高二数学之数列的通项公式与前n项和公式
数列通项公式的常见求法 一、公式法 高中重点学了等差数列和等比数列，当题中已知数列是等差或等比数列，在求其通项公式时我们就可以直接利用等差或等比数列的公式来求通项，只需求得首项及公差公比。 1、等差数列公式 例1、已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8=-10，求数列{a n }的通项公式。 解：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件可得 11 0,21210,a d a d +=??+=-? 解得11,1.a d =??=-? 故数列{}n a 的通项公式为2.n a n =- 2、等比数列公式 例2、设{}n a 是公比为正数的等比数列，12a =，324a a =+，求{}n a 的通项公式。 解：设q 为等比数列{}n a 的公比，则由21322,4224a a a q q ==+=+得， 即220q q --=，解得21q q ==-或（舍去），因此 2.q = 所以{}n a 的通项为1*222().n n n a n N -=?=∈ 3、通用公式 若已知数列的前n 项和n S 的表达式，求数列{}n a 的通项n a 可用公式 ?? ?≥-==-2 1 1n S S n S a n n n n 求解。一般先求出11S a =，若计算出的n a 中当n=1适合时可以合并为一个关系式，若不适合则分段表达通项公式。 例3、已知数列}{n a 的前n 项和12 -=n S n ，求}{n a 的通项公式。 解：011==s a ，当2≥n 时 12]1)1[()1(221-=----=-=-n n n s s a n n n 由于1a 不适合于此等式 。 ∴?? ?≥-==) 2(12)1(0 n n n a n
课 题：数列通项公式的求法 课题类型：高三第一轮复习课 授课教师：孙海明 1、知识目标：使学生掌握数列通项公式的基本求法：（1）利用公式求通项（2）累加法 求通项（3）累乘法求通项，并能灵活地运用。 2、能力目标：通过例题总结归纳数列通项公式基本求法，培养学生观察、辨析、运用的 综合思维能力，掌握由特殊到一般、无限化有限的化归转化的数学思想, 提高学生数学素质。 3、情感目标：通过本节的学习，进一步培养学生的“实践—认识—再实践”的辨证唯物 主义观点。 教学重点、难点： 重 点：数列通项公式的基本求法 难 点：复杂问题的化归转化 教学方法与教学手段： 教学方法：引导发现法（注重知识的发生过程，培养学生创新精神和实践能力） 教学手段：多媒体辅助教学 教学过程： 一、创设情境，引出课题： 1、数列在历年的高考中都占有非常重要的地位。以近三年的高考为例：每年都出一道选择或填空、一道解答题，总分值为17分，占高考总成绩的百分之十。所以，希望同学们认真总结归纳基本方法，灵活运用解题。请同学们思考解决数列问题的关键是什么？（同学们一起回答：通项公式），那么这节课我们就来总结一下数列通项公式的基本求法。 《板书标题：数列通项公式的求法》 [设计意图] 使学生掌握数列在高考中的地位，从而使学生对数列的学习引起足够的 重视，提高学习的积极性。 二、启发诱导、总结方法 1、利用公式求通项 《先给出例题，分析总结方法》 师生互动： 请同学分析叙述解题过程，老师板书。 {}{}{}{}的通项公式求且数列是各项都为正数的等比 为等差数列设高考卷一例、n n n n b a b a b a b a b a ,,13,21,1,,)07(355311=+=+=={}{}1 2223545322)1(212,202 74,1341,21210,,-==-+===>-===++=+=++=+>n n n n n b n n a d q q q q q d b a q d b a q q b d a ，，则所以所以（舍）因为或解得依题得的公比为等比数列的公差为解：设等差数列
等差数列通项公式的教学设计示例
等差数列通项公式教案 一教学类型新知课 二教学目标 1.通过教与学的互动，使学生加深对等差数列通项公式的认识，能解决一些简单的问题； 2.利用通项公式求等差数列的各项、项数、公差、首项，使学生进一步体会方程思想； 3. 培养学生观察能力，进一步提高学生推理、归纳能力，培养学生的应用意识. 三教学重点，难点 教学重点是1.等差数列的概念的理解与掌握. 2通项公式的理解与掌握； 教学难点是掌握公式的推导过程以及对公式灵活运用． 四教学用具 实物投影仪，多媒体软件，电脑. 五教学方法：讲解法，启发引导法
六教学过程 1 [创设情景] 上节课我们学习了数列。在日常生活中，人口增长、教育贷款等这些大家以后会接触得比较多的实际计算问题，都需要用到有关数列的知识来解决。今天我们先学习一类特殊的数列。 由学生观察分析并总结下列数列的特点： (1)2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重被正式列为比赛项目。该项目共设置了7个级别。其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：kg）：48，53，58，63… (2)数列2，4,6,8,10…； (3)数列2，2，2，2，2，… (4)数列3,6,9,12… 2 引导讲解概念 思考：同学们观察一下上面的这三个数列： 48,53,58,63…① 2，4,6,8,10…② 2，2，2，2，2，③ 3,6,9,12…④ 看这些数列有什么共同特点呢？引导学生观察相邻两项间的关系,可得到
数列一是每后一项都比前一项多五，单调递增； 数列二每后一项都比前一项多二，是一列偶数； 数列三是一列常数，每后一项比前一项多零； 数列四是一列三的倍数，每后一项比前一项多三； 综合上述所说，它们的共同特点是什么呢？ 它们的共同特点是：从第2项起，每一项与它的前一项的“差”都等于同一个常数. 也就是说，这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点.具有这种特点的数列，我们把它叫做等差数列. 定义： 等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。 这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。那么对于以上三组等差数列，它们的公差依次是5,2,0,3. 判断：1： 1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 10 2： 5，5，5，5，5，5，… 3： a，3a，5a，7a，9a,…是否是等差数列？ 注意：⑴公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求； ⑵对于数列{ a},若1n a －n a=d (d是与n无关的数或 n 字母)，n≥2，n∈N，则此数列为等差数列，d为公差；
等差数列的概念及通项公式 【学习目标】 1. 准确理解等差数列、等差中项的概念，掌握等差数列通项公式的求解方法，能够熟练应用通项公式解 决等差数列的相关问题 2. 通项对等差数列概念的探究和通项公式的推导，体会数形结合思想、化归思想、归纳思想，培养学生 对数学问题的观察、分析、概括和归纳的能力 3?激情参与、惜时高效，禾U 用数列知识解决具体问题，感受数列的应用价值 【重点】：等差数列的概念及等差数列通项公式的推导和应用 【难点】：对等差数列中“等差”特征的理解、把握和应用 【学法指导】 1.阅读探究课本上的基础知识，初步掌握等差数列通项公式的求法 ； 2.完成教材助读设置的问题，然后结 合课本的基础知识和例题，完成预习自测； 3.将预习中不能解决的问题标出来，并写到后面“我的疑惑” 一、知识温故 1?数列有几种表示方法？ 2?数列的项与项数有什么关系？ 3函数与数列之间有什么关系？ 教材助读 1?一般地，如果一个数列从第 ________ 项起，每一项与它的前一项的差等于 ____________ 常数，那么这个数列 就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ___________ ，公差通常用字母 ___________________________ 表示。 2.由三个数a 、A 、b 组成的 ___________ 数列可以看成最简单的等差数列。这时 A 叫做a 与b 的等差数列即 3. 如果数列｛a n ｝是公差为d 的等差数列，则a 2 a 1 a 5 a 1 4.通项公式为a n =an+b （a,b 为常数）的数列都是等差数列吗？反之，成立吗? ,a 3 a 1 a 4 a 1 1. 等差数列a 2d , a ,a 2d ?' A . a n a (n 1)d B. C . a n a 2(n 2)d D. 2.已知数列｛, a n } 的通项公式为 a n A . 2 B. 3 C. 2 3. 已知a 1 b - 1 ?的通项公式是（ a (n 3)d a 2nd 2n ，则它的公差为（ D. 3 ，则a 与b 的等差中项为 【预习自测】 a n a n
2.2等差数列 2.2.1等差数列的概念、等差数列的通项公式 教学重点理解等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式，会用公式解决一些简单的问题 教学难点(1)等差数列的性质，等差数列“等差”特点的理解、把握和应用 (2)概括通项公式推导过程中体现的数学思想方法，以及从函数、方程的观点看通项公式. 三维目标 一、知识与技能 1.了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列 2.正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项 二、过程与方法 1.通过对等差数列通项公式的推导培养学生的观察力及归纳推理能力； 2.通过等差数列变形公式的教学培养学生思维的深刻性和灵活性 三、情感态度与价值观 通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新 知的创新意识 教学过程 导入新课 师上两节课我们学习了数列的定义以及给出数列和表示数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法.这些方法从不同的角度反映数列的特点.下面我们看这样一些数列的例子：(课本P41页的4个例子 (1)0，5，10，15，20，25， (2)48，53，58，63， (3)18，15.5，13，10.5，8， (4)10 072，10 144，10 216，10 288，10 366， 请你们来写出上述四个数列的第7项 生第一个数列的第7项为30，第二个数列的第7项为78，第三个数列的第7项为3，第四个数列的第7项为 师我来问一下，你依据什么写出了这四个数列的第7项呢?以第二个数列为例来说一说 生这是由第二个数列的后一项总比前一项多5，依据这个规律性我得到了这个数列的第7项为 师说得很有道理!我再请同学们仔细观察一下，看看以上四个数列有什么共同特征？我说的是共同特征 生1 每相邻两项的差相等，都等于同一个常数 师作差是否有顺序，谁与谁相减？ 生1 作差的顺序是后项减前项，不能颠倒 师以上四个数列的共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数(即等差)；我们给具有这种特征的数列起一个名字叫——等差数列 这就是我们这节课要研究的内容 推进新课 等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差(常用字母“d”表示
一、高中数列基本公式：1、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an=2、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d≠0时，an是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常数。3、等差数列的前n项和公式：Sn=Sn= Sn=当d≠0时，Sn是关于n 的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），Sn=na1是关于n的正比例式。4、等比数列的通项公式：an= a1qn-1an= akqn-k (其中a1
为首项、ak为已知的第k项， an≠0)5、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 (是关于n的正比例式)；当q≠1时， Sn=Sn=三、高中数学中有关等差、等比数列的结论1、等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m- S3m、……仍为等差数列。2、等差数列{an}中，若m+n=p+q，则 3、等比数列{an}中，若 m+n=p+q，则4、等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m-
S3m、……仍为等比数列。5、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列。6、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列{an bn}、、仍为等比数列。7、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。8、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。9、三个数成等差数列的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法： a-3d,a-d,,a+d,a+3d10、三个数成等比数列的设法：a/q,a,aq；四个
（1）主题：求数列通项n a 的常用方法总结 一、 形如：特殊情况：当n+11,n n A B C A a a A =*+*+≠，常用累加法。 (n n a a +-,z 构建等比数列()1y n z *++z ； 的通项公式，进而求得n a 。 二、 形n a a * ；
三、 形 ()x f x =） 情形1：1n n A B a a +=*+型。设λ是不动点方程的根，得数列 {}n a λ-是 以公比为A 的等比数列。 情形2：1*n n n A B C D a a a +*+=+型。 设1λ和2λ 是不动点方程 *A x B x C x D *+=+的两个根； （1）当12λλ≠时，数列n 12n a a λλ??-?? ??-????是以12 A C A C λλ -*-*为公比的等比数列； （2）当12 =λλλ =时，数列1n a λ???? ??-???? 是以2*C A D +为公差的等差数列。 【推导过程：递推式为a n+1= d ca b aa n n ++（c ≠0,a,b,c,d 为常数）型的数列 a n+1－λ= d ca b aa n n ++－λ= d ca c a d b a c a n n +--+ -) )((λλλ，令λ＝－λ λc a d b --，可得λ＝d c b a ++λλ ……（1）。（1）是a n+1=d ca b aa n n ++中的a n ，a n+1都换成λ后的不动点方程。 ○ 1当方程（1）有两个不同根λ１，λ２时，有 a n+1－λ１＝ d ca a c a n n +--))((11λλ，a n+1－λ２＝d ca a c a n n +--) )((22λλ ∴ 2111λλ--++n n a a ＝21λλc a c a --?21λλ--n n a a ，令b n =21λλ--n n a a 有b n ＋１＝ 2 1 λλc a c a --?b n ○ 2当方程（1）出现重根同为λ时， 由a n+1－λ＝ d ca a c a n n +--))((λλ得λ-+11n a ＝))((λλ--+n n a c a d ca ＝λ c a c -＋))((λλλ--+n a c a c d （ “分离常数”）。设c n =λ-n a 1 得c n ＋１＝ λ λc a c d -+?c n ＋ λ c a c -】
高中数学数列公式大全 很齐全哟 集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）
一、数列基本公式： 1、一般数列的通项a n 与前n项和S n 的关系：a n = 2、等差数列的通项公式：a n =a 1 +(n-1)d a n =a k +(n-k)d (其中a 1 为首项、 a k 为已知的第k项) 当d≠0时，a n 是关于n的一次式；当d=0时，a n 是 一个常数。 3、等差数列的前n项和公式：S n =S n = S n = 当d≠0时，S n 是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a 1 ≠0）， S n =n a 1 是关于n的正比例式。 4、等比数列的通项公式：a n =a 1 q n-1a n =a k q n-k (其中a 1为首项、a k 为已知的第k项，a n ≠0) 5、等比数列的前n项和公式：当q=1时，S n =n a 1 (是关于n的正比例 式)； 当q≠1时，S n =S n =
三、高中中有关等差、等比数列的结论 1、等差数列{a n }的任意连续m项的和构成的数列S m 、S 2m -S m 、S 3m -S 2m 、S 4m -S 3m 、……仍为等差数列。 2、等差数列{a n }中，若m+n=p+q，则 3、等比数列{a n }中，若m+n=p+q，则 4、等比数列{a n }的任意连续m项的和构成的数列S m 、S 2m -S m 、S 3m -S 2m 、S 4m -S 3m 、……仍为等比数列。 5、两个等差数列{a n }与{b n }的和差的数列{a n+ b n }、{a n -b n }仍为等差数列。 6、两个等比数列{a n }与{b n }的积、商、倒数组成的数列 {a n b n }、、仍为等比数列。 7、等差数列{a n }的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。 8、等比数列{a n }的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。 9、三个数成等差数列的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3 d 10、三个数成等比数列的设法：a/q,a,a q；四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,a q,a q3(为什么？)
数列求通项公式教学设计 教学目标： 1、知识目标：使学生掌握数列通项公式的基本求法：（1）利用 公式求通项（2）累加法求通项（3）累乘法求通项， （4）构造法求通项并能灵活地运用。 2、能力目标：通过例题总结归纳数列通项公式基本求法，培养 学生观察、辨析、运用的综合思维能力，掌握由特 殊到一般、无限化有限的化归转化的数学思想,提高 学生数学素质。 3、情感目标：通过本节的学习，进一步培养学生的“实践—认识 —再实践”的辨证唯物主义观点。 教学重点、难点： 重点：数列通项公式的基本求法 $ 难点：复杂问题的化归转化 教学方法与教学手段： 教学方法：引导发现法（注重知识的发生过程，培养学生创新精神和实践能力） 教学手段：多媒体辅助教学 教学过程： 一、创设情境，引出课题： 1、数列在历年的高考中都占有非常重要的地位。以近三年的高考为例：每年都出一道选择或填空、一道解答题，总分值为17分，占高考总成绩的百分之十。所以，希望同学们认真总结归纳基本方法，
灵活运用解题。请同学们思考解决数列问题的关键是什么（同学们一起回答：通项公式），那么这节课我们就来总结一下数列通项公式的基本求法。 《板书标题：数列通项公式的求法》 ( [设计意图] 使学生掌握数列在高考中的地位，从而使学生对数列的学习引起足够的重视，提高学习的积极性。 二、启发诱导、总结方法 1、回顾上节课讲过的公式法，已知n S 求n a ，累加法及其简单应用 给出练习题目，引导学生自主做题，并让一位学生黑板演示 教师引导学生分析例题题干，总结特点：“明确数列是用何种求和方法” 《多媒体》给出同类的练习让学生巩固方法及解题过程。 、 2、累乘法求通项 回忆等比数列定义及通项公式的推导过程，引出“累乘法求通项”，利用类比的方法引导学生自己总结累乘法所适合的结构类型：已知数列相邻两项之比。给出例题让学生分析叙述解题过程。 例：已知数列}{n a ，满足 n n a a n n 11+=+，且21=a ，求该数列的通项公式 引导学生类比累加法，思考解题方法。并逐步给出答案，引导学生怎样分析解决问题。给出练习 练习1.已知数列}{n a 满足n n n a a 2.1=+，且11=a ，求该数列的通项公式 [
等差数列前n项和公式教学案例分析
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《等差数列前n项和公式》教学案例分析教学案例： 一、教学设计思想 本堂课的设计是以个性化教学思想为指导进行设计的。 本堂课的教学设计对教材部分内容进行了有意识的选择和改组，为了体现个性化教学的教学理念，在教法上，采用了以学生为主体，以问题为中心，以老师为引导，以小组的合作为主要学习方式。课堂结构个性化，让学生在探究中展现个性，在合作中促进学生的个性发展。 在教学中通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感,体验在学习中获得成功。 二、学生情况与教材分析 1、学生通过上一节的学习，已经了解了等差数列的定义，基本上掌握了通项公式，会运用等差数列的通项公式进行解题，因此只要简单地回顾上一节课的知识就可引入新课； 2、几何能直观地启迪思路，帮助理解，特别是对于职中类学生，他们对知识的理解还是处于模糊阶段，因此，借助几何直观学习和理解数学，是数学学习中的重要方面。只有做到了直观上的理解，才是真正的理解。因此在教学中，要鼓励学生借助几何直观进行思考，揭示研究对象的性质和关系，从而渗透了数形结合的数学思想。 3、学习应该是学生积极主动的建构知识的过程，应该与学生熟悉的背景相联系。本课要求学生通过自主地观察、讨论、归纳、反思来参与学习，认识和理解数学知识，学会发现问题并尝试解决问题，在学习活动中进一步提升自己的能力。 三、教学目标 1、知识目标 （1）掌握等差数列前n项和公式,理解公式的推导方法； （2）能较熟练应用等差数列前n项和公式求和。 2、能力目标 经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思和逻辑推理的能力。
数列 一、等差数列与等比数列 1.基本量的思想： 常设首项、（公差）比为基本量，借助于消元思想及解方程组思想等。转化为“基本量”是解决问题的基本方法。 2.等差数列与等比数列的联系 1）若数列{}n a 是等差数列，则数列}{n a a 是等比数列，公比为d a ，其中a 是常数，d 是{}n a 的公差。 （a>0且a ≠1）； 2）若数列{}n a 是等比数列，且0n a >，则数列{}log a n a 是等差数列，公差为log a q ，其中a 是常数且 0,1a a >≠，q 是{}n a 的公比。 3）若{}n a 既是等差数列又是等比数列,则{}n a 是非零常数数列。 3.等差与等比数列的比较
4、典型例题分析 【题型1】等差数列与等比数列的联系 例1 （2010陕西文16）已知{}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列.（Ⅰ）求数列{}的通项;（Ⅱ）求数列{2}的前n项和. 解：（Ⅰ）由题设知公差d≠0， 由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得12 1 d + ＝ 18 12 d d + + ， 解得d＝1，d＝0（舍去），故{}的通项＝1+（n－1）×1＝n. (Ⅱ)由（Ⅰ）知2m a=2n，由等比数列前n项和公式得 2+22+23+…+22(12) 12 n - - 21-2. 小结与拓展：数列{}n a是等差数列，则数列} {n a a是等比数列，公比为d a，其中a是常数，d是{}n a的公差。（a>0且a≠1）. 【题型2】与“前n项和与通项”、常用求通项公式的结合 例2 已知数列{}的前三项与数列{}的前三项对应相同，且a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1＝8n对任意的n∈N*都成立，数列{＋1－}是等差数列．求数列{}与{}的通项公式。 解：a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1＝8n(n∈N*) ① 当n≥2时，a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－2－1＝8(n－1)(n∈N*) ② ①－②得2n－1＝8，求得＝24－n， 在①中令n＝1，可得a1＝8＝24－1， ∴＝24－n(n∈N*)．由题意知b1＝8，b2＝4，b3＝2，∴b2－b1＝－4，b3－b2＝－2， ∴数列{＋1－}的公差为－2－(－4)＝2，∴＋1－＝－4＋(n－1)×2＝2n－6，
数列通项公式的求法详解 一、 观察法（关键是找出各项与项数n 的关系.） 例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999， (2) ,1716 4,1093 ,542,21 1（3） ,52,21,32 ,1（4） ,5 4 ,43,32 ,21-- 答案：（1）110-=n n a （2）;122++=n n n a n （3）;12+=n a n （4）1 )1(1+? -=+n n a n n . 二、 公式法 公式法1：特殊数列 例2： 已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x ) = (x －1)2 ，且a 1 = f (d －1)，a 3 = f (d +1)，b 1 = f (q +1)，b 3 = f (q －1)，求数列{ a n }和{ b n }的通项公式。 答案：a n =a 1+(n －1)d = 2(n －1)； b n =b ·q n －1=4·(－2)n －1 例3. 等差数列{}n a 是递减数列，且432a a a ??=48，432a a a ++=12，则数列的通项公式是（ ） (A) 122-=n a n (B) 42+=n a n (C) 122+-=n a n (D) 102+-=n a n 答案：(D) 例4. 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比10< 数列公式数学学科导学案 教师寄语：做对国家有用的人 课题：数列的概念和通项公式 班级 17级姓名陈兆侠组别二年级 一、学习目标： 1.知识与能力： （1）理解数列及其有关概念； （2）理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项； （3）对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式． 2.过程与方法： 理解数列的定义，表示法，分类，初步学会求数列通项公式的方法。 3.情感态度价值观： 提高观察，分析能力，理解从特殊到一般，从一般到特殊思想。 二、学习重、难点： 重点：了解数列的概念及其表示方法，会写出简单数列的通项公式 难点：数列与函数关系的理解，用归纳法写数列的通项 三、学习过程【导、探、议、练】 导 知识点一：数列及其有关概念 思考1：数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？ 思考2：数列的记法和集合有些相似，那么数列与集合的区别是什么？ 梳理: (1)按照________排列的________称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的_____.数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的__________(通常也叫做______)，排在第二位的数称为这个数列的……排在第n位的数称为这个数列的__________. (2) 数列的一般形式可以写成，简记为_________. 知识点二：通项公式 思考1:数列1,2,3,4，…的第100项是多少？你是如何猜的？ 思考2 数列的通项公式an＝f(n)与函数解析式y＝f(x)有什么异同？ 知识点三:数列的分类 思考:对数列进行分类，可以用什么样的分类标准？ 梳理: (1)按项数分类，项数有限的数列叫做__________数列，项数无限的数列叫做__________数列． (2)按项的大小变化分类，从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做___________；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做；各项相等的数列叫做；从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做_____________. 探、议 （一）自主探究 类型一:由数列的前几项写出数列的一个通项公式 2.2.2 从容说课 本节课的主要内容是让学生明确等差中项的概念，进一步熟练掌握等差数列的通项公式及其推导的公式，并能通过通项公式与图象认识等差数列的性质；让学生明白一个数列的通项公式是关于正整数n的一次型函数，那么这个数列必定是一个等差数列，使学生学会用图象与通项公式的关系解决某些问题在学法上，引导学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，学会探究.在教学过程中，遵循学生的认 知规律，充分调动学生的积极性，尽可能让学生经历知识的形成和发展过程，激发他们的学习兴趣，发挥他们的主观能动性及其在教学过程中的主体地位，通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识 通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点，通过等差数列的图象的应用，通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想，进一步渗透数形结合思想、函数思想.通过引导学生积极探究，主动学习，提高学生学习积极性，也提高了课堂的教学效果 教学重点等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用 教学难点等差数列的性质的应用、灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题 教具准备多媒体及课件 三维目标 一、知识与技能 1.明确等差中项的概念 2.进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式，能通过通项公式与图象认识等差数列的性质 3.能用图象与通项公式的关系解决某些问题 二、过程与方法 1.通过等差数列的图象的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想 2.发挥学生的主体作用，讲练相结合，作好探究性学习 3.理论联系实际，激发学生的学习积极性 三、情感态度与价值观 1.通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点 2.通过体验等差数列的性质的奥秘，激发学生的学习兴趣 教学过程 导入新课 师 同学们，上一节课我们学习了等差数列的定义，等差数列的通项公式，哪位同学能回忆一下什么样的 数列叫等差数列？ 生 我回答，一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即a n -a n -1=d (n ≥2，n ∈N *)，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差(通常用字母“d ”表示 师 对，我再找同学说一说等差数列{a n }的通项公式的内容是什么？ 生1 等差数列{a n }的通项公式应是a n =a 1+(n -1)d 生2 等差数列{a n }还有两种通项公式：a n =a m +(n -m)d 或a n =p n +q(p 、q 是常数 师 好！刚才两位同学说得很好，由上面的两个公式我们还可以得到下面几种计算公差d 的公式：①d =a n -a n -1；② 11--= n a a d n ；③m n a a d m n --=.你能理解与记忆它们吗？ 生3 公式②11--=n a a d n 与③m n a a d m n --=记忆规律是项的值的差比上项数之间的差(下标之差 ［合作探究］ 探究内容：如果我们在数a 与数b 中间插入一个数A ，使三个数a ，A ，b 成等差数列，那么数A 应满足什么样的条件呢？ 高中数学数列公式及结论总结 一、高中数列基本公式： 1、一般数列的通项a n与前n项和S n的关系：a n= 2、等差数列的通项公式：a n=a1+(n-1)d a n=a k+(n-k)d (其中a1为首项、a k为已知的第k项) 当d≠0时，a n是关于n的一次式；当d=0时，a n是一个常数。 3、等差数列的前n项和公式： S n=S n=S n= 当d≠0时，S n是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），S n=na1是关于n 的正比例式。 4、等比数列的通项公式：a n= a1 q n-1 a n= a k q n-k (其中a1为首项、a k为已知的第k项，a n≠0) 5、等比数列的前n项和公式：当q=1时，S n=n a1 (是关于n的正比例式)； 当q≠1时，S n=S n= 三、高中数学中有关等差、等比数列的结论 1、等差数列{a n}的任意连续m项的和构成的数列S m、S2m-S m、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等差数列。 2、等差数列{a n}中，若m+n=p+q，则 3、等比数列{a n}中，若m+n=p+q，则 4、等比数列{a n}的任意连续m项的和构成的数列S m、S2m-S m、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等比数列。 5、两个等差数列{a n}与{b n}的和差的数列{a n+b n}、{a n-b n}仍为等差数列。 6、两个等比数列{a n}与{b n}的积、商、倒数组成的数列 {a n b n}、、仍为等比数列。 7、等差数列{a n}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。 8、等比数列{a n}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。 9、三个数成等差数列的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d 10、三个数成等比数列的设法：a/q,a,aq； 求数列通项公式的十种方法 一、公式法 例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。 解：1232n n n a a +=+?两边除以1 2 n +，得 113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2n n a 是以1222a 1 1==为首项，以2 3 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222 n n a n =-。 评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 113 222 n n n n a a ++-=，说明数列{}2 n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。 二、利用 { 1(2)1(1) n n S S n S n n a --≥== 例2．若n S 和n T 分别表示数列{}n a 和{}n b 的前n 项和，对任意正整数 2(1)n a n =-+，34n n T S n -=.求数列{}n b 的通项公式； 解 ： 22(1) 4 2 31a n a d S n n n n =-+∴=-=-=-- 23435T S n n n n n ∴=+=--… …2分 当1,35811n T b ===--=-时 当2,62 6 2.1n b T T n b n n n n n ≥=-=--∴=---时……4分 练习：1. 已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足10S n =a n 2+5a n +6且a 1,a 3,a 15成等 比数列，求数列{a n }的通项a n 解: ∵10S n =a n 2+5a n +6， ① ∴10a 1=a 12+5a 1+6，解之得a 1=2或a 1=3 又10S n －1=a n －12+5a n －1+6(n ≥2)，② 由①－②得 10a n =(a n 2－a n －12)+6(a n －a n －1)，即(a n +a n －1)(a n －a n －1－5)=0 ∵a n +a n －1>0 ， ∴a n －a n －1=5 (n ≥2) 当a 1=3时，a 3=13，a 15=73 a 1， a 3，a 15不成等比数列∴a 1≠3; 当a 1=2时， a 3=12， a 15=72， 有 a 32=a 1a 15 ， ∴a 1=2， ∴a n =5n －3 2．（2006年全国卷I ）设数列{}n a 的前n 项的和 等差数列的概念、等差数列的通项公式 从容说课 本节课先在具体例子的基础上引出等差数列的概念，接着用不完全归纳法归纳出等差数列的通项公式，最后根据这个公式去进行有关计算.可见本课内容的安排旨在培养学生的观察分析、归纳猜想、应用能力.结合本节课特点，宜采用指导自主学习方法，即学生主动观察——分析概括——师生互动，形成概念——启发引导，演绎结论——拓展开放，巩固提高.在学法上，引导学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，学会探究. 在教学过程中，遵循学生的认知规律，充分调动学生的积极性，尽可能让学生经历知识的形成和发展过程，激发他们的学习兴趣，发挥他们的主观能动性及其在教学过程中的主体地位.创设问题情境，引起学生学习兴趣，激发他们的求知欲，培养学生由特殊到一般的认知能力.使学生认识到生活离不开数学，同样数学也是离不开生活的.学会在生活中挖掘数学问题，解决数学问题，使数学生活化，生活数学化. 教学重点理解等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式，会用公式解决一些简单的问题. 教学难点(1)等差数列的性质，等差数列“等差”特点的理解、把握和应用; (2)概括通项公式推导过程中体现的数学思想方法，以及从函数、方程的观点看通项公式. 教具准备多媒体课件，投影仪 三维目标 一、知识与技能 1.了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列; 2.正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项. 二、过程与方法 1.通过对等差数列通项公式的推导培养学生的观察力及归纳推理能力； 2.通过等差数列变形公式的教学培养学生思维的深刻性和灵活性. 三、情感态度与价值观 通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识. 教学过程 导入新课 师上两节课我们学习了数列的定义以及给出数列和表示数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法.这些方法从不同的角度反映数列的特点.下面我们看这样一些数列的例子：(课本P41页的4个例子) (1)0，5，10，15，20，25，…; (2)48，53，58，63，…; (3)18，15.5，13，10.5，8，5.5…; (4)10 072，10 144，10 216，10 288，10 366，…. 请你们来写出上述四个数列的第7项. 生第一个数列的第7项为30，第二个数列的第7项为78，第三个数列的第7项为3，第四个数列的第7项为10 510. 师我来问一下，你依据什么写出了这四个数列的第7项呢?以第二个数列为例来说一说. 生这是由第二个数列的后一项总比前一项多5，依据这个规律性我得到了这个数列的第7 《等差数列及其通项公式》公开课教案教学时间：2009年12月25日上午第四节 授课班级：08商外 授课地点：职三（3） 授课教师：郭玲 一、教学任务及职业背景分析： 商务外语班学生多数数学基础较差，对数学学习也不够重视。但数学作为基础学科，是培养学生分析问题、解决问题的能力及创造能力的载体，特别是本专业学生多数准备出国，更应该加强能力的培养，以适应国外激烈竞争的环境。所以在学习数学过程中，我更强调学习的过程，强调学生探索新知识的经历和获得新知的体验，不能再让教学脱离学生的内心感受。在设计本节课时，我所考虑的不是简单告诉学生等差数列的定义和通项公式，而是通过分组分享法，创造一些数学情境，让学生自己去讨论、去发现，去分享，去体验成功。学生在课堂上的主体地位得到充分发挥，激发学习兴趣，培养团队精神，也提高他们提出问题、解决问题的能力和创造力。等差数列是学生探究特殊数列的开始，它对后续内容的学习，无论在知识上，还是在方法上都具有积极的意义。 二、教学目标： 1．知识目标：理解等差数列定义，掌握等差数列的通项公式，能根据通项公式解决 a n 、a 1 、d、n中的已知三个求另一个的问题。 2．能力目标：培养学生观察、推理、归纳能力，应用数学公式解决实际问题的能力。3．德育目标：体验从特殊到一般，又到特殊的认知规律，培养学生勇于创新的科学精神。 三、教学重点：等差数列的定义理解和对通项公式的熟悉与应用 四、教学难点：对等差数列概念中“等差”特点的理解及通项公式的灵活运用 五、教学方法：分组分享法 六、教学手段：多媒体辅助教学 七、教学过程： 【雅思、托福考试常识】 美国、英国、澳大利亚等国家都要求申请留学人员应具备雅思、托福成绩。如果达不到，就需要在国外就读价格昂贵的语言学校。雅思、托福考试词汇量一般在8000个单词左右。 （1）雅思要求：考试科目为阅读、听力、口语、写作4科，每科满分为9分，成绩一般要求平均分5分以上,费用为1450元。（2）托福要求：考试科目也为是阅读、听力、口语、写作4科，每科满分30分，总分为120，成绩一般要求总分达80分以上，费用为1370元。 （一）复习回顾:数列的定义 引例：（1）莺生原来只会500个单词，她决定从今天起每天背记15个单词，那么从今天起她的单词量逐日依次递增为： 500，515，530，545，560，575，…… （2）靓靓目前会1000个单词，她打算从今天起不再背单词了，结果不知不觉每周忘掉20个单词，那么从今天起她的单词量逐周依次递减为：1000 ，980，960，940，920 ，900，…… 【说明】：通过两个具体的数列，复习数列的定义，为后面学习等差数列的定义和等差数列的通项公式建立基础。 （二）导入新课： 这节课我们将学习这一类有特点的数列： 1000，980，960，940，920 ，900 ……① 500， 515 ，530，545，560，575 ……② 问题1：观察这些数列有什么共同的特征？请同学们思考后作答。 共同特点：从第2项起，后一项与它的前一项的差都等于同一个常数。也就是说，这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点。具有这种特点的数列， 我们把它叫做等差数列。 【说明】：通过例题（1）和（2）引出两个具体的等差数列，初步认识等差数列的特征，为后面的概念学习建立基础，为学习新知识创设问题情境，激发学 生的求知欲。由学生观察两个数列特点，引出等差数列的概念，对问题的 总结又培养学生由具体到抽象、由特殊到一般的认知能力。每相邻两项的 差相等——作差的顺序是后项减前项 问题2：请同学们分别用文字语言和数学语言描述等差数列的定义： 文字语言：一般的，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么，这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公 差，用字母d表示。 数学语言：a 2 – a 1 = a 3 - a 2 = a 4 - a 3 = ··· = d 即：a n - a n-1 = d （n∈N+且n≥2） 或a n= a n-1 +d （n∈N+且n≥2） 问题3：分组比赛抢答，观察下列数列是否为等差数列，如果是求出公差d （1）25，20，15，10，5……√d=-5中职数学(人教版)拓展模块教案：数列的概念和通项公式
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