菱形复习中难题含答案
1．菱形的概念：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
2．菱形的性质
（1）具有平行四边形的一切性质
（2）菱形的四条边相等
（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
（4）菱形是轴对称图形
3．菱形的判定
（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形
（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形
（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
4．菱形的面积
S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半
（★★）若菱形的一条对角线与边的夹角为25°，则这个菱形各内角的度数
为．
【答案】50°、130°、50°、130°．
（★★）1．菱形ABCD的周长为20，两对角线长3：4，则菱形的面积为．
【答案】24．
（★★）2．如图，E、F分别为菱形ABCD中BC、CD边上的点，△AEF是等边三角形，且AE=AB，求∠B和∠C的度数．
F
E
D
C
B
A
【答案】利用三角形内角和180度和同旁内角互补来解决问题，易得∠B=80°和∠C=100°．
（★★）菱形的两条对角线与各边一起围成三角形中，共有全等的等腰三角形的对数是．
【答案】4．
（★★）用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（）．A．一组临边相等的四边形是菱形
B．四边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
D
C
B
A
（★★★）若菱形一边上的高的垂足是这边的中点，则这个菱形的最大内角是．
答案：120°．
（★★★）1．菱形的对称轴共有条．
【答案】2．
2．已知：如图，菱形ABCD的对角线交于点O，且AO、BO的长分别是方程x2-2mx+4（m-1）=0的两根，菱形ABCD的周长为20，求m的值．
【答案】先解方程求得两根分别为2和（2m-2），再根据周长为20求得m的值为5．
（★★★）3．菱形的周长为20cm，一条对角线长为8cm，则菱形的面积为．
【答案】24．
（★★）下列命题错误的有（填写序号）．
①菱形四个角都相等．
②对角线互相垂直且相等的四边形是矩形．
③对角线互相垂直且相等的四边形是菱形．
④对角线互相平分，且每一条对角线平分一组对角的四边形是菱形．
【答案】①②③．
（★★）1．已知四边形ABCD中，过点A、C分别作BD的平行线，过点B、D分别作AC的平行线，如果所作的四条直线围成一个菱形，则四边形ABCD必须是（）
A．矩形B．菱形C．AC=BD的任意四边形D．平行四边形
【答案】C
（★★）2．（1）用两个边长为a的等边三角形拼成的是形．
（2）用两个全等的等腰三角形拼成的是形．
（3）用两个全等的直角三角形拼成的是形．
【答案】（1）菱形；（2）菱形和平行四边形；（3）矩形和平行四边形．
（★★）如图，在△ABC中，AB=AC，M点是BC的中点，MG⊥AB于点G，MD⊥AC于点D，GF⊥AC于点F,DE⊥AB于点E，GF与DE相交于点H，求证：四边形GMDH是菱形．
H
D
M
F
E
G
C
B
A
【答案】证明：先证明四边形GMDH是平行四边形，利用等腰三角形底边中点到两腰的距离相等得出四边形GMDH是菱形．
（★★）在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分别是AD、DC边上的点，∠EBF=60°．
（1）判定△BEF的形状；
（2）证明你的结论．
D F
E
C
B
A
【答案】联结BD，易证ABE DBF
?
△△，故BEF
△是等边三角形．
（★★★）在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，从(1)AB=CD；
(2)AB∥CD；(3)OA=OC；(4)OB=OD；(5)AC⊥BD；(6)AC平分∠BAD
这六个条件中，选取三个推出四边形ABCD是菱形。如(1)(2)(5)?ABCD是菱形，再写出符合要求的两个：________?ABCD是菱形；________?ABCD是菱形。
【答案】（1）（2）（6）或（3）（4）（5）或（3）（4）（6）
（★★★）□ABCD的对角线相交于点O，分别添加下列条件：
①AC⊥BD；②AB=BC；③AC平分∠BAD ④AO=DO，
使得□ABCD是菱形的条件有（）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【答案】C．
（★★★）下列图形中，不一定为菱形的是（）．
A．两条对角线互相垂直平分的四边形
B．四条边都相等的四边形
C．有一条对角线平分一个内角的平行四边形
D．用两个边长相等的等边三角形拼成的图形
【答案】D．
（★★★）1．如图，在ABC
△中，点E D F
，，分别在边AB，BC，CA上，
且DE CA
∥，DF BA
∥．下列四个判断中，不正确
．．．
的是（）
A．四边形AEDF是平行四边形
B．如果90
BAC
∠=，那么四边形AEDF是矩形
C．如果AD平分BAC
∠，那么四边形AEDF是菱形
D．如果AD BC
⊥且AB AC
=，那么四边形AEDF是矩形
【答案】D．
（★★★）2．如图，矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB、CD的延长线分别交于E、F．
（1）求证：△DOE≌△BOF；
（2）当EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是菱形，并证明你的结论．
O
E
F
C
B
A
Ａ
Ｆ
Ｃ
Ｄ
Ｅ
【答案】（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴OD＝OB，AB∥CD ,
∴∠E＝∠F，
∵∠DOE＝∠BOF
∴△DOE≌△BOF ．
(2)当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形，
利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形的判定定理即可证明．
1．熟练掌握菱形的概念、性质和判定是解题的关键，也是区别矩形、正方形的基础．
2．几何证明需要读题仔细，挖掘隐含的结论从而推导结论．
3．要想真正学好四边形，需要一定的练习量才能产生质变．
1．下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（）．
A．AC⊥BD，AC与BD互相平分B．AB=BC=CD=DA
C．AB=BC，AD=CD，且AC⊥BD D．AB=CD，AD=BC，AC⊥BD
2．已知点A、B、C、D在同一平面内，下面列有6个条件：①AB∥CD，②AB=CD，③BC
∥CD，④BC=AD，⑤AC⊥BD，⑥AC平分∠DAB与∠DCB．从这6个条件中选出（直接填写
序号）___________3个，能使四边形ABCD是菱形．
3．已知：如图，在ABCD中，O为AC的中点，过点O作AC的垂线，与AD、BC相交于
点E、F，求证：四边形AFCE是菱形．
4．已知：如图，在ABCD中，AE平分∠BAD，与BC相交于点E，EF∥AB，与AD相交于
点F，求证：四边形ABEF是菱形．
5．如图，将一X矩形纸片ABCD先折出一条对角线AC，再将点A与点C重合折出折痕EF，
O
B
A
C
E D
https://www.doczj.com/doc/0c8663994.html,
F
B
A
C
E
D
F
最后分别沿AE 、CF 折叠．得到的四边形AECF 是什么样的四边形？试证明你的猜想．与第3题对照，你有什么发现？
6．结合所给的图形，编一道几何证明题，证明四边形AEDF 是菱形．并利用所给的条件，写出“已知”“求证”和“证明”的过程．
7．已知：如图，四边形ABCD 是菱形，∠ABC=30°，求证：BD AC AB ?=2
．
8．已知，如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于点D ，BE 平分∠ABC 交AD 于点M ，AN 平分∠DAC ，交BC 于点N ．求证：四边形AMNE 是菱形．
B
A
C
E D
F
B
A C
E
D
F B
A
D
https://www.doczj.com/doc/0c8663994.html,
答案： 1．C 2．（答案不惟一，只要正确即可）①②⑤或③④⑤等． 3．可证出△AEO ≌△CFO ，得AE=CF ．再由AC 是EF 的垂直平分线，得EC=EA ，AF=CF ． 由此得EC=AF=CF ，所以四边形AFCE 是菱形．
4．先证四边形ABEF 是平行四边形，再由AE 平分∠BAF ，?得∠FAE=?∠BAE ． 又由∠FAE=∠AEB ，得∠BAE=∠BEA ，所以AB=BE ，所以ABEF 是菱形． 5．四边形AECF 是菱形，无论原图形是什么图形，只要能得到平行四边形， 在此基础上满足“对角线相互垂直”，该平行四边形就一定是菱形． 6．（答案不惟一，只要合理，符合题意即可）略．
7. 过点C 作CE ⊥BA ，垂足为E ．在Rt △BEC 中，∠ABC=30°，
∴BC EC 21
=
，∵四边形ABCD 为菱形， ∴AB EC 21=．2
2121AB AB AB EC AB S =?=?=菱形．
又∵BD AC S ?2
1菱形，∴BD AC AB ?=2
．
8.证明：∵AD ⊥BC ，∴∠BDA=90°，∵∠BAC=90°， ∴∠ABC+∠C=90°，∠ABC+∠BAD=90°，∴∠BAD=∠C ， ∵AN 平分∠DAC ，∴∠CAN=∠DAN ，
∵∠BAN=∠BAD+∠DAN ，∠BNA=∠C+∠CAN ，∴∠BAN=∠BNA ， ∵BE 平分∠ABC ，∴BE ⊥AN ，OA=ON ，同理：OM=OE ，
∴四边形AMNE 是平行四边形，∴四边形AMNE 是菱形。
知识结构
菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
菱形的性质：
1、菱形具有平行四边形的所有性质：
2、菱形的性质定理1 菱形的四条边都相等．
菱形的性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．菱形的对称性菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形．
菱形的面积等与对角线乘积的一半
菱形的判定定理：
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。（定义作为第一判定）
四条边相等的四边形是菱形．
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
一、菱形的性质
例题1
菱形的周长是它的高的8倍，则菱形较小的一个角为（）(★★)
A．60°B．45°C．30°D．15°
解答方法：菱形的周长为边长的4倍，
又∵菱形周长为高的8倍，
∴AB=2AE，
∵△ABE为直角三角形，
∴∠ABC=30°．
故选C．
答案：C
本题考查了菱形各边长相等的性质，考查了直角三角形中的特殊角，本题中根据特殊角求得∠ABC=30°是解题的关键．
我来试一试！
菱形的一条对角线与边长相等，则菱形中较小的内角是（ ）(★★) A ． 60°
B ． 15°
C ． 30°
D ． 90°
解答方法：因为菱形的一条对角线与边长相等，所以该对角线和菱形的两边组成的是等边三
角形，
可得该菱形较小内角的度数是60°． 解答：A
如果菱形的周长等于一条对角线长的4倍，那么这个菱形较小的一个内角等于度．(★★) 解答方法：∵菱形的周长等于一条对角线长的4倍， ∴AB=BD=AD ，
∴△ABD 是等边三角形， ∴∠A=60°．
即这个菱形较小的一个内角等于60°． 解答：60
例题2
已知：如图，四边形ABCD 是菱形，F 是AB 上一点，DF 交AC 于E ．求证：∠AFD=∠CBE ． (★★)
答案：证明：∵ 四边形ABCD 是菱形， ∴BCD CA CD CB ∠=平分,．
∴CE CE DCE BCE =∠=∠又., ∴△BCE ≌△COB （SAS ）． ∴∠CBE=∠CDE ．
∵在菱形ABCD中，AB∥CD，∴∠AFD=∠FDC
∴∠AFD=∠CBE．
通过菱形的基本性质可以得到三角形全等，进而推出对应角相等，然后利用平行内错角相等进行转化即可得到要证明的结论。
我来试一试！
1、如图，在菱形ABCD中，E为AD中点，EF⊥AC交CB的延长线于F．
求证：AB与EF互相平分．（★★）
解题分析：连接BD，AF，BE，
在菱形ABCD中，AC⊥BD
∵EF⊥AC，
∴EF∥BD，又ED∥FB，
∴四边形EDBF是平行四边形，DE=BF，
∵E为AD的中点，
∴AE=ED，∴AE=BF，
又AE∥BF，
∴四边形AEBF为平行四边形，
即AB与EF互相平分．
2、已知：如图，菱形ABCD中，过AD的中点E作AC的垂线EF，交AB于点M，交CB的延长线于点F．如果FB的长是2，求菱形ABCD的周长．（★★）
解答方法：连接BD．∵在菱形ABCD中，
∴AD∥BC，AC⊥BD．
又∵EF⊥AC，
∴BD∥EF．
∴四边形EFBD为平行四边形．
∴FB=ED=2．
∵E是AD的中点．
∴AD=2ED=4．
∴菱形ABCD的周长为4×4=16．
例题3
如图，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠B=∠EAF=60°，
∠BAE=18°，
则∠CEF= _________ ．（★★★）
解题分析：连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，
∵∠B=∠EAF=60°，∴△ABC是等边三角形，∠BCD=120°，
∴AB=AC，∠B=∠ACF=60°，
∵∠BAE+∠EAC=∠FAC+∠EAC，∴∠BAE=∠FAC，
∴
∴△ABE≌△ACF，（ASA）∴AE=AF，
又∵∠EAF=∠D=60°，∴△AEF是等边三角形，
∴∠AFE=60°，又∠AEC=∠B+∠BAE=78°，
则∠CEF=78°﹣60°=18°．
故答案为：18°．
答案：18°
答案：18°
菱形的性质定理1 菱形的四条边都相等．
菱形的性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
我来试一试！
如图，在菱形ABCD中，∠B=∠EAF=60°，∠BAE=20°，则∠CEF的大小为_________．（★★★）
解答方法：连接AC，
在菱形ABCD中，AB=CB，∵∠B=60°，
∴∠BAC=60°，△ABC是等边三角形，
∵∠EAF=60°，∴∠BAC﹣∠EAC=∠EAF﹣∠EAC，即：∠BAE=∠CAF，
在△ABE和△ACF中，，
∴△ABE≌△ACF（ASA），∴AE=AF，
又∠EAF=∠D=60°，则△AEF是等边三角形，
∴∠AFE=60°，又∠AEC=∠B+∠BAE=80°，
则∠CEF=80°﹣60°=20°．
故答案为20°．
例题4
如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，DF∥AB．求证：四边形AEDF是菱形．（★★）解答分析：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD=∠FAD，
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，∠EAD=∠ADF，
∴∠FAD=∠FDA
∴AF=DF，
∴四边形AEDF是菱形．
菱形的判定定理：
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。（定义作为第一判定）
四条边相等的四边形是菱形．
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
我来试一试！
如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是为E 、F，并且DE=DF．求证：四边形ABCD是菱形．（★★）
解题分析：在△ADE和△CDF中，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，
∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°．
又∵DE=DF，
∴△ADE≌△CDF（AAS）∴DA=DC，
∴平行四边形ABCD是菱形．
例题5
（2014秋?胶南市校级期末）如图：在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC 于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F．
求证：四边形AEFG是菱形．
考点：菱形的判定；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质．
专题：证明题．
分析：根据三角形内角和定理求出∠B=∠CAD，根据角平分线性质求出AE=EF，由勾股定理求出AC=CF，证△ACG≌△FCG，推出∠CAD=∠CFG，得出∠B=∠CFG，推出GF∥AB，AD∥EF，得出平行四边形，根据菱形的判定判断即可．
解答：证明：证法一：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，∠BAD+∠CAD=90°，
∴∠B=∠CAD，
∵CE平分∠ACB，EF⊥BC，∠BAC=90°（EA⊥CA），
∴AE=EF（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∵CE=CE，
∴由勾股定理得：AC=CF，
∵△ACG和△FCG中
，
∴△ACG≌△FCG，
∴∠CAD=∠CFG，
∵∠B=∠CAD，
∴∠B=∠CFG，
∴GF∥AB，
∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴AD∥EF，
即AG∥EF，AE∥GF，
∴四边形AEFG是平行四边形，
∵AE=EF，
∴平行四边形AEFG是菱形．
证法二：∵AD⊥BC，∠CAB=90°，EF⊥BC，CE平分∠ACB，
∴AD∥EF，∠4=∠5，AE=EF，
∵∠1=180°﹣90°﹣∠4，∠2=180°﹣90°﹣∠5，
∴∠1=∠2，
∵AD∥EF，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴AG=AE，
∵AE=EF，
∴AG=EF，
∵AG∥EF，
∴四边形AGFE是平行四边形，
∵AE=EF，
∴平行四边形AGFE是菱形．
点评：本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定的应用，通过做此题培养了学生的推理能力，题目比较好，综合性也比较强．
菱形的判定定理：
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。（定义作为第一判定）
四条边相等的四边形是菱形．
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
我来试一试！
如图，△ABC中，∠BAC=90°，BG平分∠ABC，GF⊥BC于点F，AD⊥BC于点D，交BG于点E，连接EF．求证：①AE=AG；②四边形AEFG为菱形．（★★）
解答方法：①∵BG平分∠ABC，
∴∠ABE=∠DBE，
∵∠ABE+∠AGE=90°，∠EBD+∠DEB=90°，∠GEA=∠BED，
∴∠AEG=∠EGA，
即AG=AE．
②∵GF⊥BC于点F，AD⊥BC于点D，BG平分∠ABC，
∴AD∥GF，AG=GF，
又∵AG=AE，∴AE=GF，
∴四边形AEFG是平行四边形，
又∵AG=AE，
∴四边形AEFG为菱形
1.（2015?）如图1，在△ABC和△EDC中，AC=CE=CB=CD；∠ACB=∠DCE=90°，AB与CE交于F，ED与AB，BC，分别交于M，H．
（1）求证：CF=CH；
（2）如图2，△ABC不动，将△EDC绕点C旋转到∠BCE=45°时，试判断四边形ACDM是什么四边形？并证明你的结论．
考点：菱形的判定；全等三角形的判定与性质．
专题：几何综合题．
分析：（1）要证明CF=CH，可先证明△BCF≌△ECH，由∠ABC=∠DCE=90°，AC=CE=CB=CD，可得∠B=∠E=45°，得出CF=CH；
（2）根据△EDC绕点C旋转到∠BCE=45°，推出四边形ACDM是平行四边形，由AC=CD 判断出四边形ACDM是菱形．
解答：（1）证明：∵AC=CE=CB=CD，∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠A=∠B=∠D=∠E=45°．
在△BCF和△ECH中，，
∴△BCF≌△ECH（ASA），
∴CF=CH（全等三角形的对应边相等）；
（2）解：四边形ACDM是菱形．
证明：∵∠ACB=∠DCE=90°，∠BCE=45°，
∴∠1=∠2=45°．
∵∠E=45°，
∴∠1=∠E，
∴AC∥DE，
∴∠AMH=180°﹣∠A=135°=∠ACD，
又∵∠A=∠D=45°，
∴四边形ACDM是平行四边形（两组对角相等的四边形是平行四边形），
∵AC=CD，
∴四边形ACDM是菱形．
点评：菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：
①定义；
②四边相等；
③对角线互相垂直平分．具体选择哪种方法需要根据已知条件来确定．
2.（2015?黄冈模拟）已知：如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF．
求证：四边形BCFE是菱形．
考点：菱形的判定．
专题：证明题．
分析：由题意易得，EF与BC平行且相等，∴四边形BCFE是平行四边形．又EF=BE，∴四边形BCFE是菱形．
解答：解：∵BE=2DE，EF=BE，
∴EF=2DE．
∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴BC=2DE且DE∥BC．
∴EF=BC．
又EF∥BC，
∴四边形BCFE是平行四边形．
又EF=BE，
∴四边形BCFE是菱形．
点评：此题主要考查菱形的判定，综合利用了平行四边形的性质和判定．
3（2014?XX县模拟）如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB延长线于E，CF⊥AD交AD 延长线于F，
求证：CE=CF．
考点：菱形的性质；角平分线的性质．
专题：证明题．
分析：连接AC，根据菱形的性质可得AC平分∠DAE，再根据角平分线的性质可得CE=FC．解答：证明：连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC平分∠DAE，
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE=FC．
点评：此题主要考查了菱形的性质，以及角平分线的性质，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
一、能力检测
（2014?XX质检）如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD=16，点O是直线BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥AD于
F．
（1）对角线AC的长是12 ，菱形ABCD的面积是96 ；
（2）如图1，当点O在对角线BD上运动时，OE+OF的值是否会发生变化？请说明理由；（3）如图2，当点O在对角线BD的延长线上时，OE+OF的值是否会发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请探究OE、OF之间的数量关系，并说明理由．
考点：菱形的性质．
分析：（1）连接AC与BD相交于点G，根据菱形的对角线互相垂直平分求出BG，再利用勾股定理列式求出AG，然后根据AC=2AG计算即可得解；再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解；
（2）连接AO，根据S△ABD=S△ABO+S△ADO列式计算即可得解；
（3）连接AO，根据S△ABD=S△ABO﹣S△ADO列式整理即可得解．
解答：解：（1）如图，连接AC与BD相交于点G，
在菱形ABCD中，AC⊥BD，BG=BD=×16=8，
菱形复习中难题含答案 1．菱形的概念：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 2．菱形的性质 （1）具有平行四边形的一切性质 （2）菱形的四条边相等 （3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 （4）菱形是轴对称图形 3．菱形的判定 （1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形 （2）定理1：四边都相等的四边形是菱形 （3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 4．菱形的面积 S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半 （★★）若菱形的一条对角线与边的夹角为25°，则这个菱形各内角的度数 为． 【答案】50°、130°、50°、130°． （★★）1．菱形ABCD的周长为20，两对角线长3：4，则菱形的面积为． 【答案】24． （★★）2．如图，E、F分别为菱形ABCD中BC、CD边上的点，△AEF是等边三角形，且AE=AB，求∠B和∠C的度数．
F E D C B A 【答案】利用三角形内角和180度和同旁内角互补来解决问题，易得∠B=80°和∠C=100°． （★★）菱形的两条对角线与各边一起围成三角形中，共有全等的等腰三角形的对数是． 【答案】4． （★★）用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（）．A．一组临边相等的四边形是菱形 B．四边相等的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 D C B A （★★★）若菱形一边上的高的垂足是这边的中点，则这个菱形的最大内角是． 答案：120°． （★★★）1．菱形的对称轴共有条． 【答案】2．
2．已知：如图，菱形ABCD的对角线交于点O，且AO、BO的长分别是方程x2-2mx+4（m-1）=0的两根，菱形ABCD的周长为20，求m的值． 【答案】先解方程求得两根分别为2和（2m-2），再根据周长为20求得m的值为5． （★★★）3．菱形的周长为20cm，一条对角线长为8cm，则菱形的面积为． 【答案】24． （★★）下列命题错误的有（填写序号）． ①菱形四个角都相等． ②对角线互相垂直且相等的四边形是矩形． ③对角线互相垂直且相等的四边形是菱形． ④对角线互相平分，且每一条对角线平分一组对角的四边形是菱形． 【答案】①②③． （★★）1．已知四边形ABCD中，过点A、C分别作BD的平行线，过点B、D分别作AC的平行线，如果所作的四条直线围成一个菱形，则四边形ABCD必须是（） A．矩形B．菱形C．AC=BD的任意四边形D．平行四边形 【答案】C （★★）2．（1）用两个边长为a的等边三角形拼成的是形． （2）用两个全等的等腰三角形拼成的是形． （3）用两个全等的直角三角形拼成的是形． 【答案】（1）菱形；（2）菱形和平行四边形；（3）矩形和平行四边形． （★★）如图，在△ABC中，AB=AC，M点是BC的中点，MG⊥AB于点G，MD⊥AC于点D，GF⊥AC于点F,DE⊥AB于点E，GF与DE相交于点H，求证：四边形GMDH是菱形．
八下数学每日一练：菱形的判定与性质练习题及答案_2020年单选题版答案答案答案2020年八下数学：图形的性质_四边形_菱形的判定与性质练习题 ~~第1题~~ (2019西湖.八下期末) 如图，分别以Rt △ABC 的斜边AB ，直角边AC 为边向外作等边△ABD 和△ACE ，F 为AB 的中点，DE ，AB 相交于点G ．连接EF ，若∠BAC ＝30°，下列结论：①EF ⊥AC ；②四边形ADFE 为菱形；③AD ＝4AG ；④△ DBF ≌△EFA ．则正确结论的序号是（ ） A . ①③ B . ②④ C . ①③④ D . ②③④ 考点： 线段垂直平分线的判定;全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质;直角三角形斜边上的中线;菱形的判定与性质; ~~第2题~~ (2019嘉兴.八下期末) 如图，将平行四边形纸片ABCD 折叠，使顶点D 恰好落在AB 边上的点M 处，折痕为AN ，那么对于结论 :①MN ∥BC ，②MN=AM.下列说法正确的是( ) A . ①②都错 B . ①对②错 C . ①错②对 D . ①②都对 考点： 平行四边形的性质;菱形的判定与性质;翻折变换（折叠问题）;~~第3题~~ (2019淮安.八下期中) 下列命题是真命题的是( ) A . 四边都相等的四边形是矩形 B . 菱形的对角线相等 C . 对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D . 顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形 考点： 菱形的判定与性质;矩形的判定;正方形的判定;~~第4题~~ (2019淮安.八下期中) 如图，△ABC 是边长为1的等边三角形，分别取AC ，BC 边的中点D ，E ，连接DE ，作EF ∥AC 得到四边形EDAF ，它的周长记作C ；分别取EF ，BE 的中点D ， E ， 连接D E ， 作E F ∥EF ，得到四边形E D FF ，它的周长记作C 照此规律作下去，则C 等于( ) A . B . C . D . 111111*********
菱形的判定专项练习30题（有答案） 1．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BA=AD=DC=BC，点E为BC的中点． （1）求证：四边形ABED是菱形； （2）过A点作AF⊥BC于点F，若BD=4cm，求AF的长． 2．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC⊥BD．点M，N分别在BD、AC上，且AO=ON=NC，BM=MO=OD． 求证：BC=2DN． 3．如图，在△ABC中，AB=AC，D，E，F分别是BC，AB，AC的中点． （1）求证：四边形AEDF是菱形； （2）若AB=12cm，求菱形AEDF的周长． 4．如图，在?ABCD中，EF∥BD，分别交BC，CD于点P，Q，交AB，AD的延长线于点E，F．已知BE=BP．求证：（1）∠E=∠F； （2）?ABCD是菱形． 菱形的判定--- 1
5．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，AF与CE的延长线相交于点F，连接BF． （1）求证：AF=DC； （2）若∠BAC=90°，求证：四边形AFBD是菱形． 6．已知平行四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，求证：四边形ABCD是菱形． 7．如图，在一个含30°的三角板ABC中，将三角板沿着AB所在直线翻转180°得到△ABF，再将三角板绕点C顺时针方向旋转60°得到△DEC，点F在AC上，连接AE． （1）求证：四边形ADCE是菱形． （2）连接BF并延长交AE于G，连接CG．请问：四边形ABCG是什么特殊平行四边形？为什么？ 8．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是为E F，并且DE=DF．求证：四边形ABCD是菱形． 9．如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E，以AD，AE为边作?ADFE交BC于点G，H，且EH=EC． 求证：（1）∠B=∠C； （2）?ADFE是菱形． 菱形的判定--- 2
菱形的判定 一、教学目标：经历菱形的判定方法的探究过程,掌握菱形的三种判定方法. 二、教学重点:菱形判定方法的探究. 三、教学难点:菱形判定方法的探究及灵活运用. 四、教学过程: 活动1、引入新课，激发兴趣 1、复习 （1）菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形。 （2）菱形的性质1 菱形的两组对边分别平行，四条边都相等； 性质2 菱形的两组对角分别相等，邻角互补； 性质3 菱形的两条对角线互相平分，菱形的两条对角线互相 垂直，且每一条对角线平分一组对角。 2、导入 (1)如果一个四边形是一个平行四边形，则只要再有什么条件就可以判定它是一个菱形？依据是什么？ 根据菱形的定义可知： 一组邻边相等的平行四边形是菱形. 所以只要再有一组邻边相等的条件即可. (2)要判定一个四边形是菱形，除根据定义判定外，还有其它的判定方法吗？活动2、探究与归纳菱形的第二个判定方法 【问题牵引】 用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉子，做成一个可转动的十字架，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形。 问: 任意转动木条，这个四边形总有什么特征？你能证明你发现的结论吗？ 继续转动木条，观察什么时候橡皮筋周围的四边形变成菱形？你能证明你的猜想吗？
学生猜想:对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 教师提问：这个命题的前提是什么？结论是什么？ 学生用几何语言表示命题如下： 已知：在□ABCD 中，对角线AC ⊥BD ， 求证：□ABCD 是菱形。 分析：我们可根据菱形的定义来证明这个平行四边形是菱形，由平行四边形的性质得到BO=DO ，由∠AOB=∠AOD=90o及AO=AO ，得ΔAOB ≌ΔAOD ，可得到AB=AD (或根据线段垂直平分线性质定理,得到AB=AD) ，最后证得□ABCD 是菱形。 【归纳定理】 通过探究和进一步证明可以归纳得到菱形的第二个判定方法(判定定理1): 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 提示：此方法包括两个条件——（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直。对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。 活动3、菱形第二个判定方法的应用 例3 如图，如图，□ABCD 的对角线AC 、BD 相交 于点O ，且AB=5，AO=4，BO=3，求证：□ABCD 是菱形。 思路点拨：由于平行四边形对角线互相平分，构 成了△ABO 是一个三角形，?而AB=5，AO=4，BO=3，由勾股定理的逆定理可知∠AOB=90°，证出对角线互相垂直，这样可利用菱形第二个判定方法证得。 活动4、探究与归纳菱形的第三个判定方法 【操作探究】过程: 先画两条等长的线段AB 、AD ，然后分别以B 、D 为圆心，AB 为半径画弧，得到两弧的交点C ，连接BC 、CD ，就得到了一个四边形，提问：观察画图的过程，你能说明得到的四边形为什么是菱形吗?你能得到什么结论? 学生观察思考后，展开讨论，指出该四边形四条边相等，即有两组对边相等，它首先是一个平行四边形，又有一组邻边相等，根据菱形定义即可判定该四边形是菱形。得出从一般的四边形直接判定菱形的方法：四边相等的四边形是菱形。 O D C B A
22．3（3）矩形、菱形的判定 教学目标 1．经历从特殊的平行四边形的性质逆向探索特殊的平行四边形判定方法的过程，掌握矩形、菱形的常用判别方法，并能运用这些知识进行有关的证明和计算． 2．通过矩形、菱形判定的探索过程，积累数学活动的经验，提高合情推理能力；结合性质和判定定理以及相关问题的证明，进一步发展逻辑思维能力和提高推理论证的表达能力． 教学重点及难点 掌握矩形、菱形的判定，知道它们之间的关系以及与平行四边形的关系．进一步发展逻辑思维能力和提高推理论证的表达能力． 教学用具准备 课件 教学过程设计 一、温故知新 1．平行四边形的判定 (5个方法) 2．矩形、菱形的性质复习——有别于平行四边形的特殊性质： [及矩形、菱形作为特殊的平行四边形的特殊性质回顾；便于本节课的顺利开展． 二、矩形、菱形的判定探讨 思考： 如何从矩形、菱形特殊的性质出发，得出矩形、菱形的判定？ 定义可以作为第一条判定： 即：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 有一组邻边相等的平行四边形是菱形． [说明] 定义是作为判定的第一依据，因此，所有的定义都可以作为第一个判定 方法． 其他方法呢？ “1）从边；2）从角；3）从对角线”的角度考虑． 1．矩形： ——矩形的特殊性在于直角和对角线 不妨给出关于矩形判定的命题：（讨论、交流） 比如：四个角是直角的四边形是矩形．
三个角是直角的四边形是矩形． 对角线相等的平行四边形是矩形．…… 分析上述给出的命题，证明讨论； 得出矩形的判定定理：三个角是直角的四边形是矩形． 对角线相等的平行四边形是矩形． 2．菱形： ——类似矩形进行讨论． 并得出菱形的判定定理：四条边相等的四边形是菱形． 对角线互相垂直的平行四边形是菱形． [说明]作为特殊的平行四边形，矩形、菱形在角、边、对角线方面都有特殊的性质．因此，引导学生不妨就从其特殊性开始考虑．矩形详加探究之后，对应得到菱形的判定方法． 3．总结矩形菱形的判定 形出发作一总结；上课时，借助PPT ，缓缓放出本课结论，有不错的效果． 三、定理运用， 1．例题选讲 例1：如图：矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E,F,G,H 分别 在AO,BO,CO,DO 上，且AE=BF=CG=DH. 求证：四边形EFGH 是矩形. 分析：首先，矩形的判定方法有哪些？ 其次，本题可以用哪种方法？ 过程说理. 例2：已知如图：EF 是□ABCD 的对角线AC 的垂直平分线，EF 与边AD,BC 分别交 于点E,F. 求证：四边形AECF 是菱形 O H G F E D C B A O E D A
菱形的判定2 一、选择题 1、在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（﹣2，0），C（0，﹣2），D（2，0），则以这四个点为顶点的四边形ABCD是（） A、矩形 B、菱形 C、正方形 D、梯形 2如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为（） ①AC⊥BD；②∠BAD=90°；③AB=BC；④AC=BD． A、①③ B、②③ C、③④ D、①②③ 3、能判定一个四边形是菱形的条件是（） A、对角线相等且互相垂直 B、对角线相等且互相平分 C、对角线互相垂直 D、对角线互相垂直平分 4、四边形的四边长顺次为a、b、c、d，且a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad，则此四边形一定是（） A、平行四边形 B、矩形 C、菱形 D、正方形 填空 1、如图，如果要使平行四边形ABCD成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是_________． 2、如图，平行四边形ABCD中，AF、CE分别是∠BAD和∠BCD的角平分线，根据现有的图形，请添加一个条件，使 四边形AECF为菱形，则添加的一个条件可以是_________．（只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线”） 3、在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，从（1）AB=CD；（2）AB∥CD；（3）OA=OC；（4）OB=OD；（5）AC⊥BD；（6）AC平分∠BAD这六个条件中，选取三个推出四边形ABCD是菱形．如（1）（2）（5）=＞ABCD是菱形，再写出符合要求的两个：_________=＞ABCD是菱形；_________=＞ABCD是菱形
三、解答题（共11小题） 1、如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连接AD，在AD的延长线上取一点E，连接BE， CE． （1）求证：△ABE≌△ACE； （2）当AE与AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是菱形？并说明理由． 2、如图，在?ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，连接DE、BF、BD． （1）求证：△ADE≌△CBF． （2）若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论． 3、（2007?娄底）如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F． （1）求证：AE=DF； （2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由． 4、（2011?常州）已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=CD，AD⊥BD，E为AB中点，求证：四边形BCDE是菱形． 5、如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC与DB交于点M． （1）求证：△ABC≌△DCB； （2）过点C作CN∥BD，过点B作BN∥AC，CN与BN交于点N，试判断线段BN与CN的数量关系，并证明你的结论．
菱形的判定方法的应用(1) 菱形是特殊的平行四边形，它的常用判定方法有： （1）四条边都相等的四边形是菱形； （2）有一组临边相等的平行四边形是菱形； （3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； 下面，就给同学们说说如何应用这些方法进行判定一个四边形是菱形。 一、四条边都相等的四边形是菱形 例1（08年，郴州）如图1，ΔABC 为等腰三角形，把它沿底边BC 翻折后，得到ΔDBC ．请你判断四边形ABDC 的形状，并说出你的理由． 分析：翻折就是对称，也就是全等。 解：四边形ABCD 为菱形。 理由是： 由翻折，得：△ABC ≌△DBC ． 所以，,AC CD AB BD == 因为，△ABC 为等腰三角形， 所以，AB AC = 所以，AC ＝CD ＝AB ＝BD ， 故，四边形ABCD 为菱形 点评：本题主要是应用对称的知识得出一组临边相等，在运用等腰三角形的两腰相等得到四条边都相等来解答。 二、有一组临边相等的平行四边形是菱形 例2（08年，永州）如图△ABC 与△CDE 都是等边三角形，点E 、F 分别在AC 、BC 上，且EF∥AB （1）求证：四边形EFCD 是菱形； （2）设CD ＝4，求D 、F 两点间的距离． 分析：在四边形EFCD 中，由题意我们知道有一组临边ED 和CD 相等是很容易得到的，只要在说明这个四边形是平行四边形即可以。 （1）证明： ABC Q △与CDE △都是等边三角形 ED CD ∴= 60A DCE BCA DCE ∴∠=∠=∠=∠=o AB CD DE CF ∴∥，∥ 又Q EF AB ∥ ∴EF ∥CD ， 四边形EFCD 是平行四边形， ∴平行四边形EFCD 是菱形。 （2）解：连结DF ，与CE 相交于点G 由4CD =，可知2CG = ∴224223DG =-= 43DF ∴= 点评：观察是解答问题的途径和窗口。 三、对角线互相垂直的平行四边形是菱形 例3（08年，上海）如图11，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC BD ，交于点O ，E 是BD 延长线 C A B D 图1
第五章 特殊平行四边形难题综合训练 1、正方形ABCD ，正方形BEFG 和正方形RKPF 的位置如图所示，点G 在线段DK 上，且G 为BC 的三等分点，R 为EF 中点，正方形BEFG 的边长为4，则△DEK 的面积为（ ） A ．10 B ．12 C ．14 D ．16 2、如图，在正方形ABCD 内有一折线段，其中AE ⊥EF ，EF ⊥FC ，并且AE =6，EF =8，FC =10，则正方形的边长为 . 第1题 第2题 第3题 第4题 3、如图，平面内4条直线l 1、l 2、l 3、l 4是一组平行线，相邻2条平行线的距离都是1个单位长度，正方形ABCD 的4个顶点A 、B 、C 、D 都在这些平行线上，其中点A 、C 分别在直线l 1、l 4上，该正方形的面积是 平方单位． 4、如图，在菱形ABCD 中，边长为10，∠A =60°.顺次连结菱形 ABCD 各边中点，可得四边形A 1B 1C 1D 1；顺次连结四边形 A 1B 1C 1D 1各边中点，可得四边形A 2B 2C 2D 2；顺次连结四边形A 2B 2C 2D 2各边中点，可得四边形A 3B 3C 3D 3；按此规律继续下去…….则四边形A 2B 2C 2D 2的周长是 ；四边形A 2013B 2013C 2013D 2013的周长是 . 5、如图，四边形ABCD 是矩形，点E 在线段CB 的延长线上，连接DE 交AB 于点F ，∠AED =2∠CED ，点G 是DF 的中点，若BE =1，AG =4，则AB 的长为 . 6、如图，四边形ABCD 中，AB =BC ，∠ABC =∠CDA =90°，BE ⊥AD 于点E ，且四边形ABCD 的面积为8，则BE =（ ） A ．2 B ．3 C ．22 D ．32 第5题 第6题 第7题 第8题 7、如图，菱形OABC 的顶点O 在坐标原点，顶点A 在x 轴上，∠B =120°，OA =2，将菱形OABC 绕原点顺时针旋转105°至OA ′B ′C ′的位置，则点B ′的坐标为（ ） A 、（2,2-） B 、（2,2-） C 、（3,3-） D 、（2,2--） 8、如图，正方形ABCD 中，AB =3，点E 在边CD 上，且CD =3DE ．将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于
特殊的平行四边形——菱形 一．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 二．菱形的性质：菱形具有平行四边形一切性质，此外，它还具有如下特殊性质： 1.菱形的四条边相等。 2.菱形的两条对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角。 3.菱形是轴对称图形也是中心对称图形，两条对角线所在的直线是它的两条对称轴。 三．菱形的判定办法：1.用菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形； 2.四条边都相等的四边形是菱形； 3.对角线垂直的平行四边形是菱形； 4.对角线互相垂直平分的四边形是菱形。 四．菱形的面积：等于两条对角线乘积的一半.（有关菱形问题可转化为直角三角形或 等腰三角形的问题来解决.），周长=边长的4倍 复习： 1.如图，在ABC △中，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交BE 的延长线于F ，且AF DC =，连接CF ． （1）求证：D 是BC 的中点；（2）若AB AC =，试猜测四边形ADCF 的形状，并证明． 解答：（1）证明：AF BC ∥，AFE DBE ∴∠=∠．∵E 是AD 的中点，AE DE ∴=． 又AEF DEB ∠=∠，AEF DEB ∴△≌△．AF DB ∴=．∵AF DC =，DB DC ∴=． （2）解：四边形ADCF 是矩形，证明：∵AF DC ∥，AF DC =，∴四边形ADCF 是平 行四边形．∵AB AC =，D 是BC 的中点，AD BC ∴⊥．即90ADC ∠=．∴四边形ADCF 是矩形． 菱形例题讲解： 1.已知点D 在△ABC 的BC 边上，DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F ．若AD 平分∠BAC ， 试判断四边形AEDF 的形状，并说明理由． 解答：四边形AEDF 是菱形，∵DE ∥AC ，∠ADE=∠DAF ，同理∠DAE=∠FDA ，∵AD=DA ， ∴△ADE ≌△DAF ，∴AE=DF ； ∵DE ∥AC ，DF ∥AB ，∴四边形AEDF 是平行四边形，∴∠DAF=∠FDA ．∴AF=DF ．∴平行四边形AEDF 为菱形． 2.已知：如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，BC=CD ，AD ⊥BD ，E 为AB 中点，求证：四边形BCDE 是菱形． 证明：∵AD ⊥BD ，∴△ABD 是Rt △∵E 是AB 的中点，∴BE=DE ，∴∠EDB=∠EBD ， ∵CB=CD ，∴∠CDB=∠CBD ，∵AB ∥CD ，∴∠EBD=∠CDB ， ∴∠EDB=∠EBD=∠CDB=∠CBD ，∵BD=BD ，∴△EBD ≌△CBD （ASA ），∴BE=BC ， ∴CB=CD=BE=DE ，∴菱形BCDE ．（四边相等的四边形是菱形） 3.如图，△ABC 与△CDE 都是等边三角形，点E 、F 分别在AC 、BC 上，且EF ∥AB ， （1）求证：四边形EFCD 是菱形；（2）设CD=4，求D 、F 两点间的距离． 解答：（1）证明：∵△ABC 与△CDE 都是等边三角形，∴ED=CD=CE ．∵EF ∥AB ∴∠EFC=∠ACB=∠FEC=60°, ∴EF=FC=EC ∴四边形EFCD 是菱形． （2）解：连接DF ，与CE 相交于点G ，由CD=4，可知CG=2， ∴ ∴． 4.如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别相交于点E 、F ．求证：四边形AFCE 是菱形． 证明：∵AE ∥FC ．∴∠EAC=∠FCA ．又∵∠AOE=∠COF ，AO=CO ，∴△AOE ≌△COF ． ∴EO=FO ．又EF ⊥AC ，∴AC 是EF 的垂直平分线． ∵EF 是AC 的垂直平分线．∴四边形AFCE 为菱形 5.在 ABCD 中，E F ，分别为边AB CD ，的中点，连接DE BF BD ，，． （1）求证：ADE CBF △≌△． （2）若AD BD ⊥，则四边形BFDE 是什么特殊四边形？请证明你的结论． 解:（1）在平行四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ，AD ＝CB ，AB ＝CD ．∵E ，F 分别为AB ，CD 的中点∴AE =CF , (S A S )A E D C F B ∴△≌△． （2）若AD ⊥BD ，则四边形BFDE 是菱形． 证明：AD BD ⊥，ABD ∴△是Rt △， 且AB 是斜边（或90ADB ∠=）,E 是AB 的中点，12 DE AB BE ∴==．由题意可EB DF ∥且EB DF =， ∴四边形BFDE 是平行四边形，∴四边形BFDE 是菱形． O D C B A
,、考点分析: 矩形、正方形和菱形是特殊的平行四边形，是考试中重 要的考 点。 二、教学目标： 1.掌握矩形、正方形和菱形的判定方法 三、教学内容 正方形巩固练习 例题1如图,正方形ABCD 勺边长为12,点E 是BC 上的一点，BE=5,点F 是BD 上 一动点?（ 1） AF 与FC 相等吗？试说明理由.（2）设折线EFC 的长为y ,试求 y 的最小值，并说明点F 此时的位置. 【解】（1） AF 与FC 相等,其理由如下： 可证：△ ABF ^△ CBF 二 AF=CF （2）连接AE,则AE 与BD 的交点就是此时F 点的位置 此时y 有最小值,最小值为.122 52 =13. 例题2 如图，正方形ABCD 中, P 是对角线AC 上一动点，PEIAB PF ⊥ BC 垂 足分别为 E 、F 小红同学发现：PD ⊥ EF ,且PD=EF 且矩形 PEBF 的周长不 变?不知小红的发现是否正确，请说说你的看法. 【解】小红的发现是正确，其理由如下： D 第28题图
连接BP,延长DP交EF于Q. （1）：四边形ABCD是正方形 ??? CB=CD∠ BCP∠ DCP=45 ???△ BCP^△DCP ??? PD=PB 又???PEIAB PF⊥ BC， ???∠ BEP=/ BFP=Z EBF=90 ,二四边形BEPF是矩形
???PB=EF,??? PD=EF (2)：PEIAB PF⊥ BC ???△ AEP^n△ CFP^均为等腰直角三角形 ??? AE=PE,CF=PF ???矩形PEBF的周长=AB+BC=2AB为定值) (3)：PF// CD ???∠ FPQ∠ PDC ???△ BCP^△ DCP ?∠PDC∠ PBF ???四边形PEBF是矩形,?∠PBF=/ PEF ?∠PEF=Z FPQ 又τ∠ PEF+∠ PFE=90 , ?∠ FPQ∠ PFE=90 ?∠PQF=90 ,??? PDL EF. 【另证】延长EP交CD于点R,则CFPF为正方形 ?可证△ PEF^△ RDF ?∠PEF=Z PDR 又τ∠ DPR∠ EPQ 而∠ PDR∠ DPR=90 ,?∠ PEF+∠ EPQ=90 ?∠EQP=90°,??? PD L EF. 课堂练习1如图1,在边长为5的正方形 ABCD 中，点E、F分别是 BC 、 DC 边上的点，且AE — EF, BE =2 (1)如图2 ,延长EF交正方形外角平分线CP于点P ,试判断AE与EP的大小关系，并说明理由； (2)在图2的AB边上是否存在一点M ,使得四边形DMEP是平行四边形? 若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由? 梯形 图1 图2
一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．（1）、动手操作： 如图①：将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为EF，若∠ABE＝20°，那么的度数为 . （2）、观察发现： 小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图②）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图③）．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由． （3）、实践与运用： 将矩形纸片ABCD按如下步骤操作：将纸片对折得折痕EF，折痕与AD边交于点E，与BC 边交于点F；将矩形ABFE与矩形EFCD分别沿折痕MN和PQ折叠，使点A、点D都与点F 重合，展开纸片，此时恰好有MP＝MN＝PQ（如图④），求∠MNF的大 小. 【答案】（1）125°；（2）同意；（3）60° 【解析】 试题分析：（1）根据直角三角形的两个锐角互余求得∠AEB=70°，根据折叠重合的角相等，得∠BEF=∠DEF=55°，根据平行线的性质得到∠EFC=125°，再根据折叠的性质得到 ∠EFC′=∠EFC=125°； （2）根据第一次折叠，得∠BAD=∠CAD；根据第二次折叠，得EF垂直平分AD，根据等角的余角相等，得∠AEG=∠AFG，则△AEF是等腰三角形； （3）由题意得出：∠NMF=∠AMN=∠MNF，MF=NF，由对称性可知，MF=PF，进而得出△MNF≌△MPF，得出3∠MNF=180°求出即可． 试题解析：（1）、∵在直角三角形ABE中，∠ABE=20°， ∴∠AEB=70°， ∴∠BED=110°， 根据折叠重合的角相等，得∠BEF=∠DEF=55°． ∵AD∥BC，
初三数学 菱形的判定 、教学目标: 1、掌握菱形的判定方法。 2、能运用菱形的判定方法解决有关冋题。 二、教学重点：熟练掌握菱形的判定方法 教学难点：能运用菱形的判定方法解决有关问题。 三、教学过程 (一)复习回顾：菱形的特征 (1)_____________________ 对边_____________________，四条边都 (2)_______________ 对角。 (3)____________________ 对角线___________________________ ，对角线分别这节课我们来探索从平行四边形出发，加上什么条件可以得到菱形： (二)讲授新课 1、菱形的识别： 方法一：有一组邻边______________ 的平行四边形是菱形。(定义) 几何语言：：乎BCD中，A吐 _________ 严BCD是。 下面请用菱形的定义来证明“对角线互相垂直的平行四边形是菱形” 已知：如图，________________________________________ 求证：______________________________________________ 证明： 方法二：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 (即：平行四边形+对角线菱形 几何语言：如图??? MBCD中，丄 二.ABCD 是。 方法三：四条边都的四边形是菱形。 几何语言：???四边形ABCD中, AB BC CD DA ???四边形ABCD是菱形。 小结：判定一个图形是菱形的方法： (1) __________________________________ 平行四边形+ 菱形 (2) __________________________________ 平行四边形+ 菱形 (3) _______________________ 的四边形—菱形
19.2. 2 菱形的判定 备课人：王芳备课时间：2013/05/16 一、教学内容分析： 菱形是一种特殊的平行四边形，比平行四边行多了“一组邻边相等”，因此判定可以在四边形或平行四边形的基础上再补充条件。教学时要注意几种图形的区别。 二、教学目标： （一）知识与技能：理解并掌握菱形的定义及两个判定方法；会用这些判定方法进行有关的论证和计算。 （二）过程与方法：经历探究菱形判定条件的过程,探索掌握菱形的判定方法。 （三）情感态度与价值观：在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力。 三、重点、难点： 1．教学重点：菱形的两个判定方法。 2．教学难点：判定方法的证明方法及运用。 四、教具准备：多媒体课件；圆规；三角板。 五、教学过程： （一）温故知新： 想一想：菱形的定义及其性质？ （让学生回忆并说出菱形的定义及其性质，教师同时播放课件） 菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 菱形的性质：1.菱形的两组对边分别平行；菱形的四条边都相等。 2.菱形的两组对角分别相等；菱形的邻角互补。 3.菱形的两条对角线互相垂直且平分，并且每一条对角线平分一组对 角。 思考：如果一个四边形是平行四边形，那么只要再添加一个什么条件，就可以判定它就是一个菱形？根据什么？ 师板书：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 （教师明确指出：菱形的定义具有两重性，既是菱形的性质，又可以作为菱形的一种判定方法） 教师强调菱形定义中的两个条件，并让学生明白自己已学过菱形的一种判定方法，为学习另外两种判定方法做准备。
（二）操作探究，发现新知： 1．从“对角线”的角度探究：对角线互相垂直的平行四边形是菱形或对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。 （教师再利用多媒体进行演示对角线互相垂直的平行四边形是菱形这一结论） 教师利用多媒体出示探究一： 一个可转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形。 然后教师提问：“这个四边形是什么四边形？转动木条，你有 什么发现？”引导学生观察，得出结论。 教师出示命题1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 师：你会证明吗？如何证明一个文字命题呢？ 教师叙述一般过程： 第一：根据题意，画出图形。 第二：分清命题的题设和结论，结合图形，写出已知和求证。 第三：写出证明过程（有时需要写依据）。 第四：归纳结论。 师生活动：鼓励学生独立思考、小组交流、全班展示的方式展开探究，以合作者、参与者的身份指导学生用各种方法证明猜想。 得出结论： 菱形的判定方法1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 或对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。 2．从“边”的角度探究：四边相等的四边形是菱形。 教师利用多媒体出示探究二： 先画两条等长的线段AB、AD，然后分别以B、D为圆心，AB 交点C，连接BC、CD，就得到了一个四边形。 （1）猜一猜，这是什么四边形？ C （2 教师出示命题2：四边相等的四边形是菱形。 师：这个命题又该怎样证明呢？（教师引导学生完成证明） 然后教师再利用多媒体进行演示。 师生活动：鼓励学生独立思考、小组交流、全班展示的方式展开探究，以合作者、参 与者的身份指导学生用各种方法证明猜想。 得出结论： 菱形的判定方法2：四边相等的四边形是菱形。 （三）归纳新知：
菱形的判定 一、选择题 1．下列四边形中不一定为菱形的是（） A．对角线相等的平行四边形 B．每条对角线平分一组对角的四边形 C．对角线互相垂直的平行四边形 D．用两个全等的等边三角形拼成的四边形 2．四个点A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③AC⊥BD；④AD= BC； ⑤AD∥BC．这5个条件中任选三个，能使四边形ABCD是菱形的选法有（）． A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 3．菱形的周长为32cm，一个内角的度数是60°，则两条对角线的长分别是（）A．8cm和43cm B．4cm和83cm C．8cm和83cm D．4cm和43cm 二、填空题 4．如图1所示，已知□ABCD，AC，BD相交于点O，?添加一个条件使平行四边形为菱形，添加的条件为________．（只写出符合要求的一个即可） 图1 图2 5．如图2所示，D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB上的点，且DE∥AB，DF∥CA，要使四边形AFDE 是菱形，则要增加的条件是________．（只写出符合要求的一个即可） 6．菱形ABCD的周长为48cm，∠BAD： ∠ABC= 1：?2，?则BD=?_____，?菱形的面积是______．7．在菱形ABCD中，AB=4，AB边上的高DE垂直平分边AB，则BD=_____，AC=_____． 四、思考题 9．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，PD∥AC，PC∥BD，PD，PC相交于点P，四边形PCOD是菱形吗？试说明理由． ]
2、如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．求证：四边形AFCE是菱形． 3如图所示，四边形ABCD、DEBF都是矩形，AB=BF，AD、 BE相交于M，BC、DF交于N，求证：四边形BMDN是菱 形． 1、用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是 ___________ 2、有一组邻边相等的四边形是菱形（） 3、对角线互相垂直的四边形是菱形（） 4、对角线互相平分垂直的四边形是菱形（） 5、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，与AB相交于点E，DF∥AB，与AC相交于点F，试说明四边形AEDF是菱形。 反思：
实用文档之" 菱形的判定证明题练习" 1如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 平分∠BAD ，CE ∥AD 交AB 于点E ．求证：四边形AECD 是菱形． 2 已知：如图，在ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将ABE △沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得GFC △． （1）求证：BE DG =； （2）若60B ∠=°，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论． 3如图，在四边形ABCD 中，点E ，F 分别是AD BC ，的中点，G H ，分别是BD AC ，的中点，AB CD ，满足什么条件时，四边形EGFH 是菱形？请证明你的结论． 4如图，在□ABCD 中，EF ∥BD ，分别交BC 、CD 于点P 、Q ，分别交AB 、AD 的延长线于点E 、F ．已知BE=BP ． 求证：（1）∠E=∠F ． （2）□ABCD 是菱形． A B C D E A D G C B F E A B D E G H
D C B A O E 5. 如图，在平行四边形ABCD 中，BE 平分ABC ∠交AD 于点E ，DF 平分 ∠ADC 交BC 于点F . 求证：（1）ABE CDF △≌； （2）若BD EF ⊥，则判断四边形EBFD 是什么特殊四边形，请证明你的结 论. 6. 如图，在△ABC 中，D 是BC 边的中点，E 、F 分别在AD 及其延长线上，CE ∥BF ，连接BE 、CF ． （1）求证：△BDF ≌△CDE ； （2）若AB ＝AC ，求证：四边形BFCE 是菱形． 7. 如图，O 为矩形ABCD 对角线的交点，DE ∥AC ，CE ∥BD ． （1）试判断四边形OCED 的形状，并说明理由； （2）若AB =6，BC =8，求四边形OCED 的面积． 8. 已知：如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，BC CD =，AD BD ⊥，E 为 F D E C A B
2020年菱形的判定同步练习含试卷及答案解析 一．选择题（共3小题） 1．已知?ABCD，添加一个条件能使它成为菱形，下列条件正确的是（）A．AB＝AC B．AB＝CD C．对角线互相垂直D．∠A+∠C＝180° 2．下列条件中，能判断四边形是菱形的是（） A．对角线互相垂直且相等的四边形 B．对角线互相垂直的四边形 C．对角线相等的平行四边形 D．对角线互相平分且垂直的四边形 3．如图，添加下列条件仍然不能使?ABCD成为菱形的是（） A．AB＝BC B．AC⊥BD C．∠ABC＝90°D．∠1＝∠2 二．填空题（共2小题） 4．如图，四边形ABCD是平行四边形，补充一个条件使其成为菱形，你补充条件是（只需填一个即可）． 5．如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中的一张，重合的部分构成了一个四边形，这个四边形是． 三．解答题（共6小题）
6．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AH⊥BC，点E是AH上一点，延长AH至点F，使FH＝EH．求证：四边形EBFC是菱形． 7．如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，AC与BD相交于点O，连接CD． （1）求∠AOD的度数； （2）求证：四边形ABCD是菱形． 8．如图，?ABCD中，AB＝2cm，AC＝5cm，S?ABCD＝8cm2，E点从B点出发，以1cm每秒的速度，在AB延长线上向右运动，同时，点F从D点出发，以同样的速度在CD延长线上向左运动，运动时间为t秒． （1）在运动过程中，四边形AECF的形状是； （2）t＝时，四边形AECF是矩形； （3）求当t等于多少时，四边形AECF是菱形． 9．已知，如图，在?ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF于点O，交BC于点E，连接EF． （1）求证：四边形ABEF是菱形； （2）若AE＝6，BF＝8，CE＝3，求四边形ABCD的面积．
菱形 例1 如图，在菱形ABCD 中，E 是AB 的中点，且a AB AB DE =⊥,，求： （1）ABC ∠的度数；（2）对角线AC 的长；（3）菱形ABCD 的面 例2 已知：如图，在菱形ABCD 中，AB CE ⊥于AD CF E ⊥,于 F ．求证：AE=AF 例4 如图，ABCD 中，AB AD 2=，E 、F 在直线CD 上，且CF CD DE ==． 求证：AF BE ⊥． 例5 如图，在Rt △ABC 中， 90=∠ACB ，E 为AB 的中点，四边形BCDE 是平行四边形．求证：AC 与DE 互相垂直平分 例6、如图，在是△ABC 中，∠ACB=90°，BC 的垂直平分线DE 交BC 于D ，交AB 于E ，点F 在直线DE 上，AF=CE ． （1）说明，四边形ACEF 是平行四边形；（5分） （2）当∠B 的大小满足什么条件时，四边形ACEF 是菱形说明理由．（4 分） 例7、如图，△ABC 中，点O 是AC 边上一动点，过点O 作直线MN ∥BC,设MN 交∠BCA 的平分线于E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ． （1）说明：EO ＝OF （2）当点O 运动到时，四边形BEFC 可能是菱形吗并说明理由． （3）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形并说明理由． （4）在（3）的条件下，当△ABC 满足什么条件时，四边形AECF 是正方形并说明理由． C D E A B F
巩固练习 1、梯形ABCD 中，AD ∥BC,BD 平分∠ABC,∠C=60°,当AB=CD=4时，梯形ABCD 的周长 2、在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ， 对角线AC 平分∠BAD ，∠B ＝60o，CD ＝2cm ，则梯形ABCD 的面积为 3．如图,梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 为对角线，AE ⊥BC 于E ，AB ⊥AC ，若 ∠ACB =30°，BE =2.则EC =___________. 5．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =AC ，若∠D =110°，∠ACD =30°，则∠BAC 等于 7．直角梯形一腰长16 cm,该腰和一个底所成的角为30°,那么另一腰长________ cm. 9、如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =DC ，AC ⊥BD ，过D 点作DE ∥AC 交BC 的延长线于E 点. ⑴求证：四边形ACED 是平行四边形； ⑵若AD =3，BC =7，求梯形ABCD 的面积. 菱形的测试题 一． 填空题 1． 若平行四边形ABCD 是菱形，则与AD 相等的线段有＿＿＿。 2． 如图，菱形ABCD 中，对角线AC,BD 相交于点O ，如果∠A=60o，对角线BD=7cm ，则菱形的周长=＿＿＿cm 3． 若菱形的两条对角线长分别为6cm 和8cm ，则菱形的面积是＿＿＿，周长是＿＿＿。 4. 若菱形的高为3cm ，较小的内角是30o，则菱形的边长为＿＿＿，面积为＿＿＿。 5. 已知菱形的周长为20cm ，两条对角线的比为3 ：4，则菱形的面积为＿＿＿cm 2 。 二． 选择题 1. 菱形具有其它平行四边形不一定具有的性质（ ） A .对边平行 B.对角相等 C.对角线互相平分 D.对角线互相垂直 2. 在菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于E,AF ⊥CD 于F ，且E,F 分别是BC,CD 的中点，那么 ∠EAF 等于（ ） A ．75o o o o 3.菱形ABCD 的周长20cm ，∠A:∠B=2:1，则顶点A 到对角线BD 的距离是（ ） O F E C D B N M A A D B E 60? D C B A B A C D