上海市初中数学竞赛知识点整理
*1.3组合恒等式
一．正整数A 的p 进制表示：
012
21
1a p a p
a p
a A m m m m +?++?+?=---- ，其中1,,2,1},1,,2,1,0{-=-∈m i p a i 且
01≠-m a 。而m 仍然为十进制数字，简记为p m m a a a A )(021 --=。
二．整除
在数学竞赛中如果不加特殊说明，我们所涉及的数都是整数，所采用的字母也表示整数。 定义：设b a ,是给定的数，0≠b ，若存在整数c ，使得bc a =则称b 整除a ，记作a b |，并称b 是a 的一个约数(因子)，称a 是b 的一个倍数，如果不存在上述c ，则称b 不能整除a 记作b a 。
由整除的定义，容易推出以下性质：
(1)若c b |且a c |，则a b |(传递性质)；
(2)若a b |且c b |，则)(|c a b ±即为某一整数倍数的整数之集关于加、减运算封闭。若反复运用这一性质，易知a b |及c b |，则对于任意的整数v u ,有)(|cv au b ±。更一般，若
n a a a ,,,21 都是b 的倍数，则)(|21n a a a b +++ 。或着i b a |，则∑=n
i i
i
b
c a 1
|
其中
n i Z c i ,,2,1, =∈；
(3)若a b |，则或者0=a ，或者||||b a ≥，因此若a b |且b a |，则b a ±=； (4)b a ,互质，若c b c a |,|，则c ab |；
(5)p 是质数，若n a a a p 21|，则p 能整除n a a a ,,,21 中的某一个；特别地，若p 是质数，若n
a p |，则a p |；
(6)(带余除法)设b a ,为整数，0>b ，则存在整数q 和r ，使得r bq a +=，其中
b r <≤0，并且q 和r 由上述条件唯一确定；整数q 被称为a 被b 除得的(不完全)商，数r
称为a 被b 除得的余数。注意：r 共有b 种可能的取值：0,1，……，1-b 。若0=r ，即为a 被b 整除的情形；
易知，带余除法中的商实际上为??
?
???b
a （不超过
b a
的最大整数），而带余除法的核心是关
于余数r 的不等式：b r <≤0。证明a b |的基本手法是将a 分解为b 与一个整数之积，在较为初级的问题中，这种数的分解常通过在一些代数式的分解中取特殊值而产生，下面两个
分解式在这类论证中应用很多。
若n 是正整数，则))((1221----++++-=-n n n n n n y xy y x x y x y x ；
若n 是正奇数，则))((1221----+-+-+=+n n n n n n y xy y x x y x y x ；（在上式中用y -代y ）
(7)如果在等式∑∑===m
k k n
i i b a 1
1
中取去某一项外，其余各项均为c 的倍数，则这一项也是c 的
倍数；
(8)n 个连续整数中，有且只有一个是n 的倍数；
(9)任何n 个连续的整数之积一定是n!的倍数，特别地，三个连续的正整数之积能被6整除； 三．数的性质
1．奇数、偶数有如下性质：
(1)奇数±奇数=偶数，偶数±偶数＝偶数，奇数±偶数＝奇数，偶数?偶数＝偶数，奇数?偶数＝偶数，奇数?奇数＝奇数；即任意多个偶数的和、差、积仍为偶数，奇数个奇数的和、差仍为奇数，偶数个奇数的和、差为偶数，奇数与偶数的和为奇数，和为偶数；
（2）奇数的平方都可以表示成18+m 的形式，偶数的平方可以表示为m 8或48+m 的形式； （3）任何一个正整数n ，都可以写成l n m 2=的形式，其中m 为负整数，l 为奇数。 （4）若有限个整数之积为奇数，则其中每个整数都是奇数；若有限个整数之积为偶数，则这些整数中至少有一个是偶数；两个整数的和与差具有相同的奇偶性；偶数的平方根若是整数，它必为偶数。
2．完全平方数及其性质
能表示为某整数的平方的数称为完全平方数，简称平方数。平方数有以下性质与结论： （1）平方数的个位数字只可能是0,1，4,5，6,9；
（2）偶数的平方数是4的倍数，奇数的平方数被8除余1，即任何平方数被4除的余数只有可能是0或1；
（3）奇数平方的十位数字是偶数；
（4）十位数字是奇数的平方数的个位数一定是6；
（5）不能被3整除的数的平方被3除余1，能被3整数的数的平方能被3整除。因而，平方数被9也合乎的余数为0,1，4,7，且此平方数的各位数字的和被9除的余数也只能是0,1，4,7；
（6）平方数的约数的个数为奇数；
（7）任何四个连续整数的乘积加1，必定是一个平方数。
（8）设正整数b a ,之积是一个正整数的k 次方幂（2≥k ），若（b a ,）＝1，则b a ,都是整数的k 次方幂。
3.整数整除性的一些数码特征（即常见结论）
（1）若一个整数的未位数字能被2（或5）整除，则这个数能被2（或5）整除，否则不能；
（2）一个整数的数码之和能被3（或9）整除，则这个数能被3（或9）整除，否则不能；
（3）若一个整数的未两位数字能被4（或25）整除，则这个数能被4（或25）整除，否则不能；
（4）若一个整数的未三位数字能被8（或125）整除，则这个数能被8（或125）整除，否则不能； （5）若一个整数的奇位上的数码之和与偶位上的数码之和的差是11的倍数，则这个数能被11整除，否则不能。
4.质数与合数及其性质 1．正整数分为三类：（1）单位数1；（2）质数（素数）：一个大于1的正整数，如果它的因数只有1和它本身，则称为质（素）数；（3）如果一个自然数包含有大于1而小于其本身的因子，则称这个自然数为合数。 2．有关质（素）数的一些性质
（1）若1,>∈a Z a ，则a 的除1以外的最小正因数q 是一个质（素）数。如果a q ≠，则a q ≤；
（2）若p 是质（素）数，a 为任一整数，则必有a p |或（p a ,）＝1；
（3）设n a a a ,,,21 为n 个整数，p 为质（素）数，且n a a a p 21|，则p 必整除某个i a （n i ≤≤1）； （4）（算术基本定理）任何一个大于1的正整数a ，能唯一地表示成质（素）因数的乘积（不计较因数的排列顺序）；
（5）任何大于1的整数a 能唯一地写成k i p p p a k
a k a a ,,,2,1,2
1
21 == ① 的形式，其中i p 为质（素）数（)(j i p p j i <<）。上式叫做整数a 的标准分解式； （6）若a 的标准分解式为①，a 的正因数的个数记为)(a f ，则)1()1)(1()(21+++=k a a a a f 推论1.若a 的标准分解式是（1）式，则d 是a 的正因数的充要条件是： k i a p p p d i i k k
,,,2,1,0,2
1
21 =<≤=ββββ （2）
应说明（2）不能称为是d 的标准分解式，，其原因是其中的某些i β可能取零值（d 也有可能不含有某个素因数i p ，因而0=i β）
推论2.设bc a =，且1),(=c b ，若a 是整数的k 次方，则c b ,也是整数的k 次方。特别地，若a 是整数的平方，则c b ,也是整数的平方。 四．最大公约数与最小公倍数
最大公约数与最小公倍数是数论中的一个重要的概念，这里我们主要讨论两个整数互素、最大公约数、最小公倍数等基本概念与性质。
定义1.（最大公约数）设b a ,不全为零，同时整除b a ,的整数（如1±）称为它们的公约数。
因为b a ,不全为零，故b a ,只有有限多个，我们将其中最大一个称为b a ,的最大公约数，用符号（b a ,）表示。显然，最大公约数是一个正整数。
当（b a ,）＝1（即b a ,的公约数只有1±）时，我们称a 与b 互素（互质）。这是数论中的非常重要的一个概念。
同样，如果对于多个（不全为零）的整数c b a ,,, ，可类似地定义它们的最大公约数（c b a ,,, ）。若（c b a ,,, ）＝1，则称c b a ,,, 互素。请注意，此时不能推出c b a ,,, 两两互素；但反过来，若（c b a ,,, ）两两互素，则显然有（c b a ,,, ）＝1。
由最大公约数的定义，我们不难得出最大公约数的一些简单性质：例如任意改变b a ,的符号，不改变（b a ,）的值，即),(),(b a b a =±±；（b a ,）可以交换，（b a ,）＝（a b ,）；（b a ,）作为b 的函数，以a 为周期，即对于任意的实数x ，有（ax b a +,）＝（b a ,）等等。为了更详细地介绍最大公约数，我们给出一些常用的一些性质： （1）设b a ,是不全为0的整数，则存在整数y x ,，使得),(b a by ax =+；
（2）（裴蜀定理）两个整数b a ,互素的充要条件是存在整数y x ,，使得1=+by ax ；
事实上，条件的必要性是性质（1）的一个特例。反过来，若有y x ,使等式成立，不妨设d b a =),(，则b d a d |,|，故ax d |及by d |，于是)(|by ax d +，即1|d ，从而1=d 。（不作要求）
（3）若b m a m |,|，则),(|b a m ，即b a ,的任何一个公约数都是它们的最大公约数的约数； （4）若0>m ，则),(),(b a m mb ma =；
（5）若d b a =),(，则1,=???
?
?d b d a ，因此两个不互素的整数，可以自然地产生一对互素的整数；
（6）若1),(,1),(==m b m a ，则1),(=m ab ，也就是说，与一个固定整数互素的整数集关
于乘法封闭。并由此可以推出：若1),(=b a ，对于0>?k 有1),(=b a k
，进而有对0
>?l 有1),(=l
k b a 。
（7）设ac b |，若1),(=c b ，则a b |；
（8）设正整数b a ,之积是一个正整数的k 次方幂（2≥k ），若（b a ,）＝1，则b a ,都是整数的k 次方幂。一般地，设正整数c b a ,,, 之积是一个正整数的k 次方幂（2≥k ），若
c b a ,,, 两两互素，则c b a ,,, 都是正整数的k 次方幂。
定义2.设b a ,是两个非零整数，一个同时为b a ,倍数的数称为它们的公倍数，b a ,的公倍数有无穷多个，这其中最小的一个称为b a ,的最小公倍数，记作[]b a ,，对于多个非零实数c b a ,,, ，可类似地定义它们的最小公倍数［c b a ,,, ］。 最小公倍数主要有以下几条性质：
（1）a 与b 的任一公倍数都是[]b a ,的倍数，对于多于两个数的情形，类似结论也成立； （2）两个整数b a ,的最大公约数与最小公倍满足：[]||,),(ab b a b a =（但请注意，这只限于两个整数的情形，对于多于两个整数的情形，类似结论不成立）； （3）若c b a ,,, 两两互素，则［c b a ,,, ］＝｜c b a ,,, ｜； （4）若d c d b d a |,,|,| ，且c b a ,,, 两两互素，则c b a ,,, ｜d 。 五．高斯函数
数论函数][x y =，称为高斯函数，又称取整函数. 它是数学竞赛热点之一.
定义一：对任意实数][,x x 是不超过x 的最大整数，称][x 为x 的整数部分.与它相伴随的是小数部分函数].[}{},{x x x x y -==
由][x 、}{x 的定义不难得到如下性质：
（1）][x y =的定义域为R ，值域为Z ；}{x y =的定义域为R ，值域为)1,0[ （2）对任意实数x ，都有1}{0},{][<≤+=x x x x 且. （3）对任意实数x ，都有x x x x x x ≤<-+<≤][1,1][][.
（4）][x y =是不减函数，即若21x x ≤则][][21x x ≤}{x y =是以1为周期的周期函数
（5）}{}{];[][x n x x n n x =++=+.其中*∈∈N n R x ,.
（6）1
1
[][][];{}{}{};[][],n
n
i i
i
i i x y x y x y x y x x x
R ==+≥++≥+≥
∈∑∑；
特别地，].[][
b
a
n b na
≥ （7）][][][y x xy ?≥，其中+∈R y x ,；一般有1
1
[][],n
n
i i
i
i i x x x
R +==≥
∈∏∏；
特别地，*∈+∈≤N n R x x x n n ,],[][. （8）]][[
][n
x n
x =，其中*
∈+∈N n R x ,.
(9) 若!p n α
，则 ][][
][
3
2
p
n p
n p
n ++=α请注意，此式虽然被写成了无限的形式，
但实际上对于固定的n ，必存在正整数k ，使得n p k >，因而10< =k p n ， 而且对于k m >时，都有0][ =m p n 。因此，上式实际上是有限项的和。另外，此式也指出 了乘数!n 的标准分解式中，素因数p 的指数α的计算方法。 （10）对正实数,x y 有：[][] y y x x ??≤???? （11）对整数x ，[][]x x -=-，对于x ?Z ，[][]1x x -=-- 六．同余 定义1.（同余）设0>m ，若)(|b a m -，则称a 和b 对模m 同余，记作)(mod m b a ≡；若不然，则称a 和b 对模m 不同余，记作a ≡)(mod m b 。当m b <≤0时，)(mod m b a ≡，则称b 是a 对模m 的最小非负剩余。 由带余除法可知，a 和b 对模m 同余的充要条件是a 与b 被m 除得的余数相同。对于固定的模m ，模m 的同余式与通常的等式有许多类似的性质： 性质1. )(mod m b a ≡的充要条件是Z t mt b a ∈+=,也即)(|b a m -。 性质2.同余关系满足以下规律： （1）（反身性）)(mod m a a ≡； （2）（对称性）若)(mod m b a ≡，则)(mod m a b ≡； （3）（传递性）若)(mod m b a ≡，)(mod m c b ≡，则)(mod m c a ≡； （4）（同余式相加）若)(mod m b a ≡，)(mod m d c ≡，则)(mod m d b c a ±≡±； （5）（同余式相乘）若)(mod m b a ≡，)(mod m d c ≡，则)(mod m bd ac ≡； 反复利用（4）（5），可以对多个两个的（模相同的）同余式建立加、减和乘法的运算公式。特别地，由（5）易推出：若)(mod m b a ≡，c k ,为整数且0>k ，则)(m o d m c b c a k k ≡； 但是同余式的消去律一般并不成立，即从)(mod m bc ac ≡未必能推出)(mod m b a ≡，可是我们却有以下结果： （6）若)(mod m bc ac ≡，则??? ? ?? ≡),(mod c m m b a ，由此可以推出，若,1),(=m c ，则有)(mo d m b a ≡，即在c 与m 互素时，可以在原同余式两边约去c 而不改变模（这一点再一 次说明了互素的重要性）。 现在提及几个与模相关的简单而有用的性质： （7）若)(mod m b a ≡，d ｜m ，则)(mod d b a ≡； （8）若)(mod m b a ≡，0≠d ，则)(mod dm db da ≡； （9）若),,2,1)((mod k i m b a i =≡，则]),,,(mod[21n m m m b a ≡，特别地，若n m m m ,,,21 两两互素时，则有)(mod 21n m m m b a ≡； 性质3.若k i m b a i i ,,2,1),(mod =≡，则)(mod 1 1 m b a k i k i i i ∑∑==≡ ；∏∏==≡ k i k i i i b a 1 1 ； 性质4.设)(x f 是系数全为整数的多项式，若)(mod m b a ≡，则))(mod ()(m b f a f ≡。 这一性质在计算时特别有用：在计算大数字的式子时，可以改变成与它同余的小的数字，使计算大大地简化。 八．中国剩余定理（不作要求） 设k m m m ,,,21 是两两互素的正整数，那么对于任意整数k a a a ,,,21 ，一次同余方程组 )(mod j j m a x ≡，k j ≤≤1必有解，且解可以写为： )(mod 222111m a N M a N M a N M x k k k +++≡ 这里k m m m m 21=，)1(k i m m M i i ≤≤= ，以及j N 满足)(mod 1j j j m N M ≡，k j ≤≤1（即j N 为j M 对模j m 的逆）。 九．不定方程 1．不定方程问题的常见类型： （1）求不定方程的解； （2）判定不定方程是否有解； （3）判定不定方程的解的个数（有限个还是无限个）。 2．解不定方程问题常用的解法： （1）代数恒等变形：如因式分解、配方、换元等； （2）不等式估算法：利用不等式等方法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解； （3）同余法：对等式两边取特殊的模（如奇偶分析），缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解； （4）构造法：构造出符合要求的特解，或构造一个求解的递推式，证明方程有无穷多解； （5）无穷递推法。 以下给出几个关于特殊方程的求解定理： （一）二元一次不定方程（组） 定义1.形如c by ax =+(,,,,Z c b a ∈b a ,不同时为零)的方程称为二元一次不定方程。 定理1.方程c by ax =+有解的充要是c b a |),( 方法与技巧： 1．解二元一次不定方程通常先判定方程有无解。若有解，可先求c by ax =+一个特解，从而写出通解。当不定方程系数不大时，有时可以通过观察法求得其解，即引入变量，逐渐减小系数，直到容易得其特解为止； 2．m 个n 元一次不定方程组成的方程组，其中n m <，可以消去1-m 个未知数，从而消去了1-m 个不定方程，将方程组转化为一个1+-m n 元的一次不定方程。 （二）高次不定方程（组）及其解法 1．因式分解法：对方程的一边进行因式分解，另一边作质因式分解，然后对比两边，转而求解若干个方程组； 2．同余法：如果不定方程0 ),,(1=n x x F 有整数解，则对于任意N m ∈，其整数解 ) ,,(1n x x 满 足 ) (mod 0),,(1m x x F n ≡ ，利用这一条件，同余可以作为探究不定方程整数解的一块试金石； 3．不等式估计法：利用不等式工具确定不定方程中某些字母的范围，再分别求解； 方法与技巧： 1．因式分解法是不定方程中最基本的方法，其理论基础是整数的唯一分解定理，分解法作为解题的一种手段，没有因定的程序可循，应具体的例子中才能有深刻地体会； 2．同余法主要用于证明方程无解或导出有解的必要条件，为进一步求解或求证作准备。同 余的关键是选择适当的模，它需要经过多次尝试； 3．不等式估计法主要针对方程有整数解，则必然有实数解，当方程的实数解为一个有界集，则着眼于一个有限范围内的整数解至多有有限个，逐一检验，求出全部解；若方程的实数解是无界的，则着眼于整数，利用整数的各种性质产生适用的不等式； （三）特殊的不定方程 1．利用分解法求不定方程)0(≠=+abc cxy by ax 整数解的基本思路： 将)0(≠=+abc cxy by ax 转化为ab b cy a x =--))((后，若ab 可分解为Z b a b a ab i i ∈=== 11， 则解的一般形式为?? ?? ? +=+=c b b y c a a x i i ，再取舍得其整数解； 2．定义2：形如 2 22z y x =+的方程叫做勾股数方程，这里z y x ,,为正整数。 对于方程 2 2 2 z y x =+，如果d y x =),(，则2 2 |z d ，从而只需讨论1),(=y x 的情形，此时 易知z y x ,,两两互素，这种两两互素的正整数组叫方程的本原解。 定理3.勾股数方程 2 22z y x =+满足条件y |2的一切解可表示为： 2 2 2 2 ,2,b a z a b y b a x +==-=，其中1),(,0=>>b a b a 且b a ,为一奇一偶。 推论：勾股数方程 2 22z y x =+的全部正整数解（y x ,的顺序不加区别）可表示为： d b a z abd y d b a x )(,2,)(2 2 2 2 +==-=其中0>>b a 是互质的奇偶性不同的一对正整 数，d 是一个整数。 十.其他： （1）整数的离散性： 任何两个整数, x y 之间至少相差1，即1x y x y （2）有理数运算的封闭性（略） （3）约数和定理： 设()d n n d σ= ∑，n 的标准分解式为：1212,1,2,,,k a a a k n p p p i k = = 那么： 1 1 1 ()1 i a k i i i p n p σ+=-= -∏ （4）欧几里得辗转相除法 ()()()()()121,,,,,0n n n n a b b r r r r r r r -====== ． （5）定理 对任意的正整数,a b ，有()[],,a b a b ab ?=． 定理 互素的简单性质： （1）()1,1a =． （2）(),11n n +=． （3）()21,211n n -+=． （4）若p 是一个素数，a 是任意一个整数，且a 不能被p 整除，则(),1a p =． 定理 若(),1a b =，则(),1a b a ±=，(),1a b b ±=， (),1a b ab ±=． 定理 任何整数都可以表示为()2 21m n k =-． [补充资料 ] (13)将军饮马问题 组合几何 高中数学竞赛平面几何知识点基础 1、相似三角形的判定及性质 相似三角形的判定： (1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似; (2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似(简叙为:两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似.); (3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似(简叙为:三边对应成比例，两个三角形相似.); (4)如果两个三角形的两个角分别对应相等(或三个角分别对应相等)，则有两个三角形相似(简叙为两角对应相等，两个三角形相似.). 直角三角形相似的判定定理: (1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似; (2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似. 常见模型： 相似三角形的性质: （1）相似三角形对应角相等 （2）相似三角形对应边的比值相等，都等于相似比 （3）相似三角形对应边上的高、角平分线、中线的比值都等于相似比 （4）相似三角形的周长比等于相似比 （5）相似三角形的面积比等于相似比的平方 2、内、外角平分线定理及其逆定理 内角平分线定理及其逆定理： 三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。 如图所示，若AM平分∠BAC，则AB AC =BM MC 该命题有逆定理： 如果三角形一边上的某个点与这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连 线是三角形的一条角平分线 外角平分线定理： 三角形任一外角平分线外分对边成两线段，这两条线段和夹相应的内角的两边成比例。 如图所示，AD平分△ABC的外角∠CAE，则BD DC =AB AC 其逆定理也成立：若D是△ABC的BC边延长线上的一点， 且满足BD DC =AB AC ，则AD是∠A的外角的平分线 内外角平分线定理相结合： 如图所示，AD平分∠BAC，AE平分∠BAC的外角 ∠CAE，则BD DC =AB AC =BE EC 3、射影定理 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射 影定理如下： BD2=AD·CD AB2=AC·AD BC2=CD·AC 对于一般三角形： 在△ABC中，设∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则有 a=bcosC+ccosB b=ccosA+acosC c=acosB+bcosA 4、旋转相似 当一对相似三角形有公共定点且其边不重合时，则会产生另 一对相似三角形，寻找方法：连接对应点，找对应点连线和 一组对应边所成的三角形，可以得到一组角相等和一组对应 边成比例，如图中若△ABC∽△AED，则△ACD∽△ABE 5、张角定理 在△ABC中D为BC边上一点，则 sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD 6、圆内有关角度的定理 圆周角定理及其推论： （1）圆周角定理指的是一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半（2）同弧所对的圆周角相等 （3）直径所对的圆周角是直角，直角所对的弦是直径 中国大学生数学竞赛竞赛大纲(数学专业类) 为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。 一、竞赛的性质和参赛对象 “中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。 “中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。 二、竞赛的内容 “中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。 （一）中国大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容，即，数学分析占50%，高等代数占35%，解析几何占15%，具体内容如下： Ⅰ、数学分析部分 一、集合与函数 1. 实数集 、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理. 2. 2 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、2 上的闭矩形套定理、聚点定理、有限复盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在n 上的推广. 3. 函数、映射、变换概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存在性定理，初等函数以及与之相关的性质. 二、极限与连续 1. 数列极限、收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质）. 2. 数列收敛的条件（Cauchy 准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系），极限1lim(1)n n e n →∞+=及其应用. 3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、保号性、不等式 性质、迫敛性），归结原则和Cauchy 收敛准则，两个重要极限sin 10lim 1,lim(1)x x x x x x e →→∞ =+=及其应用，计算一元函数极限的各种方法，无穷小量与无穷大量、阶的比较，记号O 与o 的意义，多元函数重极限与累次极限概念、基本性质，二元函数的二重极限与累次极限的关系. 4. 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质（局部有界性、保号性），有界闭集上连续函数的性质（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性）. 三、一元函数微分学 1.导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法，微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性. 2.微分学基本定理：Fermat 定理，Rolle 定理，Lagrange 定理，Cauchy 定理，Taylor 公式(Peano 余项与Lagrange 余项). 3.一元微分学的应用：函数单调性的判别、极值、最大值和最小值、凸函数及其应用、 中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题 答题时注意： 1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交. 一、选择题<共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．设1a ，则代数式32312612a a a +--的值为( >. .，0y >，且满足3y y x xy x x y ==，，则x y +的值为( >. . 第一届全国大学生数学竞赛预赛试题 一、填空题（每小题5分，共20分） 1．计算__ ，其中区域由直线与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设是连续函数，且满足, 则____________. 3．曲面平行平面的切平面方程是__________. 4．设函数由方程确定，其中具有二阶导数，且，则_____. 二、（5分）求极限，其中是给定的正整数. 三、（15分）设函数连续，，且，为常数，求并讨论在处的连续性. 四、（15分）已知平面区域，为的正向边界，试证： （1）；（2） . 五、（10分）已知，，是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程. 六、（10分）设抛物线过原点.当时,,又已知该 抛物线与轴及直线所围图形的面积为.试确定,使此图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积最小. 七、（15分）已知满足, 且, 求函 数项级数之和. 八、（10分）求时, 与等价的无穷大量. 第二届全国大学生数学竞赛预赛试题 一、（25分，每小题5分） （1）设其中求（2）求。 （3）设，求。 （4）设函数有二阶连续导数，，求。 （5）求直线与直线的距离。 二、（15分）设函数在上具有二阶导数，并且 且存在一点，使得,证明：方程在恰有两个实根。 三、（15分）设函数由参数方程所确定，其中具 有二阶导数，曲线与在出相切，求函数。 四、（15分）设证明：（1）当时，级数收敛； （2）当且时，级数发散。 五、（15分）设是过原点、方向为，（其中的直线，均 匀椭球，其中（密度为1）绕旋转。（1）求其转动惯量；（2）求其转动惯量关于方向的最大值和最小值。 六、(15分)设函数具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线上，曲线积分的值为常数。（1）设为正向闭曲线 重点高中数学竞赛知识点 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 数学 均值不等式 被称为均值不等式。·即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数，简记为“调几算方”。 其中：，被称为调和平均数。 ，被称为几何平均数。 ，被称为算术平均数。 ，被称为平方平均数。 一般形式 设函数（当r不等于0时）；（当r=0时），有时，。 可以注意到，Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形，即 。 特例 ⑴对实数a,b，有（当且仅当a=b时取“=”号），（当且仅当a=-b时取“=”号） ⑵对非负实数a,b，有，即 ⑶对非负实数a,b，有 ⑷对实数a,b，有 ⑸对非负实数a,b，有 ⑹对实数a,b，有 ⑺对实数a,b,c，有 ⑻对非负数a,b，有 ⑼对非负数a,b,c，有 在几个特例中，最著名的当属算术—几何均值不等式（AM-GM不等式）： 当n=2时，上式即： 当且仅当时，等号成立。 根据均值不等式的简化，有一个简单结论，即。 排序不等式 基本形式： 排序不等式的证明 要证 只需证 根据基本不等式 只需证 ∴原结论正确 棣莫弗定理 设两个复数（用三角形式表示），则： 复数乘方公式：. 圆排列 定义 从n个不同元素中不重复地取出m（1≤m≤n）个元素在一个圆周上，叫做这n个不同元素的圆排列。如果一个m-圆排列旋转可以得到另一个m-圆排列，则认为这两个圆排列相 同。 计算公式 n个不同元素的m-圆排列个数N为： 特别地，当m=n时，n个不同元素作成的圆排列总数N为：。 参考答案 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 选项 B D A C A D 二、填空题： 题号 7 8 9 10 11 12 选项 5± 72 4或16 -4 27° 1711,5 5?? -- ??? 三、解答题： 13．解：324,(2)1, 3451,(35)5,ax x a x bx x b x +>+->???? ? -<-++?? +>?，则①15 235x a b ?<< -+，……………………………………3分 从而132,22 455, 335a a b b ?? =-=????-?????=-=??+??，这与2a >矛盾！不合要求！………………5分 (2)若20,350,a b ->??+??-???>?+?，这显然不是25x -<<，不合要求！…8分 (3)若20,350,a b -?，则①1,2 5, 35x a x b ? 综上所述，所求的115 ,52 a b ==-………………………………………………………15分 14、解（1）26-；0≤x ≤1。（2分） （2）①∵{}2122,1,2 1.3 x x M x x x ++++= =+ ∵()211x x x -+=-。当x ≥1时，则{}min 2,1,22x x +=，则12x +=，∴1x =。 当x ＜1时，则{}min 2,1,22x x x +=，则12x x +=，∴1x =（舍去） 综上所述：1x =。-------------（3分） ②a b c == 证明：∵ {},,3 a b c M a b c ++=，如果{}min ,,a b c c =，则a ≥c ，b ≥c . 则有 3 a b c c ++=，即20a b c +-=. ∴ ()()0a c b c -+-=. 又a c -≥0,b c - ≥0,∴ 0a c -=,且0b c -=. ∴ a b c ==. 其他情况同理可证,故a b c ==.（3分） ③4- -------（3分） (3)作出图象(如图所示),由图象知 {}min 41,2,24x x x ++-+的最大值为8 3 .（4分） 15．解：由ABM ACM S S ??=知：BM = MC . 记DM = x ，ME = y ，AD = z ，AE = w . 由BM = MC 及勾股定理得：2 2 2 2 2 2 21x BM MC y +===+， 所以2 2 3y x -=.……①……………………………………………………………………3分 由BDM CEM S S ??=得： 11 2122 x y ??=??，所以2y x =……② 把②代入①得：2243x x -=，2 1x =，故1x =，2y =………………6分 又由勾股定理得：22222 x z AM y w +==+， 22212z w +=+，即223z w -=……③………………………………………9分 正态分布 要求层次 重难点 正态分布 A 利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． （一） 知识内容 1．概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时，直方图上面的折线所接近 的曲线．在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变量X ，则这条曲线称为X 的概率密度曲线． 曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是1，而随机变量X 落在指定的两个数a b ，之间的概率就是对应的曲边梯形的面积． 2．正态分布 ⑴定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布． 服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量． 正态变量概率密度曲线的函数表达式为22 ()2()2πx f x e μσσ --=?，x ∈R ， 其中μ，σ是参数，且0σ>，μ-∞<<+∞． 式中的参数μ和σ分别为正态变量的数学期望和标准差．期望为μ、标准差为σ的正态分布通常记作 2(,)N μσ． 正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线． ⑵标准正态分布：我们把数学期望为0，标准差为1的正态分布叫做标准正态分布． 例题精讲 高考要求 正态分布 x=μ O y x ⑶重要结论： ①正态变量在区间(,)μσμσ-+，(2,2)μσμσ-+，(3,3)μσμσ-+内，取值的概率分别是68.3%，95.4%，99.7%． ②正态变量在()-∞+∞，内的取值的概率为1，在区间(33)μσμσ-+，之外的取值的概率是0.3%，故正态变量的取值几乎都在距x μ=三倍标准差之内，这就是正态分布的3σ原则． （二）典例分析： 【例1】 已知随机变量X 服从正态分布2(3)N a ， ，则(3)P X <=（ ） A ．1 5 B ． 1 4 C ．1 3 D ． 12 【例2】 在某项测量中，测量结果X 服从正态分布() ()210N σσ>，，若X 在()01， 内取值的概率为0.4，则X 在()02， 内取值的概率为 ． 【例3】 对于标准正态分布()01N ， 的概率密度函数()2 2 x f x -=，下列说法不正确的是（ ） A ．()f x 为偶函数 B ．()f x C ．()f x 在0x >时是单调减函数，在0x ≤时是单调增函数 D ．()f x 关于1x =对称 【例4】 已知随机变量X 服从正态分布2(2)N σ， ，(4)0.84P X =≤，则(0)P X =≤（ ） A ．0.16 B ．0.32 C ．0.68 D ．0.84 【例5】 某种零件的尺寸服从正态分布(04)N ，，则不属于区间(44)-，这个尺寸范围的零件约占总数 的 ． 【例6】 已知2(1)X N σ-， ~，若(31)0.4P X -=≤≤-，则(31)P X -=≤≤（ ） A ．0.4 B ．0.8 C ．0.6 D ．无法计算 【例7】 设随机变量ξ服从正态分布(29)N ，，若(2)(2)P c P c ξξ>+=<-，则_______c =． 全国大学生数学竞赛 百度简介 中国大学生数学竞赛 该比赛指导用书为《大学生数学竞赛指导》，由国防科技大学大学数学竞赛指导组组织编写，已经由清华大学出版社出版。 编辑本段竞赛大纲 中国大学生数学竞赛竞赛大纲 (2009年首届全国大学生数学竞赛) 为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。 一、竞赛的性质和参赛对象 “中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。 “中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。 二、竞赛的内容 “中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。 （一）中国大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容，即，数学分析占50%，高等代数占35%，解析几何占15%，具体内容如下： Ⅰ、数学分析部分 一、集合与函数 1. 实数集、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理. 2. 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、上的闭矩形套定理、聚点定理、有限覆盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在上的推广. 3. 函数、映射、变换概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存在性定理，初等函数以及与之相关的性质. 二、极限与连续 1. 数列极限、收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质）. 2. 数列收敛的条件（Cauchy准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系），极限及其应用. 3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、保号性、不等式性质、迫敛性），归结原则和Cauchy收敛准则，两个重要极限及其应用，计算一元函数极限的各种方法，无穷小量与无穷大量、阶的比较，记号O与o的意义，多元函数重极限与累次极限概念、基本性质，二元函数的二重极限与累次极限的关系. 4. 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质（局部有界性、保号性），有界闭集上连续函数的性质（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性）. 三、一元函数微分学 第一篇 一元一次方程的讨论 第一部分 基本方法 1. 方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。一元方程的解也叫做根。 例如：方程 2x ＋6＝0， x （x －1）=0, |x |=6, 0x =0, 0x =2的解 分别是： x =－3, x =0或x =1, x =±6, 所有的数，无解。 2. 关于x 的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程ax =b 后， 讨论它的解：当a ≠0时，有唯一的解 x =a b ； 当a =0且b ≠0时，无解； 当a =0且b ＝0时，有无数多解。（∵不论x 取什么值，0x ＝0都成立） 3. 求方程ax =b (a ≠0)的整数解、正整数解、正数解 当a ｜b 时，方程有整数解； 当a ｜b ，且a 、b 同号时，方程有正整数解； 当a 、b 同号时，方程的解是正数。 综上所述，讨论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程ax =b 第二部分 典例精析 例1 a 取什么值时，方程a (a －2)x =4(a －2) ①有唯一的解②无解 ③有无数多解④是正数解 例2 k取什么整数值时，方程①k(x+1)=k－2（x－2）的解是整数②（1－x）k=6的解是负整数 例3己知方程a(x－2)=b(x+1)－2a无解。问a和b应满足什么关系 例4a、b取什么值时，方程（3x－2）a+（2x－3）b=8x－7有无数多解 第三部分 典题精练 1. 根据方程的解的定义，写出下列方程的解： ① (x +1)=0, ②x 2 =9, ③|x |=9， ④|x |=－3, ⑤3x +1=3x －1, ⑥x +2=2+x 2. 关于x 的方程ax =x +2无解，那么a __________ 3. 在方程a (a －3)x =a 中， 当a 取值为＿＿＿＿时，有唯一的解； 当a ＿＿＿时无解； 当a ＿＿＿＿＿时,有无数多解； 当a ＿＿＿＿时,解是负数。 4. k 取什么整数值时，下列等式中的x 是整数 ① x = k 4 ②x =16-k ③x =k k 32+ ④x =123+-k k 5. k 取什么值时，方程x －k =6x 的解是 ①正数 ②是非负数 6. m 取什么值时，方程3（m +x ）=2m －1的解 ①是零 ②是正数 河北省大学生数学竞赛试题及答案 一、(本题满分10 分) 求极限))1(21(1 lim 222222--++-+-∞→n n n n n n Λ。 【解】 ))1(21(12 22222--++-+-= n n n n n S n Λ 因 21x -在]1,0[上连续，故dx x ?1 02-1存在，且 dx x ? 1 2 -1=∑-=∞→-1 21 .)(1lim n i n n n i ， 所以，= ∞ →n n S lim n dx x n 1lim -11 2∞→-? 4 -1102π ==?dx x 。 二、(本题满分10 分) 请问c b a ,,为何值时下式成立.1sin 1 lim 22 0c t dt t ax x x b x =+-?→ 【解】注意到左边得极限中，无论a 为何值总有分母趋于零，因此要想极限存在，分子必 须为无穷小量，于是可知必有0=b ，当0=b 时使用洛必达法则得到 22 022 01)(cos lim 1sin 1lim x a x x t dt t ax x x x x +-=+-→→?， 由上式可知：当0→x 时，若1≠a ，则此极限存在，且其值为0；若1=a ，则 21)1(cos lim 1sin 1lim 22 220-=+-=+-→→?x x x t dt t ax x x x b x ， 综上所述，得到如下结论：;0,0,1==≠c b a 或2,0,1-===c b a 。 三、(本题满分10 分) 计算定积分? += 2 2010tan 1π x dx I 。 【解】 作变换t x -= 2 π ，则 =I 22 20π π = ?dt ， 所以，4 π= I 。 四、(本题满分10 分) 求数列}{1n n - 中的最小项。 【解】 因为所给数列是函数x x y 1- =当x 分别取ΛΛ,,,3,2,1n 时的数列。 又)1(ln 21-=--x x y x 且令e x y =?='0， 容易看出：当e x <<0时，0<'y ；当e x >时，0>'y 。 所以，x x y 1-=有唯一极小值e e e y 1)(-=。 而3 3 1 2 132> ? < 中国大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容 中国大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容，即，数学分析占50%，高等代数占35%，解析几何占15%，具体内容如下： Ⅰ、数学分析部分 一、集合与函数 1. 实数集、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理. 2. 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、上的闭矩形套定理、聚点定理、有限覆盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在上的推广. 3. 函数、映射、变换概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存在性定理，初等函数以及与之相关的性质. 二、极限与连续 三、1. 数列极限、收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质）. 2. 数列收敛的条件（Cauchy准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系），极限及其应用. 3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、保号性、不等式性质、迫敛性），归结原则和Cauchy收敛准则，两个重要极限及其应用，计算一元函数极限的各种方法，无穷小量与无穷大量、阶的比较，记号O与o的意义，多元函数重极限与累次极限概念、基本性质，二元函数的二重极限与累次极限的关系. 4. 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质（局部有界性、保号性），有界闭集上连续函数的性质（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性）. 三、一元函数微分学 1.导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法，微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性. 2.微分学基本定理：Fermat定理，Rolle定理，Lagrange定理，Cauchy定理，Taylor公式(Peano余项与Lagrange余项). 3.一元微分学的应用：函数单调性的判别、极值、最大值和最小值、凸函数及其应用、曲线的凹凸性、拐点、渐近线、函数图象的讨论、洛必达（L'Hospital）法则、近似计算. 四、多元函数微分学 1. 偏导数、全微分及其几何意义，可微与偏导存在、连续之间的关系，复合函数的偏导数与全微分，一阶微分形式不变性，方向导数与梯度，高阶偏导数，混合偏导数与顺序无关性，二元函数中值定理与Taylor公式. 2.隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数（组）求导方法、反函数组与坐标变换. 3.几何应用（平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线）. 4.极值问题（必要条件与充分条件），条件极值与Lagrange乘数法. 五、一元函数积分学 1. 原函数与不定积分、不定积分的基本计算方法（直接积分法、换元法、分部积分法）、有理函数积分：型，型. 2. 定积分及其几何意义、可积条件（必要条件、充要条件：）、可积函数类. 3. 定积分的性质（关于区间可加性、不等式性质、绝对可积性、定积分第一中值定理）、变上限积分函数、微积分基本定理、N-L公式及定积分计算、定积分第二中值定理. 4.无限区间上的广义积分、Canchy收敛准则、绝对收敛与条件收敛、非负时的收敛性判别法（比较原则、柯西判别法）、Abel判别法、Dirichlet 判别法、无界函数广义积分概念及其收敛性判别法. 5. 微元法、几何应用（平面图形面积、已知截面面积函数的体积、曲线弧长与弧微分、旋转体体积），其他应用. 六、多元函数积分学 1.二重积分及其几何意义、二重积分的计算（化为累次积分、极坐标变换、一般坐标变换）. 2.三重积分、三重积分计算（化为累次积分、柱坐标、球坐标变换）. 3.重积分的应用 北师大版高中数学必修3知识与题型归纳 第一章《统计》知识与题型归纳复习 （一）、抽样方法 1、简单随机抽样 （1）、相关概念：总体、个体、样本、样本容量。（2）、基本思想：用样本估计总体。 （3）、简单随机抽查概念。一般的，设一个总体含有N 个个体，从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本)(N n ≤ ，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽 样。其特点：①总体个数有限；②逐个抽取；③不放回抽样；④等可能抽样。 （4）、抽样方法：①抽签法；②随机数表。 2、系统抽样 （1）、定义：当总体元素个数很大时，样本容量不宜太小，这时可将总体分为均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本（等距抽样）。 （2）、步骤：①编号；②分段；③不确定起始个体编号；④按规则抽取。 3、分层抽样 （1）、定义：当总体由差异明显的几部分组成时，为了使抽取的样本更好的反应总体情况，我们经常将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分，每一部分叫做层，在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样。 适用特征①总体由差异明显的几部分组成；②分成的各层互不重叠；③各层抽取的比例等于样本客样在总体中的比例，即 N n 。 （二）、用样本的频率分布估计总体的分布（统计图表） 1、列频率分布表，画频率分布直方图： （1）计算极差（2）决定组数和组距（3）决定分点（4）列频率分布表（5）画频率分布直方图 2、茎叶图；3、扇形图； 4、条形图；5、折线图； 6、散点图。 （三）、用样本的数字特征估计总体的数字特征 1、有关概念 （1）、众数：频率分布最大值所对应的样本数据（或出现最多的那个数据）。 （2）、中位数：累积频率为0.5时，所对应的样本数据。 （3）、平均数：)(1 21n x x x n x +++= Λ （4）、三个概念的区别：①都是描述一组数据集中趋势的量，平均数较重要。②平均数的大小与每个数相关。③众数考查各个数据出现的频率，大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，众数更能反映问题，中位数仅与排列有关。 2、样本方差与样本标准差 1样本方差：( )()( )[]2 22212 1 x x x x x x n S n -++-+-=Λ样本方差大说明样本差异和波动性大。 （2）、样本标准差：方差的算术平方根( )()( )[]2 22211 x x x x x x n S n -++-+-= Λ （3）、要有单位，方差的单位是原数据的单位的平方，标准差的单位与原数据单位同。 （四）、变量的相关性： 1、变量与变量之间存在着的两种关系①函数关系：确定性关系。②相关关系：自变量的取值带有一定的随机性的两个变量之间的关系。 首届全国大学生数学竞赛决赛试卷 （非数学类） 考试形式： 闭卷 考试时间： 150 分钟 满分： 100 分. 一、 计算下列各题（共20分，每小题各5分，要求写出重要步骤）. (1) 求极限1 21lim (1)sin n n k k k n n π-→∞=+∑. (2) 计算 2∑其中∑ 为下半球面z =0a >. (3) 现要设计一个容积为V 的一个圆柱体的容器. 已知上下两底的材料费为单位面积a 元，而侧面的材料费为单位面积b 元.试给出最节省的设计方案：即高与上下底的直径之比为何值时所需费用最少？ (4) 已知()f x 在11,42?? ???内满足 331()sin cos f x x x '=+，求()f x . 二、（10分）求下列极限 (1) 1lim 1n n n e n →∞????+- ? ? ?????； (2) 111lim 3n n n n n a b c →∞??++ ? ? ???, 其中0,0,0a b c >>>. 三、（10分）设()f x 在1x =点附近有定义，且在1x =点可导， (1)0,(1)2f f '==. 求 220(sin cos )lim tan x f x x x x x →++. 四、（10分） 设()f x 在[0,)+∞上连续，无穷积分0()f x dx ∞?收敛. 求 0 1lim ()y y xf x dx y →+∞?. 五、五、（12分）设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可微，且 1(0)(1)0,12f f f ??=== ???. 证明：(1) 存在 1,12ξ??∈ ???使得()f ξξ=；(2) 存在(0,)ηξ∈使得()()1f f ηηη'=-+. 六、（14分）设1n >为整数， 20()1...1!2!!n x t t t t F x e dt n -??=++++ ????. 证明: 方程 ()2n F x =在,2n n ?? ???内至少有一个根. 高中数学竞赛大纲应该掌握的内容和知识点 1.集合（set） 1.1集合的阶，集合之间的关系。 1.2集合的分划 1.3子集，子集族 1.4容斥原理 2.函数（function） 2.1函数的定义域、值域 2.2函数的性质 2.2.1单调性 2.2.2奇偶性 2.2.3周期性 2.2.4凹凸性 2.2.5连续性 2.2.6可导性 2.2.7有界性 2.2.8收敛性 2.3初等函数 2.3.1一次、二次、三次函数 2.3.2幂函数 2.3.3双勾函数 2.3.4指数、对数函数 2.4函数的迭代 2.5函数方程 3.三角函数（trigonometric function）3.1三角函数图像与性质 3.2三角函数运算 3.3三角恒等式、不等式、最值 3.4正弦、余弦定理 3.5反三角函数 3.6三角方程 4.向量（vector） 4.1向量的运算 4.2向量的坐标表示，数量积 5.数列（sequence） 5.1数列通项公式求解 5.1.1换元法 5.1.2特征根法5.1.3不动点法，迭代法 5.1.4数学归纳法，递归法 6．不等式（inequality） 6.1解不等式 6.2重要不等式 6.2.1均值不等式 6.2.2柯西不等式 6.2.3排序不等式 6.2.4契比雪夫不等式 6.2.5赫尔德不等式 6.2.6权方和不等式 6.2.7幂平均不等式 6.2.8琴生不等式 6.2.9 Schur不等式 6.2.10嵌入不等式 6.2.11卡尔松不等式 6.3证明不等式的常用方法 6.3.1利用重要不等式 6.3.2调整法 6.3.3归纳法 6.3.4切线法 6.3.5展开法 6.3.6局部法 6.3.7反证法 6.3.8其他 7.解析几何（analytic geometry）7.1直线与二次曲线方程 7.2直线与二次曲线性质 7.3参数方程 7.4极坐标系 8．立体几何（solid geometry）8.1空间中元素位置关系 8.2空间中距离和角的计算 8.3棱柱，棱锥，四面体性质 8.4体积，表面积 8.5球，球面 8.6三面角 全国大学生数学竞赛（非数学专业） 微分学 一、基本概念与内容提要 1.出参数方程确定的函数的导数 则冬二 dy df 二 d )，/dx 二 ?'(/)二儿 ‘ dx dt dx dt dt 0(f) x t ' d 严⑴ d/ 二以⑴0(/)-0(/)0? 1 dt(p\ty dx~ [?(or dt 2.多元函数微分学 全微分：衣二空血臬密?腸式不变^=—dx + — Jy + — dx oy dx dy dz 处的切线对和轴的斜率。函数的连续性和可微、可导必须会用定义判断。 连续的混合高阶偏导数与求导顺序无关。 二元函数的偏导数存在是连续的既不充分乂不必要条件。 二元两数存在两个偏导数是可微的必要不充分条件。 偏导数连续是函数可微的充分不必要条件。函数连续是可微的必要不充分条件。 全微分的近似计算：Az"卩人(兀，刃山+/；(x ，y)Ay 多元复合函数的求导法:z = /D/(O,v(O] — = — dt du dt dv dt 偏导数的儿何意义：粼規示册緝奇成，， z = /(s) y = >o (x o Jo Zo) z = /[u(x,y),u(x,y)] 当M 出&(x, y) v = v(x, y) dz dz du dz dv —= ----- ---- 1 -- --- dx du dx dv dx f du . du f du =—dx-\ --- dy dx dy dv = ^dx^dy dx dy 隐函数的求导公式： 隐函数F(X,)')F O 尘=_? dx F y 台7 F 隐函数F(x,)^) = 0 — = -一dx E d~y _ *( F C( F d y 乔一去(一亍石F忑 ) J 比_ Py 全国大学生数学竞赛 第一届 2009年，第一届全国大学生数学竞赛由中国数学会主办、国防科学技术大学承办。该比赛将推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才。 第二届 2011年3月，历时十个月的第二届全国大学生数学竞赛在北京航空航天大学落幕。来自北京、上海、天津、重庆等26个省(区、市)数百所大学的274名大学生进入决赛，最终，29人获得非数学专业一等奖，15人获数学专业一等奖。这次赛事预赛报名人数达3万余人，已成为全国影响最大、参加人数最多的学科竞赛之一。 竞赛用书 该比赛指导用书为《大学生数学竞赛指导》，由国防科技大学大学数学竞赛指导组组织编写，已经由清华大学出版社出版。 竞赛大纲 中国大学生数学竞赛竞赛大纲 (2009年首届全国大学生数学竞赛) 为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。 1.竞赛的性质和参赛对象 “中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。 “中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。 1.竞赛的内容 “中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。（一）中国大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容，即，数学分析占50%，高等代数占35%，解析几何占15%，具体内容如下： Ⅰ、数学分析部分 1.集合与函数 2. 1. 实数集、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性 定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理. 3. 2. 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、 上的闭矩形套定理、聚点定理、有限覆盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在上的推广. 全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、填空题（每小题5分，共20分） 1． 计算()ln(1) d y x y x y ++=??____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设)(x f 是连续函数，且满足2 20()3()d 2f x x f x x =--?，则()f x =____________. 3．曲面2 222 x z y =+-平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则 =2 2d d x y ________________. 二、（5分）求极限x e nx x x x n e e e )( lim 20+++→Λ，其中n 是给定的正整数. 三、（15分）设函数)(x f 连续，10()()g x f xt dt =?，且A x x f x =→) (lim 0，A 为常数，求()g x '并 讨论)(x g '在0=x 处的连续性. 四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证： （1）?? -=---L x y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ； （2）2sin sin 2 5 d d π? ≥--L y y x ye y xe . 五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数 线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程. 六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22 ++=过原点.当10≤≤x 时，0≥y ，又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为3 1 .试确定c b a ,,，使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积V 最小. 七、（15分）已知)(x u n 满足1()()1,2,n x n n u x u x x e n -'=+=L ，且n e u n =)1(，求函数项级数∑∞ =1 )(n n x u 之和. 八、（10分）求- →1x 时，与∑∞ =0 2 n n x 等价的无穷大量. 数学奥林匹克初中训练题 第一试 一、选择题(每小题7分，共42分) 1.设z y x ++=+++6323，且x 、y 、z 为有理数.则xyz =( ). (A)3／4 (B)5／6 (C)7／12 (D)13／18 2.设二次函数f (x )=ax 2+ax +1的图像开口向下，且满足f (f (1))=f (3).则2a 的值为( ). (A)－3 (B)－5 (C)－7 (D)－9 3.方程|xy |+|x +y |=1的整数解的组数为( ). (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 **、b 是方程x2+(m －5)x+7=0的两个根.则(a2+ma+7)(b2+mb+7)=( ). (A)365 (B)245 (C)210 (D)175 5.如图，Rt △ABC 的斜边BC =4，∠ABC =30°，以AB 、AC 为直径分别作圆.则这两圆的公共部分面积为( ) (A)2332+π (B) 3 3265-π (C) 365-π (D) 33 2-π 6.从1，2，…，13中取出k 个不同的数，使这k 个数中任两个数之差既不等于5，也不等于 8.则k 的最大值为( ). (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 二、填空题(每小题7分，共28分) 1.若整系数一元二次方程x 2+(a +3)x +2a +3=0有一正根x 1和一负根x 2，且|x 1|<|x 2|，则a = . 2.当x =2 329-时，代数式x 4+5x 3－3x 2－8x +9的值是 . 3.给定两组数，A 组为:1，2，…，100;B 组为:12，22，…，1002.对于A 组中的数x ，若有B 组中的数y ，使x +y 也是B 组中的数，则称x 为“关联数”.那么，A 组中这样的关联数有高中复习数学竞赛基础平面几何知识点总结
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