(易错题精选)初中数学图形的相似经典测试题附解析(1) 一、选择题
1.如图,直角三角形的直角顶点在坐标原点,∠OAB=30°,若点A在反比例函数
y=
6
x
(x
>0)的图象上,则经过点B的反比例函数解析式为()
A.y=﹣6
x
B.y=﹣
4
x
C.y=﹣
2
x
D.y=
2
x
【答案】C 【解析】【分析】
直接利用相似三角形的判定与性质得出
1
3
BCO
AOD
S
S
=
V
V
,进而得出S△AOD=3,即可得出答案.
【详解】
过点B作BC⊥x轴于点C,过点A作AD⊥x轴于点D,∵∠BOA=90°,
∴∠BOC+∠AOD=90°,
∵∠AOD+∠OAD=90°,
∴∠BOC=∠OAD,
又∵∠BCO=∠ADO=90°,
∴△BCO∽△ODA,
∵BO
AO
=tan30°
3
∴
1
3
BCO
AOD
S
S
=
V
V
,
∵1
2
×AD×DO=
1
2
xy=3,
∴S△BCO=1
2
×BC×CO=
1
3
S△AOD=1,
∵经过点B的反比例函数图象在第二象限,
故反比例函数解析式为:y=﹣2
x
.
故选C.
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的判定与性质,反比例函数数的几何意义,正确得出S△AOD=2是解题关键.
2.如图,在△ABC中,∠A=75°,AB=6,AC=8,将△ABC沿图中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是()
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可.
【详解】
A、根据平行线截得的三角形与原三角形有两个角相等,故两三角形相似,故本选项错误;
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等,故两三角形相似,故本选项错误;
C、两三角形对应边成比例且夹角相等,故两三角形相似,故本选项错误.
D、两三角形的对应边不成比例,故两三角形不相似,故本选项正确;
故选:D.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定,熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键.
3.如图所示,在正方形ABCD中,G为CD边中点,连接AG并延长交BC边的延长线于E 点,对角线BD交AG于F点.已知FG=2,则线段AE的长度为()
A.6 B.8 C.10 D.12
【答案】D
【解析】
分析:根据正方形的性质可得出AB∥CD,进而可得出△ABF∽△GDF,根据相似三角形的性
质可得出AF AB
GF GD
==2,结合FG=2可求出AF、AG的长度,由CG∥AB、AB=2CG可得出
CG为△EAB的中位线,再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度,此题得解.详解:∵四边形ABCD为正方形,
∴AB=CD,AB∥CD,
∴∠ABF=∠GDF,∠BAF=∠DGF,
∴△ABF∽△GDF,
∴AF AB
GF GD
==2,
∴AF=2GF=4,
∴AG=6.
∵CG∥AB,AB=2CG,
∴CG为△EAB的中位线,
∴AE=2AG=12.
故选D.
点睛:本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形的中位线,利用相似三角形的性质求出AF的长度是解题的关键.
4.如图,平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分,则的值为()
A.1 B.C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分,可知△ADE与△ABC相似,且面积比为,则相似比为,的值为.
【详解】
∵DE∥BC,
∴△ADE∽△ABC,
∵DE把△ABC分成面积相等的两部分,
∴S△ADE=S四边形DBCE,
∴=,
∴==,
故选:C.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定,相似三角形的性质,面积比等于相似比的平方的逆用等.
5.如图,正方形OABC的边长为6,D为AB中点,OB交CD于点Q,Q是y=k
x
上一点,
k的值是()
A.4 B.8 C.16 D.24
【答案】C
【解析】
【分析】
延长根据相似三角形得到:1:2
BQ OQ=,再过点Q作垂线,利用相似三角形的性质求出QF、OF,进而确定点Q的坐标,确定k的值.
【详解】
解:过点Q作QF OA
⊥,垂足为F,
OABC Q 是正方形,
6OA AB BC OC ∴====,90ABC OAB DAE ∠=∠=?=∠,
D Q 是AB 的中点, 12BD AB ∴=, //BD OC Q ,
OCQ BDQ ∴??∽,
∴
12BQ BD OQ OC ==, 又//QF AB Q ,
OFQ OAB ∴??∽,
∴
22213QF OF OQ AB OA OB ====+, 6AB =Q ,
2643QF ∴=?=,2643
OF =?=, (4,4)Q ∴,
Q 点Q 在反比例函数的图象上,
4416k ∴=?=,
故选:C .
【点睛】
本题考查了待定系数法求反比例函数、相似三角形的性质和判定,利用相似三角形性质求出点Q 的坐标是解决问题的关键.
6.如图,□ABCD 的对角线AC ,BD 交于点O ,CE 平分∠BCD 交AB 于点E ,交BD 于点F ,且∠ABC =60°,AB =2BC ,连接OE .下列结论:①EO ⊥AC ;②S △AOD =4S △OCF ;③AC :BD =21:7;④FB 2=OF ?DF .其中正确的是( )
A .①②④
B .①③④
C .②③④
D .①③
【答案】B
【解析】
【分析】
①正确.只要证明EC=EA=BC ,推出∠ACB=90°,再利用三角形中位线定理即可判断. ②错误.想办法证明BF=2OF ,推出S △BOC =3S △OCF 即可判断.
③正确.设BC=BE=EC=a ,求出AC ,BD 即可判断.
④正确.求出BF ,OF ,DF (用a 表示),通过计算证明即可.
【详解】
解:∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴CD ∥AB ,OD=OB ,OA=OC ,
∴∠DCB+∠ABC=180°,
∵∠ABC=60°,
∴∠DCB=120°,
∵EC 平分∠DCB ,
∴∠ECB=12
∠DCB=60°, ∴∠EBC=∠BCE=∠CEB=60°,
∴△ECB 是等边三角形,
∴EB=BC ,
∵AB=2BC ,
∴EA=EB=EC ,
∴∠ACB=90°,
∵OA=OC ,EA=EB ,
∴OE ∥BC ,
∴∠AOE=∠ACB=90°,
∴EO ⊥AC ,故①正确,
∵OE ∥BC ,
∴△OEF ∽△BCF ,
∴12OE OF BC FB == , ∴OF=13
OB , ∴S △AOD =S △BOC =3S △OCF ,故②错误, 设BC=BE=EC=a ,则AB=2a ,3,223(
72)a a +,
∴BD=7a,
∴AC:BD=3a:7a=21:7,故③正确,
∵OF=1
3
OB=
7
a,
∴BF=
7
3
a,
∴BF2=7
9
a2,OF?DF=
7
a?
777
9
a a
??
+=
?
?
??
a2,
∴BF2=OF?DF,故④正确,
故选:B.
【点睛】
此题考查相似三角形的判定和性质,平行四边形的性质,角平分线的定义,解直角三角形,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会利用参数解决问题.
7.如图,小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB,他调整自己的位置,设法使斜边DF保持水平,并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条直角边40
DE cm
=,20
EF cm
=,测得边DF离地面的高度 1.5
AC m
=,8
CD m
=,则树高AB是()
A.4米B.4.5米C.5米D.5.5米
【答案】D
【解析】
【分析】
利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小明的身高即可求得树高AB.
【详解】
解:∵∠DEF=∠BCD-90°∠D=∠D
∴△ADEF∽△DCB
∴BC DC EF DE
=
∴DE=40cm=0.4m,EF-20cm=0.2m,AC-1.5m,CD=8m
∴
8
0.20.4
BC
=解得:BC=4
∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5米故答案为:5.5.
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用,解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型。
8.如图,正方形ABCD中,E、F分别为AB、BC的中点,AF与DE相交于点O,则AO DO
=
().
A.1
3
B.
25
C.
2
3
D.
1
2
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知条件易证△ADE≌△BAF,从而进一步得△AOD∽△EAD.运用相似三角形的性质即可求解.
【详解】
∵四边形ABCD是正方形
∴AE=BF,AD=AB,∠EAD=∠B=90?
∴△ADE≌△BAF
∴∠ADE=∠BAF,∠AED=∠BFA
∵∠DAO+∠FAB=90?,∠FAB+∠BFA=90?,
∴∠DAO=∠BFA,
∴∠DAO=∠AED
∴△AOD∽△EAD
∴
1
2 AO AE DO AD
==
故选:D
【点睛】
本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质.
9.如图,在四边形ABCD中,BD平分∠ABC,∠BAD=∠BDC=90°,E为BC的中点,AE与BD相交于点F,若BC=4,∠CBD=30°,则DF的长为()
A.2
3
5
B.
2
3
3
C.
3
3
4
D.
4
3
5
【答案】D
【解析】
【分析】
先利用含30度角的直角三角形的性质求出BD,再利用直角三角形的性质求出DE=BE=2,即:∠BDE=∠ABD,进而判断出DE∥AB,再求出AB=3,即可得出结论.
【详解】
如图,
在Rt△BDC中,BC=4,∠DBC=30°,
∴3
连接DE,
∵∠BDC=90°,点D是BC中点,
∴DE=BE=CE=1
2
BC=2,
∵∠DCB=30°,
∴∠BDE=∠DBC=30°,∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠DBC,
∴∠ABD=∠BDE,
∴DE∥AB,
∴△DEF∽△BAF,
∴DF DE BF AB
=,
在Rt△ABD中,∠ABD=30°,3,∴AB=3,
∴
2
3 DF
BF
=,
∴
2
5 DF
BD
=,
∴DF=2243
3
55
BD=?=
故选D.
【点睛】
此题主要考查了含30度角的直角三角形的性质,相似三角形的判定和性质,角平分线的定
义,判断出DE ∥是解本题的关键.
10.如图Rt ABC V 中,90ABC ∠=?,4AB =,3BC =,D 为BC 上一动点,DE BC ⊥,当BD CE =时,BE 的长为( ).
A .52
B .125
C .5158
D .3418
【答案】D
【解析】
【分析】
利用90ABC ∠=?,DE BC ⊥得到相似三角形,利用相似三角形的性质求解,,BD DE 再利用勾股定理计算即可.
【详解】
解:90,ABC ∠=?Q DE BC ⊥,
//,DE BA ∴
,CED CAB ∴??:
,CE CD ED CA CB AB
∴
== 90,4,3,ABC AB BC ∠=?==Q 5,AC ∴=
设,BD x = Q BD CE =,
,3,BD CE x CD x ∴===-
3,534
x x ED -∴== 3155,x x ∴=-
15,8
x ∴= 15
8,54
ED ∴= 3,2
ED ∴= Q DE BC ⊥,
2222153341()().828
BE DB DE ∴=+=+=
故选D .
【点睛】
本题考查的是三角形相似的判定与性质,勾股定理的计算求解,掌握相关知识点是解题关键.
11.如图,Rt ABC V 中,90,60ABC C ∠=∠=o o ,边AB 在x 轴上,以O 为位似中心,作111A B C △与ABC V 位似,若()3,6C 的对应点()11,2C ,则1B 的坐标为( )
A .()1,0
B .3,02?? ???
C .()2,0
D .()2,1
【答案】A
【解析】
【分析】 如图,根据位似图形的性质可得B 1C 1//BC ,点B 在x 轴上,由∠ABC=90°,可得B 1C 1⊥x 轴,根据C 1坐标即可得B 1坐标.
【详解】
如图,
∵111A B C △与ABC V 位似,位似中心为点O ,边AB 在x 轴上,
∴B 1C 1//BC ,点B 在x 轴上,
∵∠ABC=90°,
∴B 1C 1⊥x 轴,
∵C 1坐标为(1,2),
∴B 1坐标为(1,0)
故选:A .
【点睛】
本题考查位似图形的性质,位似图形的对应边互相平行,对应点的连线相交于一点,这一点叫做位似中心.
12.如图,点E 为ABC ?的内心,过点E 作MN BC P 交AB 于点M ,交AC 于点N ,若7AB =,5AC =,6BC =,则MN 的长为( )
A .3.5
B .4
C .5
D .5.5
【答案】B
【解析】
【分析】 连接EB 、EC ,如图,利用三角形内心的性质得到∠1=∠2,利用平行线的性质得∠2=∠3,所以∠1=∠3,则BM=ME ,同理可得NC=NE ,接着证明△AMN ∽△ABC ,所以767MN BM -=,则BM=7-76MN①,同理可得CN=5-56
MN②,把两式相加得到MN 的方程,然后解方程即可.
【详解】
连接EB 、EC ,如图,
∵点E 为△ABC 的内心,
∴EB 平分∠ABC ,EC 平分∠ACB ,
∴∠1=∠2,
∵MN ∥BC ,
∴∠2=∠3,
∴∠1=∠3,
∴BM=ME,
同理可得NC=NE,∵MN∥BC,
∴△AMN∽△ABC,
∴MN AM
BC AB
=,即
7
67
MN BM
-
=,则BM=7-
7
6
MN①,
同理可得CN=5-5
6
MN②,
①+②得MN=12-2MN,
∴MN=4.
故选:B.
【点睛】
此题考查三角形的内切圆与内心,相似三角形的判定与性质,解题关键在于掌握与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆,三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形.三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点.
13.两个相似多边形的面积比是9∶16,其中小多边形的周长为36 cm,则较大多边形的周长为 )
A.48 cm B.54 cm C.56 cm D.64 cm
【答案】A
【解析】
试题分析:根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比,而面积之比等于相似比的平方计算即可.
解:两个相似多边形的面积比是9:16,
面积比是周长比的平方,
则大多边形与小多边形的相似比是4:3.
相似多边形周长的比等于相似比,
因而设大多边形的周长为x,
则有=,
解得:x=48.
大多边形的周长为48cm.
故选A.
考点:相似多边形的性质.
14.如图,三角尺与其灯光照射下的中心投影组成了位似图形,它们的相似比为2∶3,若三角尺的一边长为8 cm,则这条边在投影中的对应边长为()
A .8 cm
B .12 cm
C .16 cm
D .24 cm
【答案】B
【解析】
试题分析:利用相似比为2:3,可得出其对应边的比值为2:3,进而求出即可.
解:∵三角尺与其灯光照射下的中心投影组成了位似图形,它们的相似比为2:3,三角尺的一边长为8cm ,
∴设这条边在投影中的对应边长为:x ,则=,解得:x=12.
故选B .
考点:位似变换.
15.如图,矩形AEHC 是由三个全等矩形拼成的,AH 与BE 、BF 、DF 、DG 、CG 分别交于点P 、Q 、K 、M 、N ,设BPQ ?,DKM ?,CNH ?的面积依次为1S 、2S 、3S ,若1320S S +=,则2S 的值为( )
A .6
B .8
C .10
D .1
【答案】B
【解析】
【分析】 由已知条件可以得到△BPQ ∽△DKM ∽△CNH ,然后得到△BPQ 与△DKM 的相似比为12,△BPQ 与△CNH 的相似比为
13
,由相似三角形的性质求出1S ,从而求出2S . 【详解】
解:∵矩形AEHC 是由三个全等矩形拼成的,
∴AB=BD=CD ,AE ∥BF ∥DG ∥CH ,
∴四边形BEFD 、四边形DFGC 是平行四边形,∠BQP=∠DMK=∠CHN ,
∴BE ∥DF ∥CG ,
∴∠BPQ=∠DKM=∠CNH,
∴△ABQ∽△ADM,△ABQ∽△ACH,
∴
1
2 AB BQ
AD DM
==,
1
3
BQ AB
CH AC
==,
∴△BPQ∽△DKM∽△CNH,
∵
1
2
BQ
MD
=,
1
3
BQ
CH
=,
∴1
2
1
4
S
S
=,1
3
1
9
S
S
=,
∴21
4
S S
=,
31
9
S S
=,
∵1320
S S
+=,
∴12
S=,
∴21
48
S S
==;
故选:B.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质,矩形的性质以及平行四边形的判定和性质,解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质,正确得到21
4
S S
=,
31
9
S S
=,从而求出答案.
16.如图,正方形ABDC中,AB=6,E在CD上,DE=2,将△ADE沿AE折叠至△AFE,延长EF交BC于G,连AG、CF,下列结论:①△ABG≌△AFG;②BG=CG;③AG∥CF;④S?FCG=3,其中正确的有().
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】C
【解析】
【分析】
利用折叠性质和HL定理证明Rt△ABG≌Rt△AFG,从而判断①;设BG=FG=x,则CG=6-x,GE=x+2,根据勾股定理列方程求解,从而判断②;由②求得△FGC为等腰三角形,由此推出
180
2
FGC
FCG
-∠
∠=
o
,由①可得
180
2
FGC
AGB
-∠
∠=
o
,从而判断③;过点F作FM⊥CE,用平行线分线段成比例定理求得FM的长,然后求得△ECF和△EGC的面积,从而求出△FCG的面积,判断④.
【详解】
解:在正方形ABCD 中,由折叠性质可知DE=EF=2,AF=AD=AB=BC=CD=6,∠B=∠D=∠AFG=∠BCD=90°
又∵AG=AG
∴Rt △ABG ≌Rt △AFG ,故①正确;
由Rt △ABG ≌Rt △AFG
∴设BG=FG=x ,则CG=6-x ,GE=GF+EF=x+2,CE=CD-DE=4
∴在Rt △EGC 中,222
(6)4(2)x x -+=+
解得:x=3
∴BG =3,CG=6-3=3
∴BG =CG ,故②正确;
又BG =CG , ∴1802FGC FCG -∠∠=o 又∵Rt △ABG ≌Rt △AFG
∴1802FGC AGB -∠∠=o ∴∠FCG=∠AGB
∴AG ∥CF ,故③正确; 过点F 作FM ⊥CE ,
∴FM ∥CG
∴△EFM ∽△EGC
∴FM EF GC EG =即235
FM = 解得65FM =
∴S ?FCG =116344 3.6225
ECG ECF S S -=
??-??=V V ,故④错误 正确的共3个
故选:C .
【点睛】 本题考查正方形的性质,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,等腰三角形的判定和性质,综合性较强,掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键.
17.下列图形中,一定相似的是( )
A .两个正方形
B .两个菱形
C .两个直角三角形
D .两个等腰三角形
【答案】A
【解析】
【分析】
根据相似形的对应边成比例,对应角相等,结合正方形,菱形,直角三角形,等腰三角形的性质与特点对各选项分析判断后利用排除法.
【详解】
A 、两个正方形角都是直角一定相等,四条边都相等一定成比例,所以一定相似,故本选项正确;
B 、两个菱形的对应边成比例,角不一定相等,所以不一定相似,故本选项错误;
C 、两个直角三角形的边不一定成比例,角不一定相等,所以不一定相似,故本选项错误;
D 、两个等腰三角形的边不一定成比例,角不一定相等,所以不一定相似,故本选项错误.
故选A .
【点睛】
本题主要考查了相似图形的定义,比较简单,要从边与角两方面考虑.
18.如图,在四边形ABCD 中,,90,5,10AD BC ABC AB BC ∠=?==P ,连接,AC BD ,以BD 为直径的圆交AC 于点E .若3DE =,则AD 的长为( )
A .55
B .45
C .35
D .25
【答案】D
【解析】
【分析】
先判断出△ABC 与△DBE 相似,求出BD ,最后用勾股定理即可得出结论.
【详解】
如图1,
在Rt △ABC 中,AB=5,BC=10,
∴AC=55,
连接BE ,
∵BD是圆的直径,
∴∠BED=90°=∠CBA,∵∠BAC=∠EDB,
∴△ABC∽△DEB,
∴AB AC DE DB
=
,
∴
5
3
55
DB
=,
∴DB=35,
在Rt△ABD中,AD=2225
BD AB
-=,
故选:D.
【点睛】
此题考查勾股定理,相似三角形的判定和性质,正确作出辅助线是解题的关键.
19.如图,已知AOB
?和11
A OB
?是以点O为位似中心的位似图形,且AOB
?和11
A OB
?的周长之比为1:2,点B的坐标为()
1,2
-,则点
1
B的坐标为().
A.()
2,4-B.()
1,4-C.()
1,4
-D.()
4,2
-
【答案】A
【解析】
【分析】
设位似比例为k,先根据周长之比求出k的值,再根据点B的坐标即可得出答案.
【详解】
设位似图形的位似比例为k
则1111
,,
OA kOA OB kOB A B kAB
===
△AOB
Q和11
A OB
△的周长之比为1:2
1111
1
2
OA OB AB
OA OB A B
++
∴=
++,即
1
2
OA OB AB
kOA kOB kAB
++
=
++
解得2
k=
又Q 点B 的坐标为(1,2)-
∴点1B 的横坐标的绝对值为122-?=,纵坐标的绝对值为224?=
Q 点1B 位于第四象限
∴点1B 的坐标为(2,4)-
故选:A . 【点睛】
本题考查了位似图形的坐标变换,依据题意,求出位似比例式解题关键.
20.如图,O 是平行四边形ABCD 的对角线交点,E 为AB 中点,DE 交AC 于点F ,若平行四边形ABCD 的面积为8,则DOE ?的面积是( )
A .2
B .32
C .1
D .94
【答案】C
【解析】
【分析】 由平行四边形的面积,找到三角形底边和高与平行四边形底边和高的关系,利用面积公式以及线段间的关系求解.分别作△OED 和△AOD 的高,利用平行线的性质,得出高的关系,进而求解.
【详解】
解:如图,过A 、E 两点分别作AN ⊥BD 、EM ⊥BD ,垂足分别为M 、N ,则EM ∥AN ,
∴EM :AN =BE :AB ,
∵E 为AB 中点,
∴BE=12
AB , ∴EM =
12AN , ∵平行四边形ABCD 的面积为8,
∴2×1
2
×AN×BD=8,
∴AN×BD=8
∴S△OED=1
2
×OD×EM=
1
2
×
1
2
BD×
1
2
AN=
1
8
AN×BD=1.
故选:C.
【点睛】
本题考查平行四边形的性质,综合了平行线分线段成比例以及面积公式.已知一个三角形的面积求另一个三角形的面积有以下几种做法:①面积比是边长比的平方比;②分别找到底和高的比.
初中数学易错题 一、选择题 1、A、B是数轴上原点两旁的点,则它们表示的两个有理数是() A、互为相反数 B、绝对值相等 C、是符号不同的数 D、都是负数 2、有理数a、b在数轴上的位置如图所示,则化简|a-b|-|a+b|的结果是() A、2a B、2b b C、2a-2b D、2a+b 3、轮船顺流航行时m千米/小时,逆流航行时(m-6)千米/小时,则水流速度() A、2千米/小时 B、3千米/小时 C、6千米/小时 D、不能确定 4、方程2x+3y=20的正整数解有() A、1个 B、3个 C、4个 D、无数个 5、下列说法错误的是() A、两点确定一条直线 B、线段是直线的一部分 C、一条直线不是平角 D、把线段向两边延长即是直线 6、函数y=(m2-1)x2-(3m-1)x+2的图象与x轴的交点情况是 ( ) A、当m≠3时,有一个交点 B、1 m时,有两个交点 ≠ ± C、当1 m时,有一个交点 D、不论m为何值,均无交点 = ± 7、如果两圆的半径分别为R和r(R>r),圆心距为d,且(d-r)2=R2,则