一、选择题:(每小题5分,计40分)
1.已知△ABC 中,a =2,b =3,B =60°,那么角A 等于( ) (A )135° (B)90° (C)45° (D)30°
2.在ABC ?中,,75,45,300===C A AB 则BC =( )
A.33-
B.2
C.2
D.33+
3.在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,A =
3
π
,a =3,b =1,则c =( ) (A )1 (B )2 (C )3—1 (D )3
4.在中,角A,B,C 的对应边分别为a,b,c,若2
2
2
a c
b +-=,则角B 的值为( )
A.6
π B.
3π C.6
π或56π
D.
3
π或23π
5.在△ABC 中,若
C
c
B b A a cos cos cos =
=,则△ABC 是( ) (A )直角三角形. (B )等边三角形. (C )钝角三角形. (D )等腰直角三角形.
6.ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若a 、b 、c 成等比数列,且2c a =,则cos B =( )
A .
14 B .3
4
C
7.在ABC ?中,已知C B A sin cos sin 2=,那么ABC ?一定是( )
A .直角三角形
B .等腰三角形
C .等腰直角三角形
D .正三角形 8.△ABC 中,a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边.如果a 、b 、c
成等差数列,∠B=30°,△ABC 的面积为2
3
,那么b =( ) A .2
31+ B .31+ C .2
32+
D .32+
二.填空题: (每小题5分,计30分)
9.在△ABC 中,AB =1, B C =2, B =60°,则AC =
。
10. 在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 所对的边,已知3,30,a b c ===?
则A = .
11.在ABC ?中,若sin :sin :sin 5:7:8A B C =,则B ∠的大小是___ __. 12.在ABC △中,若1tan 3
A =
,150C =o
,1BC =,则AB =________. 13.在△ABC 中,三个角A ,B ,C 的对边边长分别为a=3,b=4,c=6,则bc cosA+ca cosB+ab cosC 的值为 .
14.在ABC ?中,若120A ∠=o
,5AB =,7BC =,则ABC ?的面积S=_______
三.解答题: (15、16小题每题12分,其余各题每题14分,计80分)
15.在ABC △中,5cos 13A =-,3cos 5
B =. (Ⅰ)求sin
C 的值; (Ⅱ)设5BC =,求ABC △的面积.
16.在ABC △中,角A B C ,,的对边分别为tan a b c C =,,,
(1)求cos C ; (2)若2
5
CA CB =?,且9a b +=,求c .
17、如图,△ACD 是等边三角形,△ABC 是等腰直角三角形,∠ACB=90°,BD 交AC 于
E ,AB=2。(1)求cos ∠CBE 的值;(2)求AE 。
18.
在45,ABC B AC C ?∠=?==中,,求 (1)?BC = (2)若点D AB 是的中点,求中线CD 的长度。
19(2013新课标2理科).设锐角三角形ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c, a =2b sin A
(Ⅰ)求B 的大小; (Ⅱ)求C A sin cos +的取值范围(.答案百度文库)
20.(2003全国理)在某海滨城市附近海面有一台风,据监测,当前台风中心位于城市O (如
图)的东偏南(cos θθ=方向300km 的海面P 处,并以20km/h 的速度向西偏北?45方向
移动,台风侵袭的范围为圆形区域,当前半径为60km ,并以10km/h 的速度不断增大,问几小时后该城市开始受到台风的侵袭?
东
部分参考答案
二.填空题: (每小题5分,计30分)
9.3; 10. 30° ; .11. __ 60O
_. 12.
210; 13.61
2
; 1443三.解答题: (15、16小题每题12分,其余各题每题14分,计80分)
15.解:(Ⅰ)由5cos 13A =-,得12sin 13A =,由3cos 5B =,得4
sin 5
B =. 所以16
sin sin()sin cos cos sin 65
C A B A B A B =+=+=.
(Ⅱ)由正弦定理得45sin 13512sin 313
BC B AC A ?
?==
=.
所以ABC △的面积
1sin 2S BC AC C =???1131652365=???8
3
=.
16.解:(1)sin tan cos C
C C
=∴=Q
又2
2
sin cos 1C C +=Q 解得1cos 8C =±. tan 0C >Q ,C ∴是锐角. 1
cos 8
C ∴=.
(2)∵2
5
=?,即abcosC=25 ,又cosC=81 20ab ∴=.
又9a b +=Q
22281a ab b ∴++=. 2241a b ∴+=.
2222cos 36c a b ab C ∴=+-
=.
6c ∴=.
17.解:(Ⅰ)因为9060150BCD =+=o o o ∠,CB AC CD ==,所以15CBE =o
∠.
所以cos cos(4530)4
CBE =-=
o
o
∠.
(Ⅱ)在ABE △中,2AB =,
由正弦定理2sin(4515)
sin(9015)
AE =
-+o o o o .
故2sin 30cos15AE =
o
o 1
2?
=
=
18.解:(1
)由cos sin C C =
sin sin(18045)sin )2A C C C =--=+=
o o
由正弦定理知sin sin
AC BC A B =?==(2)sin 2sin AC AB C B =?==, 1
12
BD AB == 由余弦定理知132
2
2312181cos 222=?
??-+=?-+=B BC BD BC BD CD
19.解:(Ⅰ)由2sin a b A =,根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =,所以1sin 2
B =
, 由ABC △为锐角三角形得π
6B =
. (Ⅱ)cos sin cos sin A C A A π??+=
+π-- ?6??cos sin 6A A π?
?
=++ ???
1cos cos 2A A A =++3A π?
?=+ ??
?.
由ABC △为锐角三角形知,2
A 0π
<
<,
ππ
π
<+
<6
A 2.
解得2A 3ππ<
< 所以653A 32πππ<
+<
,
所以1
sin 232A
π??+< ???.由此有
232A π??<+< ??
?
所以,cos sin A C +的取值范围为32?
???
?,.
20.解:设在t 时刻台风中心位于点Q ,此时|OP|=300,|PQ|=20t ,
台风侵袭范围的圆形区域半径为r(t)=10t+60,
由102cos =
θ,可知10
27cos 1sin 2
=-=θθ, cos ∠OPQ=cos(θ-45o
)= cos θcos45o
+ sin θsin45o
=5
422102722102=?+? 在 △OPQ 中,由余弦定理,得
OPQ PQ OP PQ OP OQ ∠?-+=cos 22
22
=5
4
203002)20(3002
2?
??-+t t =9000096004002
+-t t
若城市O 受到台风的侵袭,则有|OQ|≤r(t),即
22)6010(900009600400+≤+-t t t ,
整理,得0288362
≤+-t t ,解得12≤t ≤24, 答:12小时后该城市开始受到台风的侵袭.
东