稳态导习题 1 固体内的一维导热问题
例1 具有均匀内热源强度q v 的无限大平壁处于稳态导热，其厚度为2δ，导热系数λ为常数，两侧壁温各自均布，分别为 t w1和t w2，试求该平壁内的温度分布表达式。 解: 根据题意，x 坐标的原点取平壁的中心线，描述该平壁内稳态导热现象的微分方程式为： 2v 2d 0d q t x λ
+= （1） 边界条件： x= -δ: t=t w1
x= δ: t=t w2 （2）
移项后积分该微分方程式两次可得其通解
v 1d d q t x C x λ
=-+ 2v 122q t x C x C λ
=-++ （3） 代入边界条件
2v w112()()2q t C C δδλ=-
-+-+ （4） 2v w2122q t C C δδλ
=-++ （5） 式（4）+式（5） 2w1w2v 22δλ
+=+t t q C （6） 式（4）－式（5） w2w112t t C δ-=
（7）
C 1和C 2代入微分方程式的通解式（3）后得到壁内的温度表达式
22v w2w1w2w1(2)222
δλδ-+=
-++q t t t t t x x （8） 例2具有均匀内热源q v 的无限大平壁处于稳态导热，其厚度为2δ，导热系数λ为常数，两侧壁温各自均布且相同，均为t w ，试求该平壁内的温度分布表达式。
解: 根据题意，导热微分方程式同上题。由于两侧壁温相同，是一种对称情况，因此只需求解一半的求解域即可，x 坐标的原点取平壁的中心线。描述该平壁内稳态温度场的微分方程式为： 2v 2d 0d q t x λ
+= （1）
边界条件：x=0: d 0d t x = x=δ: w = t t （2）
该微分方程式的通解为
2v 122q t x C x C λ
=-++ （3） 代入边界条件 v 100q C λ
=-+ （4） 2v w 122q t C C δδλ
=-++ （5） 由式（4）
10C = (6)
常数C 1代入式（5）
2v 2w 2q C t δλ
=+
(7) 常数C 1和C 2代入微分方程式的通解式（3）后得到壁内的温度表达式
22v w ()2q t x t δλ
=
-+ (8)
例3一锥台如附图所示，顶面和底面温度各为均匀的t w1和t w2，
侧面覆有保温材料。锥台的导热系数λ为常数.该锥台横截面的
直径随坐标x 的变化规律为d=cx (c 为常数)。设锥台内的导热为
沿x 方向的一维稳态导热。
试求：a. 通过锥台的热流量
b. 任意x 处的热流密度
解: 锥台顶面和底面的温度已知，锥台内无内热源，侧面绝
热，因此锥台内沿x 方向的热流量Ф为常数，导热系数λ为
常
数,可用傅里叶定律直接积分求得。
根据傅里叶定律 x dt A dx
λΦ=- （1） 式（1）两侧分离变量并积分
w2
2w11d d t x t x x
t x A λΦ=-?? （2） 由于热流量Φ和导热系数λ均为常数
w2
2w112d d ()
4
πλΦ=-??t x t x x t cx （3）
21
w2w1241()|πΦ-=--x x t t c x （4） w2w1221411()πΦ-=
-t t c x x （5） 因此 2w2w1
21114π-Φ=-t t c x x （6）
任意x 处的热流密度 w2w1221
11(t t q A x x x -Φ==-） （7）
例4一无限大平壁处于稳态导热，其厚度为δ，导热系数λ可用线性函数关系式λ=λo (1+ct)近似,其中λo 和c 均为常数，两侧壁温各自均布，分别为t w1和t w2，试求通过该平壁的热流密度q 。
解:无限大平壁两侧的温度已知，平壁内无内热源，因此沿与平壁垂直的x 方向的热流 量Φ或热流密度q 为常数，可用傅里叶定律直接积分求得。
根据傅里叶定律 t
d d t q x λ=- （1） 式（1）两侧分离变量并积分
w2w2w1w1t o 0d (1)d d δ
λλ=+=-???t t t t t ct t q x （2） w2
w12o ()|2
λδ+=-t
t c t t q (3) 因此 22o w1w1w2w2[()()]22
λδ=
+-+c c q t t t t （4） 例5一导热系数为λ1= W/(m·K)，厚2 cm 的无限大平壁，外覆盖一层导热系数λ2= W/(m·K)的保温材料以减少热损失。当组合壁的内、外表面温度分别为1300 ℃与30 ℃时，
欲使稳态导热时热损失不超过1830 W/m 2，保温材料的厚度应为多少
解：根据题意，各层壁内无内热源，因此沿壁厚方向的热流密度为常数。
i 1212
t t q R A δδλλ??==∑+ 2(130030)18300.021.30.35
δ-=
+ 因此，
21300300.020.35()0.23751830 1.3
δ-=-= m 例6已知一半径为r 0的无限长圆柱体处于稳态导热，它的导热系数λ为常数，内热源强度q v 为常数。圆柱体表面温度均布为t w ，试求圆柱体内的温度分布。
解:由于这是一种对于圆柱体中心线的对称情况，因此只需求解一半的求解域即可，r 坐标的原点取圆柱体的中心线。当导热系数λ为常数时，描述该圆柱体内稳态温度场的微分方程式为
v 1d d ()0d d q t r r r r λ+= （1）
边界条件：r=0: d 0d t r
= r=r 0: w = t t （2）
移项式（1）
v d d ()d d q t r r r r λ
=- （3） 式（3）两侧积分一次 2v 1d d 2q t r r C r λ
=-+ （4） 式（4）两侧除以r 后再积分一次，可得该微分方程式的通解
2v 12ln 4λ
=-
++q t r C r C （5） 代入边界条件
当r →0时，ln r→∞，而圆柱体内的实际温度是有限的，因此取C 1=0时，该方程的解才符合实际情况。
2v w 024λ
=-
+q t r C （6） 2v 20w 4λ=+q C r t (7)
常数C 1和C 2代入微分方程式的通解式（5）得到圆柱体内的温度表达式
22v 0w ()4λ
=-+q t r r t (8)
例7已知一直径为r 0的无限长圆柱体处于稳态导热，它的导热系数λ为常数，内热源强度q v 为常数。圆柱体表面浸在流体中。流体的温度为t f ，液体和圆柱体间的对流换热系数为h 。试求圆柱体内温度分布的表达式。
解:根据题意，几何条件，物理条件都同上题，可以从上题的公式（5）开始。
2v 12ln 4λ
=-
++q t r C r C （5）
和上题，取C 1=0并代入圆柱体表面的边界条件。
02v 02|4λ
==-
+r r q t r C （6） 上题中式（2）可写成 0v 0f (|)2λ
==-r r q r h t t (7) 因此 2v v 200f 24λλ=++q q C r r t h （8） 常数C 1和C 2代入微分方程式的通解式（5）得到圆柱体内的温度表达式
22v v v 00f 424λλλ
=-
+++q q q t r r r t h (9)
讨论：例题和的几何条件和物理条件相同，但因边界条件不同，因此解的形式完全不同。
例8直径为3mm 的金属丝的单位长度电阻为Ω/m，导热系数λ=19 W/(m·K)，浸在温
度为30 ℃的液体中，液体和金属丝间的对流换热系数h = kW/（m 2·K）。当100 A 的电流通
过该金属丝时，试求金属丝的中心温度。
解：根据能量守恒，电流通过金属丝产生的热量应等于金属丝表面和液体之间的对流换热量，因此可列出能量守恒方程
I 2R=hA(t w - t f ) （1）
式（1）中代入具体数值
1002×=5500×π××1×(t w -30) （2）
因此可算得金属丝表面温度为
t w =49.3 ℃ （3）
内热源强度 22v 2201000.1141.50.00151
I R q r L ππ?===?? MW/m 3 （4） 由解析习题中式（8）计算出金属丝中心(r =0)温度为
6
22v 0w 141.5100.001549.353.54419
λ?=+=?+=?q t r t ℃ （5）
例9蒸汽管道的外直径为6 cm,管外覆盖两层保温材料：第一层的厚度为1 cm ，导热系数λ1= W/(m·K)；第二层的厚度为2 cm ，导热系数λ2= W/(m·K)。蒸汽管道的外表面温度t w1=300 ℃, 保温层外表面温度为t w3=40 ℃。试求稳态导热时两层保温材料交界面的温度t w2。
解:多层壁的问题，采用热阻计算。根据题意，各层壁内无内热源，因此沿半径方向的热流量为常数。
w1w2w2w3122312ln(/)ln(/)
22t t t t r r r r l l
πλπλ--= （1） 式（1）中消去 2πl ，并代入具体数值，
w2w230040ln(3/4)ln(4/6)
0.140.042
--=t t （2） 因此可求得两层保温材料交界面的温度
t w2 =240.3 ℃ （3）
例10已知一内外径分别为r 1和r 2的圆球壁，它的密度ρ和比热容c 均为常数，无 内热源。两侧壁温各自均布，分别为t w1和t w2。试求圆球壁稳态导热时壁内温度分布的表达式。
解：根据题意，这是一种对于圆心的对称情况， r 坐标的原点取圆心。当导热系数λ为常数时，描述该圆球壁内稳态温度场的微分方程式为 2d d ()0d d t r r r
= （1）
边界条件： r=r 1: t=t w1
r=r 2: t=t w2 (2)
式（1）两侧积分一次 21d d t r C r
= （3） 式（3）两侧再积分一次，可得该微分方程式的通解
12C t C r
=-
+ （4） 代入边界条件 1w121
=-+C t C r (5) 1w222
=-+C t C r (6) 式（5）－式（6） w1w2121
11-=-t t C r r （7） 式（7）代入式（5） w1w22w1121111-=
+-t t C t r r r （8） 常数C 1和C 2代入微分方程式的通解式（4）得到壁内的温度表达式
w1w2w1w2w1w21w12w11122121
11(1)1111---=-++=-+---t t t t t t r t t r t r r r r r r r r r （9）
例11玻璃液柱式温度计插入一焊在气体管道的钢制细长套管内测定管道内的气体温度。为了增强温度计和套管间的传热，减少测温误差，套管内灌入机油。温度计的指示温度为200 ℃，气体管道壁温为80 ℃。钢制套管长8 cm,直径为1.5 cm,壁厚为1 mm ，导热系
数约为40W/(m 2·K)。气体与套管外表面间的对流换热系数为100 W/(m 2·K)。试求气体的实
际温度。
解：若忽略温度计和套管底面间的热阻，温度计的指示温度可视为为套管底面的温度。忽略温度计玻璃柱和机油的导热，套管可视为空心等截面直肋。求解时按绝热肋端边界条件加上长度修正，可简化计算过程。
22226512()(1513)10 4.41044π
π
--=-=-?=?A d d m 2
(1) 321 3.141510 4.7110π--==??=?U d m (2)
因此 2
5100 4.711051.7340 4.410
λ--??===??hU m A m -1 (3) ml c =×+4)= (4)
查得 ch (ml c )=ch= (5)
ch()l c ml θθ= (6) 0f l f ch()
c t t t t ml --= (7) l c 0f c ch()20038.0580203.2ch()138.051
t ml t t ml -?-===-- ℃ (8) 讨论：由肋片的传热分析可知，套管底面的温度和流体之间会有温差，即由于套管的导热而引起的温度测量误差，增加套管的长度和适当改变m 中的几个参数可以降低这一误差。
例12 某空气压缩机的气缸套有环状的铸铝肋片以加强散热。该肋片厚6 mm ，内外径分别为r 0 =50 mm 和r l =90 mm 。肋片根部的温度为70 ℃，铸铝的导热系数λ=150 W/(m·K)，
周围空气温度为20 ℃。由于风扇的冷却，空气和肋片间的对流换热系数h =60 W/（m 2·K）。
试求每片肋片的散热量。
解：根据该肋片的几何形状，需要通过查图计算出肋片效率ηf 后才能计算出散热量。按照相应的图上的公式计算如下：
l c =l+δ/2=0.023 m (1)
r lc = r l +δ/2= r 0+l c =0.048 m (2)
r lc /r o = (3)
A m =l c δ=×10-4 m 2 (4)
3/2
1/23/21/2C 4m 60()0.048()0.1879150 1.3810
h L A λ-==?? (5) 查图可得肋片效率 ηf = (6)
由于每片肋片有上下两个表面
22o lc o o f 2()()h r r t t πΦ=?--
=60×2π×（）×（70－20）= W (7)
因此 Φ =ηf Φo =×= W (8)
例13两根很长的直径为5 mm 的铝条焊在一起。焊接时周围空气温度为10 ℃，铝条与
空气之间的对流换热系数h =15 W/(m 2·K)。若焊点处的温度为250 ℃，确定焊点处的加热
量。
解: 铝条的导热系数取λ= W/(m·K)每根铝条可视为一无限长的圆柱肋。等截面直肋的的稳态导热微分方程式为
2220d m dx
θθ+= (1) 该微分方程式的通解为 θ=C 1 e mx + C 2 e -mx
(2)
当肋片无限长时，肋片端部的温度近似为周围流体温度。相应的边界条件为
x=0：θ0=t 0–t f
x=l ：θl =t f –t f =0 (3)
因此C 1=0，此时相应的特解为：
θ=θ0 e -mx （4）
θλλθ-==-==-=-=0x 000f d |(d (2507.36W
m q A A me t t x
焊点处的加热量为两根铝条的散热量，即 W。
传热学（一） 第一部分选择题 ?单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。 1. 在稳态导热中 , 决定物体内温度分布的是 ( B) A. 导温系数 B. 导热系数 C. 传热系数 D. 密度 2. 下列哪个准则数反映了流体物性对对流换热的影响 ?(C ) A. 雷诺数 B. 雷利数 C. 普朗特数 D. 努谢尔特数 3. 单位面积的导热热阻单位为 ( B)
A. B. C. D. 4. 绝大多数情况下强制对流时的对流换热系数 (C ) 自然对流。 A. 小于 B. 等于 C. 大于 D. 无法比较 5. 对流换热系数为 100 、温度为 20 ℃的空气流经 50 ℃的壁面，其对流换热的热流密度为（D ） A. B. C. D. 6. 流体分别在较长的粗管和细管内作强制紊流对流换热，如果流速等条件相同，则（ C） A. 粗管和细管的相同 B. 粗管内的大 C. 细管内的大 D. 无法比较 7. 在相同的进出口温度条件下，逆流和顺流的平均温差的关系为（ A） A. 逆流大于顺流 B. 顺流大于逆流 C. 两者相等 D. 无法比较
8. 单位时间内离开单位表面积的总辐射能为该表面的（A ） A. 有效辐射 B. 辐射力 C. 反射辐射 D. 黑度 9. （D ）是在相同温度条件下辐射能力最强的物体。 A. 灰体 B. 磨光玻璃 C. 涂料 D. 黑体 10. 削弱辐射换热的有效方法是加遮热板，而遮热板表面的黑度应（B ） A. 大一点好 B. 小一点好 C. 大、小都一样 D. 无法判断 第二部分非选择题 ?填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分） 11. 如果温度场随时间变化，则为。非稳态温度场
第三章 非稳态导热习题 例3.1一腾空置于室内地板上的平板电热器，加在其上的电功率以对流换热和辐射换热的方式全部损失于室内。电热器表面和周围空气的平均对流换热系数为h ，且为常数，室内的空气温度和四壁、天花板及地板的温度相同，均为t f 。电热器假定为均质的固体，密度为ρ，比热为c ，体积为V , 表面积为A ，表面假定为黑体，因其导热系数足够大，内部温度均布。通电时其温度为t 0。试写出该电热器断电后温度随时间变化的数学描述。 [解] 根据题意，电热器内部温度均布，因此可用集中参数分析法处理。 电热器以辐射换热方式散失的热量为： 44r f ()A T T σΦ=- （1） 以对流换热方式的热量为： c f ()hA T T Φ=- （2） 电热器断电后无内热源，根据能量守恒定律，散失的热量应等于电热器能量的减少。若只考虑电热器的热力学能 r c d d T cV ρτ -Φ-Φ= （3） 因此，相应的微分方程式为： 44f f d ()()d T A T T hA T T cV σρτ -+-=- （4） 初始条件为： τ=0， t =t 0 （5） 上述两式即为该电热器断电后温度随时间变化的数学描述。 例 3.2 电路中所用的保险丝因其导热系数很大而直径很小可视为温度均布的细长圆柱体，电流的热效应可视为均匀的内热源。如果仅考虑由于对流换热的散热量，保险丝表面和温度为t f 的周围空气之间的平均对流换热系数为h ，且为常数。试求该保险丝通电后温度随时间的变化规律。 [解] 根据题意，保险丝内部温度均布，因此可用集中参数分析法处理。 保险丝表面以对流换热方式散失的热量为： c f ()hA T T Φ=- （1） 保险丝的内热源为： Q 0=IR 2 （2） 式中：I ——保险丝通过的电流，（A ）； R ——保险丝的电阻，Ω。 根据能量守恒，散失的热量与内热源所转变成的热量的和应等于保险丝能量的变化。若只考虑保险丝的热力学能 c 0d d T Q cV ρτ -Φ+= （3）
传热学--第三章第三节一维非稳态导热问题 §3 — 3 一维非稳态导热的分析解 本节介绍第三类边界条件下：无限大平板、无限长圆柱、球的分析解及应用。如何理解无限大物体，如：当一块平板的长度、宽度>> 厚度时，平板的长度和宽度的边缘向四周的散热对平板内的温度分布影响很少，以至于可以把平板内各点的温度看作仅是厚度的函数时，该平板就是一块“无限大”平板。若平板的长度、宽度、厚度相差较小，但平板四周绝热良好，则热量交换仅发生在平板两侧面，从传热的角度分析，可简化成一维导热问题。 一、无限大平板的分析解 已知：厚度的无限大平板，初温t0，初始瞬间将其放于温度为的流体中，而且> t0，流体与板面间的表面传热系数为一常数。 试确定在非稳态过程中板内的温度分布。 解：如图3-5 所示，平板两面对称受热，所以其内温度分布以其中心截面为对称面。对 于x 0 的半块平板，其导热微分方程：(0 （边界条件） （边界条件） 对偏微分方程分离变量求解得： （3-10 ） 其中离散值是下列超越方程的根，称为特征值。 其中Bi 是以特征长度为的毕渥数。 由此可见：平板中的无量纲过余温度与三个无量纲数有关：以平板厚度一半为特 征长度的傅立叶数、毕渥数及即：（3-12) 二、非稳态导热的正规状况阶段 1 、平板中任一点的过余温度与平板中心的过余温度的关系 前述得到的分析解是一个无穷级数，计算工作量大，但对比计算表明，当Fo>0.2 时，采用该级数的第一项与采用完整的级数计算平板中心温度的误差小于1% ，因此，当Fo>0.2 时，采用以下简化结果：（3-13 ） 其中特征值之值与Bi 有关。 由上式（3-13 ）可知：Fo>0.2 以后平板中任一点的过余温度(x ，τ) 与平板中心的过余温度(0 ，τ)=（τ ）之比为：（3-14 ） 此式反映了非稳态导热过程中一种很重要的物理现象：即当Fo>0.2 以后，虽然(x ，τ) 与（τ ）各自均与τ 有关，但其比值则与τ 无关，而仅取决于几何位置（x/ ）及边界条件（Bi ）。也就是说，初始条件的影响已经消失，无论初始条件分布如何，只要 1、试分析室内暖气片的散热过程，各个环节有哪些热量传递方式？以暖气片管内走热水为例。 答：有以下换热环节及传热方式： (1) 由热水到暖气片管道内壁，热传递方式为强制对流换热； (2) 由暖气片管道内壁到外壁，热传递方式为固体导热； (3) 由暖气片管道外壁到室内空气，热传递方式有自然对流换热和辐射换热。 2、写出Nu 、Re 、Pr 、Bi 、Fo 数的表达式，并说明其物理意义。 答：（1）努谢尔特数，，它表示壁面法向无量纲过余温度梯度的大小，或反映对流换热的强弱。 （2）雷诺数，，它表示流体流动时惯性力与粘性力的相对大小。 （3）普朗特数，，它反映了流体的动量传递能力与热量 传递能力的相对大小。 （4）毕渥数，，它表示物体内部导热热阻与物体表面对 流换热热阻的比值。 （5）傅立叶数，，是非稳态导热过程的无量纲时间,它表示非稳态导热过程进行的深度。 3、热扩散系数是表征什么的物理量？它与导热系数的区别是什么？ 答：热扩散率，与导热系数一样都是物性参数， 它是表征物体被加热或冷却时，物体内各部分温度趋向均匀一致的能力。热扩散率取决于导热系数和的综合影响；而导热系数λ是反映物体的导热能力大小的物性参数。 一般情况下，稳态导热的温度分布取决于物体的导热系数，但非稳态导热的温度分布不仅取决于物体的导热系数，还取决于物体的导温系数。 4、集总参数法的适用条件是什么？满足集总参数法的物体，其内部温度分布有何特点？ 答：集总参数法的适用条件是Bi<0.1，其特点是当物体内部导热热阻远小于外部对流换热热阻时，物体内部在同一时刻均处于同一温度，物体内部的温度仅是时间的函数，而与位置无关 8、影响强制对流换热的表面换热系数的因素有哪些？ 答：影响强制对流换热的表面换热系数的因素有流态、流体的物性、换热表面的几何因素等，用函数表示为： 9、沸腾换热的临界热流密度的含义是什么？ 答：在泡态沸腾阶段时，液体温度与壁面温度之差若进 一步增大，汽泡在表面上生成、长大，随后引因浮力作用而离开表面。沸腾的液体主体温度这时有一定的过热 度，故汽泡通过液体层时还会继续被加热、膨胀，直到 逸出液面，由于气泡的大量迅速生成和它的剧烈运动，换热强度剧增，热流密度随的提高而急剧增大，直到达到热流密度的峰值，此时的热流密度称为临界热流密度。当进一步增大时，热流密度又开始下降。 14、不凝结气体对表面凝结换热强弱有何影响？ 答：不凝结气体的存在，一方面使凝结表面附近蒸汽的分压力降低，从而蒸汽饱和温度降低，使得传热驱动力即温差减小；另一方面，凝结蒸汽穿过不凝结气体层到达壁面依靠的是扩散，从而增加了阻力。因此，上述两方面原因导致凝结换热时的表面传热系数降低。 15、空气横掠垂直管束时，沿流动方向管排数越多，换热越强，而蒸汽在水平管束外凝结时，沿液膜流动方向管排数越多，换热强度降低，为什么？ 答：空气横掠垂直管束时，沿流动方向管排数越多，气流扰动越强，换热越强，而蒸汽在水平管束外凝结时，沿液膜流动方向管排数越多，凝结液膜越厚，凝结换热热阻越大，换热强度降低。 16、写出时间常数的表达式，时间常数是从什么导热问题中定义出来的？它与哪些因素有关？ 答：时间常数的表达式为， 是从非稳态导热问题中定义出来的，它不仅取决于几何参数V/A,物性参数PC ，还取决于换热条件h 。 8、其它条件相同时，同一根管子横向冲刷与纵向冲刷相比，哪个的表面换热系数大？为什么？ 答：同一根管子横向冲刷比纵向冲刷相比的表面换热系数大。因为纵向冲刷时相当于外掠平板的流动，热边界层较厚，热阻较大；而横向冲刷时热边界层较薄且在边 界层由于分离而产生的旋涡，增加了流体扰动，因而换 热增强。 23、在寒冷的北方地区，建房用砖采用实心砖还是多孔的空心砖好？为什么？ 答：采用空心砖较好，因为空心砖内部充满着空气，而空气的导热系数相对较小，热阻较大，空心砖导热性较之实心砖差，同一条件下空心砖的房间的散热量小保温性好。 25、北方深秋季节的清晨，树叶叶面上常常结霜。试问树叶上、下表面的哪一面上容易结霜？为什么？ 答：霜会容易结在树叶的上表面，因为树叶上表面朝向太空，而太空表面的温度会低于摄氏零度；下表面朝向地面，而地球表面的温度一般在零度以上。相对于下表面来说，树叶上表面向外辐射热量较多，温度下降的快，一旦低于零度时便会结霜。 27、窗玻璃对红外线几乎是不透过的，但为什么隔着玻璃晒太阳却使人感到暖和？ 答：窗玻璃对红外线几乎不透过，但对可见光则是可透过的，当隔着玻璃晒太阳时，太阳光可以穿过玻璃进入室内，而室内物体发出的红外线却被阻隔在室内，因房 间内温度越来越高，从而感到暖和。 29、用热电偶监测气流温度随时间变化规律时，应如何选择热电偶节点的大小？ 答：在其它条件相同时，热电偶节点越大，它的温度变化一定幅度所需要吸收（或放出）的热量越多，此时虽然节点换热表面积也有所增大，但其增大的幅度小于体 λ l h Nu = ν ul =Re λ l h Bi =a ν=Pr 2δ τa Fo =c a ρλ=λc ρ),,,,,,,,(l c t t u f h p f w μαρλ=t ?t ?t ?hA cV ρτ= 稳态导习题 1 固体内的一维导热问题 例1 具有均匀内热源强度q v 的无限大平壁处于稳态导热，其厚度为2δ，导热系数λ为常数，两侧壁温各自均布，分别为 t w1和t w2，试求该平壁内的温度分布表达式。 解: 根据题意，x 坐标的原点取平壁的中心线，描述该平壁内稳态导热现象的微分方程式为： 2v 2d 0d q t x λ += （1） 边界条件： x= -δ: t=t w1 x= δ: t=t w2 （2） 移项后积分该微分方程式两次可得其通解 v 1d d q t x C x λ =?+ 2v 122q t x C x C λ =?++ （3） 代入边界条件 2v w112()()2q t C C δδλ=??+?+ （4） 2v w2 122q t C C δδλ=?++ （5） 式（4）+式（5） 2 w1w2v 22δλ+= +t t q C （6） 式（4）－式（5） w2w1 12t t C δ ?= （7） C 1和C 2代入微分方程式的通解式（3）后得到壁内的温度表达式 22v w2w1w2w1(2)222 δλδ?+= ?++q t t t t t x x （8） 例2具有均匀内热源q v 的无限大平壁处于稳态导热，其厚度为2δ，导热系数λ为常数，两侧壁温各自均布且相同，均为t w ，试求该平壁内的温度分布表达式。 解: 根据题意，导热微分方程式同上题。由于两侧壁温相同，是一种对称情况，因此只需求解一半的求解域即可，x 坐标的原点取平壁的中心线。描述该平壁内稳态温度场的微分方程式为： 2v 2d 0d q t x λ += （1） 边界条件：x=0: d 0d t x = 计算传热学程序报告 题目：一维非稳态导热问题的数值解 姓名： 学号：学院：能源与动力工程学院专业：工程热物理日期：2014年5月25 日 一维非稳态导热问题数值解 求解下列热传导问题: 1. 方程离散化 对方程进行控制体积分得到: 非稳态项：选取T随x阶梯式变化，有扩散项：选取一阶导数随时间做显示变化，有进一步取T随x呈分段线性变化，有 T ()e x T E T P (T \ T P T W ，( )w (x)x ( X) 整理可以得到总的离散方程为: 2. 计算空间和时间步长 取空间步长为: h=L/N 网格Fourier数为： F。一^ —V (小于时稳定) x x 时间步长为： 3. 建立温度矩阵与边界条件 T=o nes(N+1,M+1) T(:,1)=Ti(初始条件温度都为0) T(1,:)=To(边界条件x=0处温度为1) T(N+1,:)=Te(边界条件x=L处温度为0) 4. 差分法求解温度 由离散方程可得到： 转化为相应的温度矩阵形式： 5. 输入界面 考虑到方程的变量，采用inputdlg函数设置5个输入变量，对这5个变量设置了默认值，如图1所示。在计算中可以改变不同的数值，得到不同的结果，特别注意稳定条件的临界值是。根据设置的默认值，得到的计算结果如图2所示。图1matlab变量输入界面 图2 默认值的计算结果 6. 结果分析根据上面的分析，给出了程序的输入界面，以及默认值状态下的数值解。可以通过改变不同的输入值，得到需要的分析结果，总结出了下面4 点结论： （1）取F o=，得到一维非稳态导热结果如下图所示 图2F。二时一维非稳态导热 从图中可以看出，对于长度L=1 的细杆，初始时刻t=0 时温度为0，边界条件 x=0时，T=1,边界条件x=1时，T=0。随着时间的增加，温度从x=0通过导热的形式传递到x=1，不同时刻不同位置杆的温度都不同，并且随着时间的增加，杆的温度也逐渐增加。 （2）取F o=，可以得到不同位置的温度响应曲线，如下图所示 图3F o=时不同X位置处的温度响应 图中红色曲线代表x=位置的温度瞬态响应，黑色曲线代表x=位置的温度瞬态响应，蓝色曲线代表X=位置的温度瞬态响应。从图中可以看出，随着X的增加，曲线与X 轴的交点值越大，温度开始传递到该位置的所需的时间越长。随着x 的增加，温度响应曲线的变化速率越慢，最终的达到的温度也越低。 （3）取F o=，得到不同位置的温度响应曲线如下图所示 图4F o=时不同X位置处的温度响应 图中三条曲线分别是X=，X=，x=位置的温度瞬态响应。与图3的F o=进行对比，两种情况下的F o值不同，F o值越大表明热扩散系数的值越大。从图中可以 看出热扩散系数对于导热的影响，尸0=时，与F o=相比较，各位置开始响应时所需的时间较长，而且各位置响应曲线的变化速率较小，最终的达到的温度也较低，说明了热扩散系数越小，热传导越慢，传递效率越低。 （4）取F o=，得到非稳定的数值解如图所示 图5F o二时一维非稳态导热 图6F o=时不同X位置处的温度响应 从图中可以看出，对于显示格式的离散方程，并不是所有的F o值都能得到有意义的解，必须要求F o＜时才能得到稳定的数值解，当F o＞时，会出现物理上不真实的解。 一、名词解释 稳态温度场：物体内各点温度不随时间变化的温度场。 等温面 ：温度场中同一瞬间温度相同点组成的面。 热扩散率（或导温系数）：表征物体内部温度趋于一致的能力，为c ρλα= 肋效率：肋片的实际散热量与假设整个肋片表面处于肋基温度下的散热量之比。 二、解答题和分析题 1．写出傅里叶定律的一般形式的数学表达式，并说明其中各个符号的意义。 答：傅里叶的一般表达式为：n n t gradt q ??-=-=λλ。 其中：q 是热流密度矢量；λ为导热系数，它表示物质导热本领的大小；gradt 是空间某点的温度梯度；n 是通过该点的等温线上的法向单位矢量，指向温度升高的方向，“-”号表示热量沿温度降低的方向传递。 2、写出傅里叶定律的文字表达式。 答：在导热中，单位时间内通过给定截面面积的导热量，正比于垂直该截面方向上的温度变化率和截面面积，而热量传递的方向则与温度升高的方向相反。 3、等温面与等温线的特点，不同温度的等温面(线)能相交不？ 答：1) 温度不同的等温面或等温线彼此不能相交； 2) 在连续的温度场中，等温面或等温线不会中断，它们或者是物体中完全封闭的曲面（曲线），或者就终止与物体的边界上； 3）物体的温度场通常用等温面或等温线表示，若每条等温线间的温度间隔相等时，等温线越密反映出该区域导热热流密度的越大。 不同温度的等温面(线)不能相交 4．得出导热微分方程所依据的是什么基本定律? 答：傅里叶定律和能量守恒定律。 5．解释材料的导热系数λ和导温系数α之间的区别和联系? （或热扩散率α的定义及物理意义。） 答：从表达式看，导温系数c ρλ/a =与导热系数成正比关系，但导温系数不但与材料的导热系数有关，还与材料的热容量(或储热能力)也有关；从物理意义看，导热系数表征材料导热能力的强弱，导温系数表征材料传播温度变化的能力的大小，两者都是物性参数。 【最新整理，下载后即可编辑】 第三章 思考题 1. 试说明集中参数法的物理概念及数学处理的特点 答：当内外热阻之比趋于零时，影响换热的主要环节是在边界上的换热能力。而内部由于热阻很小而温度趋于均匀，以至于不需要关心温度在空间的分布，温度只是时间的函数， 数学描述上由偏微分方程转化为常微分方程、大大降低了求解难度。 2. 在用热电偶测定气流的非稳态温度场时,怎么才能改善热电偶的温度响应特性? 答：要改善热电偶的温度响应特性，即最大限度降低热电偶的时间常数 hA cv c ρτ= ,形状 上要降低体面比，要选择热容小的材料，要强化热电偶表面的对流换热。 3. 试说明”无限大平板”物理概念,并举出一二个可以按无限大平板处理的非稳态导热问题 答；所谓“无限大”平板，是指其长宽尺度远大于其厚度，从边缘交换的热量可以忽略 不计，当平板两侧换热均匀时，热量只垂直于板面方向流动。如薄板两侧均匀加热或冷却、 炉墙或冷库的保温层导热等情况可以按无限大平板处理。 4.什么叫非稳态导热的正规状态或充分发展阶段?这一阶段在物 理过程及数学处理上都有些什么特点? 答：非稳态导热过程进行到一定程度,初始温度分布的影响就会消失，虽然各点温度仍 随时间变化,但过余温度的比值已与时间无关，只是几何位置(δ/x)和边界条件(Bi数) 的函数，亦即无量纲温度分布不变，这一阶段称为正规状况阶段或充分发展阶段。这一阶段的数学处理十分便利，温度分布计算只需取无穷级数的首项进行计算。 5.有人认为,当非稳态导热过程经历时间很长时,采用图3-7记算 所得的结果是错误的.理由是：这个图表明,物体中各点的过余温度的比值与几何位置及Bi有关,而与时间无关.但当时间趋于无限大时,物体中各点的温度应趋近流体温度,所以两者是有矛盾的。你是否同意这种看法,说明你的理由。 答：我不同意这种看法，因为随着时间的推移，虽然物体中各点过余温度的比值不变 但各点温度的绝对值在无限接近。这与物体中各点温度趋近流体温度的事实并不矛盾。 6.试说明Bi数的物理意义。o Bi→及∞ Bi各代表什么样的换热 → 条件?有人认为, ∞ → Bi代表了绝热工况,你是否赞同这一观点,为什么? “稳态导热”例题 例题1：某加热炉炉墙由厚460mm 的硅砖、厚230mm 的轻质粘土砖和厚5mm 的钢板组成，炉墙内表面温度为1600℃，外表面温度为80℃，三层材料的导系数分别为 1.85 W/(m ? K)、0.45 W/(m ? K)和40 W/(m ? K)。已知轻质粘土砖最高使用温度为1300℃，求该炉墙散热的热流密度？并确定轻质粘土砖是否安全？ 解： (1) 3 322114131 4 1λδλδλδλδ++-= -=Φ= ∑=w w i i i w w t t t t A q 2 W/m 200040 /05.045.0/23.085.1/46.080 1600=++-= (2) 1 12 1λδw w t t q -= 1300110285 .146.0200016001112<=?-=-=?λδq t t w w ℃ 因此，轻质粘土砖是安全的。 例题2：某炉壁由厚度=1 δ250mm 的耐火粘土制品层和厚度=2 δ500mm 的红砖层组成。内壁温度=w1t 1000℃，外壁温度=w3 t 50℃。已知耐火粘土制品的导热系数可表示为 t 000233.028.01+=λ，红砖的导热系数近似为 7.02 =λW/(m ? K)。试求稳定运行时，该炉壁单位面积上的散热损失和层间接触界面的温度。 解：由于接触界面温度w2 t 未知，因此无法计算耐火粘土制品层的平均温度，进而无法求得该层的导热系数。现用工程计算中广泛应用的试算法求解。 假设接触界面温度600w2 =t ℃，则耐火粘土制品层的导热系数为 ) K W/(m 466.0 ]2/)6001000[(000233.028.0 ] 2/)[(000233.028.0000233.028.0w2w11?=+?+=++=+=t t t λ 两层炉壁单位面积的散热损失为 2 3 32 2 11w3 w1 W/m 760 7 .010500466.01025050 1000=?+ ?-= +-= --λδλδt t q 校核所假设接触界面的温度w2 t ，得 1 1w2 w1/λδt t q '-= ℃ 593 466 .01025076010003 11w1w2 =?? -=-='-λδq t t 593w2 ='t ℃与假设600 w2 =t ℃相差不大，可认为上述 第三章 非稳态导热分析解法 1、 重点内容：① 非稳态导热的基本概念及特点； ② 集总参数法的基本原理及应用； ③一维及二维非稳态导热问题。 2、掌握内容：① 确定瞬时温度场的方法； ② 确定在一时间间隔内物体所传导热量的计算方法。 3、了解内容：无限大物体非稳态导热的基本特点。 许多工程问题需要确定：物体内部温度场随时间的变化，或确定其内部温度达某一极限值所需的时间。如：机器启动、变动工况时，急剧的温度变化会使部件因热应力而破坏。因此，应确定其内部的瞬时温度场。钢制工件的热处理是一个典型的非稳态导热过程，掌握工件中温度变化的速率是控制工件热处理质量的重要因素；金属在加热炉内加热时，要确定它在炉内停留的时间，以保证达到规定的中心温度。 §3—1 非稳态导热的基本概念 一、非稳态导热 1、定义：物体的温度随时间而变化的导热过程称非稳态导热。 2、分类：根据物体内温度随时间而变化的特征不同分： 1）物体的温度随时间的推移逐渐趋于恒定值，即：const t =↑τ 2）物体的温度随时间而作周期性变化 1）物体的温度随时间而趋于恒定值 如图3-1所示，设一平壁，初值温度t 0，令其左侧的 表面温度突然升高到1t 并保持不变，而右侧仍与温度为 0t 的空气接触，试分析物体的温度场的变化过程。 首先，物体与高温表面靠近部分的温度很快上升， 而其余部分仍保持原来的t 0 。 如图中曲线HBD ，随时间的推移，由于物体导热温 度变化波及范围扩大，到某一时间后，右侧表面温度也 逐渐升高，如图中曲线HCD 、HE 、HF 。 最后，当时间达到一定值后，温度分布保持恒定， 如图中曲线HG （若λ=const ，则HG 是直线）。 由此可见，上述非稳态导热过程中，存在着右侧面 参与换热与不参与换热的两个不同阶段。 （1）第一阶段（右侧面不参与换热） 温度分布显现出部分为非稳态导热规律控制区和部分为初始温度区的混合分布，即：在此阶段物体温度分布受t 分布的影响较大，此阶段称非正规状况阶段。 （2）第二阶段，（右侧面参与换热） 当右侧面参与换热以后，物体中的温度分布不受to 影响，主要取决于边界条件及物性，此时，非稳态导热过程进入到正规状况阶段。正规状况阶段的温度变化规律是本章讨论的重点。 一维非稳态热传导热源反问题研究 摘要 本文是关于热传导的正反问题的研究，即利用偏微分方程中典型热传导方程 t时刻温度分布与热源位置。 求解含有内热源的金属细杆 本文从解偏微分方程出发，由已知条件最终得出温度分布函数及热源位置函数并建立了两个数学模型。 模型一：利用偏微分方程及初始温度分布函数建立了一段时间后的温度分布与热源强度、位置之间的数学模型，最终解出一段时间后长杆上的温度分布。 模型二：通过一类抛物型偏微分方程模型，解决已知初始温度分布函数、一段时候后的温度分布函数及热源强度的确定热源位置和中间任意时刻的温度分布函数。 u x t,即t时刻的温度根据模型一建立偏微分方程组，用分离变量法求解(,) 分布函数，并通过Matlab中的PDE(偏微分方程)工具箱求解偏微分方程组，且使解可视化。 u x T,结合抛物型方程，运用根据模型二依然建立偏微分方程组，通过测得(,) 离散正则法，确定热源位置，并通过论证说明问题的唯一性和确定性，给出反问题的数值解法。最后再简单介绍差分法解决热传导在非稳态导热问题中的应用。 最后是结论部分，主要总结本文的结果并提出一些尚待进一步研究的问题，以及研究该反问题的应用前景。 相同t不同x的温度变化曲线相同x不同t的温度变化曲线 一维非稳态热传导热源反问题研究 一、问题的提出 在金属细秆的传热过程中，温度差是导致其发生必要条件，有无热源决定传导效率的高低。从一维非稳态传导问题的数学模型和初始条件出发，经过对有内热源问题的进一步分析，在初始温度分布已知的情况下，对分布函数的处理显得很关键。对热源反问题的处理中，我们的问题是如何寻找某种合理的附件条件，通过已知方程来解决方程右端的热源的具体位置并使其具有唯一性。本文利用微分方程并建立了满足温度分布的数学物理模型，从理论上导出了温度分布函数和热源位置的求解，并借助计算机软件画出了温度分布图。 二、问题的分析 对于热传导问题，为了使函数解决起来更容易，对于细秆的初始温度分布() g x我们可以设它在区间[0,L]连续，那么() g x可以展成正弦或余弦级数，对于有内热源的处理，由于细秆边界条件是齐次的，我们采用叠加原理把一根金属细秆的导热问题分解为有热源的具有其次边界条件的稳态导热问题和一个非稳态 其次问题，则原问题的解为 (,)1(,)2() u x t u x t u x =+。 对于源反问题的解决有如下3个问题: 1、反问题的唯一性:附加条件给得是否合理，也就是说，这个附加条件是否可以唯一确定热源的具体位置。 2、反问题的稳定性:反演所得到的热源的具体位置，该热源是否是连续地依赖于测量数据() h t? 3、反问题的数值解法:如何用可行的数值方法反演该热源的具体位置。用离散正则法将温度分布离散化，由已知初始温度分布再利用计算机软件得出热源位置 三、模型假设 1、金属细杆边界与外界无热量交换，即与外界绝缘 第二章导热的基本定律及稳态导热 从本章开始将深入的讨论三种热量传递方式的基本规律。研究工作基本遵循经典力学的研究方法，即提出物理现象、建立数学模型而后分析求解的处理方法，对于复杂问题亦可在数学模型的基础上进行数值求解或试验求解。采用这种方法，我们就能够达到预测传热系统的温度分布和计算传递的热流量的目的。 导热问题是传热学中最易于用数学方法处理的热传递方式。因而我们能够在选定的研究系统中利用能量守恒定律和傅立叶定律建立起导热微分方程式，然后针对具体的导热问题求解其温度分布和热流量。最后达到解决工程实际问题的目的。 2－1 导热的基本概念和定律 1温度场和温度梯度 1.1温度场 由于热量传递是物质系统内部或其与环境之间能量分布不平衡条件下发生的无序能量的迁移过程，而这种能量不平衡特征，对于不可压缩系统而言，可以用物质系统的温度来表征。于是就有“凡是有温差的地方就有热量传递”的通俗说法。因此，研究系统中温度随时 间和空间的变化规律对于研究传热问题是十分重要的工作。按照物理上的提法，物质系统内各个点上温度的集合称为温度场，它是时间和空间坐标的函数，记为 y x f t=2－1 (τz ) , , , 式中,t—为温度; x,y,z—为空间坐标; τ-- 为时间坐标。 如果温度场不随时间变化,即为稳态温度场，于是有 y x f t=2—2 (z , ) , 稳态温度场仅在一个空间方向上变化时为一维温度场, t=2—3 f ) (x 稳态导热过程具有稳态温度场,而非稳态导热过程具有非稳态温度场。 1.2等温面 温度场中温度相同点的集合称为等温面,二维温度场中则为等温线,一维则为点.取相同温度差而绘制的等温线(对于二维温度场)如图2-1所示,其疏密程度可反映温度场在空间中的变化情况。 等温面不会与另一个等温面相交,但不排除十分地靠近,也不排除它可以消失在系统的边界上或者自行封闭。这就是等温面的特性。 1.3温度梯度 温度梯度是用以反映温度场在空间的变化特征的物理量。按照存在温差就有热传的概念,沿着等温面方向不存在热量的传递。因 此,热量传递只能在等温面之间进行。热量从 一个等温面到另一个等温面,其最短距离在 该等温面的法线方向。对于均质系统而言, 在这个方向上应该有最大的热量通过。因而 定义,系统中某一点所在的等温面与相邻等温面之间的温差与其法线间的距离之比的 极限为该点的温度梯度,记为grad t 。它是一个矢量,其正方向指向温度升高的方向。结合图2—2所示,我们有 n t n t Lim gradt n ??= ??=→?0。 2—4 显然,温度梯度表明了温度在空间上的最大变化率及其方向。对于连续可导的温度场也就存 在连续的温度梯度场。 1.4热流密度 在绪论中业已提及,热流密度是定义为单位时间内经由单位面积所传递的热量,可以一般性地表示为 dA dQ q = ， 2--5 式中,dQ 为垂直通过面积dA 的热流量,因而热流密度q 也是一个矢量,其方向与所通过面的方向一致。注意一下关于温度梯度的定义,不难发现热流密度通过的面就是等温面。那么,温度梯度和热流密度的方向都是在等温面的法线方向。由于热流是从高温处流向低温处,因而温度梯度和热流密度的方向正好相反。在图2—2中显示了这一特征。 图2―1温度场与等温面 图2―2温度梯度与热流密度 “非稳态导热”例题 例题1：一温度为20℃的圆钢，长度为0.3m ，直径为60mm ，在一温度为1250℃的加热炉 内被加热。已知圆钢的导热系数为35 W/(m ?K)，密度为7800kg/m 3，比热容为0.460kJ/(kg ?K)， 加热炉长为6m ，圆钢在其中匀速通过，其表面和炉内烟气间的表面传热系数为100 W/(m 2?K)。现欲将该圆钢加热到850℃，试求该圆钢在加热炉内的通过速度。 解 特征尺寸A V /为 m 0136.0)1060(14.34 13.0)1060(14.33.0)1060(14.3414124133322=???+???????=?+=---d dL L d A V πππ 则毕渥数v Bi 为 05.02 11.01.0039.0350136.0100)/(v =?=<=?==M A V h Bi λ 因此可以采用集总参数法求解。 θθρτ0ln hA cV = 即 s 548.14 1250 850125020ln 100)10460.0(78003=--??=τ 则该圆钢在加热炉内的通过速度为 m /s 0109.014 .5486===τL v 例题2：两块厚度均为30mm 的无限大平板，初始温度为20℃，分别用铜和钢制成。平板 两侧表面的温度突然上升至60℃，计算使两板中心温度均达到56℃时两板所需时间之比。 已知铜和钢的热扩散率分别为610103-?m 2/s 和6 109.12-?m 2/s 。 (125.0==铜 钢钢铜a a ττ) 例题3：无内热源、常物性的二维导热物体在某一瞬时的温度分布为x y t cos 22=。试说明 该导热物体在x =0，y =1处的温度是随时间增加而逐渐升高，还是逐渐降低？ 例题4：一初始温度为20℃的钢板，厚度为10cm ，密度为为7800kg/m 3，比热容为460.5 J/(kg ?K)，导热系数为53.5W/(m ?K)，放置到温度为1200℃的加热炉中加热，钢板与烟气间 的表面传热系数为407 W/(m 2?K)。试求单面加热30min 时该钢板的中心温度以及两面加热 到相同的中心温度需要的时间。 解：(1) 考虑单面加热时，特征尺寸为1m .0cm 10==δ，则毕渥数Bi 为 1.076.05 .531.0407>=?==λδ h Bi 因此不能采用集总参数法求解，可采用图解分析法。钢板中心处无量纲尺寸η为 5.01.01052 =?==-δηx 30min 时的傅里叶数Fo 为 68.21.0)6030()]5.4607800/(5.53[)/(2 22=???= ==δρλδτc a Fo 而毕渥数的倒数1-Bi 为 31.176.011==-Bi 查诺模图可得 93.0 ,21.0m 0m ==θθθθ 则钢板中心的无量纲过余温度0/θθ为 195.093.021.0m 0m f 0f 0=?==--=θθθθθθt t t t 因此钢板中心温度t 为 970)120020(195.01200)(f 00 f =-?+=-+=t t t t θθ℃ (2) 考虑两面加热时，特征尺寸为0.05m cm 2/102/==δ，则毕渥数Bi 为 1.038.05 .5305.0407>=?==λδ h Bi 因此仍不能采用集总参数法求解，可应用图解分析法。此时钢板中心的无量纲过余温度为 第二章部分答案-稳态导热 2-46. 一厚度为7cm 的大平壁，一侧绝热，另一侧暴露于温度为30℃的流体中，其内热源热量为5103?W/m 3。已知该平壁材料的导热系数为18K)W/(m ?，平壁与流体间的对流表面传热系数为450)K W/(m 2?，试确定该平壁中的最高温度位置及其温度值？ 解： (1) 该题为具有内热源的一维平壁稳态导热问题，导热微分方程式为： 022=Φ+λ&dx t d 边界条件为：0=x ，0=dx dt ； δ=x ，∞+Φ==t t t w λ 2&（根据热平衡求得：δΦ=-∞&)(t t h w ) 解方程，并代入边界条件得温度场为： ∞+Φ+-Φ=t h x t δδλ&&)(222 (2) 该平壁中最高温度在0=x 处(即 0=dx dt )： 117.5 30450)107()103()107(182103225252=+???+????=+Φ+Φ=--∞t h t δδλ&&℃ 2-47 核反应堆的辐射防护壁因受γ射线的照射而发热，这相当于防护壁内有ax e -Φ=Φ0&&的内热源，其中0Φ&是X=0的表面上的发热率，a 为已知常数。已知x=0处t=t1,x=δ处t=2t ,试导出该防护壁中温度分布的表达式及最高温度的所在位置。导热系数λ为常数。 解：由题意导热微分方程 0022=Φ+-ax e dx t d &λ 又x=0处t=t1,x=δ处t=2t 积分并结合边界条件可得 λδλλλδ2012020210a t x a e a t t a e t a ax Φ++Φ-Φ+--Φ=--&&&& 令0=dx dt 可得：当()??????-+Φ--=-δδλδa e t t a a x a 1ln 1021时，t 最大。 2-48 核反应堆中一个压力容器的器壁可以按厚为δ的大平壁处理。内表面（x=0处）绝热，外表面维持在恒定温度2t 。γ射线对该容器的加热条件作用可以用一个当量热源Φ&来表示，且ax e -Φ=Φ 0&&，a 为常数，x 是从加热表面起算的距离。在稳态条件下，试： 导出器壁中温度分布的表达式。 确定x=0处的温度。 确定x=δ处的热流密度。 解： 022=Φ+λ&dx t d （1） 边界条件 r=0,0=dx dt (2) 00,t t r r == (3) 三式联立得 ()()20201t x a e e a t ax a +-Φ+-Φ=--δλδλδ x=0时；()202011t a e a t a +Φ+-Φ=-λδλδ 当x=δ时，2t t = 所以 ()110-Φ-=-=-ax e a dx dt q λ 2-49 一半径为1r 的长导线具有均匀内热源Φ&，导热系数为1λ。导线外包有一层 绝缘材料，其外半径为2r ,导热系数为2λ。绝缘材料与周围环境间的表面传热系数为h ，环境温度为∞t 。过程是稳态的，试： 列出导线与绝缘层中温度分布的微分方程及边界条件。 求解导线与绝缘材料中温度分布。 提示：在导线与绝缘材料的界面上，热流密度及温度都是连续的。 解：导线中温度场的控制方程为：0111=???? ??Φ+λ&dr dt r dr d r ； 环形绝缘层中温度场的控制方程为：012=??? ??dr dt r dr d r 。 边界条件：对为有限；时，，110t r t = dr dt dr dt t t r r 2211211,λλ-=-==时，。 稳态导热习题解析 1 固体内的一维导热问题 例1 具有均匀内热源强度q v 的无限大平壁处于稳态导热，其厚度为2δ，导热系数λ为常数，两侧壁温各自均布，分别为 t w1和t w2。 试求该平壁内的温度分布表达式。 解: 根据题意，这是导热系数为常数但有均匀内热源强度的稳态导热现象，x 坐标的原点取平壁的中心线。描述该平壁内稳态导热现象的微分方程式为 2v 2d 0d q t x λ += （1） 边界条件： x= -δ: t=t w1 x= δ: t=t w2 （2） 移项后积分该微分方程式两次可得其通解 v 1d d q t x C x λ =-+ 2v 122q t x C x C λ =-++ （3） 代入边界条件 2v w112()()2q t C C δδλ=--+-+ （4） 2v w2 122q t C C δδλ=-++ （5） 式（4）+式（5） 2 w1w2v 22δλ+= +t t q C （6） 式（4）－式（5） w2w1 12t t C δ -= （7） C 1和C 2代入微分方程式的通解式（3）后得到壁内的温度表达式 22v w2w1w2w1(2)222 δλδ-+= -++q t t t t t x x （8） 例2具有均匀内热源q v 的无限大平壁处于稳态导热，其厚度为2δ，导热系数λ为常数， 两侧壁温各自均布且相同，均为t w 。 试求该平壁内的温度分布表达式。 解: 根据题意，所用的导热微分方程式同上。由于两侧壁温相同，是一种对称情况，因此只需求解一半的求解域即可，x 坐标的原点取平壁的中心线。描述该平壁内稳态温度场的微分方程式为 2v 2d 0d q t x λ += （1） 第二章部分答案-稳态导热 2-46. 一厚度为7cm 的大平壁，一侧绝热，另一侧暴露于温度为30℃的流体中，其内热源热量为5103?W/m 3。已知该平壁材料的导热系数为18K)W/(m ?，平壁与流体间的对流表面传热系数为450)K W/(m 2?，试确定该平壁中的最高温度位置及其温度值？ 解： (1) 该题为具有内热源的一维平壁稳态导热问题，导热微分方程式为： 022=Φ+λ dx t d 边界条件为：0=x ，0=dx dt ； δ=x ，∞+Φ==t t t w λ 2 （根据热平衡求得：δΦ=-∞ )(t t h w ) 解方程，并代入边界条件得温度场为： ∞+Φ+-Φ= t h x t δδλ )(222 (2) 该平壁中最高温度在0=x 处(即 0=dx dt )： 117.5 30450)107()103()107(182103225252=+???+????=+Φ+Φ=--∞t h t δδλ ℃ 2-47 核反应堆的辐射防护壁因受γ射线的照射而发热，这相当于防护壁内有 ax e -Φ=Φ0 的内热源，其中0Φ 是X=0的表面上的发热率，a 为已知常数。已知 x=0处t=t1,x=δ处t=2t ,试导出该防护壁中温度分布的表达式及最高温度的所在位置。导热系数λ为常数。 解：由题意导热微分方程 0022=Φ+-ax e dx t d λ 又x=0处t=t1,x=δ处t=2t 积分并结合边界条件可得 λδλλλδ2012020210a t x a e a t t a e t a ax Φ++Φ-Φ+--Φ=-- 令0=dx dt 可得：当()??????-+Φ--=-δδλδa e t t a a x a 1ln 1021时，t 最大。 2-48 核反应堆中一个压力容器的器壁可以按厚为δ的大平壁处理。内表面（x=0处）绝热，外表面维持在恒定温度2t 。γ射线对该容器的加热条件作用可以用一个当量热源Φ 来表示，且ax e -Φ=Φ0 ，a 为常数，x 是从加热表面起算的距离。在稳态条件下，试： 导出器壁中温度分布的表达式。 确定x=0处的温度。 确定x=δ处的热流密度。 解： 022=Φ+λ dx t d （1） 边界条件 r=0,0=dx dt (2) 00,t t r r == (3) 三式联立得 ()()20201t x a e e a t ax a +-Φ+-Φ=--δλδλδ x=0时；()202011t a e a t a +Φ+-Φ=-λδλδ 当x=δ时，2t t = 所以 ()110-Φ-=-=-ax e a dx dt q λ 2-49 一半径为1r 的长导线具有均匀内热源Φ ，导热系数为1λ。导线外包有一层 绝缘材料，其外半径为2r ,导热系数为2λ。绝缘材料与周围环境间的表面传热系数为h ，环境温度为∞t 。过程是稳态的，试： 列出导线与绝缘层中温度分布的微分方程及边界条件。传热学问答题
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