2020-2021学年安徽省示范高中培优联盟高二冬季联赛
数学（理）试题
一、单选题
1．已知集合{}
2A x x =≥-，{}
2B x N x =∈≤，则A B =（ ）
A ．{}
22x x -≤≤ B ．{}1,2 C ．{}0,1,2 D ．{}2,1,0,1,2-
【答案】C
【解析】先化简集合B,再求A B 得解.
【详解】
由题得{}0,1,2B =， 所以A B ={}0,1,2.
故选：C 【点睛】
本题主要考查集合的交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 2．设x ∈R ，则“ln 0x <”是“12x +<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】先化简两个不等式，再判断它们之间的充要关系得解. 【详解】
由题得ln 001x x
故“ln 0x <”是“12x +<”的充分不必要条件． 故选：A 【点睛】
本题主要考查对数不等式的解法和绝对值不等式的解法，考查充分必要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 3．下列命题正确的是（ ）
A ．若两个平面都垂直于第三个平面则这两个平面平行
B ．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
C ．若两个平面不平行，则两个平面内存在互相平行的直线
D ．若一条直线不平行于一个平面，则这个平面内不存在与该直线平行的直线 【答案】C
【解析】对于选项A,B,D 可以通过举反例说明是错误的，对于选项C 可以举例说明其存在性. 【详解】
选项A ，反例为直棱柱两相邻侧面与其底面垂直，但是这两个侧面并不平行，所以选项A 错误；
选项B ，反例为圆锥的母线与其底面所成的角相等，但是这两条直线不平行，所以选项B 错误；
选项C ，这两条直线均平行于二面的交线即可，所以该选项正确；
选项D ，反例为直线在平面内，这个平面内存在与该直线平行的直线，所以该选项错误． 故选：C 【点睛】
本题主要考查空间直线平面位置关系的命题的真假判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象能力.
4．已知三棱锥P ABC -的各棱长都相等，且2AB MB =，则直线PA 与CM 所成角的余弦值为（ ）
A ．
6
B ．
6
C ．
D ．
2
【答案】B
【解析】取PB 的中点N ，则CMN ∠为异面直线PA 与CM 所成角或补角，再利用余弦定理解△MNC 得解. 【详解】
因为2AB MB =，所以点M 是AB 的中点.
取PB 的中点N ，则CMN ∠为异面直线PA 与CM 所成角或补角， 设正四面体的棱长为2，则1MN =，3CM CN ==， 于是3
cos 23
CMN ∠==． 故选：B 【点睛】
本题主要考查异面直线所成的角的计算，考查余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
5．如图网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中曲线为半径为1的半圆，则该几何体的表面积为（ ）
A ．
762
π
+ B ．46π+
C ．
942
π
+ D ．54π+
【答案】D
【解析】首先把三视图转换为几何体，进一步利用几何体的表面积公式求出结果． 【详解】
该几何体由一个半径为1的半球和一个直径与高都为2的半圆柱组合而成的组合体，
其表面积为2245422πππππ????
++++=+ ? ?????
．
故选：D
【点睛】
本题主要考查三视图找几何体原图，考查几何体表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
6．已知函数()tan 2f x x =，将函数()f x 图象向右平移3
π
个单位得到()g x 的图象，若点(),0A a 为函数()f x 图象的一个对称中心，(),0B b 为()g x 图象的一个对称中
心，则a b -的最小值为（ ）
A ．
12
π
B ．
6
π C ．
4
π D ．
3
π 【答案】A
【解析】先求出函数(),()f x g x 的对称中心，再求出||-a b 的值，分析即得最小值. 【详解】
由122k x π=得函数()f x 的对称中心为()11,04k k π??
∈ ???
Z ， 故函数()g x 的对称中心为()22,043k k ππ??
+∈ ???Z ，
所以21()4343
k k k a b k πππ
π--=
+=+∈Z ， 当1k =-得最小值为
12
π
． 所以a b -的最小值为12
π
.
故选：A 【点睛】
本题主要考查三角函数的对称中心和图像的变换，考查最值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
7．已知数列{}n a 满足()
*
,m n m n m n a a a a a m n +=++∈N ，若11a =，则6a =（ ）
A ．31
B ．63
C ．95
D ．127
【答案】B
【解析】令1m =得121n n a a +=+，利用构造法求出21n
n a =-，即得解.
【详解】
令1m =得121n n a a +=+，所以()1121n n a a ++=+， 所以{}1n a +成等比数列，所以1
11(1)2
21n n n a a -+=+?=-，
所以21n
n a =-，
所以663a =． 故选：B 【点睛】
本题主要考查数列通项的求法和等比数列的通项，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
8．已知椭圆C ：2221x y a
+=的左，右焦点分别为1F ，2F ，A ,B 分别为椭圆C 与x ,y
正半轴的交点，若直线AB 与以12F F 为直径的圆相切，则2a 的值为（ ）
A B C ．1D ．3+【答案】A
【解析】先求出直线AB
.
【详解】
由题得直线AB 的方程为0x ay a +-=
由题得原点O 到直线:0AB x ay a +-=
解之得2a 故选：A 【点睛】
本题主要考查椭圆的简单几何性质和点到直线的距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
9．已知2x y e e +=，则2x y e e --+的最小值是（其中e 2.718=为自然对数的底数）
（ ） A ．4 B ．92
C ．
()2
12
e +
D ．21e +
【答案】C
【解析】令x a e =，y b e =，则a ，0b >且2a b +=，再利用基本不等式求函数的最小值得解.
令x a e =，y b e =，则a ，0b >且2a b +=，
()222222211111(1+)112222x y
e e b e a e e e a b e e a b a b a b --?????+=+=++=+++=++= ? ? ?????，
当且仅当b ea =时等号成立． 【点睛】
本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 10．已知圆C :2240x y y a +-+=及点()1,0A -，()1,2B ．若在圆C 上有且仅有一个点P ，使得2
2
12PA PB +=，则实数a 的值为（ ） A ．0 B ．3 C ．0或3 D ．5-或3
【答案】D
【解析】先求出点P 所在的圆()2
2:14E x y +-=，再由题得两圆相切，即得解. 【详解】
由题得圆()2
2:24C x y a +-=-,
设(),P x y ，由22||12||PA PB +=可得点P 在圆()2
2:14E x y +-=上，
由题可知E 与圆()2
2:24C x y a +-=-相切， 故41a -=或9， 即3a =或5-． 故选：D 【点睛】
本题主要考查动点轨迹方程的求法和两圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
11．若定义域为R 的函数()21y f x =-的图象关于直线1x =对称，()()21g x f x =-，则下列等式一定成立的是（ ） A ．()01g =- B ．()()01g g = C ．()()02g g = D ．()()010g g +=
【答案】B
【解析】先写出函数()21y f x =-的图象到函数()()21g x f x =-的图象的变换过程，即得解.
把函数()21y f x =-的图象向左平移
1
2
个单位，再向下平移1个单位，即可得到函数()()21g x f x =-的图象，故()g x 的图象关于直线1
2
x =对称.
所以()()01g g =. 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查函数的图象的对称性和函数图象的变换，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
12．已知函数()()()2
ln 14f x ax x ax =-+-，若0x >时，()0f x ≥恒成立，则实数a 的
值为（ ） A ．2e B ．4e C ．
2
e - D ．
4e
- 【答案】D
【解析】通过分析函数()ln 10y ax x =->与()2
40y x ax x =+->的图象，得到两函数必
须有相同的零点t ，解方程组2
ln 10
40at a at -=??+-=?
即得解. 【详解】
如图所示，函数()ln 10y ax x =->与()2
40y x ax x =+->的图象，
因为0x >时，()0f x ≥恒成立， 于是两函数必须有相同的零点t ，
所以2ln 1040at a at -=??+-=?
24at t e =-=，
解得a = 故选：D
【点睛】
本题主要考查函数的图象的综合应用和函数的零点问题，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
二、填空题
13．若()2sin cos 12x x ππ?
?+--= ??
?，则cos2x 的值等于______．
【答案】
7
9
【解析】先化简()2sin cos 12x x ππ?
?+--= ???得1sin 3
x =-，再利用二倍角公式求解.
【详解】
由2sin()cos 2sin sin 3sin 12x x x x x ππ?
?+--=--=-= ???得1sin 3
x =-，
故2
7cos212sin 9x x =-=．
故答案为：7
9
【点睛】
本题主要考查诱导公式的化简求值和二倍角公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
14．若实数x ,y 满足不等式组03434x x y x y ≥??
+≤??+≥?
，且恒有()1a x y +≥，则实数a 的取值范围
是______． 【答案】[
)4,+∞．
【解析】先作出不等式组对应的可行域，再求出0=1(1)
y y x x -+--的最大值即得解. 【详解】
不等式组对应的可行域为图中的阴影平面区域. 由题1y
a x ≥
+， 0=1(1)
y y x x -+--表示平面区域内的点与点B ()1,0-连线的斜率，
当(),x y 取点A ()0,4时，1y
x +的最大值为
4=01
+4， 所以4a ≥. 所以[)4,a ∈+∞． 故答案为：[
)4,+∞ 【点睛】
本题主要考查线性规划求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 15．已知a ，b ,c 均为单位向量，若0a b ?=，则32a b c +-的最大值为______． 131+．
【解析】先求出()
2
321464a b c c a b +-=-?+，再求()
64c a b ?+的最小值得解. 【详解】
()
2
321464a b c c a b +-=-?+，
而6436+16+48213a b a b +=?=， 设向量c 与64a b +的夹角为θ,
则3214213cos a b c θ+-=-，
当θπ=时，32a b c +-取最大为131+． 故答案为：131+ 【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积的计算和模的计算，考查最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
16．棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，点M ,N 分别为AD ,11C D 的中点，过点C ,M ,N 的平面把正方体分成两部分，则体积较大的那部分的体积为______． 【答案】
164
3
． 【解析】取11A D 的四等分点P ，把截面MNC 补全为MCNP ，通过正方体与三棱台的体积差求得较大部分的体积． 【详解】
如图，取11A D 中点Q ，再取1QD 的中点P ， 易知，1//C Q CM ，1//PN C Q ， //PN CM ∴，
故把截面MNC 补全为平面MCNP ， 11
1212
D PN
S
=??=， 1
2442
DMC S ?=
??=， 求得1283
D PN DMC V -=台体， 又64V =正方体，
故较大部分体积为281646433
-=． 故答案为：164
3
． 【点睛】
本题主要考查了几何体的截面问题，台体体积等，难度适中．意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
三、解答题
17．已知命题p
：“存在锐角使得不等式sin a θθ≥成立”，命题q ：“直线20x ay +=与2120ax y a ++-=平行”若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求实数a 的
取值范围．
【答案】11,,122a ?
???∈-∞-- ? ??
???
【解析】先化简命题p 和命题q,由题得命题p ，q 一真一假，得到不等式组1
12a a
?≠-??或
1
12a a ≥???=-??
，解不等式组得解. 【详解】
命题p 为真时，sin 2sin 3π
θθθ?
?=- ??
?，
因为0,,2sin()12
3
3
63
π
π
π
π
π
θθθ<<
∴-
<-
<
-<
所以1a <．
命题q 为真时，由()2
21a =得12a =±
，经检验，1
2a =时两直线重合，故12
a =-． 因为p q ∨为真命题，p q ∧为假命题， ∴命题p ，q 一真一假，
所以112a a
12a a ≥???=-??
，
所以11,,122a ?
???∈-∞-- ? ??
???．
【点睛】
本题主要考查正弦型函数的最值的求法，考查两直线平行的充要条件和复合命题的真
假，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
18．ABC ?的内角A ,B ，C 的对边分别为a ,b ,c ，已知()()
2cos cos 3sin 90c
a B
b A
c C +=
=+?，．
（1）求C ∠；
（2）若D 是AB 中点，且2CD =，求ABC 的面积．
【答案】（1）60C ∠=°（2 【解析】（1）利用正弦定理化简得1
cos 2
C =
即得解；（2）由余弦定理2229a b ab c +-==，根据cos cos 0ADC BDC ∠+∠=得到22
25
2
a b +=
，即得ABC 的面积． 【详解】
（1）由正弦定理，()()
sin 2sin cos sin cos sin 90C
A B B A C +=+?，
即()sin 2sin cos C
A B C +=
，所以1cos 2
C =，所以60C ∠=°． （2）因为60C ∠=°，由余弦定理2229a b ab c +-==，
因为222222
cos cos 022AD CD b BD CD a ADC BDC AD CD BD CD +-+-∠+∠=
+=??， 得22
252a b +=，于是ab 72=，
所以1sin 2ABC S ab C ==△．
【点睛】
本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角恒等变换，考查三角形的面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
19．已知数列{}n a 满足：11a =，()
*
121n n a a n n ++=-∈N ，数列{}n a 的前n 项和为n S ．
（1）求2n S ； （2）若数列22n
n S b n n
=
?，求数列{}n b 前n 项和n T ． 【答案】（1）222n S n n =-（2）()1
232
6n n T n +?=-+
【解析】（1）求得21243n n a a n -+=-，再利用并项求和求2n S ；（2）先求出()212n n b n =-?，
再利用错位相减法求数列{}n b 前n 项和n T ． 【详解】
（1）由已知得121a a +=，()212221143n n a a n n -+=--=-，
故()()()21234212n n n S a a a a a a -=++++++()()2422122
n n n n n n -==-=-．
（2）由()22212n
n n n S b n n
=
?=-?，可得()123123252212n n T n =?+?+?++-?，
()()23121232232212n n n T n n +=?+?+
+-?+-?，
两式相减得()23
12222222212n n n T n +-=+?+?+
+?--?
所以()114(12)
2221212
n n n T n -+--=+?
--?- 化简得()1
2326n n T n +?=-+．
【点睛】
本题主要考查递推数列求和，考查错位相减法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
20．三棱台111ABC A B C -中，2AB BC CA ===，11111A B BB CC ===，1BB AB ⊥,1CC AC ⊥．
（1）求证：1AA ⊥平面1A BC ； （2）求二面角1A BC B --的余弦值． 【答案】（1）证明见解析（2）1
3
-
【解析】（1）由题得侧面11ABB A 与侧面11ACC A 为全等的直角梯形，证明11AA A B ⊥，
11AA A C ⊥，可证明1AA ⊥平面1A BC ．（2）取BC ，11B C 的中点D ，1D ，连接AD ，
11A D ，ABC ?为等边三角形，连接1AB ，AD ，1ADD ∠即为二面角1A BC B --的平
面角，记为α，通过求解三角形利用余弦定理求解即可． 【详解】
（1）由题得侧面11ABB A 与11ACC A 为全等的直角梯形， 易求111
2AA A B AC ==2AB BC CA ===， 故2222221111
,AB AA A B AC AA AC =+=+，
1111
,AA A B AA AC ∴⊥⊥， 因为11
,A B AC ?平面1A BC ，11
1A B AC A = 所以1AA ⊥平面1A BC ．
（2）取BC ，11B C 的中点D ，1D ，连接AD ，11A D ，ABC ?为等边三角形，连接1AB ，
AD ，
易知AD BC ⊥，侧面11BCC B 为等腰梯形，故1D D BC ⊥，
则在四边形11ADD A 中，1ADD ∠即为二面角1A BC B --的平面角，记为α， 由（1）可得11BB =，15AB =， 13
DD =
，3AD =， 1154AD =-，在三角形1ADD 中，133
5323cos 44α-=+-??，
可得1
cos 3
α=-
．
【点睛】
本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
21．（1）已知a ,b ,0m >，试比较
a b 与a m
b m
++的大小; （2）求证：()*1122n
n n ?
?+<∈ ???
N ．
【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析 【解析】（1）利用作差比较法比较a b 与a m
b m
++的大小;（2）由（1）中结论，对于正整数2k n <，211
2n k n k
++<，再给k 取值得到n 个不等式，再把不等式相乘即得证. 【详解】
（1）()()m b a a m a b m b b m b
-+-=++，因为a ，b ，0m >， 当a b >时，
a a m
b b m +>+；当a b =时，a a m b b m
+=+；当a b <时，a a m
b b m +<+． （2）由（1）中结论，对于正整数2k n <，211
2n k n k
++<， 取,1,,21k n n n =+-，得：
211212212,,,221221
n n n n n n
n n n n n n +++++<<<+-， 以上n 个式子相乘得1122122121
n
n n n
n n n n ++?
?+<
???
= ?+-??
． 【点睛】
本题主要考查实数比较大小，考查不等式的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
22．已知椭圆Γ：()22
2210x y a b a b
+=>>的左右焦点分别为1F ,2F ,A ,B 为椭圆Γ上
的两动点，且以A ,B ,1F ，2F 四个点为顶点的凸四边形的面积的最大值为ac ． （1）求椭圆Γ的离心率；
（2）若椭圆Γ经过点? ??
，且直线AB 的斜率是直线OA ，OB 的斜率的等比中项，求OAB ?面积的取值范围．
【答案】（12）()0,1 【解析】（1）由题得2bc ac =，化简即得椭圆Γ的离心率；（2）设直线l 的方程为
()0y kx m m =+≠，
联立直线和椭圆方程得到韦达定理，由>0?，得202m <<且21m ≠．再求出
OAB S =△，即得OAB ?面积的取值范围．
【详解】
（1）由题，当,A B 位于椭圆Γ的短轴端点时，凸四边形12AF BF 的面积最大为2bc ac =，
所以12b a =，2
e ==．
（2）由（1）可设椭圆Γ的方程为2
2
2
44x y b +=，将点? ??
代入得椭圆
22:44x y Γ+=．
由题意可知，直线AB 的斜率存在且不为0，故可设直线l 的方程为()0y kx m m =+≠， ()11(,A x y ，()22,B x y 满足22
440
y kx m
x y =+??
+-=?，消去y 得()()2
2
2148410k x
kmx m +++-=．
()()()222222641614116410k m k m k m ?=-+-=-+>，
且122814km x x k -+=+，()
212241
14m x x k
-=+，
()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++．
因为直线OA ，AB ，OB 的斜率依次成等比数列，所以
()22
21212121212
k x x km x x m y y k x x x x +++?==， 即222
2
80
14k m m k -+=+，又0m ≠，所以214k =，即12k =±． 由于直线OA ，OB 的斜率存在，且>0?，得202m <<且21m ≠． 设d 为点O 到直线AB 的距离，
则1212OAB
S d AB x =-△
12
m =
设2
(02,1)m t t t =<<≠
，()(0,1)g t
所以OAB
S
的取值范围为()0,1．
【点睛】
本题主要考查椭圆离心率的求法，考查直线和椭圆的位置关系问题，考查椭圆中面积的取值范围问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和推理分析能力.
2011年数学原创试题（8） 1．（本题满分12分）设函数],0[,2 sin 2)6sin()(2ππ∈++ =x x x x f （Ⅰ）求)(x f 的值域； （Ⅱ）记A ?BC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a c b B f c b a 求若,3,1,1)(,,,===的值。 【解析】（I ）x x x x x x f cos 1cos 2 1sin 232sin 2)6sin()(2-++=++=π 1)6 sin(1cos 21sin 23+-=+-=πx x x ………………3分 ]65,6[6],,0[ππππ-∈-∴∈x x ]2,21[)(∈∴x f ………………6分 （II ）由6,0)6sin(,1)(ππ==-=B B B f 故得 ………………7分 解法一：由余弦定理,cos 2222B a c a b -+= 得21,0222 或解得==+-a a a ………………12分 解法二：由正弦定理 323,23sin ,sin sin ππ或得===C C C c B b 当2,2,322=+===c b a A C 从而ππ ………………9分 当1,6,6,32=====b a B A C 从而又时πππ ………………11分 故a 的值为1或2 ………………12分 2．（本题满分12分）国庆前夕，我国具有自主知识产权的“人甲型H1N1流感病毒核酸检测 试剂盒”（简称试剂盒）在上海进行批量生产，这种“试剂盒”不仅成本低操作简单，而且可以准确诊断出“甲流感”病情，为甲型H1N1流感疫情的防控再添一道安全屏障、某医院在得到“试剂盒”的第一时间，特别选择了知道诊断结论的5位发热病人（其中“甲流感”患者只占少数），对病情做了一次验证性检测、已知如果任意抽检2人，恰有1位是“甲流感”患者的概率为 52。 （1）求出这5位发热病人中“甲流感”患者的人数； （2）若用“试剂盒”逐个检测这5位发热病人，直到能确定“甲流感”患者为止，设ξ 表示检测次数，求ξ的分布列及数学期望E ξ。 【解析】（1）设有x 人患“甲流感”，则由题意有5225151=?-C C C x x ， ……………3分 解得 x =1或x =4（舍）、
2015年全国高中数学联赛江苏赛区 初赛参考答案与评分细则 一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上．） 1．已知点P (4，1)在函数f (x )＝log a (x －b ) (b ＞0)的图象上，则ab 的最大值是 ． 解：由题意知，log a (4－b )＝1，即a ＋b ＝4，且a ＞0，a ≠1，b ＞0，从而ab ≤(a ＋b )24＝4， 当a ＝b ＝2时，ab 的最大值是4． 2．函数f (x )＝3sin(2x －π4)在x ＝43π 24 处的值是 ． 解：2x －π4＝43π12－π4＝40π12＝10π3＝2π＋4π3，所以f (43π24)＝3sin 4π3＝－3 2． 3．若不等式|ax ＋1|≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，则实数a 的值是 ． 解：设函数f (x )＝|ax ＋1|，则f (－2)＝ f (1)＝3，故a ＝2． 4．第一只口袋里有3个白球、7个红球、15个黄球，第二只口袋里有10个白球、6个红球、9个黑球，从两个口袋里各取出一球，取出的球颜色相同的概率是 ． 解：有两类情况：同为白球的概率是3×1025×25＝30625，同为红球的概率是7×625×25＝42 625 ，所求的 概率是72 625 ． 5．在平面直角坐标系xOy 中，设焦距为2c 的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与椭圆x 2b 2＋y 2 c 2＝1有相同 的离心率e ，则e 的值是 ． 解：若c ＞b ，则c 2a 2＝c 2－b 2c 2，得a ＝b ，矛盾，因此c ＜b ，且有c 2a 2＝b 2－c 2 b 2，解得e ＝－1＋52 ． 6．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，对角线B 1D 与平面A 1BC 1交于E 点．记四棱锥E －ABCD 的体积为V 1，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为V 2，则V 1 V 2的值是 ． （第6题图） A 1
2018全国高中数学联赛安徽省初赛试卷 一、填空题(每题8分，共64分，结果须化简) 1、设三个复数1, i, z在复平面上对应的三点共线，且|z|=5，则z= 2、设n是正整数，且满足n5=438427732293，则n= 3、函数f(x) =sin(2x) + sin(3x) + sin(4x)的最小正周期= 4.设点P,Q分别在函数y=2x和y=log2x的图象上，则|PQ|的最小 值= 5、从1,2,…，10中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差s2≤1的概率= 6、在边长为I的正方体ABCD-A1B1C1D1内部有一小球，该小球与正方体的对角线 段AC1相切，则小球半径的最大值= 7、设H是△ABC的垂心，且3450 HA HB HC，则cos∠AHB= 8、把1，2，…,n2按照顺时针螺旋方式排成n行n列的表格T n，第一行是1,2,…,n. 例如： 3123 894 765 T设2018在T100的第i行第j列，则(i,j)= · 二、解答题(第9-10题每题21分，第11-12题每题22分，共86分) 9、如图所示，设ABCD是矩形，点E, F分别是线段AD, BC的中点，点G在线段EF上，点D, H关于线段AG的垂直平分线L对称.求证:∠HAB=3∠GAB. 10、设O是坐标原点，双曲线C:上动点M处的切线交C的两条渐近线于A,B两点。（1）减B两点:`(1)求证：△AOB的面积S是定值。（2）求△AOB的外心P 的轨迹方程.
11、（1）求证：对于任意实数x,y,z都有: 222 y z xy yz zx. x233 （2）是否存在实数k>3，使得对于任意实数x.y,z下式恒成立？ 222 y z k xy yz zx，试证明你的结论. x23 12.在正2018边形的每两个顶点之间均连一条线段，并把每条线段染成红色或蓝色.求此图形中三边颜色都相同的三角形的最小个数. 2018全国高中数学联赛安徽省初赛试卷
2016年吉林省普通高中学业考试模拟试题（数学） 注意事项： 1．答题前将自己的姓名、考籍号、科考号、试卷科目等项目填写或涂在答题卡和试卷规定的位置上。考试结束时，将试卷和答题卡一并交回。 2．本试题分两卷，第1卷为选择题，第Ⅱ卷为书面表达题。试卷满分为120分。答题时间为100分钟。 3．第1卷选择题的答案都必须涂在答题卡上。每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。选择题答案写在试卷上无效。 4．第Ⅱ卷的答案直接写在试卷规定的位置上，注意字迹清楚，卷面整洁。 参考公式： 标准差： 锥体体积公式： V= 31S 底·h 其中．s 为底面面积，h 为高, 柱体体积公式 V=s.h 球的表面积、体积公式 S= 2 4R π V=343R π 其中．s 为底面面积，h 为高, V 为体积 ，R 为球的半径 第1卷 （选择题 共50分） 一、选择题（本大题共15小题，每小题的四个选项中只有一项是正确的，第1-10小题每 小题3分，第11-15小题每小题4分，共50分） 1.设集合M={－2，0，2}，N={0}，则( ). A ．N 为空集 B. N∈M C. N M D. M N 2．已知向量(3,1)=a ，(2,5)=-b ，那么2+a b 等于（ ） A (1,11)- B (4,7) C (1,6) D (5,4)- 3．函数2log (1)y x =+的定义域是（ ） A (0,)+∞ B (1,)-+∞ C (1,)+∞ D [1,)-+∞ 4．函数sin y x ω=的图象可以看做是把函数sin y x =的图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12 倍而得到的，那么ω的值为（ ） 222121[()()()]n s x x x x x x n =-+-++-L
如何进行数学试题的改编和原创 试题改编的一般方法 试题改编是对原有试题进行改造，使之从形式上、考查功能上发生改变而成为新题。改编试题的具体方法有：设置新的问题情境、不同题型之间的转换、重新整合、转变考查目标等。 1、设置新的问题情境 一道常规的纯粹数学问题，当把它放置在一个新的问题情境中时，由于知识载体发生了改变，这道试题就变为一道新题，这可以反映出数学知识应用的灵活性。 2、不同题型之间的转换 在高考数学试卷中，出现了较多的通过改造题型来获取新试题的形式。例如：许多压轴解答题的命题材料很好，从考查内容和考查功能上来看往往是很经典的试题，但由于第二、三问的难度过大，所以常常会使考生因感到畏惧而放弃解答该题。其实，第一问可能非常简单，也很容易上手，此时，就将第一问压缩、升华或从其它角度设问，再辅以选项的巧妙设计，从而将第一问变为一道新颖的选择题或填空题。当然，也可通过深入发掘内涵或扩充运用范围的方式，把经典的选择题、填空题改造成解答题的形式。 ①解答题改编为选择题或填空题 改编模式：保持原型的考查内容不变，将问题的设问形式加以改造，同时添加适当的问题情境，省去对具体解题过程的考查，而构造出的新问题。 ②解答题各种呈现方式的转变 改编模式：保持原型的考查内容不变，对问题的结构、问题的设问形式、问题的表述方式等加以改造，可以构造出一系列的新问题。 3、不同内容、不同素材之间的重组整合 单纯考查代数内容（或者几何内容、或者概率统计）单一知识点的试题，往往只占高考试卷的较小部分的分值，高考试题命制教师更多地考虑的是，如何在同一学习领域（如代数、几何或概率统计）知识点的交汇处命制试题，或者在不同学习领域知识点的融合处设计问题，或者把各种题型组合起来命制试题。重组整合的常见方法是根据考查目标、考查内容确定命题材料的重组方式，然后设问。 ①考查内容形式的整合 改编模式：在保留原题内核不变的前提下，考虑添加一定的特殊符号或文字信息、图表信息或图形信息，或者新的定义，然后以新的表达方式呈现出来。其改编的一般模式如下：一般的问题载体；添加新的定义或采取新的表述方式。 ②考查方式和技能的重组 ③不同知识点的重新组合 改编模式：将彼此联系紧密的一些知识点，借助一定的素材，串联或并联起来，可以构造出一系列的问题。 ④各种题型的自然融合 改编模式：原型中本来也包含了多种题型（如作图题、计算题等），将原来的题面以不同的形式呈现或将原来的条件重新组合，就可以构造出一系列的问题。 4、转变考查目标 一道常规的数学问题，当把它的条件的一部分、或结论的一部分转换一种表述方式时，考查的侧重点就可能发生较大的改变。例如，可以把对某一概念的侧重于文字表达能力的考
全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题 说明： 1. 评阅试卷时, 请依据本评分标准. 选择题、填空题只设6分和0分两档. 其他各题 的评阅, 请严格按照本评分标准规定的评分档次给分, 不要再增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同, 只要思路合理, 步骤正确, 在评卷时可参照本 评分标准适当划分评分档次, 3分为一个档次, 不要再增加其他中间档次. 一．选择题 (本题满分36分, 每小题6分) 1. 函数 ()y f x = 的图像按向量 ( ,2)4 a π= 平移后, 得到的图像的解析式为 sin()24 y x π =++. 那么 ()y f x = 的解析式为 A. sin y x = B. cos y x = C. sin 2y x =+ D. cos 4y x =+ 答: [ ] 2. 如果二次方程 2 0(,x px q p q --=∈N*) 的正根小于3, 那么这样的二次方程有 A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 答: [ ] 3. 设 0a b >>, 那么 2 1 () a b a b + - 的最小值是 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 答: [ ] 4. 设四棱锥 P ABCD - 的底面不是平行四边形, 用平面 α 去截此四棱锥, 使得 截面四边形是平行四边形, 则这样的平面 α A. 不存在 B. 只有1个 C. 恰有4个 D. 有无数多个 答: [ ] 5. 设数列 {}n a : 01212,16,1663n n n a a a a a ++===-, n ∈N*, 则 2005a 被 64 除的余数为 A. 0 B. 2 C. 16 D. 48 答: [ ] 6. 一条走廊宽 2 m, 长 8 m, 用 6 种颜色的 1?1 m 2 的整块地砖来铺设(每块地砖 都是单色的, 每种颜色的地砖都足够多), 要求相邻的两块地砖颜色不同, 那么所有的不同 拼色方法有 A. 8 30个 B. 7 3025?个 C. 7 3020?个 D. 7 3021?个 答: [ ] 二．填空题 (本题满分36分, 每小题6分) 7. 设向量 OA 绕点 O 逆时针旋转 2 π 得向量 OB , 且 2(7,9)OA OB +=, 则 向量 OB =
2007年安徽省高中数学竞赛初赛试题 一.选择题 1.如果集合.A B 同时满足{}1. 2. 3.4A B ={}1A B =,{}{}1,1A B ≠≠就称有序集对 (),A B 为“好集对” 。这里的有序集对(),A B 意指当A B ≠，()(),,A B B A 和是不同的集对，那么“好集对”一共有（ ）个。 64862A B C D ２.设函数()() lg 101x f x -=+,()() 122x x f f --=方程的解为( ) ()()()()2222.log lg21.lg log 101.lg lg21.log log 101 A B C D --++3.设100101102499500A =是一个1203位的正整数,由从100到500的全体三位数按顺 序排列而成那么A 除以126的余数是( ) 4.在直角 ABC 中, 90C ∠=,CD 为斜边上的高,D 为垂足. ,,1 AD a BD b CD a b ===-=. 设数列 {} k u 的通 项 为 ()1221,1,2,3, ,k k k k k k u a a b a b b k --=-+- +-=则( ) 20082007200620082007200620082007 20082007 2007200820082007 .. .. u u u u u u u u u u A B C D =+=-== 5.在正整数构成的数列1.3.5.7……删去所有和55互质的项之后,把余下的各项按从小到大的 顺序排成一个新的数列 {} n a ,易见123451,3,7,9,13 a a a a a =====那么 2007____________a =192759.. 55 .. A B C D 2831 9597 6. 设 A B ==1+cos871-cos87 则():A B = .. .A B C D 2 2 7.边长均为整数且成等差数列,周长为60的钝角三角形一共有______________种. 8.设2007n ≥,且n 为使得n n a = 取实数值的最小正整数,则对应此n 的 n a 为 783660 A B C D
2018年高中数学会考题
2018届吉林省普通高中学业模拟考试（数学） 注意事项: 1.答题前将自己的姓名、考号、考籍号、科考号、试卷科目等项目填写或涂在答题卡在试卷规定的位置上。考试结束时,将试卷和答题卡一并交回。 2.本试题分两卷,第Ⅰ卷为选择题,第Ⅱ卷为书面表达题。试卷满分为120分。答题时间为100分钟。 3.第Ⅰ卷的选择题答案都必须涂在答题卡上。每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后·再选涂其他答案标号。选择题答案写试卷上无效。 4.第Ⅱ卷的答案直接写在试卷规定的位置上，注意字迹清楚，卷面整洁。 第Ⅰ卷 选择题（共50分) 一、选择题:本大题共15小题，只有一项是正确的.第1-10每小题3分，第11-15 每小题4分，共50分） 1．已知集合{0,2},{|02}M N x x ==≤<，则M ∩N 等于 （ ） A ．{0，1，2} B ．{0，1} C ．{0，2} D ．{0} 2．下列结论正确的是（ ） A ． 若 ac>bc ， 则 a>b B ．若a 2>b 2，则a>b C ．若a>b,c<0，则 a+c C ．65π D ．32π 4．已知奇函数()f x 在区间[3，7]上是增函数，且 最小值为5，那么函数()f x 在区间 [-7，-3]上（ ） A ．是减函数且最小值为-5 B ．是减 函数且最大值为-5 C ．是增函数且最小值为-5 D ．是增 函数且最大值为-5 5. 函数2 ()1log f x x =-的零点是（ ） A. 1 B. (1,1) C. 2 D. (2,0) 6．在等比数列{}n a 中，若3 2 a =，则12345 a a a a a = （ ） A. 8 B. 16 高二数学理科试题及答案 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.） 1.(原创)在复平面内，复数)21(i i z -=的共轭复数为 A ．i --2 B.i -2 C.i +-2 D. i +2 2.(原创)若2017201722102017)21(x a x a x a a x ++++=-Λ，则=+++2017321a a a a Λ A ．2 B. 1 C.1- D. 2- 3.用反证法证明命题“若022=+b a ，则b a ,全为0（R b a ∈,）”,假设的内容是 A.b a ,至少有一个不为0 B.b a ,至少有一个为0 C.b a ,全不为0 D.b a ,中只有一个为0 4.命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是循环小数”是假命题，推理错误的原因是 A.使用了归纳推理 B.使用了类比推理 C.使用了“三段论”，但推理形式错误 D.使用了“三段论”，但小前提错误 5.(原创)已知随机变量ξ服从正态分布),3(2σN ,68.0)4(=≤ξP ,则)2(≥ξP = A.84.0 B.68.0 C.32.0 D.1 6.0 6.(原创)已知函数2ln )(+=x a x f ，2)('=e f ，则a 的值为 A ．1- B.1 C.e 2 D.2e 7.观察下列各式：1=+b a ，322=+b a ，433=+b a ，744=+b a ，1155=+b a ，…，则=+1010b a A ．28 B.76 C.123 D.199 8.从1、2、3、4、5中任取2个不同的数，事件A 为“取到的2个数之和为偶数”，事件B 为“取到的2个数均为偶数”，则)|(A B P 等于 江苏省高中数学竞赛校本教材[全套] (共30讲，含详细答案)-苏教版 目录 §1数学方法选讲（1） (1) §2数学方法选讲（2） (11) §3集合 (22) §4函数的性质 (30) §5二次函数(1) (41) §6二次函数(2) (55) §7指、对数函数,幂函数 (63) §8函数方程 (73) §9三角恒等式与三角不等式 (76) §10向量与向量方法 (85) §11数列 (95) §12递推数列 (102) §13数学归纳法 (105) §14不等式的证明 (111) §15不等式的应用 (122) §16排列，组合 (130) §17二项式定理与多项式 (134) §18直线和圆，圆锥曲线 (143) §19立体图形，空间向量 (161) §20平面几何证明 (173) §21平面几何名定理 (180) §22几何变换 (186) §23抽屉原理 (194) §24容斥原理 (205) §25奇数偶数 (214) §26整除 (222) §27同余 (230) §28高斯函数 (238) §29覆盖 (245) §29涂色问题 (256) §30组合数学选讲 (265) §1数学方法选讲（1） 同学们在阅读课外读物的时候，或在听老师讲课的时候，书上的例题或老师讲解的例题他都能听懂，但一遇到没有见过面的问题就不知从何处入手。看来，要提高解决问题的能力，要能在竞赛中有所作为，首先得提高分析问题的能力，这就需要学习一些重要的数学思想方法。 例题讲解 一、从简单情况考虑 华罗庚先生曾经指出：善于―退‖，足够的―退‖，退到最原始而又不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。从简单情况考虑，就是一种以退为进的一种解题策略。 1. 两人坐在一张长方形桌子旁，相继轮流在桌子上放入同样大小的硬币。条件是硬币一定要平放在桌子上，后放的硬币不能压在先放的硬币上，直到桌子上再也放不下一枚硬币为止。谁放入了最后一枚硬币谁获胜。问：先放的人有没有必定取胜的策略？ 2018全国高中数学联赛安徽省初赛试卷 (考试时间:2018年6月30日上午9:00) 一、填空题(每题8分，共64分，结果须化简) 1、设三个复数1, i, z在复平面上对应的三点共线，且|z|=5，则z= 2、设n是正整数，且满足n5=438427732293，则n= 3、函数f(x) =sin(2x) + sin(3x) + sin(4x)的最小正周期= 4.设点P,Q分别在函数y=2x和y=log 2 x的图象上，则|PQ|的最小 值= 5、从1,2,…，10中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差s2≤1的概率= 6、在边长为I的正方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 内部有一小球，该小球与正方体的对角线段AC 1 相切，则小球半径的最大值= 7、设H是△ABC的垂心，且3450 HA HB HC ++=，则cos∠AHB= 8、把1，2，…,n2按照顺时针螺旋方式排成n行n列的表格T n ，第一行是1,2,…,n.例如：3 123 894 765 T ?? ?? =?? ?? ??设2018在T 100 的第i行第j列，则(i,j)=· 二、解答题(第9-10题每题21分，第11-12题每题22分，共86分) 9、如图所示，设ABCD是矩形，点E, F分别是线段AD, BC的中点，点G在线段EF上，点D, H关于线段AG的垂直平分线L对称.求证:∠HAB=3∠GAB. 10、设O是坐标原点，双曲线C:上动点M处的切线交C的两条渐近线于A,B两点。（1）减B 两点:`(1)求证：△AOB的面积S是定值。（2）求△AOB的外心P的轨迹方程. 11、（1）求证：对于任意实数x,y,z都有: ) 222 x23 y z xy yz zx ++≥++ . （2）是否存在实数x.y,z下式恒成立？ () 222 x23 y z k xy yz zx ++≥++ ，试证明你的结论. 12.在正2018边形的每两个顶点之间均连一条线段，并把每条线段染成红色或蓝色.求此图形中三边颜色都相同的三角形的最小个数. 兴仁县民族中学高二数学测试卷 班级: 姓名: 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1.已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{}2,4,6,8A =，{}1,2,3,6,7B =，则 =)(B C A U （ ） A ．{}2,4,6,8 B ．{}1,3,7 C ．{}4,8 D ．{}2,6 2 0y -=的倾斜角为（ ） A ． 6π B ．3 π C ．23π D ．56π 3 ．函数y = ） A ．(),1-∞ B ．(],1-∞ C ．()1,+∞ D ．[)1,+∞ 4．某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了7场比赛，他们所有比赛得分的情 况用如图1所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员得分的平均数分别为（ ） A ．14、12 B ．13、12 C ．14、13 D ．12、14 5．在边长为1的正方形ABCD 内随机取一点P ，则点P 到点A 的距离小于1的概率为（ ） A ． 4π B ．14π- C ．8π D ．18 π- 6．已知向量a 与b 的夹角为120，且1==a b ，则－a b 等于（ ） A ．1 B C ．2 D ．3 7．有一个几何体的三视图及其尺寸如图2所示（单位：cm ），则该几何体的表面积．．．为（ ） A ．2 12cm π B. 2 15cm π C. 224cm π D. 2 36cm π 主视图 6 侧视图 图2 图1 8．若23x <<，12x P ?? = ??? ，2log Q x =，R x =， 则P ，Q ，R 的大小关系是（ ） A ．Q P R << B ．Q R P << C ．P R Q << D ．P Q R << 9．已知函数()2sin()f x x ω?=+0,2πω?? ?>< ?? ?的图像如图3所示，则函数)(x f 的解析式是（ ） A ．10()2sin 11 6f x x π??=+ ? ?? B ．10()2sin 11 6f x x π??=- ??? C ．()2sin 26f x x π??=+ ??? D ．()2sin 26f x x π??=- ?? ? 10．一个三角形同时满足：①三边是连续的三个自然数；②最大角是 最小角的2倍，则这个三角形最小角的余弦值为（ ） A ． 378 B ．34 C ．74 D ．1 8 11.在等差数列{}n a 中， 284a a +=,则 其前9项的和9S 等于 ( ) A ．18 B ．27 C ．36 D ．9 12.函数x e x f x 1 )(-=的零点所在的区间是（ ） A ．)21,0( B ．)1,21( C ．)2 3,1( D ．)2,23 ( 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 13．圆心为点()0,2-，且过点()14，的圆的方程为 ． 14．如图4，函数()2x f x =，()2 g x x =，若输入的x 值为3， 则输出的()h x 的值为 . 15．设不等式组0,02036x y x y x y -+-?? -+??? ≤≥≥， 表示的平面区域为D ，若直线0kx y k -+=上存在区域D 上的点，则k 的取值范围是 ． 16．若函数()()()2 213f x a x a x =-+-+是偶函数，则函数()f x 的单调递减区间 为 ． 1 O x y 1112 π图3 否 是 开始 ()()h x f x = ()() f x g x >输 出 输入x 结束 ()()h x g x = 图4 高考原创押题卷（一） 数学(文科) 时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷(选择题 共60分) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合A ＝{(x ，y)|y 2 位数是16；②日成交量超过日平均成交量的有2天；③认购量与日期正相关；④10月7日认购量的增幅大于10月7日成交量的增幅．上述判断中错误的个数为( ) 图1-1 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．已知梯形ABCD 中，∠ABC ＝∠BAD ＝π 2，AB ＝BC ＝1，AD ＝2，若P 是DC 的中点， 则|PA →＋2PB → |＝( ) A. 82 2 B ．2 5 C ．4 D ．5 6．某几何体的三视图如图1-2所示，若该几何体的体积为2π 3 ，则a 的值为( ) 2008年江苏省高中数学竞赛试卷 一、选择题（本题满分30分，每小题6分） 1．如果实数m ，n ，x ，y 满足a n m =+2 2，b y x =+2 2 ，其中a ，b 为常数，那么mx +ny 的 最大值为 （ ） A ．2 b a + B ．ab C ．22 2b a + D ．2 2 2b a + 2．设)(x f y =为指数函数x a y =．在P （1,1），Q （1,2），M （2,3），?? ? ??41,21N 四点中，函数)(x f y =与其反函数)(1 x f y -=的图像的公共点只可能是 （ ） A ．P B ．Q C ．M D ．N 3．在如图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比 数 列，那么z y x ++的值为 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．如果111C B A ?的三个内角的余弦值分别是 222C B A ?的三个内角的正弦值，那么 （ ） A ．111C B A ?与222C B A ?都是锐角三角形 B ．111 C B A ?是锐角三角形，222C B A ?是钝角三角形 C ．111C B A ?是钝角三角形，222C B A ?是锐角三角形 D ．111C B A ?与222C B A ?都是钝角三角形 5．设a ，b 是夹角为30°的异面直线，则满足条件“α?a ，β?b ，且βα⊥”的平面α，β （ ） A ．不存在 B ．有且只有一对 C ．有且只有两对 D ．有无数对 二、填空题（本题满分50分，每小题10分） 6．设集合[]{}{} 222 <==-=x x B x x x A 和，其中符号[]x 表示不大于x 的最大整数，则 A B =___________________. 7．同时投掷三颗骰子，于少有一颗骰子掷出6点的概率是P =____________（结果要求写 成既约分数）. 8．已知点O 在ABC ?内部，022=++OC OB OA .OCB ABC ??与的面积之比为 _________________. 9．与圆0422=-+x y x 外切，且与y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程为 ________________________. 10．在ABC ?中，若tan A tan B =tan A tan C +tanctan B ，则 2 2 2c b a +=______________. 1 2 0.5 1 x y z 2011级高中数学毕业会考试题 命题： 二高高二数学组 2012.11.10 一、选择题（共20个小题，每小题3分，共60分）每题只有一个符合题目要求,请把所选答案涂在“机读答题卡”相应位置上 1．已知集合{}{}13,25A x x B x x A B =-≤<=<≤=,则（ ） A. ( 2, 3 ) B. [-1,5] C. (-1,5) D. (-1,5] 2．sin 3π4cos 6π5tan ?? ? ??3π4－＝( )．A ．－433 B ．433 C ．－ 43 D ．4 3 3．奇函数)(x f 在区间[]a b --,上单调递减，且)0(0)(b a x f <<>，那么)(x f 在区间[]b a ,上（ ） A ．单调递减 B ．单调递增 C ．先增后减 D ．先减后增 4．盛有水的圆柱形容器的内壁底面半径为5，两个直径为5的玻璃小球都浸没于水中，若取出这两个小球， 则水面将下降的高度为（ ）A 、53 B 、3 C 、2 D 、 4 3 5．已知关于某设备的使用年限x 与所支出的维修费用y(元)有如下表统计资料：若y 对x 呈线性相关关系，则回归直线方程y bx a =+表示的直线一定过定点( ) A (3,4) B (4,6) C (4,5) D (5,7) 6．在等比数列{}n a 中，若32a =，则12345a a a a a = （ ） （A ）8 （B ）16 （C ）32 （D ） 7．在某次测量中得到的A 样本数据如下:82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B 样本数据恰好是A 样本数据 都加2后所得数据,则A ,B 两样本的下列数字特征对应相同的是（ ） A ．众数 B ．平均数 C ．中位数 D ．标准差 8．已知点()0,0O 与点()0,2A 分别在直线y x m =+的两侧，那么m 的取值范围是 （ ） （A ）20m -<< （B ）02m << （C ）0m <或2m > （D ）0m >或2m <- 9．函数sin 26y x π?? =+ ?? ? 图像的一个对称中心是 （ ） （A ）(,0)12 π - （B ）(,0)6 π - （C ）(,0)6 π （D ）(,0)3 π 10．已知0a >且1a ≠，且23a a >，那么函数()x f x a =的图像可能是（ ） （A ） （B ） （C ） （D ） 2016年高考数学高频考点原创与改编试题 一、选择题与填空题创新题 原创题或改编题1：已知)(x f 为定义在R 上的奇函数，当0>x 时，都有 2016)()2(-=?+x f x f ，且当(]2,0∈x 时，12)(+=x x f ，则 =+-)2016()2015(f f （ ） A 51344 B 5 1344- C 672 D 672- 解：0>x Θ时，.2016)()2(-=+x f x f ) (2016 )2(x f x f - =+∴ )() 2(2016 )4(x f x f x f =+- =+∴ 52016 1 22016)2(2016)4()2016(2-=+-=- ==∴f f f ()()()()6721 22016 120163201520151=+== -=-=-f f f f ()()5 1344 20162015= +-∴f f 原创题或改编题2：已知椭圆和双曲线有共同的焦点21,F F ，P 是它们的一个交点， 且0 2160=∠PF F ，记椭圆和双曲线的离心率分别为21,e e ，则2 11 e e 取最大值时，2 1,e e 的值分别是（ ） A 26,22 B 25,21 C 6,33 D 3,4 2 解法一：设椭圆的长轴长为12a ，双曲线的实轴长为22a （21a a >）。设 .||,||2211r PF r PF ==不妨设21r r >。 2211212,2a r r a r r =-=+∴ 212211,a a r a a r -=+= 在21PF F ?中：()()()()()0 21212 212 212 60cos 22a a a a a a a a c -+--++= 2 221234a a c +=∴ ()2 12 212 2 2 1 2 22 113 23 2 11114e e e e e e a c a c =≥+ = ??? ? ??+ ??? ? ??= ∴ （当且仅当 2131e e =时，取=）由,3 3 21,32112==e e e e 得26,2221==e e 。 ∴选A 解法二：设椭圆的长轴长为12a ，双曲线的实轴长为22a （21a a >）。设 .||,||2211r PF r PF ==不妨设21r r >。 2211212,2a r r a r r =-=+∴ 22 2212212141 c r r c a a e e -==∴ 在21PF F ?中，,60,60,600 120 210 21αα-=∠+=∠∴=∠P F F P F F PF F () 00 600 <<α由正弦定理： ()() 020160sin 260sin 60sin c r r =-=+αα， () () αα-= += ∴020160sin 3 4,60sin 3 4c r c r ()()() ααα2sin 3 3 260sin 60sin 341020221=--+=∴ e e ∴当045=α时， 33 2|1max 21= e e 此时,3 26426341c c r +=+?= c r 3 262-= ，22211= ∴=∴e c a ，2 6 2=e 。∴选A 原创题或改编题3：已知ABC ?的重心为G ，内C B A ,,角的对边分别为c b a ,,， 若03 3 22=+ +GC b GB a GA c ，则ABC ?为（ ） A 等边三角形 B 锐角三角形 C 直角三角形 D 钝角三角形 高中数学会考练习题集 练习一 集合与函数(一) 1. 已知S ＝｛1，2，3，4，5｝，A ＝｛1，2｝，B ＝｛2，3，6｝， 则______=B A I ,______=B A Y ，______)(=B A C S Y . 2. 已知},31|{},21|{<<=<<-=x x B x x A 则______=B A I ,______=B A Y . 3. 集合},,,{d c b a 的所有子集个数是_____，含有2个元素子集个数是_____. 4. 图中阴影部分的集合表示正确的有________. (1))(B A C U Y (2))(B A C U I (3))()(B C A C U U Y (4))()(B C A C U U I 5. 已知 },6|),{(},4|),{(=+==-=y x y x B y x y x A ________B A ＝则I . 6. 下列表达式正确的有__________. (1)A B A B A =??I (2)B A A B A ??=Y (3)A A C A U =)(I (4)U A C A U =)(Y 7. 若}2,1{≠?}4,3,2,1{?A ，则满足A 集合的个数为____. 8. 下列函数可以表示同一函数的有________. (1)2)()(,)(x x g x x f == (2)2)(,)(x x g x x f == (3)x x x g x x f 0 )(,1)(== (4))1()(,1)(+=+?=x x x g x x x f 9. 函数x x x f -+-=32)(的定义域为________. 10. 函数291 )(x x f -=的定义域为________. 11. 若函数_____)1(,)(2=+=x f x x f 则. 高中数学竞赛初赛试题 一 选择题 1. 如果集合.A B 同时满足{}1. 2. 3.4A B ={}1A B =,{}{} 1,1A B ≠≠就称有序集对(),A B 为“好集对”。这里的有序集对 (),A B 意指当A B ≠，()(),,A B B A 和是不同的集对， 那么“好集对”一共有（）个 64862A B C D ２.设函数()()lg 10 1x f x -=+,()()122x x f f --=方程的解为( ) ()()()()2222.log lg21.lg log 101.lg lg21 .log log 101A B C D --++3.设100101102499500A =是一个1203位的正整数,由从100 到500的全体三位数按顺序排列而成那么A 除以126 的余数是( ) 4.在直角ABC 中, 90C ∠=,CD 为斜边上的高,D 为垂足. ,,1AD a BD b CD a b ===-=.设数列{}k u 的通项为 ()1221,1,2,3,, k k k k k k u a a b a b b k --=-+-+-=则( ) 2008200720062008200720062008200720082007 2007200820082007 .. .. u u u u u u u u u u A B C D =+=-== 5.在正整数构成的数列1.3.5.7……删去所有和55互质 的项之后,把余下的各项按从小到大的顺序排成一个 新的数列{}n a ,易见123451,3,7,9,13a a a a a =====那么 2007____________a = 192759.. 55 .. A B C D 2831 9597 783660A B C D 2019年贵州省普通高中会考数学试题 二、填空题：本大题共35个小题，每小题105 分，共60分，把答案填在题中的横线上。 1.sin150的值为（） A . 3 - B. 3 C. 1 2 - D. 1 2 2. 设集合A={1，2，5，7}，B={2，4，5}，则A B=（） A. {1，2, 4，5，7} B. {3，4，5} C .{5} D. {2，5} 3. 函数的定义域是（） A. B. C. D. 4.直线y = 3x + 6 在y 轴上的截距为（） A. -6 B. -3 C. 3 D. 6 5.双曲线 22 22 1 43 x y -= 的离心率为（） A. 2 B. 5 4 C. 5 3 D. 3 4 6.已知平面向量x b a x b a则 , // 且 ), 6, ( ), 3,1(= == （） A. -3 B. -2 C. 3 D. 2 7.函数y=sin(2x+1)的最小正周期是（） A. π B. 2π C. 3π D. 4π 8. 函数f (x) = x -1的零点是（） 得分评卷人 A. -2 B. 1 C. 2 D. 3 9. 若a0 D. |a|>|b| 11.已知数列=+==+311,13,1}{a a a a a n n n 则满足 （ ） A. 4 B. 7 C. 10 D. 13 12.抛物线24y x =的准线方程为 （ ） A. x=4 B. x=1 C. x=-1 D. x=2 13.若函数 f (x) = kx +1为R 上的增函数，则实数 k 的值为（ ） A.（-∞，2） B.（- 2，+ ∞） C.（-∞，0） D. （0，+ ∞） 14.已知)(x f y =是定义在R 上的奇函数， =（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. -1 15.已知 ?ABC 中，且 A = 60° , B = 30°,b =1,则a = （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 16.不等式0)5)(3(>+-x x 的解集是（ ） A. }35{<<-x x B.}3,5{>-高二数学理科试题及答案
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