专题十五 动力学图像、临界极值问题（精练）
1．（多选）一质点在外力作用下做直线运动，其速度v 随时间t 变化的图象如图所示。在图中标出的时刻中，质点所受合外力的方向与速度方向相同的有
A ．t 1
B ．t 2
C ．t 3
D ．t 4 【答案】AC
2．（多选）如图a ，一物块在t ＝0时刻滑上一固定斜面，其运动的v ?t 图线如图b 所示.若重力加速度及图b 中的v 0、v 1、t 1均为已知量，则可求出
A ．斜面的倾角
B ．物块的质量
C ．物块与斜面间的动摩擦因数
D ．物块沿斜面向上滑行的最大高度 【答案】ACD
【解析】由v ?t 图象可求知物块沿斜面向上滑行时的加速度大小为a ＝v 0
t 1
，根据牛顿第二定律得mg sin θ＋μmg cos θ＝ma ，即g sin θ＋μg cos θ＝v 0t 1.同理向下滑行时g sin θ－μg cos θ＝v 1t 1
，两式联立得sin θ＝
v 0＋v 12gt 1，μ＝v 0－v 1
2gt 1cos θ
，可见能计算出斜面的倾角θ以及动摩擦因数，选项A 、C 正确；物块滑上斜面时的初速度v 0已知，向上滑行过程为匀减速直线运动，末速度为0，那么平均速度为v 0
2
，所以沿斜面向上
滑行的最远距离为x ＝v 02t 1，根据斜面的倾角可计算出向上滑行的最大高度为x sin θ＝v 02t 1×v 0＋v 1
2gt 1＝
v 0(v 0＋v 1)
4g
，选项D 正确；仅根据v ?t 图象无法求出物块的质量，选项B 错误。 3．如图甲，长木板B 静置于光滑水平面上，其上放置物块A .木板B 受到水平拉力F 作用时，其加速度
a 与拉力F 的关系图象如图乙所示，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则物块A 的质量为
A ．4 kg
B ．3 kg
C ．2 kg
D ．1 kg 【答案】B
【解析】设A 、B 的质量分别为m 和M .当F ＝4 N 时，加速度为：a ＝1 m/s 2
， 对整体分析，由牛顿第二定律有：F ＝（M ＋m ）a 代入数据解得：M ＋m ＝4 kg 当F >4 N 时，A 、B 发生相对滑动，对B ，由牛顿第二定律得：a ＝
F －μmg M ＝1M F －μmg
M
知a －F 图线的斜率k ＝1
M
＝1，解得：M ＝1 kg ，所以A 的质量为：m ＝3 kg 。
故B 正确，A 、C 、D 错误。
4．（多选）如图所示是甲、乙、丙、丁四个物体对应的物理量与时间的关系图象，下列说法中正确的是
A ．甲物体受到的合外力为零
B ．乙物体受到的合外力越来越大
C ．丙物体受到不为零且大小恒定合外力
D ．丁物体的加速度越来越大 【答案】ACD
5．如图所示，A 、B 两物体靠在一起静止放在光滑的水平面上，质量分别为m A ＝1 kg ，m B ＝4 kg.从t ＝0开始用水平力F A 推A ，用水平力F B 拉B ，F A 和F B 随时间变化的规律是F A ＝10－t （N ），F B ＝5＋t （N ）。从
t ＝0到A 、B 脱离的过程中，下列说法正确的是
A ．所用时间为2.5 s
B．A物体的位移为73.5 m
C．A的末速度为14 m/s
D．A的末速度为7.5 m/s
【答案】B
6．（多选）物体A、B原来静止于光滑水平面上。从t＝0时刻开始，A沿水平面做直线运动，速度随时间变化的图象如图甲所示；B受到如图乙所示的水平拉力作用。则在0～4 s时间内
A．物体A所受合力保持不变
B．物体A的速度不断减小
C．2 s末物体B改变运动方向
D．2 s末物体B速度达到最大
【答案】AD
【解析】由题图甲可知，物体A做匀变速直线运动，物体A所受合力保持不变，物体A的速度先减小后增大，选项A正确，B错误；2 s末物体B所受水平拉力为零，加速度为零，速度方向不变，速度达到最大值，选项C错误，D正确。
7．（多选）如图甲所示，在光滑水平面上叠放着A、B两物体，现对A施加水平向右的拉力F，通过传感器可测得物体A的加速度a随拉力F变化的关系如图乙所示。已知重力加速度为g＝10 m/s2，由图线可知
A．物体A的质量m A＝2 kg
B．物体A的质量m A＝6 kg
C．物体A、B间的动摩擦因数μ＝0.2
D．物体A、B间的动摩擦因数μ＝0.6
【答案】BC
【解析】a－F图线的斜率等于质量的倒数，由图可知，拉力F＞48 N后，图线斜率变大，表明研究对
象质量减小，物体A、B间发生相对滑动，故m A＋m B＝1
k1
＝8 kg，m A＝
1
k2
＝6 kg。由图象知：当F＝60 N时，
a＝8 m/s2，又F－μm A g＝m A a，解得μ＝0.2。
8．（多选）某物体质量为1 kg，在水平拉力作用下沿粗糙水平地面做直线运动，其速度－时间图象如图所示，根据图象可知
A．物体所受的拉力总是大于它所受的摩擦力
B．物体在第3 s内所受的拉力大于1 N
C．在0～3 s内，物体所受的拉力方向始终与摩擦力方向相反
D．物体在第2 s内所受的拉力为零
【答案】DB
9．一物块静止在粗糙的水平桌面上，从某时刻开始，物块受到一方向不变的水平拉力作用，假设物块与桌面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。以a表示物块的加速度大小，F表示水平拉力的大小。能正确描述F与a之间关系的图象是
【答案】C
【解析】物块的受力如图所示，当F不大于最大静摩擦力时，物块仍处于静止状态，故其加速度为0；当F大于最大静摩擦力后，由牛顿第二定律得F－μF N＝ma，即F＝μF N＋ma，F与a成线性关系。选项C正确。
10．如图所示，物体沿斜面由静止滑下，在水平面上滑行一段距离后停止，物体与斜面和水平面间的动摩擦因数相同，斜面与水平面平滑连接。下图中v、a、F f和s分别表示物体速度大小、加速度大小、摩擦力大小和路程。上图中正确的是
【答案】C
【解析】物体在斜面上运动时，摩擦力F f 1＝μmg cos θ，加速度a 1＝g (sin θ－μcos θ)，速度v 1
＝a 1t 1，路程s ＝12a 1t 2
1，由此可知A 、B 、D 错；物体在水平面上运动时，摩擦力F f 2＝μmg ，加速度a 2＝μg ，
所以C 正确。
11．（多选）如图甲所示，在电梯箱内轻绳AO 、BO 、CO 连接吊着质量为m 的物体，轻绳AO 、BO 、CO 对轻质结点O 的拉力分别为F 1、F 2、F 3。现电梯箱竖直向下运动的速度v 随时间t 的变化规律如图乙所示，重力加速度为g ，则
A ．在0～t 1时间内，F 1与F 2的合力等于F 3
B ．在0～t 1时间内，F 1与F 2的合力大于mg
C ．在t 1～t 2时间内，F 1与F 2的合力小于F 3
D ．在t 1～t 2时间内，F 1与F 2的合力大于mg 【答案】AD
12．如图所示，物块a 放在竖直放置的轻弹簧上，物块b 放在物块a 上静止不动。当用力F 使物块b 竖直向上做匀加速直线运动时，在下面所给的四个图象中，能反映物块b 脱离物块a 前的过程中力F 随时间t 变化规律的是
【答案】C
13．（多选）如图甲所示，A、B两长方体叠放在一起放在光滑的水平面上，B物体从静止开始受到一个水平变力的作用，该力与时间的关系如图乙所示，运动过程中A、B始终保持相对静止。则在0～2t0时间内，下列说法正确的是
A．t0时刻，A、B间的静摩擦力最大，加速度最小
B．t0时刻，A、B的速度最大
C．0时刻和2t0时刻，A、B间的静摩擦力最大
D．2t0时刻，A、B离出发点最远，速度为0
【答案】BCD
【解析】本题考查对牛顿运动定律、静摩擦力的灵活应用。t0时刻，A、B受力F为0，A、B加速度为0，A、B间静摩擦力为0，加速度最小，选项A错误；在0至t0过程中，A、B所受合外力逐渐减小，即加速度减小，但是加速度与速度方向相同，速度一直增加，t0时刻A、B速度最大，选项B正确；0时刻和2t0时刻A、B所受合外力F最大，故A、B在这两个时刻加速度最大，为A提供加速度的A、B间静摩擦力也最大，选项C正确；A、B先在F的作用下加速，t0后F反向，A、B继而做减速运动，到2t0时刻，A、B速度减小到0，位移最大，选项D正确。
14．（多选）如图甲所示，在水平地面上有一长木板B，其上叠放木块A。假定木板与地面之间、木块和木板之间的最大静摩擦力都和滑动摩擦力相等。用一水平力F作用于B，A、B的加速度与F的关系如图乙所示，重力加速度g取10 m/s2，则下列说法中正确的是
A．A的质量为0.5 kg
B．B的质量为1.5 kg
C ．B 与地面间的动摩擦因数为0.2
D ．A 、B 间的动摩擦因数为0.2 【答案】AC
【解析】F ≤3 N 时，A 、B 均静止，表明B 与地面间最大静摩擦力为3 N ；3 N ＜F ≤9 N 时，A 、B 一起以相同加速度运动，a ＝F －μ
2
m A ＋m B g m A ＋m B ＝1
m A ＋m B
F －μ2g ，由图象斜率知m A ＋m B ＝1.5 kg ，B 与地面间的动
摩擦因数为μ2＝F f
m A ＋m B g
＝0.2；当F ＞9 N 时，A 的加速度为a A ＝μ1g ，根据图象可知μ1＝0.4，B 的加
速度为a B ＝
F －μ1m A g －μ2m A ＋m B g
m B
，由图象斜率知m B ＝1 kg ，m A ＝0.5 kg ，A 、C 对。
15．如图所示，质量为1 kg 的木块A 与质量为2 kg 的木块B 叠放在水平地面上，A 、B 间的最大静摩擦力为2 N ，B 与地面间的动摩擦因数为0.2。用水平力F 作用于B ，则A 、B 保持相对静止的条件是（g 取10 m/s 2
）
A ．F ≤12 N
B ．F ≤10 N
C ．F ≤9 N
D ．F ≤6 N 【答案】A
16．如图所示，光滑水平面上放置质量分别为m 和2m 的四个木块A 、B 、C 、D ，其中A 、C 两木块间用一不可伸长的轻绳相连，木块间的最大静摩擦力是μmg 。现用水平拉力F 拉D 木块，使四个木块以同一加速度运动，则A 、C 轻绳的最大拉力为
A ．3μmg 5
B ．3μmg 2
C ．3μmg 4
D ．3μmg
【答案】C
【解析】设整体加速度为a ，对B 木块受力分析，水平方向只受静摩擦力作用，F f1＝2ma ① 对A 、B 、C 三个木块组成的整体受力分析，水平方向只受静摩擦力作用，F f2＝4ma ②
由于A 、B 间和C 、D 间的最大静摩擦力大小都为μmg ，且F f2>F f1，所以整体加速度增大时，C 、D 间的静摩擦力先达到最大静摩擦力，取F f2＝μmg ③
再对A 、B 两木块组成的整体受力分析，水平方向只受绳的拉力作用，有F T ＝3ma ④ 由②③④得F T ＝3
4
μmg ，C 正确。
17．如图所示，在光滑水平面上，放置着A 、B 两个物体。A 、B 紧靠在一起，其质量分别为m A ＝3 kg ，
m B ＝6 kg ，推力F A 作用于A 上，拉力F B 作用于B 上，F A 、F B 大小均随时间而变化，其规律为F A ＝（12－2t ）
N ，F B ＝（6＋2t ）N 。问从t ＝0开始，到A 、B 相互脱离为止，A 、B 的共同位移是多少。
【答案】9m
设A 、B 间的弹力为F AB ，对B 有：F B ＋F AB ＝m B a ②
由于加速度a 恒定，则随着t 的增大，F B 增大，弹力F AB 逐渐减小，当A 、B 恰好分离时，A 、B 间的弹力为零，即F AB ＝0③
将F A ＝（12－2t ）N ，F B ＝（6＋2t ）N 代入①得：a ＝2 m/s 2
。结合②③得：t ＝3 s 。
A 、
B 相互脱离前共同位移为：x ＝1
2
at 2，代入数值得：x ＝9 m 。
18．一弹簧一端固定在倾角为37°光滑斜面的底端，另一端拴着质量m 1＝4 kg 的物块P ，Q 为一重物，已知Q 的质量m 2＝8 kg ，弹簧的质量不计，劲度系数k ＝600 N/m ，系统处于静止，如图所示。现给Q 施加一个方向沿斜面向上的力F ，使它从静止开始沿斜面向上做匀加速运动，已知在前0.2 s 时间内，F 为变力，0.2 s 以后，F 为恒力。求力F 的最大值与最小值（g 取10 m/s 2
，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）
【答案】F min ＝36 N F max ＝72 N
在0.2 s 内，x 1－x 2＝12at 2
解得a ＝3 m/s 2
重物Q 刚开始匀加速时力F 最小，F min ＝（m 1＋m 2）a ＝36 N
0.2 s 后力F 最大，对Q 受力分析并由牛顿第二定律得F max －m 2g sin37°＝m 2a
得F max＝72 N。
19．如图所示，木板与水平地面间的夹角θ可以随意改变，当θ＝30°时，可视为质点的一小木块恰好能沿着木板匀速下滑。若让该小木块从木板的底端以大小恒定的初速率v0的速度沿木板向上运动，随着θ的改变，小物块沿木板向上滑行的距离x将发生变化，重力加速度为g。
（1）求小物块与木板间的动摩擦因数；
（2）当θ角为何值时，小物块沿木板向上滑行的距离最小，并求出此最小值。
【答案】（1）
3
3
（2）
3v20
4g
【解析】（1）当θ＝30°时，木块处于平衡状态，对木块受力分析：mg sin θ＝μF N F N－mg cos θ＝0
解得μ＝tan θ＝tan 30°＝
3
3
。
（2）当θ变化时，设沿斜面向上为正方向，木块的加速度为a，则－mg sin θ－μmg cos θ＝ma
由0－v20＝2ax得x＝
v20
2gθ＋μcos θ
＝
v20
2g1＋μ2θ＋α
令tan α＝μ，则当α＋θ＝90°时x最小，即θ＝60°
所以x最小值为x min＝v20
2g＋μ＝
3v20
4g
。
20．一质量为m＝0.4 kg的电动遥控玩具车在水平地面上做直线运动，如图所示为其运动的v－t图象的一部分，已知0.4 s以前车做匀变速运动，之后做变加速运动直到速度最大，2 s时刻关闭发动机，玩具车开始做匀减速运动最终停止。小汽车全过程中所受阻力可视为恒定。
（1）关闭发动机后小车运动的时间；
（2）求匀加速阶段小汽车的驱动力；
（3）估算全过程小汽车行驶的距离。
【答案】（1）4 s （2）4.8 N （3）28.4 m
（2）设0～0.4 s 内，小汽车加速度大小为a 1 a 1＝Δv 1Δt 1＝4－00.4 m/s 2＝10 m/s 2
据牛顿第二定律得F －F f ＝ma 1 关闭发动机后F f ＝ma 2 解得F ＝4.8 N 。 （3）0～0.4 s 内的位移x 1＝12a 1t 21＝12×10×0.42
m ＝0.8 m
根据图象可得0.4～2 s 内的位移x 2＝58×0.2×1 m＝11.6 m
2 s 以后的位移x 3＝12a 2t 2＝12
×2×42
m ＝16 m 小汽车的总位移x ＝x 1＋x 2＋x 3＝28.4 m 。
21．在风洞实验室里，一根足够长的均匀直细杆与水平面成θ＝37°固定，质量为m ＝1 kg 的小球穿在细杆上静止于细杆底端O ，如图甲所示。开启送风装置，有水平向右的恒定风力F 作用于小球上，在t 1＝2 s 时刻风停止。小球沿细杆运动的部分v －t 图象如图乙所示，取g ＝10 m/s 2
，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，忽略浮力。求：
（1）小球在0～2 s 内的加速度a 1和2～5 s 内的加速度a 2； （2）小球与细杆间的动摩擦因数μ和水平风力F 的大小。 【答案】（1）－10 m/s 2
（方向沿杆向下）（2）0.5，50 N 【解析】（1）取沿杆向上为正方向，由图乙可知在0～2 s 内：a 1＝v 1－v 0t 1
＝15 m/s 2
（方向沿杆向上） 在2～5 s 内：a 2＝
v 2－v 1t 2
＝－10 m/s 2
（方向沿杆向下） （2）有风力时的上升过程，对小球受力分析有F cos θ－μ（mg cos θ＋F sin θ）－mg sin θ＝ma 1 停风后的上升阶段，有－μmg cos θ－mg sin θ＝ma 2 综上解得μ＝0.5，F ＝50 N
22．如图甲所示，质量为m ＝2 kg 的物体在水平面上向右做直线运动。过A 点时给物体一个水平向左的恒力F 并开始计时，选水平向右为速度的正方向，通过速度传感器测出物体的瞬时速度，所得v －t 图象如图乙所示。取重力加速度g ＝10 m/s 2
。求：
（1）力F 的大小和物体与水平面间的动摩擦因数μ； （2）10 s 末物体离A 点的距离。
【答案】（1）0.05（2）－2 m 负号表示物体在A 点左侧
设物体向左做匀加速直线运动的加速度为a 2，则由题中v －t 图象得a 2＝1 m/s 2
③ 根据牛顿第二定律得F －μmg ＝ma 2④ 联立①②③④解得：F ＝3 N ，μ＝0.05
（2）设10 s 末物体离A 点的距离为d ，d 应为v －t 图象与横轴所围的面积，则d ＝8×42 m －6×62 m
＝－2 m 负号表示物体在A 点左侧。
23．如图甲所示，长木板B 固定在光滑水平面上，可看做质点的物体A 静止叠放在B 的最左端。现用F ＝6 N 的水平力向右拉物体A ，经过5 s 物体A 运动到B 的最右端，其v －t 图象如图乙所示。已知A 、B 的质量分别为1 kg 、4 kg ，A 、B 间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g ＝10 m/s 2
。
（1）求物体A 、B 间的动摩擦因数；
（2）若B 不固定，求A 运动到B 的最右端所用的时间。 【答案】（1）0.4（2）7.07s
【解析】（1）根据v －t 图象可知物体A 的加速度为a A ＝Δv Δt ＝105 m/s 2＝2 m/s 2
以A 为研究对象，根据牛顿第二定律可得F －μm A g ＝m A a A 解得μ＝F －m A a A
m A g
＝0.4 （2）由题图乙可知木板B 的长度为l ＝1
2
×5×10 m＝25 m
若B 不固定，则B 的加速度为a B ＝μm A g m B ＝0.4×1×104
m/s 2＝1 m/s 2
设A 运动到B 的最右端所用的时间为t ，根据题意可得12a A t 2－12
a B t 2
＝l 解得t ＝7.07 s 。
24．如图所示，小车上放着由轻弹簧连接的质量为m A ＝1 kg 、m B ＝0.5 kg 的A 、B 两物体，两物体与小车间的最大静摩擦力分别为4 N 和1 N ，弹簧的劲度系数k ＝0.2 N/cm 。
（1）为保证两物体随车一起向右加速运动，弹簧的最大伸长是多少厘米？
（2）为使两物体随车一起向右以最大的加速度向右加速运动，弹簧的伸长是多少厘米？ 【答案】（1）10 cm （2）3.33m
对A 应用牛顿第二定律F f A －kx ＝m A a 解得x ＝10 cm 。
（2）为使两物体随车一起向右以最大的加速度向右加速运动，A 、B 两物体所受静摩擦力应达到最大，方向均向右。对A 、B 作为整体应用牛顿第二定律a ＝
F f A ＋F f B m A ＋m B ＝103
m/s 2 对A 应用牛顿第二定律F f A －kx ＝m A a 解得x ≈3.33 cm。