附录：差分方程及其应用 一、 差分的概念
定义1 设函数).(t y y t = 称改变量
t t y y -+1为函数t y 的差分, 也称为函数t y 的一阶差分, 记为
t y ?, 即 t t t y y y -=?+1 或 )()1()(t y t y t y -+=?.
一阶差分的差分称为二阶差分t y 2
?
, 即
t t t t y y y y ?-?=??=?+12)(.2)()(12112t t t t t t t y y y y y y y +-=---=+++++
类似可定义三阶差分, 四阶差分,……
),(),(3423t t t t y y y y ??=???=?
例1 设322-+=t t y t ，求t y ?，t y 2?。
解 32)32(]3)1(2)1[(221+=-+--+++=-=+t t t t t y y y t t t
?。
t
t t t t y y y y y +-==++1222)(???
232]312)1[(2]3)2(2)2[(222=-++-+++--+++=t t t t t t ）（。
二、差分方程的概念
定义2 含有未知函数t y 的差分的方程称为差分方程. 差分方程的一般形式：0),,,,,(2
=???t n
t t t y y y y t F 或 .0),,,,,(21=+++n t t t t y y y y t G
差分方程中所含未知函数差分的最高阶数称为该差分方程的阶. 差分方程的不同形式可以互相转化. 定义3 满足差分方程的函数称为该差分方程的解.
如果差分方程的解中含有相互独立的任意常数的个数恰好等于方程的阶数, 则称这个解为该差分方程的通解.
我们往往要根据系统在初始时刻所处的状态对差分方程附加一定的条件，这种附加条件称为初始条件, 满足初始条件的解称为特解.
定义4 若差分方程中所含未知函数及未知函数的各阶差分均为一次的, 则称该差分方程为线性差分方程.
线性差分方程的一般形式是
)()()()(1111t f y t a y t a y t a y t n t n n t n t =+++++--++
其特点是t n t n t y y y ,,,1 +++都是一次的. 三、一阶常系数线性差分方程
一阶常系数线性差分方程的一般形式为：)(1t f Py y t t =-+ （1）
其中, P 为非零常数, )(t f 为已知函数. 如果,0)(=t f 则方程变为：01=-+t t Py y 称为一阶常系数线性齐次差分方程, 相应地，方程（1)称为一阶常系数线性非齐次差分方程. 四、一阶常系数线性差分方程的迭代解法
一阶常系数线性差分方程的一般形式为：)(1
t f ay y t t =++， （2）
其中常数0≠a
，)(t f 为t 的已知函数，当)(t f 不恒为零时，（2）式称为一阶非齐次差分方程；当
0)(≡t f 时，差分方程：01=++t t ay y （3）
称为与一阶非次线性差分方程对应的一阶齐次差分方程。
下面给出差分方程的迭代解法。 1、求齐次差分方程的通解
把方程（3）写作t t y a y )(1
-=+，假设在初始时刻，即0=t 时，函数t y 取任意常数C 。分别以
,2,1,0=t 代入上式，得
210200()(),()()()()0,1,2,t
t
t y a y C a y a y C a y a y C a t =-=-=-=-=-=-= ，，。
最后一式就是齐次差分方程（3）的通解。特别地，当1-=a
时，齐次差分方程（3）的通解为：C y t =，
,2,1,0=t 。
2、求非齐次线性差分方程的通解
1、设
b t f =)(为常数
此时，非齐次差分方程（2）可写作：b y a y t t +-=+)(1
。
分别以 ,2,1,0=t
代入上式，得
]
)()()(1[)(])()(1[)()()]
(1[)()()(12020323021201--++-+-++-=-+-++-=+-=-++-=+-=+-=t t t a a a b y a y a a b y a b y a y a b y a b y a y b
y a y
。 （4） 若1≠-a
，则由（4）式用等比级数求和公式，得
a
a b
y a y t
t
t +--+-=1)(1)(0， ,2,1,0=t ， 或
a
b a C a b a b y a y t t t ++-==+++-
-=1)(1)1()(0， ,2,1,0=t
，
其中a
b
y C
+-
=10为任意常数。 若1=-a ，则由（4）式，得：bt C bt y y t +=+=0， ,2,1,0=t ，其中0y C =为任意常
数。
综上讨论，差分方程b ay y t t =++1的通解为：?????
-=+-≠++-=。，
1,
1,1)(a bt C a a
b a C y t （5） 上述通解的表达式是两项之和，其中第一项是齐次差分方程（3）的通解，第二项是非齐次差分方程（2）的一个特解。
这里，当1-≠a
时，由上式所确定的解序列)2,1( =t y t 的特性作两点说明：
例2 求解差分方程
5
1
321=-
+t t y y 。 解：由于32-=a ，51=b ，5
3
1=+a b 。由通解公式（5），差分方程的通解为
5
3
)32(+=t t C y ，（C 为任意常数）。
2、
)(t f 为一般情况
此时，非齐次差分方程可写作：)()(1
t f y a y t t +-=+。
分别以 ,2,1,0=t
代入上式，得
。
，，
，
)1()()()1()2()()1()()0()()()2()1(0()0()()()2()()1()0()()()1()()0()(1
021020323021201---+-=-+--++-+-+-=+-+-+-=+-=+-+-=+-=+-=∑-=--k t f a a C t f t f a f a f a y a y f f a f a y a f y a y f f a y a f y a y f y a y t k k t
t t t t
（6）
其中0y C
=是任意常数。
（6）式就是非齐次差分方程（2）的通解。其中第一项是齐次差分方程（3）的通解，第二项是非齐次线性差分方程（2）的一个特解。
例3 求差分方程t t t y y 21=++的通解。
解 由于1=a
，t t f 2)(=。由通解式（2-5）得非齐次线性差分方程的特解
()t t t t t k k t k t t k k t y 1312312
11)21(12
)21(22)1()(11
011
1
*
--=+-==-=-=--=----=∑∑，
于是，所求通解为
t t t t t t C C y 23
1
)1()1(31231)1(1+-=--+-=。
其中3
1
1-
=C C
为任意常数。 例4 求差分方程t y y t t 231+=++的通解。
解：特征方程为01=-λ
，特征根1=λ。齐次差分方程的通解为：C y C =。
由于
)(23)(1t P t t f t ρ=+=，1=ρ是特征根。因此非齐次差分方程的特解为
)()(10*t B B t t y +=。
将其代入已知差分方程得
t t B B B 232110+=++，
比较该方程的两端关于t 的同次幂的系数，可解得20
=B ，11=B 。故2*2)(t t t y +=。
于是，所求通解为
2*2t t C y y y c t ++=+=，
（C 为任意常数）。 五、差分方程在经济学中的应用——筹措教育经费模型
某家庭从现在着手从每月工资中拿出一部分资金存入银行，用于投资子女的教育。并计划20年后开始从投资帐户中每月支取1000元，直到10年后子女大学毕业用完全部资金。要实现这个投资目标，20年内共要筹措多少资金？每月要向银行存入多少钱？假设投资的月利率为0.5%。
设第n 个月投资帐户资金为n S 元，每月存入资金为a 元。于是，20年后关于n S 的差分方程模型为：
0001005.11-=+n n S S ，并且x S S ==0120,0。
解上式得通解
000200005.1005
.111000
005.1+=--
=C C S n n n ，
以及
,
000200,
0000200005.10120120x C S C S =+==+=
从而有
45.07390005
.1000200000200120
=-
=x 。
从现在到20年内，n S 满足的差分方程为：a S S n n +=+005.11，
且45.07390,02400
==S S 。
解之得通解，a C a
C S n n n 200005.1005
.11005.1-=-+
=，
以及
,
0200,
45.0739*******.10240240=-==-=a C S a C S
从而有
95.194=a 。
即要达到投资目标，20年内要筹措资金90 073.45元，平均每月要存入银行194.95元。 4．差分方程的应用
差分方程的应用主要表现在两个方面：一方面是它可以描述本身就是离散系统的事件，如银行利率、股市行情、人口统计等；另一方面是它可以用来仿真连续系统，也就是用一个离散系统来近似连续系统。在计算机技术和应用已得到广泛普及的今天，越来越多的连续系统都可以利用离散系统进行仿真，从而使得系统的分析更方便、更精确了。下面我们以两个例子说明差分方程在这两方面的应用。
2.9 现在我们来讨论一个实际的商业银行住房贷款问题。
1． 设 P 为用户的总借款额，m 为贷款期限，I 为银行每月的贷款利息，若用户 每月的还款额数相同，且设为 D
，试证明，用户每月应还贷款的公式为
2． 若用户的总借款额为20万元，贷款期限为10年，银行每月利息为0.00345，试问 用户平均每月应还款多少？ 解
本题的关键是要列出差分方程，也就是要将银行贷款这个离散事件抽象为数学模型的差分方程，为此，设 y [n ] 是用户在第 n 个月末的欠款余额，而 y [n -1] 就是用户在第 n -1 个月末的欠款余额。这样，用户在当前月度的欠款余额 y [n ] 将是用户在上个月度的欠款余额 y [n -1] 加上上个月的利息 I y [n -1] 后再减掉用户本月的还款 D ，即
(2.37)
整理此式可得
(2.38)
这是一个一阶差分方程，方程的特征根为(1+I )，特解为一常数C2，故方程的解可写为
(2.39)
容易求得特解
(2.40)
于是
(2.41)
要确定y[n] 中的常数C1，需要有一个初值。这个初值应是y[0]，它是用户的贷款总额P。这样，将y[0]＝P代入式(2.41)可求得
(2.43)
因此
(2.44)
又因为在第m个月后用户还完全部贷款，故有y[m]=0，这样，式(2.43)就可变为
(2.45)
将P＝200000，m=120，I＝0.00345 代入式(2.45)，可求得用户每月应还款的数额为D＝2038.23元
这样，用户在10年中共还给银行本息244587.6元，其中，本金200000元，利44587.6元。
考研数学三（常微分方程与差分方程）-试卷4 (总分：58.00，做题时间：90分钟) 一、选择题(总题数：3，分数：6.00) 1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数： 2.00） __________________________________________________________________________________________ 解析： 2.设函数y 1 (x)，y 2 (x)，y 3 (x)线性无关，而且都是非齐次线性方程(6．2)的解，C 1，C 2为任意常数，则该非齐次方程的通解是 （分数：2.00） A.C 1 y 1 +C 2 y 2 +y 3． B.C 1 y 1 +C 2 y 2 -(C 1 +C 2 )y 3． C.C 1 y 1 +C 2 y 2 -(1-C 1 -C 2 )y 3． D.C 1 y 1 +C 2 y 2 +(1-C 1 -C 2 )y 3．√ 解析：解析：对于选项(D)来说，其表达式可改写为 y 3 +C 1 (y 1 -y 3 )+C 2 (y 2 -y 3 )，而且y 3是非齐次方程(6．2)的一个特解，y 1 -y 3与y 2 -y 3是(6．4)的两个线性无关的解，由通解的结构可知它就是(6．2)的通解．故应选(D)． 3.已知sin 2 x，cos 2 x是方程y""+P(x)y"+Q(x)y=0的解，C 1，C 2为任意常数，则该方程的通解不是（分数：2.00） A.C 1 sin 2 x+C 2 cos 2 x． B.C 1 +C 2 cos2x． C.C 1 sin 2 2x+C 2 tan 2 x．√ D.C 1 +C 2 cos 2 x． 解析：解析：容易验证sin 2 x与cos 2 x是线性无关的两个函数，从而依题设sin 2 x，cos 2 x为该方程的两个线性无关的解，故C 1 sin 2 x+C 2 cos 2 x为方程的通解．而(B)，(D)中的解析式均可由C 1 sin 2 x+C 2 cos 2 x恒等变换得到，因此，由排除法，仅C 1 sin 2 2x+C 2 tan 2 x不能构成该方程的通解．事实上，sin 2 2x，tan 2 x都未必是方程的解，故选(C)． 二、填空题(总题数：1，分数：2.00) 4.当y＞0时的通解是y= 1． （分数：2.00） 填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]） 解析：解析：将原方程改写成，然后令y=ux，则y"=u+xu"．代入后将会发现该变形计算量较大．于 是可转换思维方式，将原方程改写成分离变量，然后积分得 三、解答题(总题数：25，分数：50.00) 5.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00） __________________________________________________________________________________________ 解析： 6.求微分方程x(y 2 -1)dx+y(x 2 -1)dy=0的通解． （分数：2.00） __________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：用(x 2 -1)(y 2 -1)除方程的两端，则原方程化为由此可见这是一个变量可
2012年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. （1）曲线 2 21 x x y x + = -渐近线的条数为（） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 （2）设函数 2 ()(1)(2) x x nx f x e e e n =--…（-） ，其中n为正整数，则 (0) f' =（ ） （A） 1 (1)(1)! n n - -- （B） (1)(1)! n n -- （C） 1 (1)! n n - - （D） (1)! n n - （3）设函数 () f t 连续，则二次积分 2 2 2 02cos () d f r rdr π θ θ ?? =（） （A ） 2 22 0 () dx x y dy + ? （B ） 2 22 0 () dx f x y dy + ? （C ） 2 22 0 1 () dx x y dy + ?? （D ） 2 22 0 1 () dx f x y dy + + ?? （4 ）已知级数1 1 (1)n i nα ∞ = - ∑ 绝对收敛， 2 1 (1)n i nα ∞ - = - ∑ 条件收敛，则 α范围为（） （A）0<α 1 2 ≤ （B） 1 2< α≤1 （C）1<α≤ 3 2（D） 3 2<α<2
（5）设 1234123400110,1,1,1 c c c c αααα-???????? ? ? ? ? ===-= ? ? ? ? ? ? ? ?????????其中1234c c c c ，，，为任意常数，则下列向量组线性相关的是（ ） （A ）123ααα，， （B ）124ααα，， （C ） 134ααα，， （D ） 234ααα，， （6）设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且P-1AP=1 1 2?? ? ? ?? ?， 123=P ααα（，，），1223=Q αααα（+，，）则1 =Q AQ -（） （A ）1 2 1?? ? ? ??? （B ）1 1 2?? ? ? ??? （C ）212?? ? ? ?? ? （D ）22 1?? ? ? ?? ? （7）设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从区间（0，1）上的均匀分布，则+P X Y ≤2 2 ｛1｝ （ ） （A ） 1 4 （B ） 1 2 （C ） 8π （D ） 4 π （8）设1234X X X X ，，，为来自总体 N σσ>2 （1，）（0）的简单随机样本，则统计量 12 34|+-2| X X X X -的分布（ ） （A ） N （0，1） （B ） (1) t （C ） 2 (1)χ （D ） (1,1) F 二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9） 1 cos sin 4 lim (tan )x x x x π -→
2017年考研数学三真题及解析 一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． 1 ．若函数0(),0x f x b x >=?≤? 在0x =处连续，则 （A ）12ab = （B ）1 2 ab =-（C ）0ab =（D ）2ab = 【详解】0001112lim ()lim lim 2x x x x f x ax ax a +++→→→-=== ，0lim ()(0)x f x b f -→==，要使函数在0x =处连续，必须满足11 22 b ab a =?=．所以应该选（A ） 2．二元函数(3)z xy x y =--的极值点是（ ） （A ）(0,0) （B ）03(,) （C ）30(,) （D ）11(,) 【详解】 2(3)32z y x y xy y xy y x ?=---=--?，232z x x xy y ?=--?， 解方程组2 2320320z y xy y x z x x xy y ??=--=??????=--=???，得四个驻点．对每个驻点验证2 AC B -，发现只有在点11(,)处满足 230AC B -=>，且20A C ==-<，所以11(,)为函数的极大值点，所以应该选（D ） 3．设函数()f x 是可导函数，且满足()()0f x f x '>，则 （A ） (1)(1)f f >- （B ）11()()f f <- （C ）11()()f f >- （D ）11()()f f <- 【详解】设2 ()(())g x f x =，则()2()()0g x f x f x ''=>，也就是()2 ()f x 是单调增加函数．也就得到 () ()2 2 (1)(1)(1)(1)f f f f >-?>-，所以应该选（C ） 4． 若级数 21 1sin ln(1)n k n n ∞ =??--??? ?∑收敛，则k =（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）1- （D ）2- 【详解】iv n →∞时22221111111111sin ln(1)(1)22k k k o k o n n n n n n n n n ???????? --=---+=++ ? ? ? ? ????? ???? 显然当且仅当(1)0k +=，也就是1k =-时， 级数的一般项是关于1 n 的二阶无穷小，级数收敛，从而选择（C ）．
2004年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)曲线ln y x =上与直线1=+y x 垂直的切线方程为__________ . (2)已知(e )e x x f x -'=,且(1)0f =,则()f x =__________ . (3)设L 为正向圆周22 2=+y x 在第一象限中的部分,则曲线积分?-L ydx xdy 2的值 为__________. (4)欧拉方程)0(0242 22 >=++x y dx dy x dx y d x 的通解为__________ . (5)设矩阵210120001?? ??=?????? A ,矩阵 B 满足**2=+ABA BA E ,其中*A 为A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵,则B =__________ . (6)设随机变量X 服从参数为λ的指数分布,则}{DX X P > = __________ . 二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (7)把+ →0x 时的无穷小量dt t dt t dt t x x x ??? === 30 2 sin ,tan ,cos 2 γβα,使排在后 面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是 (A)γβα,, (B)βγα,, (C)γαβ,, (D)αγβ,, (8)设函数()f x 连续,且,0)0(>'f 则存在0>δ,使得 (A)()f x 在(0,)δ内单调增加 (B)()f x 在)0,(δ-内单调减少 (C)对任意的),0(δ∈x 有()(0)f x f > (D)对任意的)0,(δ-∈x 有 ()(0)f x f > (9)设 ∑∞ =1 n n a 为正项级数,下列结论中正确的是
[考研类试卷]考研数学三（常微分方程与差分方程）模拟试卷17 一、选择题 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 1 方程y(4)一2y"'一3y"=e-3x一2e-x+x的特解形式是(其中a，b，c，d为常数) ( ) （A）axe-3x+bxe-x+cx3 （B）ae-3x+bxe-x+cx+d （C）ae-3x+bxe-x+cx3+dx2 （D）axe-3x+be-x+cx3+dx 2 设线性无关的函数y1(x)，y2(x)，y3(x)均是方程y"+p(x)y’+q(x)y=f(x)的解，C1，C2是任意常数，则该方程的通解是 ( ) （A）C1y1+C2y2+y3 （B）C1y1+C2y2一(C1+C2)y3 （C）C1y1+C2y2一(1一C1一C2)y3 （D）C1y1+C2y2+(1一C1一C2)y3 3 函数(其中C是任意常数)对微分方程而言 ( ) （A）是通解 （B）是特解 （C）是解，但既非通解也非特解 （D）不是解
4 微分方程y"一6y’+8y=e x+e2x的一个特解应具有的形式为(其中a，b为常数)( ) （A）ae x+be2x （B）ae x+bxe2x （C）axe x+be2x （D）axe x+bxe2x 5 微分方程y"+2y’+2y=e-x sin x的特解形式为(其中A，B为常数) ( ) （A）e-x(Acos x+Bsin x) （B）e-x(Acos x+Bx sin x) （C）xe-x(Acosx+Bsinx) （D）e-x(Axcosx+Bsinx) 6 微分方程的通解是(其中C为任意常数) ( ) 7 微分方程y"一4y’+4y=x2+8e2x的一个特解应具有形式(其中a，b，c，d为常数) ( ) （A）ax2+bx+ce2x （B）ax2+bx+c+dx2e2x （C）ax2+bx+cxe2x （D）ax2+(bx2+cx)e2x
第1章数学建模与误差分析 1.1 数学与科学计算 数学是科学之母，科学技术离不开数学，它通过建立数学模型与数学产生紧密联系，数学又以各种形式应用于科学技术各领域。数学擅长处理各种复杂的依赖关系，精细刻画量的变化以及可能性的评估。它可以帮助人们探讨原因、量化过程、控制风险、优化管理、合理预测。近几十年来由于计算机及科学技术的快速发展，求解各种数学问题的数值方法即计算数学也越来越多地应用于科学技术各领域，相关交叉学科分支纷纷兴起，如计算力学、计算物理、计算化学、计算生物、计算经济学等。 科学计算是指利用计算机来完成科学研究和工程技术中提出的数学问题的计算，是一种使用计算机解释和预测实验中难以验证的、复杂现象的方法。科学计算是伴随着电子计算机的出现而迅速发展并获得广泛应用的新兴交叉学科，是数学及计算机应用于高科技领域的必不可少的纽带和工具。科学计算涉及数学的各分支，研究它们适合于计算机编程的数值计算方法是计算数学的任务，它是各种计算性学科的联系纽带和共性基础，兼有基础性和应用性的数学学科。它面向的是数学问题本身而不是具体的物理模型，但它又是各计算学科共同的基础。 随着计算机技术的飞速发展，科学计算在工程技术中发挥着愈来愈大的作用,已成为继科学实验和理论研究之后科学研究的第三种方法。在实际应用中所建立的数学模型其完备形式往往不能方便地求出精确解，于是只能转化为简化模型，如将复杂的非线性模型忽略一些因素而简化为线性模型，但这样做往往不能满足精度要求。因此，目前使用数值方法来直接求解较少简化的模型，可以得到满足精度要求的结果，使科学计算发挥更大作用。了解和掌握科学计算的基本方法、数学建模方法已成为科技人才必需的技能。因此，科学计算与数学建模的基本知识和方法是工程技术人才必备的数学素质。 1.2 数学建模及其重要意义 数学，作为一门研究现实世界数量关系和空间形式的科学，在它产生和发展的历史长河中，一直是和人们生活的实际需要密切相关。用数学方法解决工程实际和科学技术中的具体问题时，首先必须将具体问题抽象为数学问题，即建立起能描述并等价代替该实际问题的数学模型，然后将建立起的数学模型，利用数学理论和计算技术进行推演、论证和计算，得到欲求解问题的解析解或数值解，最后用求得的解析解和数值解来解决实际问题。本章主要介绍数学建模基本过程和求解数学问题数值方法的误差传播分析。 1.2.1 数学建模的过程 数学建模过程就是从现实对象到数学模型，再从数学模型回到现实对象的循环，一般通过表述、求解、解释、验证几个阶段完成。数学建模过程如图1.2.1所示，数学模型求解方法可分为解析法和数值方法，如图1.2.2所示。 表述是将现实问题“翻译”成抽象的数学问题，属于归纳。数学模型的求解方法则属于演绎。归纳是依据个别现象推出一般规律；演绎是按照普遍原理考察特定对象，导出结论。演绎利用严格的逻辑推理，对解释现象做出科学预见，具有重要意义，但是它要以归纳的结论作为公理化形式的前提，只有在这个前提下
历年考研数学线代真题1987-2016(最新最全)
历年考研数学一真题1987-2016 1987年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (5)已知三维向量空间的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),===ααα则向量(2,0,0)=β在此基底下的坐标是_____________. 三、(本题满分7分) (2)设矩阵A 和B 满足关系式2,+AB =A B 其中301110,014?? ??=?????? A 求矩阵. B 五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (4)设A 为n 阶方阵，且A 的行列式||0,a =≠A 而*A 是A 的伴随矩阵，则*||A 等于 (A )a (B )1 a (C )1n a - (D )n a 九、（本题满分8分） 问,a b 为何值时,现线性方程组 123423423412340 221(3)2321 x x x x x x x x a x x b x x x ax +++=++=-+--=+++=- 有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.
(4)设4阶矩阵234234[,,,],[,,,],==A αγγγB βγγγ其中234,,,,αβγγγ均为4维列向量,且已知行列式4,1,==A B 则行列式+A B = _______. 三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (5)n 维向量组12,,,(3)s s n ≤≤αααL 线性无关的充要条件是 (A )存在一组不全为零的数12,,,,s k k k L 使11220s s k k k +++≠αααL (B )12,,,s αααL 中任意两个向量均线性无关 (C )12,,,s αααL 中存在一个向量不能用其余向量线性表示 (D )12,,,s αααL 中存在一个向量都不能用其余向量线性表示 七、（本题满分6分） 已知,=AP BP 其中100100000,210,001211???? ????==-???? ????-???? B P 求5,.A A 八、（本题满分8分） 已知矩阵20000101x ????=??????A 与20000001y ?? ??=?? ??-??B 相似. (1)求x 与.y (2)求一个满足1-=P AP B 的可逆阵.P
2000年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1) ? =_____________. (2)曲面2222321x y z ++=在点(1,2,2)--的法线方程为_____________. (3)微分方程30xy y '''+=的通解为_____________. (4)已知方程组12312 112323120x a x a x ????????????+=????????????-?????? 无解,则a = _____________. (5)设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为1 9 ,A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等,则()P A =_____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设()f x 、()g x 是恒大于零的可导函数,且()()()()0f x g x f x g x ''-<,则当a x b <<时,有 (A)()()()()f x g b f b g x > (B)()()()()f x g a f a g x > (C)()()()()f x g x f b g b > (D)()()()()f x g x f a g a > (2)设22221:(0),S x y z a z S ++=≥为S 在第一卦限中的部分,则有 (A)1 4S S xdS xdS =???? (B)1 4S S ydS xdS =???? (C) 1 4S S zdS xdS =???? (D) 1 4S S xyzdS xyzdS =???? (3)设级数 1 n n u ∞ =∑收敛,则必收敛的级数为 (A)1 (1)n n n u n ∞ =-∑ (B) 2 1 n n u ∞ =∑ (C) 21 21 ()n n n u u ∞ -=-∑ (D) 11 ()n n n u u ∞ +=+∑ (4)设n 维列向量组1,,()m m n <αα 线性无关,则n 维列向量组1,,m ββ 线性无关的充分必要条件为 (A)向量组1,,m αα 可由向量组1,,m ββ 线性表示
2017年考研数学三真题 一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． 1 ．若函数0(),0x f x b x >=?≤? 在0x =处连续，则 （A ）12ab = （B ）1 2 ab =-（C ）0ab =（D ）2ab = 【详解】0001112lim ()lim lim 2x x x x f x ax ax a +++→→→-=== ，0lim ()(0)x f x b f -→==，要使函数在0x =处连续，必须满足11 22 b ab a =?=．所以应该选（A ） 2．二元函数(3)z xy x y =--的极值点是（ ） （A ）(0,0) （B ）03(,) （C ）30(,) （D ）11(,) 【详解】 2(3)32z y x y xy y xy y x ?=---=--?，232z x x xy y ?=--?， 2222222,2,32z z z z y x x x y x y y x ????=-=-==-?????? 解方程组2 2320320z y xy y x z x x xy y ??=--=??????=--=???，得四个驻点．对每个驻点验证2 AC B -，发现只有在点11(,)处满足 230AC B -=>，且20A C ==-<，所以11(,)为函数的极大值点，所以应该选（D ） 3．设函数()f x 是可导函数，且满足()()0f x f x '>，则 （A ）(1)(1)f f >- （B ）11()()f f <- （C ）11()()f f >- （D ）11()()f f <- 【详解】设2 ()(())g x f x =，则()2()()0g x f x f x ''=>，也就是()2 ()f x 是单调增加函数．也就得到 () ()2 2 (1)(1)(1)(1)f f f f >-?>-，所以应该选（C ） 4． 若级数 21 1sin ln(1)n k n n ∞ =??--??? ?∑收敛，则k =（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）1- （D ）2-
2018年考研数学三真题及答案 一、 选择题 1.下列函数中,在 0x =处不可导的是() ().sin A f x x x = ( ).B f x x =().?C f x cos x = ( ).D f x = 答案:() D 解析:方法一: ()()() 00sin 0lim lim lim sin 0,x x x x x x f x f x x x x A →→→-===可导 ()()( )0000lim lim 0,x x x x f x f x x B →→→-===可导 ()()() 2 0001cos 102lim lim lim 0,x x x x x f x f x x C x →→→- --===可导 ()()( ) 0001 02lim lim x x x x f f x x D x →→→- -==不存在,不可导 应选()D . 方法二: 因为()(1)0f f x == ()( )0001 02lim lim x x x x f x f x x →→→- -==不存在
()f x ∴在0x =处不可导,选()D 对()():?A f x xsinx =在 0x =处可导 对()( )3 2 :~?B f x x x =在 0x =处可导 对()():x x C f cos =在 0x =处可导. 2.设函数()f x 在[0,1]上二阶可导,且()1 00,f x dx =?则 ()()1'0,02A f x f ?? << ??? 当时 ()()1''0,02B f x f ?? << ???当时 ()()1'0,02C f x f ?? >< ??? 当时 ()()1''0,02D f x f ?? >< ??? 当时 答案()D 【解析】 将函数 ()f x 在 1 2 处展开可得 ()()()()()2 2 2 1 1 10 00''1111', 22222''1111111''', 22222222f f x f f x x f f x dx f f x x dx f f x dx ξξξ????? ???=+-+- ? ??? ?????? ???? ?????? ?????? ?=+-+-=+-?? ? ??? ? ? ?????? ?????????? ? ? ??故当''()0f x >时,()1 011.0.22f x dx f f ?? ??>< ? ??? ???从而有 选()D 。 3.设( ) (2 2 2 222 22 11,,11x x x M dx N dx K dx x e π π π π ππ---++===++???,则 A .? .M N K >> B ..M K N >> C..K M N >> D..K N M >>
差分方程模型 ①建立差分方程 利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律来建立差分方程模型。 一阶常系数线性差分方程的一般形式为 1(),(0)t t y ay f t a +-=≠（1） ②求解一阶常系数齐次线性差分方程 10,(0)t t y ay a +-=≠（2） 常用的两种解法 1）迭代法 假设0y 已知，则有 2112210(),n n n n n n y ay a ay a y a y a y ----====== 一般有 0(0,1,2,).t t y a y t == 10t t y ay +-=（3） 2）特征方程法 假设 (0)t Y λλ=≠ 为方程（3）的解，代入（3）得方程的特征方程 10(0),t t a λλλ+-= ≠ 解得特征根：.a λ= 则t t y a =是方程（3）的解，所以齐次方程的通解为 (t t y ca c =为任意常数) 例题： 设某房屋总价为a 元,先付一半可入住,另一半由银行以年利r 贷款, n 年付清，问平均每月付多少元？共付利息多少元？ 解：设每月应付x 元，月利率为12 r ，则第一个月应付利息为 1.12224 r a ra y =?=
第二月应付利息为 2111,2121212a r r rx y x y y ????=-+?=+- ? ????? 以此类推得到 11,1212t t r rx y y +??=+- ??? 此方程为一阶常系数非线性差分方程。其相应的特征方程为 (1)012 r λ-+= 特征根为112 r + 则得到通解为 1(12t t r y c c ??=+ ??? 为任意常数). 解得特解为 t y x *= 所以原方程通解为 112t t r y c x ??=++ ??? 当112224r a ra y =?=时，解得24112 ra x c r -=+。 所以解得满足初始条件的特解为 1124112112 11. 2121212t t t t ra x r y x r a r r r x x ---??=++ ???+????=??++-+ ? ????? 于是得到n 年的利息之和为 11212121212121221112n n n I y y a r r a n r =++???+? ???=?-??+- ??? 元，
历年考研数学一真题1987-2016 1987年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (5)已知三维向量空间的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),===ααα则向量(2,0,0)=β在此基底下的坐标是_____________. 三、(本题满分7分) (2)设矩阵A 和B 满足关系式2,+AB =A B 其中301110,014?? ??=?????? A 求矩阵. B 五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (4)设A 为n 阶方阵，且A 的行列式||0,a =≠A 而*A 是A 的伴随矩阵，则*||A 等于 (A )a (B )1 a (C )1n a - (D )n a 九、（本题满分8分） 问,a b 为何值时,现线性方程组 123423423412340 221(3)2321 x x x x x x x x a x x b x x x ax +++=++=-+--=+++=- 有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.
1988年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 二、填空题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.把答案填在题中横线上) (4)设4阶矩阵234234[,,,],[,,,],==A αγγγB βγγγ其中234,,,,αβγγγ均为4维列向量,且已知行列式4,1,==A B 则行列式+A B = _______. 三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (5)n 维向量组12,,,(3)s s n ≤≤αααL 线性无关的充要条件是 (A )存在一组不全为零的数12,,,,s k k k L 使11220s s k k k +++≠αααL (B )12,,,s αααL 中任意两个向量均线性无关 (C )12,,,s αααL 中存在一个向量不能用其余向量线性表示 (D )12,,,s αααL 中存在一个向量都不能用其余向量线性表示 七、（本题满分6分） 已知,=AP BP 其中100100000,210,001211???? ????==-????????-????B P 求5 ,.A A 八、（本题满分8分） 已知矩阵20000101x ????=?? ???? A 与20000001y ?? ??=????-??B 相似. (1)求x 与.y (2)求一个满足1-=P AP B 的可逆阵.P
差分方程模型的理论和方法 1、差分方程：差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规律。通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方程。 差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程。通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性等），从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步再结合其他分析，得到原问题的解。 2、应用：差分方程模型有着广泛的应用。实际上，连续变量可以用离散变量来近似和逼近，从而微分方程模型就可以近似于某个差分方程模型。差分方程模型有着非常广泛的实际背景。在经济金融保险领域、生物种群的数量结构规律分析、疾病和病虫害的控制与防治、遗传规律的研究等许许多多的方面都有着非常重要的作用。可以这样讲，只要牵涉到关于变量的规律、性质，就可以适当地用差分方程模型来表现与分析求解。 3、差分方程建模：在实际建立差分方程模型时，往往要将变化过程进行划分，划分成若干时段，根据要解决问题的目标，对每个时段引入相应的变量或向量，然后通过适当假设，根据事物系统的实际变化规律和数量相互关系，建立每两个相邻时段或几个相邻时段或者相隔某几个时段的量之间的变化规律和运算关系（即用相应设定的变量进行四则运算或基本初等函数运算或取最运算等）等式（可以多个并且应当充分全面反映所有可能的关系），从而建立起差分方程。或者对事物系统进行划分，划分成若干子系统，在每个子系统中引入恰当的变量或向量，然后分析建立起子过程间的这种量的关系等式，从而建立起差分方程。在这里，过程时段或子系统的划分方式是非常非常重要的，应当结合已有的信息和分析条件，从多种可选方式中挑选易于分析、针对性强的划分，同时，对划分后的时段或子过程，引入哪些变量或向量都是至关重要的，要仔细分析、选择，尽量扩大对过程或系统的数量感知范围，包括对已有的、已知的若干量进行结合运算、取最运算等处理方式，目的是建立起简洁、深刻、易于求解分析的差分方程。在后面我们所举的实际例子中，这方面的内容应当重点体会。
差分方程作业题 黄冈职业技术学院 宋进健 胡敏 熊梦颖 1．一对年轻夫妇准备购买一套住房，但缺少资金近6万元。假设它们每月可有节余900元，且有如下的两种选择： (1)使用银行贷款60000元。月利率0.01，贷款期25年=300个月； (2) 到某借贷公司借贷60000元，月利率0.01，22年还清。只要（i ）每半个月还316元，(ii) 预付三个月的款。 你能帮他们做出明智的选择吗？ 模型假设： （1）银行及借贷公司在贷款期限内利率不变; （2）不考虑物价变化和经济等因素从而影响利率； （3）银行利息按复利计算且单位时间可任意缩短至时间变量连续性变化 建立模型： 对第一种情况有: 设n 年期贷款月利率为r ，共贷款 元，贷款后第k 个月时欠款余额为 元，月还款m 元。 模型求解： 由MATLAB 得出结果m=631.9345 建立模型： 对第二种情况有: 设n 年期贷款半月利率为r ，共贷款A 0元，贷款后第k 个月时欠款余额为A k 元，半月还款m 元。 模型求解： ()() 011 1,k k k r A A r m k N r +-=+-∈1 0)1()1(300 300 300 -= ?=++r r A A r m N k m r A A k K ∈-+=+,) 1(1 N k m r A A k K ∈-+=+,) 1(1 ()() 011 1,k k k r A A r m k N r +-=+-∈1 0)1()1(528 528 528 -= ?=++r r A A r m A k A 0
由MATLAB 得出结果m= 313.0038 模型分析：由第一种方式计算m=631.9345小于月节余额900元，能够承受月还款；由第二种方式计算m= 313.0038小于借贷公司要求没半个月还款316元，如果按照借贷公司要求则每月还款为632元大于第一种还款方式631.9345元，故选择第一种还款方式。 2. 在一城市的某商业区内，有两家有名的快餐店“肯德基”分店和“麦当劳”分 店。据统计每年“肯德基”保有其上一年老顾客的1/3，而另外的2/3顾客转移到“麦当劳”；每年“麦当劳”保有其上一年的老顾客的1/2，而另外的1/2顾客转移到“肯德基”。 用二维向量X k =[x k y k ]T 表示两个快餐店市场分配的情况，初始的市场分配为X 0 = [200 200]T 如果有矩阵L 存在，使得 X k +1 = LX k ，则称 L 为状态转移矩阵。 （1） 写出X k =[x k y k ]T 和X k+1=[x k +1 y k +1]T 的递推关系式，以及状态转移矩阵L 。 （2） 根据递推关系计算近几年的市场分配情况； 模型假设： （1） 当前的肯德基和麦当劳的市场份额继续不变。 （2） 肯德基和麦当劳不推出优惠活动和新的经营计划。 模型建立： 初始的市场分配数量为：200,2000 0==y x 以一年为一时间段，则某时刻两个快餐店的顾客数量可用向量] ,[1 1y x T X =表 示。用向量] ,[y x X k k T k =表示第K 年两个快餐店顾客数量分布。 ??? ????+ = + = ++x y y y x x k k k k k k 3 22 121311 1 模型求解： 故X k =[x k y k ]T 和X k+1=[x k +1 y k +1]T 的递推关系式为??? ? ?? ? + =+ =++x y y y x x k k k k k k 3 221 21311 1，状 态转移矩阵?????? ? ???? ???=3221213 1 L 由初始数据计算近几年的市场分配情况，MATLAB 程序如下：
2011年 二、单项选择题（2’*10=20’） 21. 设2 ()arccos ,f x x =则'()().f x = （A ） （B ） （C ） （D ） 22. 不定积分().=? （A C （B ）C （C ）C （D ）13 C - 23. 函数3 2 ()69,f x x x x =++那么（ ）. （A ） 1x =-为()f x 的极大值点 （B ）1x =-为()f x 的极小值点 （C ）0x =为()f x 的极大值点 （D ）0x =为()f x 的极小值点 24. 设函数()f x 在开区间(,)a b 内有'()0,f x <且''()0,f x <则()y f x =在(,)a b 内（ ）. （A ）单调增加，图像上凸 （B ）单调增加，图像下凸 （C ）单调减少，图像上凸 （D ）单调减少，图像下凸 25. 设函数()y f x =在区间[0,]a 上有连续的导数，则定积分 '()a xf x dx ? 在几何上表示 （ ）. （A ）曲边梯形的面积 （B ）梯形的面积 （C ）曲边三角形的面积 （D ）三角形的面积 26. 设A 和B 均为n 阶矩阵(1),n m >是大于1的整数，则必有（ ）. （A ） ()T T T AB A B = （B ）()m m m AB A B = （C ） ||||||T T T AB A B =? （D ）||||||A B A B +=+ 27. 设线性无关的向量组1234,,,αααα可由向量组12,, ,s βββ线性表示，则必有（ ） （A ）12,,,s βββ线性相关 （B ）12,, ,s βββ线性无关
专题八：公式大全 （一） 最近几天做题的过程中，越来越觉得有些公式在不同的题目之间反复使用，可谓上镜率颇大。终于又下定决心，要好好整理一下咯！ 下面将收录，我认为比较重要的部分公式。有些考的少，或者太简单的就不列出来了。相信下面的公式应该会比较有代表性。（二） 1.当时， 当时，（用e的等价变形来记） （用未定式来记） （用换底公式来记） 2.未定式通用公式： 3.泰勒公式： （在与之间） 麦克劳林公式：
（） 4.五个基本初等函数泰勒公式： (1) (2) (3) (4) (5) 5.定积分重要公式： ※（1）若f(x)在[-a,a]上连续，则※（2）若f(x)在[0,a]上连续，则（3）
6.几个重要的广义积分： ※（1）（主要记这一个，以下的几个自己推） （2） （3） （4） 7.6种常见的麦克劳林展开式： （1） （2） （3） （4） （5） ※特别：
（6） 8.微分方程与差分方程的6大类： （1）一阶齐次线性微分方程通解： （2）一阶非齐次线性微分方程的通解： （3）二阶常系数齐次线性微分方程(p,q为常数)的通解：由特征方程,解出 i.为两个不相等的实根： ii.为两个相等的实根： iii.为一对共轭复根， ： （4）二阶常系数非齐次线性微分方程的特解： ①若，则特解为， i.若λ不是特征方程的根，则k=0
ii.若λ是特征方程的单根，则k=1 iii.若λ是特征方程的重根，则k=2 ②若，则特解为 i.若（或）不是特征方程的根，则k=0 ii.若（或）是特征方程的根，则k=1 （5）一阶常系数齐次线性差分方程的特征方程为： 通解为：（C为任意常数） （6）一阶常系数非齐次线性差分方程的特解为： ①若，则特解为： i.若1不是特征方程的根，则k=0 ii.若1是特征方程的根，则k=1 ②若，则特解为： （A,B为待定系数） 9.条件概率公式： 10.全概率公式： 贝叶斯公式：
差分方程模型 数学建模讲座 一、关于差分方程模型简单的例子 1. 血流中地高辛的衰减 地高辛用于心脏病。考虑地高辛在血流中的衰减问题以开出能使地高辛保持在可接受(安全而有效)的水平上的剂量处方。假定开了每日0.1毫克的剂量处方，且知道在每个剂量周期(每日)末还剩留一半地高辛，则可建立模型如下： 设某病人第n 天后血流中地高辛剩余量为n a ， 则 1.05.01+=+n n a a (一阶非齐次线性差分方程) n n n n a a a a 5.01?=?=?+ 2. 养老金问题 对现有存款付给利息且允许每月有固定数额的提款， 直到提尽为止。月利息为1℅，月提款额为1000元，则可建模型如下： 设第n 月的存款额为n a ，则 100001.11?=+n n a a (一阶非齐次线性差分方程)
3. 兔子问题（Fibonacci 数） 设第一月初有雌雄各一的一对小兔，假定两月后长成成兔，同时(即第三个月)开始,每月初产雌雄各一的一对小兔， 新增小兔也按此规律繁殖，设第n 月末共有n F 对兔子，则建模如下： ==+=??12 12 1F F F F F n n n (二阶线性差分方程初值问题) 342 3214 3 21221 1 F F F F F F F F F F ≠+=+ 注意上月新生的小兔不产兔 (因第n 月末的兔子包括两部分, 一部分上月留下的为1?n F ， 另一部分为当月新生的，而新生的小兔数=前月末的兔数) 4．车出租问题 A ， B 两地均为旅游城市，游客可在一个城市租车而在另一个城市还车。 A ， B 两汽车公司需考虑置放足够的车辆满足用车需要，以便估算成本。分析历史记录数据得出： n x ： 第n 天营业结束时A 公司的车辆数 n y ：第n 天营业结束时B 公司的车辆数 则 +=+=++n n n n n n y x y y x x 7.04.03.06.01 1 (一阶线性差分方程组) (问题模型可进一步推广)
【优质】考研数学二历年平均分word版本 本文部分内容来自网络整理，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将立即删除！ == 本文为word格式，下载后可方便编辑和修改！ == 考研数学二历年平均分 导语：平均分与平均数不同,是分物时所用的一种思想。指在分物体的时候,要尽可能地分完,而且还要使每一份得到的数相等。那么，考研数学二历年平均分是多少呢？一起来了解一下！ 考研数学二历年平均分 什么是考研数学 一、简介 针对考研的数学科目，根据各学科、专业对硕士研究生入学所应具备的 数学知识和能力的不同要求，硕士研究生入学统考数学试卷分为3种：其中针 对工科类的为数学一、数学二；针对经济学和管理学类的为数学三（201X年之 前管理类为数学三，经济类为数学四，201X年之后大纲将数学三数学四合并）。具体不同专业所使用的试卷种类有具体规定。 二、招生专业 根据工学、经济学、管理学各学科、专业对硕士研究生入学所应具备的数 学知识和能力的不同要求，硕士研究生入学统考数学试卷分为3种，其中针对 工学门类的为数学一、数学二，针对经济学和管理学门类的为数学三。招生专 业须使用的试卷种类规定如下： 一、须使用数学一的招生专业 1.工学门类中的力学、机械工程、光学工程、仪器科学与技术、冶金工程、动力工程及工程热物理、电气工程、电子科学与技术、信息与通信工程、控制 科学与工程、网络工程、电子信息工程、计算机科学与技术、土木工程、测绘 科学与技术、交通运输工程、船舶与海洋工程、航空宇航科学与技术、兵器科 学与技术、核科学与技术、生物医学工程等20个一级学科中所有的二级学科、专业。 2.授工学学位的管理科学与工程一级学科。 二、须使用数学二的招生专业