第一节 正规矩阵
【Schur 三角化定理】设n n A ?∈ ，则存在酉矩阵U ，使*U AU B =，其中B 为一个上三角矩阵.
【酉矩阵】n 阶复方阵U 的n 个列向量是U 空间的一个标准正交基.
1H H H n U U UU E U U -==?=
性质：设有矩阵A ，B ，则
（1）若A 是酉矩阵，则1A -也是酉矩阵；
（2）若A ，B 是酉矩阵，则AB 及BA 也是酉矩阵；
（3）若A 是酉矩阵，则|det()|1A =；
（4）A 是酉矩阵?A 的n 个列向量是两两正交的单位向量. 【定理4.1.1】矩阵A 可以酉对角化?**AA A A =.
*U AU T =是上三角矩阵，*********()()AA UTU UTU UTU UT U UTT U === *********()()A A UTU UTU UT U UTU UT TU ===，故****A A AA T T TT =?= A 可以酉对角化，则?酉矩阵U 使*U AU D =
***************()()()()AA U DU U DU U DUU D U U DD U
U D DU U DU U DU A A
======
【定义4.1.1】设n n A ?∈ ，若**AA A A =，则称A 是正规矩阵. 【引理4.1.1】设A 为正规矩阵，若A 又为三角矩阵，则A 为对角矩阵.
【定理4.1.2】设n n A ?∈ ，则A 为正规矩阵?A 有n 个两两正交的单位特征向量. 【推论4.1.1】正规矩阵属于不同特征值的特征向量是两两正交的.
【定理4.1.3】设()i j n n A a ?=是复矩阵，1λ，2λ，……，n λ为A 的n 个特征值，则 （1）（Schur 不等式）
221
,1||||n n
i
i j
i i j a
λ==≤∑∑
（2）A 为正规矩阵?2
21
,1
||||
n
n
i i j i i j a λ===∑∑
（3）*
2,,1
tr()||n
i j
i j AA a
==
∑
【推论】设A 为正规矩阵且幂零，则0A =.
【定义4.1.2】设a 与b 是实数，且0b ≠，则称二阶实矩阵
a b b a ?? ?-??
为一个Schur 型. 【定理4.1.4】（实正规矩阵）设A 是n 阶实矩阵，则A 是正规矩阵?存在正交矩阵Q 使得
12T s Q AQ A A A =⊕⊕⊕
其中每个i A 或者是一阶实矩阵，或者是一个Schur 型. 【推论4.1.2】设A 是n 阶实矩阵.
（1）A 是对称矩阵?存在正交矩阵Q ，使得T Q AQ 是对角矩阵； （2）A 是反对称矩阵?存在正交矩阵Q ，使得
120T s Q AQ A A A =⊕⊕⊕⊕
其中每个00i i i b A b ??= ?-??
，从而反对称矩阵的非零特征值为纯虚数；
（3）A 是正交矩阵?存在正交矩阵Q ，使得
12()T s t s Q AQ I I A A A =⊕-⊕⊕⊕⊕
其中每个i A 是二阶Givens 旋转矩阵，从而正交矩阵的特征值的模均为1. 设B 是n 阶复矩阵.
（4）B 是Hermite 矩阵?存在正交矩阵U ，使得T U BU 是实对角矩阵； （5）B 是反Hermite 矩阵?存在正交矩阵U ，使得T U BU 是纯虚数对角矩阵（即实部为0）；
（6）B 是酉矩阵?存在酉矩阵U ，使得T U BU 是对角元素的模均为1的对角矩阵，从而酉矩阵的特征值的模均为1；
（7）Hermite 矩阵A 正定?A 的所有顺序主子式均大于0； 【引理4.1.2】Hermite 阵或实对称矩阵A 在某一个k 维子空间上正定?A 至少有k 个特征值（包括重数）大于零.
第二节 正规矩阵的谱分解
设A 是正规矩阵，则由定理4.1.1知，存在酉矩阵U 使得*12(,,,)n U AU diag λλλ= .因而*12(,,,)n A Udiag U λλλ= .令12(,,,)n U ααα= ，则
12*
1*2
12****
111
222(,,,)n n n n n n A αλλααααλαλααλααλαα???? ?
? ? ?= ?
? ? ? ?????
=+++ （4.2.1）
由于12,,,n λλλ 为A 的特征值，12,,,n ααα 为A 对应的两两正交的单位特征向量，故式（4.2.1）称为正规矩阵A 的谱分解或特征（值）分解。
若把式（4.2.1）中系数相同的放在一起（0特征值对应的项去掉），然后把系数提出来，则公式（4.2.1）就变成
11
22s s A P P P λλλ=+++ ， 其中12,,,s λλλ 为A 的互不相同的非零特征值，由于
***(),1,i i i i i n αααα=≤≤
**()()0,1,i j i j
i j n αααα=≤≠≤ *2*(),1,i i i i i n αααα=≤≤
所以
*2
,,0,1.i i i i i j
P P P P PP i j s ===≤≠≤ 由幂等矩阵与投影变换的对应关系可知，i P 是某正交投影变换（在某基下）的矩阵，故常称为正交投影矩阵。
矩阵分析
第四章 矩阵分解
§4.1: 矩阵的满秩分解 §4.2: 矩阵的正交三角分解 §4.3: 矩阵的奇异值分解 §4.4: 矩阵的极分解 §4.5: 矩阵的谱分解
矩阵分解前言
矩阵分解定义: 将一个已知矩阵表示为另一些较为简单或 较为熟悉的矩阵的积(或和)的过程称为矩阵分解. 例:(1)对任意n阶正规矩阵A,存在酉阵U∈Un×n使 A=Udiag(λ1,…,λn)U*, 其中λ1,…,λn为A的所有特征值的任一排列. (2)对任意n阶正定矩阵A,存在可逆阵Q∈Cnn×n使A=Q*Q,或存 在唯一正定阵B使A=BB. 矩阵分解意义:有利于研究已知的矩阵. 例如,利用正定阵A的平方根B为正定阵可证: 对任意Hermite阵H,AH或HA都有实特征值.
1
( AH～(A1/2)-1AHA1/2=A1/2HA1/2∈Hn×n )
2
初等变换与初等矩阵(p73)
三类初等变换: (行(列)变换←→左(右)乘) (1)将矩阵A的两行互换等价于用第一类初等矩阵P(i,j)左 乘A; (2)将矩阵A的第i行乘以k≠0等价于用第二类初等矩阵 P(i(k))=diag(1,…,1,k,1,…,1)左乘A. (3)将矩阵A的第j行乘以k≠0后再加到第i行等价于左乘第 三类初等矩阵P(i,j(k)).
P (i , j ) =
?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 0 1 1 1 0 1 1
初等变换与初等矩阵举例
?1 ?? 1 4 7 ? ? 1 4 7 ? ? 0 1 ?? 2 5 8 ? = ? 3 6 9 ? ; ? ?? ? ? ? ? 1 0 ?? 3 6 9 ? ? 2 5 8 ? ? ?? ? ? ? ?1 4 7??1 ? ? 1 7 4? ? 2 5 8?? 0 1? = ? 2 8 5? ? ?? ? ? ? ? 3 6 9?? 1 0? ? 3 9 6? ? ?? ? ? ?
?1 ??1 4 7? ? 1 4 7 ? ? ?? ? ? ? 0.2 ? ? 2 5 8 ? = ? 0.4 1 1.6 ? ; ? ? 1?? 3 6 9 ? ? 3 6 9 ? ? ?? ? ? ?
?1 4 7??1 ? ? 1 4 7 / 9? ? ?? ? ? ? ? 2 5 8?? 1 ? = ? 2 5 8/9? ? 3 6 9?? 1/ 9 ? ? 3 6 1 ? ? ?? ? ? ?
---- i ---- j
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1?
P (i , j ( k )) =
?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
1
k 1
? ? ? ? ---? ? ? ---? ? ? 1?
i j
3
?1 ?? 1 2 3? ? 1 2 3 ? ? ?? ? ? ? ? ?4 1 ? ? 4 5 6 ? = ? 0 ?3 ?6 ? ; ? 1?? 7 8 9? ? 7 8 9 ? ? ?? ? ? ?
?3 ? ? 1 2 0 ? ? 1 2 3??1 ? ?? ? ? ? ? 4 5 6?? 1 ? = ? 4 5 ?6 ? ?7 8 9?? 1 ? ? 7 8 ?12 ? ? ?? ? ? ?
4
初等变换与初等矩阵的性质
3类初等矩阵都是可逆的(行列式不为0). 将A依次作初等矩阵P1,…,Pr对应的行(列)初等变换等价 于左(右)乘A以可逆矩阵Pr…P1(P1…Pr). 可适当选第一类初等矩阵的乘积P使PA(AP)的行(列)是A 的行(列)的任意排列; 可适当选第三类初等矩阵 P(i,j(k))中的k使P(i,j(k))A的(i,j)元变为0; 可适当选第二类初等矩阵P(i(k))中的k使P(i(k))A的非 零(i,i)元变为1. 存在初等矩阵的乘积P和Q,使PAQ= ,其中r=rankA.
初等变换与初等矩阵的性质续
命题:设A∈Crm×n前r列线性无关,则用初等行变换可把A变为
? Er ? ? 0 ?1 ? ? D? ? = ? ? 0 ? ? ? ? ? ? 1 1 * * * * *? ? *? *? ? *? ? ? ? ?
一般地,?A∈Crm×n都存在m,n阶可逆阵P和Q使PAQ=
5
证:因前r列线性无关,故用第一类初等矩阵左乘可使A的 (1,1)元≠0. 再用第二类初等矩阵左乘可使a11=1; 最后用若干第三类初等矩阵左乘可使A的第一列=e1. 因前2列线性无关,故新的第2列与e1线性无关且≠0, 故用第一类行变换可使(2,2)元≠0,…可使A的第2列=e2. ….可使A的第r列=er.此时空白处必为0元.
安徽大学 章权兵
1
现代控制理论讲义
第四章 矩阵范数和奇异值分解 4.1 引言 在这一讲中，我们将引入矩阵范数的概念。之后会介绍矩阵的奇异值分解或者叫SVD。SVD 揭示了矩阵的2范数，它的值意义更大：它使一大类矩阵扰动问题得以解决，同时也为后面稳定鲁棒性的概念打下基础；它还解决了所谓的完全最小二乘问题，该问题是我们前面讲的最小二乘问题的推广；还帮我们澄清在矩阵求逆计算中碰到的态性的概念。在下一讲中，我们会花更大的篇幅来叙说SVD的应用。 例 4.1 为了提高大家对矩阵范数研究和应用的兴趣，我们首先从一个例子开始，该例子提出了与矩阵求逆有关的矩阵态性问题。我们所感兴趣的问题是矩阵求逆对矩阵扰动的敏感程度。 考虑求下列矩阵的逆 马上就可以求得 现在我们假设对一个受到扰动的矩阵求逆 求逆后，结果就成了 在这里表示A中的扰动，表示中的扰动。显然中一项的变化 会导致中的变化。如果我们解，其中，得到 ，加入扰动后，解得。 在这个结果中，我们仍然可以清楚的看到开始数据仅有的变化，却导致解产生 的变化。 以上例子中我们看到的要比在标量情况下差的多。如果是标量，那么
，所以的倒数中小数部分的变化和的变化在同一量级上。 因此，在上例中的现象完全是在矩阵的时候才出现的。看上去好像和是近似奇异的事实有关——因为它的列几乎不独立，且它的行列式值要比它的最大元素小很多，等等。随后（见下一讲），我们会找到衡量奇异程度的合理方法，同时还要说明在求逆情况下，这种方法和灵敏度的关系如何。 在理解这种灵敏度和扰动的细节关系之前，我们首先要找到度量向量和矩阵量级的方法。在第一讲中我们已经引入了向量范数的概念，所以我们现在来看一下矩阵范数的定义。 4.2 矩阵范数 一个维复数矩阵可以看成（有限维）赋范向量空间中的一个算子： 其中，这里的范数指的是标准欧氏范数。定义的归纳2-范数如下： 术语“归纳”是指在向量和的范数的基础上，使得以上矩阵范数的定义有意义。该定 义中，归纳范数表示矩阵在中单位圆上向量扩大的倍数，也就是说，它表示矩阵的增益。 除了用2-范数来度量向量和，我们还可以用范数，感兴趣的是的情 况。它的定义是： 需要考虑的一个很重要的问题是，在第一讲向量范数定义的情况下，归纳范数是否是真正的范数呢？下面，我们来回顾定义范数的三个条件： 现在我们证明是上的范数——利用前面的定义： 1．对任意都有，所以。进一步有，因为 是在单位圆上的最大值。 2．对任意的，由得。 3．三角不等式仍然成立，因为：
第四章 习题答案 1。用Gauss 消去法解方程组 1231231 2323463525433032 x x x x x x x x x ++=?? ++=??++=? 解:方程组写成矩阵形式为12323463525433032x x x ?????? ? ? ? = ? ? ? ? ? ????? ?? 对其进行Gauss 消去得12323441 4726002x x x ?? ???? ? ? ? ?-= ? ? ? ? ? ?????-?? 得方程组12312323 32346 131 44 822 24 x x x x x x x x x ++=?=-???? -=-?=????=?-=-?? 2。用Gauss 列主元素消去法解方程组 1233264107075156x x x -?????? ? ? ?-= ? ? ? ? ? ?-???? ?? 解：因为第一列中10最大,因此把10作为列主元素 1233264107075156x x x -?????? ? ? ?-= ? ? ? ? ? ?-??????12r r ????→1231070732645156x x x -?????? ? ? ?-= ? ? ? ? ? ?-???? ?? 21 3113 10122 31070716106101055052 2r r r r x x x +-? ??? ? ?-?? ? ? ? ? ????→-= ? ? ? ? ? ??? ? ?????23 r r ????→123107075505221 61061010x x x ? ??? ? ?-?? ? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ? ?? ? ?-????
第一节 正规矩阵 【Schur 三角化定理】设n n A ?∈ ，则存在酉矩阵U ，使*U AU B =，其中B 为一个上三角矩阵. 【酉矩阵】n 阶复方阵U 的n 个列向量是U 空间的一个标准正交基. 1H H H n U U UU E U U -==?= 性质：设有矩阵A ，B ，则 （1）若A 是酉矩阵，则1A -也是酉矩阵； （2）若A ，B 是酉矩阵，则AB 及BA 也是酉矩阵； （3）若A 是酉矩阵，则|det()|1A =； （4）A 是酉矩阵?A 的n 个列向量是两两正交的单位向量. 【定理4.1.1】矩阵A 可以酉对角化?**AA A A =. *U AU T =是上三角矩阵，*********()()AA UTU UTU UTU UT U UTT U === *********()()A A UTU UTU UT U UTU UT TU ===，故****A A AA T T TT =?= A 可以酉对角化，则?酉矩阵U 使*U AU D = ***************()()()()AA U DU U DU U DUU D U U DD U U D DU U DU U DU A A ====== 【定义4.1.1】设n n A ?∈ ，若**AA A A =，则称A 是正规矩阵. 【引理4.1.1】设A 为正规矩阵，若A 又为三角矩阵，则A 为对角矩阵. 【定理4.1.2】设n n A ?∈ ，则A 为正规矩阵?A 有n 个两两正交的单位特征向量. 【推论4.1.1】正规矩阵属于不同特征值的特征向量是两两正交的. 【定理4.1.3】设()i j n n A a ?=是复矩阵，1λ，2λ，……，n λ为A 的n 个特征值，则 （1）（Schur 不等式） 221 ,1||||n n i i j i i j a λ==≤∑∑ （2）A 为正规矩阵?2 21 ,1 |||| n n i i j i i j a λ===∑∑ （3）* 2,,1 tr()||n i j i j AA a == ∑ 【推论】设A 为正规矩阵且幂零，则0A =. 【定义4.1.2】设a 与b 是实数，且0b ≠，则称二阶实矩阵 a b b a ?? ?-??