第二节 向量组的线性组合
分布图示
★ n 维向量的概念 ★ 向量组与矩阵 ★ 向量的线性运算 ★ 例1 ★ 例2 ★ 线性方程组的向量形式 ★ 向量组的线性组合 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 定理1 ★ 例6-8 ★ 例9 ★ 向量组间的线性表示 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题3-2
内容要点
一、n 维向量及其线性运算
定义 1 n 个有次序的数n a a a ,,,21 所组成的数组称为n 维向量, 这n 个数称为该向量的n 个分量, 第i 个数i a 称为第i 个分量.
注：在解析几何中，我们把“既有大小又有方向的量”称为向量，并把可随意平行移动的有向线段作为向量的几何形象. 引入坐标系后，又定义了向量的坐标表示式（三个有次序实数），此即上面定义的3维向量. 因此，当3≤n 时，n 维向量可以把有向线段作为其几何形象. 当3>n 时，n 维向量没有直观的几何形象.
若干个同维数的列向量（或行向量）所组成的集合称为向量组. 例如，一个n m ?矩阵
????
??? ??=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211
每一列
????
??
? ??=mj j j j a a a 21α),2,1(n j =
组成的向量组n ααα,,,21 称为矩阵A 的列向量组，而由矩阵A 的的每一行 ),,2,1(),,,(21m i a a a in i i i ==β 组成的向量组m βββ,,,21 称为矩阵A 的行向量组.
根据上述讨论，矩阵A 记为
),,,(21n A ααα = 或 ????
??
? ??=n A βββ 21.
这样，矩阵A 就与其列向量组或行向量组之间建立了一一对应关系.
矩阵的列向量组和行向量组都是只含有限个向量的向量组. 而线性方程组 0=?X A n m
的全体解当n A r <)(时是一个含有无限多个n 维列向量的向量组.
定义2 两个n 维向量),,,(21n a a a =α与),,,(21n b b b =β的各对应分量之和组成的向
量，称为向量α与β的和, 记为βα+，即
),,,(2211n n b a b a b a +++=+ βα
由加法和负向量的定义，可定义向量的减法：
)(βαβα-+=-
),,,(2211n n b a b a b a ---= .
定义3 n 维向量),,,(21n a a a =α的各个分量都乘以实数k 所组成的向量，称为数k 与向量α的乘积（又简称为数乘），记为αk ，即
),,,(21n ka ka ka k =α.
向量的加法和数乘运算统称为向量的线性运算.
注：向量的线性运算与行（列）矩阵的运算规律相同，从而也满足下列运算规律: (1) αββα+=+;
(2) )()(γβαγβα++=++; (3) ;αα=+o (4) ;)(o =-+αα (5) ;1αα=
(6) ;)()(ααkl l k =
(7) ;)(βαβαk k k +=+ (8) .)(αααl k l k +=+
二、向量组的线性组合 考察线性方程组
?????
?
?=+++=+++=+++m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112
222212********* (1) 令 ????
??? ??==?
?????? ??=m mj j j j b b b n j a a a 2121),,,2,1(βα
则线性方程组(1)可表为如下向量形式:
βααα=+++n n x x x 2211 (2)
于是, 线性方程组(1)是否有解, 就相当于是否存在一组数n k k k ,,,21 使得下列线性关系式成立：
.2211n n k k k αααβ+++=
定义4 给定向量组s A ααα,,,:21 ，对于任何一组实数s k k k ,,,21 , 表达式
s s k k k ααα+++ 2211
称为向量组A 的一个线性组合, s k k k ,,,21 称为这个线性组合的系数.
定义5 给定向量组s A ααα,,,:21 和向量β, 若存在一组数,,,,21s k k k 使
,2211s s k k k αααβ+++=
则称向量β是向量组A 的线性组合, 又称向量β能由向量组A 线性表示(或线性表出).
注：(1)β能由向量组s ααα,,,21 唯一线性表示的充分必要条件是线性方程组βααα=+++s s x x x 2211有唯一解；
(2) β能由向量组s ααα,,,21 线性表示且表示不唯一的充分必要条件是线性方程组βααα=+++s s x x x 2211有无穷多个解；
(3) β不能由向量组s ααα,,,21 线性表示的充分必要条件是线性方程组
βααα=+++s s x x x 2211无解；
定理1 设向量
????
?
?? ??=m b b b 21β，),,,2,1(21s j a a a mj j j j =??????
? ??=α
则向量β能由向量组s ααα,,,21 线性表示的充分必要条件是矩阵),,,(21s A ααα =与矩
阵),,,,(~
21βαααs A =的秩相等.
三、向量组间的线性表示 定义6 设有两向量组
,,,,:;,,,:2121t s B A βββααα
若向量组B 中的每一个向量都能由向量组A 线性表示, 则称向量组B 能由向量组A 线性表示.若向量组A 与向量组B 能相互线性表示, 则称这两个向量组等价. 按定义, 若向量组B 能由向量组A 线性表示, 则存在
),,2,1(,,,21t j k k k sj j j = 使
,),,,(21212211????
??
? ??=+++=sj j j s s sj j j j k k k k k k ααααααβ
所以
,),,,(),,,(2
1
22221
112112121??
?
?
?
?
?
??=st s s t t s t k k k k k k k k k αααβββ
其中矩阵t s ij t s k K ??=)(称为这一线性表示的系数矩阵.
引理 若,n t t s n s B A C ???= 则矩阵C 的列向量组能由矩阵A 的列向量组线性表示, B 为这一表示的系数矩阵. 而矩阵C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示, A 为这一表示
的系数矩阵.
定理2 若向量组A 可由向量组B 线性表示, 向量组B 可由向量组C 线性表示, 则向量组A 可由向量组C 线性表示.
例题选讲
n 维向量及其线性运算
例1 设,)2/5,2,1,3(,)1,1,4,2(21T
T
---=--=αα 如果向量满足 ,0)(2321=+-αβα 求β.
解 由题设条件,有022321=--αβα
β)32(2112αα--=1223αα+-=T T )1,1,4,2(23
)2/5,2,1,3(--+----=.)1,2/1,5,6(T --=
例2 (E01) 设.)1,0,1,0(,)2,4,7,1(,)3,1,0,2(T T T =-=-=γβα
(1) 求 γβα32-+; (2) 若有x , 满足,0253=++-x γβα 求.x
解（1）γβα32-+T T T )1,0,1,0(3)2,4,7,1()3,1,0,2(2--+-=.)1,2,4,5(T =
（2）由,0253=++-x γβα得
x )53(21γβα-+-=
])1,0,1,0(5)2,4,7,1()3,1,0,2(3[2
1
T T T --+--=.)8,2/7,1,2/5(T --=
例3 设).3,0,0,1(),1,4,0,3(),1,2,0,1(21--==-=βαα 由于212ααβ-=, 因此β是
21,αα的线性组合.
例4 证明:向量)5,1,1(-=β是向量)6,3,2(),4,1,0(),3,2,1(321===ααα的线性组合并具
体将β用321,,ααα表示出来.
证 先假定,332211αλαλαλβ++=其中321,,λλλ为待定常数，则
)5,1,1(-)6,3,2()4,1,0()3,2,1(321λλλ++=)6,3,2()4,,0()3,2,(33322111λλλλλλλλ++=
)6,3,2()4,,0()3,2,(33322111λλλλλλλλ++=
由于两个向量相等的充要条件是它们的分量分别对应相等，因此可得方程组:
???
??=++=++-=+5
64313212321
32131λλλλλλλλ
.121
3
21???
??-===λλλ 于是β可以表示为321,,ααα的线性组合，它的表示式为.2321αααβ-+=
例5 证明: 向量)5,5,4(可以用多种方式表示成向量),3,2,1()4,1,1(-及)2,3,3(的线性组合. 证 假定321,,λλλ是数，它们使
)5,5,4()2,3,3()4,1,1()3,2,1(321λλλ+-+=)2,3,3()4,,()3,2,(333222111λλλλλλλλλ+-+=
),243,32,3(321321321λλλλλλλλλ+++++-=
这样便可得到一个线性方程组:
.5
24353243321
321321???
??=++=++=+-λλλλλλλλλ （2） 这个方程组的解不是唯一的，例如以下二组数都是方程组(2)的解:
,11=λ,02=λ;13=λ,31=λ,12-=λ.03=λ
因此);2,3,3()3,2,1()5,5,4(+=).4,1,1()3,2,1(3)5,5,4(--=即向量)5,5,4(可以用不止一种方式表示成另外3个向量的线性组合.
注：本例表明，判断一个向量是否可用多种形式由其它向量组线性表出的问题也可以归结为某一个线性方程组解的个数问题. 解唯一，表示方式也唯一. 解越多，表示方式也越多. 这说明线性方程组的解同向量线性关系之间的紧密联系.
向量组的线性组合
例6 (E02) 任何一个n 维向量T
n a a a ),,,(21 =α都是n 维向量单位组
T n T T )1,0,,0,0(,,)0,,0,1,0(,)0,,0,1(21 ===εεε的线性组合.
因为 .2211n n a a a εεεα+++=
例7 (E03) 零向量是任何一组向量的线性组合.因为.00021s o ααα?++?+?=
例8 (E04) 向量组s ααα,,,21 中的任一向量)1(s j j ≤≤α都是此向量组的线性组合. 因为 .0101s j j αααα?++?++?=
例9 (E05) 判断向量T )11,1,3,4(-=β是否各为向量组,)5,1,2,1(1T
-=α
T )1,1,1,2(2-=α的线性组合. 若是, 写出表示式.
解 设,2211βαα=+k k 对矩阵)(2
1βαα施以初等行变换:
???
?
??
? ??---111511131242
1 ???
?
??
? ??---111511131242
1 ???
?
??
? ??---111511131242
1 ???
?
??
? ??---111511131242
1 易见，秩=)(21βαα秩.2),(21=αα故β可由21,αα线性表示，且由上面的初等变换可
取,21=k 12=k 使.221ααβ+=
课堂练习
下列向量组中,向量β能否由其余向量线性表示? 若能, 写出线性表示式:
.)6,5,4(,)1,2,1(,)2,1,2(,)2,3,3(321T T T T =-=-=-=βααα
n维向量部分 这部分逻辑性非常强，考生必须要相当熟悉教材中的重要定理。从历年考试情况来看，线性相（无）关、线性表出、极大无关组、向量组的秩及等价、向量空间（数一）等内容是考试经常会涉及到的内容。常出现在选择题中。 回顾： n维向量的运算 1．定义：设 ，，k为数域Ｐ中的数，定义 ,称为向量与的和； ,称为向量与数k的数量乘积． 2．向量运算的基本性质 1） 2） 3） 4） 5） 6） 7） 8），9），， 10）若，则即，若，则或 1 向量组的秩、极大无关组的相关题型 知识点 极大线性无关组定义：设为中的一个向量组，它的一个部分组若满足 i) 线性无关 ii) 对任意的，可经线性表出 则称为向量组的一个极大线性无关组（简称极大无关组）． 向量组的秩 定义：向量组的极大无关组所含向量个数称为这个向量组的秩．性质： 1）一个向量组线性无关的充要条件是它的秩与它所含向量个数相同． 一个向量组线性相关的充要条件是它的秩＜它所含向量个数．2）等价向量组必有相同的秩．（注意：反之不然．） 3）若向量组可经向量组线性表出，则 秩秩． 例1 设向量组 （1）求此向量组的秩； （2）求此向量组的一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组表示。
例2 选择题 若向量组的秩为 r,则（） （A）必定r 向量复习题（3） 一、填空题： 1.当t _______时，向量123(1,2,2),(4,,3),(3,1,1)T T T t ααα=-==-线性无关. 2.. 向量(1,2,1),T α= 则 T αα= T αα?= ， 3. 如果n ααα,,,21???线性无关，且1+n α不能由n ααα,,,21???线性表示，则 121,,,+???n ααα 的线性 4. 设T )5,2(1=α , T a )1(2，=α，当=a 时，21,αα线性相关. 5. 一个非零向量是线性 的，一个零向量是线性 的. 6. 设向量组A: 321,,ααα线性无关，31αα+，12αα-，32αα+线性 7. 设A 为n 阶方阵，且1)(-=n A r ， 21,αα是AX=0的两个不同解，则21αα，一定 线性 8. 向量组1,,l ββL 能由向量组1,,m ααL 线性表示的充分必要条件是 12(,,)m R ααα 1212(,,,)m l R αααβββ ,,,。(填大于，小于或等于) 9.设向量组()11,1,1α= ,()21,2,3α= ,()31,3,t α=线性相关，则t 的值为 。 二、选择题： 1. . n 阶方阵A 的行列式0=A ,则A 的列向量（ ） Ａ．线性相关 Ｂ．线性无关 Ｃ．0)(=A R Ｄ．0)(≠A R 2. 设A 为n 阶方阵，n r A R <=)(，则A 的行向量中（ ） A 、必有r 个行向量线性无关 B 、任意r 个行向量构成极大线性无关组 C 、任意r 个行向量线性相关 D 、任一行都可由其余r 个行向量线性表示 3. 设有n 维向量组（Ⅰ）：12,,,r ααα 和（Ⅱ）：12,,,()m m r ααα> ，则（ ）． A 、向量组（Ⅰ）线性无关时，向量组（Ⅱ）线性无关 B 、向量组（Ⅰ）线性相关时，向量组（Ⅱ）线性相关 C 、向量组（Ⅱ）线性相关时，向量组（Ⅰ）线性相关 D 、向量组（Ⅱ）线性无关时，向量组（Ⅰ）线性相关 4. 下列命题中正确的是( ) (A)任意n 个1+n 维向量线性相关 (B)任意n 个1+n 维向量线性无关 (C)任意1+n 个n 维向量线性相关 (D)任意1+n 个n 维向量线性无关 5. 向量组r ααα,,,21 线性相关且秩为s ，则( ) （A ）s r = (B) s r ≤ (C) r s ≤ (D) r s < 6. n 维向量组 s ααα，，， 21(3≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）. (A ）s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 (B) s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 (C) s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 (D) s ααα，，， 21中不含零向量 7. 向量组n ααα,,,21???线性无关的充要条件是（ ） A 、任意i α不为零向量 B 、n ααα,,,21???中任两个向量的对应分量不成比例 C 、n ααα,,,21???中有部分向量线性无关 D 、n ααα,,,21???中任一向量均不能由其余n-1个向量线性表示 8. 设A 为n 阶方阵，n r A R <=)(，则A 的行向量中（ ） A 、必有r 个行向量线性无关 B 、任意r 个行向量构成极大线性无关组 C 、任意r 个行向量线性相关 第四章 向量组的线性相关性 §1 n 维向量概念 一、向量的概念 定义1n 个有次序的数12,,,n a a a 所组成的数组称为n 维向量,这n 个数称为该向量的n 个分量,第i 个数 i a 称为第i 个分量. 注1分量全为实数的向量称为实向量.分量不全为实数的向量称为复向量. 注2n 维向量可以写成一行的形式() 12,,,n a a a a = ,出可以写成一列的形式 12n a a a a ?? ? ? = ? ??? ,前者称为行向量,而后者称为列向量.行向量可看作是一个1n ?矩阵,故又称行矩阵;而列向量可看作一个1n ?矩阵,故又称作列矩阵.因此它们之间的运算就是矩阵之间的运算,从而符合矩阵运算的一切性质.向量之间的运算只涉及到线性运算和转置运算.为叙述方便,特别约定:在不特别声明时说到的向量均为列向量,行向量视为列向量的转置. 注3 用小写黑体字母,,,a b αβ等表示列向量,用,,,T T T T a b αβ表示行向量. 例1设123(1,1,0),(0,1,1),(3,4,0)T T T v v v ===，求12v v -及12332v v v +-. 解12v v -(1,1, 0)(0,1,1)T T =-(10,11,01)T =---(1,0,1)T =- 12332v v v +-3(1,1,0)2(0,1,1)(3,4,0)T T T =+- (31203,31214,30210)T =?+?-?+?-?+?- (0,1,2)T = 定义设v 为n 维向量的集合，如果集合v 非空，且集合v 对于加法与数乘两种运算封闭（即若α∈v,β∈v ，有α+β∈v ；若α∈v, k ∈R ，有k α∈v ），称v 为向量空间。 §2 向量组的线性相关性 一、向量组的线性组合 定义3 给定向量组A :12,,,m a a a ,对于任何一组实数12,,,m k k k ,称向量 1122m m a a a k k k +++ 为向量组A 的一个线性组合,12,,,m k k k 称为这个线性组合的系数. 定义4 给定向量组A :12,,,m a a a 和向量b ,若存在一组实数12,,,m λλλ ,使得 1122m m a a a b λλλ=+++ 则称向量b 是向量组A 的一个线性组合,或称向量b 可由向量组A 线性表示. 注1任一个n 维向量12 n a a a a ?? ? ?= ? ??? 都可由n 维单位向量组12,,,n e e e 线性表示: 1122n n a a a a e e e =+++ . 线性代数教学教案 第3章 向量与向量空间 授课序号01 教 学 基 本 指 标 教学课题 第3章 第1节 维向量及其线性运算 课的类型 新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合 教学重点 维向量的概念、向量的线性运算的性质 教学难点 向量的线性运算的性质 参考教材 同济版《线性代数》 作业布置 课后习题 大纲要求 理解维向量的概念 教 学 基 本 内 容 一． 维向量的概念 1．维向量：由个数组成的有序数组称为维向量. 2．称为维行向量，称为维列向量. 二．维向量的线性运算 1．定义： （1）分量全为0的向量称为零向量； （2）对于，称为的负向量； （3）对于，，当且仅当时，称与相等； （4）对于，，称为与的和； （5）对于，，称为与的差； （6）对于，为实数，称为的数乘，记为. 2．向量的线性运算的性质：对任意的维向量和数，有： n n n n n n n a a a ,,,21 n ),,,(21n a a a n 12?????????????? n a a a n n ()12T n αa ,a ,,a = ()12---T n a ,a ,,a αT n a a a ),,,(21 =αT n b b b ),,,(21 =β),,2,1(n i b a i i ==αβT n a a a ),,,(21 =αT n b b b ),,,(21 =βT n n b a b a b a ),,,(2211+++ αβT n a a a ),,,(21 =αT n b b b ),,,(21 =β()1122---T n n a b ,a b ,,a b αβT n a a a ),,,(21 =αk T n ka ka ka ),,,(21 ααk n γβα，，l k , 第二节 向量组及其线性组合 内容分布图示 ★ n 维向量的概念 ★ 向量组与矩阵 ★ 向量的线性运算 ★ 例1 ★ 例2 ★ 线性方程组的向量形式 ★ 向量组的线性组合 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 定理1 ★ 例6-8 ★ 例9 ★ 向量组间的线性表示 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题3-2 ★ 返回 内容要点： 一、n 维向量及其线性运算 定义1 n 个有次序的数n a a a ,,,21 所组成的数组称为n 维向量, 这n 个数称为该向量的n 个分量, 第i 个数i a 称为第i 个分量. 注：在解析几何中，我们把“既有大小又有方向的量”称为向量，并把可随意平行移动的有向线段作为向量的几何形象. 引入坐标系后，又定义了向量的坐标表示式（三个有次序实数），此即上面定义的3维向量. 因此，当3 n 时，n 维向量可以把有向线段作为其几何形象. 当3 n 时，n 维向量没有直观的几何形象. 若干个同维数的列向量（或行向量）所组成的集合称为向量组. 例如，一个n m 矩阵 每一列 组成的向量组n ,,,21 称为矩阵A 的列向量组，而由矩阵A 的的每一行 组成的向量组m ,,,21 称为矩阵A 的行向量组. 根据上述讨论，矩阵A 记为 ),,,(21n A 或 n A 21. 这样，矩阵A 就与其列向量组或行向量组之间建立了一一对应关系. 矩阵的列向量组和行向量组都是只含有限个向量的向量组. 而线性方程组 的全体解当n A r )(时是一个含有无限多个n 维列向量的向量组. 定义2 两个n 维向量),,,(21n a a a 与),,,(21n b b b 的各对应分量之和组成的向量，称为向量 与 的和, 记为 ，即 由加法和负向量的定义，可定义向量的减法： ),,,(2211n n b a b a b a . 定义3 n 维向量),,,(21n a a a 的各个分量都乘以实数k 所组成的向量，称为数k 与向量 的乘积（又简称为数乘），记为 k ，即 ),,,(21n ka ka ka k . 向量的加法和数乘运算统称为向量的线性运算. 注：向量的线性运算与行（列）矩阵的运算规律相同，从而也满足下列运算规律: (1) ; (2) )()( ; (3) ; o (4) ;)(o (5) ;1 (6) ;)()( kl l k 第十讲 向量组的线性关系 一、考试内容与考试要求 考试内容 向量的概念；向量的线性组合与线性表示；向量组线性相关与线性无关． 考试要求 （1）理解n 维向量的概念； （2）理解向量的线性组合与线性表示的概念； （3）理解向量组线性相关与线性无关的概念； （4）掌握向量组线性相关与线性无关的有关性质及判别法； 注 适合于第十讲和第十一讲． 二、知识要点 引入 学习向量组的线性相关和线性无关，直接的目的是为探讨当方程组Ax o =（Ax b =）有无穷解时，它的所有解能否用有限个解表示出来？且这些有限个解之间的关系是什么？ 线性表示（线性组合）：探讨消除线性方程组中的多余方程（即无效方程）； 矩阵秩：探讨矩阵所对应的线性方程组中的有效方程个数； 线性相关：方程组Ax o =有无穷解时，能否用有限个解表示出来； 线性无关：这有限个解之间的关系，引出基础解系和最大线性无关向量组． 复习 （1）非齐次方程组Ax b =有解的条件：()(,)R A R A b m =≤ 其中A =（12,,,m αααL ），要特别注意m 是未知量个数，也是向量组12,,,m αααL 中向量的个数． （2）齐次方程组Ax o =???唯一零解 无穷解（有非零解），o 是向量． 1．线性组合（线性表示） 定义1 线性组合（线性表示） 给定向量12,,,,m βαααL ，如果存在数12,,,m k k k L ，使关系式成立 则称β是向量组12,,,m αααL 的线性组合，或称β可以由向量组12,,,m αααL 线性表示： 注意1 （1）线性组合（或线性表示）对12,,,m k k k L 没有要求，可以全为零； （2）零向量可由任一同维的向量组线性表示； （3）判断β是否可由向量组12,,,m αααL 线性表示转化为求Ax β=是否有解，一个具体表示就是Ax β=有一个特解． （4）表示式可以不惟一，但若12,,,m αααL 线性无关时，表示式惟一； （5）任一n 维向量可由同维的单位坐标向量组12,,,n e e e L 线性表示； （6）向量组12,,,m αααL 中每个向量都可由自身向量组线性表示： 定义2 向量组的等价 向量组（I ）：12,,,s αααL 中每个向量都可由向量组（II ）：12,,,t βββL 线性表示，而向量组（II ）中每个向量都可由向量组（I ）线性表示，则称两个向量组的等价，记为（I ）:（II ）． 向量组的等价具有 ① 反身性：每个向量组都和自身等价，即（I ）:（I ）； ② 对称性：若（I ）:（II ），则（II ）:（I ）； ③ 传递性：若（I ）:（II ），（II ）:（III ），则（I ）:（III ）． 注意 2 记()12,,,s A ααα=L ，()12,,t B βββ=L ，则 （1）向量组（II ）可以由向量组（I ）线性表示的充分必要条件是()(,)R A R A B = 这是单个向量β可由向量组12,,,s αααL 线性表示的推广． （2）向量组（I ）与向量组（II ）等价的充分必要条件是()()(,)R A R B R A B == （3）若向量组（I ）：12r αααL ，，，(2)r ≥可由向量组（II ）：s βββ，，， Λ21线性表示，则当r s >时，向量组（I ）必线性相关； （4）若向量组（I ）：12r αααL ，，，(2)r ≥可由向量组（II ）：s βββ，，， Λ21线性表示，且向量组（I ）线性无关，则必有r s ≤； 这是（3）的逆否命题． 1.设α1=(1 2 ?1 0)，α2=( 1 3 1 2 )，α3=( 2 4 ?2 )，α4=( 1 1 3 5 )，α5=( 2 2 3 )，求向量组α1，α2，α3，α4，α5的 一个极大（最大）无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表出。 2.设A为mxn阶矩阵，B为nxp阶矩阵，C为pxs阶矩阵，R(C)=p，且ABC=0，证明B=0. 3.设A为mxn阶矩阵，X与b为m维列向量，Y为n维列向量，证明AY=b有解的充要条 件是满足A T X=0的所有X均满足b T=0. 4. 设α1=(1003)，α2=(11?12)，α3=(1 2?2a )，β=(01b ?1 )问a,b 为何值时， （1） β不能由α1，α2，α3线性表出 （2） β可以由α1，α2，α3线性表出，并且写出表达式 5. 设A=(λ+312 λλ?113λ+3λλ+3 )，讨论AX=0的解的情况。 6. 设A=(1 11a b c a 2 b 2 c 2 )，讨论AX=0的解的情况。 7. 设A=(1 10 1 1 1 2 20?132a ?3?21a )，β=(01b ?1 )，讨论方程组AX=β的解的情况。 8. 设A=(λ111λ111λ)，b=(1 λλ2 )，讨论方程组AX=b 的解的情况。 9. 已知三阶矩阵A 的第一行为a,b,c ，且a,b,c 不全为0，矩阵B=(1 232463 6k )(k 为常数)满足AB =0，求AX =0的通解。 10. 设4元齐次线性方程组（I ）{2x 1+3x 2?x 3=0x 1+2x 2+x 3?x 4=0 ，且已知另一个四元齐次线性方程组（II ）的一个基础解系为α1=(2 ?1a +21 )，α2=(?124a +8)，(1)求（I ）的一个基础解系。 (2)a 为何值时（I ）与（II ）有非零公共解，并求所有非零公共解。 11. 在上例中将α1，α2改为α1=(a ?5 1?1?1)，α2=(?6a +3?12 )求（I ）与（II ）的所有非零公共解。 12.已知非齐次线性方程组（I ）{?2x 1+x 2+ax 3?5x 4=1x 1+2x 2?x 3+6x 4=43x 1+2x 2+x 3+2x 4=c 与(II) {x 1+x 4=1 x 2?2x 4=2x 3+x 4=1为通解方程组 求a,b,c 的值。 线性代数练习题 第三章 向量与向量空间 系 专业 班 姓名 学号 第一节 n 维向量 第二节 向量间的线性关系 一．选择题 1．n 维向量s ααα,,, 21)(01≠α线性相关的充分必要条件是 [ D ] （A ）对于任何一组不全为零的数组都有02211=+++s s k k k ααα （B ）s ααα,,, 21中任何)(s j j ≤个向量线性相关 （C ）设),,,(s A ααα 21=，非齐次线性方程组B AX =有无穷多解 （D ）设),,,(s A ααα 21=，A 的行秩 ＜ s . 2．若向量组γβα,,线性无关，向量组δβα,,线性相关，则 [ C ] （A ）α必可由δγβ,,线性表示 （B ）β必不可由δγα,,线性表示 （C ）δ必可由γβα,,线性表示 （D ）δ比不可由γβα,,线性表示 二．填空题： 1． 设T T T )0,4,3(,)1,1,0(,)0,1,1(321===ααα 则T )1,0,1(21-=-αα T )2,1,0(23321=-+ααα 2． 设)()()(αααααα+=++-321523，其中T ),,,(31521=α，T )10,5,1,10(2=α T ),,,(11143-=α，则(1,2,3,4)T α= 3． 已知T T T k ),,,(,),,,(,),,,(84120011211321---===ααα线性相关，则=k 2 三．计算题： 1． 设向量()T k 1,1,11+=α，T k ),,(1112+=α，T k ),,(1113+=α，T k k ),,(21=β，试问当k 为 何值时 （1）β可由321ααα,,线性表示，且表示式是唯一 （2）β可由321ααα,,线性表示，且表示式不唯一 （3）β不能由321ααα,,线性表示 (向量组的秩ppt) 21123 31 211131********* 100(3)1 1 1 3 1 1 0r r c c c r r k k k k k k k k k k k k k -++-++++=++= =++++ 2． 设向量T ),,,(32011=α，T ),5,3,1,1(2=α，T a ),,,(12113+-=α，T a ),,,(84214+=α T b ),,,(5311+=β，试问当b a ,为何值时，（1）β不能由4321αααα,,,线性表示 （2）β有4321αααα,,,的唯一线性表达式并写出表达式。 31413212421 111 11111 1201121011212324301 2133 518502 252111111 02100112101121001 000102000100 0010r r a b a b r r a a r r r r a b a b r r a a ???? ? ? --- ? ? ? ? +++- ? ? +-+???? -???? ? ? --- ? ?- ? ++- ? ++???? ? ? (1) a= -1,b ≠0. 线性代数知识点总结 第一章 行列式 二三阶行列式 N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n n n nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121) ..(∑-= τ （奇偶）排列、逆序数、对换 行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。（转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。 推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。 ③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。 推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零； 推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。 ④行列式具有分行（列）可加性 ⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变 行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。 克莱姆法则： 非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j D D x j j ??==、 齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零 特殊行列式： ①转置行列式：33 23133222123121 11333231232221 131211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a = ③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零 ④三线性行列式:33 31 2221 13 1211 0a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。。化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式: 第三节 向量组的线性相关性 分布图示 ★ 线性相关与线性无关 ★ 例1 ★ 例2 ★ 证明线性无关的一种方法 线性相关性的判定 ★ 定理1 ★ 定理2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 定理3 ★ 定理4 ★ 定理5 ★ 例7 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题3-3 内容要点 一、线性相关性概念 定义1 给定向量组,,,,:21s A ααα 如果存在不全为零的数,,,,21s k k k 使 ,02211=+++s s k k k ααα (1) 则称向量组A 线性相关, 否则称为线性无关. 注: ① 当且仅当021====s k k k 时，(1)式成立, 向量组s ααα,,,21 线性无关; ② 包含零向量的任何向量组是线性相关的; ③ 向量组只含有一个向量α时，则 （1）0≠α的充分必要条件是α是线性无关的； （2）0=α的充分必要条件是α是线性相关的； ④ 仅含两个向量的向量组线性相关的充分必要条件是这两个向量的对应分量成比例；反之，仅含两个向量的向量组线性无关的充分必要条件是这两个向量的对应分量不成比例. ⑤ 两个向量线性相关的几何意义是这两个向量共线, 三个向量线性相关的几何意义是这三个向量共面. 二、线性相关性的判定 定理1 向量组)2(,,,21≥s s ααα 线性相关的充必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余1-s 个向量线性表示. 定理 2 设有列向量组),,,2,1(,21s j a a a nj j j j =???? ?? ? ??=α 则向量组s ααα,,,21 线性相关的充要条件是: 是矩阵),,,(21s A ααα =的秩小于向量的个数s . 线性代数练习题 第四章 向量组的线性相关性 系 专业 班 姓名 学号 第一节 向量组及其线性组合 第二节 向量组的线性相关性 一．选择题 1．n 维向量s ααα,,, 21)(01≠α线性相关的充分必要条件是 [ D ] （A ）对于任何一组不全为零的数组都有02211=+++s s k k k ααα （B ）s ααα,,, 21中任何)(s j j ≤个向量线性相关 （C ）设),,,(s A ααα 21=，非齐次线性方程组B AX =有唯一解 （D ）设),,,(s A ααα 21=，A 的行秩 ＜ s . 2．若向量组γβα,,线性无关，向量组δβα,,线性相关，则 [ C ] （A ）α必可由δγβ,,线性表示 （B ）β必不可由δγα,,线性表示 （C ）δ必可由γβα,,线性表示 （D ）δ比不可由γβα,,线性表示 二．填空题： 1． 设T T T ),,(,),,(,),,(0431********===ααα 则=-21αα (1,0,1)T - =-+32123ααα (0,1,2)T 2． 设)()()(αααααα+=++-321523，其中T ),,,(31521=α，T )10,5,1,10(2=α T ),,,(11143-=α，则=α (1,2,3,4)T 3． 已知T T T k ),,,(,),,,(,),,,(84120011211321---===ααα线性相关，则=k 2 4． 设向量组),,(,),,(,),,(b a c b c a 000321===ααα线性无关，则c b a ,,满足关系式 0abc ≠ 三．计算题： 1． 设向量()11,1,1T αλ=+，2(1,1,1)T αλ=+，3(1,1,1)T αλ=+，2(1,,)T βλλ=，试问当λ为 何值时 （1）β可由321ααα,,线性表示，且表示式是唯一？ （2）β可由321ααα,,线性表示，且表示式不唯一？ （3）β不能由321ααα,,线性表示？ 132123222 21110111(,,,)11111111111101110, 00(3)(12)r r r λ λλαααβλλλλλλλλλλλλλλλλλλ???++?? ? ?=+???→+ ? ? ? ?++??????+ ???→→-- ? ?-+--?? 解因为 2 2 211 10,00(3)(12)λλλλλλλλλλλ??+ ? →-- ? ?-+--? ? 123123123(1)03,(,,,)(,,)3, ,,,; R R λλαααβαααβααα≠≠-==且时可由线性表示且表达式唯一 123123123(2)0,(,,,)(,,)13, ,,,;R R λαααβαααβααα===<时可由线性表示但表达式不唯一 123123123(3)3,(,,,)3(,,)2, ,,. R R λαααβαααβααα=-=≠=当时不能由线性表示 线性代数空间向量和特征值特征向量1、空间向量 2、特征值特征向量 凯程教育： 凯程考研成立于2005年，国内首家全日制集训机构考研，一直从事高端全日制辅导，由李海洋教授、张鑫教授、卢营教授、王洋教授、杨武金教授、张释然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高级考研教研队伍组成，为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。 凯程考研的宗旨：让学习成为一种习惯； 凯程考研的价值观口号：凯旋归来，前程万里； 信念：让每个学员都有好最好的归宿； 使命：完善全新的教育模式，做中国最专业的考研辅导机构； 激情：永不言弃，乐观向上； 敬业：以专业的态度做非凡的事业； 服务：以学员的前途为已任，为学员提供高效、专业的服务，团队合作，为学员服务，为学员引路。 如何选择考研辅导班： 在考研准备的过程中，会遇到不少困难，尤其对于跨专业考生的专业课来说，通过报辅导班来弥补自己复习的不足，可以大大提高复习效率，节省复习时间，大家可以通过以下几个方面来考察辅导班，或许能帮你找到适合你的辅导班。 师资力量：师资力量是考察辅导班的首要因素，考生可以针对辅导名师的辅导年限、辅导经验、历年辅导效果、学员评价等因素进行综合评价，询问往届学长然后选择。判断师资力量关键在于综合实力，因为任何一门课程，都不是由一、两个教师包到底的，是一批教师配合的结果。还要深入了解教师的学术背景、资料著述成就、辅导成就等。凯程考研名师云集，李海洋、张鑫教授、方浩教授、卢营教授、孙浩教授等一大批名师在凯程授课。而有的机构只是很普通的老师授课，对知识点把握和命题方向，欠缺火候。 对该专业有辅导历史：必须对该专业深刻理解，才能深入辅导学员考取该校。在考研辅导班中，从来见过如此辉煌的成绩：凯程教育拿下2015五道口金融学院状元，考取五道口15人，清华经管金融硕士10人，人大金融硕士15个，中财和贸大金融硕士合计20人，北师大教育学7人，会计硕士保录班考取30人，翻译硕士接近20人，中传状元王园璐、郑家威都是来自凯程，法学方面，凯程在人大、北大、贸大、政法、武汉大学、公安大学等院校斩获多个法学和法硕状元，更多专业成绩请查看凯程网站。在凯程官方网站的光荣榜，成功学员经验谈视频特别多，都是凯程战绩的最好证明。对于如此高的成绩，凯程集训营班主任邢老师说，凯程如此优异的成绩，是与我们凯程严格的管理，全方位的辅导是分不开的，很多学生本科都不是名校，某些学生来自二本三本甚至不知名的院校，还有很多是工作了多年才回来考的，大多数是跨专业考研，他们的难度大，竞争激烈，没有严格的训练和同学们的刻苦学习，是很难达到优异的成绩。最好的办法是直接和凯程老师详细沟通一下就清楚了。 建校历史：机构成立的历史也是一个参考因素，历史越久，积累的人脉资源更多。例如，凯程教育已经成立10年（2005年），一直以来专注于考研，成功率一直遥遥领先，同学们有兴趣可以联系一下他们在线老师或者电话。 有没有实体学校校区：有些机构比较小，就是一个在写字楼里上课，自习，这种环境是不太好的，一个优秀的机构必须是在教学环境，大学校园这样环境。凯程有自己的学习校区，有吃住学一体化教学环境，独立卫浴、空调、暖气齐全，这也是一个考研机构实力的体现。此外，最好还要看一下他们的营业执照。 概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确 (),n T A r A n A A Ax x Ax A Ax A A A E οοοββ==??≠≠≠??∈=?可逆 的列（行）向量线性无关 的特征值全不为0 只有零解 ， 0总有唯一解 是正定矩阵 R 12,s i A p p p p n B AB E AB E ?? ??? ????? ?? ??=????==?? 是初等阵 存在阶矩阵使得 或 ○注：全体n 维实向量构成的集合n R 叫做n 维向量空间. ()A r A n A A A Ax A ολ<=?==不可逆 0的列（行）向量线性相关 0是的特征值 有非零解,其基础解系即为关于0的?? ?? ?????特征向量 ○注 ()()a b r aE bA n aE bA aE bA x οολ+ 第五节 向量空间 分布图示 ★ 向量空间 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 子空间 ★ 例6 ★ 例7 ★ 向量空间的基与维数 ★ 例8 ★ 例9 ★ 向量在基下的坐标 ★ 例10 ★ 关于集合的坐标系的注记 ★ 例11 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题3-5 内容要点 一、向量空间与子空间 定义1 设V 为n 维向量的集合,若集合V 非空,且集合V 对于n 维向量的加法及数乘两种运算封闭, 即 (1) 若,,V V ∈∈βα则V ∈+βα; (2) 若,,R V ∈∈λα则V ∈λα. 则称集合V 为R 上的向量空间. 记所有n 维向量的集合为n R , 由n 维向量的线性运算规律,容易验证集合n R 对于加法及数乘两种运算封闭. 因而集合n R 构成一向量空间, 称n R 为n 维向量空间. 注：3=n 时, 三维向量空间3R 表示实体空间; 2=n 时, 维向量空间2R 二表示平面; 1=n 时, 一维向量空间1R 表示数轴. 3>n 时, n R 没有直观的几何形象. 定义2 设有向量空间1V 和2V , 若向量空间21V V ?, 则称1V 是2V 的子空间. 二、向量空间的基与维数 定义3 设V 是向量空间, 若有r 个向量V r ∈ααα,,,21 , 且满足 (1) r αα,,1 线性无关; (2) V 中任一向量都可由r αα,,1 线性表示. 则称向量组r αα,,1 为向量空间V 的一个基, 数r 称为向量空间V 的维数,记为r V =dim 并称V 为r 维向量空间. 注: (1) 只含零向量的向量空间称为0维向量空间, 它没有基; (2) 若把向量空间V 看作向量组,则V 的基就是向量组的极大无关组, V 的维数就是向量组的秩; (3) 若向量组r αα,,1 是向量空间V 的一个基,则V 可表示为 }.,,,,|{2111R x x V r r r ∈++==λλλαλαλ 此时, V 又称为由基r αα,,1 所生成的向量空间. 故数组r λλ,,1 称为向量x 在基r αα,,1 中的坐标. 注: 如果在向量空间V 中取定一个基r a a a ,,,21 , 那么V 中任一向量x 可惟一地表示为 ,2211r r a a a x λλλ+++= 数组r λλλ,,,21 称为向量x 在基r a a a ,,,21 中的坐标. 第二节 向量组的线性组合 分布图示 ★ n 维向量的概念 ★ 向量组与矩阵 ★ 向量的线性运算 ★ 例1 ★ 例2 ★ 线性方程组的向量形式 ★ 向量组的线性组合 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 定理1 ★ 例6-8 ★ 例9 ★ 向量组间的线性表示 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题3-2 内容要点 一、n 维向量及其线性运算 定义 1 n 个有次序的数n a a a ,,,21 所组成的数组称为n 维向量, 这n 个数称为该向量的n 个分量, 第i 个数i a 称为第i 个分量. 注：在解析几何中，我们把“既有大小又有方向的量”称为向量，并把可随意平行移动的有向线段作为向量的几何形象. 引入坐标系后，又定义了向量的坐标表示式（三个有次序实数），此即上面定义的3维向量. 因此，当3≤n 时，n 维向量可以把有向线段作为其几何形象. 当3>n 时，n 维向量没有直观的几何形象. 若干个同维数的列向量（或行向量）所组成的集合称为向量组. 例如，一个n m ?矩阵 ???? ??? ??=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211 每一列 ???? ?? ? ??=mj j j j a a a 21α),2,1(n j = 组成的向量组n ααα,,,21 称为矩阵A 的列向量组，而由矩阵A 的的每一行 ),,2,1(),,,(21m i a a a in i i i ==β 组成的向量组m βββ,,,21 称为矩阵A 的行向量组. 根据上述讨论，矩阵A 记为 ),,,(21n A ααα = 或 ???? ?? ? ??=n A βββ 21. 这样，矩阵A 就与其列向量组或行向量组之间建立了一一对应关系. 矩阵的列向量组和行向量组都是只含有限个向量的向量组. 而线性方程组 0=?X A n m 的全体解当n A r <)(时是一个含有无限多个n 维列向量的向量组. 定义2 两个n 维向量),,,(21n a a a =α与),,,(21n b b b =β的各对应分量之和组成的向 （1）设n 阶方阵A 的秩r 第三章 课后习题及解答 将1，2题中的向量α表示成4321,,,αααα的线性组合： 1．()()()()().1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,,1,1,11,,1,12,1T 4T 3T 21T --=--=--===αααααT 2．()()()()().1,1,1,0,0,0,1,1,1,3,1,2,1,0,1,1,1,0,0,04321--=====ααααα 解：设存在4321,,,k k k k 使得44332211αααααk k k k +++=，整理得 解得.4 1,41,41,454321-=-===k k k k 所以432141414145ααααα--+= . 设存在 4321,,,k k k k 使得44332211αααααk k k k +++=，整理得 02321=++k k k ，04321=+++k k k k ， 0342=-k k ，1421=-+k k k . 解得 .0,1,0,14321=-===k k k k 所以31ααα-=. 判断3，4题中的向量组的线性相关性： 3. ()()().6,3,1,5,2,0,1,1,1T 3T 2T 1===ααα 4. ()().3,0,7,142,1,3,0,)4,2,1,1(T 3T 2T 1==-=βββ， 解： 3.设存在 321,,k k k 使得0332211=++αααk k k ，即 ?????=++=++=+0650320321 32131k k k k k k k k ，由0651321101=，解得321,,k k k 不全为零， 故321,,ααα线性相关. 4.设存在 321,,k k k 使得0332211=++βββk k k ，即 ???????=++=++=+-=+0 14240720303321321 2131k k k k k k k k k k 可解得321,,k k k 不全为零，故321,,βββ线性相关. 5.论述单个向量）（n a a a ,,,21 =α线性相关和线性无关的条件. 解：设存在k 使得0=αk ，若0≠α，要使0=αk ，当且仅当0=k ，故，单个向量线性 无关的充要条件是0≠α；相反，单个向量）（n a a a ,,,21 =α线性相关的充要条件是 0=α. 6.证明：如果向量组线性无关，则向量组的任一部分组都线性无关. 证：设向量组n n αααα,,,,121- 线性无关，利用反证法， 假设存在该向量组的某一部分组)(,,,21n i r i i i r ≤ααα 线性相关， 则向量组n n αααα,,,,121- 线性相关，与向量组n n αααα,,,,121- 线性无关矛盾， 所以该命题成立. 7.证明：若21,αα线性无关，则2121,αααα-+也线性无关. 证：方法一，设存在21,k k 使得0)()(212211=-++ααααk k ，秩（向量组II） （C）秩（向量组I）<秩（向量组II） （D）不能确定秩（向量组I）与秩（向量组II）的大小关系 2 向量组的线性相关性的判定或根据向量相关性求参数 知识点：1对向量组，设 若如果存在不全为零的数，使上式成立，则向量组线性相关。 若当且仅当上式才成立，则线性无关。 2 设向量组I：可由向量组II：线性表现，若 r>s , 则向量组I线性相关。（注意它的逆否定理） 3 利用矩阵的秩或行列式 设有 s个n维列向量组，设A=()， 则当秩A=s时，线性无关；当秩A线性代数第三章向量复习题()
第四章 向量组的线性相关性总结
线性代数教案-向量与向量空间
向量组及其线性组合
向量组的线性关系
线性代数 第三章 向量与线性方程组 例题
线性代数第三章向量与向量空间
(完整版)线性代数重要知识点及典型例题答案
线性代数 向量组的线性相关性
向量组的线性相关性 线性代数习题集
线性代数空间向量和特征值特征向量
线性代数常用公式
线性代数 向量空间
线性代数 向量组的线性组合
线性代数 第三章 测验
S 时，向量组（Ⅱ）必线性相关； （C ）当rS 时，向量组（Ⅰ）必线性相关； 7. 已知一个向量组为???? ? ???????--=????????????-=????????????=????????????=????????????=1311,4152,2312,1021,120154321ααααα，求该向量组的秩及该向量组的一个最大线性无关组, 并把其余列向量用该最大无关组线性表示.. 8. 当λ取何值时，非齐次线性方程组12312321231x x x x x x x x x λλλλλ?++=?++=??++=? (1) 有唯一解;(2)无解;(3)有无 穷多解，并求通解.居余马线性代数第三章课后习题
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