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弹性力学 第五章 第五章 弹性力学的求解方法和一般性原理

弹性力学 第五章 第五章 弹性力学的求解方法和一般性原理
弹性力学 第五章 第五章 弹性力学的求解方法和一般性原理

第五章弹性力学的求解方法和一般性原理知识点

弹性力学基本方程

边界条件

位移表示的平衡微分方程

应力解法

体力为常量时的变形协调方程

物理量的性质

逆解法和半逆解法

解的迭加原理,弹性力学基本求解方法位移解法

位移边界条件变形协调方程混合解法

应变能定理

解的唯一性原理圣维南原理

一、内容介绍

通过弹性力学课程学习,我们已经推导和确定了弹性力学的基本方程和常用公式。本章的任务是对弹性力学所涉及的基本方程作一总结,并且讨论具体地求解弹性力学问题的方法。

弹性力学问题的未知量有位移、应力和应变分量,共计15个,基本方程有平衡微分方程、几何方程和本构方程,也是15个。面对这样一个庞大的方程组,直接求解显然是困难的,必须讨论问题的求解方法。根据这一要求,本章的主要任务有三个:

一是综合弹性力学的基本方程,并按边界条件的性质将问题分类;

二是根据问题性质,确定基本未知量,建立通过基本未知量描述的基本方程,得到基本解法。弹性力学问题的基本解法主要是位移解法、应力解法和混合解法等。应该注意的是对于应力解法,基本方程包括变形协调方程。

三是介绍涉及弹性力学求解方法的一些基本原理。主要包括解的唯一性原理、叠加原理和圣维南原理等,这些原理将为今后的弹性力学问题解建立基础。

如果你在学习本章内容时有困难,请及时查阅和复习前三章相关内容,以保证今后课程的学习。

二、重点

1、弹性力学的基本方程与边界条件分类;

2、位移解法与位移表示

的平衡微分方程;3、应力解法与应力表示的变形协调方程;4、混合

解法;5、逆解法和半逆解法;6、解的唯一性原理、叠加原理和圣维

南原理

§5.1 弹性力学的基本方程及其边值问题

学习思路:

通过应力状态、应变状态和本构关系的讨论,已经建立了一系列的弹性力学基本方程和边界条件。本节的主要任务是将基本方程和边界条件作综合总结,并且对求解方法作初步介绍。

弹性力学问题具有15个基本未知量,基本方程也是15个,因此问题求解归结为在给定的边界条件下求解偏微分方程。

由于基本方程与15个未知量的内在联系,例如已知位移分量,通过几何方程可以得到应变分量,然后通过物理方程可以得到应力分量;反之,如果已知应力分量,也可通过物理方程得到应变分量,再由几何方程的积分求出位移分量,不过这时的应变分量必须满足一组补充方程,即变形协调方程。基于上述的理由,为简化求解的难度,可以选取部分未知量作为基本未知量求解。

根据基本未知量,弹性力学问题可以分为应力解法、位移解法和混合解法。

上述三种求解方法对应于偏微分方程的三种边值问题。

学习要点:

1、弹性力学基本方程;

2、本构方程;

3、边界条件;

4、弹性力学边值问题1、弹性力学基本方程

首先将弹性力学基本方程综合如下

1、平衡微分方程

用张量形式描述

2、几何方程

用张量形式描述

3、变形协调方程

4、本构方程-广义胡克定律

用应力表示的本构方程

用应变表示的本构方程

2、边界条件

如果物体表面的面力F s x,F s y,F s z为已知,则边界条件应为

称为面力边界条件,用张量符号表示为。

如果物体表面的位移已知,则边界条件应为

称为位移边界条件。除了面力边界条件和位移边界条件,还有混合边界条件。

综上所述,弹性力学的基本未知量为三个位移分量,六个应力分量和六个应变分量,共计十五个未知量。基本方程为三个平衡微分方程,六个几何方程和六个物理方程,也是十五个基本方程。

这里没有考虑变形协调方程,原因是位移已经作为基本未知量。对于任意的单值连续的位移函数,如果设其有三阶的连续导数,则变形协调方程仅仅是几何方程微分的结果,自然地满足,所以位移作为基本未知量时,不需要考虑变形协调方程。

要使基本方程有确定的解,还要有对应的面力或位移边界条件。

弹性力学的任务

就是在给定的边界条件下,就十五个未知量求解十五个基本方程。

3、弹性力学边值问题

当然,具体求解弹性力学问题时,并不需要同时求解十五个基本未知量,可以而且必须做出必要的简化。根据几何方程和本构方程可见,位移、应力和应变分量之间不是相互独立的。

假如已知位移分量,通过几何方程可以得到应变分量,然后通过物理方程可以得到应力分量。反之,如果已知应力分量,也可通过物理方程得到应变分量,再由几何方程的积分求出位移分量,不过这时的应变分量必须满足一组补充方程,即变形协调方程。

基于上述的理由,为简化求解的难度,选取部分未知量作为基本未知量。

若以位移函数作为基本未知量求解,称为位移解法;

若以应力函数作为基本未知量,称为应力解法;

若以部分位移分量和部分应力分量作为基本未知量,称为混合解法。

在给定的边界条件下,求解偏微分方程组的问题,数学上称为偏微分方程的边值问题。

按照不同的边界条件,弹性力学有三类边值问题。

第一类边值问题:已知弹性体内的体力F b x,F b y,F b z和其表面的面力F s x,F s y,F s z,求平衡状态的弹性体内各点的应力分量和位移分量,这时的边界条件为面力边界条件。

第二类边值问题:已知弹性体内的体力分量F b x,F b y,F b z以及表面的位移分量,求平衡状态的弹性体内各点的应力分量和位移分量,这时的边界条件为位移边界条件。

第三类边值问题:已知弹性体内的体力分量F b x,F b y,F b z,以及物体表面的部分位移分量和部分面力分量,求平衡状态的弹性体内各点的应力分量和位移分量。这时的边界条件在面力已知的部分,用面力边界条件,位移已知的部分用位移边界条件,称为混合边值问题。

以上三类边值问题,代表了一些简化的实际工程问题。若不考虑物体的刚体位移,则三类边值问题的解是唯一的。

§5.2 位移解法-位移表示的平衡微分方程

学习思路:

以位移函数作为基本未知量求解弹性力学问题的方法称为位移法。

位移解法的基本方程是位移表示的平衡微分方程。位移分量求解后,则可以通过几何方程和物理方程求出相应的应变分量和应力分量。

如果问题的边界条件为位移边界条件,边界条件描述比较简单。如果问题为面力边界条件,由于边界条件是通过位移函数的导数描述的,因此应用困难。

总之若以位移为基本未知函数求解时,归结为在给定的边界条件下求解位移表示的平衡微分方程,即拉梅方程。

学习要点:

1、位移表示的应力分量;

2、位移表示的平衡微分方程;

3、位移边界条件

1、位移表示的应力分量

位移解法是以位移函数作为基本未知函数求解的,所以需要通过几何方程将位移函数表达为应变分量,再通过物理方程将其表达为应力分量,代入平衡微分方程即可得到位移解法的基本方程。

首先,根据物理方程和几何方程,可以得到由位移分量表达的应力分量,即

其中

2、位移表示的平衡微分方程

将上述位移表示的应力分量代入平衡微分方程,整理后可得

这里是拉普拉斯运算符号,即。

上述方程是以位移表示的平衡微分方程,称为拉梅(Lamé)方程,它可以表示为张量形式

或表达为矢量形式

上式中为拉普拉斯算符矢量。

3、位移边界条件

对于边界条件,如果物体表面的位移已知,则直接由位移形式给定,即使用位移边界条件

如果给定的边界条件是物体表面的面力,则面力边界条件式需用位移分量表示,将应力分量代入物理方程,整理可得位移分量表示的面力边界条件

或表达为张量形式

显然,如果给定的边界条件是面力边界条件,那么位移解法的边界条件表达式十分复杂,因此求解的难度将是比较大的。

总之,如果以位移函数作为基本未知函数求解弹性力学问题,归结为在给定的边界条件下求解位移表示的平衡微分方程,即拉梅方程。

位移分量求解后,则可通过几何方程和物理方程求出相应的应变分量和应力分量。

§5.3 应力解法-应力表示的应变协调方程

学习思路:

如果选用应力分量或者应力函数作为基本未知量求解弹性力学问题称为应力解法。

应力解法的基本方程不仅有平衡微分方程,而且有变形协调方程。因为仅仅满足平衡微分方程的应力分量并不一定是真实应力,这组应力分量求出的应变分量代入几何方程,将可能得到一组矛盾方程,这就不可能求出单值连续的位移分量。

由于变形协调方程是应变表示的,在应力解法中,需要转化为基本未知量应力分量表示。

利用平衡微分方程的求导形式简化变形协调方程,可以得到应力分量表示的变形协调方程。

总之,在以应力函数作为基本未知量求解时,归结为在给定的边界条件下,求解平衡微分方程和应力表达的变形协调方程所组成的偏微分方程。

学习要点:

1、应力解法的基本方程;

2、变形协调方程的简化;

3、应力分

量表达的变形协调方程;4、体力为常量时的变形协调方程。

1、应力解法的基本方程

以应力作为基本未知函数求解弹性力学问题时,应力分量必须满足平衡微分方程和面力边界条件。

但是仅此还不够,仅仅满足上述条件的应力分量并不是真正的应力。因为这组应力分量求出的应变分量代入几何方程,将可能得到一组矛盾方程,不可能求出单值连续的位移分量。要使这组方程不矛盾,则要求应力分量不仅满足平衡微分方程和面力边界条件,而且应力分量对应的应变分量必须满足变形协调方程。

这个问题也可以从物理上解释,应力分量满足平衡微分方程和面力边界条

件,只能保证物体的平衡,但是不能保证物体的连续。只有这组应力分量求出的应变分量满足变形协调方程时,才能保证变形后的物体是连续的。

当位移分量作为基本未知函数求解时,变形协调方程是自然满足的。如果位移表示基本未知量,只有应力作为基本未知函数求解时,变形协调方程作为一组补充方程是必须的。

因此,对于应力解法,应力分量必须满足平衡微分方程和变形协调方程。

由于变形协调方程是由应变分量表达的,在应力解法中,需要将其转换为由应力分量表达。

将物理方程改写为

其中

将上式代入变形协调方程的第一,四两式,可得

轮换x,y,z可得其余四个方程,由此可得应力表达的变形协调方程。

2、变形协调方程的简化

为了使问题进一步简化,就是使上式有更简单的形式,利用平衡微分方程再次对变形协调方程作进一步的简化。

将平衡微分方程的第一和第二两式分别对x,y求偏导数后再相加,则

将上式代入应力分量表示的变形协调方程第一式

并且注意到,可得

轮换x,y,z以后,可得另外两个类似的公式。

将轮换后得到的三个公式相加,可得

将上式回代到简化方程

可得

轮换x,y,z以后,可得另外两个类似的公式。

3、应力分量表达的变形协调方程

下面我们对应力分量表示的变形协调方程的第二式作简化

首先对平衡微分方程的第二和第三两式分别对z,y求偏导数,然后相加可以得到

将上式与变形协调方程的第二式相加后并整理,可得

上式为简化后的方程,轮换x,y,z以后,可得另外两个类似的公式。

综上所述,我们一共得到以下六个关系式

上述方程即为应力分量表达的变形协调方程,通常称为贝尔特拉米-米切尔方程。

4、体力为常量时的变形协调方程

如果弹性体体力为常量,则应力分量表达的变形协调方程可以简化为

上述方程为应力分量表达的变形协调方程,通常简称为应力协调方程。但是应该注意:应力是不需要协调的,其实质仍为应变分量所满足的变形协调关系。

如果用张量形式表达,则上述公式可写作

总而言之,在以应力函数作为基本未知量求解时,归结为在给定的边界条件下,求解平衡微分方程和应力表达的变形协调方程所组成的偏微分方程组。

§5.4 混合解法

学习思路:

如果选取应力分量和位移分量作为基本未知量求解弹性力学问题,称为混合解法。

基本方程为平衡微分方程和应力分量表达的几何方程。

混合解法三个平衡微分方程和六个几何方程,共计九个方程对应九个未知函数,加上给定的边界条件,则可得到唯一的解。

学习要点:1、弹性力学的混合解法

1、弹性力学的混合解法

混合解法以六个应力分量和三个位移分量作为基本未知量求解弹性力学问

题。通过物理方程中消去应变分量,其基本方程为平衡微分方程和由应力分量表达的几何方程,即

这里有三个平衡微分方程和六个几何方程,共计九个方程对应九个未知函数,加上给定的边界条件,则可得到唯一的解。

弹性力学的基本求解方法的应用要根据问题性质,主要是根据边界条件选择使用。

对于面力边界条件问题,使用应力解法;

位移边界条件应用位移解法;

混合解法主要应用于混合边界条件,即弹性体的部分边界位移已知,部分边界面力已知的问题。

§5.5 体力为常量时一些物理量的特性

学习思路:

本节讨论体力为常量条件下,弹性力学的基本未知量的特性。通过这些物理量性质的研究,将有助于今后进一步探讨弹性力学问题。

从位移表达的平衡微分方程和应力表达的变形协调方程入手,可以得到体积应力函数和体积应变函数均为调和函数;而位移分量,应变分量和应力分量均为双调和函数。

学习要点:

1、体积应力和体积应变;

2、位移分量;

3、应力和应变分量。

1、体积应力和体积应变

本节将从位移表达的平衡微分方程和应力表达的变形协调方程入手,推导体力为常量时的应力分量,应变分量,位移分量,以及体积应力和体积应变所遵循的规律,为进一步分析和理解弹性力学问题作必要的准备。

将位移分量表示的平衡微分方程的三个公式分别对x,y,z求偏导数,然后相加可得

由于

所以

由体积应力和体积应变的关系,可得

由上述公式可知,如果体力为常量,体积应力和体积应变均满足拉普拉斯(Laplace)方程,即体积应力函数和体积应变函数均为调和函数。

2、位移分量

如果对位移表示的平衡微分方程作Laplace算符运算,并注意到

由于体积应变均满足拉普拉斯(Laplace)方程,所以

写作张量形式

3、应力和应变分量

同理,对应力表示的变形协调方程作Laplace算符运算,则有

根据胡克定律,可得

写作张量形式

根据上述公式可以看出,如果体力为常量,位移分量,应变分量和应力分量均满足双调和方程。也就是说,它们均为双调和函数。

§5.6 弹性力学解的唯一性原理

学习思路:

本节通过应变能原理推导弹性力学的解的唯一性定理。

弹性力学解的唯一性定理:假如弹性体内受已知体力的作用,物体表面面力已知,或者表面位移已知;或者部分表面面力已知,部分表面位移已知。则弹性体处于平衡状态时,弹性体内任一点的应力分量和应变分量都是唯一的。对于表面有部分或全部位移已知的,则位移分量也是唯一的。

解的唯一性定理证明可以根据不同的方法证明。

解的唯一性定理的意义是为弹性力学问题的求解提供了重要的理论依据。由于偏微分方程边值问题求解的困难,因此在弹性力学问题分析中,经常需要使用逆解法或半逆解法。而解的唯一性定理为这些方法奠定了基础。

学习要点:

1、应变能定理;

2、解的唯一性原理;

3、解的唯一性原理与边界条件

1、应变能定理

为了证明弹性力学解的唯一性定理,首先证明一个重要的定理,即应变能定理。

应变能定理是指:弹性体在外力作用下处于平衡状态时,物体内存储的弹性势能,即应变能,等于外力由原始位置到平衡位置所做的功。假如外力是由零连续变化到其最终数值的,则在加载的过程中,物体始终是处于平衡状态的。

以下证明弹性体的应变能定理。设弹性体处于体力F b x, F b y, F b z和面力F s x, F s y, F s z的作用下,弹性体内产生位移u,v,w。则外力在位移过程中作功为

将面力边界条件代入上式的第二个积分,并利用高斯积分公式,可得

因此

由此可以证明,外力所做的功等于弹性体存储的弹性势能。

2、解的唯一性原理

利用变形能定理,容易证明弹性力学解的唯一性定理。

唯一性定理认为:假如弹性体内受已知体力的作用,表面受已知面力作用,或者表面位移为已知;或者部分表面面力已知,部分表面位移已知。则弹性体处于平衡状态时,弹性体内任一点的应力分量和应变分量都是唯一的。如果弹性体表面有部分或全部位移已知,则位移分量也是唯一的。

下面我们证明解的唯一性定理。

假设在同一体力F b x, F b y, F b z的作用下,并在同一边界条件下有两组不同的弹性力学解,有两组不同的位移分量,应变分量和应力分量,即

第一组为

第一组为

为了证明这两组解相同,假设这两组解的差为一组新的解答,有

由于第一组应力和第二组应力均为弹性力学的解,其应力应满足平衡微分方程。因此,两组平衡微分方程相减可得

因此,第三组应力满足体力为零的平衡微分方程。

3、解的唯一性原理与边界条件

由于两组应力同时满足相同的边界条件,其对应三种情况:

1、第一种边界条件:前两组应力满足相同的面力边界条件,则第三组应力将满足面力为零的边界条件,有

2、第二种边值问题:前两组位移满足相同的位移边界条件,则第三组位移将满足边界零位移的边界条件,即

3、第三种边值问题,在表面面力已知的部分,将满足面力为零的边界条件,在表面位移已知的部分,将满足零位移的边界条件。

上述分析表明,第三组应力在弹性体内满足无体力的平衡微分方程,在弹性体的表面,或者是面力为零,或者是位移为零,或者是部分面力为零而部分位移为零。根据应变能公式,可以得到

由于U0≥0,所以上式成立的条件为:U0 =0。所以

由此可以证明

由此证明了在弹性力学问题中,应力分量和应变分量是唯一的。

对于位移分量,在第一类边值问题中,对于完全确定的应变分量,在对几何方程积分求解位移时,求解的位移分量将允许有一个刚体位移,即可以相差

容易理解,上述公式表示的刚体位移在第二类和第三类边值问题中,由于弹性体的表面全部或者部分位移为已知,此时刚体位移将为零。因此在第二类和第三类边值问题中,位移分量也是唯一的。

§5.7 逆解法与半逆解法解的迭加原理

学习思路:

由于偏微分方程边值问题求解困难,因此直接由给定的边界条件求解弹性力学的基本方程几乎是不可能的。所以对于弹性力学问题的求解,经常采用的方法是逆解法和半逆解法。

逆解法就是根据问题的性质,确定基本未知量,写出相应的基本方程并且假设一组满足全部基本方程的应力函数或位移函数。然后在确定的坐标系下,考察具有确定的几何尺寸和形状的物体,其表面将受什么样的面力作用或者将有什么样的位移,然后确定假设的函数。

半逆解法就是对于给定的弹性力学问题,根据弹性体的几何形状,受力特征和变形的特点或已知的一些简单结论,如材料力学得到的初等结论,假设部分应力分量或者部分位移分量的函数形式为已知,由基本方程确定其他的未知量,然后根据边界条件确定未知函数中的待定系数。

逆解法和半逆解法将在以后的章节中作介绍。其求解过程带有“试算”的性质,显然弹性力学解的唯一性定理是逆解法和半逆解法的理论依据。

解的迭加原理:弹性力学解的迭加原理是指在线弹性条件下,对于满足小变形条件的弹性体,在两组不同的外力作用下所得到的弹性力学解相加等于这两组外力同时作用于弹性体的解答。

学习要点:

1、逆解法和半逆解法;

2、解的迭加原理。

1、逆解法和半逆解法

对于一般的工程构件,即弹性体,由于偏微分方程边值问题在数学上求解的困难,因此直接根据给定的边界条件求解弹性力学的基本方程是十分困难的。

为了避开偏微分方程边值问题直接求解的困难,在弹性力学问题的求解中,经常采用的方法是逆解法和半逆解法。

逆解法就是根据研究问题的性质和研究对象特点,确定基本未知量,写出相应的基本方程并且假设一组满足全部基本方程的应力函数或位移函数。然后在确定的坐标系下,考察具有确定的几何尺寸和形状的物体,根据边界条件确定表面作用面力或者已知位移。由此确定假设函数可以求解的弹性力学问题。

半逆解法就是对于给定的弹性力学问题,根据弹性体的几何形状,受力特征和变形的特点或者已知的一些简单结论,如材料力学得到的初等结论,假设部分应力分量或者部分位移分量的函数形式为已知,由基本方程确定其他的未知量,然后根据边界条件确定未知函数中的待定系数。

逆解法和半逆解法的应用将在以后的章节中作详细介绍。

逆解法和半逆解法的求解过程带有"试算"的性质,显然弹性力学解的唯一性定理是逆解法和半逆解法的理论依据。

2、解的迭加原理。

解的迭加原理:弹性力学解的迭加原理是指在线弹性条件下,对于满足小变形条件的弹性体,在两组不同的外力作用下所得到的弹性力学解相加等于这两组外力共同作用于弹性体的解答。

以下我们简单证明解的迭加原理。

设弹性体在第一组外力,体力F b x,F b y,F b z和面力F s x,F s y,F s z作用下,产生的应力分量为σ ij;

同一弹性体在第二组外力,体力F'b x,F'b y,F'b z和面力F's x,F's y,F's z作用下,产生的应力为σ'ij。

显然上述两组外力所产生的两组应力均应满足平衡微分方程和应力表示的变形协调方程,以及对应的边界条件。由于基本方程和边界条件都是线性的,因此迭加后的应力显然满足两组外力共同作用时的平衡微分方程和边界条件。即迭加后的应力满足全部基本方程和边界条件,是两组外力共同作用时的弹性力学解

弹性力学教学大纲

课程编号:05z8514 弹性力学Theory of Elasticity 学分学时:3/48 先修课程: 高等数学;线性代数;理论力学;材料力学 一、课程教学目标 《弹性力学》是航空、航天结构强度和力学专业的重要专业基础课程,是固体力学的一个分支。主要研究弹性体受外力作用或温度改变等原因而产生的应力、位移和变形。弹性力学的任务是分析各种结构或其构件在弹性阶段的应力和位移,校核它们是否具有所需的强度、刚度和稳定性,并寻求或改进它们的计算方法。本课程的主要研究对象为非杆状结构,如板、壳以及其它实体结构。通过本课程的学习可为进一步学习力学类和相关工程类的后续课程打下坚实的力学基础。 二、教学内容及基本要求 1. 绪论(2学时) 弹性力学的发展史;研究内容;基本假设;矢量、张量基本知识。 2. 应力理论(4学时) 内力和应力;斜面应力公式;应力分量转换公式;主应力、应力不变量;最大剪应力;应力偏量;平衡微分方程。 3. 应变理论(4学时) 位移和变形;几何方程;转动张量;主应变和应变不变量;变形协调方程;位移场的单值条件;由应变求位移。 4. 本构关系(2学时) 热力学定律与应变能;本构关系;具有弹性对称面的弹性材料的本构关系;各向同性弹性材料的弹性常数;各向同性弹性材料的应变能密度 5. 弹性理论的建立与一般原理(4学时) 弹性力学基本方程和边界条件;位移解法和拉梅方程;应力解法与变形协调方程;叠加原理;解的唯一性原理;圣维南原理。 6.柱形杆问题(4学时) 圣维南问题;柱形扭转问题的基本解法;反逆法与半逆法,扭转问题解例;薄膜比拟;*柱形杆的一般弯曲。 7.平面问题(12学时) 平面问题及其分类;平面问题的基本解法;应力函数的性质;直角坐标解例(矩形梁的纯弯曲、简支梁受均布载荷和任意分布载荷);极坐标中的平面问题基本方程;轴对称问题(均匀圆筒或圆环、纯弯的曲梁、压力隧洞);非轴对称问题(小圆孔应力集中、楔体问题);关于解和解法的讨论。 8. 空间问题(2学时) 基本方程及求解方法;空间轴对称和球对称问题的基本方程;半空间体受重力及均布压力;半空间体在边界上受法向集中力;空心球受内压作用问题。 9.能量原理与变分法(6学时) 弹性体的变形比能与形变势能;变分法;位移变分方程;位移变分法;位移变分法应用于平面问题;应力变分方程与极小余能原理;应力变分法;应力变分法应用于平面问题;应力变分法应用于扭转问题。 10.复变函数解法或薄板弯曲(4学时)

弹性力学复习重点+试题及答案【整理版】

弹性力学2005 期末考试复习资料 一、简答题 1.试写出弹性力学平面问题的基本方程,它们揭示的是那些物理量之间的相互关系?在应用这些方程时,应注意些什么问题? 答:平面问题中的平衡微分方程:揭示的是应力分量与体力分量间的相互关系。应注意两个微分方程中包含着三个未知函数σx、σy、τxy=τyx ,因此,决定应力分量的问题是超静定的,还必须考虑形变和位移,才能解决问题。 平面问题的几何方程: 揭示的是形变分量与位移分量间的相互关系。应注意当物体的位移分量完全确定时,形变量即完全确定。反之,当形变分量完全确定时,位移分量却不能完全确定。 平面问题中的物理方程:揭示的是形变分量与应力分量间的相互关系。应注意平面应力问题和平面应变问题物理方程的转换关系。 2.按照边界条件的不同,弹性力学问题分为那几类边界问题? 试作简要说明。 答:按照边界条件的不同,弹性力学问题分为位移边界问题、应力边界问题和 混合边界问题。 位移边界问题是指物体在全部边界上的位移分量是已知的,也就是位移的边界值是边界上坐标的已知函数。 应力边界问题中,物体在全部边界上所受的面力是已知的,即面力分量在边界上所有各点都是坐标的已知函数。 混合边界问题中,物体的一部分边界具有已知位移,因而具有位移边界条件;另一部分边界则具有应力边界条件。 3.弹性体任意一点的应力状态由几个应力分量决定?试将它们写出。如何确定它们的正负号? 答:弹性体任意一点的应力状态由6个应力分量决定,它们是:x 、y 、z 、xy 、yz、、zx。正面上的应力以沿坐标轴正方向为正,沿坐标轴负方向为负。负面上的应力以沿坐标轴负方向为正,沿坐标轴正方向为负。 4.在推导弹性力学基本方程时,采用了那些基本假定?什么是“理想弹性体”?试举例说明。 答:答:在推导弹性力学基本方程时,采用了以下基本假定:(1)假定物体是连续的。 (2)假定物体是完全弹性的。 (3)假定物体是均匀的。 (4)假定物体是各向同性的。 (5)假定位移和变形是微小的。 符合(1)~(4)条假定的物体称为“理想弹性体”。一般混凝土构件、一般土质地基可近似视为“理想弹性体”。 5.什么叫平面应力问题?什么叫平面应变问题?各举一个工程中的实例。 答:平面应力问题是指很薄的等厚度薄板只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的 面力,同时体力也平行于板面并且不沿厚度变化。如工程中的深梁以及平板坝的平板 支墩就属于此类。 平面应变问题是指很长的柱型体,它的横截面在柱面上受有平行于横截面而且不沿长 度变化的面力,同时体力也平行于横截面而且也不沿长度变化,即内在因素和外来作 用都不沿长度而变化。 6.在弹性力学里分析问题,要从几方面考虑?各方面反映的是那些变量间的关系? 答:在弹性力学利分析问题,要从3方面来考虑:静力学方面、几何学方面、物理学方面。 平面问题的静力学方面主要考虑的是应力分量和体力分量之间的关系也就是平面问 题的平衡微分方程。平面问题的几何学方面主要考虑的是形变分量与位移分量之间的 关系,也就是平面问题中的几何方程。平面问题的物理学方 面主要反映的是形变分量与应力分量之间的关系,也就是平 面问题中的物理方程。 7.按照边界条件的不同,弹性力学问题分为那几类边界问题? 试作简要说明 答:按照边界条件的不同,弹性力学问题可分为两类边界问题:

弹性力学习题(新)

1-3 五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么用途? 答:1、连续性假定:引用这一假定后,物体中的应力、应变和位移等物理量就可以看成是连续的,因此,建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。 2、完全弹性假定:引用这一完全弹性的假定还包含形变与形变引起的正应 力成正比的含义,亦即二者成线性的关系,符合胡克定律,从而使物理方程成为线性的方程。 3、均匀性假定:在该假定下,所研究的物体内部各点的物理性质显然都是 相同的。因此,反映这些物理性质的弹性常数(如弹性模量E和泊松比μ等)就不随位置坐标而变化。 4、各向同性假定:所谓“各向同性”是指物体的物理性质在各个方向上都是 相同的。进一步地说,就是物体的弹性常数也不随方向而变化。 5、小变形假定:我们研究物体受力后的平衡问题时,不用考虑物体尺寸的 改变而仍然按照原来的尺寸和形状进行计算。同时,在研究物体的变形和位移时,可以将他们的二次幂或乘积略去不计,使得弹性力学中的微分方程都简化为线性微分方程。 在上述假定下,弹性力学问题都化为线性问题,从而可以应用叠加原理。

2-1 已知薄板有下列形变关系:式中A,B,C,D皆为常数,试检查在形变过程中是否符合连续条件,若满足并列出应力分量表达式。 解: 1、相容条件: 将形变分量带入形变协调方程(相容方程)

其中 所以满足相容方程,符合连续性条件。 2、在平面应力问题中,用形变分量表示的应力分量为 3、平衡微分方程

其中 若满足平衡微分方程,必须有

分析:用形变分量表示的应力分量,满足了相容方程和平衡微分方程条件,若要求出常数A,B,C,D还需应力边界条件。 例2-2 如图所示为一矩形截面水坝, 其右侧面受静水压力(水的密度为ρ), 顶部受集中力P作用。试写出水坝的应 力边界条件。 解: 根据在边界上应力与面力的关系 左侧面:

第10章 弹性力学空间问题

第十章弹性力学空间问题知识点 空间柱坐标系 空间轴对称问题的基本方程空间球对称问题的基本方程布西内斯科解 分布载荷作用区域外的沉陷弹性球体变形分析 热应力的弹性力学分析方法坝体热应力 质点的运动速度与瞬时应力膨胀波与畸变波柱坐标基本方程 球坐标的基本方程 位移表示的平衡微分方程乐普位移函数 载荷作用区域内的沉陷球体接触压力分析 受热厚壁管道 弹性应力波及波动方程应力波的相向运动 一、内容介绍 对于弹性力学空间问题以及一些专门问题,其求解是相当复杂的。 本章的主要任务是介绍弹性力学的一些专题问题。通过学习,一方面探讨弹性力学空间问题求解的方法,这对于引导大家今后解决某些复杂的空间问题,将会有所帮助。另一方面,介绍的弹性力学专题均为目前工程上普遍应用的一些基本问题,这些专题的讨论有助于其它课程基本问题的学习,例如土建工程的地基基础沉陷、机械工程的齿轮接触应力等。 本章首先介绍空间极坐标和球坐标问题的基本方程。然后讨论布希涅斯克问题,就是半无限空间作用集中力的应力和沉陷。通过布希涅斯克问题的求解,进一步推导半无限空间作用均匀分布力的应力和沉陷、以及弹性接触问题。 另一方面,本章将介绍弹性波、热应力等问题的基本概念。 二、重点 1、空间极坐标和球坐标问题; 2、布希涅斯克问题; 3、半无限空间作 用均匀分布力的应力和沉陷;弹性接触问题;4、弹性波;5、热应力。

§10.1 柱坐标表示的弹性力学基本方程 学习思路: 对于弹性力学问题,坐标系的选择本身与问题的求解无关。但是,对于某些问题,特别是空间问题,不同的坐标系对于问题的基本方程、特别是边界条件的描述关系密切。某些坐标系可以使得一些特殊问题的边界条件描述简化。因此,坐标系的选取直接影响问题求解的难易程度。 例如对于弹性力学的轴对称或者球对称问题,如果应用直角坐标问题可能得不到解答,而分别采用柱坐标和球坐标求解将更为方便。 本节讨论有关空间柱坐标形式的基本方程。特别是关于空间轴对称问题的基本方程。 学习要点: 1、空间柱坐标系; 2、柱坐标基本方程; 3、空间轴对称问题的基本方程。 1、空间柱坐标系 在直角坐标系下,空间任意一点M的位置是用3个坐标(x,y,z)表示的,而在柱坐标系下,空间一点M的位置坐标用(ρ,?,z)表示。 直角坐标与柱坐标的关系为:x =ρ cos ?,y =ρ sin ? ,z = z 柱坐标下的位移分量为:uρ,u? , w 柱坐标下的应力分量为:σρ,σ? ,σz,τρ?,τ? z,τzρ 柱坐标下的应变分量为:ερ,ε? ,εz,γρ?,γ? z,γzρ 以下讨论柱坐标系的弹性力学基本方程。 2、柱坐标基本方程

弹性力学基础讲解

一、基本物理量 应力张量:在直角坐标系中,过弹性体内任一点取分别平行于三个坐标平面的三个微平面,它们的外法线方向分别为三个坐标轴的方向,将三个剪应力平行于坐标轴的两个分量;由此共得九个应力分量,记为: ??? ? ??????=zz zy zx yz yy yx xz xy xx ττττττττττ;每个分量的第一下标表示应力分量所在平面的外法线方向,第二下标表示应力分量 的方向。应力分量的正负号规定为:当应力分量所在平面的外法线方向与某坐标轴同向时,应力分量的方向也与相应坐标轴同向;当应力分量所在平面的外法线方向与某坐标轴反向时,应力分量的方向也与相应坐标轴反向。 3、应变 弹性体内某一点的正应变(线应变):设P 为弹性体内任意点,过P 点某一微元线段变形前的长度为l ?,变形后的长度为'l ?,定义P 点l 方向的正应变为:l l l l ll ??-?=→?'lim 0ε。即正应变表示单位长度线段的伸长 或缩短。 弹性体内某一点的剪应变(角应变):设r l ?和s l ?为过P 点的两微元线段,变形前两线段相互垂直,定义变形后两线段间夹角的改变量(弧度)为角应变,夹角减小则角应变为正。 应变张量:在直角坐标系中,过弹性体内任一点取分别平行三个坐标轴的线段,按上述原则定义各应变分 量,得:??? ? ? ?????=zz zy zx yz yy yx xz xy xx εεεεεεεεεε;两个下标相同的分量为正应变,其它为剪应变。 关于主应变和主应变方向的讨论与主应力基本相同,可以证明,主应变方向与主应力方向重合。 4、外力 体积力:作用于弹性体内部每一点上,如重力、电磁力、惯性力等。设V ?为包含P 点的微元体,作用于该微元体上的体积力为V F ?,则定义P 点的体积力为:{}T z y x V V f f f V =??=→?F f 0lim 。 表面力:作用于弹性体表面,如压力,约束力等。设S ?为包含P 点的微元面,作用于该微元面上的表面力为S F ?,则定义P 点的表面力为:{}T z y x S S s s s S =??=→?F s 0lim 。 二、基本方程 1、平衡方程

河南理工弹性力学-逆解法与半逆解法

第12讲逆解法与半逆解法

内容回顾 如果体力是常数(如重力)时,引入应力函数Φ 后,其应力分量可以表示为:而应力函数还应该满足如下的双调和条件: 除此之外,应力分量还应该满足相应的边界条件位移单值条件(对于多连域)22222, ,.x x y xy y y x x y x x y f f y 444442220x x y y

1.逆解法 所谓逆解法,就是先设定各种形式的满足相容方程的应力函数Φ。然后利用应力函数计算出各应力分量,根据边界条件来考察,这样的应力函数对应于什么样的弹性力学问题。444442220x x y y 22222, ,.x x y xy y y x x y x x y f f y

2.逆解法之多项式解答 下面在忽略体力的条件下,用逆解法,求出几个简单平面问题的多项式解答,以熟悉逆解法。1)一次函数a x by c 22222, ,.x x y xy y y x x y x x y f f y 应力分量444442220x x y y 相容方程 将一次函数代入相容方程,可以满足;再代入应力分量,得。 00, 0,x y xy 结论:(1)一次应力函数对应于无面力无应力状态; (2)应力函数加减一次项,不影响计算结果。

2.逆解法之多项式解答 22222, ,.x x y xy y y x x y x x y f f y 444442220x x y y 2)二次函数2ax 将二次函数代入相容方程,可以满足;再代入应力分 量,得 结论:纯二次函数对应于沿 坐标轴方向单向均布拉力模型。 0, 2,x y xy a

弹性力学--纳维解法(板壳理论)

板壳理论课程设计 对工科各专业说来,弹性力学的任务和材料力学、结构力学的任务一样,是分析各种结构或其构件在弹性阶段的应力和位移,校核它们是否具有所需的强度和刚度,并寻求或改进它们的计算方法。然而,它们之间还存在着一些不同。材力中,基本上只研究杆状结构,即长度远大于高度和宽度的构件。而材料力学中主要研究的是这种构件在拉压、剪切、弯曲、扭转作用下的应力和位移。结构力学中,主要是在材料力学的基础上研究杆状构件所组成的结构,即杆件系统。至于非杆状结构,则是弹性力学的主要研究内容。在弹性力学中,研究杆状结构一般都不用诸如一些关于构建的形变状态或应力分布的假定,因而得到的结果就比较精确。 从8个方程8个未知量,到圣维南原理、相容方程;从逆解法、半逆解法到差分法、变分法,邱老师的课讲的十分生动,同学们也听得十分认真。到弹性力学下册,也就是板壳理论,主要是研究薄板的小挠度变形及其应力、应变。求解四边简支矩形薄板在载荷下的挠度,以及矩形薄板的莱维法解及一般解法。另外,变厚度矩形和圆形薄板的挠度求解问题。差分法中引进了较为精确的边界条件以及在均布载荷和集中载荷下的不同解法。 在课程设计的过程中,在自学Matlab 的过程中完成了纳维解法中挠度表达式的表示和循环收敛过程,并且完成了差分法中不同网格划分下的差分方程化为矩阵形式后的求解过程。除此之外,还学会了使用ABAQUS 创建板并定义厚度以减少同等情况下创建实体添加边界条件不准确对计算结果产生的影响。尽管和差分法与精确解的误差分析相比,误差还是比较大,但相比于创建三维实体并在底边添加约束条件相比,误差还是减少了很多。 在计算过程中,先是采用厚度0.2m 薄板,有限元方法的误差过大,而当把薄板的厚度改为0.1m 时,误差变小。两种厚度的薄板都进行了同样的计算。 四边简支的薄板在均布载荷作用下位移的最大值,薄板的尺寸为长宽高: 110.1??,均布载荷为21000/q N m =,弹性模量E=205GPa ,泊松比=0.3μ, 分别用:纳维法、差分法以及有限元方法进行求解并比较求得的结果。 得到结果如下:

第二章弹性力学基础

第二章弹性力学基础 弹性力学又称弹性理论,它是固体力学的一个分支。弹性力学任务是确定结构或机械零件在外载荷作用或温度改变等原因而发生的应力、位移和应变。 弹性力学与材料力学总的任务是相同的,但弹性力学研究的问题比材料力学要更加深刻和精确,并研究材料力学所不能解决的一些问题。 材料力学-----研究杆状构件(长度>>高度和宽度)在拉压、剪切、弯曲、扭转作用下的应力和位移。 弹性力学-----研究板壳、挡土墙、堤坝、地基等实体结构。对杆状构件作较精确的分析,也需用弹性力学。 结构力学-----研究杆状构件所组成的结构。例如桁架、刚架。

第一节弹性力学假设 在弹性力学中,所研究的问题主要是理想弹性体的线性问题,所谓理想弹性体的线性问题,是指符合以下假定的物体。 1. 假设物体是线弹性的 假定物体服从虎克定律,即应变与引起该应变的应力成正比,反映这一比例关系的常数,就是弹性常数。即该比例关系不随应力、应变的大小和符号而变。 由材料力学已知: 脆性材料的物体:在应力?比例极限以前,可作为近似的完全弹性体; 韧性(塑性)材料的物体:在应力<屈服极限以前,可作为近似的完全弹性体。 这个假定,使得物体在任意瞬时的应变将完全取决于该瞬时物体所受到的外力或温度变化等因素,而与加载的历史和加载顺序无关。 2. 假设物体是连续性的 假设整个物体的体积都被该物体介质完全充满,不留下任何空隙。有了这一假定决定了应力、应变、位移是连续的,可用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。 注:实际上,一切物体都是由微粒组成的,都不能符合该假定。但是由于物体粒子的尺寸以及相邻粒子间的距离,

都比物体自己本身的尺寸小得很多,因此连续性假设不会引起显着的误差。 3. 假设物体是均匀性、各向同性的 整个物体是由同一材料组成的。这样整个物体的所有各部分才具有相同的弹性,因而物体的弹性常数不随坐标而变化,可以取出该物体的任意一小部分来加以分析,然后把分析所得结果应用于整个物体。 各向同性是指物体内一点的弹性在所的各个方向上都是相同的,故物体的弹性常数不随方向而变化。 对于非晶体材料,是完全符合这一假定。而由木材,竹材等做成的构件,就不能作为各向同性体来研究;钢材构件基本上是各向同性的。 弹性常数? 凡是符合以上三个假定的物体,就称为理想弹性体。 4. 假设物体的位移和应变是微小的 假定物体在载荷或温度变化等外界因素的作用下所产生的位移远小于物体原来的尺寸,应变分量和转角都远小于1。 因此 ①在建立物体变形以后的平衡方程时,可用变形前的尺寸代替变形后的尺寸,而不至于引起显著的误差。

弹性力学试题及标准答案

弹性力学与有限元分析复习题及其答案 一、填空题 1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。 2、在弹性力学中规定,线应变以伸长时为正,缩短时为负,与正应力的正负号规定相适应。 3、在弹性力学中规定,切应变以直角变小时为正,变大时为负,与切应力的正负号规定相适应。 4、物体受外力以后,其内部将发生内力,它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的,是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量,也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是L -1 MT -2 。 5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。 6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。 7、已知一点处的应力分量100=x σMPa ,50=y σMPa ,5010=xy τ MPa ,则主应力=1σ150MPa , =2σ0MPa ,=1α6135'ο。 8、已知一点处的应力分量, 200=x σMPa ,0=y σMPa ,400-=xy τ MPa ,则主应力=1σ512 MPa , =2σ-312 MPa ,=1α-37°57′。 9、已知一点处的应力分量,2000-=x σMPa ,1000=y σMPa ,400-=xy τ MPa ,则主应力=1σ1052 MPa , =2σ-2052 MPa ,=1α-82°32′。 10、在弹性力学里分析问题,要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件,分别建立三套方程。 11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。 12、边界条件表示边界上位移与约束,或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。 13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。 14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构,然后再用结构力学位移法进行求解。其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。 15、每个单元的位移一般总是包含着两部分:一部分是由本单元的形变引起的,另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。 16、每个单元的应变一般总是包含着两部分:一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的,是各点不相同的,即所谓变量应变;另一部分是与位置坐标无关的,是各点相同的,即所谓常量应变。 17、为了能从有限单元法得出正确的解答,位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量应变,还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。 18、为了使得单元内部的位移保持连续,必须把位移模式取为坐标的单值连续函数,为了使得相邻单元的位移保持连续,就不仅要使它们在公共结点处具有相同的位移时,也能在整个公共边界上具有相同的位移。 19、在有限单元法中,单元的形函数N i 在i 结点N i =1;在其他结点N i =0及∑N i =1。 20、为了提高有限单元法分析的精度,一般可以采用两种方法:一是将单元的尺寸减小,以便较好地反映位移和应力变化情况;二是采用包含更高次项的位移模式,使位移和应力的精度提高。

第2章 弹性力学基础(1)

第2章弹性力学基础 内容提要:本章主要介绍弹性力学的基本概念,主要包括应力、应变的定义和性质,应力平衡方程、几何方程和物理方程,并对弹性力学问题的基本求解方法进行简介。为了便于对机械结构有限元计算结果能够很好地分析评价,本章还介绍了结构强度与失效的基本理论。有关能量法的简单知识是后续有限元法的重要理论基础。 教学要求:学习掌握应力、应变基本概念和主要性质,掌握弹性力学基本方程、应力边界条件、协调方程等,了解弹性力学平面问题的应力函数法,掌握结构强度失效准则中的等效应力理论等内容,了解能量法的基本思想。 2.1 引言 弹性力学(Elastic Theory)作为一门基础技术学科,是近代工程技术的必要基础之一。在现代工程结构分析,特别是航空、航天、机械、土建和水利工程等大型结构的设计中,广泛应用着弹性力学的基本公式和结论。 弹性力学与材料力学(Foundamental Strengths of Materials)在研究内容和基本任务方面,是基本相同的,研究对象也是近似的,但是二者的研究方法却有较大的差别。弹性力学和材料力学研究问题的方法都是从静力学、几何学、物理学三方面入手的。但是材料力学的研究对象是杆状构件,即长度远大于宽度和厚度的构件,分析这类构件在拉压、剪切、弯曲、扭转等几类典型外载荷作用下的应力和位移。在材料力学中,除了从静力学、几何学、物理学三方面进行分析外,为了简化推导,还引用了一些关于构件的形变状态或应力分布的假定(如平面截面的假定、拉应力在截面上均匀分布的假定等等)。杆件横截面的变形可以根据平面假设确定,因此综合分析的结果,即问题求解的基本方程,是常微分方程。对于常微分方程,数学求解是没有困难的。而在弹性力学里研究杆状构件一般都不必引用那些假定,所以其解答要比材料力学里得出的解答精确得多。当然,弹性力学在研究板壳等一些复杂问题时,也引用了一些有关形变状态或应力分布的假定来简化其数学推导。但是由于弹性力学除研究杆状构件之外,还研究板、壳、块,甚至是三维物体等,因此问题分析只能从微分单元体入手,以分析单元体的平衡、变形和应力应变关系,因此问题综合分析的结果是满足一定边界条件的偏微分方程。也就是说,问题的基本方程是偏微分方程的边值问题。从理论上讲,弹性力学能解决一切弹性体的应力和应变问题。但在工程实际中,一般构件的形状、受力状态、边界条件都比较复杂,所以除少数的典型问题外,对大多数工程实际问题,往往都无法用弹性力学的基本方程直接进行解析求解,有些只能通过数值计算方法来求得其近似解。 弹性力学的研究方法决定了它是一门基础理论课程,把弹性力学的理论直接用于分析工程问题具有很大的困难。原因主要在于它的基本方程——偏微分方程边值问题求解的困难。由于经典的解析方法很难用于工程构件分析,因此探讨近似解法是弹性力学发展中的特色。近似求解方法,如差分法和变分法等,特别是随着计算机的广泛应用而发展的有限单元法,为弹性力学的发展和解决工程实际问题开辟了广阔的前景。 本章主要介绍弹性力学基本概念、用解析法求解简单弹性力学问题的基础知识,主要包括弹性

弹性力学题

一、单项选择题 1.弹性力学建立的基本方程多是偏微分方程,还必须结合( C )求解这些微分方程,以求得具体问题的应力、应变、位移。 A.相容方程 B.近似方法 C.边界条件 D.附加假定 2.根据圣维南原理,作用在物体一小部分边界上的力系可以用( B )的力系代替,则仅在近处应力分布有改变,而在远处所受的影响可以不计。 A.几何上等效 B.静力上等效 C.平衡 D.任意 3.弹性力学平面问题的求解中,平面应力问题与平面应变问题的三类基本方程不完全相同,其比较关系为( B )。 A.平衡方程、几何方程、物理方程完全相同 B.平衡方程、几何方程相同,物理方程不同 C.平衡方程、物理方程相同,几何方程不同 D.平衡方程相同,物理方程、几何方程不同 4.不计体力,在极坐标中按应力求解平面问题时,应力函数必须满足( A ) ①区域内的相容方程;②边界上的应力边界条件;③满足变分方程; ④如果为多连体,考虑多连体中的位移单值条件。 A.①②④ B. ②③④ C. ①②③ D. ①②③④ 5.如下图1所示三角形薄板,按三结点三角形单元划分后,对于与局部编码ijm对应的整体编码,以下叙述正确的是( D )。

① I 单元的整体编码为162 ② II 单元的整体编码为426 ③ II 单元的整体编码为246 ④ III 单元的整体编码为243 ⑤ IV 单元的整体编码为564 图1 A. ①③ B. ②④ C. ①④ D. ③⑤ 6.平面应变问题的微元体处于( C ) A.单向应力状态 B.双向应力状态 C.三向应力状态,且z σ是一主应力 D.纯剪切应力状态 7.圆弧曲梁纯弯时,( C ) A.应力分量和位移分量都是轴对称的 B.应力分量和位移分量都不是轴对称的 C.应力分量是轴对称的,位移分量不是轴对称的 D.位移分量是轴对称的,应力分量不是轴对称的 8.下左图2中所示密度为ρ的矩形截面柱,应力分量为:0,,0=+==xy y x B Ay τσσ对图(a )和图(b)两种情况由边界条件确定的常数A 及B 的关系是( C ) 相同,B 也相同 不相同,B 也不相同 相同,B 不相同 不相同,B 相同

弹性力学 第五章 第五章 弹性力学的求解方法和一般性原理

第五章弹性力学的求解方法和一般性原理知识点 弹性力学基本方程 边界条件 位移表示的平衡微分方程 应力解法 体力为常量时的变形协调方程 物理量的性质 逆解法和半逆解法 解的迭加原理,弹性力学基本求解方法位移解法 位移边界条件变形协调方程混合解法 应变能定理 解的唯一性原理圣维南原理 一、内容介绍 通过弹性力学课程学习,我们已经推导和确定了弹性力学的基本方程和常用公式。本章的任务是对弹性力学所涉及的基本方程作一总结,并且讨论具体地求解弹性力学问题的方法。 弹性力学问题的未知量有位移、应力和应变分量,共计15个,基本方程有平衡微分方程、几何方程和本构方程,也是15个。面对这样一个庞大的方程组,直接求解显然是困难的,必须讨论问题的求解方法。根据这一要求,本章的主要任务有三个: 一是综合弹性力学的基本方程,并按边界条件的性质将问题分类; 二是根据问题性质,确定基本未知量,建立通过基本未知量描述的基本方程,得到基本解法。弹性力学问题的基本解法主要是位移解法、应力解法和混合解法等。应该注意的是对于应力解法,基本方程包括变形协调方程。 三是介绍涉及弹性力学求解方法的一些基本原理。主要包括解的唯一性原理、叠加原理和圣维南原理等,这些原理将为今后的弹性力学问题解建立基础。 如果你在学习本章内容时有困难,请及时查阅和复习前三章相关内容,以保证今后课程的学习。 二、重点 1、弹性力学的基本方程与边界条件分类; 2、位移解法与位移表示 的平衡微分方程;3、应力解法与应力表示的变形协调方程;4、混合 解法;5、逆解法和半逆解法;6、解的唯一性原理、叠加原理和圣维

南原理 §5.1 弹性力学的基本方程及其边值问题 学习思路: 通过应力状态、应变状态和本构关系的讨论,已经建立了一系列的弹性力学基本方程和边界条件。本节的主要任务是将基本方程和边界条件作综合总结,并且对求解方法作初步介绍。 弹性力学问题具有15个基本未知量,基本方程也是15个,因此问题求解归结为在给定的边界条件下求解偏微分方程。 由于基本方程与15个未知量的内在联系,例如已知位移分量,通过几何方程可以得到应变分量,然后通过物理方程可以得到应力分量;反之,如果已知应力分量,也可通过物理方程得到应变分量,再由几何方程的积分求出位移分量,不过这时的应变分量必须满足一组补充方程,即变形协调方程。基于上述的理由,为简化求解的难度,可以选取部分未知量作为基本未知量求解。 根据基本未知量,弹性力学问题可以分为应力解法、位移解法和混合解法。 上述三种求解方法对应于偏微分方程的三种边值问题。 学习要点: 1、弹性力学基本方程; 2、本构方程; 3、边界条件; 4、弹性力学边值问题1、弹性力学基本方程 首先将弹性力学基本方程综合如下 1、平衡微分方程 用张量形式描述 2、几何方程

弹性力学的求解方法和一般性原理

第五章弹性力学的求解方法和一般性原理 一.内容介绍 通过弹性力学课程学习,我们已经推导和确定了弹性力学的基本方程和常用公式。本章的任务是对弹性力学所涉及的基本方程作一总结,并且讨论具体地求解弹性力学问题的方法。 弹性力学问题的未知量有位移、应力和应变分量,共计15个,基本方程有平衡微分方程、几何方程和本构方程,也是15个。面对这样一个庞大的方程组,直接求解显然是困难的,必须讨论问题的求解方法。根据这一要求,本章的主要任务有三个: 一是综合弹性力学的基本方程,并按边界条件的性质将问题分类; 二是根据问题性质,确定基本未知量,建立通过基本未知量描述的基本方程,得到基本解法。弹性力学问题的基本解法主要是位移解法、应力解法和混合解法等。应该注意的是对于应力解法,基本方程包括变形协调方程。 三是介绍涉及弹性力学求解方法的一些基本原理。主要包括解的唯一性原理、叠加原理和圣维南原理等,这些原理将为今后的弹性力学问题解建立基础。 如果你在学习本章内容时有困难,请及时查阅和复习前三章相关内容,以保证今后课程的学习。 二. 重点 1.弹性力学基本方程与边界条件分类; 2.位移解法与位移表示的平衡微分方程; 3. 应力解法与应力表示的变形协调方程; 4. 混合解法; 5. 逆解法和半逆解法; 6. 解的唯一性原理、叠加原理和圣维南原理 知识点 弹性力学基本方程边界条件位移表示的平衡微分方程应力解法 体力为常量时的变形协调方程物理量的性质逆解法和半逆解法 解的迭加原理弹性力学基本求解方法位移解法位移边界条件 变形协调方程混合解法应变能定理解的唯一性原理圣维南原理

§5.1 弹性力学的基本方程及其边值问题 学习思路: 通过应力状态、应变状态和本构关系的讨论,已经建立了一系列的弹性力学基本方程和边界条件。本节的主要任务是将基本方程和边界条件作综合总结,并且对求解方法作初步介绍。 弹性力学问题具有15个基本未知量,基本方程也是15个,因此问题求解归结为在给定的边界条件下求解偏微分方程。 由于基本方程与15个未知量的内在联系,例如已知位移分量,通过几何方程可以得到应变分量,然后通过物理方程可以得到应力分量;反之,如果已知应力分量,也可通过物理方程得到应变分量,再由几何方程的积分求出位移分量,不过这时的应变分量必须满足一组补充方程,即变形协调方程。基于上述的理由,为简化求解的难度,可以选取部分未知量作为基本未知量求解。 根据基本未知量,弹性力学问题可以分为应力解法、位移解法和混合解法。 上述三种求解方法对应于偏微分方程的三种边值问题。 学习要点: 1. 弹性力学基本方程; 2. 本构方程; 3. 边界条件; 4. 弹性力学边值问题; 首先将弹性力学基本方程综合如下: 1. 平衡微分方程 用张量形式描述 2. 几何方程

弹性力学基础(程尧舜 同济大学出版社)课后习题解答

1 图2.4 习题解答 第二章 2.1计算:(1)pi iq qj jk δδδδ,(2)pqi ijk jk e e A ,(3)ijp klp ki lj e e B B 。 解:(1)pi iq qj jk pq qj jk pj jk pk δδδδδδδδδδ===; (2)()pqi ijk jk pj qk pk qj jk pq qp e e A A A A δδδδ=-=-; (3)()ijp klp ki lj ik jl il jk ki lj ii jj ji ij e e B B B B B B B B δδδδ=-=-。 2.2证明:若ij ji a a =,则0ijk jk e a =。 证:20ijk jk jk jk ikj kj ijk jk ijk kj ijk jk ijk jk i e a e a e a e a e a e a e a ==-=-=+。 2.3设a 、b 和c 是三个矢量,试证明: 2[,,]??????=???a a a b a c b a b b b c a b c c a c b c c 证:123111 2 123222123333 [,,]i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a b a c a a a a b c b a b b b c b b b a b c c a c b c c c c c a b c ??????=???==a a a b a c b a b b b c a b c c a c b c c 。 2.4设a 、b 、c 和d 是四个矢量,证明: ()()()()()()???=??-??a b c d a c b d a d b c 证:()()i j ijk k l m lmn n i j l m ijk lmk a b e c d e a b c d e e ???=?=a b c d e e ()()()()()i j l m il jm im jl i i j j i i j j a b c d a c b d a d b c δδδδ=-=- ()()()()=??-??a c b d a d b c 。 2.5设有矢量i i u =u e 。原坐标系绕z 轴转动θ系,如图2.4所示。试求矢量u 在新坐标系中的分量。 解:11cos βθ'=,12sin βθ'=,130β'=, 21sin βθ'=-,22cos βθ'=,230β'=, 310β'=,320β'=,331β'=。 1112cos sin i i u u u u βθθ''==+,

寮规

《弹性力学》课程教学大纲 课程英文名称:Theory of Elasticity 课程编号:193990360 课程类别:专业课 课程性质:必修课 学分: 3 学时: 48(其中:讲课学时48:实验学时:0 上机学时: 0) 适用专业:工程力学本科专业 开课部门:土木工程与建筑学院 一、课程教学目的和课程性质 本课程属于工程力学专业必修课。该课程是在理论力学和材料力学的基础上,进一步学习弹性力学的基本概念、基本原理和基本方法,了解线弹性体简单经典问题的计算方法和基本解答,分析各种结构物或构件在弹性阶段的应力和位移,校核它们是否具有所需的强度和刚度,并寻求或改进它们的计算方法,提高分析与计算能力,为学习有关专业课程打好初步的弹性力学基础。 本课程教学目的主要目的:培养学生的逻辑思维能力;培养学生估计和评价弹性固体中应力和应变的分布规律及计算结果的能力;培养学生用弹性力学方法研究和解决实际工程中力学问题的能力;使学生掌握分析一般工程结构在外力作用下的变形、内力分布与承载能力的方法,以及为进一步研究工程结构的强度、刚度、稳定性等力学问题打下基础,并着重在基础理论和实践应用两方面进行科研能力的培养。 二、本课程与相关课程的关系 先修课程:《高等数学》、《理论力学》、《材料力学》 后续课程:《土力学》、《岩石力学》、《塑性力学》等 三、课程的主要内容及基本要求 第1单元绪论( 2 学时) [知识点] 弹性力学的研究内容和研究方法;弹性力学中的一些基本概念;弹性力学中的基本假设条件;弹性力学与其它学科的关系;弹性力学的学习方法。 [重点] 弹性力学的研究内容和研究方法;弹性力学的基本假设;弹性体、弹性变形、应力、应变、位移与变形、面力、体力的概念。

弹性力学边值问题

第五章弹性力学边值问题 本章任务 总结对弹性力学基本方程 讨论求解弹性力学问题的方法

目录 §5.1弹性力学基本方程 §5.2问题的提法 §5.3弹性力学问题的基本解法 解的唯一性 §5.4圣维南局部影响原理 §5.5叠加原理

§5.1弹性力学基本方程 ?总结弹性力学基本理论; ?讨论已知物理量、基本未知量;以及物理量之间的关系——基本方程和边界条件。

弹性力学基本方程 1.平衡微分方程 000=+??+??+??=+??+??+??=+??+??+??bz z yz z by zy y xy bx zx yx x F z y x F z y x F z y x στττστττσ0 ,=+bj i ij F σ2.几何方程 x w z u z v y w y u x v z w y v x u zx yz xy z y x ??+??=??+??=??+??=??=??=??=γγγεεε,,,,,),,(2 1i j j i ij u u +=ε

3.变形协调方程 y x z y x z z x z y x y z y z y x x z x x z z y z y y x y x z xy xz yz y xy xz yz x xy xz yz xz z x yz y z xy x y ???=??-??+???????=??+??-???????=??+??+??-?????=??+?????=??+?????=??+??εγγγεγγγεγγγγεεγεεγεε2222222222222222222)(2)(2)(位移作为基本未知量时,变形协调方程自然满足。

同济大学弹性力学往年试题

同济大学本科课程期终考试(考查)统一命题纸 A 卷 2006—2007学年第 一 学期 课程名称:弹性力学 课号: 任课教师: 专业年级: 学号: 姓名: 考试(√)考查( ) 考试(查)日期: 2007 年1月 22 日 出考卷教师签名:朱合华、许强、王君杰、李遇春、陈尧舜、邹祖军、赖永瑾、蔡永昌 教学管理室主任签名: 1.是非题(认为该题正确,在括号中打√;该题错误,在括号中打×。)(每小题2分) (1)薄板小挠度弯曲时,体力可以由薄板单位面积内的横向荷载q 来等代。 ( ) (2)对于常体力平面问题,若应力函数),(y x ?满足双调和方程02 2 =???,那 么由),(y x ?确定的应力分量必然满足平衡微分方程。 ( ) (3)在求解弹性力学问题时,要谨慎选择逆解法和半逆解法,因为解的方式不同,解的 结 果 会 有 所 差 别 。 ( ) (4)如果弹性体几何形状是轴对称时,就可以按轴对称问题进行求解。 ( ) (5)无论是对于单连通杆还是多连通杆,其截面扭矩均满足如下等式: ??=dxdy y x F M ),(2,其中),(y x F 为扭转应力函数。 ( ) (6)应变协调方程的几何意义是:物体在变形前是连续的,变形后也是连续的。 ( ) (7)平面应力问题和平面应变问题的应变协调方程相同,但应力协调方程不同。 ( ) (8)对于两种介质组成的弹性体,连续性假定不能满足。 ( ) (9)位移变分方程等价于以位移表示的平衡微分方程及以位移表示的静力边界条件。( ) (10)三个主应力方向一定是两两垂直的。 ( ) 2.填空题(在每题的横线上填写必要的词语,以使该题句意完整。)(共20分,每小 题2分) (1)弹性力学是研究弹性体受外界因素作用而产生的 的一门学科。 (2)平面应力问题的几何特征是: 。

弹性力学简答部分(纯粹个人总结)

1.什么是弹性力学 弹性力学,也称弹性理论,固体力学学科的一个分支,其中研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、应变和位移。 2.弹性力学的基本假定 (1)连续性——假设所研究的整个弹性体内部完全由组成物体的介质所充满,各个质点之间不存在任何空隙。 (2)完全弹性——对应一定的温度,如果应力和应变之间存在一一对应关系,而且这个关系和时间无关,也和变形历史无关,称为完全弹性材料。 完全弹性分为线性弹性和非线性弹性 材料弹性常数不随应力或应变的变化而改变 (3)均匀性——假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成的。 (4)各向同性——假定物体在各个不同的方向上具有相同的物理性质。 (5)小变形——假设在外力或者其他外界因素(如温度等)的影响下,物体的变形与物体自身几何尺寸相比属于高阶小量。 3.概念: 体力:分布在物体体积内的力,如重力和惯性力。 面力:分布在物体表面上的力,如流体压力和接触力。 内力:外界因素作用下,物体内部各个部分之间的相互作用力 应力:分布在物体内部任意点上的力,实质上是面力的一种 应变:是描述物体受力后发生变形的相对概念的力学量 位移:物体内任一点位置的移动 平面应力问题:只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力或约束。(1) 几何特征:一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸小得多。(2)应力特征:平面应力问题只有三个应力分量:应变分量、位移分量也仅为x、y 的函数,与z 无关。 平面应变问题:(1) 几何特征:一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸大得多,且沿长度方向几何形状和尺寸不变化。(2)应力特征:以任一横截面为xy 面,任一纵线为z 轴。设z方向为无限长,则沿z 方向其他变量都不变化,仅为x,y 的函数。 4.圣维南原理(用积分的方式表示)见例题 圣维南原理: 若把物体的一小部分边界上的面力,变换为分布不同但静力等效的面力,则近处的应力分布将有显著改变,而远处所受的影响可忽略不计。

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