答案
四.填空题(共29小题)
1.(2012?沈阳)如图,菱形ABCD得边长为8cm,∠A=60°,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F,则四边形BEDF得面积为16cm
2.
考点: 菱形得性质;等边三角形得判定与性质.
专题: 压轴题.
分析:连接BD,可得△ABD就是等边三角形,根据菱形得对称性与等边三角形得对称性可得四边形BEDF 得面积等于△ABD得面积,然后求出DE得长度,再根据三角形得面积公式列式计算即可得解.
解答:解:如图,连接BD,∵∠A=60°,AB=AD(菱形得边长),
∴△ABD就是等边三角形,
∴DE=AD=×8=4cm,
根据菱形得对称性与等边三角形得对称性可得,四边形BEDF得面积等于△ABD得面积,
×8×4=16cm2.
故答案为:16.
点评:本题考查了菱形得性质,等边三角形得判定与性质,作出辅助线构造出等边三角形就是解题得关键.
2.(2012?湖州)如图,将正△ABC分割成m个边长为1得小正三角形与一个黑色菱形,这个黑色菱形可分割成n个边长为1得小三角形,若=,则△ABC得边长就是12.
考点: 菱形得性质;等边三角形得性质.
专题: 压轴题;规律型.
分析:
设正△ABC得边长为x,根据等边三角形得高为边长得倍,求出正△ABC得面积,再根据菱形得性质结合图形表示出菱形得两对角线,然后根据菱形得面积等于两对角线乘积得一半表示出菱形得面积,然后根据所分成得小正三角形得个数得比等于面积得比列式计算即可得解.
解答:
解:设正△ABC得边长为x,则高为x,
S△ABC=x?x=x2,
∵所分成得都就是正三角形,
∴结合图形可得黑色菱形得较长得对角线为x﹣,较短得对角线为(x﹣)=x﹣1,
∴黑色菱形得面积=(x﹣)(x﹣1)=(x﹣2)2,
∴==,
整理得,11x2﹣144x+144=0,
解得x1=(不符合题意,舍去),x2=12,
所以,△ABC得边长就是12.
故答案为:12.
点评:本题考查了菱形得性质,等边三角形得性质,熟练掌握有一个角等于60°得菱形得两条对角线得关系就是解题得关键,本题难点在于根据三角形得面积与菱形得面积列出方程.
3.(2012?西宁)如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AC=12,BD=16,E为AD中点,点P在x轴上移动,小明同学写出了两个使△POE为等腰三角形得P点坐标(﹣5,0)与(5,0).请您写出其余所有符合这个
条件得P点坐标(8,0)或(,0).
考点: 菱形得性质;坐标与图形性质;等腰三角形得判定.
专题: 压轴题.
分析:由在菱形ABCD中,AC=12,BD=16,E为AD中点,根据菱形得性质与直角三角形得性质,易求得OE得长,然后分别从①当OP=OE时,②当OE=PE时,③当OP=EP时去分析求解即可求得答案.
解答:解:∵四边形ABCD就是菱形,
∴AC⊥BD,OA=AC=×12=6,OD=BD=×16=8,
∴在Rt△AOD中,AD==10,
∵E为AD中点,
∴OE=AD=×10=5,
①当OP=OE时,P点坐标(﹣5,0)与(5,0);
②当OE=PE时,此时点P与D点重合,即P点坐标为(8,0);
③如图,当OP=EP时,过点E作EK⊥BD于K,作OE得垂直平分线PF,交OE于点F,交x轴于点P,
∴EK∥OA,
∴EK:OA=ED:AD=1:2,
∴EK=OA=3,
∴OK==4,
∵∠PFO=∠EKO=90°,∠POF=∠EOK,
∴△POF∽△EOK,
∴OP:OE=OF:OK,
即OP:5=:4,
解得:OP=,
∴P点坐标为(,0).
∴其余所有符合这个条件得P点坐标为:(8,0)或(,0).
故答案为:(8,0)或(,0).
点评:此题考查了菱形得性质、勾股定理、直角三角形得性质以及等腰三角形得性质.此题难度较大,注意掌握数形结合思想与分类讨论思想得应用.
4.(2012?鄂尔多斯)如图,将两张长为4,宽为1得矩形纸条交叉并旋转,使重叠部分成为一个菱形.旋转过程中,当两张纸条垂直时,菱形周长得最小值就是4,那么菱形周长得最大值就是.
考点: 菱形得性质.
专题: 压轴题.
分析:作出图形,确定当两矩形纸条有一条对角线互相重合时,菱形得周长最大,设菱形得边长为x,表示出AB,然后利用勾股定理列式进行计算求出x,再根据菱形得四条边都相等解答.
解答:解:如图,菱形得周长最大,
设菱形得边长AC=x,则AB=4﹣x,
在Rt△ABC中,AC2=AB2+BC2,
即x2=(4﹣x)2+12,
解得x=,
所以,菱形得最大周长=×4=.
故答案为:.
点评:本题考查了菱形得性质,勾股定理得应用,确定出菱形得周长最大时得位置就是解题得关键,作出图形更形象直观.
5.(2012?杭州)已知一个底面为菱形得直棱柱,高为10cm,体积为150cm3,则这个棱柱得下底面积为15cm2;若该棱柱侧面展开图得面积为200cm2,记底面菱形得顶点依次为A,B,C,D,AE就是BC边上得高,则CE得长为1或9cm.
考点: 菱形得性质;认识立体图形;几何体得展开图.
专题: 压轴题.
分析:由底面为菱形得直棱柱,高为10cm,体积为150cm3,由体积=底面积×高,即可求得这个棱柱得下底面积,又由该棱柱侧面展开图得面积为200cm2,即可求得底面菱形得周长与BC边上得高AE得长,由勾股定理求得BE得长,继而求得CE得长.
解答:解:∵底面为菱形得直棱柱,高为10cm,体积为150cm3,
∴这个棱柱得下底面积为:150÷10=15(cm2);
∵该棱柱侧面展开图得面积为200cm2,高为10cm,
∴底面菱形得周长为:200÷10=20(cm),
∴AB=BC=CD=AD=20÷4=5(cm),
∴AE=S菱形ABCD÷BC=15÷5=3(cm),
∴BE==4(cm),
∴如图1:EC=BC﹣BE=5﹣4=1(cm),
如图2:EC=BC+BE=5+4=9(cm),
故答案为:15;1或9.
点评:此题考查了菱形得性质、直棱柱得性质以及勾股定理.此题难度不大,注意审题,掌握直棱柱体积与侧面积得求解方法.
11.(2009?黑河)如图,边长为1得菱形ABCD中,∠DAB=60度.连接对角线AC,以AC为边作第二个菱形ACC1D1,使∠D1AC=60°;连接AC1,再以AC1为边作第三个菱形AC1C2D2,使∠D2AC1=60°;…,按此规律所作得第n个菱形得边长为()n﹣1.
考点: 菱形得性质.
专题: 压轴题;规律型.
分析:根据已知与菱形得性质可分别求得AC,AC1,AC2得长,从而可发现规律根据规律不难求得第n个菱形得边长.
解答:解:连接DB,
∵四边形ABCD就是菱形,
∴AD=AB.AC⊥DB,
∵∠DAB=60°,
∴△ADB就是等边三角形,
∴DB=AD=1,
∴BM=,
∴AM==,
∴AC=,
同理可得AC1=AC=()2,AC2=AC1=3=()3,
按此规律所作得第n个菱形得边长为()n﹣1
故答案为()n﹣1.
点评:此题主要考查菱形得性质以及学生探索规律得能力.
＞E﹣＞F﹣＞C﹣＞G﹣＞A得顺序沿菱形得边循环运动,行走2009米停下,则这个微型机器人停在B 点.
考点: 菱形得性质.
专题: 压轴题;规律型.
分析:根据题意可求得其每走一个循环就是8米,从而可求得其行走2009米走了几个循环,即可得到其停在哪点.
解答:解:根据“由A点开始按A﹣＞B﹣＞C﹣＞D﹣＞E﹣＞F﹣＞C﹣＞G﹣＞A得顺序沿菱形得边循环运动”可得出,每经过8米完成一个循环,
∵2009÷8=251余1,
∴行走2009米停下,即就是在第252个循环中行走了一米,即停到了B点.
故答案为B.
点评:本题考查得就是循环得规律,要注意所求得值经过了几个循环,然后便可得出结论.
16.(2008?大兴安岭)如图,菱形AB1C1D1得边长为1,∠B1=60°;作AD2⊥B1C1于点D2,以AD2为一边,做第二个菱形AB2C2D2,使∠B2=60°;作AD3⊥B2C2于点D3,以AD3为一边做第三个菱形AB3C3D3,使∠B3=60°…依
此类推,这样做得第n个菱形AB n C n D n得边AD n得长就是.
考点: 菱形得性质.
专题: 压轴题;规律型.
分析:本题要找出规律方能解答.第一个菱形边长为1,∠B1=60°,可求出AD2,即第二个菱形得边长…按照此规律解答即可.
解答:
解:第1个菱形得边长就是1,易得第2个菱形得边长就是;
第3个菱形得边长就是()2;…
每作一次,其边长为上一次边长得;
故第n个菱形得边长就是()n﹣1.
故答案为:()n﹣1.
点评:本题就是一道找规律得题目,要求学生通过观察,分析、归纳发现其中得规律,并应用发现得规律解决问题.
点C运动.给出以下四个结论:
①AE=AF;
②∠CEF=∠CFE;
③当点E,F分别为边BC,DC得中点时,△AEF就是等边三角形;
④当点E,F分别为边BC,DC得中点时,△AEF得面积最大.
上述结论中正确得序号有①②③.(把您认为正确得序号都填上)
考点: 菱形得性质.
专题: 压轴题;动点型.
分析:根据菱形得性质对各个结论进行验证从而得到正确得序号.
解答:解:∵点E、F分别从点B、D出发以同样得速度沿边BC、DC向点C运动,
∴BE=DF,
∵AB=AD,∠B=∠D,
∴△ABE≌△ADF,
∴AE=AF,①正确;
∴CE=CF,
∴∠CEF=∠CFE,②正确;
∵在菱形ABCD中,∠B=60°,
∴AB=BC,
∴△ABC就是等边三角形,
∴当点E,F分别为边BC,DC得中点时,BE=AB,DF=AD,
∴△ABE与△ADF就是直角三角形,且∠BAE=∠DAF=30°,
∴∠EAF=120°﹣30°﹣30°=60°,
∴△AEF就是等边三角形,③正确;
∵△AEF得面积=菱形ABCD得面积﹣△ABE得面积﹣△ADF得面积﹣△CEF得面积=AB2﹣BE?AB××2﹣××(AB﹣BE)2=﹣BE2+AB2,
∴△AEF得面积就是BE得二次函数,
∴当BE=0时,△AEF得面积最大,④错误.
故正确得序号有①②③.
点评:本题考查了菱形得性质、全等三角形得判定与等边三角形得判定.
得长为或.
考点: 菱形得性质.
专题: 压轴题;分类讨论.
分析:根据题意得,应分P与A在BD得同侧与异侧两种情况进行讨论.
解答:解:当P与A在BD得异侧时:连接AP交BD于M,
∵AD=AB,DP=BP,
∴AP⊥BD(到线段两端距离相等得点在垂直平分线上),
在直角△ABM中,∠BAM=30°,
∴AM=AB?cos30°=3,BM=AB?sin30°=3,
∴PM==,
∴AP=AM+PM=4;
当P与A在BD得同侧时:连接AP并延长AP交BD于点M
AP=AM﹣PM=2;
当P与M重合时,PD=PB=3,与PB=PD=2矛盾,舍去.
AP得长为4或2.
故答案为4或2.
点评:本题注意到应分两种情况讨论,并且注意两种情况都存在关系AP⊥BD,这就是解决本题得关键. 24.(2003?温州)如图:菱形ABCD中,AB=2,∠B=120°,E就是AB得中点,P就是对角线AC上得一个动点,则PE+PB得最小值就是.
考点: 菱形得性质;线段垂直平分线得性质.
专题: 压轴题;动点型.
分析:过点E作PE⊥AB,交AC于P,则PA=PB,根据已知得到PA=2EP,根据勾股定理可求得PE,PA得值,从而可得到PE+PB得最小值.
解答:解:当点P在AB得中垂线上时,PE+PB有最小值.
过点E作PE⊥AB,交AC于P,则PA=PB.
∵∠B=120°
∴∠CAB=30°
∴PA=2EP
∵AB=2,E就是AB得中点
∴AE=1
在Rt△APE中,PA2﹣PE2=1
∴PE=,PA=
∴PE+PB=PE+PA=.
故答案为.
点评:本题考查得就是中垂线,菱形得邻角互补.勾股定理与最值.本题容易出现错误得地方就是对点P得运动状态不清楚,无法判断什么时候会使PE+PB成为最小值.
29.(2012?凉山州)如图,在四边形ABCD中,AC=BD=6,E、F、G、H分别就是AB、BC、CD、DA得中点,则EG2+FH2=36.
考点: 菱形得判定与性质;勾股定理;三角形中位线定理.
专题: 计算题;压轴题.
分析:连接EF,FG,GH,EH,由E、F、G、H分别就是AB、BC、CD、DA得中点,得到EH,EF,FG,GH分别就是△ABD,△ABC,△BCD,△ACD得中位线,根据三角形中位线定理得到EH,FG等于BD得一
半,EF,GH等于AC得一半,由AC=BD=6,得到EH=EF=GH=FG=3,根据四边都相等得四边形就是菱形,得到EFGH为菱形,然后根据菱形得性质得到EG⊥HF,且EG=2OE,FH=2OH,在Rt△OEH中,根据勾股定理得到OE2+OH2=EH2=9,再根据等式得性质,在等式得两边同时乘以4,根据4=22,把等式进行变形,并把EG=2OE,FH=2OH代入变形后得等式中,即可求出EG2+FH2得值
解答:解:如右图,连接EF,FG,GH,EH,
∵E、H分别就是AB、DA得中点,
∴EH就是△ABD得中位线,
∴EH=BD=3,
同理可得EF,FG,GH分别就是△ABC,△BCD,△ACD得中位线,
∴EF=GH=AC=3,FG=BD=3,
∴EH=EF=GH=FG=3,
∴四边形EFGH为菱形,
∴EG⊥HF,且垂足为O,
∴EG=2OE,FH=2OH,
在Rt△OEH中,根据勾股定理得:OE2+OH2=EH2=9,
等式两边同时乘以4得:4OE2+4OH2=9×4=36,
∴(2OE)2+(2OH)2=36,
即EG2+FH2=36.
故答案为:36.
点评:此题考查了菱形得判定与性质,勾股定理,三角形得中位线定理以及等式得基本性质,本题得关键就是连接EF,FG,GH,EH,得到四边形EFGH为菱形,根据菱形得性质得到EG⊥HF,建立直角三角形,利用勾股定理来解决问题.
一.解答题(共1小题)
考点: 菱形得判定与性质;全等三角形得判定与性质;三角形中位线定理;正方形得判定.
专题: 几何综合题;压轴题.
分析:(1)连接AD、BC,利用SAS可判定△APD≌△CPB,从而得到AD=BC,因为EF、FG、GH、EH分别就是△ABC、△ABD、△BCD、△ACD得中位线,则可以得到EF=FG=GH=EH,根据四边都相等得四边形就是菱形,可推出四边形EFGH就是菱形;
(2)成立,可以根据四边都相等得四边形就是菱形判定;
(3)先将图形补充完整,再通过角之间得关系得到∠EHG=90°,已证四边形EFGH就是菱形,则四边形
EFGH就是正方形.
解答:解:
(1)四边形EFGH就是菱形.(2分)
(2)成立.(3分)
理由:连接AD,BC.(4分)
∵∠APC=∠BPD,
∴∠APC+∠CPD=∠BPD+∠CPD.
即∠APD=∠CPB.
又∵PA=PC,PD=PB,
∴△APD≌△CPB(SAS)
∴AD=CB.(6分)
∵E、F、G、H分别就是AC、AB、BD、CD得中点,
∴EF、FG、GH、EH分别就是△ABC、△ABD、△BCD、△ACD得中位线.
∴EF=BC,FG=AD,GH=BC,EH=AD.
∴EF=FG=GH=EH.
∴四边形EFGH就是菱形.(7分)
(3)补全图形,如答图.(8分)
判断四边形EFGH就是正方形.(9分)
理由:连接AD,BC.
∵(2)中已证△APD≌△CPB.
∴∠PAD=∠PCB.
∵∠APC=90°,
∴∠PAD+∠1=90°.
又∵∠1=∠2.
∴∠PCB+∠2=90°.
∴∠3=90°.(11分)
∵(2)中已证GH,EH分别就是△BCD,△ACD得中位线,
∴GH∥BC,EH∥AD.
∴∠EHG=90°.
又∵(2)中已证四边形EFGH就是菱形,
∴菱形EFGH就是正方形.(12分)
点评:此题主要考查了菱形得判定,正方形得判定,全等三角形得判定等知识点得综合运用及推理论证能力.
4.(2013?昭通)如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠DAB=60°,点E就是AD边得中点,点M就是AB边上得一个动点(不与点A重合),延长ME交CD得延长线于点N,连接MD,AN.
(1)求证:四边形AMDN就是平行四边形.
(2)当AM得值为何值时,四边形AMDN就是矩形？请说明理由.
考点: 菱形得性质;全等三角形得判定与性质;平行四边形得判定;矩形得判定.
专题: 压轴题.
分析:(1)根据菱形得性质可得ND∥AM,再根据两直线平行,内错角相等可得∠NDE=∠MAE,∠DNE=∠AME,根据中点得定义求出DE=AE,然后利用“角角边”证明△NDE与△MAE全等,根据全等三角形对应边相等得到ND=MA,然后利用一组对边平行且相等得四边形就是平行四边形证明;
(2)根据矩形得性质得到DM⊥AB,再求出∠ADM=30°,然后根据直角三角形30°角所对得直角边等于
斜边得一半解答.
解答:(1)证明:∵四边形ABCD就是菱形,
∴ND∥AM,
∴∠NDE=∠MAE,∠DNE=∠AME,
∵点E就是AD中点,
∴DE=AE,
在△NDE与△MAE中,
,
∴△NDE≌△MAE(AAS),
∴ND=MA,
∴四边形AMDN就是平行四边形;
(2)AM=1.
理由如下:∵四边形ABCD就是菱形,
∴AD=AB=2,
∵平行四边形AMDN就是矩形,
∴DM⊥AB,
即∠DMA=90°,
∵∠DAB=60°,
∴∠ADM=30°,
∴AM=AD=1.
点评:本题考查了菱形得性质,平行四边形得判定,全等三角形得判定与性质,矩形得性质,熟记各性质并求出三角形全等就是解题得关键,也就是本题得突破口.
(1)如图1,若E就是BC得中点,∠AEF=60°,求证:BE=DF;
(2)如图2,若∠EAF=60°,求证:△AEF就是等边三角形.
考点: 菱形得性质;全等三角形得判定与性质;等边三角形得判定.
专题: 证明题;压轴题.
分析:(1)首先连接AC,由菱形ABCD中,∠B=60°,根据菱形得性质,易得△ABC就是等边三角形,又由三线合一,可证得AE⊥BC,继而求得∠FEC=∠CFE,即可得EC=CF,继而证得BE=DF;
(2)首先由△ABC就是等边三角形,即可得AB=AC,以求得∠ACF=∠B=60°,然后利用平行线与三角形
外角得性质,可求得∠AEB=∠AFC,证得△AEB≌△AFC,即可得AE=AF,证得:△AEF就是等边三角形.
解答:证明:(1)连接AC,
∵在菱形ABCD中,∠B=60°,
∴AB=BC=CD,∠C=180°﹣∠B=120°,
∴△ABC就是等边三角形,
∵E就是BC得中点,
∴AE⊥BC,
∵∠AEF=60°,
∴∠FEC=90°﹣∠AEF=30°,
∴∠CFE=180°﹣∠FEC﹣∠ECF=180°﹣30°﹣120°=30°,
∴∠FEC=∠CFE,
∴EC=CF,
∴BE=DF;
(2)∵△ABC就是等边三角形,
∴AB=AC,∠ACB=60°,
∴∠B=∠ACF=60°,
∵AD∥BC,
∴∠AEB=∠EAD=∠EAF+∠FAD=60°+∠FAD,
∠AFC=∠D+∠FAD=60°+∠FAD,
∴∠AEB=∠AFC,
在△ABE与△ACF中,
∴△ABE≌△ACF(AAS),
∴AE=AF,
∵∠EAF=60°,
∴△AEF就是等边三角形.
点评:此题考查了菱形得性质、等边三角形得判定与性质、全等三角形得判定与性质以及等腰三角形得判定与性质.此题难度适中,注意准确作出辅助线,注意数形结合思想得应用.
于点N.
(1)如图1,当点M在AB边上时,连接BN:
①求证:△ABN≌△ADN;
②若∠ABC=60°,AM=4,∠ABN=α,求点M到AD得距离及tanα得值.
考点: 菱形得性质;全等三角形得判定;等腰三角形得判定;解直角三角形.
专题: 压轴题;动点型.
分析:(1)①三角形ABN与ADN中,不难得出AB=AD,∠DAC=∠CAB,AN就是公共边,根据SAS即可判定两三角形全等.
②通过构建直角三角形来求解.作MH⊥DA交DA得延长线于点H.由(1)可得∠MDA=∠ABN,那么
M到AD得距离与∠α就转化到直角三角形MDH与MAH中,然后根据已知条件进行求解即可.
(2)本题要分三种情况即:ND=NA,DN=DA,AN=AD进行讨论.
解答:解:(1)①证明:∵四边形ABCD就是菱形,
∴AB=AD,∠1=∠2.
又∵AN=AN,
∴△ABN≌△ADN(SAS).
②作MH⊥DA交DA得延长线于点H.
由AD∥BC,得∠MAH=∠ABC=60°.
在Rt△AMH中,MH=AM?sin60°=4×sin60°=2.
∴点M到AD得距离为2.
∴AH=2.
∴DH=6+2=8.
在Rt△DMH中,tan∠MDH=,
由①知,∠MDH=∠ABN=α,
∴tanα=;
(2)∵∠ABC=90°,
∴菱形ABCD就是正方形.
∴∠CAD=45°.
下面分三种情形:
(Ⅰ)若ND=NA,则∠ADN=∠NAD=45°.
此时,点M恰好与点B重合,得x=6;
(Ⅱ)若DN=DA,则∠DNA=∠DAN=45°.
此时,点M恰好与点C重合,得x=12;
(Ⅲ)若AN=AD=6,则∠1=∠2.
∵AD∥BC,
∴∠1=∠4,又∠2=∠3,
∴∠3=∠4.
∴CM=CN.
∵AC=6.
∴CM=CN=AC﹣AN=6﹣6.
故x=12﹣CM=12﹣(6﹣6)=18﹣6.
综上所述:当x=6或12或18﹣6时,△ADN就是等腰三角形.
点评:本题考查了等腰三角形得判定,全等三角形得判定,菱形得性质,正方形得性质等知识点,注意本题(2)中要分三种情况进行讨论,不要丢掉任何一种情况.
15.(2005?嘉兴)有一种汽车用“千斤顶”,它由4根连杆组成菱形ABCD,当螺旋装置顺时针旋转时,B、D两点得距离变小,从而顶起汽车.若AB=30,螺旋装置每顺时针旋转1圈,BD得长就减少1.设BD=a,AC=h,
(1)当a=40时,求h值;
(2)从a=40开始,设螺旋装置顺时针方向旋转x圈,求h关于x得函数解析式;
(3)从a=40开始,螺旋装置顺时针方向连续旋转2圈,设第1圈使“千斤顶”增高s1,第2圈使“千斤顶”增高s2,试判定s1与s2得大小,并说明理由;若将条件“从a=40开始”改为“从某一时刻开始”,则结果如何,为什么？
考点: 菱形得性质;勾股定理.
专题: 应用题;压轴题.
分析:(1)根据菱形得两条对角线垂直且平分得性质,然后根据勾股定理,即可求出h值.
(2)首先知道螺旋装置顺时针方向旋转得圈数与BD之间得关系,然后用勾股定理,就可求出h与x之
间得函数关系.
(3)此问首先要搞清楚增高得s就是指AC增高了s,根据第2问得函数关系进行推算,就可知道s1与
s2得大小关系.
解答:解:(1)连AC交BD于O,
∵ABCD为菱形,
∴∠AOB=90°,OA=,OB=20,(3分)
在Rt△AOB中,
∵AO2+BO2=AB2,
即()2+202=302,
∴h=20;(2分)
(2)从a=40开始,螺旋装置顺时针方向旋转x圈,则BD=40﹣x,(2分)
∴()2+()2=302,
∴h=;(2分)
(3)结论:s1＞s2.
在中,
令x=0得,h0=≈44、721;
令x=1得,h1=≈45、596;
令x=2得,h2=≈46、435;
∴s1=h1﹣h0≈0、88,s2=h2﹣h1≈0、84,
∴s1＞s2;(3分)
也可以如下比较s1、s2得大小:
∵
=
=
而79＞77,
∴s1＞s2;(3分)
若将条件“从a=40开始”改为“从任意时刻开始”,则结论s1＞s2仍成立.
∵,
,
而2a﹣1＞2a﹣3,
∴s1＞s2.(2分)
点评:菱形得性质就是中考常见得一个考点,将其与勾股定理综合使用,就是解决相似题型得常用方法.
()
(1)画出符合题目条件得菱形与直角坐标系.
(2)写出A,B两点得坐标.
(3)设菱形ABCD得对角线得交点为P,问:在y轴上就是否存在一点F,使得点P与点F关于菱形ABCD得某
考点: 菱形得性质;坐标与图形性质.
专题: 压轴题;分类讨论.
分析:(1)本题可分两种情况,如图;
(2)过C作CF⊥y轴于F,∠CDF=60°,CF=2,因此DF=2,CD=4.因此OA=OF﹣AF=8﹣(4+2)=2,因此
A点坐标为(0,2).由于菱形得边长为4,因此将C点坐标向下平移4个单位就就是B点得坐标(2,4);
(3)在(2)中所作得F点其实就就是P点关于CD得对称点,理由:根据菱形得性质可知:∠FAC=30°,因此
在直角三角形FAC中,FC=AC=PC,而∠DCF=∠DCP=30°,因此△CFE≌△CPE,因此CD垂直平分
PF,即可得出P、F关于CD对称.
解答:解:本题有两种情况:
第一种情况:(1)画图,如图所示.
(2)过C作CF⊥y轴于F,∠CDF=60°,CF=2,
∵tan60°==,
=,
∴DF=2,
CD=4.因此OA=OF﹣AF=8﹣(4+2)=2,因此A点坐标为(0,2).
由于菱形得边长为4,因此将C点坐标向下平移4个单位就就是B点得坐标(2,4);
则A(0,2),B(2,4).
(3)F(0,8);
第二种情况:(1)画图,如图所示.
(2)A′(0,14),B′(2,12)
(3)F′(0,8).
点评:本题主要考查了菱形得性质、坐标与图形得性质、轴对称图形等知识点.
17.(2001?河北)如图,在菱形ABCD中,AB=10,∠BAD=60度.点M从点A以每秒1个单位长得速度沿着AD 边向点D移动;设点M移动得时间为t秒(0≤t≤10).
(1)点N为BC边上任意一点,在点M移动过程中,线段MN就是否一定可以将菱形分割成面积相等得两部分并说明理由;
(2)点N从点B(与点M出发得时刻相同)以每秒2个单位长得速度沿着BC边向点C移动,在什么时刻,梯形ABNM得面积最大并求出面积得最大值;
(3)点N从点B(与点M出发得时刻相同)以每秒a(a≥2)个单位长得速度沿着射线BC方向(可以超越C点)移动,过点M作MP∥AB,交BC于点P.当△MPN≌△ABC时,设△MPN与菱形ABCD重叠部分得面积为S,求出用t表示S得关系式,井求当S=0时得值.
考点: 菱形得性质;二次函数得最值;全等三角形得性质.
专题: 压轴题.
分析:(1)菱形被分割成面积相等得两部分,那么分成得两个梯形得面积相等,而两个梯形得高相等,只需上下底得与相等即可.
(2)易得菱形得高,那么用t表示出梯形得面积,用t得最值即可求得梯形得最大面积.
(3)易得△MNP得面积为菱形面积得一半,求得不重合部分得面积,让菱形面积得一半减去即可.
解答:解:(1)设:BN=a,CN=10﹣a(0≤a≤10)
因为,点M从点A以每秒1个单位长得速度沿着AD边向点D移动,点M移动得时间为t秒(0≤t≤10) 所以,AM=1×t=t(0≤t≤10),MD=10﹣t(0≤t≤10).
所以,梯形AMNB得面积=(AM+BN)×菱形高÷2=(t+a)×菱形高÷2;
梯形MNCD得面积=(MD+NC)×菱形高÷2=[(10﹣t)+(10﹣a)]×菱形高÷2
当梯形AMNB得面积=梯形MNCD得面积时,
即t+a=10,(0≤t≤10),(0≤a≤10)
所以,当t+a=10,(0≤t≤10),(0≤a≤10)时,可出现线段MN一定可以将菱形分割成面积相等得两部分.
(2)点N从点B以每秒2个单位长得速度沿着BC边向点C移动,设点N移动得时间为t,可知0≤t≤5,
因为AB=10,∠BAD=60°,所以菱形高=5,
AM=1×t=t,BN=2×t=2t.
所以梯形ABNM得面积=(AM+BN)×菱形高÷2=3t×5×=t(0≤t≤5).
所以当t=5时,梯形ABNM得面积最大,其数值为.
(3)当△MPN≌△ABC时,
则△ABC得面积=△MPN得面积,则△MPN得面积为菱形面积得一半为25;
因为要全等必有MN∥AC,
∴N在C点外,所以不重合处面积为×(at﹣10)2×
∴重合处为S=25﹣,
当S=0时,即PM在CD上,
∴a=2.
点评:本题考查了菱形以及相应得三角函数得性质,注意使用两条平行线间得距离相等等条件.
三.解答题(共14小题)
10.(2010?河源)如图,△ABC中,点P就是边AC上得一个动点,过P作直线MN∥BC,设MN交∠BCA得平分线于点E,交∠BCA得外角平分线于点F.
(1)求证:PE=PF;
(2)当点P在边AC上运动时,四边形AECF可能就是矩形吗？说明理由;
(3)若在AC边上存在点P,使四边形AECF就是正方形,且.求此时∠BAC得大小.
考点: 菱形得判定;平行线得性质;正方形得判定.
专题: 几何综合题;压轴题.
分析:(1)可证明PE=PC,PF=PC,从而得到PE=PF;
(2)由一对邻补角得平分线互相垂直,得出∠ECF=90°,故要使四边形AECF就是矩形,只需四边形
AECF就是平行四边形即可.由(1)知PE=PF,则点P运动到AC边中点时,四边形AECF就是矩形.
(3)由正方形得对角线相等且互相垂直,可知AC⊥EF,AC=2AP.又EF∥BC,得出AC⊥BC,在直角△
ABC中,根据锐角三角函数得定义及特殊角得三角函数值求出∠A得大小.
解答:(1)证明:∵CE平分∠BCA,
∴∠BCE=∠ECP,
又∵MN∥BC,
∴∠BCE=∠CEP,
∴∠ECP=∠CEP,
∴PE=PC;
同理PF=PC,
∴PE=PF;
(2)解:当点P运动到AC边中点时,四边形AECF就是矩形.理由如下:
由(1)可知PE=PF,
∵P就是AC中点,
∴AP=PC,
∴四边形AECF就是平行四边形.
∵CE、CF分别平分∠BCA、∠ACD,
且∠BCA+∠ACD=180°,
∴∠ECF=∠ECP+∠PCF=(∠BCA+∠ACD)=×180°=90°,
∴平行四边形AECF就是矩形;
(3)解:若四边形AECF就是正方形,则AC⊥EF,AC=2AP.
∴△ABC就是直角三角形,且∠ACB=90°,
∴tan∠BAC===,
∴∠BAC=30°.
点评:此题综合考查了平行线得性质,等腰三角形得判定,矩形得判定,正方形得性质,锐角三角函数得定义及特殊角得三角函数值等知识点,难度较大.
17.(2007?潍坊)已知等腰△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC交BC于D点,在线段AD上任取一点P(A点除外),过P点作EF∥AB,分别交AC,BC于E,F点,作PM∥AC,交AB于M点,连接ME.
(1)求证:四边形AEPM为菱形;
(2)当P点在何处时,菱形AEPM得面积为四边形EFBM面积得一半？
考点: 菱形得判定;等腰三角形得性质;平行四边形得性质.
专题: 几何综合题;压轴题.
分析:(1)有一组邻边相等得平行四边形为菱形,在本题中,可证出四边形AEPM为平行四边形,关键就是找一组邻边相等,∵AD平分∠BAC再者PE∥AM所以可证∠EAP=∠EPA即AE=EP,所以为菱形;
(2)S菱形AEPM=EP?h,S平行四边形EFBM=EF?h,若菱形AEPM得面积为四边形EFBM面积得一半,则
EP=EF,所以,P为EF中点时,S菱形AEPM=S四边形EFBM.
解答:(1)证明:∵EF∥AB,PM∥AC,
∴四边形AEPM为平行四边形.
∵AB=AC,AD平分∠CAB,
∴∠CAD=∠BAD,
∵AD⊥BC(三线合一得性质),
∵∠BAD=∠EPA,
∴∠CAD=∠EPA,
∵EA=EP,
∴四边形AEPM为菱形.
(2)解:P为EF中点时,S菱形AEPM=S四边形EFBM
∵四边形AEPM为菱形,
∴AD⊥EM,
∵AD⊥BC,
八下数学每日一练：菱形的判定与性质练习题及答案_2020年单选题版答案答案答案2020年八下数学：图形的性质_四边形_菱形的判定与性质练习题 ~~第1题~~ (2019西湖.八下期末) 如图，分别以Rt △ABC 的斜边AB ，直角边AC 为边向外作等边△ABD 和△ACE ，F 为AB 的中点，DE ，AB 相交于点G ．连接EF ，若∠BAC ＝30°，下列结论：①EF ⊥AC ；②四边形ADFE 为菱形；③AD ＝4AG ；④△ DBF ≌△EFA ．则正确结论的序号是（ ） A . ①③ B . ②④ C . ①③④ D . ②③④ 考点： 线段垂直平分线的判定;全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质;直角三角形斜边上的中线;菱形的判定与性质; ~~第2题~~ (2019嘉兴.八下期末) 如图，将平行四边形纸片ABCD 折叠，使顶点D 恰好落在AB 边上的点M 处，折痕为AN ，那么对于结论 :①MN ∥BC ，②MN=AM.下列说法正确的是( ) A . ①②都错 B . ①对②错 C . ①错②对 D . ①②都对 考点： 平行四边形的性质;菱形的判定与性质;翻折变换（折叠问题）;~~第3题~~ (2019淮安.八下期中) 下列命题是真命题的是( ) A . 四边都相等的四边形是矩形 B . 菱形的对角线相等 C . 对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D . 顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形 考点： 菱形的判定与性质;矩形的判定;正方形的判定;~~第4题~~ (2019淮安.八下期中) 如图，△ABC 是边长为1的等边三角形，分别取AC ，BC 边的中点D ，E ，连接DE ，作EF ∥AC 得到四边形EDAF ，它的周长记作C ；分别取EF ，BE 的中点D ， E ， 连接D E ， 作E F ∥EF ，得到四边形E D FF ，它的周长记作C 照此规律作下去，则C 等于( ) A . B . C . D . 111111*********
菱形的判定专项练习30题（有答案） 1．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BA=AD=DC=BC，点E为BC的中点． （1）求证：四边形ABED是菱形； （2）过A点作AF⊥BC于点F，若BD=4cm，求AF的长． 2．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC⊥BD．点M，N分别在BD、AC上，且AO=ON=NC，BM=MO=OD． 求证：BC=2DN． 3．如图，在△ABC中，AB=AC，D，E，F分别是BC，AB，AC的中点． （1）求证：四边形AEDF是菱形； （2）若AB=12cm，求菱形AEDF的周长． 4．如图，在?ABCD中，EF∥BD，分别交BC，CD于点P，Q，交AB，AD的延长线于点E，F．已知BE=BP．求证：（1）∠E=∠F； （2）?ABCD是菱形． 菱形的判定--- 1
5．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，AF与CE的延长线相交于点F，连接BF． （1）求证：AF=DC； （2）若∠BAC=90°，求证：四边形AFBD是菱形． 6．已知平行四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，求证：四边形ABCD是菱形． 7．如图，在一个含30°的三角板ABC中，将三角板沿着AB所在直线翻转180°得到△ABF，再将三角板绕点C顺时针方向旋转60°得到△DEC，点F在AC上，连接AE． （1）求证：四边形ADCE是菱形． （2）连接BF并延长交AE于G，连接CG．请问：四边形ABCG是什么特殊平行四边形？为什么？ 8．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是为E F，并且DE=DF．求证：四边形ABCD是菱形． 9．如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E，以AD，AE为边作?ADFE交BC于点G，H，且EH=EC． 求证：（1）∠B=∠C； （2）?ADFE是菱形． 菱形的判定--- 2
菱形的判定 一、教学目标：经历菱形的判定方法的探究过程,掌握菱形的三种判定方法. 二、教学重点:菱形判定方法的探究. 三、教学难点:菱形判定方法的探究及灵活运用. 四、教学过程: 活动1、引入新课，激发兴趣 1、复习 （1）菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形。 （2）菱形的性质1 菱形的两组对边分别平行，四条边都相等； 性质2 菱形的两组对角分别相等，邻角互补； 性质3 菱形的两条对角线互相平分，菱形的两条对角线互相 垂直，且每一条对角线平分一组对角。 2、导入 (1)如果一个四边形是一个平行四边形，则只要再有什么条件就可以判定它是一个菱形？依据是什么？ 根据菱形的定义可知： 一组邻边相等的平行四边形是菱形. 所以只要再有一组邻边相等的条件即可. (2)要判定一个四边形是菱形，除根据定义判定外，还有其它的判定方法吗？活动2、探究与归纳菱形的第二个判定方法 【问题牵引】 用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉子，做成一个可转动的十字架，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形。 问: 任意转动木条，这个四边形总有什么特征？你能证明你发现的结论吗？ 继续转动木条，观察什么时候橡皮筋周围的四边形变成菱形？你能证明你的猜想吗？
学生猜想:对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 教师提问：这个命题的前提是什么？结论是什么？ 学生用几何语言表示命题如下： 已知：在□ABCD 中，对角线AC ⊥BD ， 求证：□ABCD 是菱形。 分析：我们可根据菱形的定义来证明这个平行四边形是菱形，由平行四边形的性质得到BO=DO ，由∠AOB=∠AOD=90o及AO=AO ，得ΔAOB ≌ΔAOD ，可得到AB=AD (或根据线段垂直平分线性质定理,得到AB=AD) ，最后证得□ABCD 是菱形。 【归纳定理】 通过探究和进一步证明可以归纳得到菱形的第二个判定方法(判定定理1): 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 提示：此方法包括两个条件——（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直。对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。 活动3、菱形第二个判定方法的应用 例3 如图，如图，□ABCD 的对角线AC 、BD 相交 于点O ，且AB=5，AO=4，BO=3，求证：□ABCD 是菱形。 思路点拨：由于平行四边形对角线互相平分，构 成了△ABO 是一个三角形，?而AB=5，AO=4，BO=3，由勾股定理的逆定理可知∠AOB=90°，证出对角线互相垂直，这样可利用菱形第二个判定方法证得。 活动4、探究与归纳菱形的第三个判定方法 【操作探究】过程: 先画两条等长的线段AB 、AD ，然后分别以B 、D 为圆心，AB 为半径画弧，得到两弧的交点C ，连接BC 、CD ，就得到了一个四边形，提问：观察画图的过程，你能说明得到的四边形为什么是菱形吗?你能得到什么结论? 学生观察思考后，展开讨论，指出该四边形四条边相等，即有两组对边相等，它首先是一个平行四边形，又有一组邻边相等，根据菱形定义即可判定该四边形是菱形。得出从一般的四边形直接判定菱形的方法：四边相等的四边形是菱形。 O D C B A
菱形的判定学案 班级姓名小组 学习目标 1. 经过探究推理得出菱形的几种判定方法。 2.理解并掌握菱形的判定方法，会判定一个四边形是菱形。 重点：掌握并会应用菱形的判定方法. 难点：菱形判定方法的应用. 导学过程 一、复习引入，明确目标 1.菱形的定义和性质是什么？ 2.明确学习目标； 3.想一想：由菱形定义可知判定菱形的一种方法： 。 符号语言∵ ∴ 二、自主学习、探究新知 请同学们探究下列问题： 探究1. 菱形的四条边都相等.反过来，四条边都相等是四边形是菱形吗？ 已知：四边形ABCD，AB=BC=CD=DA, 求证：四边形ABCD是菱形。（用菱形的定义证明） 符号语言∵ ∴ 判定方法1：四边的四边形 ．．．是菱形． 探究2. 用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形.转动木条,这个四边形什么时候变成菱形? 于是抽象出一个数学问题：对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 已知：ABCD，对角线AC、BD互相垂直。 求证：ABCD是菱形． 符号语言∵ ∴ 判定方法2：对角线的平行四边形 ．．．．．是菱形
三、应用新知、大胆展示 1、如图，在四边形ABCD中，线段BD垂直平分AC，且相交于点O，∠1=∠2. 求证：四边形ABCD是菱形. 2、如图，ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB= 5，AC=8，DB=6. 求证:四边形ABCD是菱形. 3、如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F． 求证：四边形AFCE是菱形．
四、归纳整理、自我反思 菱形常用的判定方法有哪些？ 五、当堂检测、目标达成 1、用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是___________ 2、有一组邻边相等的四边形是菱形（） 3、对角线互相垂直的四边形是菱形（） 4、对角线互相平分垂直的四边形是菱形（） 5、先画两条等长的线段AB、AD，然后分别以B、D为圆心， AB为半径画弧，得到两弧的交点C，连接BC、CD，就得到 了一个菱形。理由是. 6、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，与AB相交于点E，DF∥AB，与AC相交于点F，试说明四边形AEDF是菱形。 7、如图所示，四边形ABCD、DEBF都是矩形，AB=BF，AD、BE相交于M，BC、DF交于N，求证：四边形BMDN是菱形．
19.2. 2 菱形的判定 备课人：王芳备课时间：2013/05/16 一、教学内容分析： 菱形是一种特殊的平行四边形，比平行四边行多了“一组邻边相等”，因此判定可以在四边形或平行四边形的基础上再补充条件。教学时要注意几种图形的区别。 二、教学目标： （一）知识与技能：理解并掌握菱形的定义及两个判定方法；会用这些判定方法进行有关的论证和计算。 （二）过程与方法：经历探究菱形判定条件的过程,探索掌握菱形的判定方法。 （三）情感态度与价值观：在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力。 三、重点、难点： 1．教学重点：菱形的两个判定方法。 2．教学难点：判定方法的证明方法及运用。 四、教具准备：多媒体课件；圆规；三角板。 五、教学过程： （一）温故知新： 想一想：菱形的定义及其性质？ （让学生回忆并说出菱形的定义及其性质，教师同时播放课件） 菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 菱形的性质：1.菱形的两组对边分别平行；菱形的四条边都相等。 2.菱形的两组对角分别相等；菱形的邻角互补。 3.菱形的两条对角线互相垂直且平分，并且每一条对角线平分一组对 角。 思考：如果一个四边形是平行四边形，那么只要再添加一个什么条件，就可以判定它就是一个菱形？根据什么？ 师板书：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 （教师明确指出：菱形的定义具有两重性，既是菱形的性质，又可以作为菱形的一种判定方法） 教师强调菱形定义中的两个条件，并让学生明白自己已学过菱形的一种判定方法，为学习另外两种判定方法做准备。
（二）操作探究，发现新知： 1．从“对角线”的角度探究：对角线互相垂直的平行四边形是菱形或对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。 （教师再利用多媒体进行演示对角线互相垂直的平行四边形是菱形这一结论） 教师利用多媒体出示探究一： 一个可转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形。 然后教师提问：“这个四边形是什么四边形？转动木条，你有 什么发现？”引导学生观察，得出结论。 教师出示命题1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 师：你会证明吗？如何证明一个文字命题呢？ 教师叙述一般过程： 第一：根据题意，画出图形。 第二：分清命题的题设和结论，结合图形，写出已知和求证。 第三：写出证明过程（有时需要写依据）。 第四：归纳结论。 师生活动：鼓励学生独立思考、小组交流、全班展示的方式展开探究，以合作者、参与者的身份指导学生用各种方法证明猜想。 得出结论： 菱形的判定方法1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 或对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。 2．从“边”的角度探究：四边相等的四边形是菱形。 教师利用多媒体出示探究二： 先画两条等长的线段AB、AD，然后分别以B、D为圆心，AB 交点C，连接BC、CD，就得到了一个四边形。 （1）猜一猜，这是什么四边形？ C （2 教师出示命题2：四边相等的四边形是菱形。 师：这个命题又该怎样证明呢？（教师引导学生完成证明） 然后教师再利用多媒体进行演示。 师生活动：鼓励学生独立思考、小组交流、全班展示的方式展开探究，以合作者、参 与者的身份指导学生用各种方法证明猜想。 得出结论： 菱形的判定方法2：四边相等的四边形是菱形。 （三）归纳新知：
菱形综合应用出题人：LJ 知能点1 菱形的定义与性质 1．在四边形ABCD中，已知AB∥CD，AD∥BC，请添加一个条件，使四边形ABCD是菱形，所添加的条件是_________． 2．已知菱形的周长为20cm，则菱形的边长为_________． 3．菱形具有而矩形不一定具有的特征是（）． A．对角相等且互补B．对角线互相平分 C．一组对边平等，另一组对边相等; D．对角线互相垂直 4．如图所示，在菱形ABCD中，点E，F分别在CD，BC上，且CE=CF，求证：AE=AF． 5．如图所示，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长10cm，求： （1）对角线AC的长度;（2）菱形ABCD的面积． 6．如图所示，已知AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB?交AC于点F，求证：AD⊥EF．
知能点2 菱形的判定 7．下列命题不正确的是（）． A．对角线互相平分且一组邻边相等的四边形是菱形 B．两组对边分别平行且一组邻边相等的四边形是菱形 C．两组对角分别相等且一组邻边相等的四边形是菱形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形 8．如图所示，能说明四边形ABCD是菱形的有（）． ①BD⊥AC ②OA=OC，OB=OD，AB=BC ③AC=BD ④AB∥CD，AB=BC A．①B．①②C．②D．③④ 9．能判定一个四边形是菱形的条件是（）． A．对角线互相平分且相等B．对角线互相垂直且相等 C．对角线互相垂直且对角相等; D．对角线互相垂直，且一条对角线平分一组对角10．如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线EF与AD，BC，AC?分别交于点E，F，O，连接AF，EC，则四边形AFCE是菱形吗？为什么？ 13．如图所示，在△ABC中，AB=AC，P为BC的中点，PE⊥AB于E，PF⊥?AC于F，EM⊥AC 于M，FN⊥AB于N，EM与FN相交于点Q，那么四边形PEQF是菱形吗？说明你的理由． 14．如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC交BC于D，CG⊥AB?于G，交AD于F，DE⊥AB于E，那么四边形CDEF是菱形吗？说说你的理由．
22．3（3）矩形、菱形的判定 教学目标 1．经历从特殊的平行四边形的性质逆向探索特殊的平行四边形判定方法的过程，掌握矩形、菱形的常用判别方法，并能运用这些知识进行有关的证明和计算． 2．通过矩形、菱形判定的探索过程，积累数学活动的经验，提高合情推理能力；结合性质和判定定理以及相关问题的证明，进一步发展逻辑思维能力和提高推理论证的表达能力． 教学重点及难点 掌握矩形、菱形的判定，知道它们之间的关系以及与平行四边形的关系．进一步发展逻辑思维能力和提高推理论证的表达能力． 教学用具准备 课件 教学过程设计 一、温故知新 1．平行四边形的判定 (5个方法) 2．矩形、菱形的性质复习——有别于平行四边形的特殊性质： [及矩形、菱形作为特殊的平行四边形的特殊性质回顾；便于本节课的顺利开展． 二、矩形、菱形的判定探讨 思考： 如何从矩形、菱形特殊的性质出发，得出矩形、菱形的判定？ 定义可以作为第一条判定： 即：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 有一组邻边相等的平行四边形是菱形． [说明] 定义是作为判定的第一依据，因此，所有的定义都可以作为第一个判定 方法． 其他方法呢？ “1）从边；2）从角；3）从对角线”的角度考虑． 1．矩形： ——矩形的特殊性在于直角和对角线 不妨给出关于矩形判定的命题：（讨论、交流） 比如：四个角是直角的四边形是矩形．
三个角是直角的四边形是矩形． 对角线相等的平行四边形是矩形．…… 分析上述给出的命题，证明讨论； 得出矩形的判定定理：三个角是直角的四边形是矩形． 对角线相等的平行四边形是矩形． 2．菱形： ——类似矩形进行讨论． 并得出菱形的判定定理：四条边相等的四边形是菱形． 对角线互相垂直的平行四边形是菱形． [说明]作为特殊的平行四边形，矩形、菱形在角、边、对角线方面都有特殊的性质．因此，引导学生不妨就从其特殊性开始考虑．矩形详加探究之后，对应得到菱形的判定方法． 3．总结矩形菱形的判定 形出发作一总结；上课时，借助PPT ，缓缓放出本课结论，有不错的效果． 三、定理运用， 1．例题选讲 例1：如图：矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E,F,G,H 分别 在AO,BO,CO,DO 上，且AE=BF=CG=DH. 求证：四边形EFGH 是矩形. 分析：首先，矩形的判定方法有哪些？ 其次，本题可以用哪种方法？ 过程说理. 例2：已知如图：EF 是□ABCD 的对角线AC 的垂直平分线，EF 与边AD,BC 分别交 于点E,F. 求证：四边形AECF 是菱形 O H G F E D C B A O E D A
菱形复习中难题含答案 1．菱形的概念：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 2．菱形的性质 （1）具有平行四边形的一切性质 （2）菱形的四条边相等 （3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 （4）菱形是轴对称图形 3．菱形的判定 （1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形 （2）定理1：四边都相等的四边形是菱形 （3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 4．菱形的面积 S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半 （★★）若菱形的一条对角线与边的夹角为25°，则这个菱形各内角的度数 为． 【答案】50°、130°、50°、130°． （★★）1．菱形ABCD的周长为20，两对角线长3：4，则菱形的面积为． 【答案】24． （★★）2．如图，E、F分别为菱形ABCD中BC、CD边上的点，△AEF是等边三角形，且AE=AB，求∠B和∠C的度数．
F E D C B A 【答案】利用三角形内角和180度和同旁内角互补来解决问题，易得∠B=80°和∠C=100°． （★★）菱形的两条对角线与各边一起围成三角形中，共有全等的等腰三角形的对数是． 【答案】4． （★★）用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（）．A．一组临边相等的四边形是菱形 B．四边相等的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 D C B A （★★★）若菱形一边上的高的垂足是这边的中点，则这个菱形的最大内角是． 答案：120°． （★★★）1．菱形的对称轴共有条． 【答案】2．
2．已知：如图，菱形ABCD的对角线交于点O，且AO、BO的长分别是方程x2-2mx+4（m-1）=0的两根，菱形ABCD的周长为20，求m的值． 【答案】先解方程求得两根分别为2和（2m-2），再根据周长为20求得m的值为5． （★★★）3．菱形的周长为20cm，一条对角线长为8cm，则菱形的面积为． 【答案】24． （★★）下列命题错误的有（填写序号）． ①菱形四个角都相等． ②对角线互相垂直且相等的四边形是矩形． ③对角线互相垂直且相等的四边形是菱形． ④对角线互相平分，且每一条对角线平分一组对角的四边形是菱形． 【答案】①②③． （★★）1．已知四边形ABCD中，过点A、C分别作BD的平行线，过点B、D分别作AC的平行线，如果所作的四条直线围成一个菱形，则四边形ABCD必须是（） A．矩形B．菱形C．AC=BD的任意四边形D．平行四边形 【答案】C （★★）2．（1）用两个边长为a的等边三角形拼成的是形． （2）用两个全等的等腰三角形拼成的是形． （3）用两个全等的直角三角形拼成的是形． 【答案】（1）菱形；（2）菱形和平行四边形；（3）矩形和平行四边形． （★★）如图，在△ABC中，AB=AC，M点是BC的中点，MG⊥AB于点G，MD⊥AC于点D，GF⊥AC于点F,DE⊥AB于点E，GF与DE相交于点H，求证：四边形GMDH是菱形．
特殊的平行四边形：矩形、菱形、正方形 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 几种特殊的平行四边形：矩形、菱形、正方形 ［目标］ 1. 理解矩形、菱形的定义与性质。 2. 掌握矩形、菱形的判定方法。 二. 重点、难点： 1. 矩形、菱形性质的综合应用。特别是菱形性质和直角三角形的知识的综合应用。 2. 矩形、菱形的判定方法的综合应用。 三. 知识要点： 1. 矩形 （1）矩形的概念 有一个角是直角的平行四边形叫矩形。 （2）矩形的特殊性质 ①矩形的对角线相等 ②矩形四个角都是直角 （3）矩形性质的应用 ①矩形的一条对角线将矩形分成2个全等的直角三角形； ②矩形的2条对角线将矩形分成4个等腰三角形； ③有关矩形的问题往往可以化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决； ④矩形的面积计算公式： 宽长矩形?=S （4）矩形的判定条件 ①有三个角是直角的四边形是矩形 ②对角线相等的平行四边形是矩形 注意： 1）在判定四边形是矩形的条件中，平行四边形的概念是最基本的条件，其他的判定条件都是以它为基础的。 2）四边形只要有3个角是直角，那么根据多边形内角和性质，第四个角也一定是直角。（在判定四边形是矩形的条件中，给出“有3个角是直角”的条件，是因为数学结论的表述中一般不给出多余条件。）
3）将两个判定条件比较，后者的条件中，除了“有3个角是直角”的条件外，只要求是“四边形”，而前者的条件却包括“平行四边形”和“两条对角线相等”两个方面。 4）矩形的判定与性质的区别 2. 菱形 （1）菱形的概念 有一组邻边相等的平行四边形叫菱形。 （2）菱形的特殊性质 ①菱形的四条边都相等 ②菱形的对角线相互垂直，且每一条对角线平分一组对角 （3）菱形性质的应用 由于菱形的对角线互相垂直平分，菱形的2条对角线就将菱形分成了四个全等的直角三角形，结合图形向学生介绍菱形的一个面积计算公式。 两条对角线的乘积菱形 S 的一半 思考归纳：计算菱形的面积有哪些方法？ （4）菱形的判定条件 ①四边都相等的四边形是菱形； ②对角线互相垂直的平行四边形是菱形 （5）四边形、平行四边形、菱形之间的关系如图： 【典型例题】 例1. 等边三角形、矩形、菱形和圆中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 等边三角形和圆 B. 等边三角形、矩形、菱形 C. 菱形、矩形和圆 D. 等边三角形、菱形、矩形和圆 分析：因为等边三角形是轴对称图形而不是中心对称图形，明确了这一点，就很容易排除A 、B 、D ，只选C 了 解：菱形、矩形、圆这三种图形，都是轴对称图形，且又都是中心对称图形，故选C 。 例2. 如图，过□ABCD 的对角线的交点O 作两条互相垂直的直线EF 、GH 、分别与□ABCD 的四条边交于E 、F 和G 、H ，求证EGFH 为菱形。
菱形的判定方法的应用(1) 菱形是特殊的平行四边形，它的常用判定方法有： （1）四条边都相等的四边形是菱形； （2）有一组临边相等的平行四边形是菱形； （3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； 下面，就给同学们说说如何应用这些方法进行判定一个四边形是菱形。 一、四条边都相等的四边形是菱形 例1（08年，郴州）如图1，ΔABC 为等腰三角形，把它沿底边BC 翻折后，得到ΔDBC ．请你判断四边形ABDC 的形状，并说出你的理由． 分析：翻折就是对称，也就是全等。 解：四边形ABCD 为菱形。 理由是： 由翻折，得：△ABC ≌△DBC ． 所以，,AC CD AB BD == 因为，△ABC 为等腰三角形， 所以，AB AC = 所以，AC ＝CD ＝AB ＝BD ， 故，四边形ABCD 为菱形 点评：本题主要是应用对称的知识得出一组临边相等，在运用等腰三角形的两腰相等得到四条边都相等来解答。 二、有一组临边相等的平行四边形是菱形 例2（08年，永州）如图△ABC 与△CDE 都是等边三角形，点E 、F 分别在AC 、BC 上，且EF∥AB （1）求证：四边形EFCD 是菱形； （2）设CD ＝4，求D 、F 两点间的距离． 分析：在四边形EFCD 中，由题意我们知道有一组临边ED 和CD 相等是很容易得到的，只要在说明这个四边形是平行四边形即可以。 （1）证明： ABC Q △与CDE △都是等边三角形 ED CD ∴= 60A DCE BCA DCE ∴∠=∠=∠=∠=o AB CD DE CF ∴∥，∥ 又Q EF AB ∥ ∴EF ∥CD ， 四边形EFCD 是平行四边形， ∴平行四边形EFCD 是菱形。 （2）解：连结DF ，与CE 相交于点G 由4CD =，可知2CG = ∴224223DG =-= 43DF ∴= 点评：观察是解答问题的途径和窗口。 三、对角线互相垂直的平行四边形是菱形 例3（08年，上海）如图11，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC BD ，交于点O ，E 是BD 延长线 C A B D 图1
菱形的性质 及判定 知识点 A 要求 B 要求 Ｃ要求 菱形 会识别菱形 掌握菱形的概念、性质和判定，会用菱形的性质和 判定解决简单问题 会用菱形的知识解决有关问题 1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 2．菱形的性质 菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，?还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且四边相等． ② 角的性质：邻角互补，对角相等． ③ 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形． 菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半． 点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半． 3．菱形的判定 判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形． 判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 判定③：四边相等的四边形是菱形． 重点是菱形的性质和判定定理。菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先她是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法。菱形的这些性质和判定定理即是平行四边形性质与判定的延续，又是以后要学习的正方形 重、难点 知识点睛 中考要求
的基础。 难点是菱形性质的灵活应用。由于菱形是特殊的平行四边形，所以它不但具有平行四边形的性质，同时还具有自己独特的性质。如果得到一个平行四边形是菱形，就可以得到许多关于边、角、对角线的条件，在实际解题中，应该应用哪些条件，怎样应用这些条件，常常让许多学生手足无措，教师在教学过程 中应给予足够重视。 板块一、菱形的性质 【例1】 ☆ ⑴菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为 ⑵在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是 【例2】 ⑴如图2，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm 若墙上钉子间的距离16cm AB BC ==，则 1∠= 度． 图2 1 C B A ⑵如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=?，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若2EF =，则菱形ABCD 的边长是______． 【例3】 如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC ⊥于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ， 证明：AB 与EF 互相平分． P H F E D C B A 【例4】 ☆ 如图1所示，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，H 为AD 边中点，菱形ABCD 的 周长为24，则OH 的长等于 ． E F D B C A 例题精讲
《菱形的判定》教学设计 [教学准备] 多媒体课件、教具、圆规、直尺等。 一、教材分析 （一）教材所处的地位和作用 “菱形”是继“四边形”、“平行四边形”和“矩形”之后的一个学习内容，它是在学生掌握了平行四边形的性质与判定，又学习了特殊的平行四边形——矩形，具备了初步的观察、操作等活动经验的基础上讲授的。这一节课不仅是前面所学知识的延伸，更为探索正方形等知识指明了方向，起着承前启后的作用。因此学好四边形的内容，尤其是特殊的四边形，对学生来说，无论是进一步学习还是实际应用都是至关重要的。 （二）学情分析 八年级学生具有一定的逻辑思维能力，加之他们的动手操作能力以及合情推理能力也趋于成熟，而且学生在此前已经学习了平行四边形和矩形的有关知识，以及菱形的性质，有了一定的知识储备，在此基础上探究菱形的判定方法。在整个探究过程中，学生可加深对菱形判定方法的理解，提高了学生合情推理能力和合作交流能力。 （三）教学目标 基于以上分析，结合课标标准，我从三个方面制定了教学目标： 知识目标：经历菱形的判定方法的形成过程，掌握菱形的三种判定方法。 能力目标：通过探究菱形的判定方法，增强学生的实验、猜想、推理意识，并依据菱形的判定进行简单的说理，培养学生的逻辑推理能力。 情感态度：在探究菱形的判定方法的活动中获得成功的体验，建立自信心，学会欣赏数学美。 （四）教学重、难点 基于本节课的主要内容是围绕着菱形的判定方法而展开的，菱形的判定方法在本节课中处于核心地位，所以我确定本节课的教学重点为:菱形判定方法的探究。为突出重点，我一是立足于学生已有的数学活动经验来设计问题，二是让学生通过探索活动，经历菱形判定方法的形成过程。由于学生还没有具备辨证分析问题的能力，所以我确定本节课的教学难点是菱形判定方法的探究及灵活运用。 二、教法与学法分析
,、考点分析: 矩形、正方形和菱形是特殊的平行四边形，是考试中重 要的考 点。 二、教学目标： 1.掌握矩形、正方形和菱形的判定方法 三、教学内容 正方形巩固练习 例题1如图,正方形ABCD 勺边长为12,点E 是BC 上的一点，BE=5,点F 是BD 上 一动点?（ 1） AF 与FC 相等吗？试说明理由.（2）设折线EFC 的长为y ,试求 y 的最小值，并说明点F 此时的位置. 【解】（1） AF 与FC 相等,其理由如下： 可证：△ ABF ^△ CBF 二 AF=CF （2）连接AE,则AE 与BD 的交点就是此时F 点的位置 此时y 有最小值,最小值为.122 52 =13. 例题2 如图，正方形ABCD 中, P 是对角线AC 上一动点，PEIAB PF ⊥ BC 垂 足分别为 E 、F 小红同学发现：PD ⊥ EF ,且PD=EF 且矩形 PEBF 的周长不 变?不知小红的发现是否正确，请说说你的看法. 【解】小红的发现是正确，其理由如下： D 第28题图
连接BP,延长DP交EF于Q. （1）：四边形ABCD是正方形 ??? CB=CD∠ BCP∠ DCP=45 ???△ BCP^△DCP ??? PD=PB 又???PEIAB PF⊥ BC， ???∠ BEP=/ BFP=Z EBF=90 ,二四边形BEPF是矩形
???PB=EF,??? PD=EF (2)：PEIAB PF⊥ BC ???△ AEP^n△ CFP^均为等腰直角三角形 ??? AE=PE,CF=PF ???矩形PEBF的周长=AB+BC=2AB为定值) (3)：PF// CD ???∠ FPQ∠ PDC ???△ BCP^△ DCP ?∠PDC∠ PBF ???四边形PEBF是矩形,?∠PBF=/ PEF ?∠PEF=Z FPQ 又τ∠ PEF+∠ PFE=90 , ?∠ FPQ∠ PFE=90 ?∠PQF=90 ,??? PDL EF. 【另证】延长EP交CD于点R,则CFPF为正方形 ?可证△ PEF^△ RDF ?∠PEF=Z PDR 又τ∠ DPR∠ EPQ 而∠ PDR∠ DPR=90 ,?∠ PEF+∠ EPQ=90 ?∠EQP=90°,??? PD L EF. 课堂练习1如图1,在边长为5的正方形 ABCD 中，点E、F分别是 BC 、 DC 边上的点，且AE — EF, BE =2 (1)如图2 ,延长EF交正方形外角平分线CP于点P ,试判断AE与EP的大小关系，并说明理由； (2)在图2的AB边上是否存在一点M ,使得四边形DMEP是平行四边形? 若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由? 梯形 图1 图2
《菱形的判定》教学反思 长子二中和志军 通过公开课《菱形的判定》，结合上课的感受及我个人的反思我谈以下几点感受。 一、教材分析 菱形的判定是八年级数学中的几何知识《四边形的判定》中的非常重要的一块知识，他是学生在学习了四边形的性质及平行四边开、矩形的判定后学习的，从教材编写来看很符合学生的认识规律，这些知识的学习能够提升学生观察、分析、归纳、总结的能力，提高学生发散思维的培养，调动学生学习几何知识的乐趣。此部分知识在近几年中考中也经常有大题中渗透四边形的应用，所以这些知识的学习对初中阶段的学习相当重要，同时也为后期学习其他几何知识奠定良好的学习基础。 二、学生分析 通过上课，从课堂情况来看学生对这部分知识比较感兴趣，学生见到新的教师表现尤为兴奋，积极配合教师的教学，教师也都能恰入其分，适时激励学生，课堂气氛融洽。从整体来看有的班级学生基础不一，表现也略有不同，学生通过动手折一折、剪一剪，看一看、想一想等环节认识到了根据菱形边、角、对角线等途径探究判定菱形的方法，激发了学
生学习的热情，提高了学生归纳分析能力和应用意识。 三、教师教学设计 教师分别采用了多媒体、剪纸等开展教学，给学生以直观的图形形象，便于学生观察图形并探究图形的判定。尤其是剪纸拼一拼、折一折更能让学生通过手动操作亲身感受菱形，加深对菱形的认识，从而为菱形的判定学习有一个直观的认识。 教学能都能够根据教学设计适时、及时的追问，通过有效的问题设计激发了学生不断思考、不断探索的意识，也为本节课的成功教学打开了一扇窗。学生在听到教师的追问后都能积极动手操作和思考，这节课的教学内容还是比较多的，但各位教师都能很好的把握教学节奏，按计划完成了菱形的判定教学任务。 四、几点不足和思考 1、在引导学生探索菱形判定时注重了方法的引导，判定理定理的几何证明思路的指引，但缺乏有效的几何语言板书和描述，会导致学生感觉会了，掌握了，当让他单独解答或证明时，学生就显得不够熟悉，甚至找不到方法，无法下手。即该教师板书时还需要及时板书，不可因为教学内容多而忽视了板书的重要性。 2、教学中如果适当引导小组合作探究，可调动学生自主探索意识。在复习了菱形及性质后可说出其性质的逆命题，
菱形的判定 一、选择题 1．下列四边形中不一定为菱形的是（） A．对角线相等的平行四边形 B．每条对角线平分一组对角的四边形 C．对角线互相垂直的平行四边形 D．用两个全等的等边三角形拼成的四边形 2．四个点A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③AC⊥BD；④AD= BC； ⑤AD∥BC．这5个条件中任选三个，能使四边形ABCD是菱形的选法有（）． A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 3．菱形的周长为32cm，一个内角的度数是60°，则两条对角线的长分别是（）A．8cm和43cm B．4cm和83cm C．8cm和83cm D．4cm和43cm 二、填空题 4．如图1所示，已知□ABCD，AC，BD相交于点O，?添加一个条件使平行四边形为菱形，添加的条件为________．（只写出符合要求的一个即可） 图1 图2 5．如图2所示，D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB上的点，且DE∥AB，DF∥CA，要使四边形AFDE 是菱形，则要增加的条件是________．（只写出符合要求的一个即可） 6．菱形ABCD的周长为48cm，∠BAD： ∠ABC= 1：?2，?则BD=?_____，?菱形的面积是______．7．在菱形ABCD中，AB=4，AB边上的高DE垂直平分边AB，则BD=_____，AC=_____． 四、思考题 9．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，PD∥AC，PC∥BD，PD，PC相交于点P，四边形PCOD是菱形吗？试说明理由． ]
2、如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．求证：四边形AFCE是菱形． 3如图所示，四边形ABCD、DEBF都是矩形，AB=BF，AD、 BE相交于M，BC、DF交于N，求证：四边形BMDN是菱 形． 1、用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是 ___________ 2、有一组邻边相等的四边形是菱形（） 3、对角线互相垂直的四边形是菱形（） 4、对角线互相平分垂直的四边形是菱形（） 5、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，与AB相交于点E，DF∥AB，与AC相交于点F，试说明四边形AEDF是菱形。 反思：
菱形的判定2．2 19． 一、七彩题 于ACBD?交ABC中，∠ACB=90°，∠ABC的平分线．1（一题多解题）如图所示，△是菱形吗？请说明理E，四边形CDEFF，DE⊥AB于，点DCH⊥AB于H，且交BD于点由． C D F AB EH 二、知识交叉题 作?的中点，过点DAB=AC，D是BC2．（科内综合题）如图所示，已知△ABC中，，，垂足分别为G，FH⊥AB，再过E，F作EG⊥AC，⊥DEAB，DF⊥AC，垂足分别为EFA DK之间的关系．，试说明EF和，且EG，?FH相交于点KH GHK FE DBC 三、实际应用题．菱形以其特殊的对称美而备受人们喜爱，在生产生活中有极其广泛的应用．如图所3 AB，?，CD，DA分别是边的长方形的瓷砖，20cmE，F，G，HBC示是一块长30cm，宽的墙壁准备2.8m?4.2m，宽的中点，涂黑部分为淡蓝色花纹，中间部分为白色．现有一面长贴这种瓷 砖，试问：DAG）这面墙壁最少要贴这种瓷砖多少块？（1 HF ）全部贴满瓷砖后，这面墙壁最多会出现多少（2 其中有花纹的菱形有多少个？个面积相等的菱形？?BCE 四、经典中考题5 共页第1 页 4．（宜宾）已知：如图所示，菱形ABCD中，E，F分别是CB，CD上的点，且BE=DF．（1）试说明：AE=AF； （2）若∠B=60°，点E，F分别为BC和CD的中点，试说明：△AEF为等边三角
形． 五、探究学习篇 1．（结论开放题）如图所示，在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，且CE=CF．请你仔细观察图，除了菱形自身已经具备的性质和题目中的条件外，请你选取一个角度提出一个问 题，并加以说明． 2．阅读下列材料，完成后面的问题：如图，在ABCD中，∠BAD的平分线AE与BC相交于点E，∠ABC的平分线BF与AD相交于点F，AE?与BF?相交于点O，?求证：?四边形ABEF 是菱形． 证明：①因为四边形ABCD是平行四边形；②所以AD∥BC；③所以第2 页共5 页
5.2 菱形 教学目标 1．掌握菱形的性质，使学生能够灵活运用菱形的知识解决有关问题，提高能力. 2．经历探究菱形判定条件的过程，探索并掌握菱形的判定方法. 3．利用菱形的判定方法进行合理的论证和计算． 教学重点 1．菱形的性质. 2．菱形的判定方法． 教学难点 1．菱形的性质定理的运用. 2．探究菱形的判定条件并合理利用它进行论证和计算． 教学过程 一．以旧引新，探索菱形的性质 你能从一个平行四边形中剪出一个菱形来吗？ 学生活动，由平行四边形较短的边折叠到较长的边上，剪去不重合部分，可得到一个菱形. 有的学生可由其他方式得到一个菱形. 小组内互相交流学习， 拓展思维，并由语言叙述自己的发现，引出菱形的概念（尽量由学生归纳）. 两组邻边相等 菱形的概念：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 菱形也是特殊的平行四边形，它有平行四边形的性质： ①对角相等；②对边相等；③对角线互相平分. 它特有的性质:①四条边相等；②对角线互相垂直，并且每条对角戏平分一组对角.
例1 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BAC=30°，BD=6.求菱形的边长和对角线AC的长. 二.探究菱形的判定条件 生：可以用菱形的概念判定．也就是说：有一组邻边相等的平行四边形是菱形． 师：很好．大家再用类比的方法想一想，受矩形的判定条件的启发，你对菱形的判定条件有什么猜想． 师：提出作图要求： 1．按要求画出四边形ABCD，发现它是菱形，产生直观感受． 2．证明四边形ABCD是菱形． 师生总结：得菱形的第一个判定方法： 判定定理1：四边相等的四边形是菱形． 生甲：矩形的定义是在四边形的基础上限制角，于是有“三个角是直角的四边形是矩形”；菱形的定义是在四边形的基础上限制边，是不是可以得到：“四条边相等的四边形是菱形”呢？ 生乙：矩形的对角线相等，于是有对角线相等的平行四边形是矩形；菱形的对角线互相垂直，是不是可以猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 师：猜得有理．下面请大家做一做，看有什么新发现． 操作要求： 用一长一短的两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉；做成一个可转动的十字，四周围上一根橡皮筋（如图a），做成一个四边形，转动木条，这个四边形什么时候变成菱形？ 学生活动： 通过操作、观察、思考、讨论最后发现并证明猜想和观察到的结论．
初三数学 菱形的判定 、教学目标: 1、掌握菱形的判定方法。 2、能运用菱形的判定方法解决有关冋题。 二、教学重点：熟练掌握菱形的判定方法 教学难点：能运用菱形的判定方法解决有关问题。 三、教学过程 (一)复习回顾：菱形的特征 (1)_____________________ 对边_____________________，四条边都 (2)_______________ 对角。 (3)____________________ 对角线___________________________ ，对角线分别这节课我们来探索从平行四边形出发，加上什么条件可以得到菱形： (二)讲授新课 1、菱形的识别： 方法一：有一组邻边______________ 的平行四边形是菱形。(定义) 几何语言：：乎BCD中，A吐 _________ 严BCD是。 下面请用菱形的定义来证明“对角线互相垂直的平行四边形是菱形” 已知：如图，________________________________________ 求证：______________________________________________ 证明： 方法二：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 (即：平行四边形+对角线菱形 几何语言：如图??? MBCD中，丄 二.ABCD 是。 方法三：四条边都的四边形是菱形。 几何语言：???四边形ABCD中, AB BC CD DA ???四边形ABCD是菱形。 小结：判定一个图形是菱形的方法： (1) __________________________________ 平行四边形+ 菱形 (2) __________________________________ 平行四边形+ 菱形 (3) _______________________ 的四边形—菱形