其中ρ叫作,θ叫作,有序数对(ρ,θ)就叫作点M 的,记为. 问题4:直角坐标与极坐标如何互化? 将点M的极坐标(ρ,θ)化为直角坐标(x,y)的关系式为; 将点M的直角坐标(x,y)化为极坐标(ρ,θ)的关系式为. 三、基础学法交流1.直角坐标P(10,5)按照伸缩变换公式 1 2 1 2 x x y y ?' = ?? ? ?'= ?? 变换后的坐标是( ). A.P'(10,10) B.P'(5,10) C.P'(10,-5) D.P'(5,5) 2.将点P(-2,2)变换为P'(-6,1)的伸缩变换公式为( ). A. 1 3 2 x x y y ?' = ? ? ?'= ? B. 1 2 3 x x y y ?' = ? ? ?'= ? C. 3 1 2 x x y y '= ? ? ? '= ?? D. 3 2 x x y y '= ? ?' = ? 3.点P 的直角坐标为(,那么它的极坐标可表示为. 4.在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换 1 2 1 3 x x y y ?' = ?? ? ?'= ?? 后,曲线C:x2+y2=36变为何种曲线,其曲线方程是什么? 四、展示提升： 图形的伸缩变换 例一、求满足由曲线2x2-3y2=12变成曲线x2-y2=1的图形变换的伸缩变换. 极坐标 例二、已知极坐标系中点(2,) 2 A π ,3) 4 B π,O(0,0),则△AOB为( ). A.等边三角形 B.顶角为钝角的等腰三角形 C.顶角为锐角的等腰三角形 D.等腰直角三角形
一、坐标系 1、数轴 它使直线上任一点P 都可以由惟一的实数x 确定 2、平面直角坐标系 在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y ）确定。 3、空间直角坐标系 在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y,z ）确定。 二、平面直角坐标系的伸缩变换 定义：设P （x ，y ）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换???>=>=). 0(')0(,':μμλλφy y x x ④的作用下，点P （x ，y ）对应到点P ’（x ’，y ’），称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。 三．例题讲解 例1 在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形。 （1）2x+3y=0； （2）x 2+y 2=1 三、极坐标系 1、极坐标系的建立： 在平面上取一个定点O ，自点O 引一条射线OX ，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。 （其中O 称为极点，射线OX 称为极轴。） 2、极坐标系内一点的极坐标的规定 对于平面上任意一点M ，用 ρ 表示线段OM 的长度，用 θ 表示从OX 到 OM 的角度，ρ 叫做点M 的极径， θ叫做点M 的极角，有序数对（ρ，θ）就叫 做M 的极坐标。 特别强调：由极径的意义可知ρ≥0;当极角θ的取值范围是[0,2π)时,平面上的点(除去极点)就与极坐标（ρ，θ）建立一一对应的关系 .们约定,极点的极坐标是极径ρ=0,极角是任意角. 3、负极径的规定 在极坐标系中，极径ρ允许取负值，极角θ也可以去任意的正角或负角 当ρ＜0时，点M （ρ，θ）位于极角终边的反向延长线上，且OM=ρ。 M （ρ，θ）也可以表示为))12(,()2,(πθρπθρ++-+k k 或 )(z k ∈ 4、数学应用 例1 写出下图中各点的极坐标 A （4，0） B （2 ） C （ ） D （ ） E （ ） F （ ） G （ ） 规定：极点的极坐标是ρ=0，θ可以取任意角。 变式训练
极坐标系与参数方程 ◆ 知识梳理 一、极坐标 1、极坐标定义：M 是平面上一点，ρ表示OM 的长度，θ是MOx ∠，则有序实数实数对 (,)ρθ,ρ叫极径，θ叫极角；一般地，[0,2)θπ∈，0ρ≥。 2、极坐标和直角坐标互化公式：cos sin x y ρθρθ=??=? 或2 2 2 tan (0)x y y x x ρθ?=+? ? =≠?? ，θ的象限由点(,)x y 所 在象限确定. 二、常见曲线的极坐标方程 1、圆的极坐标方程 （1）圆心在极点，半径为r 的圆的极坐标方程是 ； （2）圆心在极轴上的点)0,(a 处，且过极点O 的圆的极坐标方程是 ； （3）圆心在点)2,(π a 处且过极点的圆O 的极坐标方程是 。 2、直线的极坐标方程 （1）过极点且倾斜角为α的直线的极坐标方程是 ； （2）过点)0,(a ，且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 ； 三、常见曲线的参数方程
第一节 平面直角坐标系中的伸缩、平移变换 【知识点】 定义1：设(,)P x y 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换'(0) :'(0)x x y y λλ?μμ=>??=>?的作用下， 点(,)P x y 的对应点为'(',')P x y 。称?为平面直角坐标系中的伸缩变换。 定义2： 在平面内，将图形F 上所有点按照同一个方向，移动同样长度，称为 图形F 的平移。若以向量a ρ表示移动的方向和长度，我们也称图形F 按向量a ρ 平移． 在平面直角坐标系中，设图形F 上任意一点P 的坐标为),(y x ，向量),(k h a =ρ ，平移后的对应点为),(y x P '''.则有：),(),(),(y x k h y x ''=+ 即有： x x h y y k '=+??'=+? ， 在平面直角坐标系中，由x x h y y k '=+??'=+?所确定的变换是一个平移变换。 因为平移变换仅改变图形的位置，不改变它的形状和大小．所以，在 平移变换作用下，曲线上任意两点间的距离保持不变。 【典例1】（2014年高考辽宁卷（文））将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . (I)写出C 的参数方程； （II ）设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程． 练习：
数学选修4-4 坐标系和参数方程 第一讲 直角坐标系和极坐标系 【基础知识】 1．平面直角坐标系的建立：在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。 2．空间直角坐标系的建立：在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。 3.平面直角坐标系中的伸缩变换 (0) (,){ (0) (,)(,)x x P x y y u y u P x y P x y λλφφ'=?>'=?>''定义：设点是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：的作用下，点对到应点，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换。 4．极坐标系的建立：在平面上取一个定点O ，自点O 引一条射线OX ，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。 （其中O 称为极点，射线OX 称为极轴。） 设M 是平面上的任一点，ρ表示OM 的长度，θ表示以射线OX 为始边，射线OM 为终边所成的角。那么有序数对(,)ρθ称为点M 的极坐标。其中ρ称为极径，θ称为极角。 约定：极点的极坐标是ρ=0，θ可以取任意角。 5.负极径的规定：在极坐标系中，极径ρ允许取负值，极角θ也可以去任意的正角或负角，当ρ＜0时，点M （ρ，θ）位于极角终边的反向延长线上，且OM = ρ。 M （ρ，θ）也可以表示为))12(,()2,(πθρπθρ++-+k k 或 )(z k ∈ 6．直角坐标与极坐标的互化 以直角坐标系的O 为极点，x 轴正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的单位长度平面内的任一点P 的直角坐标极坐标分别为（x ，y ）和 (,)ρθ，则cos ,sin .x y ρθρθ==222,tan (0).y x y x x ρθ=+= ≠ 【典型例题】 例1 求下列点经过伸缩变换'2, '3x x y y =??=?后的点的坐标： （1） （1，2）； （2） （-2，-1）. 【分析】利用伸缩(0) {(0) x x y u y u λλφ'=?>'=?>变换： 公式实行坐标之间的转化. 【解】（1）（2，6）；（2）（-4，-3）. 【点拨】利用伸缩(0) {(0) x x y u y u λλφ'=?>'=?>变换：公式是解决坐标与坐标之间、曲线与曲线之间变换的重要手段
课题:选修4-4《1.2.1极坐标系的概念》 执教人：高朝孟 执教班级：高二年级（18,26,27）班 执教时间：2016年06月18日 一、教学目标： 1、知识与技能： （1）理解极坐标的概念，弄清极坐标系的结构（建立极坐标系的四要素）；（2）理解广义极坐标系下点的极坐标（ρ，θ）与点之间的多对一的对应关系；（3）已知一点的极坐标会在极坐标系中描点，以及已知点能写出它的极坐标。 2、过程与方法： 能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系中刻画点的位置. 3、情感、态度与价值观： 通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 二、学情分析 学生在学习了数轴、平面直角坐标系、空间直角坐标系的初步知识的基础上，积累了一定类比、归纳推理等数学思维方法，对极坐标思想有一定的了解。 三、教学重点难点： 教学重点：理解极坐标的意义。 教学难点：能够在极坐标系中用极坐标确定点位置。 三、教学过程： 一、问题情境，导入新课： 情境1：钓鱼岛问题：中国海警如何确定日本渔船？ 3：利用数学建模，从问题情境中发现数学问题：分析利用方向、距离确定位置，
引出另一种更简单的坐标思想—极坐标的思想。 二、讲解新课： 1、合作探究，概念形成。 （1）学生阅读教材P8-P10页； （2）学生表述极坐标的建立，教师结合学生表述，展示PPT对极坐标的概念作深入分析。 极坐标系的建立： 在平面上取一个定点O，自点O引一条射线OX，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。（其中O称为极点，射线OX称为极轴。） 强调:极点、极轴、长度单位、角度单位和它的方向构成极坐标系的四要素，缺一不可。极坐标系就是用长度和角度来确定平面内点的位置。 2、极坐标系内一点的极坐标的表示 对于平面上任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，用θ表示从OX到OM的角度，ρ叫做点M的，θ叫做点M的，有序数对(,) ρθ就叫做M的 . 强调:一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．特别地，当点M在极点时，它的极坐标为(0，θ)，θ可以取任 意实数． 3、典型例题 例1 写出下图中各点的一个极坐标 A（）B（）C（） D（）E（）F（）G（） 【反思感悟】 (1)写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后，不能
三、简单曲线的极坐标方程 【基础知识导学】 1、极坐标方程的定义：在极坐标系中，如果平面曲线C 上任一点的极坐标中至少有一个满足方程0),(=θρf ，并且坐标适合方程0),(=θρf 的点都在曲线C 上，那么方程 0),(=θρf 叫做曲线C 的极坐标方程。 1． 直线与圆的极坐标方程 ① 过极点，与极轴成α角的直线 极坐标议程为 αθραθtan tan )(=∈=或R ②以极点为圆心半径等于r 的圆的 极坐标方程为 r =ρ 【知识迷航指南】 例1求（1）过点)4 ,2(π A 平行于极轴的直线。 （2）过点)3 , 3(πA 且和极轴成 4 3π 角的直线。 解（1）如图，在直线l 上任取一点),(θρM ，因为)4 ,2(π A ，所以|MH|=224 sin =?π 在直角三角形MOH 中|MH|=|OM|sin θ即2sin =θρ，所以过点)4 ,2(π A 平行于极轴的直线 为2sin = θρ。 （2）如图 ，设M ),(θρ为直线l 上一点。 )3 , 3(π A ， OA =3，3 π= ∠AOB x
由已知4 3π=∠MBx ，所以125343π ππ=-=∠OAB ，所以127125πππ= -=∠OAM 又θπ θ-= -∠=∠4 3MBx OMA 在?MOA 中，根据正弦定理得 12 7sin )43sin(3πρ θπ= - 又426)34sin(127sin +=+=πππ 将)4 3sin(θπ -展开化简可得23233)cos (sin += +θθρ 所以过)3 ,3(π A 且和极轴成 4 3π 角的直线为：23233)cos (sin +=+θθρ 〔点评〕求曲线方程，关键是找出曲线上点满足的几何条件。将它用坐标表示。再通过代数变换进行化简。 例2（1）求以C(4,0)为圆心，半径等于4的圆的极坐标方程。（2）从极点O 作圆C 的弦ON ，求ON 的中点M 的轨迹方程。 解：（1）设),(θρp 为圆C 上任意一点。圆C 交极轴于另一点A 。由已知 OA =8 在直角?AOD 中θcos OA OD =，即 θρcos 8=， 这就是圆C 的方程。 （2）由4==OC r 。连接CM 。因为M 为弦ON 的中点。所以ON CM ⊥，故M 在以OC 为直径的圆上。所以，动点M 的轨迹方程是：θρcos 4=。 〔点评〕 在直角坐标系中，求曲线的轨迹方程的方法有直译法，定义法，动点转移法。在极坐标中。求曲线的极坐标方程这几种方法仍然是适用的。例2中（1）为直译法，（2）为定义法。此外（2）还可以用动点转移法。请同学们尝试用转移法重解之。 例3 将下列各题进行直角坐标方程与极坐标方程的互化。 （1）x y 42= （2）3 π θ= （3）12 cos 2 =θ ρ （4）42cos 2=θρ 解：（1）将θρθρsin ,cos ==y x 代入x y 42=得θρθρcos 4)sin (2=化简得 θθρsin 4sin 2= （2）∵x y = θtan ∴ 33tan ==x y π 化简得：)0(3≥=x x y （3）∵12cos 2=θρ ∴ 12 cos 1=+θ ρ。即2cos =+θρρ 所以 222=++x y x 。 化简得 )1(42--=x y 。 （4）由42cos 2=θρ 即4)sin (cos 222=-θθρ 所以 422=-y x 〔点评〕 （1）注意直角坐标方程与极坐标方程互化的前提。 （2）由直角坐标求极坐标时，理论上不是唯一的，但这里约定πθρ20,0<≤>
§1.3.1极坐标系 教学目标: 一、知识与技能： 知道在极坐标系中刻画点的位置的方法； 二、方法与过程 借助生活中的实例引入极坐标的概念；比较点在极坐标系和平面直角坐标系中的坐标关系 三、情感、态度与价值观 体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别； 教学重点:极坐标（ρ，θ）与平面上的点的关系 教学难点：极坐标（ρ，θ）与平面上的点的关系； 教学过程 一、新课引入： 直角坐标系是最常用的坐标系，但它不是用数来刻画点的位置的唯一方法，用哪种方法最方便，要对具体问题作具体分析。 如力所示，缉私观测站位于点O处，看到们于点A处的走私船正在逃跑，现停泊于点O处的缉私船追击走私船，随时需要观测站提供走私船所在的位置P。对船舶来说，最方便的数据不是走私船所在点的直角坐标（x，y），而是它的方位角，即夹角θ。在航空和航海中的情况都是这样。 当用炮兵指挥仪指示射击目标时，输出的是目标方位，即方向和距离。在日常生活中，我们也经常用距离和角度指示位置。用距离和方向刻画点的位置，这是建立极坐标系的基本思路。 二、讲解新课：
在平面内取定一点O ，O 点叫作极点：从O 起引一条射线O x ，这条从极点起的射线O x 叫作极轴；选定长度单位，再选定角度的下方向（逆时针转角为正向），这种取定了极点、极轴、长度单位与角度正向的坐标系叫作极坐标系。 对于平面上的一个点M ，连接极点O 与M ，线段OM 之长ρ叫作M 点的极径（或矢径、或向径），极轴O x 为始边按逆时针转到OM 的角θ叫作M 点的极角，有序数对（ρ，θ）叫作M 点的极坐标。 当M 在极点时，它的极径ρ=0，极角θ可取任何实数。 在极坐标系中，若无特殊声明，ρ是非负实数，[)+∞∈,0ρ，),(+∞-∞∈θ。 当[)πθρ2,0,0∈>时，平面上的点与极坐标一一对应。事实上，对给定的ρ与θ，由极坐标（ρ，θ）可以唯一地确定一个点M ，但是反过来，平面上给定一点，却可以写出这个点的无数多个极坐标。根据点的极坐标（ρ，θ）的定义，对于给定的点，它的极径ρ是唯一确定的，但极角却可以有无穷多种，如果我们写出了它的极坐标（ρ，θ），则（ρ，πθn 2+）也是这个点的 极坐标，其中n 是任意整数，当0>n 时，πθn 2+表示从该点起绕极点O 逆时针转动了n 圈又回到原处，当0 001-质点运动的描述 （包括在直角坐标系与自然坐标系中描述） 相对运动 1．选择题 1．一个质点在做匀速率圆周运动时（ ） (A) 切向加速度改变，法向加速度也改变． (B) 切向加速度不变，法向加速度改变． (C) 切向加速度不变，法向加速度也不变． (D) 切向加速度改变，法向加速度不变． 答：（B ） 2．一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表示式为 j bt i at r 2 2 +=（其中a 、b 为常量）, 则该质点作 （ ） (A) 匀速直线运动． (B) 变速直线运动． (C) 抛物线运动． (D)一般曲线运动． 答：（B ） 3．一质点沿x 轴作直线运动，其v -t 曲线如图所示，如t =0时，质点位于坐标原点，则t =4.5 s 时，质点在x 轴上的位置为（ ） (A) 5m ． (B) 2m ． (C) -5 m. (D) -2 m 4．根据瞬时速度矢量v 的定义，在直角坐标系下，其大小||v 可表示为 （ ） (A) dr dt ． (B)dx dy dz dt dt dt ++． (C)| |||||dx dy dz i j k dt dt dt ++. (D) 答：（D ） 5．质点做匀速率圆周运动时，其速度和加速度的变化情况为 （ ） （A ）速度不变，加速度在变化 （B ）加速度不变，速度在变化 （C ）二者都在变化 （D ）二者都不变 答：（C ） 6．某质点作直线运动的运动学方程为x ＝3t -5t 3 + 6 (SI)，则该质点作（ ） (A) 匀加速直线运动，加速度沿x 轴正方向． (B) 匀加速直线运动，加速度沿x 轴负方向． (C) 变加速直线运动，加速度沿x 轴正方向． (D) 变加速直线运动，加速度沿x 轴负方向． 答：（D ） - 《基于自然坐标的双摆运动学模型》 班级： 姓名： 学号： 题目：一个双摆系统的初始位置如图1所示：匀质杆a 与水平呈45度， 长质心在P2；匀质杆b 呈水平放置，长2米，质心在P4；点P1和P2处为转动铰。 P 4 图1 图2 o ’2 图3 图4 解答： （1）见图2，建立全局笛卡尔坐标系OXY ，各点的全局笛卡尔坐标为 1234012P ,P ,P ,P 0122????????====?????????????????? 3?v v v 1112 （2）见图3，在每个杆上建立与质心笛卡尔坐标系重合的标准自然坐标系和o u ， 111o u v 222（3）见图4，经过调整得到实际自然坐标系o i 和o u ， 111'222'令57913111222681024',,,',,x x x x x x x x x x x x ???????????? ======??????? ??????????? ??????o i v o u v ，则双摆系统的自然坐标矢量为即该双摆可以用12个 自然坐标描述。 [1112221212',,,',,,,...,,T T T T T T T T x x x ??==??x o i v o u v x 或] （4）在t0时刻（初始时刻）自然坐标系中各要素的全局笛卡尔分量为： 00000011122202212'|,|,|,'|,|,|02202t t t t t t ???? ??????======???????????????? ??????? ? o i v o u v 010 （5）在任意时刻t ， 对实际自然坐标系下列刚体条件始终成立 111'o i v 00 111111111111111111(')(')|(')(')|||(')|(')|t t t t t t ???=????=???=??i o i o i o i o v v v v i o v i o v 即2231422 2 56315426()()8 1 ()()x x x x x x x x x x x x ?+?=+=?+?= 对实际自然坐标系下列刚体条件始终成立 222'o u v 000 222222222222||||||t t t t t t ?=??=??=?u u u u v v v v u v u v 即 2291022 111291110121 1 x x x x x x x x +=+=+=（6）在任意时刻t ， P1处转动铰的约束方程为： 1'=P o 1即 1200 x x ==P2处转动铰的约束方程为： 21'=o i 即 7384 x x x x == （7）结论： 双摆的运动学模型为（不计2个运动驱动方程）： 22314222 5631542622 9102211129111012127384()()1()()11000x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ??+?=?+=? ??+?=?+=? ?+=? ? +=??=? =? ?=? =?? 80 双摆系统的自由度f=2，自然坐标数量n=12，约束方程数量m=10，且满足f=n-m001-质点运动的描述(包括在直角坐标系与自然坐标系中描述)、相对运动
基于自然坐标的双摆运动学模型
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