兔子问题与斐波那契数列
有这样一个有趣的“兔子问题”：“假定一对大兔子每月能生一对小兔子，且每对新生的小兔子经过一个月可以长成一对大兔子，如果不发生死亡，且每次均生下一雌一雄，问一年后共有多少对兔子？”。该问题发现于公元前13世纪意大利数学家斐波那契的1228年的手抄本中，并对此作了分析：第一个月是最初的一对兔子生下一对兔子，共有2对兔子；第二个月仍是最初的一对兔子生下一对兔子，共有3对兔子；到第三个月除最初的兔子新生一对兔子外，第一个月生的兔子也开始生兔子，因此共有5对兔子；以此类推，到第12个月底共有对377对兔子。书中还提出，每个月的兔子总数可由前两个月的兔子数相加而得，即21n n n a a a ++=+。
那么，斐波那契到底是谁？他是一个怎样的数学家？斐波那契(Leonardo Fibonacci, 约1170—1250)，意大利数学家，受教育于北非。他年轻是跟随经商的父亲在北非和欧洲旅行，学习到了东方数学和世界各地不同的算术体系。回意大利后于1202年写成了著作《算盘书》（又译作《算书》、《算经》），该书是一部较全面的初等数学著作，它向欧洲系统的介绍了印度—阿拉伯数码及其演算法则，介绍了中国的“盈不足术”；引入了负数；研究了一些简单的一次同余式组。斐波那契还著有《象限仪书》与《精华》处理丁解方程和一、二次不定方程，还写了几何学专著《几何实习》。
在文首的“兔子问题”中，若将问题稍加变化为“假定一对大兔子每月能生一对小兔子（一雄一雌），且每对新生的小兔子经过一个月可以长成一对大兔子，如果不发生死亡，且每次均生下一雌一雄，问由一对刚出生的小兔．．开始，一年后共有多少对大．兔．
子？”就可以得到这样的数列： 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，……
该数列就是著名于全球的斐波那契数列。斐波那契数列从第三项开始每一项都是前两项之，即121,1a a ==，21n n n a a a ++=+，其中n N *∈
。它是二次线性递归数列，通项公式为：
1122n n n a ????+??=- ????????
。由于当n
无限增大时，比式110.6180339887...2n n a a +=≈，所以斐波那契数列又和黄金分割有很密切的关系，于是它在优选法和自然界中有着重要的应用。
第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1。 3…………………百合和蝴蝶花 5…………………蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草
8……………翠雀花 13…………金盏 21……………紫宛 34、55、89……………雏菊 斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。例如，在树木的枝干上选一片叶子，记其为数0，然后依序点数叶子（假定没有折损），直到到达与那息叶子正对的位置，则其间的叶子数多半是斐波那契数。叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回。叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波那契数。在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序（源自希腊词，意即叶子的排列）比。多数的叶序比呈现为斐波那契数的比。
有一段楼梯有10级台阶,规定每一步只能跨一级或两级,要登上第10级台阶有几种不同的走法? 这是一个斐波那契数列：登上第一级台阶有一种登法；登上两级台阶，有两种登法；登上三级台阶，有三种登法；登上四级台阶，有五种登法…1，2，3，5，8，13…所以，登上十级，有89种走法。
由于斐波那契级数列有着几乎层出不穷的性质，以致于1963年美国还专门创刊《斐波那契季刊》来研究斐波那契数列，并刊载有关研究新成果。为了帮助同学们初步了解和研究斐波那契数列的性质，先提供以下6条性质供同学们参考、探索和研究：
（1）1221n n n S a a a a +=+++=- ；（2）242211n n a a a a ++++=- ；
（3）13212n n a a a a -+++= ； （4）222121n n n a a a a a ++++= ；
（5）22211n n n a a a +-=+； （6）()2121n n n n a a a ++-=-。
“兔子数列”和黄金分割点 赵子尧 假定一对刚出生的小兔一个月能长成大兔，再过一个月便能生下一对小兔，并且此后每个月都生一对小兔。如果一切正常没有死亡，公母兔也比例适调，那么一对刚出生的兔子，一年可以繁殖成（）对兔子。 A.144 B.233 C.288 D.466 【答案】B。按照题干的条件，就是说兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子。如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖成多少对兔子？我们拿新出生的一对小兔子来推导一下： 1个月后，小兔子仍没有繁殖能力，所以还是1对，但变成了大兔子；2个月后，生下一对小兔子，所以共有2对；3个月后，大兔子又继续生下1对小兔子，而此时小兔子变成大兔子，但还没有繁殖能力，所以一共是3对； 依次类推我们可以列出下表： 从上表中找寻数据之间的规律：
小兔子对数=上个月大兔子对数 大兔子对数=上个月大兔子对数+上个月小兔子对数 总体对数=本月大兔子对数+本月小兔子对数 通过上表，我们发现，经过0，1，2，3，……11，12个月后兔子的总数目，构成了这样一个数列： 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233... 这个数列的特点非常明显，它的递推特征是从第三项开始，每项等于前两项数字之和，即2=1+1，3=1+2，5=2+3……以此类推。这个数列就是意大利数学家斐波那契提出的著名的“斐波那契数列”，也就是传说中的“兔子数列”。它的通项公式为：(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}【√5表示根号5】很有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。 兔子数列有很多奇妙的属性,比如：从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1;随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近0.6180339887……，这不是一个循环小数，它是一个无理数，我们称之为黄金分割点，也叫黄金比。
斐波那契数列 一、简介 斐波那契数列（Fibonacci），又称黄金分割数列，由数学家斐波那契最早以“兔子繁殖问题”引入，推动了数学的发展。故斐波那契数列又称“兔子数列”。 斐波那契数列指这样的数列：1,1,2,3,5,8,13,……，前两个数的和等于后面一个数字。这样我们可以得到一个递推式，记斐波那契数列的第i项为F i，则F i=F i-1+F i-2. 兔子繁殖问题指设有一对新生的兔子，从第三个月开始他们每个月都生一对兔子，新生的兔子从第三个月开始又每个月生一对兔子。按此规律，并假定兔子没有死亡，10个月后共有多少个兔子？ 这道题目通过找规律发现答案就是斐波那契数列，第n个月兔子的数量是斐波那契数列的第n项。 二、性质 如果要了解斐波那契数列的性质，必然要先知道它的通项公式才能更简单的推导出一些定理。那么下面我们就通过初等代数的待定系数法计算出通项公式。 令常数p,q满足F n-pF n-1=q(F n-1-pF n-2)。则可得： F n-pF n-1=q(F n-1-pF n-2) =q2(F n-2-pF n-3) =…=q n-2(F2-pF1) 又∵F n-pF n-1=q(F n-1-pF n-2) ∴F n-pF n-1=qF n-1-pqF n-2 F n-1+F n-2-pF n-1-qF n-1+pqF n-2=0 (1-p-q)F n-1+(1+pq)F n-2=0 ∴p+q=1,pq=-1是其中的一种方程组 ∴F n-pF n-1= q n-2(F2-pF1)=q n-2(1-p)=q n-1 F n=q n-1+pF n-1=q n-1+p(q n-2+p(q n-3+…))=q n-1+pq n-2+p2q n-3+…+p n-1 不难看出，上式是一个以p/q为公比的等比数列。将它用求和公式求和可以得到： 而上面出现了方程组p+q=1,pq=-1，可以得到p(1-p)=-1,p2-p-1=0，这样就得到了一个标准的一元二次方程，配方得p2-p+0.25=1.25,(p-0.5)2=1.25,p=±√1.25+0.5。随意取出一组解即可： 这就是著名的斐波那契数列通项公式。有了它，斐波那契数列的一些性质也不难得出了。 比如斐波那契数列相邻两项的比值趋向于黄金分割比，即：
第一章兔子数列和极端分析（习题） 1.按规律填空： 1、1、 2、 3、5、8、13、21、、、。 2.一个各个数位互不相同的四位数能被1、2、3、4、5、6、7整除，那么这个数最大是。 3.一个各个数位互不相同的六位数能被9整除，这个数最大是多少？最小是多少？ 4.一个六位数能被7整除，这个数最大是多少？最小是多少？ 5.一个五位数是3、4、5、6的倍数，这个数最大是多少？
*6.一楼梯共8级，小嘉每步只能跨上一级、两级、三级或四级，要登上第8级，共有多少种不同走法？ *7.小青蛙有十块糖，妈妈要求小青蛙每天最多吃三块糖，那么小青蛙把糖吃完有多少种办法？ *8.如下图，小方和小张在玩跳格子游戏，小方从A跳到B，每次可跳一步或者两步，小张从C跳到D，每次可跳一步、两步或三步，试比较谁跳到目标处的不同跳法多？多多少？
*9.有一种树，它的每个新枝在一年后会长成老枝，而每个老枝一年后会长出一个新枝，小嘉在家门口种了一个老枝，他知道一年后会长出一个新枝，那么八年后会有多少个树枝？ *10.N是一个各位数字互不相等的三位数，它能被它的每个数字整除，N的最大值是多少？ 【参考答案】 1.34、55、89 2.9240 3.987651、102348
4.999999、100002 5.99960 *6. 108 *7. 89 *8. 小张多，多5 *9. 34 *10.936 1.在628后面补上3个数字，组成一个六位数，使它能分别被2，4，9整除，且使这个数尽可能大。则这个六位数是多少？ 2.一个各位数字互不相同的三位数能被2、3、5整除，这个数最大是多少？ 3.一楼梯共10级，小嘉每步只能跨上一级或两级，要登上第10级，共有多少种不同走法？
斐波那契数列 斐波那契数列的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年，籍贯大概是比萨）。他被人称作―比萨的列昂纳多‖。1202年，他撰写了《珠算原理》(Liber Abacci)一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。 斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、…… 这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。 斐波那契数列通项公式 通项公式 (见图)（又叫―比内公式‖，是用无理数表示有理数的一个范例。） 注：此时a1=1，a2=1，an=a(n-1)+a(n-2)（n>=3,n∈N*） 通项公式的推导 斐波那契数列：1、1、2、3、5、8、13、21、…… 如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N+)。那么这句话可以写成如下形式： F(0) = 0，F(1)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥2)， 显然这是一个线性递推数列。 方法一：利用特征方程（线性代数解法） 线性递推数列的特征方程为： X^2=X+1 解得 X1=(1+√5)/2,，X2=(1-√5)/2。 则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n。 ∵F(1)=F(2)=1。 ∴C1*X1 + C2*X2。 C1*X1^2 + C2*X2^2。 解得C1=1/√5，C2=-1/√5。 ∴F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^(n+1) - [(1-√5)/2]^(n+1)}（√5表示根号5）。 方法二：待定系数法构造等比数列1（初等待数解法） 设常数r，s。 使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]。 则r+s=1，-rs=1。 n≥3时，有。 F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]。
按规律写数 5、10、15、（ ）、（ ）、30 1、2、3、4、1、2、 3、4 第39个数是多少? 、新授 1. 小蜜蜂要从起始位置走到3号蜂房，只能向右、 右 下、右上方向走（不能往回走），一共有几种 不同的走法? 师示例：―0— 1— 3 学生尝试，交流：―1 — 3 —1 — 2— 3 小蜜蜂要从起始位置走到 只能向右、右下、右上方向走 走），一共有几种不同的走法？ 8号蜂房, （不能往蜂房数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 种数 1 2 3 5 8 13 21 34 55 规律：要到达3号蜂房的线路数，是要到1号蜂房和2号蜂房线路数的总和, 依次类推。 验证：要到4号蜂房，得要由2号蜂房或3号蜂房进入，到2号蜂房有3 种走法，到3号蜂房有5种走法，所以到4号蜂房一共有3+5=8 （种）不同的走 法。 如果蜂房数增加，到达的线路种数会算吗？ （ 9号房：89种；10号房：144 种）写不完，可以怎么表示？（省略号） 斐波那契数列（六年级） 东台师范附属小学周卫东 学生尝试。 师看到有同学迟迟未动笔，问为什么？（如果一种一种都写出来，太麻烦了。） 那怎么办？（找出规律来）规律从哪开始找？（最小的数开始）
3. 在这个数列前再加上一个数“ 1”，也就是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55……，它就是斐波那契数列，也叫兔子数列。 介绍“兔子数列”名字的由来。 4.进一步探索斐波那契数列的特点 研究菜单：①奇偶数排列有何规律？ ②找出数列中3 的倍数，它们的排列有何规律？ 再找出数列中3 的倍数，它们的排列有何规律？ ③前若干项的和与数列中的哪一项有关？有怎样的关系？ ④取出任意相邻两个数，用小数除以大数（得数保留三位小数），越往后商越 接近一个怎样的数？ 每人按课前随机发到的“我的工作表”上的研究项目开始研究，可使用计算器。 学生研究，汇报。 5.介绍“黄金分割” 介绍“黄金分割”的内容 视频播放斐波那契数列在生活中的应用
一句话先回答问题：因为斐波那契数列在数学和生活以及自然界中都非常有用。 下面我就尽我所能，讲述一下斐波那契数列。 一、起源和定义 斐波那契数列最早被提出是印度数学家Gopala，他在研究箱子包装物件长度恰好为1和2时的方法数时首先描述了这个数列。也就是这个问题： 有n个台阶，你每次只能跨一阶或两阶，上楼有几种方法？ 而最早研究这个数列的当然就是斐波那契（Leonardo Fibonacci）了，他当时是为了描述如下情况的兔子生长数目： ?第一个月初有一对刚诞生的兔子 ?第二个月之后（第三个月初）它们可以生育 ?每月每对可生育的兔子会诞生下一对新兔子 ?兔子永不死去 这个数列出自他赫赫有名的大作《计算之书》（没有维基词条，坑），后来就被广泛的应用于各种场合了。这个数列是这么定义的：
The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences? (OEIS?)序号为A000045 - OEIS （注意，并非满足第三条的都是斐波那契数列，卢卡斯数列（A000032 - OEIS）也满足这一特点，但初始项定义不同） 二、求解方法 讲完了定义，再来说一说如何求对应的项。斐波那契数列是编程书中讲递归必提的，因为它是按照递归定义的。所以我们就从递归开始讲起。 1.递归求解 int Fib(int n) { return n < 2 ? 1 : (Fib(n-1) + Fib(n-2)); } 这是编程最方便的解法，当然，也是效率最低的解法，原因是会出现大量的重复计算。为了避免这种情况，可以采用递推的方式。 2.递推求解 int Fib[1000]; Fib[0] = 0;Fib[1] = 1; for(int i = 2;i < 1000;i++) Fib[i] = Fib[i-1] + Fib[i-2]; 递推的方法可以在O(n)的时间内求出Fib(n)的值。但是这实际还是不够好，因为当n很大时这个算法还是无能为力的。接下来就要来讲一个有意思的东西：矩阵。 3.矩阵递推关系 学过代数的人可以看出，下面这个式子是成立的： 不停地利用这个式子迭代右边的列向量，会得到下面的式子：
斐波那契数列的探究 如果一对兔子每月能生1对小兔子（一雄一雌），而每1对小兔子在它出生后的第三个月里，又能生1对小兔子．假定在不发生死亡的情况下，由1对出生的小兔子开始，50个月后会有多少对兔子？ 每月底兔子对数是： 1， 1， 2， 3， 5， 8， 13， 21， 34， 55， 89， 144， 233， ……， 50个月后是12586269025 对． 这就是著名的斐波那契数列． 斐波那契数列：1， 1， 2， 3， 5， 8， 13， 21， 34， 55， 89， 144， 233， …… ●观察斐波那契数列项数之间有什么关系？ 从第三项开始每一项等于其前两项的和，即若用F n 表示第n 项， 则有F n =F n -1+F n-2（n ≥3）． 通过递推关系式121(1,2)(3) n n n n F F F n --=?=?+≥?，可算出任意项，不过，当n 很大时，推算是 很费事的．必须找到更为科学的计算方法．能否找到通项公式，并给予证明？ 1730 年法国数学家棣莫弗给出其通项表达式n a =n )251(+-n )251(-]，19世纪初另一位法国数学家比内首先证明这一表达式，现在称之为——比内公式． 1．下面研究一下该通项公式的来历 已知：数列{a n }满足a 1=a 2=1, a 3=2，且a n+2 = a n+1+ a n (n≥3),求a n 证明：（利用等比数列性质求解） 构造常数A 、B ，使之211()n n n n a Aa B a Aa +++-=- 整理得：21()n n n a A B a ABa ++=+-与21n n n a a a ++=+比较得 ???=-=+1 1AB B A 解之得：A=251±、 B=251μ 不妨取A=251+、 B=2 51-得： 211111()222 n n n n a a a a +++++-=- ∴1n n a +?????????? 是以21a -=251-为公比的等比数列。
趣味数学：兔子繁殖与斐波纳奇数列 （适合四、五、六年级） 公元13世纪，在意大利有一位天才的数学家名字叫斐波纳奇，他在一本《算盘之书》的著作里记载了这样一道数学题： 有一对兔子，每一个月可以生下一对小兔子，而且假定小兔子在出生的第二个月便有生育能力，那么过一年后，问一共能有多少对兔子？假设每产一对必须是一雌兔一雄兔，并且所有的兔子都能进行相互交配，所生下来的兔子都能保证成活率。 究竟有多少对呢？我们不妨计算一下，一对兔子，在一个月后生出了一对，总数是两对。而在这两对当中，只有第一对兔子有生育能力，因而两个月后一共有三对兔子，三个月后第一第二对兔子都有生育能力，因此又新出生两对兔子，总共有五对兔子，这样依此类推，经过一年（十二个月）后，兔子总数为233对。 即兔子的对数依次为： 1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，研究一下这个数列，我们会惊奇地发现它有许多有趣的性质：从第三项起，每一项的数都是紧挨着它前面的两项的数字之和。即 3＝2＋1；5＝2＋3；8＝3＋5；……233＝89+144， 这个数列的发现对人类数学及自然科学的发展具有重大的意义，人们为了纪念大数学家斐波纳奇，因而把此数列命名为斐波纳奇数列。斐波纳奇数列在生活中有着广泛的运用。试举一例：一个人上楼梯，可以一步上
一级台阶，也可以一步上两级台阶。现在假设某层楼梯有10级台阶。那么从这层楼的下面走到上面，共有多少种不同的走法？ 解：根据题意列出各级楼梯的走法如下：括号里面的数字表示每次上楼梯走的级数，1个算式或数表示一种走法） 第一级：1种（1） 第二级：2种（1+1，2） 第三级：3种（1+1+1，2+1，1+2） 第四级：5种（1+1+1+1，1+1+2，1+2+1，2+1+1，2+2） 第五级：8种（1+1+1+1+1，1+1+1+2，1+1+2+1，1+2+1+1，2+1+1+1，1+2+2，2+1+2，2+2+1） 第六级：…… 其规律为：从第三项起，每一项的数都是紧挨着它前面的两项的数字之和。列表如下： 级数12345678910 走法123581321345589 所以到第十级楼梯一共有89种不同的走法。 思考：从一楼教室到二楼的微机室一共有13级台阶，如果每一步只登上一级或两级台阶，那么从一楼教室到微机室一共有多少种不同的走法？（答案：377种）
拓展目标： 一：周期问题的解决方法 （1）找出排列规律，确定排列周期。 （2）确定排列周期后，用总数除以周期。 ①如果没有余数，正好有整数个周期，那么结果为周期里的最后一个 ②如果有余数，即比整数个周期多n个，那么结果为下一个周期的第n个。 例1： （1）1，2，1，2，1，2，…那么第18个数是多少？ 这个数列的周期是2，1829 ÷=，所以第18个数是2．（2）1，2，3，1，2，3，1，2，3，…那么第16个数是多少？ 这个数列的周期是3，16351 ÷=???，所以第16个数是1．二：斐波那契数列 斐波那契是 的有关兔子的问题： 假设一对刚出生的小兔，一个月后就能长成大兔，再过一个月便能生下一对小兔，并且此后每个月都生一对小兔。一年内没有发生死亡。那么，由一对刚出生的兔子开始，12个月后会有多少对
斐波那契数列（兔子数列） 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, … 你看出是什么规律：。 【前两项等于1，而从第三项起，每一项是其前两项之和，则称该数列为斐波那契数列】 【巩固】 （1）2，2，4，6，10，16，（），（） （2）34，21，13，8，5，（），2，（） 例1：有一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34…..这个有趣的“兔子”数列，在前120个数中有个偶数？个奇数？第2004个数是数（奇或偶）？ 【解析】120÷3=40 2004÷3=668 【巩固】有一列数按1、1、2、3、5、8、13、21、34……的顺序排列，第500个数是奇数还是偶数？ 例2：（10秒钟算出结果！） （1）1+1+2+3+5+8+13+21+34+55= （2）1+2+3+5+8+13+21+34+55+89=
摘要 本论文主要研究斐波那契数列的性质及其应用，从“兔子繁殖”问题建立数学模型，引出斐波那契数列的定义；运用二阶常系数齐次线性递归方程的特征根解法推导出了斐波那契数列的通项公式。论述并证明了有关斐波那契数列的恒等式和相关结论，涉及斐波那契数列相邻两项之比（即黄金分割比率）在广泛的应用，以及运用斐波那契数列解决一些实际数学问题。 目录 绪论 (1) 论文提出的背景和价值及国内外研究动态 (1) 一斐波那契数列的提出 (2) 1.1 问题的引出 (2) 1.2 斐波那契额数列的定义迭代表示 (3) 二斐波那契数列通项公式的推导 (3) 2.1 线性递归数列线性递归方程及其特征方程的解法 (3) 2.2 斐波那契数列通项公式的特征方程方法的推导 (4) 三斐波那契数列的部分相关性质 (5) 3.1 有关斐波那契数列的等式关系性质 (5) 3.2 有关斐波那契数列的结论 (12) 四斐波那契数列的有关应用 (13) 4.1 斐波那契数列前项与后项比例极限和黄金分割比例 (13) 4.2 运用斐波那契数列解决实际问题 (14) 绪论 论文提出的背景和价值及国内外研究动态 斐波那契数列十三世纪初叶就已经提出了，但是现如今我们学习工作生活中仍然对它有所触及。随着它的一些奇妙属性慢慢被世人所发现：从埃及金字塔到准晶体结构，从艾略特波浪理论到华罗庚的优选法（0.618），从达芬?奇的《蒙娜丽莎的微笑》到生物学的“鲁德维格定律”……吸引了国内外许多学者去研究它。斐波那契数列在现代物
理、准晶体结构、化学、生物、金融﹑美术等领域都有直接的应用，为此，美国数学会从1960年代起出版了《斐波那契数列》季刊，专门刊载这方面的研究成果。 我在这片论文中主要研究了有关斐波那契数列的关系式和结论，通过观察斐波那契数列前几项，猜测推算提出结论，验证、论证命题，采用了数学建模的思想，数学归纳法，线性递归等方法论述论文。 一斐波那契数列的提出 1.1 问题的引出 斐波那契数列是由13世纪的意大利数学家列昂纳多·斐波那契提出的。在1202年他所撰写的《珠算原理》（由于翻译差别，有多种中文译名）以兔子繁殖问题为例而引人，故称“兔子数列”。下面引述该问题： 一般的，兔子在出生一个月后就有繁殖能力。假设一对兔子（一雌一雄）每个月可繁殖出一对小兔子来，并且所有的兔子都不死，这样在笼中圈养一对有繁殖能力的兔子，那么一年后可以繁殖多少对兔子。 分析： 经过一个月，原来的大兔子繁殖了一对小兔子，小兔子没繁殖能力，大兔子一对，小兔子一对； 经过二个月，原来的大兔子继续繁殖了一对小兔子，上个月的小兔子长成了大兔子，现在大兔子有两对，小兔子一对 经过三个月，上个月大兔子繁殖了一共两对小兔子，上个月的小兔子长成了大兔子，现在大兔子有三对，小兔子两对； …… 依次类推列下表： 经过月数123456789101112小兔子对数1123581321345589144大兔子对数123581321345589144233兔子总对数23581324345589144233377
兔子数列 即斐波那契数列,“斐波那契数列”的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leo nardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年。籍贯大概是比萨）。他被人称作“比萨的列昂纳多”。 斐波那契数列指的是这样一个数列：0，1，1，2，3，5，8，13，21…… 这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。它的通项公式为： (1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}【√5表示根号5】 很有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。 【该数列有很多奇妙的属性】 比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.61803398 87…… 还有一项性质，从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1。 如果你看到有这样一个题目：某人把一个8*8的方格切成四块，拼成一个5*13的长方形，故作惊讶地问你：为什么64＝65？其实就是利用了斐波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积确实差1，只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到。 如果任意挑两个数为起始，比如5、-2.4，然后两项两项地相加下去，形成5、-2.4、2.6、0.2、2.8、3、5.8、8.8、14.6……等，你将发现随着数列的发展，前后两
项之比也越来越逼近黄金分割，且某一项的平方与前后两项之积的差值也交替相差某个值。 斐波那契数列的第n项同时也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相邻正整数的子集个数。 【斐波那契数列别名】 斐波那契数列又因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。 斐波那契数列 一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？ 我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下： 第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对; 两个月后，生下一对小兔民数共有两对; 三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对; －－－－－－ 依次类推可以列出下表： 经过月数：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 兔子对数：1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 表中数字0，1，1，2，3，5，8－－－构成了一个数列。这个数列有关十分明显的特点，那是：前面相邻两项之和，构成了后一项。 这个数列是意大利中世纪数学家斐波那契在＜算盘全书＞中提出的，这个级数的通项公式，除了具有a(n+2)=an+a(n+1)/的性质外，还可以证明通项公式为：an=1/√[（1＋√5/2) n-(1-√5/2) n](n=1,2,3.....） 【斐波那挈数列通项公式的推导】斐波那契数列：0，1，1，2，3，5，8，13，21…… 如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N+)。那么这句话可以写成如下形式： F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3) 显然这是一个线性递推数列。 通项公式的推导方法一：利用特征方程 线性递推数列的特征方程为： X^2=X+1 解得 X1=(1+√5)/2, X2=(1-√5)/2. 则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n ∵F(1)=F(2)=1 ∴C1*X1 + C2*X2
兔子问题与斐波那契数列 有这样一个有趣的“兔子问题”：“假定一对大兔子每月能生一对小兔子，且每对新生的小兔子经过一个月可以长成一对大兔子，如果不发生死亡，且每次均生下一雌一雄，问一年后共有多少对兔子？”。该问题发现于公元前13世纪意大利数学家斐波那契的1228年的手抄本中，并对此作了分析：第一个月是最初的一对兔子生下一对兔子，共有2对兔子；第二个月仍是最初的一对兔子生下一对兔子，共有3对兔子；到第三个月除最初的兔子新生一对兔子外，第一个月生的兔子也开始生兔子，因此共有5对兔子；以此类推，到第12个月底共有对377对兔子。书中还提出，每个月的兔子总数可由前两个月的兔子数相加而得，即21n n n a a a ++=+。 那么，斐波那契到底是谁？他是一个怎样的数学家？斐波那契(Leonardo Fibonacci, 约1170—1250)，意大利数学家，受教育于北非。他年轻是跟随经商的父亲在北非和欧洲旅行，学习到了东方数学和世界各地不同的算术体系。回意大利后于1202年写成了著作《算盘书》（又译作《算书》、《算经》），该书是一部较全面的初等数学著作，它向欧洲系统的介绍了印度—阿拉伯数码及其演算法则，介绍了中国的“盈不足术”；引入了负数；研究了一些简单的一次同余式组。斐波那契还著有《象限仪书》与《精华》处理丁解方程和一、二次不定方程，还写了几何学专著《几何实习》。 在文首的“兔子问题”中，若将问题稍加变化为“假定一对大兔子每月能生一对小兔子（一雄一雌），且每对新生的小兔子经过一个月可以长成一对大兔子，如果不发生死亡，且每次均生下一雌一雄，问由一对刚出生的小兔．．开始，一年后共有多少对大．兔． 子？”就可以得到这样的数列： 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…… 该数列就是著名于全球的斐波那契数列。斐波那契数列从第三项开始每一项都是前两项之，即121,1a a ==，21n n n a a a ++=+，其中n N *∈ 。它是二次线性递归数列，通项公式为： 1122n n n a ????+??=- ???????? 。由于当n 无限增大时，比式110.6180339887...2n n a a +=≈，所以斐波那契数列又和黄金分割有很密切的关系，于是它在优选法和自然界中有着重要的应用。 第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1。 3…………………百合和蝴蝶花 5…………………蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草 8……………翠雀花 13…………金盏 21……………紫宛 34、55、89……………雏菊 斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。例如，在树木的枝干上选一片叶子，记其为数0，然后依序点数叶子（假定没有折损），直到到达与那息叶子正对的位置，则其间的叶子数多半是斐波那契数。叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回。叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波那契数。在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序（源自希腊词，意即叶子的排列）比。多数的叶序比呈现为斐波那契数的比。 有一段楼梯有10级台阶,规定每一步只能跨一级或两级,要登上第10级台阶有几种不同的走法? 这是一个斐波那契数列：登上第一级台阶有一种登法；登上两级台阶，有两种登法；登上三级台阶，有三种登法；登上四级台阶，有五种登法…1，2，3，5，8，13…所以，登上十级，有89种走法。 由于斐波那契级数列有着几乎层出不穷的性质，以致于1963年美国还专门创刊《斐波那契季刊》来研究斐波那契数列，并刊载有关研究新成果。为了帮助同学们初步了解和研究斐波那契数列的性质，先提供以下6条性质供同学们参考、探索和研究： （1）1221n n n S a a a a +=+++=- ；（2）242211n n a a a a ++++=- ； （3）13212n n a a a a -+++= ； （4）222121n n n a a a a a ++++= ； （5）22211n n n a a a +-=+； （6）()2121n n n n a a a ++-=-。
2014年温州市小学数学小课题评比 学校：苍南县钱库小学 成员姓名：陈耀坤吴文强金旭杭 指导教师：陈瑞帐 生活中的“斐波那契数列”
——台阶中的数学 一、问题的提出 周末爸爸妈妈带我去龙港影城看3D电影，影城的大门口有16级水泥台阶，我发现老年人大多是一级一级地往上走的，年轻的小伙子喜欢两级两级地往上走，小朋友则是一会儿走一级，一会儿又蹦两级……很快，一个念头闪入我的脑海：按照他们这样不同的走法，走完这16级台阶，一共会有多少种不同的走法呢会不会有什么规律呢于是，在爸爸妈妈的鼓励下，我决定开始台阶走法的研究。 二、研究过程 1.从最简单的做起 该怎样开展研究呢我找了两个好朋友，做合作伙伴。我们想起了老师曾经提到过的华罗庚说的话:“善于退，足够地退，退到最原始的而不失重要的地方是学好数学的一个诀窍。”也就是说可以“从最简单的做起”于是我们通过画楼梯入手。 1个台阶（1种） 2个台阶（2种） 3个台阶（3种） 4个台阶（5种） …… 后来我觉得用这种表示方法实在太麻烦了，有没有更简捷的表达方法呢于是在数学老师的启发下就想到了用最简单的数字来表达： 楼梯台阶数及方法楼梯上法表示 一个台阶（1种）（1） 二个台阶（2种）（1，1）（2） 三个台阶（3种）（1，1，1）（1，2）（2，1） 四个台阶（5种）（1，1，1 ，1）（1，1，2）（1，2，1）（2，1，1）（2，2）五个台阶（8种）（1，1，1，1，1）（1，1，1，2）（1，1，2，1）（1，2，1，1） （2，1，1，1）（2，1，2）（2，2，1）（1，2，2）
5个台阶有8种走法，那现在求16个台阶有几种走法，该怎么办呢我们想用这个方法继续进行进去，我尝试着： 六个台阶（13种）（1，1，1，1，1，1）（1，2，1，1，1）（1，1，2，1，1） （1，1，1，2，1）（1，1，1，1，2）（2，1，1，1，1） （1，1，2，2）（2，1，1，2）（2，1，2，1）（2，2，1，1，） （1，2，2，1）（1，2，1，2）（2，2，2） 七个台阶（21种）（1，1，1，1，1，1，1）（1，1，1，1，1，2）（1，1，1，1，2，1）（1，1，1，2，1，1）（1，1，2，1，1，1）（1，2，1，1，1，1） （2，1，1，1，1，1）（1，1，1，2，2）（1，1，2，2，1） （1，2，2，1，1）（2，2，1，1，1）（1，2，1，1，2） （1，2，1，2，1）（1，2，2，1，1,）（2，1，1，1，2） （2，1，1，2，1）（2，1，2，1，1）（2，2，2，1） （2，2，1，2）（2，1，2，2）（1，2，2，2）…… 2.整理数据，发现规律 这样写下去还是很麻烦，数字会越来越大，而且很容易出现遗漏或重复。有没有规律呢我们重新整理了数据，发现台阶上法数据之间有关联： 7个台阶的走法=6个台阶的走法+5个台阶的走法，也就是13+8=21。6个台阶的走法=5个台阶的走法+4个台阶的走法，也就是8+5=13…… 那走台阶的上法是否有规律是否是后一个数都是前两个数的和呢照这样推理，8个台阶数的走法应该是34种呢我决定用数字拆分来进行验证，发现答案完全符合。
1+n n a 1-n 2. 等差数列: 通项a n =a 1+(n-1)d. 从第二项起,后项-前项=常数d(公差). 3. 等比数列: 通项a n =a 1q n-1. 从第二项起,后项:前项=常数q(公比). 练习 1. 填空, 然后写出下列数列的第n 项(用n 表示 a n ,n =1,2,3,…): (1) 2,7,12,17,22, , ,…,通项a n = . (2) 68,61,54,47,40, , ,…,通项a n = . (3) 1,3,9,27,81, , ,…,通项a n = . (4) 1,21 ,41,81,16 1, , ,…,通项a n = . (5) 0,3,8,15,24, , ,…,通项a n = . (6) 1,3,6,10,15, , ,…,通项a n = . 2. 填空,然后写出下列数列的后项与前面项的关系: (1) 2,3,5,8,12, , ,…,规律: . (2) 0,1,3,8,21, , ,…,规律: . 3. 观察数列,写出指定的项： (1) 2,3,5,7,11,13,…,第10项是 . (2) 1,2,3,4,3,2,1,2,3,4,3,2,1,…,第1000项是 . 4. 瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据59 ,1216,2125,32 36,…中,得到巴尔末公式,从而打开了光谱奥妙的大门.请你按这种规律写出第七个数据是 . 5．数字解密: 小说《达·芬奇密码》中从卢浮宫博物馆馆长被杀场面开始,凶杀在现场留下了如下的神秘数字：“13-3-2-21-1-1-8-5”,请你判断这是 数列. 6*. 阳阳和明明玩上楼梯游戏,规定一步只能上一级或二级台阶,他们发现:当楼梯的台阶数为一级时只有1种上楼梯的方法,台阶数为二级时有2种上法,台阶数为三级时可以从一级或二级台阶跨上去,共有3种上法,…,那么上十级台阶共有 种上法. 二. 贾宪三角与数阵 1.下表是某月的月历: (1) 阴影方框中的9个数与该方框中间的数有什么等量关系? (2) 这个关系对其他方框成立吗? 说明理由. (3) 这关系对任何一个月的月历都成立吗?为什么? 你还能找到哪些规律? 2. 根据右面的数表所列反映的规律,猜想第6行与第6列的交叉点上的数应 为 .第n 行与第n 列交叉点上的数应为 . 3. 右下角是一个有规律排列的数表,第20行第21 列的数是 .第n 行第n 列的数是 ． 4. 由偶数构造的表如右,那么2000在第 行, 第 列. 5. 正整数1,2,3, 按右图排成一个数阵,那么,第 一行中自左到右第8个数是 .第4行第5列的 数是 .101这个数位于第 行,第 列.
趣味题：Fibonacci数列（兔子生兔子问题） 在所有的递推关系中，Fibonacci数列应该是最为大家所熟悉的。在最基础的程序设计语言Logo语言中，就有很多这类的题目。而在较为复杂的Basic、Pascal、C语言中，Fibon acci数列类的题目因为解法相对容易一些，逐渐退出了竞赛的舞台。可是这不等于说Fibo nacci数列没有研究价值，恰恰相反，一些此类的题目还是能给我们一定的启发的。 Fibonacci数列的代表问题是由意大利著名数学家Fibonacci于1202年提出的“兔子繁殖问题”(又称“Fibonacci问题”)。 问题的提出：有雌雄一对兔子，假定过两个月便可繁殖雌雄各一的一对小兔子。问过n个月后共有多少对兔子？ 解：设满x个月共有兔子F x对，其中当月新生的兔子数目为N x对。第x-1个月留下的兔子数目设为O x对。则： F x=N x+O x 而O x=F x-1， N x=O x-1=F x-2 (即第x-2个月的所有兔子到第x个月都有繁殖能力了) ∴F x=F x-1+F x-2 边界条件： F0=0，F1=1 由上面的递推关系可依次得到 F2=F1+F0=1，F3=F2+F1=2，F4=F3+F2=3，F5=F4+F3=5，……。 Fabonacci数列常出现在比较简单的组合计数问题中，例如以前的竞赛中出现的“骨牌覆盖”问题、下文中的例题1等都可以用这种方法来解决。在优选法(优选法：设函数y=f x在区间(a,b)上有一单峰极值点，假定为极大点。所谓单峰极值，即只有一个极点ξ，而且当x与ξ偏离越大，偏差|f(x)-f(ξ)|也越大。要求用若干次试验找到ξ点准确到一定的程度。较优