在科学计算领域中，空间插值是一类常用的重要算法，很多相关软件都内置该算法，其中GodenSoftware 公司的Surfer软件具有很强的代表性，内置有比较全面的空间插值算法，主要包括：
Inverse Distance to a Power（反距离加权插值法）
Kriging（克里金插值法）
Minimum Curvature（最小曲率）
Modified Shepard's Method（改进谢别德法）
Natural Neighbor（自然邻点插值法）
Nearest Neighbor（最近邻点插值法）
Polynomial Regression（多元回归法）
Radial Basis Function（径向基函数法）
Triangulation with Linear Interpolation（线性插值三角网法）
Moving Average（移动平均法）
Local Polynomial（局部多项式法）
下面简单说明不同算法的特点。
1、距离倒数乘方法
距离倒数乘方格网化方法是一个加权平均插值法，可以进行确切的或者圆滑的方式插值。方次参数控制着权系数如何随着离开一个格网结点距离的增加而下降。对于一个较大的方次，较近的数据点被给定一个较高的权重份额，对于一个较小的方次，权重比较均匀地分配给各数据点。计算一个格网结点时给予一个特定数据点的权值与指定方次的从结点到观测点的该结点被赋予距离倒数成比例。当计算一个格网结点时，配给的权重是一个分数，所有权重的总和等于1.0。当一个观测点与一个格网结点重合时，该观测点被给予一个实际为1.0 的权重，所有其它观测点被给予一个几乎为0.0 的权重。换言之，该结点被赋给与观测点一致的值。这就是一个准确插值。距离倒数法的特征之一是要在格网区域内产生围绕观测点位置的"牛眼"。用距离倒数格网化时可以指定一个圆滑参数。大于零的圆滑参数保证，对于一个特定的结点，没有哪个观测点被赋予全部的权值，即使观测点与该结点重合也是如此。圆滑参数通过修匀已被插值的格网来降低"牛眼"影响。
2、克里金法
克里金法是一种在许多领域都很有用的地质统计格网化方法。克里金法试图那样表示隐含在你的数据中的趋势，例如，高点会是沿一个脊连接，而不是被牛眼形等值线所孤立。克里金法中包含了几个因子：变化图模型，漂移类型和矿块效应。
3、最小曲率法
最小曲率法广泛用于地球科学。用最小曲率法生成的插值面类似于一个通过各个数据值的，具有最小弯曲量的长条形薄弹性片。最小曲率法，试图在尽可能严格地尊重数据的同时，生成尽可能圆滑的曲面。使用最小曲率法时要涉及到两个参数：最大残差参数和最大循环次数参数来控制最小曲率的收敛标准。
4、多元回归法
多元回归被用来确定你的数据的大规模的趋势和图案。你可以用几个选项来确定你需要的趋势面类型。多元回归实际上不是插值器，因为它并不试图预测未知的Z 值。它实际上是一个趋势面分析作图程序。使用多元回归法时要涉及到曲面定义和指定XY的最高方次设置，曲面定义是选择采用的数据的多项式类型，这些类型分别是简单平面、双线性鞍、二次曲面、三次曲面和用户定义的多项式。参数设置是指定多项式方程中X 和Y组元的最高方次。5、径向基本函数法
径向基本函数法是多个数据插值方法的组合。根据适应你的数据和生成一个圆滑曲面的能力，
其中的复二次函数被许多人认为是最好的方法。所有径向基本函数法都是准确的插值器，它们都要为尊重你的数据而努力。为了试图生成一个更圆滑的曲面，对所有这些方法你都可以引入一个圆滑系数。你可以指定的函数类似于克里金中的变化图。当对一个格网结点插值时，这些个函数给数据点规定了一套最佳权重。
6、谢别德法
谢别德法使用距离倒数加权的最小二乘方的方法。因此，它与距离倒数乘方插值器相似，但它利用了局部最小二乘方来消除或减少所生成等值线的"牛眼"外观。谢别德法可以是一个准确或圆滑插值器。在用谢别德法作为格网化方法时要涉及到圆滑参数的设置。圆滑参数是使谢别德法能够象一个圆滑插值器那样工作。当你增加圆滑参数的值时，圆滑的效果越好。7、三角网/线形插值法
三角网插值器是一种严密的插值器，它的工作路线与手工绘制等值线相近。这种方法是通过在数据点之间连线以建立起若干个三角形来工作的。原始数据点的连结方法是这样：所有三角形的边都不能与另外的三角形相交。其结果构成了一张覆盖格网范围的，由三角形拼接起来的网。每一个三角形定义了一个覆盖该三角形内格网结点的面。三角形的倾斜和标高由定义这个三角形的三个原始数据点确定。给定三角形内的全部结点都要受到该三角形的表面的限制。因为原始数据点被用来定义各个三角形，所以你的数据是很受到尊重的。
8.自然邻点插值法
自然邻点插值法(NaturalNeighbor)是Surfer7.0才有的网格化新方法。自然邻点插值法广泛应用于一些研究领域中。其基本原理是对于一组泰森(Thiessen)多边形,当在数据集中加入一个新的数据点(目标)时,就会修改这些泰森多边形,而使用邻点的权重平均值将决定待插点的权重,待插点的权重和目标泰森多边形成比例[9]。实际上,在这些多边形中,有一些多边形的尺寸将缩小,并且没有一个多边形的大小会增加。同时,自然邻点插值法在数据点凸起的位置并不外推等值线(如泰森多边形的轮廓线)。
9.最近邻点插值法
最近邻点插值法(NearestNeighbor)又称泰森多边形方法,泰森多边形(Thiesen,又叫Dirichlet或Voronoi多边形)分析法是荷兰气象学家A.H.Thiessen提出的一种分析方法。最初用于从离散分布气象站的降雨量数据中计算平均降雨量,现在GIS和地理分析中经常采用泰森多边形进行快速的赋值[2]。实际上,最近邻点插值的一个隐含的假设条件是任一网格点p(x,y)的属性值都使用距它最近的位置点的属性值,用每一个网格节点的最邻点值作为待的节点值[3]。当数据已经是均匀间隔分布,要先将数据转换为SURFER的网格文件,可以应用最近邻点插值法;或者在一个文件中,数据紧密完整,只有少数点没有取值,可用最近邻点插值法来填充无值的数据点。有时需要排除网格文件中的无值数据的区域,在搜索椭圆(SearchEllipse)设置一个值,对无数据区域赋予该网格文件里的空白值。设置的搜索半径的大小要小于该网格文件数据值之间的距离,所有的无数据网格节点都被赋予空白值。在使用最近邻点插值网格化法,将一个规则间隔的XYZ数据转换为一个网格文件时,可设置网格间隔和XYZ数据的数据点之间的间距相等。最近邻点插值网格化法没有选项,它是均质且无变化的,对均匀间隔的数据进行插值很有用,同时,它对填充无值数据的区域很有效。
Surfer 11教程 程贤辅翻译2012.10.20 Surfer11版的帮助里面有一套非常好的教程，我希望能将它介绍给大家。对于某些高手，可以也应该绕开，以免浪费您的宝贵时间。其他朋友，如果您看了以下的教程，对您有帮助，那我就很高兴，也算我为我国的气象事业间接作了一点贡献。 该套教程共有14课，1到10 是初级教程，11到14是高级教程： 1、预览及创建数据； 2、创建网格文件； 3、创建等值线图； 4、修改坐标； 5、散点图数据点和图形图层的使用； 6、创建剖面图； 7、保存图形； 8、创建3D曲面图形； 9、添加透明度、比色刻度尺和标题； 10、从不同的坐标系统创建各类图形； 11、自定义工具栏和键盘命令； 12、覆盖图形层； 13、白化一个网格文件； 14、更改工作表中的投影。 我不知道我能不能完成所有的教程翻译工作，因为各种不可预计的因素会影响工作的进展。尽量做吧。想起40年前我为了制作一张等值图，要花费3天时间，用掉多少草稿纸和橡皮擦，要画出平滑的等值线还真不容易。而今的气象工作者有如此先进方便的软件，插值算法就有12种，只要将数据准备好，一幅漂亮、准确的等值图瞬间就可以出来，还没有人为的因素干扰，真是太幸福了。最后，如果你发现有任何错误，请及时指出，以便改正，免得我误人子弟。 特别注明：在每一课之后，如果有“补充”标题和附加的内容，是本人的心得、感受、或者理解，仅供参考。 言归正传，下面教程开始，先看一段关于Surfer的概述，然后进入第一课。 使用Surfer： Surfer 最常见的应用就是从XYZ数据文件创建一个基于网格的各类图形。调用菜单中的Grid | Data（网格|数据）命令，用来生成一个网格文件，然后再用Map（图形）菜单命令，从网格文件来生成各类图形。但是，散点图（Post）和基底图（Base map）不使用网格文件来生成。 使用Scripter（脚本）： Golden Software's脚本编辑程序适用于任何ActiveX自动化兼容的客户端，如Visual Basic，可以在Surfer自动化完成任务。脚本是一个文本文件，其中包含了执行运行脚本时的一系列的指令。脚本编辑器可以用于执行在Surfer上的几乎任何任务。在一个脚本中你可以做几乎一切，甚至可以
准备工作 Golden Software | Surfer | Tutorial 由holz 在周一, 2006-01-16 05:51 提交 理解如何使用Surfer Surfer 最常用的一个应用就是使用一个XYZ 数据文件来创建一个等值线图或表面图。网格菜单下的数据命令就是用来将一个XYZ 数据文件转换为一个网格文件[.GRD] 的。当您创建了一个网格文件后，就可以通过等值线命令来创建一个等值线图或通过Surface 命令来生成一个表面图。 下图举例说明了XYZ 数据文件、网格文件、等值线图和表面图之间的关系。 启动Surfer 在您安装完Surfer 后，在Windows 的程序管理器中你会发现一个Golden Software 组。 要启动Surfer 程序，可以这样： 1.点击开始菜单，鼠标移动到程序，在出现的分级菜单中选择Golden Software，点击Surfer。 2.现在我们看到Surfer 已经启动了，并且我们看到了一个空白的图形窗口，这是我们用来创建网 格文件、等值线图、表面图或任何其他地图类型的工作区域。 3.如果您希望Surfer 充满整个屏幕，点击Surfer 窗口右上角的最大化按钮。同样的道理您也可以 将Surfer 内的图形窗口最大化。 使用在线帮助 Surfer 帮助系统使你非常容易的获得任何菜单或对话框项目的信息，有几种方法获得帮助信息： ?你可以从帮助菜单选择一个命令，例如内容命令显示帮助主题。 ?你可以点击工具栏上的帮助工具按钮，同样显示帮助主题。 ?当你需要一个指定命令的信息的时候，你可以按SHIFT+F1 然后指针出现一个问号标记，当你选择一个菜单命令的时候，Windows 帮助系统被启动，你所选择的命令的帮助信息被显示出来。
Surfer软件插值方法 1、距离倒数乘方法距离倒数乘方格网化方法是一个加权平均插值法，可以进行确切的或者圆滑的方式插值。方次参数控制着权系数如何随着离开一个格网结点距离的增加而下降。对于一个较大的方次，较近的数据点被给定一个较高的权重份额，对于一个较小的方次，权重比较均匀地分配给各数据点。计算一个格网结点时给予一个特定数据点的权值与指定方次的从结点到观测点的该结点被赋予距离倒数成比例。当计算一个格网结点时，配给的权重是一个分数，所有权重的总和等于1.0。当一个观测点与一个格网结点重合时，该观测点被给予一个实际为1.0 的权重，所有其它观测点被给予一个几乎为0.0 的权重。换言之，该结点被赋给与观测点一致的值。这就是一个准确插值。距离倒数法的特征之一是要在格网区域内产生围绕观测点位置的"牛眼"。用距离倒数格网化时可以指定一个圆滑参数。大于零的圆滑参数保证，对于一个特定的结点，没有哪个观测点被赋予全部的权值，即使观测点与该结点重合也是如此。圆滑参数通过修匀已被插值的格网来降低"牛眼"影响。 2、克里金法克里金法是一种在许多领域都很有用的地质统计格网化方法。克里金法试图那样表示隐含在你的数据中的趋势，例如，高点会是沿一个脊连接，而不是被牛眼形等值线所孤立。克里金法中包含了几个因子：变化图模型，漂移类型和矿块效应。 3、最小曲率法最小曲率法广泛用于地球科学。用最小曲率法生成的插值面类似于一个通过各个数据值的，具有最小弯曲量的长条形薄弹性片。最小曲率法，试图在尽可能严格地尊重数据的同时，生成尽可能圆滑的曲面。使用最小曲率法时要涉及到两个参数：最大残差参数和最大循环次数参数来控制最小曲率的收敛标准。 4、多元回归法多元回归被用来确定你的数据的大规模的趋势和图案。你可以用几个选项来确定你需要的趋势面类型。多元回归实际上不是插值器，因为它并不试图预测未知的Z 值。它实际上是一个趋势面分析作图程序。使用多元回归法时要涉及到曲面定义和指定XY的最高方次设置，曲面定义是选择采用的数据的多项式类型，这些类型分别是简单平面、双线性鞍、二次曲面、三次曲面和用户定义的多项式。参数设置是指定多项式方程中X 和Y组元的最高方次。 5、径向基本函数法径向基本函数法是多个数据插值方法的组合。根据适应你的数据和生成一个圆滑曲面的能力，其中的复二次函数被许多人认为是最好的方法。所有径向基本函数法都是准确的插值器，它们都要为尊重你的数据而努力。为了试图生成一个更圆滑的曲面，对所有这些方法你都可以引入一个圆滑系数。你可以指定的函数类似于克里金中的变化图。当对一个格网结点插值时，这些个函数给数据点规定了一套最佳权重。 6、谢别德法谢别德法使用距离倒数加权的最小二乘方的方法。因此，它与距离倒数乘方插值器相似，但它利用了局部最小二乘方来消除或减少所生成等值线的"牛眼"外观。谢别德法可以是一个准确或圆滑插值器。在用谢别德法作为格网化方法时要涉及到圆滑参数的设置。圆滑参数是使谢别德法能够象一个圆滑插值器那样工作。当你增加圆滑参数的值时，圆滑的效果越好。 7、三角网/线形插值法三角网插值器是一种严密的插值器，它的工作路线与手工绘制等值线相近。这种方法是通过在数据点之间连线以建立起若干个三角形来工作的。原始数据点的连结方法是这样：所有三角形的边都不能与另外的三角形相交。其结果构成了一张覆盖格网范围的，由三角形拼接起来的网。每一个三角形定义了一个覆盖该三角形内格网结点的面。三角形的倾斜和标高由定义这个三角形的三个原始数据点确定。给定三角形内的全部结点都要受到该三角形的表面的限制。因为原始数据点被用来定义各个三角形，所以你的数据是很受到尊重的。8.自然邻点插值法自然邻点插值法(NaturalNeighbor)是Surfer7.0才有的网格化新方法。自然邻点插值法广泛应用于一些研究领域中。其基本原理是对于一组泰
牛顿插值法 插值法是利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，这在实际计算中很不方便。为了克服这一缺点，提出了牛顿插值。牛顿插值通过求各阶差商，递推得到的一个公式： f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0 )...(x-xn-1)+Rn(x)。 插值函数 插值函数的概念及相关性质[1] 定义：设连续函数y-f(x) 在区间[a,b]上有定义，已知在n+1个互异的点 x0,x1,…xn上取值分别为y0,y1,…yn （设a≤ x1≤x2……≤xn≤b)。若在函数类中存在以简单函数P(x) ，使得P(xi)=yi,则称P(x) 为f(x)的插值函数. 称x1,x2,…xn 为插值节点，称[a,b]为插值区间。 定理：n次代数插值问题的解存在且唯一。
牛顿插值法C程序 程序框图#include 一篇英文文章，用百度翻译翻译的 还有一篇中文文章供参考 满满的诚意，求赏金 ABSTRACT SURFER is a contouring and 3D surface mapping program, which quickly and easily transforms random surveying data, using interpolation, into continuous curved face contours. In particular, the new version, SURFER 8.0, provides over twelve interpolation methods, each having specific functions and related parameters. In this study, the 5 meter DTM was used as test data to compare the various interpolation results; the accuracy of these results was then discussed and evaluated. 摘要 冲浪是一个轮廓和三维表面的绘制程序，并迅速和容易地变换随机测量数据，使用插值，成连续的曲面轮廓。特别是，新版本，上网8，提供超过十二的插值方法，每一个具有特定功能和相关参数。在这项研究中，5米DTM作为测试数据，比较不同的插值结果；讨论和评价，然后这些结果的准确性。 1. INTRODUCTION How to adequately use exist numerous wide-distributed height points has been an important topic in the field of spatial information. Normally, contouring is the way to accurately describe the terrain relief by means of Scenography, Shading, Hachure and Layer Tinting in a way which is best fit to the habit of human vision. Presently, discretely collected height points have to be interpolated to form curved faces, the selection of spatial interpolation methods decide the quality, accuracy and follow-up analysis applications. Interpolation methods are used here to calculated the unknown heights of interested points by referring to the elevation information of neighboring points. There are a great many commercial interpolation software, however, most of them are tiny and designed to solve specific problems with limited versatility. The SURFER is a software developed by US GOLDEN company, and the newest version 8.0 contains up to 12 interpolation methods to been free chosen for various needs. Users are suggested to first have the basic understanding of every interpolation methods before he or she can effectively select parameters in every interpolation methods. In the following paper, we will introduce every interpolation method in SURFER. 1。简介 如何充分利用现有的众多分布高度点一直是空间信息领域的一个重要课题.。通常，轮廓是准确地运用透视法，描述地形的阴影，Hachure和分层设色的一种方式，是人的视觉习惯，最适合。 目前，离散采集高程点必须插值曲面形状、空间插值方法的选择决定的质量，精度和后续分析中的应用。这里采用插值法计算邻近点的高程信息，计算感兴趣点的未知高度.。有许多商业插值软件，但是，他们大多是微小的，旨在解决特定问题的有限多功能性。上网是一个由美国黄金公司开发的软件，最新版本8包含 natural cubic spine二阶导数求解 1 Natural cubic spine is The formula (3.37) in book ‘Numerical Recipes in Fortran 77’ is: (1) Where . Formula (1) can be simplified as: (2) Where: (3) Formula (2) can be written as: (4) This is a ‘m=n-2’ dimensional equation, then change the subscript. Take: , and (4) can be changed into: (5) To solve equation (5), we can get , then we can get . 三次样条插值法使用时，一般要对y均分取值。 2 The second derivative is known: , (6) When : (7) When : (8) So formula (4) can be written as: (9) Then we can solve equation (9). 3 The first derivative is known. The formula (3.35) is : (6) Where: Case 1: , (6) can be changed into: (7) And , (7) can be written as: (8) (9) Case 2: , (6) can be written as: (10) And , (10) can be written as: (11) (12) , (13) j=2: Golden Surfer8.0初学者教程 一、简介 Golden Software Surfer 8.0 (以下简称Surfer)是一款画三维图（等高线,image map, 3d surface）的软件，该软件简单易学，可以在几分钟内学会主要内容，且其自带的英文帮助（help菜单）对如何使用surfer解释的很详细，其中的tutorial 教程更是清晰的介绍了surfer的简单应用，应该说surfer软件自带的帮助文件是相当完美且容易阅读的,只要学过英语的人都可以很快上手。 Surfer是具有插值功能的绘图软件，因此，即使你的数据是不等间距的，依然可以用它作图。但依据作者的经验，最好不使用Surfer自带的插值功能，尤其是要精确确定等高线时。由于surfer是美国的一个软件，它不提供对中文的支持，这可以算的上一个小的遗憾。 Surfer的主要功能是绘制等高线图（contour map），此外它还可以绘制post map，classed post map， vector map， image map， wireframe map， 3d surface map，等形式的图形。其功能是比较强的，但没有各种投影变化是它的一大缺点。尤其是在等高线领域，这不能不说是它的应用受到限制的地方。 由于surfer软件没有中文说明书，对一些初学者来说可能会存在上手较难的问题，鉴于此种需求，编写了这一初学者参考手册，希望对大家有所帮助。二、等高线的绘制 Surfer的最主要的功能是绘制等高线图，但并不是我们具有了数据文件就可以直接绘制等高线，surfer要求绘制等高线的数据有特殊的格式要求，即首先要将数据文件转换成Surfer认识的grd文件格式，才能绘制等高线（当然，可以直接生成surfer接受的ascii 码的grd文件格式，这样就可以直接作图，此方法将在后面介绍，首先我们介绍常用的作图方法）。假设你有三列数据分别为X，Y，Z，其中Z为点（x，y）处的值，存在文件test.dat中（数据见附件），其中第一列是X坐标，第二列是Y坐标，第三列是（x，y）上的值Z，则绘制等高线的步骤如下： 步骤一：把数据文件转换成grd文件 1. 打开菜单Grid | Data... ,在open对话框中选择数据文件test.dat 2. 这会打开“Grid Data”对话框。在“Data Columns”中选择要进行GRID 的网格数据（X和Y坐标）以及格点上的值（Z列），这里我们不用选择，因只有3列数据且它们的排列顺利已经是XYZ了，如果是多列数据，则可以在下拉菜单中选择所需要的列数据。选择好坐标XY和Z值后，在“Griding Method"中选择一种插值方法（如果你需要比原始数据的网格X和Y更密的Z数据，或 第3章绘图软件的使用 软件运行环境及特点 Golden Software Surfer （以下简称Surfer）是一款画三维图（等值线，image map，3d surface）的软件，是美国Golden Software公司的系列绘图软件之一。该软件简单易学，可以在几分钟内学会主要内容，且其自带的英文帮助文件（help菜单）是相当完美且容易阅读的，对如何使用Surfer，解释的很详细，只要学过英语的人都可以很快上手。 Surfer的主要功能是绘制等值线图（contour map），是具有插值功能的绘图软件，因此，即使你的数据是不等间距的，依然可以用它作图。此外它还可以绘制张贴图、分类张贴图、矢量图、影像图、线框图、3d surface map，等形式的图形，其功能是比较强大的。 Surfer的安装比较简单（目前，只有Windows操作系统下的版本，最为常用的是版本），只要按其提示缺省安装即可。其安装软件的大小不到30M，一般的计算机硬件基本能够顺利使用该软件。安装好Surfer以后，其环境界面如图3－1所示。 命令 菜单 绘图 命令 目标管 理窗口 工作区 状态栏 图3-1 软件界面 软件界面及命令菜单 Surfer软件的界面非常友好，继承了Windows操作系统软件的特点。从图3－1中可以看到，其最上方为命令菜单，在命令菜单的下方是命令菜单中的快捷工具栏（共两行），左侧的空白区域为目标管理窗口，用来更加方便的管理绘制的各个图形要素，右侧的空白区域为工作区，用来绘制图形，最右侧的一个竖条工具栏是绘图命令的快捷方式。下面详细介绍各个命令菜单的主要内容。 3.2.1文件菜单（F） “文件菜单”如图3－2所示，主要是对文件进行操作，如文件的建立、加载、打印设置等。 图3-2 文件菜单 新建—用来新建一个工作窗口，点击后即出现图3－1界面。 打开—打开一个已经存在的Surfer可以识别的文件。 关闭—关闭当前窗口。 保存—保存当前窗口内容。 另存为—将当前窗口内容另存为其它文件名。 输入—输入Surfer识别的图形格式。 输出—将窗口内容输出到图形等格式文件。 页面设置—设置当前页面的尺寸等属性。 打印—打印当前窗口内容。 CENTRAL SOUTH UNIVERSITY 数值分析实验报告 三次样条插值方法的应用 一、问题背景 分段低次插值函数往往具有很好的收敛性，计算过程简单，稳定性好，并且易于在在电子计算机上实现，但其光滑性较差，对于像高速飞机的机翼形线船体放样等型值线往往要求具有二阶光滑度，即有二阶连续导数，早期工程师制图时，把富有弹性的细长木条（即所谓的样条）用压铁固定在样点上，在其他地方让他自由弯曲，然后沿木条画下曲线，称为样条曲线。样条曲线实际上是由分段三次曲线并接而成，在连接点即样点上要求二阶导数连续，从数学上加以概括就得到数学样条这一概念。下面我们讨论最常用的三次样条函数及其应用。 二、数学模型 样条函数可以给出光滑的插值曲线（面），因此在数值逼近、常微分方程和偏微分方程的数值解及科学和工程的计算中起着重要的作用。 设区间[]b ,a 上给定有关划分b x x n =<<<= 10x a ，S 为[]b ,a 上满足下面条件的函数。 ● )(b a C S ,2∈； ● S 在每个子区间[]1,+i i x x 上是三次多项式。 则称S 为关于划分的三次样条函数。常用的三次样条函数的边界条件有三种类型： ● Ⅰ型 ()()n n n f x S f x S ''0'',==。 ● Ⅱ型 ()()n n n f x S f x S ''''0'''',==，其特殊情况为()()0''''==n n x S x S 。 ● Ⅲ型 ()() 3,2,1,0,0==j x S x S n j j ，此条件称为周期样条函数。 鉴于Ⅱ型三次样条插值函数在实际应用中的重要地位，在此主要对它进行详细介绍。 三、算法及流程 按照传统的编程方法，可将公式直接转换为MATLAB 可是别的语言即可；另一种是运用矩阵运算，发挥MATLAB 在矩阵运算上的优势。两种方法都可以方便地得到结果。方法二更直观，但计算系数时要特别注意。这里计算的是方法一的程序，采用的是Ⅱ型边界条件，取名为spline2.m 。 Matlab 代码如下： function s=spline2(x0,y0,y21,y2n,x) %s=spline2(x0,y0,y21,y2n,x) %x0,y0 are existed points,x are insert points,y21,y2n are the second 牛顿插值法的分析与应用 学生： 班级： 学号： ： 指导教师： 成绩： 一．定义 )(x f 关于i x 的零阶差商 )(][i i x f x f = )(x f 关于i x ，j x 的一阶差商 i j i j j i x x x f x f x x f --= ][][],[ 依次类推，)(x f 关于i x ，1+i x ，……，k i x +的k 阶差商 i k i k i i k i i k i i i x x x x f x x f x x x f --= +-+++++] ,,[],,[],,,[111 二. 牛顿插值多项式 设给定的n+1个互异点))(,(k k x f x ，n k ,,1,0 =，j i x x ≠，j i ≠， 称满足条件 )()(k k n x f x N =，n k ,,1,0 = 的n 次多项式 )()](,,,[)](,[][)(10100100---++-+=n n n x x x x x x x f x x x x f x f x N 为Newton 插值多项式，称 ],[,)(],,,[)()()(0 10b a x x x x x x f x N x f x E n j j n n ∈-=-=∏= 为插值余项。 三.算法 步骤1：输入节点（xj ，yj ），精度ξ，计值点xx ，f0→p ，1→T ，1→i ； 步骤2：对k=1，2，……，i 依次计算k 阶均差 f[xi-k,xi-k+1,…,xi] = (f[xi-k+1,…,xi]- f[xi-k,…,xi])/( xi -xi-k ) 步骤3：（1）、若| f[x1,…,xi]- f[x0,…,xi-1]|< ξ，则p 为最终结果Ni-1(x)，余项Ri-1= f[x0,…,xi](xx-xi-1)T 。 （2）、否则(xx-xi-1)*T →T ，p+ f[x0,…,xi]*T →p ，转步骤4。 步骤4：若i Surfer教程Surfer画等值线图教程 导读:Surfer是一款三维立体图制作软件，这款软件是由美国的Golden Software公司开发，这款软件对于地质工作者来说是一款特别不错的软件，现在本文就给大家介绍借助Surfer软件来画等值线图的方法。 1、首先要做的就是在excel上整理数据。一般情况下坐标数据在B列和C 列，目标列也就是你要画等值线的数据随便放在哪一排，本次用的是F列，整理结果如图。 2、打开surfer软件。认识软件界面，我们主要用菜单栏的数据和地图这两个功能。如图。 3、找到数据功能，要将excel的资料转化为网格文件。点中数据功能，单击，找到你所需资料的excel文件，点确定，会出现如下对话框，将x设为excel中含有Y坐标的列，y设为excel中含有X坐标的列，z设为目标列，本次用F列，网格化方法选克里格。注意的是一般要将最下面的最大值改大一千，最小值改小一千。右下角的两个数据差不多大小才是正确的，如果差距过大证明数据错误，在右下角数据后各扩大十倍。点确认，之后会有对话框一直点确认，记住你输出网格数据的位置。 4、下面就是正式的生成等值线图，点选地图功能，选新建等值线图，在对话框找到刚生成的网格数据文件，直接点击打开，画图界面就会直接出现等值线图。如图。 5、最后在左上角文件中选择另存为将图保存到你想要保存的文件夹。或者你想转成其他文件就在文件功能中选择输出功能，选择你想要保存的格式保存在电脑中。 以上便是Surfer画等值线图的方法，由于该软件是一款全英文软件，如果你是以为英语能力比较薄弱的用户，那么在使用的过程中一定要注意所用功能的位置，以免点错功能。 S u r f e r8绘图指南 闫昊明 二○○六年六月?第二版 §1 Surfer8软件简介 1.1 软件运行环境及特点 Golden Software Surfer 8.0 (以下简称 Surfer)是一款画三维图（等高线, image map, 3d surface 等）的软件，该软件简单 易学，可以在几分钟内学会主要内容，且 其自带的英文帮助（help 菜单）对如何使 用surfer 解释的很详细，其中的tutorial 教 程更是清晰的介绍了surfer 的简单应用， 应该说surfer 软件自带的帮助文件是相当 完美且容易阅读的,只要学过英语的人都 可以很快上手。 图1－1 Surfer 是具有插值功能的绘图软件，因 此，即使你的数据是不等间距的，依然可 以用它作图。surfer 是美国Golden Software 公司的系列绘图软件之一，它对中文的支持不够友好，这不得不算是一个小小的遗 憾。Golden Software 公司的绘图软件还包括两维和三维平面绘图软件Grapher （最新版本6.0），数字化底图软件Diger ，地图软件MapViewer 和地质软件Strater 等，大家可以在其官方网站https://www.doczj.com/doc/d914255730.html,/找到软件和一些有用的资料。 Surfer 的主要功能是绘制等高线图（contour map ），此外它还可以绘制post map ， classed post map ， vector map ， image map ，Shaded Relief map, wireframe map ，3d surface map 等形式的图形。其功能比较强，但没有各种投影变化是它的一大缺点。尤其是在等高线领域，这不能不说是它的应用受到限制的地方。 Surfer 的安装比较简单（目前，只有windows 平台下的版本，最新为8.0版本），只要按其提示缺省安装即可。其安装软件的大小不到30M ，一般的计算机硬件基本能够顺利使用该软件。安装好Surfer 以后，其环境界面如图1－1所示。 1.2 软件界面及命令菜单 Surfer 的软件界面非常友好，继承了windows 操作系统软件的特点。从图1－1中可以看到，其最上方为命令菜单，在命令菜单的下方是命令菜单中的快捷工具栏（共两行），左侧的空白区域为目标管理窗口，用来更加方便的管理绘制的各个图形要素，右侧的空白区域为工作区，用来绘制图形，最右侧的一个竖条工具栏是绘图命令的快捷方式。下面详细介绍各个命令菜单的主要内容。 1.2.1 文件菜单（File ） 图1－2给出了文件菜单中的所有命令。 New － 用来新建一个工作窗口，即出现如图1－1中的界面。 Golden software 记录一些 Holz 自己写的或整理的 Golden Software 系列软件相关的文章。 Golden Software 系列软件包括 Surfer、Grapher、Didger、Mapviewer 和 Strater，几乎是地质工作者必备的工具软件，可用于各种数据分析、数据可视化和专题图制作。 转载请注明出处。 Didger 3 教程 Holz 将以 Didger 3 英文版的依据写一些教程。 Didger 3 入门教程 这个入门教程向大伙介绍 Didger 的部分功能，当然是最基本的那些。 我没有数字化仪、没有GPS之类，所以许多高级的 Didger 功能我都从来用不上。所以这个教程是一个数字化的基础教程，您看完这个教程，应当能够使用 Didger 建立自己的工程了。 这个教程是很浅薄的，学好点E文准备看 Golden Software 给您提供的用户手册罢，据说您的问题通常都能在那上面找到。 当然您还有问题就去骚扰他们的技术支持罢，不用问我，我的水平差着呢～～～ 下面说说课程安排： 第一课- 学习如何校准一个光栅图像，不要问我关于如何校准数字化仪、GPS 之类的，我没有，我不知道。 第二课 - 学习如何数字化一个点，如何设置点的属性和数字化线条。 第三课 - 学习如何保存您的 Didger 工程并且将数据输出以供其他程序使用。 第四课 - 学习如何建立多边形，如何从多段线建立多边形等。(没啥重要的，完全可以忽略不看) 第五课 - 学习光栅图像的处理、输出和再次利用等。(也没啥重要的，也完全可以忽略不看) 这个入门教程其实比 Didger 3 本身提供的要简陋，因此如果您的 E 文比较好，不用在此流连，直接看帮助罢。 Surfer---九种插值方法 Inverse Distance to a Power--反距离加权插值法 Kriging--克里金插值法） Minimum Curvature--最小曲率 Modified Shepard's Method--改进谢别德法 Natural Neighbor--自然邻点插值法 Nearest Neighbor--最近邻点插值法 Polynomial Regression--多元回归法 Radial Basis Function--径向基函数法 Triangulation with Linear Interpolation--线性插值三角网法 Moving Average--移动平均法 Local Polynomial--局部多项式法 1、距离倒数乘方法距离倒数乘方格网化方法是一个加权平均插值法，可以进行确切的或者圆滑的方式插值。方次参数控制着权系数如何随着离开一个格网结点距离的增加而下降。对于一个较大的方次，较近的数据点被给定一个较高的权重份额，对于一个较小的方次，权重比较均匀地分配给各数据点。计算一个格网结点时给予一个特定数据点的权值与指定方次的从结点到观测点的该结点被赋予距离倒数成比例。当计算一个格网结点时，配给的权重是一个分数，所有权重的总和等于1.0。当一个观测点与一个格网结点重合时，该观测点被给予一个实际为 1.0 的权重，所有其它观测点被给予一个几乎为0.0 的权重。换言之，该结点被赋给与观测点一致的值。这就是一个准确插值。距离倒数法的特征之一是要在格网区域内产生围绕观测点位置的"牛眼"。用距离倒数格网化时可以指定一个圆滑参数。大于零的圆滑参数保证，对于一个特定的结点，没有哪个观测点被赋予全部的权值，即使观测点与该结点重合也是如此。圆滑参数通过修匀已被插值的格网来降低"牛眼"影响。 2、克里金法克里金法是一种在许多领域都很有用的地质统计格网化方法。克里金法试图那样表示隐含在你的数据中的趋势，例如，高点会是沿一个脊连接，而不是被牛眼形等值线所孤立。克里金法中包含了几个因子：变化图模型，漂移类型和矿块效应。 3、最小曲率法最小曲率法广泛用于地球科学。用最小曲率法生成的插值面类似于一个通过各个数据值的，具有最小弯曲量的长条形薄弹性片。最小曲率法，试图在尽可能严格地尊重数据的同时，生成尽可能圆滑的曲面。使用最小曲率法时要涉及到两个参数：最大残差参数和最大循环次数参数来控制最小曲率的收敛标准。 4、多元回归法多元回归被用来确定你的数据的大规模的趋势和图案。你可以用几个选项来确定你需要的趋势面类型。多元回归实际上不是插值器，因为它并不试图预测未知的Z 值。它实际上是一个趋势面分析作图程序。使用多元回归法时要涉及到曲面定义和指定XY的最高方次设置，曲面定义是选择采用的数据的多项式类型，这些类型分别是简单平面、双线性鞍、二次曲面、三次曲面和用户定义的多项式。参数设置是指定多项式方程中X 和Y 组元的最高方次。 5、径向基本函数法径向基本函数法是多个数据插值方法的组合。根据适应你的数据和生成 空间插值可以有很多种分类方法，插值种类也难以举尽。在网上看到这篇文章，觉得虽然作者没能进行分类，但算法本身介绍地还是不错的。 在科学计算领域中，空间插值是一类常用的重要算法，很多相关软件都内置该算法，其中GodenSoftware 公司的Surfer软件具有很强的代表性，内置有比较全面的空间插值算法，主要包括： Inverse Distance to a Power（反距离加权插值法） Kriging（克里金插值法） Minimum Curvature（最小曲率） Modified Shepard's Method（改进谢别德法） Natural Neighbor（自然邻点插值法） Nearest Neighbor（最近邻点插值法） Polynomial Regression（多元回归法） Radial Basis Function（径向基函数法） Triangulation with Linear Interpolation（线性插值三角网法） Moving Average（移动平均法） Local Polynomial（局部多项式法） 下面简单说明不同算法的特点。 1、距离倒数乘方法 距离倒数乘方格网化方法是一个加权平均插值法，可以进行确切的或者圆滑的方式插值。方次参数控制着权系数如何随着离开一个格网结点距离的增加而下降。对于一个较大的方次，较近的数据点被给定一个较高的权重份额，对于一个较小的方次，权重比较均匀地分配给各数据点。计算一个格网结点时给予一个特定数据点的权值与指定方次的从结点到观测点的该结点被赋予距离倒数成比例。当计算一个格网结点时，配给的权重是一个分数，所有权重的总和等于1.0。当一个观测点与一个格网结点重合时，该观测点被给予一个实际为1.0 的权重，所有其它观测点被给予一个几乎为0.0 的权重。换言之，该结点被赋给与观测点一致的值。这就是一个准确插值。距离倒数法的特征之一是要在格网区域内产生围绕观测点位置的"牛眼"。用距离倒数格网化时可以指定一个圆滑参数。大于零的圆滑参数保证，对于一个特定的结点，没有哪个观测点被赋予全部的权值，即使观测点与该结点重合也是如此。圆滑参数通过修匀已被插值的格网来降低"牛眼"影响。 2、克里金法 克里金法是一种在许多领域都很有用的地质统计格网化方法。克里金法试图那样表示隐含在你的数据中的趋势，例如，高点会是沿一个脊连接，而不是被牛眼形等值线所孤立。克里金法中包含了几个因子：变化图模型，漂移类型和矿块效应。 3、最小曲率法 最小曲率法广泛用于地球科学。用最小曲率法生成的插值面类似于一个通过各个数据值的，具有最小弯曲量的长条形薄弹性片。最小曲率法，试图在尽可能严格地尊重数据的同时，生成尽可能圆滑的曲面。使用最小曲率法时要涉及到两个参数：最大残差参数和最大循环次数参数来控制最小曲率的收敛标准。 4、多元回归法 多元回归被用来确定你的数据的大规模的趋势和图案。你可以用几个选项来确定你需要的趋 帮助中的教程 目录 一、Surfer11 教程 (1) 第一课预览及创建数据 (3) 第二课创建网格文件 (9) 第三课创建等值线图 (14) 第四课修改数轴 (27) 第五课散点图数据点和图形图层的使用 (32) 第六课创建一个剖面图 (48) 第七课保存图形 (50) 第八课创建一个3D 曲面图 (52) 第九课增加透明度，色阶和标题 (58) 第十课从不同的坐标系中创建图形 (63) 第十一课自定义工具栏和键盘命令 (68) 第十二课叠加图形层 (71) 第十三课白化一个网格文件 (75) 第十四课在工作表中更改投影 (79) 二、答疑解惑 (82) 一、Surfer 11教程 程贤辅翻译2012.10.20 Surfer11版的帮助里面有一套非常好的教程，我希望能将它介绍给大家。对于某些高手，可以也应该绕开，以免浪费您的宝贵时间。其他朋友，如果您看了以下的教程，对您有帮助，那我就很高兴，也算我为我国的气象事业间接作了一点贡献。 该套教程共有14课，1到10 是初级教程，11到14是高级教程： 1、预览及创建数据； 2、创建网格文件； 3、创建等值线图； 4、修改坐标； 5、散点图数据点和图形图层的使用； 6、创建剖面图； 7、保存图形； 8、创建3D曲面图形； 9、添加透明度、比色刻度尺和标题； 10、从不同的坐标系统创建各类图形； 11、自定义工具栏和键盘命令； 12、覆盖图形层； 13、白化一个网格文件； 14、更改工作表中的投影。 我不知道我能不能完成所有的教程翻译工作，因为各种不可预计的因素会影响工作的进展。尽量做吧。想起40年前我为了制作一张等值图，要花费3天时间，用掉多少草稿纸和橡皮擦，要画出平滑的等值线还真不容易。而今的气象工作者有如此先进方便的软件，插值算法就有12种，只要将数据准备好，一幅漂亮、准确的等值图瞬间就可以出来，还没有人为的因素干扰，真是太幸福了。最后，如果你发现有任何错误，请及时指出，以便改正，免得我误人子弟。 特别注明：在每一课之后，如果有“补充”标题和附加的内容，是本人的心得、感受、或者理解，仅供参考。 言归正传，下面教程开始，先看一段关于Surfer的概述，然后进入第一课。 使用Surfer： Surfer 最常见的应用就是从XYZ数据文件创建一个基于网格的各类图形。调用菜单中的Grid | Data（网格|数据）命令，用来生成一个网格文件，然后再用Map（图形）菜单命令，从网格文件来生成各类图形。但是，散点图（Post）和基底图（Base map）不使用网格文件来生成。 使用Scripter（脚本）： Golden Software's脚本编辑程序适用于任何ActiveX自动化兼容的客户端，如Visual Basic，可以在Surfer自动化完成任务。脚本是一个文本文件，其中包含了执行运行脚本时的一系列的指令。脚本编辑器可以用于执行在Surfer上的几乎任何任务。在一个脚本中你可以做几乎一切，甚至可以 实验报告：牛顿差值多项式&三次样条 问题：在区间[-1,1]上分别取n=10、20用两组等距节点对龙格函数2 1()25f x x 作多项式插值及三次样条插值，对每个n 值，分别画出插值函数及()f x 的图形。 实验目的：通过编程实现牛顿插值方法和三次样条方法，加深对多项式插值的理解。应用所编程序解决实际算例。 实验要求： 1． 认真分析问题，深刻理解相关理论知识并能熟练应用； 2． 编写相关程序并进行实验； 3． 调试程序，得到最终结果； 4． 分析解释实验结果； 5． 按照要求完成实验报告。 实验原理： 详见《数值分析 第5版》第二章相关内容。 实验内容： （1）牛顿插值多项式 1.1 当n=10时： 在Matlab 下编写代码完成计算和画图。结果如下： 代码： clear all clc x1=-1:0.2:1; y1=1./(1+25.*x1.^2); n=length(x1); f=y1(:); for j=2:n for i=n:-1:j f(i)=(f(i)-f(i-1))/(x1(i)-x1(i-j+1)); end end syms F x p ; F(1)=1;p(1)=y1(1); for i=2:n F(i)=F(i-1)*(x-x1(i-1)); p(i)=f(i)*F(i); end syms P P=sum(p); P10=vpa(expand(P),5); x0=-1:0.001:1; y0=subs(P,x,x0); y2=subs(1/(1+25*x^2),x,x0); plot(x0,y0,x0,y2) grid on xlabel('x') ylabel('y') P10即我们所求的牛顿插值多项式，其结果为：P10（x）=-220.94*x^10+494.91*x^8-9.5065e-14*x^7-381.43*x^6-8.504e-14*x^5+123.36*x^4+2.0202e-1 4*x^3-16.855*x^2-6.6594e-16*x+1.0 并且这里也能得到该牛顿插值多项式的在[-1，1]上的图形，并和原函数进行对比（见Fig.1）。 Fig.1 牛顿插值多项式（n=10）函数和原函数图形 从图形中我们可以明显的观察出插值函数在两端点处发生了剧烈的波动，产生了极大的误差，即龙格现象，当n=20时，这一现象将更加明显。 1.2 当n=20时： 对n=10的代码进行修改就可以得到n=20时的代码。将“x1=-1:0.2:1;”改为“x1=-1:0.1:1;”即可。运行程序，我们得到n=20时的牛顿插值多项式，结果为：P20(x)= 260188.0*x^20 - 1.0121e6*x^18 + 2.6193e-12*x^17 + 1.6392e6*x^16 + 2.248e-11*x^15 - 1.4429e6*x^14 - 4.6331e-11*x^13 + 757299.0*x^12 + 1.7687e-11*x^11 - 245255.0*x^10 + 2.1019e-11*x^9 + 49318.0*x^8 + 3.5903e-12*x^7 - 6119.2*x^6 - 1.5935e-12*x^5 + 470.85*x^4 + 1.3597e-14*x^3 - 24.143*x^2 - 1.738e-14*x + 1.0 同样的，这里得到了该牛顿插值多项式的在[-1，1]上的图形，并和原函数进行对比（见Fig.2）。Surfer插值方法介绍 中英混合版
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