§2.7————2.8————2.9识记背诵内容
一.考纲要求：
(1) 函数的图像
①会运用函数图像理解和研究函数的性质 ②掌握指数函数，对数函数图像通过的特殊点 (2) 函数与方程
①结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断 一元二次方程根的存在性及根的个数.
②根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解. (3) 函数模型及其应用
①了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.
②了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在 社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用. 二. 相关概念、公式定理：
§2.7 函数的图像
1．描点法作图
方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图像．
2．图像变换 (1)平移变换
(2)对称变换
①y ＝f (x )――→关于x 轴对称
y ＝－f (x )； ②y ＝f (x )――→关于y 轴对称y ＝f (－x )； ③y ＝f (x )――→关于原点对称y ＝－f (－x )；
④y ＝a x (a >0且a ≠1)――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (a >0且a ≠1)． ⑤y ＝f (x )――――――――――→保留x 轴上方图像将x 轴下方图像翻折上去y ＝|f (x )|． ⑥y ＝f (x )――――――――――――→保留y 轴右边图像，并作其关于y 轴对称的图像y ＝f (|x |)． (3)伸缩变换
①y ＝f (x )―――――――――――――――――
―――――→a >1，横坐标缩短为原来的1
a
倍，纵坐标不变
0 y ＝f (ax )． ②y ＝f (x )――――――――――――――――――――→a >1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变 0 §2.8 函数与方程 1．函数的零点 (1)函数零点的定义 函数y ＝f (x )的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点． (2)几个等价关系 方程f (x )＝0有实数根?函数y ＝f (x )的图像与x 轴有交点?函数y ＝f (x )有零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 若函数y ＝f (x )在闭区间[a ，b ]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f (a )·f (b )<0，则在区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )至少有一个零点，即相应的方程f (x )＝0在区间(a ，b )内至少有一个实数解． 2．二分法 对于在区间[a ，b ]上连续不断且f (a )·f (b )<0的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫作二分法． 3．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图像与零点的关系 §2.9 实际问题的函数建模 1．几类函数模型及其增长差异 (1)几类函数模型 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)解模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义． 以上过程用框图表示如下： 三. 常用性质结论： 二次函数f(x)=ax2+b x+c(a>0)的零点分布。研究二次函数零点的分布,一般情况下需要从以下三个方面考虑: (1) 二次项系数，即开口方向 (2) 对应二次函数图象——抛物线的对称轴与区间端点的位置关系. (3) 一元二次方程根的判别式; (4) 对应二次函数区间端点函数值的正负，即特殊值; 设x1,x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的两实根,则x1,x2的分布范围与一元二次方程系数之间的关系如下表: 四. 基本类型解题模板及典型例题 题型一、作函数的图像 [例1] 作出下列函数的图像： (1)y ＝|log 2x －1|；(2)y ＝??? ?12|x |；(3)y ＝x 2 －2|x |－1. [解] (1)先作出y ＝log 2x 的图像，再将其图像向下平移一个单位，保留x 轴上方的部分，将x 轴下方的图像翻折到x 轴上方，即得x ＝|log 2x －1|的图像，如图1. (2)作出函数y ＝????12x 的图像，保留y ＝????12x 图像中x ≥0的部分，加上y ＝????12x 的图像中x >0部分关于y 轴的对称部分，即得y ＝????12|x |的图像，如图2实线部分． (3)y ＝? ????x 2 －2x －1， x ≥0，x 2＋2x －1， x <0.图像如图3. 图3 [引申探究] 作函数y ＝|x 2－2x －1|的图像． 解：y ＝???x 2 －2x －1， x ≥1＋2或x ≤1－2， －x 2＋2x ＋1， 1－2 图像如图所示． [方法引航] (1)常见的几种函数图像如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、 幂函数、形如y ＝x ＋m x (m >0)的函数是图像变换的基础； (2)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换规律，可以帮助我们简化作图过程． 题型二、识图与辨图 (1)(2017·高考全国Ⅲ)函数y ＝1＋x ＋sin x x 2的部分图像大致为( ) [解析] 当x →＋∞时，sin x x 2→0，1＋x →＋∞，y ＝1＋x ＋sin x x 2→＋∞，故排除选项B. 当0 x 2>0，故排除选项A ，C ．故选D. [方法引航] 函数图像的辨识可从以下几方面入手： (1)从函数的定义域，判断图像的左右位置；从函数的值域，判断图像的上下位置； (2)从函数的单调性，判断图像的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图像的对称性； (4)从函数的周期性，判断图像的循环往复； (5)从函数的特征点，排除不合要求的图像． 识图与辨图问题的常见类型及解题策略 1. 由解析式确定函数图象. 此类问题往往需要化简函数解析式,利用函数的性质(单调性、奇偶性、过定点等)判断,常用排除法. 2. 已知函数图象确定相关函数的图象. 此类问题主要考查函数图象的变换(如平移变换、对称变换等),要注意函数y=f(x)与y=f(-x)、y=-f(x)、y=-f(-x)、y=f(|x |)、y=|f(x)|等的相互关系. 3. 借助动点探究函数图象. 解决此类问题可以根据已知条件求出函数解析式后再判断函数的图象;也可采用“以静 观动”,即将动点处于某些特殊的位置处考察图象的变化特征,从而作出选择. 题型三、函数图像的应用 题点1 确定方程根的个数 [例3] 若方程x 2－|x |＋a ＝1有四个不同的实数解，则a 的取值范围是________． [解析] 方程解的个数可转化为函数y ＝x 2－|x |的图像与直线y ＝1－a 交点的个数，如图： 易知－1 4<1－a <0， ∴1 4 . 题点2 求参数的取值范围 [例4] 已知函数y ＝f (x )与y ＝F (x )的图像关于y 轴对称，当函数y ＝f (x )和y ＝F (x )在区间[a ，b ]上同时递增或同时递减时，把区间[a ，b ]叫作函数y ＝f (x )的“不动区间”，若区间[1，2]为函数y ＝|2x －t |的“不动区间”，则实数t 的取值范围是( ) A ．(0，2] B ．????12，＋∞ C ．????12，2 D ．???? 12，2∪[4，＋∞) [解析] 函数y ＝|2x －t |的图像关于y 轴对称的图像对应的函数为y ＝????????12x －t . 易知y ＝|2x －t |与y ＝??? ?????12x －t 在[1，2]上单调性相同，当两个函数单调递增时，y ＝|2x －t |与y ＝????????12x －t 的图像如图1所示，易知?????log 2t ≤1，－log 2t ≤1， 解得12≤t ≤2； 当函数y ＝|2x －t |在[1，2]上单调递减时，y ＝|2x －t |的图像如图2所示，此时y ＝??? ?????12x －t 不可能在[1，2]上为减函数．综上所述，1 2 ≤t ≤2.故选C ． 题点3 求不等式的解集 [例5] 设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数且f (1)＝0，则不等式f （x ）－f （－x ） x ＜0的解 集为( ) A ．(－1，0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0，1) C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D ．(－1，0)∪(0，1) [解析] f (x )为奇函数，所以不等式f （x ）－f （－x ）x ＜0化为f （x ） x ＜0，即xf (x )＜0，f (x ) 的大致图像如图所示．所以xf (x )＜0的解集为(－1，0)∪(0，1)． 题点4 研究函数的性质 [例6] 设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0，1]时，f (x )＝??? ?121－x ，则： ①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1，2)上递减，在(2，3)上递增；③函数f (x )的最大值是1，最小值是0；④当x ∈(3，4)时，f (x )＝??? ?12x －3.其中所有正确命题的序号是________． [解析] 由已知条件：f (x ＋2)＝f (x ＋1－1)＝f (x )，则y ＝f (x )是以2为周期的周期函数，①正确； 当－1≤x ≤0时，0≤－x ≤1， f (x )＝f (－x )＝????121＋x ， 函数y ＝f (x )的图像如图所示： 当3＜x ＜4时，－1＜x －4＜0， f (x )＝f (x －4)＝????12x －3，因此②④正确，③不正确． [答案] ①②④ [方法引航] (1)利用函数的图像研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图像的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图像研究，但一定要注意性质与图像特征的对应的关系． (2)利用函数的图像可解决某些方程和不等式的求解问题，方程f (x )＝g (x )的根就是函数f (x )与g (x )图像交点的横坐标；不等式f (x ) 函数图象的应用 1.利用函数的图象研究函数的性质 对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数,其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究,但一定要注意性质与图象特征的对应关系. 2.利用函数的图象研究不等式 当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时,常将不等式问题转化为两函数图象的上下关系问题,从而利用数形结合求解. 3.利用函数的图象研究方程根的个数 当方程与基本函数有关时,可以通过函数图象来研究方程的根,方程f(x)=0的根就是函数f(x)的图象与x 轴的交点的横坐标,方程f(x)=g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象的交点的横坐标. 题型四、函数零点的确定 题点1 函数零点所在的区间 [例1] 函数f (x )＝2x ＋ln 1x －1 的零点所在的大致区间是( ) A ．(1，2) B ．(2，3) C ．(3，4) D ．(1，2)与(2，3) 解析：选B.f (x )＝2x ＋ln 1x －1＝2x －ln(x －1)，当1 x >0，所以f (x )>0， 故函数f (x )在(1，2)上没有零点．f (2)＝1－ln 1＝1，f (3)＝2 3－ln 2＝2－3ln 23＝2－ln 83.∵8＝ 22≈2.828>e ，∴8>e 2，即ln 8>2，即f (3)<0.又f (4)＝1 2－ln 3<0，∴f (x )在(2，3)内存在一个 零点． 题点2 函数零点个数的判断 [例2]偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝－x ＋1，则关于x 的方程f (x )＝lg(x ＋1)在x ∈[0，9]上解的个数是( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 解析：选C ．依题意得f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )是以2为周期的函数．在平面直角坐标系中画出函数y ＝f (x )的图像与y ＝lg(x ＋1)的图像(如图所示)， 观察图像可知，这两个函数的图像在区间[0，9]上的公共点共有9个，因此，当x ∈[0，9]时，方程f (x )＝lg(x ＋1)的解的个数是9. 判断函数零点所在区间和零点的个数 1.判断函数零点所在区间的常用方法 (1)零点存在性定理,使用条件是函数图象是连续的. (2)数形结合法:画出函数的图象,用估算确定区间. 2.判断函数零点个数的常用方法 (1)解方程法:令f(x)=0,如果有解,则有几个解就有几个零点. (2)函数零点存在性定理:利用该定理不仅要求函数图象在[a,b]上的图象是连续的曲线,且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图象和性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点. (3)数形结合法:转化为两个函数图象的交点的个数问题,有几个交点就有几个不同的零点. 题型五、函数零点的应用 [例3] (1)(2017·高考全国Ⅲ)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x － 1＋e －x ＋1 )有唯一零点，则a ＝( ) A ．－1 2 B ．13 C ．12 D ．1 [解析] 法一：f (x )＝x 2－2x ＋a (e x － 1＋e －x ＋1 )＝(x －1)2＋a [e x － 1＋e －(x －1) ]－1， 令t ＝x －1，则g (t )＝f (t ＋1)＝t 2＋a (e t ＋e － t )－1. ∵g (－t )＝(－t )2＋a (e － t ＋e t )－1＝g (t )， ∴函数g (t )为偶函数． ∵f (x )有唯一零点，∴g (t )也有唯一零点． 又g (t )为偶函数，由偶函数的性质知g (0)＝0， ∴2a －1＝0，解得a ＝1 2.故选C ． 法二：f (x )＝0?a (e x － 1＋e －x ＋1 )＝－x 2＋2x . e x － 1＋e －x ＋1 ≥2e x － 1·e －x ＋1 ＝2， 当且仅当x ＝1时取“＝”． －x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1，当且仅当x ＝1时取“＝”． 若a >0，则a (e x － 1＋e －x ＋1 )≥2a ， 要使f (x )有唯一零点，则必有2a ＝1, 即a ＝1 2. 若a ≤0，则f (x )的零点不唯一．故选C ． （2）已知函数f (x )＝? ??? ?4x －1（x ≤0），e x （x ＞0），若方程f (x )－kx ＝0至少有一个实根，则实数k 的取值范围是________． 解析：令f (x )－kx ＝0，得f (x )＝kx ，令y ＝kx ，函数f (x )，y ＝kx 的图像如图所示． 显然当y ＝kx 与f (x )相切时有一个交点， ∴?????e x ＝kx ，y ＝kx ，e x ＝k ，解得???? ?x ＝1，y ＝e ，k ＝e ， ∴k ≥e. [方法引航] 已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的3种方法 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决． (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解． (3)已知函数f (x )＝?????|2x －1|，x <2，3x －1，x ≥2，若方程f (x )－a ＝0有三个不同的实数根，则实数a 的取值 范围是( ) A ．(1，3) B ．(0，3) C ．(0，2) D ．(0，1) 解析：选D.画出函数f (x )的图像如图所示： 观察图像可知，若方程f (x )－a ＝0有三个不同的实数根，则函数y ＝f (x )的图像与直线y ＝a 有3个不同的交点，此时需满足0 [例4] 已知函数f (x )＝mx 2＋(m －3)x ＋1的图像与x 轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0，1) B ．(0，1] C ．(－∞，1) D ．(－∞，1] [解析] 法一(排除法)：令m ＝0，由f (x )＝0得x ＝1 3，满足题意，可排除选项A ，B.令 m ＝1，由f (x )＝0得x ＝1，满足题意，排除选项C ． 法二：由题意可知，当m ＝0时，由f (x )＝0得，－3x ＋1＝0，∴x ＝1 3 ，故满足题意． 当m ＞0时，由f (0)＝1可知???? ?Δ＝（m －3）2 －4m ≥0，－m －32m ＞0. 解得0＜m ≤1. 当m ＜0时，由f (0)＝1可知，函数图像恒与x 轴正半轴有一个交点． 综上可知，m 的取值范围是(－∞，1]．故选D. 零点性质的应用 已知函数有零点(方程有根)求参数的值或取值范围常用的方法和思路: (1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围; (2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数最值问题加以解决; (3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后数形结合求解. 题型七、构造函数模型的实际问题 题点1 构建二次函数模型 [例3] 某汽车销售公司在A ，B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y 1＝4.1x －0.1x 2，在B 地的销售利润(单位：万元)为y 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( ) A ．10.5万元 B ．11万元 C ．43万元 D ．43.025万元 [解析] 设公司在A 地销售该品牌的汽车x 辆，则在B 地销售该品牌的汽车(16－x )辆，所以可得利润y ＝4.1x －0.1x 2 ＋2(16－x )＝－0.1x 2 ＋2.1x ＋32＝－0.1????x －2122＋0.1×21 2 4 ＋32. 因为x ∈[0，16]，且x ∈N ，所以当x ＝10或11时，总利润取得最大值43万元． 题点2 构建指数函数、对数函数模型 [例4] 某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p 与听课时间t 之间的关系满足如图所示的曲线． 当t ∈(0，14]时，曲线是二次函数图像的一部分，当t ∈[14，40]时，曲线是函数y ＝log a (t －5)＋83(a ＞0且a ≠1)图像的一部分．根据专家研究，当注意力指数p 大于等于80时听课效果最佳． (1)试求p ＝f (t )的函数关系式； (2)老师在什么时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳？请说明理由． [解] (1)当t ∈(0，14]时，设p ＝f (t )＝c (t －12)2＋82(c ＜0)，将点(14，81)代入得c ＝－1 4， 所以当t ∈(0，14]时，p ＝f (t )＝－1 4 (t －12)2＋82. 当t ∈(14，40]时，将点(14，81)代入y ＝log a (t －5)＋83，得a ＝1 3 ， 所以p ＝f (t )＝???－1 4（t －12）2 ＋82，t ∈（0，14]， log 13 （t －5）＋83，t ∈（14，40]. (2)当t ∈(0，14]时，－1 4(t －12)2＋82≥80， 解得12－22≤t ≤12＋22， 所以t ∈[12－22，14]． 当t ∈[14，40]时，log 13(t －5)＋83≥80，解得5＜t ≤32， 所以t ∈[14，32]， 综上t ∈[12－22，32]， 即老师在t ∈[12－22，32]时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳． 题点3 构建分段函数模型 [例5] 某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km. [解析] 设出租车行驶x km 时，付费y 元， 则y ＝???? ?9，0＜x ≤3，8＋2.15（x －3）＋1，3＜x ≤8，8＋2.15×5＋2.85（x －8）＋1，x >8， 由y ＝22.6，解得x ＝9. [方法引航] 构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制． 函数的实际应用题 解决函数模型的实际应用题,首先应考虑该题考查的是何种函数,并要注意定义域,然后结合所给模型,列出函数关系式,最后结合其实际意义作出解答. 高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π 1．函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点． (2)几个等价关系 方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． 2．二分法 对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．3．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系 2 (x0)，(x0) (x0)无交点 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(×) (2)函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点(函数图象连续不断)，则f (a )·f (b )<0.( × ) (3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．( × ) (4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在b 2－4ac <0时没有零点．( √ ) (5)若函数f (x )在(a ，b )上单调且f (a )·f (b )<0，则函数f (x )在[a ，b ]上有且只有一个零点．( √ ) 1．(教材改编)函数f (x )＝e x ＋3x 的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B 解析 ∵f (－1)＝1 e －3<0， f (0)＝1>0， ∴f (x )在(－1,0)内有零点， 又f (x )为增函数，∴函数f (x )有且只有一个零点． 2．(2015·安徽)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A ．y ＝cos x B ．y ＝sin x C ．y ＝ln x D ．y ＝x 2＋1 答案 A 解析 由于y ＝sin x 是奇函数；y ＝ln x 是非奇非偶函数；y ＝x 2＋1是偶函数但没有零点；只有y ＝cos x 是偶函数又有零点． 3．函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B 解析 由f (x )＝0得|log 0.5x |＝????12x ， 作出函数y ＝|log 0.5x |和y ＝????12x 的图象， 由图象知两函数图象有2个交点， 故函数f (x )有2个零点． 4．(2015·天津)已知函数f (x )＝? ???? 2－|x |，x ≤2，(x －2)2 ，x ＞2，函数g (x )＝3－f (2－x )，则函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案 A 解析 当x >2时，g (x )＝x －1，f (x )＝(x －2)2； 函数的图像及函数与方程 一、温故 对称变换：①奇函数的图象关于______对称；偶函数的图象关于____轴对称； ②f (x )与f (－x )的图象关于____轴对称；③f (x )与－f (x )的图象关于____轴对称； ④f (x )与－f (－x )的图象关于______对称；⑤f (x )与f (2a －x )的图象关于直线______对称； ⑥|f (x )|的图象先保留f (x )原来在x 轴______的图象，作出x 轴下方的图象关于x 轴的对称图形，然后擦去x 轴下方的图象得到； ⑦f (|x |)的图象先保留f (x )在y 轴______的图象，擦去y 轴左方的图象，然后作出y 轴右方的图象关于y 轴的对称图形得到． 如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是一条不间断的曲线，且____________，那么函数y ＝f (x )在区间________上有零点． 二、例题讲解 考点一 作图 例1 (1)作函数y ＝|x －x 2|的图象(2)作函数y ＝x 2－|x |的图象； （3）作函数y ＝1|x |－1 的图象．（4）作函数x y --=524的图像 （5）作函数2log 2-=x y 的图像 考点二 识图 例2 (1)函数2log 2x y =|的图象大致是________(填入正确的序号)． (2)函数f (x )的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式是下列四者之一，正确的序号为________． ①f (x )＝x ＋sin x ；②f (x )＝cos x x ；③f (x )＝x cos x ；④f (x )＝x ·(x －π2)·(x －3π2 )． 变式 已知y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝f (1－x )的图象为________(填序号)． 例3.已知f (x )＝????13x ，若f (x )的图象关于直线x ＝1对称的图象对应的函数为g (x )，则g (x )的 表达式为________． 例4. 函数f (x )＝????? 3x ，x ≤1，log 13x ，x ＞1，则y ＝f (x ＋1)的图象大致是________． 一次函数 （一）函数 1、确定函数定义域的方法： （1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； （5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。 （二）一次函数 1、一次函数的定义 一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的函数，叫做一次函数，其中x 是自变量。当0b =时，一次函数y kx =，又叫做正比例函数。 ⑴一次函数的解析式的形式是y kx b =+，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式． ⑵当0b =，0k ≠时，y kx =仍是一次函数． ⑶当0b =，0k =时，它不是一次函数． ⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数． 2、正比例函数及性质 一般地，形如y=kx(k 是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数. 注：正比例函数一般形式 y=kx (k 不为零) ① k 不为零 ② x 指数为1 ③ b 取零 当k>0时，直线y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随x 的增大y 也增大；当k<0时，?直线y=kx 经过二、四象限，从左向右下降，即随x 增大y 反而减小． (1) 解析式：y=kx （k 是常数，k ≠0） (2) 必过点：（0，0）、（1，k ） (3) 走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，?图像经过二、四象限 (4) 增减性：k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小 (5) 倾斜度：|k|越大，越接近y 轴；|k|越小，越接近x 轴 3、一次函数及性质 一般地，形如y=kx ＋b(k,b 是常数，k≠0)，那么y 叫做x 的一次函数.当b=0时，y=kx ＋b 即y=kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 注：一次函数一般形式 y=kx+b (k 不为零) ① k 不为零 ②x 指数为1 ③ b 取任意实数 一次函数y=kx+b 的图象是经过（0，b ）和（- k b ，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx 平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移） （1）解析式：y=kx+b(k 、b 是常数，k ≠0) （2）必过点：（0，b ）和（- k b ，0） （3）走向： k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限 b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限 ????>>00b k 直线经过第一、二、三象限 ??? ?<>00 b k 直线经过第一、三、四象限 ????><00b k 直线经过第一、二、四象限 ?? ??<<00 b k 直线经过第二、三、四象限 （4）增减性： k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小. 常见函数性质汇总及简单评议对称变换 常数函数 f (x )=b (b ∈R) 1）、y=a 和 x=a 的图像和走势 2）、图象及其性质：函数f (x )的图象是平行于x 轴或与x 轴重合（垂直于y 轴）的直线 一次函数 f (x )=kx +b (k ≠0,b ∈R) 1)、两种常用的一次函数形式:斜截式—— 点斜式—— 2）、对斜截式而言，k 、b 的正负在直角坐标系中对应的图像走势： 3）、|k|越大，图象越陡；|k|越小，图象越平缓 4）、定 义 域：R 值域：R 单调性：当k>0时 ；当k<0时 奇 偶 性：当b =0时，函数f (x )为奇函数；当b ≠0时，函数f (x )没有奇偶性； 例题：y=f （x ）; y=g （x ）都有反函数，且f （x-1）和g -1 (x)函数的图像关于y=x 对称，若g （5）=2016，求）= 周 期 性：无 5）、一次函数与其它函数之间的练习 1、常用解题方法： b 反比例函数 f (x )= x k (k ≠0，k 值不相等永不相交；k 越大，离坐标轴越远) 图象及其性质：永不相交，渐趋平行；当k>0时，函数f (x )的图象分别在第一、第三 象限；当k<0时，函数f (x )的图象分别在第二、第四象限； 双曲线型曲线，x 轴与y 轴分别是曲线的两条渐近线； 既是中心对成图形也是轴对称图形 定 义 域：),0()0,(+∞-∞ 值 域：),0()0,(+∞-∞ 单 调 性：当k> 0时；当k< 0时 周 期 性：无 奇 偶 性：奇函数 反 函 数：原函数本身 补充：1、反比例函数的性质 2、与曲线函数的联合运用（常考查有无交点、交点围城图行的面积）——入手点常有两个——⑴直接带入，利用二次函数判别式计算未知数的取值；⑵利用斜率，数形结合判断未知数取值（计算面积基本方法也基于此） 3、反函数变形（如右图） 1）、y=1/（x-2）和y=1/x-2的图像移动比较 2）、y=1/(-x)和y=-（1/x ）图像移动比较 3）、f (x )= d cx b ax ++ (c ≠0且 d ≠0)（补充一下分离常数） （对比标准反比例函数，总结各项内容） 二次函数 一般式：)0()(2 ≠++=a c bx ax x f 顶点式：)0()()(2 ≠+-=a h k x a x f 两根式：)0)()(()(21≠--=a x x x x a x f 图象及其性质：①图形为抛物线，对称轴为 ，顶点坐标为 ②当0>a 时，开口向上，有最低点 当00时，函数图象与x 轴有两个交点（ ）；当<0时，函数图象与x 轴有一个交点（ ）；当=0时，函数图象与x 轴没有交点。 ④)0()(2 ≠++=a c bx ax x f 关系 )0()(2 ≠=a ax x f 定 义 域：R 值 域：当0>a 时，值域为（ ）；当0a 时；当0 高中各种函数图像及其性质 一次函数 （一）函数 1、确定函数定义域的方法： （1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； （5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。 （二）一次函数 1、一次函数的定义 一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的函数，叫做一次函数，其中x 是自变量。当0b =时，一次函数y kx =，又叫做正比例函数。 ⑴一次函数的解析式的形式是y kx b =+，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式． ⑵当0b =，0k ≠时，y kx =仍是一次函数． ⑶当0b =，0k =时，它不是一次函数． ⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数． 2、正比例函数及性质 一般地，形如y=kx(k 是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数. 注：正比例函数一般形式 y=kx (k 不为零) ① k 不为零 ② x 指数为1 ③ b 取零 当k>0时，直线y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随x 的增大y 也增大；当k<0时，?直线y=kx 经过二、四象限，从左向右下降，即随x 增大y 反而减小． (1) 解析式：y=kx （k 是常数，k ≠0） (2) 必过点：（0，0）、（1，k ） (3) 走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，?图像经过二、四象限 (4) 增减性：k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小 (5) 倾斜度：|k|越大，越接近y 轴；|k|越小，越接近x 轴 3、一次函数及性质 一般地，形如y=kx ＋b(k,b 是常数，k≠0)，那么y 叫做x 的一次函数.当b=0时，y=kx ＋b 即y=kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 函数图像与函数方程 【知识要点】 1.函数图象变换 (1)平移变换 (2)对称变换 ①)(x f y =――→关于x 轴对称 )(x f y -=； ②)(x f y =――→关于y 轴对称 )(x f y -=； ③) (x f y =――→ 关于原点对称 )(x f y --=； ④)10(≠>=a a a y x 且――→ 关于y ＝x 对称 )10(log ≠>=a a x y a 且. (3)翻折变换 ①)(x f y =――――――――――→保留x 轴上方图像 将x 轴下方图像翻折上去|)(|x f y =. ②)(x f y =――――――――――――→保留y 轴右边图像，并作其 关于y 轴对称的图像|)(|x f y =. (4)伸缩变换 ①)(x f y = )(ax f y =. ②)(x f y = )(x af y =. 2.函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点． (2)几个等价关系 方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y =的图象与x 轴有交点?函数)(x f y =有零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 0)()((完整版)高等数学公式大全及常见函数图像
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