学案6 旋转和中心对称
这部分内容主要介绍旋转、中线对称、中心对称图形等基本知识。其中旋转是解决一类几何证明题的基本工具。在学习旋转和中心对称的相关知识时，要注意和轴对称的对比。【知识点扫描】..
1、旋转是图形围绕一个定点进行的圆周运动，这个定点称为旋转中心。旋转的三要素是旋转中心、旋转角度和旋转方向。通过旋转得到的图形一定是全等的。
2、旋转的性质：保持图形形状相同、大小相等。对应角和线段都是相等的。对应点到旋转中心的距离相等，但是非对应点到旋转中心的距离一般不相等。对应点和旋转中心所成的角相等，等于旋转角，非对应点和旋转中心所成角也不一定相等。
3、中心对称是指一个图形绕一个定点旋转180度后能与另一个图形重合的对称，这个定点称为对称中心。
4、中心对称的性质：对应点到对称中心的距离相等，对应点所连成的线段过对称中心，并且以对称中心为中点。
5、中心对称是指两个图形之间的关系，这两个图形其中一个绕一点旋转180度以后能与另一个图形重合。中心对称图形是指一个图形，这个图形绕一点旋转180度以后能与自身重合。
6、一个中心对称图形只有一个对称中心，就是它的几何中心，过对称中心的任一条直线将这个图形的面积平分。
7、绕一点旋转一个0度到180度之间的角度后能与自身重合的图形叫做旋转对称图形。中心对称图形是旋转对称图形的特例。
8、作一个中心对称图形的对称中心，找对应点，连接，取中点。作一个图形关于一点的中心对称图形，找关键点，连接中心点，延长一倍，连接相关对应点。
【基础检测】
1．下列图形是不是中心对称图形？是不是旋转对称图形？如果是，指出对称中心。
圆平行四边形正方形等边三角形等腰梯形
正五角星线段角扇形正七边形
2．如果一个正多边形绕它的中心至少旋转60度才能和原来的图形重合，那么这个正多边形是【】
A．正三角形B．正方形C．正五边形D正六边形
3．一个四边形如果是旋转对称图形，那么它的旋转角度是【】
A．90度B．180度C．270度D无法确定
4．下列说法中，错误的是【】
A．图形经过旋转后，对应线段、对应角都相等，并且对应线段平行
B．图形经过旋转后，对应点到旋转中心的距离相等
C．图形经过旋转后，对应点绕旋转中心旋转的角度大小相等
D．旋转时图形中的每一点都绕着旋转中心按同一旋转方向旋转
【提高练习】
1、如图所示，P是正方形ABCD内一点，△ABP是经旋转能与△CBP′重合。
（1）旋转中心是哪一点？（2）旋转了多少度？（3）若PB=2，求△PBP′和面积。
D
2、下列说法中不正确的是【】
A．中心对称是指两个图形的位置关系，必须涉及两个图形
B．中心对称图形是指一个具有特殊形状的图形，只对一个图形而言
C．如果把两个成中心对称的图形拼在一起，看成一个整体，那么它就是一个中心对称图形D．中心对称就是中心对称图形的简称
3、下列说法中正确的是【】
A．等腰三角形既是中心对称图形又是轴对称图形
B．正三角形是旋转对称图形不是中心对称图形
C．长方形是轴对称图形且有4条对称轴
D．扑克牌中的红桃5既是轴对称图形又是中心对称图形
4、在线段、角、平行四边形、正方形和圆这5种图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有_____种。
5、下列说法正确的是【】
A．旋转对称图形一定是中心对称图形
B．中心对称图形一定是旋转对称图形
C．中心对称图形一定不是轴对称图形
D．轴对称图形一定不是中心对称图形
B
6、如图，将△ABC 绕点C 顺时针方向旋转40°得△A ’CB ’，若AC ⊥A’B’， 则∠BAC=______。
7、如图，DEF ?是ABC ?绕点C 旋转得到的，如果0130=∠+∠B A ,0
128=∠BCD ,那么旋转
角为_________。
8、如图，一块等边三角形木板ABC 的边长为1，现将木板在平面内逆时针翻转两次，那么A 点经过的路线长为___________。
9、如图，在ABC ?中，0
120=∠BAC ，以BC 为边向形外作等边BCD ?，把BCD ?绕点D 按顺时针方向旋转60°后得到ECD ?，若AB=3，AC=2，求BAD ∠
思考题：请你尝试用一条直线将下面的图形分成面积相等的两部分。
乐学教育学员个性化教学辅导教案学科:数学任课教师：韩老师授课时间：年月日(星期 )
本次课授课内容 旋转对称 一．课前准备 1、如果一个图形绕着某一定点旋转一定的角度后能与自身，那么这个图形就叫做。 2、请说出数学中你熟悉的三个旋转对称图形（1）、（2）、 （3），并回答分别至少旋转多少度后能与自身重合。 3、旋转任意角度都能与自身重合的图形是。 例1、观察下列图形，其中不是旋转对称图形的有（） (1) (2) (3) C (4) X 例2、如下图，它们绕哪一个点至少旋转多少度能与自身重合？（右图考虑颜色） 例3、如下图（1）、（2），请问： （l ）它们是不是旋转对称图形？ （2）若是，旋转中心在何处，需要旋转多少度后，能与自身重合？ （3）它们是轴对称图形吗？ （1）（2） 例4、如右图，画△ABC 和过点P 的两条直线PQ 、PR 。画出△ABC 关于PQ 对称的三角形△A ′B ′C ， 再画出△A ′B ′C 关于PR 对称的三角形△A ′′B ′′C ′′。观察△ABC 和△A ′′B ′′C ′′，你能发现这两个 三角形有什么关系吗？
中心对称 1、中心对称的定义： 一个图形绕着某一点旋转后能与另一图形重合，那么，我们就说这两图形成中心对称图形。这个点就是它们的对称中心。 定义中的三个要点:(l)有一个对称中心——点;(2)图形绕中心旋转180度;(3)旋转后与另一图形重合。 2.中心对称的性质：中心对称的两个图形具有如下性质: (1)关于中心对称的两个图形; (2)关于中心对称的两个图形,对称点的连线都过,并且被平分. 3.中心对称图形 把一个图形绕某一点旋转后 ,如果旋转后的图形能够和原来的图形,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的. 中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。 4.中心对称与中心对称图形之间的关系： 区别： （1）中心对称是指两个图形的关系，中心对称图形是指具有某种性质的图形。 （2）成中心对称的两个图形的对称点分别在两个图形上，中心对称图形的对称点在一个图形上。 联系： 若把中心对称图形的两部分看成两个图形，则它们成中心对称；若把中心对称的两个图形看成一个整体，则成为中心对称图形。 当堂训练 知识点1：中心对称 1.如右所示的4组图形中，左边图形与右边图形成中心对称的有（）A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 知识点2：中心对称图形 2.下列图形中，不是中心对称图形的是（）
（易错题精选）初中数学图形的平移，对称与旋转的图文解析 一、选择题 1．如图，圆柱形玻璃杯高为8cm ，底面周长为48cm ，在杯内壁离杯底3cm 的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿2cm 且与蜂蜜相对的A 处，则蚂蚁从外壁A 处走到内壁B 处，至少爬多少厘米才能吃到蜂蜜（ ） A ．24 B ．25 C ．23713+ D ．382 【答案】B 【解析】 【分析】 将圆柱形玻璃杯的侧面展开图为矩形MNPQ ，设点A 关于MQ 的对称点为A′，连接A′B ，则A′B 就是蚂蚁从外壁A 处走到内壁B 处的最短距离，再根据勾股定理，即可求解． 【详解】 圆柱形玻璃杯的侧面展开图为矩形MNPQ ，则E 、F 分别是MQ ，NP 的中点，AM=2cm ，BF=3cm ，设点A 关于MQ 的对称点为A′，连接A′B ，则A′B 就是蚂蚁从外壁A 处走到内壁B 处的最短距离．过点B 作BC ⊥MN 于点C ，则BC=ME=24cm ，A′C=8+2-3=7cm ， ∴在Rt?A′BC 中，A′B= 222272425A C BC +=+=′cm ． 故选B ． 【点睛】 本题主要考查图形的轴对称以及勾股定理的实际应用，把立体图形化为平面图形，掌握“马饮水”模型，是解题的关键． 2．如图，ABC ?是O e 的内接三角形，45A ∠=?，1BC =，把ABC ?绕圆心O 按逆时针方向旋转90?得到DEB ?，点A 的对应点为点D ，则点A ，D 之间的距离是（）
A ．1 B ． 2 C ． 3 D ．2 【答案】A 【解析】 【分析】 连接AD ，构造△ADB ，由同弧所对应的圆周角相等和旋转的性质，证△ADB 和△DBE 全等，从而得到AD=BE=BC=1. 【详解】 如图，连接AD ，AO ，DO ∵ABC ?绕圆心O 按逆时针方向旋转90?得到DEB ?， ∴AB=DE ，90AOD ∠=?，45CAB BDE ∠=∠=? ∴1452 ABD AOD ∠= ∠=?（同弧所对应的圆周角等于圆心角的一半）， 即45ABD EDB ∠=∠=?， 又∵DB=BD ，∴DAB BED ∠=∠（同弧所对应的圆周角相等）， 在△ADB 和△DBE 中 ABD EDB AB ED DAB BED ∠=∠??=??∠=∠? ∴△ADB ≌△EBD （ASA ）, ∴AD=EB=BC=1. 故答案为A. 【点睛】 本题主要考查圆周角、圆中的计算问题以及勾股定理的运用；顶点在圆上，两边都与圆相交的角角圆周角；掌握三角形全等的判定是解题的关键.
E D C B A 第一节 知识回顾 一、旋转的定义 二、旋转三要素：1、旋转中心（位置） 2、旋转角（对应点与旋转中心） 3、旋转方向（顺时针与逆时针） 三、旋转性质：1、对应点到旋转中心的距离相等 2、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角 3、旋转前后的图形全等 1．如图，△ABC 、△ADE 均是顶角为42°的等腰三角形，BC 和DE 分别是底边，图中△ 与△ 可以通过以点 为旋转中心，旋转角度为 得到．其中∠BAD =∠ ，CE = ． 2．如图，将矩形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转90°，得到矩形FECG ，分别连接AC 、FC 、AF ，若AB =3，BC =2，则 AF = ． 3．要使正十二边旋转后能与自身重合，至少应将它绕中心逆时针方向旋转． （ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．75° 4.如图，在等边△ABC 中，AB=6，D 是BC 的中点，将△ABD 绕点A 旋转后得到△ACE ，那么线段DE 的长度为______． 5.如图Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝1，且AC 在直线l 上，将△ABC 绕点A 顺时针旋转到①，可得到点P 1，此时AP 1＝2；将位置①的三角形绕点P 1顺时针旋转到位置②，可得到点P 2，此时AP 2＝2＋ ；将位置②的三角形绕点P 2顺时针旋转到位置③，可得到点P 3，此时AP 3＝3＋ ；…按此规律继续旋转，直到点P 2012为止，则AP 2015等于 6.如图, 边长为 的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°到正方形AB ′C ′D ′, 图中阴影部分的面积为 7.如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转45度后得到正方形AB ′C ′ D ′，边B ′C ′与DC 交于点O ，则四边形AB ′OD 的周长是 G F E D C B A
九年级数学――旋转、中心对称知识点总结 一、旋转知识点 一、旋转的定义在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。知识点 二、旋转的性质旋转的特征：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等。理解以下几点：（1）图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。（2）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。（3）图形的大小和形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。知识点三、利用旋转性质作图旋转有两条重要性质：（1）任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（2）对应点到旋转中心的距离相等，它是利用旋转的性质作图的关键。步骤可分为：①连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心；②转：即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角）③截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；④接：即连接到所连接的各点。 二、中心对称知识点一、中心对称的定义中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180，如果它能够与另一个图形重合，那么
就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。注意以下几点：中心对称指的是两个图形的位置关系；只有一个对称中心；绕对称中心旋转180两个图形能够完全重合。知识点 二、作一个图形关于某点对称的图形要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形，关键是作出该图形上关键点关于对称中心的对称点。最后将对称点按照原图形的形状连接起来，即可得出成中心对称图形。知识点 三、中心对称的性质有以下几点：（1）关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心，并且都被对称中心平分；（2）关于中心对称的两个图形能够互相重合，是全等形；（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或共线）且相等。知识点 四、中心对称图形的定义把一个图形绕着某一个点旋转180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。知识点五 关于原点对称的点的坐标在平面直角坐标系中，如果两个点关于原点对称，它们的坐标符号相反，即点p（x,y）关于原点对称点为（-x,-y）。
平移、旋转、对称复习与练习 知识点1：平移：指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移。平移可以不是水平的。 特征：经过平移,对应线段,对应角分别相等, 对应点所连的线段平行且相等(或共线且相等)。 关键：平移变换不改变图形的形状、大小和方向 ．．，平移前后的两个图形是全等形。 平移二要素：平移的方向、距离。 例题： 1.在下列现象中，是平移现象的是（） ①方向盘的转动②电梯的上下移动③保持一定姿势滑行④钟摆的运动 A、①② B、②③ C、③④ D、①④ 2.如图，O是正六边形ABCDEF的中心，下列图形中可由△OBC平移得到的是（） A、△OCD B、△OAB C、△OAF D、△OEF 知识点2：旋转：在平面内，把一个图形绕点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转，点O 叫做旋转中心，旋转的角叫做旋转角。 性质：性质:①对应点到旋转中心的距离相等。②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。③旋转前、后的图形全等。 旋转三要素：旋转的中心、方向、角度。（注意：三要素中只要任意改变一个 ．．．．．．，图形就会不一样。） 例题： 1. 将等腰直角△ABC绕直角顶点A按逆时针方向旋转60°后，使点C到点E，点B到点D， 得到△ADE，且AB＝1。则EC的长是。 2. 边长为4㎝的正方形ABCD绕它的顶点A旋转180°，顶点B所经过的路线长为 ㎝。 3.如图，已知点O是正三角形ABC三条高的交点，现将△AOB绕点O旋转，使其和△BOC重 合，则至少应旋转（） A、60° B、120° C、240° D、360° 知识点3.轴对称、中心对称、中心对称图形及图案的设计 定义：（1）轴对称：如果一个图形沿着一条直线对折,直线两侧的图形能够完全重合,这个图形就是轴对称图形。对称轴:折痕所在的这条直线叫做对称轴。 （2）中心对称：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。 （3）中心对称图形：把一个平面图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形。这个点就是它的对称中心。 ●中心对称 ．．．．．．之间的关系： ．．．．与中心对称图形 区别：（1）中心对称是指两个图形 ．．．．的关系，中心对称图形是指具有某种性质的图形。（2）成中心对称的两个图形的对称点分别在两个图形上，中心对称图形的对称点在一个图形上。联系：若把中心对称图形的两部分看成两个图形，则它们成中心对称；若把中心对称的两个图形看成一个整体，则成为中心对称图形 . 特征：（1）轴对称：连结对应点的线段被对称轴垂直平分；（2）中心对称图形（针对一个图形）的对称点连线通过对称中心，且被对称中心平分；（3）中心对称的两个图形的对称点连
1 / 1 平移、旋转、轴对称、中心对称中考题 （2010哈尔滨）１．下列图形中，是中心对称图形的是（）． （2010哈尔滨）２．点A（－l，4）和点B（－5，1）在平面直角坐标系中的位置 如图所示． （1）将点A、B分别向右平移5个单位，得到点A1、B1，请画出四边形 AA1B1B； （2）画一条直线，将四边形AA1B1B分成两个全等的图形，并且每个图形都 是轴对称图形． （2010珠海）３．在平面直角坐标系中，将点P（-2,3）沿x轴方向向右平移3个 单位得到点Q，则点Q的坐标是（） （2010珠海）４．现有如图1所示的四张牌，若只将其中一张牌旋转180后得到图 2，则旋转的牌是（） 图1 图2 A. B C D （2010年镇江市）5．动手操作（本小题满分6分） 在如图所示的方格纸中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，以小正方形互 相垂直的两边所在直线建立直角坐标系. （1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，其中A，B，C分别和A1，B1，C1 对应； （2）平移△ABC，使得A点在x轴上，B点在y轴上，平移后的三角形记为△ A2B2C2，作出平移后的△A2B2C2，其中A，B，C分别和A2，B2，C2对 应； （3）填空：在（2）中，设原△ABC的外心为M，△A2B2C2的外心为M，则M 与M2之间的距离为 . (2010遵义市)6 下列图形中既是中心对称图形,又是轴对称图形的是 （玉溪市2010）7. 如图3是把一张长方形的纸沿长边中点的连线对折两次后得到的 图形.再沿虚线裁剪，外面部分展开后的图形是 图3
1 / 1 B . A . C . D . A B C D O ( （玉溪市2010）8. 如图5是汽车牌照在水中的倒影，则该车牌照上的数字是 ． （2010年兰州）9观察下列银行标志，从图案看既是轴对称图形又是中心对称图形的有 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 （2010年无锡）10 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是 （ ▲ ） （2010年连云港）11．下列四个多边形：①等边三角形；②正方形；③正五边形； ④正六边形．其中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A ．①② B ．②③ C ．②④ D ．①④ （2010年连云港）12．（本题满分10分）如图，正方形网格中的每一个小正方形的边长都是1，四边形ABCD 的四个顶点都在格点上，O 为AD 边的中点，若把四边形ABCD 绕着点O 顺时针旋转，试解决下列问题： （1）画出四边形ABCD 旋转后的图形； （2）求点C 旋转过程事所经过的路径长； （3）设点B 旋转后的对应点为B ’，求tan ∠DAB ’的值． （2010宁波市）13．下列各图是选择自历届世博会会徽中的图案，其中是中心对称图形的是 2．（2010年怀化市）14下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） 15. （2010年济宁市)如图，PQR ?是ABC ?经过某种 变换后得到的图形.如果ABC ?中任意一点M 的坐标为（a ，b ），那么它的对应点N 的坐标为 . 16. （2010年郴州市）ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，将ABC 沿y 轴翻折得到111A B C ，再将 111A B C 绕点O 旋转180得到222A B C . 请依次画出111A B C 和222A B C . A ． B ． C ． y x C B A O 第19题 (第13题) 图5
第5讲图形的旋转和中心对称 图形的旋转和中心对称 1、旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某______沿着某个方向转动______的图形变换 叫做旋转．这个点O叫做______，转动的角叫做______．因此，图形的旋转是由______和______决定的． 2、中心对称的定义：把一个图形绕着某一个点旋转______，如果它能够与另一个图形______， 那么称这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做______，这两个图形中的对应点叫做关于中心的______． 3、旋转的特点：旋转的性质是对应点到旋转中心的______相等；对应点与旋转中心所连线 段的夹角等于______；旋转前、后的图形之间的关系是______． 4、中心对称的特点：(1)关于中心对称的两个图形，对称点所连______都经过______，而且被对称中心所______． (2)关于中心对称的两个图形是______． 5、中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转______，如果旋转后的图形能够与原来的 图形______，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的______．
1、旋转的定义和性质； 2、中心对称的定义和性质； 3、会画旋转后的图形和中心对称图形； 例1、下图中，不是旋转对称图形的是( )． 答案：B 解析：根据旋转的定义； 例2、有下列四个说法，其中正确说法的个数是( )． ①图形旋转时，位置保持不变的点只有旋转中心； ②图形旋转时，图形上的每一个点都绕着旋转中心旋转了相同的角度； ③图形旋转时，对应点与旋转中心的距离相等； ④图形旋转时，对应线段相等，对应角相等，图形的形状和大小都没有发生变化 A．1个B．2个C．3个D．4个 答案：D 解析：利用旋转的特征； 例3、下列图形中，不是 ．．中心对称图形的是( )． A．圆B．菱形C．矩形D．等边三角形
轴对称及中心对称变换、平移及旋转变换 变换是极为重要的数学思维方法，利用几何变换解题在数学竞赛中经常用到，本文介绍几何变换中的基本变换：轴对称及中心对称变换、平移及旋转变换。 一、轴对称变换 把一个图形F沿着一直线l折过来，如果它能够与另一个图形F'重合，我们就说图形F 和F'关于这条直线l对称。 两个图形中的对应点叫做关于这条直线l的对称点，这条直线l叫做对称轴，如右图。 轴对称图形有以下两条性质： 1.对应点的连线被对称轴垂直平分； 2.对应点到对称轴上任一点的距离相等。 例1 凸四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且AC⊥BD，已知OA＞OC，OB＞OD，求证：BC+AD＞AB+CD。 分析：题中条件比较分散，故考虑“通过反射使条件相对集中”，注意到AC⊥BD，于是以BD(AC)为对称轴，将BC(AD)反射到BC'(AD')，把有关线段集中到△ABO内，利用三角形中两边之和大于第三边易证得结果。 证明：∵AC⊥BD，且OA＞OC，OB＞OD，于是以BD为对称轴，作C点关于直线BD为对称点C'，以AC为对称轴作D点关于AC 的对称点D'。连结BC'，AD'相交于E点，则BC= BC'，AD=AD'，CD=C'D'。 ∴ BE＋AE＞AB ① EC'＋ED'＞C'D' ② ①＋②，得BC'＋AD'＞AB＋C'D'。 ∴BC＋AD＞AB+CD。
注：(1)本题的结论对于凹四边形仍然成立； (2)还可将四边形推广成2n边形，也有类似结论。其证明思路也完全相同，读者试自证。 二、中心对称变换 如果平面上使任意一对对应点A，A'的连线段都通过一个点O，且被这一点所平分，则这个变换叫做中心对称变换(亦称点反射或点对称)，点O叫对称中心，点A和A'叫做关于对称中心的对称点，如果一个图形F在中心对称变换下保持不变(还是自身)，则这个图形F 叫做中心对称图形。 中心对称变换有以下性质： (1)关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。这个性质的逆命题也成立，即“如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么两个图形关于这一点对称。 (2)关于中心对称的两个图形，对应线段平行(或在同一条直线上)且相等。 例3 如图所示，地面上有不在同一直线的A、B、C三点，一只青蛙位于地面异于A、B、C的P点，第一步青蛙从P跳到P关于A的对称点P1，第二步从P1跳到P1关于B的对称点 P2，第三步从P2跳到P2关于C的对称点P3，第四步从P3跳到关于A的对称点P4，……，以下跳法类推，问青蛙跳完第1992步，落在地面的什么位置？ 解：青蛙每跳一次，就是完成一个中心对称变换，如图，根据中位线定理，有PP22AB P3P5① 并且由P2C=CP3，P6C=CP5，可知P3P5P2P6是平行四边形。 ∴P2P6P2P。② 由①、②及平行公理可知P和P6重合，这表明青蛙每跳6步，都可以回到起点P，而1992是6的倍数，因此跳完第1992步青蛙应落在P点。 三、平移变换 把图形F上的所有的点都按一定方向移动一定距离d形成图形F'，则由F到F'的变换叫做平移变换。 一般地，题设条件中有彼此平行的线段，或有造成平行的因素，又需要将有关线段与角由分散到相应集中，使图形中诸元素之间的联系变得明显，可以采用平移变换。
旋转与中心对称 知识点一旋转、中心对称的概念 【知识梳理】 1、旋转：在平面内，把一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。这个定点叫做旋转中心，旋转的角叫做旋转角，如果图形上的某点经过旋转变为另一点，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。 2、旋转的性质：图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，旋转前后图形的大小和形状没有改变。 3、中心对称：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点。 4、中心对称的性质：中心对称是一种特殊的旋转，因此它具有旋转的一切性质，除此之外，中心对称还具有以下特殊性质。 （1）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分。 （2）中心对称的两个图形是全等图形。 【例题精讲一】旋转、中心对称的概念及基本性质 例1.1、下列图形中既是中心对称又是轴对称图形的是（） 2、如图，△ABC≌△ADE，点D落在BC上，且∠B＝60°，则∠EDC的度数等于（） A．45°B．30°C．60°D．75°
3、将△ABC 绕O 点顺时针旋转50°得△A 1B 1C 1（A 、B 分别对应A 1、B 1），则直线AB 与直线A 1B 1的夹角（锐角）为（ ） A ．130° B ．50° C ．40° D ．60° 4、平面直角坐标系内与点P （－2，3）关于原点对称的点的坐标是（ ） A ．（3，－2） B ．（2，3） C ．（2，－3） D ．（－3，－3） 5、如图，点P 是等边三角形ABC 内一点，且PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5，若将△APB 绕着点B 逆时针旋转后得到△CQB ，则∠APB 的度数为 。 【课堂练习】 1、下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B ． C ． D ． 2、已知点（a ，－1）与点（2，b ）关于原点对称，则a b =__________。 3、如图，△''' A B C 是由△ABC 绕点O 旋转得到，若∠AOC=30°，∠'COA =60°，则旋转角为（ ） A.105° B.90° C.75° D. 60°
第4课 几何变换(2)：旋转与中心对称 一、例题选讲 例1、如图，如果四边形CDEF 绕某点P 旋转以后与正方形ABCD 重合，则这样的点P 有几个？ B A 例2、如图，△ABC 中，D 是AB 的中点，E 、F 分别在AC 、BC 上，比较DEF S ?与（B D F A D E S S ??+）的大小并说明理由。 B C F 例3、如图，P 是等边△ ABC 内一点，P A =2，PB =PC =4，则△ABC 的边长是多少？ A B 例4、如图，E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上两点，且BE+DF=EF ，求∠EAF 的度数。 F D A C
例5、如图，Rt △ABC 中，O 是斜边AB 的中点，P 、Q 分别是AC 、BC 上的点，且OP ⊥OQ ，证明：AP 2+BQ 2=PQ 2. Q B A P 例6、定点P 到等边△ABC 的定点距离A P=2,BP =3,当此三角形的边长、位置都可以改变时，求PC 的最大值，并证明你的结论。 C 例7、△ABC 是等腰三角形，AB=AC ，∠BAC =1200，△ADE 是等边三角形，点D 在BC 边上，且BD :DC =2:3,若△ABC 的面积是50，求△ADE 的面积。 C B B
二、巩固练习 1、两家共有一块平行四边形田地 ，中间有一用于灌溉的圆形池塘，现在两家需要把这块地均分，并且中间的池塘也要均分，你能为他们想个办法吗？ 2、7个相同的圆按照图示的位置排列，把这个图形分成面积相等的两块 . 3、设P 是边长为1的等边△ABC 内的任意一点，记l =P A+PB+PC ,求证：23≤≤l . B 4、如图,正方形ABCD 中,∠MAN =45°,求证:MN=BM+DN . C N 5、已知△ABC 中,AB =5,AC =13,边BC 上的中线AD =6,则BD 的长是多少 ? C
一、填空题（每题4分,共计28分） l．如图12所示,△A′B′O是否AOB绕点O逆时针旋转后得到的,则图中线段AB的对应线段是 ,∠BOB′＝ ,△A′OB′和△AOB的形状与大小保持． 2．在U,V,W,X,Y,Z这六个大写英文字母中,是轴对称图形的是 ,是中心对称图形的是． 3．把下列图形中符合要求的图形的编号填入圈内 4．一个平面图形先向左平移1个单位长度,再向右平移2个单位长度,此时该图形在原图形的什么位置？答．若再向左平移3个单位长度又向右平移4个单位长度,我们规定象这样的左右各平移一次作为一次操作,则第2003次操作后,图形在原图形的什么位置？答． 5．如果两个图形可以通过彼此平移而得到,那么它们的周长 ,面积． 6．下列四幅图案中哪幅图案可以通过平移得到图案（1）． 7．如图13,△ABC和△CDE是等边三角形,则△ACD和△BCE可以绕着点旋转得到,旋转中心是 . 二、选择题（每题4分,共计24分） 1．下列现象中不属于平移的是（） A．滑雪运动员在平坦的雪地上滑翔 B．彩票大转盘在旋转 C．大楼电梯上上下下 D．火车在笔直的铁轨上飞驰 2．如图所示,哪一个是旋转对称图形（） 3．下图是我国几家银行的标志,其中是中心对称图形的是（） A．1个B．2个C．3个D．4个 4．下列图形是几种名车的标志,在这几个图形中既是中心对称图又是轴对称图形的是（） A．4个B．3个C．2个D．1个 5．下列说法正确的是（） A．旋转对称图形是中心对称图形． B．中心对称图形是旋转对称数图形 C．中心对称图形是旋转90°后能与自身重合的图形 D．如果两个图形关于某点成中心对称,则每个图形是中心对称图形． 6．下列命题中正确命题的个数为（） ①旋转对称图形是中心对称图形． ②关于某一点为中心对称的两个三角形重合 ③两个重合的图形一定关于某点为中心对称 ④中心对称图形一定是轴对称图形． A．1个B．2个C．3个D．4个
旋转图形与中心对称 一、目标与策略 明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！ 学习目标： ● 通过具体实例认识旋转，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质． ● 了解平行四边形、圆是中心对称图形． ● 能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形． ● 欣赏旋转在现实生活中的应用． ● 探索图形之间的变化关系（轴对称、平移、旋转及其组合）． ● 灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计． 重点难点： ● 重点：理解旋转的有关定义、性质及应用；理解中心对称和中心对称图形的定义；根据条件画出已知图形关于某点为旋转中心的旋转图形或根据条件画出已知图形关于某点为对称中心的对称图形. ● 难点：画已知图形关于某点为旋转中心（或对称中心）的旋转图形（或对称图形）；运用旋转的定义和性质证明线段相等、角相等；判别一个图案是否为中心对称图形；利用图形变换设计美丽图案. 学习策略： ● “旋转”是在我们已学习了“平移”、“对称”之后，又出现的第三种图形变换，在学习中，综合运用“平移”、“对称”、“旋转”的定义和性质，将有助于我们对图形变换的认识，有助于我们分析、理解图案的形成过程，有助于我们树立数学审美观，提高对图案的审美水平. 二、学习与应用 （一）成轴对称的两个图形沿对称轴对折能够互相 ，因此，成轴对称的两个图形 . （二）平移前后的两个图形 . “凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。 知识回顾---复习 学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？
旋转、中心对称知识点总结 一、旋转 知识点一、旋转的定义 在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。 我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。 知识点二、旋转的性质 旋转的特征：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等。 理解以下几点： （1）图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。（2）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。（3）图形的大小和形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。 知识点三、利用旋转性质作图 旋转有两条重要性质：（1）任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（2）对应点到旋转中心的距离相等，它是利用旋转的性质作图的关键。步骤可分为：①连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心；②转：即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角） ③截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；④接：即连接到所连接的各点。
二、中心对称 知识点一、中心对称的定义 中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。 注意以下几点： 中心对称指的是两个图形的位置关系；只有一个对称中心；绕对称中心旋转180°两个图形能够完全重合。 知识点二、作一个图形关于某点对称的图形 要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形，关键是作出该图形上关键点关于对称中心的对称点。最后将对称点按照原图形的形状连接起来，即可得出成中心对称图形。 知识点三、中心对称的性质 有以下几点： （1）关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心，并且都被对称中心平分； （2）关于中心对称的两个图形能够互相重合，是全等形； （3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或共线）且相等。 知识点四、中心对称图形的定义 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。 知识点五关于原点对称的点的坐标 在平面直角坐标系中，如果两个点关于原点对称，它们的坐标符号相反，即点p（x,y）关于原点对称点为（-x,-y）。
旋转对称和中心对称
乐学教育学员个性化教学辅导教案 学科: 数学任课教师：韩老师授课时间：年月日(星期 )
建议： 签字教学组长签字： 本次课授课内容 旋转对称 一．课前准备 1、如果一个图形绕着某一定点旋转一定的角度后能与自身，那么这个图形就叫做。 2、请说出数学中你熟悉的三个旋转对称图形（1）、（2）、 （3），并回答分别至少旋转多少度后能与自身重合。 3、旋转任意角度都能与自身重合的图形是。 例1、观察下列图形，其中不是旋转对称图形的有（） (1) (2) (3) C (4) X 例2、如下图，它们绕哪一个点至少旋转多少度能与自身重合？（右图考虑颜色） 例3、如下图（1）、（2），请问： （l）它们是不是旋转对称图形？ （2）若是，旋转中心在何处，需要旋转多少度后，能与自身重合？ （3）它们是轴对称图形吗？ （1）（2） 例4、如右图，画△ABC和过点P的两条直线PQ、PR。画出△ABC关于PQ对称的三角形△A′B′C，
再画出△A′B′C关于PR对称的三角形△A′′B′′C′′。观察△ABC和△A′′B′′C′′，你能发现这两个三角形有什么关系吗？ 中心对称 1、中心对称的定义： 一个图形绕着某一点旋转后能与另一图形重合，那么，我们就说这两图形成中心对称图形。这个点就是它们的对称中心。 定义中的三个要点:(l)有一个对称中心——点;(2)图形绕中心旋转180度;(3)旋转后与另一图形重合。 2.中心对称的性质：中心对称的两个图形具有如下性质: (1)关于中心对称的两个图形 ; (2)关于中心对称的两个图形,对称点的连线都过 ,并且被平分. 3.中心对称图形 把一个图形绕某一点旋转后 ,如果旋转后的图形能够和原来的图形 ,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的 . 中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。 4.中心对称与中心对称图形之间的关系： 区别： （1）中心对称是指两个图形的关系，中心对称图形是指具有某种性质的图形。 （2）成中心对称的两个图形的对称点分别在两个图形上，中心对称图形的对称点在一个图形上。 联系： 若把中心对称图形的两部分看成两个图形，则它们成中心对称；若把中心对称的两个图形看成一个整体，则成为中心对称图形。 当堂训练 知识点1：中心对称 1.如右所示的4组图形中，左边图形与右边图形成中心对称的有 （） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
旋转对称图形的初中数学组卷 一．选择题（共29小题） 1．（2016?莆田）规定：在平面内，将一个图形绕着某一点旋转一定的角度（小于周角）后能和自身重合，则称此图形为旋转对称图形．下列图形是旋转对称图形，且有一个旋转角为60°的是（） A．正三角形 B．正方形C．正六边形 D．正十边形 2．（2016?道外区二模）下列图形中，旋转对称图形有（）个． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2016?和平区一模）一个菱形绕它的两条对角线的交点旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是（） A．360°B．270°C．180°D．90° 4．（2016春?龙海市期末）如图是一个标准的五角星，若将它绕旋转中心旋转一定角度后能与自身重合，则至少应将它旋转的度数是（） A．60°B．72°C．90°D．144° 5．（2016春?晋江市期末）如图所示的旋转对称图形旋转一定角度后与自身重合，则这个角度至少是（） A．30°B．60°C．120°D．240° 6．（2016春?高平市期末）下列标志中，是旋转对称图形但不是轴对称的有（） A．2个B．3个C．4个D．5个 7．（2016春?平湖市校级期中）如图，若正六边形ABCDEF绕着中心点O旋转α度后得到的图形与原来图形重合，则α的最小值为（）
A．120°B．90°C．45°D．60° 8．（2015?金溪县模拟）如图，该图形围绕其的旋转中心，按下列角度旋转后，能与自身重合的是（） A．150°B．120°C．90°D．60° 9．（2015?浠水县校级模拟）等边三角形ABC绕着它的中心，至少旋转（）度才能与它本身重合． A．60°B．120°C．180°D．360° 10．（2015?洛阳模拟）如图四个圆形网案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转72°后，能与原图形完全重合的是（） A．B．C．D． 11．（2015春?定陶县期末）下列图形中，旋转120°后能与原图形重合的是（） A．等边三角形B．正方形C．正五边形 D．正八边形 12．（2015春?湘潭县期末）如图，该图形绕点O按下列角度旋转后，能与原图形重合的是（） A．45°B．60°C．90°D．120° 13．（2015秋?甘谷县期末）下列图形中是旋转对称图形的有（） ①正三角形②正方形③三角形④圆⑤线段． A．5个B．4个C．3个D．2个 14．（2015秋?浦东新区期末）下列图形中是轴对称图形但不是旋转对称图形的是（） A．B．C．D． 15．（2015秋?路南区期中）下列四个图形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，旋转一定角度后，能与原图形完全重合，其中，旋转角度最小的是（） A．B．C．D． 16．（2015秋?黄陂区期中）下列正多边形中，绕其中心旋转72°后，能和自身重合的是（）A．正方形B．正五边形 C．正六边形 D．正八边形
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本次课授课内容 旋转对称 一．课前准备 1、如果一个图形绕着某一定点旋转一定的角度后能与自身，那么这个图形就叫做。 2、请说出数学中你熟悉的三个旋转对称图形（1）、（2）、（3），并回答分别至少旋转多少度后能与自身重合。 3、旋转任意角度都能与自身重合的图形是。 例1、观察下列图形，其中不是旋转对称图形的有（） (1) (2) (3) C (4) X 例2、如下图，它们绕哪一个点至少旋转多少度能与自身重合（ 右图考虑颜色） 例3、如下图（1）、（2），请问：
（l）它们是不是旋转对称图形？ （2）若是，旋转中心在何处，需要旋转多少度后，能与自身重合？ （3）它们是轴对称图形吗？ （1）（2） 例4、如右图，画△ABC和过点P的两条直线PQ、PR。画出△ABC关于PQ对称的三角形△A′B′C， 再画出△A′B′C关于PR对称的三角形△A′′B′′C′′。观察△ABC和△A′′B′′C′′，你能发现这两个三角形有什么关系吗？ 中心对称 1、中心对称的定义： 一个图形绕着某一点旋转后能与另一图形重合，那么，我们就说这两图形成中心对 称图形。这个点就是它们的对称中心。 定义中的三个要点:(l)有一个对称中心——点;(2)图形绕中心旋转180度;(3)旋转后与另 一图形重合。 2.中心对称的性质：中心对称的两个图形具有如下性质: (1)关于中心对称的两个图形 ; (2)关于中心对称的两个图形,对称点的连线都过 ,并且被平分.
第7讲图形的旋转与中心对称 知识定位 讲解用时：3分钟 A、适用范围：人教版初三，基础偏上 B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们首先学习旋转变换，重点掌握旋转三要素以及旋转的性质，能够结合图形的性质处理简单几何问题，其次学习中心对称以及中心对称图形，掌握中心对称的性质，了解坐标关于原点对称的特征。本节课的难点在于旋转与三角形以及四边形等知识点的结合考查，具有一定的综合性，希望同学们认真学习，熟练掌握相关性质和应用。 知识梳理 讲解用时：20分钟 图形的旋转 （1）旋转的定义 在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转过的角称为旋转角。 从以下几点理解定义： ①旋转中心在旋转过程中保持不变； ①图形的旋转是由旋转中心、旋转角度和旋转方向共同决定（三要素）； ①旋转角度一般小于360°。 （2）旋转的特征 ①旋转后图形上每一点都绕着旋转中心旋转了同样的角度； ①旋转后的图形与原图形对应线段相等、对应角相等； ①对应点到旋转中心的距离相等； ①旋转后的图形与原来的图形的形状和大小都没有发生变化。
课堂精讲精练 【例题1】 下列运动属于旋转的是（） A．扶梯的上升B．一个图形沿某直线对折过程 C．气球升空的运动D．钟表的钟摆的摆动 【答案】D 【解析】此题主要考查了旋转的定义， A、扶梯的上升，是平移，故此选项错误； B、一个图形沿某直线对折过程，是轴对称，故此选项错误； C、气球升空的运动，也有平移，故此选项错误； D、钟表的钟摆的摆动，属于旋转，故此选项正确． 故选：D． 讲解用时：3分钟 解题思路：根据旋转的定义分别判断得出即可。 教学建议：正确把握旋转的定义是解题关键。 难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：江津区期末年份：2016 【练习1】 如果齿轮A以逆时针方向旋转，齿轮E旋转的方向（）。 A．顺时针B．逆时针 C．顺时针或逆时针D．不能确定 【答案】B 【解析】此题考查旋转问题， 齿轮A以逆时针方向旋转，齿轮B以顺时针方向旋转，齿轮C以逆时针方向旋
旋转对称图形和中心对称图形 三新学校 杨翠丽 教学内容：九年制义务教育数学课本七年级第一学期P101-102 教学目标： 1、通过经历观察、操作、探索旋转对称图形和中心对称图形的有关概念的过程发展抽象概括能力、识图能力及解决问题能力。 2、会应用旋转对称图形和中心对称图形的概念猜测并验证某些图形是否为旋转对称图形或中心对称图形。 3、能计算出旋转角。 教学重点：旋转对称图形和中心对称图形的概念。 教学难点：两个概念的区别，正确识别一个图形是否是旋转对称图形或中心对称图形，以及这些内容所渗透的变换思想。 教学准备：多媒体课件，用纸剪出图形制作教具。 教学过程 一、复习 师：同学们，上节课我们学习了这种图形的运动叫做图形的旋转。谁来告诉大家什么叫做图形的旋转？什么叫做旋转中心？ 生：在平面内，将一个图形绕着一个定点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的运动。这个定点叫做旋转中心。 （展示一些正在旋转的图） 师：非常好，现在请大家一起来看这几个图形，我让它们绕着一点O 旋转起来。在旋转过程中，你能发现它有什么共同特征吗？ 生：转动一个角度能与原来的图形重合。 师：原来的图形？我们把它叫做初始图形。很好请坐。即这些图形转动一个角度能与初始图形重合。那么它们具体转动多少度能与初始图形重合呢？ 一、 导入新课 [生有的摇头，有的不知所措] 师：给大家多点时间考虑。请同学们四人一小组，进行操作、研究你们桌上的这些图形在旋转一周的过程中，分别转多少度能与初始图形重合？
（学生讨论，大约五分钟） 师：好了，请同学回答。 生1：180°，360°怎么计算的？师操作几何画板让图形转动一周。 生2：120°，240°，360° 生3：90°，180°，270°，360° 生4：72°，144°，216°，288°，360° 生5：360° 生6：60°，120°，180°，240°，300°，360° 师：非常好。这里哪个度数每次都出现？为什么？ 生：360°，任何图形转动一周都能与初始图形重合。 师：好的，那么360°并不特殊，我们不研究。（把360°都擦了） 师：我们把其中的这五个图形叫做旋转对称图形，你能归纳一下满足什么条件的图形叫做旋转对称图形？（板书课题） 生：一个图形转动一个角度能与初始图形重合。 师：“旋转”得说明“绕着一个定点”。（板书概念） 一个图形绕着一个定点旋转一个角度能与初始图形重合，这样的图形叫做旋转对称图形。 师：这样完整吗？旋转角的范围没有范围吗？ 生：小于360度 生：大于0度 （板书00< <3600，并强调范围。） 师：我们把这个定点叫做旋转对称中心。旋转的角度仍然叫做旋转角。 师：我们来看这里有三个图形的旋转角可以是180°，180°是圆周的一半也比较特殊，转180°转到哪里呢？（展示画板，5个图形转180°） 师：这三点位置上什么关系？ 师：我们把这三个特殊的图形叫做中心对称图形。（板书课题） 谁来概括一下什么叫做中心对称图形？ （板书概念）（强调旋转角180°） 一个图形绕着一个定点旋转180°能与初始图形重合，这样的图形叫做中心对称图形。 师：这时我们把这个点叫做对称中心。 师：今天我们就学旋转对称图形和中心对称图形。 三、练习 练习1：议一议： 师：如图：哪些图形是旋转对称图形？哪些是中心对称图形？为什么？ 分组讨论： （用PPT 画笔钩出学生选出的） 正三角形 圆 正六边形 正五边形 平行四边形 梯形 正方形