专题3 第1讲 等差数列与等比数列

第1讲等差数列与等比数列

［考情分析］1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现2数列

求和及数列的综合问题是高考考查的重点.

考点一等差数列、等比数列的基本运算

【核心提炼】

等差数列、等比数列的基本公式5∈N*)

(1)等差数列的通项公式：a∏=a∖ + ｛n-∖)d↑

⑵等比数列的通项公式：a,t=a∖∙q,t~l.

z 、，»， - ，，L.,、」n(a∖+a ll)1 /?(/? — 1),

(3)寺差数列的求和公式：S J=一~=na∖-∖- 5 (1;

0(I-" ai-a〃q

(4)等比数列的求和公式：s ll=↑ 1 一夕一ι-q

例1 (1)《周髀算经》中有一个问题：从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影长的和为37.5尺，芒种的日影长为4.5尺，则冬至的日影长为()

A. 15.5 R

B. 12.5 R

C. 10.5 R

D. 95 尺

答案A

解析从冬至起，十二个节气的日影长依次记为。2,。3,…，02,由题意，有。］+。4 +

m+3d=12.5, aq=375,根据等差数列的性质，得出=12.5,而32=4.5,设公差为4则ι

U + lld=4.5,

α∣ = 15.5,

解得,

所以冬至的日影长为15.5尺.

l

⑵已知点(小斯)在函数段)=2门的图象上5∈N*).数列｛斯｝的前n项和为Sn,设b n=

S +1

log^ ^一，数列｛d｝的前〃项和为7；.则T tt的最小值为.

答案一30

解析 :点(〃,在函数人工)=2A l的图象上，

.∙∙m=2'L∣5∈N*),

，｛斯｝是首项为ci］ = ∖,公比q=2的等比数列,

1-2

2,r

则b n= log — =2n-12(n∈N*),

・・・｛为｝是首项为一10,公差为2的等差数列，

.•口尸―10〃+加产乂2=〃2_11〃=(〃_抒_詈.

又〃∈N*,

・・・丁〃的最小值为T5=T6=Q2-y-=-30.

规律方法等差数列、等比数列问题的求解策略

(1)抓住基本量，首项〃］、公差d或公比夕.

(2)熟悉一些结构特征，如前〃项和为S“=〃〃2+〃〃3, 〃是常数)的形式的数列为等差数列，通项公式为a∏=p∙q n~x(p9 4/。)的形式的数列为等比数列.

(3)由于等比数列的通项公式、前〃项和公式中变量〃在指数位置，所以常用两式相除(即比值

的方式)进行相关计算.

跟踪演练1 (1)(2020・全国II)数列｛斯｝中,0 = 2, a m+n=a m a n9若依+1+诙+2+…+%∙ιo=2r

-25,则左等于()

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

答案C

解析,・・0=29〃加十〃=4加。〃，

令m = 1,贝∣J a fl+∖=a↑a lt=2a tt,

・,・｛如｝是以0=2为首项，2为公比的等比数列，

=2×2n~l=2,,.

Λa

fl

又：像+1+αk+2T--- ∣~^+∣o=215-25,

竺竺洋2「25

即2Λ+,(2,0-1)=25(2,0-1),

Λ2A-+1=25, .∙.A+1=5, ∙∙∙A=4.

(2)(多选)(2020・威海模拟)等差数列｛斯｝的前〃项和记为S”若0>O, Sιo=S2o,则()

A.J<0

B.6f∣6<0

C.5M≤5∣5

D.当且仅当又232时,S ll<0

答案ABC

解析设等差数列｛斯｝的公差为d,由S∣0=S20,得100+吟Zz=20m+生/d,化简得

29 29 1

。1 = —7。因为41>O,所以d

29 1

所以4∣6<0,故B 正确；因为05=m + 14d=-»~d+14d=—∕d>O, ^i6<0,所以S15 最大，即S,WS∣5,故C正确；S〃=询+-k5- d= \ 0 d,若S“<0,又d<0,则心30,故当且仅当

H≥31时，S〃<0,故D错误.

考点二等差数列、等比数列的性质

【核心提炼】

1.通项性质：若m+n=p+q=2k(m1 % p, q,⅛∈N+),则对于等差数列，有a m+a n=a p

+a

q =2a

kf

对于等比数列有a nt an=a∣t a q=ai.

2.前〃项和的性质：

(1)对于等差数列有S〃，S2w-‰, S3,“一S2〃”…成等差数列；对于等比数列有s〃，s2,,-‰, S3〃，一S2w…成等比数列(9=-1且〃7为偶数情况除外).

(2)对于等差数列，有S2〃-I =(2〃- 1)。〃.

例2 (1)己知正项等差数列｛斯｝的前〃项和为SG∈N)若的+s—温=()，则S∣ι的值为() A. 11 B. 12 C. 20 D. 22

答案D

解析结合等差数列的性质，可得的+。7=2俏=成，

又该数列为正项数列，可得〃6 = 2,

所以由Sln+1 = (2〃+ 1 )斯+19

可得Su=S2χ5+ι= 11〃6=22.

2

(2)已知函数外)=■^口α∈R),若等比数列｛如｝满足〃阕2 020=l,则他］)+4〃2)+m3)+…+

1I人

.«42 020)等于()

A. 2 020

B. 1 010

C. 2

D.∣

答案A

解析V<7∣d r2 020= 1，

2 2

Λ^0+^2020^I⅛+7+⅛

工+3=3+也=2

1+山1 1 ι+H 1 +«?’

1+-

cι↑

・・・{〃〃}为等比数列，

则。1〃2 020 =。2。2 019=…=。1 010。1 011 = 1，

・；/(〃2)+y(〃2 0l9)= 2,…，fiβ∖Olθ)+Λ^l 011) = 2,

即八0)十4〃2)+/(〃3)+-・+./(。2 020)= 2' 1 010=2 020.

规律方法等差、等比数列的性质问题的求解策略

(1)抓关系，抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手，选择恰当的性质进行求解.

(2)用性质，数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题.

跟踪演练2 (1)(2020•全国I )设｛〃〃｝是等比数列,且α1+α2+s=L α2+s+α4=2,则恁+

s + 〃8等于( )

A. 12

B. 24

C. 30

D. 32

答案D

解析设等比数列｛〃〃｝的公比为小

r11∣02+α3+α4 2

则片石EΓT=2,

所以恁+田+恁=⑷+。2 +。3＞炉=1 X 25 = 32.

(2)已知正项等比数列｛知｝的前〃项和为S“，且Sιo=lO, S30=知0,则S40等于( )

A. -51()

B. 400

C. 400 或一510

D. 30 或40

答案B

解析,・•正项等比数列｛如｝的前〃项和为S〃，

∙*∙S∣o, S20—S10, S30—S20, S40—S30也成等比数列，

Λ1O×(13O-S2O)=(52O-1O)2,

解得S2o=4O 或S2O=-3O(⅜),

故S40—5⅛=270, .*. So=400.

考点三等差数列、等比数列的探索与证明

【核心提炼】

S∏=an1+hn Sn=kcf-k

前〃项和法

(〃，b为常数)

证明数列为等差(比)数列一般使用定义法.

例3 (2019・全国∏)已知数列｛斯｝和｛儿｝满足。ι = l, bi=0,4%+i = 3〃〃一儿+4,4d+ι = 3瓦一。〃

-4.

(1)证明：｛斯+匕〃｝是等比数列，｛斯一儿｝是等差数列；

(2)求｛斯｝和｛儿｝的通项公式.

⑴证明由题设得4(即+1 + b n+\)=2(即+b∏),

即ι+b"+ι =](〃〃+仇).

因为a∖+b∖ = ∖9

所以伍〃+儿｝是首项为1,公比为;的等比数列.

由题设得4(。〃+]—b”+i)=4(〃〃一瓦)+8,

即a n+1-b n+∖=a n-b n+2.

又a∖-b∖=∖,

所以伍〃一E｝是首项为1,公差为2的等差数列.

(2)解由(1)知，a n+b t↑=~p∖, a lt-b,t=2n-1.

所以a fl=^[(a,l÷b n)+(a n—b fl)] =^+n∈ N*),

易错提醒忌=斯-1%+](〃22, "∈N*)是｛斯｝为等比数列的必要不充分条件，也就是判断一个数列是等比数列时，要注意各项不为().

跟踪演练3已知数列｛斯｝满足= 1, ] = 2(〃+1 )α“.设bn=~^.

(1)求6|,岳，by,

(2)判断数列｛5｝是不是等比数列，并说明理由；

(3)求｛〃“｝的通项公式.

解(1)由条件可得斯*=g⅛小

将〃=1代入得，a2=40，而α∣ = l,所以。2=4.

将〃=2代入得，〃3 = 3〃2,所以〃3=12.

从而仇=1,力2 = 2,力3=4.

(2)｛儿｝是首项为1,公比为2的等比数列.理由如下：

由条件可得T=等，即儿+产2而

/?+1 n

又历=1,所以｛儿｝是首项为1,公比为2的等比数列.

（3）由（2）可得个=2门,所以

专题强化练

一、单项选择题

1.在等比数列｛〃〃｝中，若〃3 = 2, “7 = 8,则恁等于（）

A. 4

B. -4

C. ÷4

D. 5

答案A

解析 ,・,数列｛。〃｝为等比数列，且的=2, 47=8,

.∙.αg=43∙47=2X8=16,则。5=±4,

•・•等比数列奇数项的符号相同，・・・的=4.

2. （2020・全国II）记S“为等比数列｛〃〃｝的前〃项和.若〃5—〃3= 12,拆一“4=24,则=等于（）A. 2〃一1 B. 2—2厂〃

C. 2—2〃

答案B

解析方法一设等比数列｛〃〃｝的公比为外

恁一。4 24 c

r1ll

则L=ΓU∙

由a5-a3=a∖cf-a↑q2=12a∖= 12 得a↑ = ∖.

所以如=aq〃 |=2〃】，S”=驾三四=2〃一1,

所以

方法二设等比数列｛如｝的公比为外

内/一〃3= 12, ①

。4 /一〃4 = 24,②

将q=2代入①，解得〃3=4.

所以的=3=1，下同方法一.

3.已知等差数列｛如｝和等比数列｛小｝的各项都是正数，且0=∕η, Οu=bu.那么一定有（）

A. ≤⅛

B.I%

C. a ∖2^b ∖2

D. a ∖2^b ∖2

答案B

解析 因为等差数列｛%｝和等比数列｛为｝的各项都是正数，且m =仇，an=bn,所以4]+。”

=

b\ + b ∖∖ = 2。6,

当且仅当从二"1时，取等号，此时数列｛儿｝的公比为1.

4 .在数列｛斯｝中，s=2, 吊=*+ln(l+J,则斯等于() B. 2^+(/?— l)ln n D. 1 +/?+??ln n

答案C

解析 由题意得言苦■一年=ln(〃+l) —In n, 〃分别用1,2,3,…，〃一1(〃22)取代， 累加得仅一半=In /一In 1,即亭=2+ln 及， 即 a,l =2n+n ∖n n(n≥2),

又。1 = 2符合上式，故a π=2n+nln n.

5.已知数列｛〃“｝的前〃项和为S” 0 = 1,念=2,且对于任意心1, "∈N*,满足S,+1+S,1 = 2(5,,+ 1),则(

)

A. 。9=17

B. so=19

C. S9=8l

D. Sιo=91

答案D

解析,・•对于任意〃>1, "∈N*,满足S 〃+i+Si=2(S 〃+l),

.∙.S"+L S 〃=S 〃一S 〃一 ]+2,

∙*∙ a,l +1-a n =2,

・,・数列伍〃｝在〃>1, 时是等差数列，公差为2, 又 41 = 1,俏=2,

斯=2+(〃-2)X2 = 2〃一2(〃>l, "∈N*),

8×7

9×8

.∙.Q9=2X9—2=16,mo=2XlO —2=18,S9=1+8X2+-^-X2=73,S ∣O =1+9X2+-^~X2 =91.故选D.

6.侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个

正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上，设外围第1个正

A. 2+n ∖n n C. 2n+n ∖n n

方形的边长是〃7,侏罗纪蜘蛛网的长度(蜘蛛网中正方形的周长之和)为S〃，贝∣J()

解析 由题意可得，外围第2个正方形的边长为

外围第〃个正方形的边长为停)"「〃?. 所以蜘蛛网的长度

5.1 -------------------------- =4m 1+坐 1-净 1 =4/7? X ------- ∣^<4∕n × - 尸

出 於

1

3

1

3

=3(3+#)也故选B.

二、多项选择题

7. (2020・厦门模拟)记S “为等差数列｛斯｝的前〃项和，若0 + 345=8,则以下结论一定正确

的是()

A.。4=()

B.1的最大值为S3

C. Sι=Sβ

D. ∖a3∖<∖ci5∖

答案AC

解析 设等差数列｛%｝的公差为乩 则0+3(0+4d) = 7α∣+21d,解得卬二一3乩 则斯=卬

+ (〃- l)d=(〃-4)d,所以 α4=O,故 A 正确；因为 S6—S1 =544=0,所以 Sι=S6,故 C 正确；

由于d 的取值情况不清楚，故S3可能为最大值也可能为最小值，故B 不正确；因为s+的

=2%=0,所以。3=—。5,即|。3|=依|,故D 错误.

8.已知等比数列｛斯｝的各项均为正数，公比为4,且αι>l, aβ+a7>a6aι+∖>2f 记｛〃〃｝的前〃

项积为T nf 则下列选项中正确的是()

A. A 无限大 C. S w =3(3+√5)m

答案B

B. S,,<3(3+√5> D. D 可以取1取加

外围第3个正方形的边长为

A∙ ()

B. 〃6>1

C. T 12>l

D. T13>1

答案ABC 解析 由于等比数列｛斯｝的各项均为正数，公比为q,且a↑>∖, aβ+aι>a6aι+∖>2,所以(疑 —1)(Λ7-1)<0,由题意得。6>1,。7<1,所以 O2,所以俏。7>1, 7∣2=α∣∙3∙∙∙∙αιι α∣2=(W7)6>l, T ∣3=α∣3

三、填空题

9. (2020•江苏)设｛〃”｝是公差为d 的等差数列,｛仇｝是公比为夕的等比数列.已知数歹1」｛。〃+九｝ 的前n 项和S 〃=层一" + 2〃一 1("∈N"),则d+q 的值是 ________ .

答案4

解析由题意知q≠l,

所以 S,t =(a ∖+a2-∖ - ∖~a n )+(b ∖+bι-∖ ∖-b,l )

=n 2-n+2n -l 9

"=1 2 1,

d 1 小亍一1,

1T⅜"=2",

所以d+g=4.

10. (2020•北京市顺义区质检)设S,为公比q≠l 的等比数列｛〃“｝的前〃项和，且3α∣, 26，。3

设等比数列的通项公式一，又因为30,2他，S 成等差数列，所以2X2s=30 0(1—34)1-3

= na↑^ n(∏ -1) d+ bid) i —q

b ∖

解得 d=2, q=2, ι-q

=一1,

成等差数列，则q=

's 2~

答案 3 10

解析 +。3, 即 4αq=34ι+αq2,解得 ^=3 或1(舍), S4 1-3 l-34 $2 0(1—32) 1-32

= 10. 2

11.(2020・潍坊模拟)九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏.在某种玩法中，用Z

表示解下“("W9, ∕7∈N*)个圆环所需移动的最少次数，｛〃〃｝满足= 1 ,且a n =

2〃“-] —1（〃为偶

则解下5个圆环需最少移动次.

数）,

2〃〃一1+2（〃为奇数）,

答案16

解析因为〃5 = 2〃4+2=2(2〃3—D+2=4s,

所以45=4s=4(242+2) = 8〃2 + 8=8(2α∣-1)+8= 16d fι = 16,

所以解下5个圆环需最少移动的次数为16.

3 I

12.已知等比数列｛斯｝的首项为公比为一点前〃项和为S”且对任意的〃∈N*,都有AW2工一恒成立，则B-A的最小值为

答案f

3 1

解析,・,等比数列｛斯｝的首项为方公比为一;，

令/ = (一3",则一品后/S n=i-t f

I ] 7

∙'∙2S J-3的最小值为q最大值为工，

)〃o 3

又A≤2S z-⅛β对任意"∈N*恒成立，

3〃

l 7 1 13

∙∙∙3-A的最小值为(一《=*.

3 o o

四、解答题

13. (2020・聊城模拟)在①〃5=①+α，②S3=87,③。9一00=6+岳这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.

设等差数列｛斯｝的前九项和为S〃，数列｛儿｝的前〃项和为〃，, ai，若对于任意

〃EN*都有。=2。〃- 1,且SWSM攵为常数)，求正整数「的值.

解由，=2瓦一1, "∈N*得，

当n=∖时，1” = 1;

当〃22 时，T,l-l=2b n-l-]f

从而儿=2儿一2仇即力〃=2/?〃-i,

由此可知，数列｛儿｝是首项为1,公比为2的等比数列，

故b tl=2n-∖

①当。5 =① +05 时，0=32,。5 = 20,

设数列｛斯｝的公差为d9则的=0+44

即20=32+4d,解得d=-3,

所以。〃=32 —3(〃- 1)=35 —3〃，

因为当“W11时，%>0,当/?>11时，a fl<0,

所以当〃=11时，S”取得最大值.

因此，正整数人的值为11.

②当S3 = 87 时，0 = 32,3s = 87,

设数列｛斯｝的公差为d,则3(32+4) = 87,

解得d=-3,

所以。〃=32 —3(〃- 1)=35 —3〃，

因为当〃W11时，a rt>0,当心11时，a n<0,

所以当〃=11时，，取得最大值，

因此，正整数人的值为11.

③当。9—。10="+历时，的=32,。9—Qιo=3,

设数列｛斯｝的公差为d,则一d=3,解得d=-3,

所以。”=32 —3(〃- 1)=35 —3〃，

因为当〃W11时，a rt>0,当心11时，a n<0,

所以当〃=11时，，取得最大值，

因此，正整数人的值为11.

14.已知等比数列｛斯｝的公比4>1，0=2,且a”他，。3—8成等差数列，数列｛斯儿｝的前〃项和为1 --- 力------ .

(1)分别求出数列｛为｝和｛仇｝的通项公式;

(2)设数列的前〃项和为S”任意〃∈N", 恒成立，求实数机的最小值.

解(1)因为0=2,且0,。2,4一8成等差数列，

所以242 = 4|+。3 -8,

即2αq=αι+αq2-8,所以前一%一3=0,

所以4=3或夕=-1,又q>1,所以夕=3,

所以④=23"-iQ∈N*).

「1 . 1(2〃- 1)∙3"+1

因为a∖b∖+a2b2-∖∖-a n b n= ------- 2 ------- ，

(2〃—3)∙3" ∣ + 1

所以a∖b∖+aιbzΛ h^-ι‰-ι- ----------- F----------- ("22), 两式相减，得如儿=2〃・3"一】(〃22),

因为上∣=2∙3” 1,所以分〃=〃(〃22),

当〃=1时，由〃自=2及αι=2,得加=1(符合上式),

所以儿="5∈N*),

(2)因为数列｛如｝是首项为2,公比为3的等比数列，所以数列｛5｝是首项为看公比为;的等比数列，

所以S尸邛耳时根

1^3

因为任意〃£N*, S zιW∕n恒成立,

所以〃?2点即实数〃?的最小值为*

2020年高考数学(理)总复习：等差数列与等比数列(解析版)

2020年高考数学（理）总复习：等差数列与等比数列 题型一 等差、等比数列的基本运算 【题型要点】 方程思想在等差(比)数列的基本运算中的运用 等差(比)数列的通项公式、求和公式中一共包含a 1、d (或q )、n 、a n 与S n 这五个量，如果已知其中的三个，就可以求其余的两个．其中a 1和d (或q )是两个基本量，所以等差数列与等比数列的基本运算问题一般先设出这两个基本量，然后根据通项公式，求和公式构建这两者的方程组，通过解方程组求其值，这也是方程思想在数列问题中的体现． 【例1】等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2a 5＝2a 3，且a 4与2a 7的等差中项为5 4， 则S 5等于( ) A ．29 B ．31 C ．33 D ．36 【解析】 法一：设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，由题意知????? a 1qa 1 q 4 ＝2a 1q 2 a 1 q 3＋2a 1q 6 ＝2×54，解得????? q ＝12a 1＝16 ，所以S 5＝a 1(1－q 5) 1－q ＝31，故选B. 法二：由a 2a 5＝2a 3，得a 4＝2.又a 4＋2a 7＝52，所以a 7＝14，所以q ＝1 2，所以a 1＝16，所 以S 5＝a 2(1－q 5) 1－q ＝31，故选B. 【答案】 B 【例2】．{}a n 是公差不为0的等差数列，满足a 24＋a 25＝a 26＋a 2 7，则该数列的前10项和 S 10等于( ) A ．－10 B ．－5 C ．0 D ．5 【解析】 由题意，得a 24－a 27＝a 26－a 25，即()a 4－a 7()a 4＋a 7＝()a 6－a 5()a 6＋a 5，

人教版高二数学必修五等差数列与等比数列

专题三 等差数列与等比数列 一、等差数列的判定与性质 【知识要点】 1. 等差数列的判定（常用）： (1)定义法：d a a n n =-+1（常数）{}n a ?是等差数列； (2)等差中项法：)(2 2 1*++∈+= N n a a a n n n {}n a ?是等差数列； 2. 等差数列的性质（常用）： 由等差数列{}n a 的通项公式d n a a n )1(1-+=可以推出许多性质,如: (1)),()(* ∈-+=N n m d m n a a m n (2)若,s r q p +=+则,s r q p a a a a +=+特别地,k n k n n a a a +-+=2 【基础训练】 1. 若{}n a 是等差数列，且5,342==a a ，则=6a 。 2. 等差数列{}n a 中,,4 57,4328== a d 则=9a . 3. 等差数列{}n a 中,85,a a 是方程0532 =--x x 的两根,则该数列前12项的和 =12S 。 4. 若 {} n a , {} n b 都是等差数列,且,100,75,252211=+==b a b a 则 =+250250b a 。 5. 已知项数为偶数的等差数列{}n a 中,奇数项的和为24, 偶数项的和为30,公差4 1= d ，那么该数列的项数是 . 6. 已知等差数列{}n a 中,,12321=++a a a ,18654=++a a a 则151413a a a ++= . 【典例精析】 例1．【判定】已知数列{}n a 满足),2(44,41 1≥- ==-n a a a n n 若,2 1 -= n n a b (1)求证: {}n b 是等差数列; (2)求数列{}n a 的通项公式. 例2．【性质】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且24=S ，68=S 。

高考数学：专题三 第一讲 等差数列与等比数列配套限时规范训练

专题三 数列、推理与证明 第一讲 等差数列与等比数列 （推荐时间：50分钟） 一、选择题 1．等比数列{a n }的公比q ＝2，a 1＋a 2＋a 3＝21，则a 3＋a 4＋a 5等于 ( ) A ．42 B ．63 C ．84 D ．168 2．(2012·浙江)设S n 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题错误．．的是 ( ) A ．若d <0，则数列{S n }有最大项 B ．若数列{S n }有最大项，则d <0 C ．若数列{S n }是递增数列，则对任意n ∈N *，均有S n >0 D ．若对任意n ∈N *，均有S n >0，则数列{S n }是递增数列 3．已知等比数列{}a n 中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10 a 7＋a 8 的值为( ) A ．1＋ 2 B ．1－ 2 C ．3＋2 2 D ．3－2 2 4．在函数y ＝f (x )的图象上有点列(x n ，y n )，若数列{x n }是等差数列，数列{y n }是等比数列，则函数y ＝f (x )的解析式可能为 ( ) A ．f (x )＝2x ＋1 B ．f (x )＝4x 2 C ．f (x )＝log 3x D ．f (x )＝??? 3 4x 5．首项为－24的等差数列{a n }从第10项开始为正数，则公差d 的取值范围是 ( ) A.83≤d <3 B.83

2020年高考数学二轮复习第一篇专题四数列第1讲等差数列与等比数列教案

数 列 一、等差数列、等比数列的基本运算 1.等差数列、等比数列的基本公式(n ∈N *) 等差数列的通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ； 等比数列的通项公式：a n ＝a 1·q n － 1. 等差数列的求和公式：S n ＝ n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1) 2 d ； 等比数列的求和公式：S n ＝????? a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1， na 1，q ＝1. 2.等差数列、等比数列问题的求解策略 (1)抓住基本量，首项a 1、公差d 或公比q ； (2)熟悉一些结构特征，如前n 项和为S n ＝an 2＋bn (a ，b 是常数)的形式的数列为等差数列，通项公式为a n ＝p ·q n － 1(p ，q ≠0)的形式的数列为等比数列； (3)由于等比数列的通项公式、前n 项和公式中变量n 在指数位置，所以常用两式相除(即比值的方式)进行相关计算. 例1 (1)等差数列{a n }中，S n 是它的前n 项和，若a 2＋a 3＝10，S 6＝54，则该数列的公差d 为( ) A.2 B.3 C.4 D.6 答案 C 解析 由题意知S 6＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝54， 即a 1＋a 6＝a 2＋a 5＝a 3＋a 4＝18,2d ＝a 2＋a 5－(a 2＋a 3)＝8，所以d ＝4. (2)已知点(n ，a n )在函数f (x )＝2x －1 的图象上(n ∈N *).数列{a n }的前n 项和为S n ，设b n ＝ S n ＋1 64，数列{b n }的前n 项和为T n .则T n 的最小值为________. 答案 －30 解析 ∵点(n ，a n )在函数y ＝2x －1 的图象上， ∴a n ＝2n － 1，∴{a n }是首项为a 1＝1，公比q ＝2的等比数列， ∴S n ＝1·(1－2n )1－2 ＝2n －1，则b n ＝n 2n －12， ∴{b n }是首项为－10，公差为2的等差数列，∴由b n ≤0，得n ≤6. 即T n 的最小值为T 5＝T 6＝－10×6＋6×5×2 2 ＝－30. 跟踪演练1 (1)已知等差数列{a n }的首项a 1＝2，前n 项和为S n ，若S 8＝S 10，则a 18等于( ) A.－4 B.－2 C.0 D.2

第1讲等差数列与等比数列

第1讲等差数列与等比数列 高考真题体验 1. （2015课标全国I 改编）已知｛a n ｝是公差为1的等差数列，S n 为｛a n ｝的前n 项和，若 & = 4S 4，贝y a 10= _________ . 2. （2015安徽）已知数列｛a n ｝是递增的等比数列，a 1 + 84= 9，a 2a 3 = 8,则数列｛a .｝的前n 项 和等于 __________ . 1 3. （ 15 年新课标2 文科）已知等比数列｛a n ｝满足a 1 蔦，a*4®-1 ）,则 a 2 = 4. （2013江西）某住宅小区计划植树不少于 100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数 是前一天的2倍，则需要的最少天数 n （n€ N *）等于 _______ . 5. 设等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,若S m -1=— 2, S m = 0, S m +1= 3,贝U m= 6. 等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,已知S 10 = 0, %= 25,则nS n 的最小值为__ 考《考向分折 1. 等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现 与函数、不等式的综合问题是高考考查的重点，考查分析问题、解决问题的综合能力 热点一 等差数列、等比数列的运算 1•通项公式：等差数列：a n = a 1 + （n — 1）d;等比数列：a n = a 1 q n —1 2. 求和公式 1 一 ， a1(1 — q n \ a 1 — ag d ;(函数)等比数列：S n = —1—1 q (qM 1). I 一 q I 一 q a m + a n = a p + a q ；在等比数列中 a m a n = a p a q . S n .若a 1=— 11， 34+ 36=— 6，则当S n 取最小值时，n ⑵ 已知等比数列｛a n ｝公比为q,其前n 项和为S n ,若S 3, S 9, S 6成等差数列，则q 3 = 思维升华 在进行等差（比）数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化 成关于a i 和d （q ）的方程组求解，但要注意消元法及整体计算，以减少计算量. 跟踪演练1 （1）（2015浙江）已知｛a n ｝是等差数列，公差d 不为零.若a 2, a 3, £7成等比数列, 且 2a 1 + a 2= 1,贝y a 1 = ________ , d = ________. 瞄准高专 •2.数列求和及数列 等差数列：S n = ^ a1 + a n = na 1 + 3.性质：若m+n = p+ q ，在等差数列中 例1 （1）设等差数列｛a n ｝的前n 项和

专题三 第一讲 等差数列、等比数列

一、选择题 1．已知数列{a n }是公比为q 的等比数列，且a 1，a 3，a 2成等差数列，则公比q 的值为( ) A ．1或－12 B ．1 C ．－12 D ．－2 解析：由数列{a n }是公比为q 的等比数列，且a 1，a 3，a 2成等差数列，得2a 1q 2＝a 1＋a 1q . ∵a 1≠0，∴2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或－12 . 答案：A 2．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6＝( ) A ．5 2 B ．7 C ．6 D ．4 2 解析：(a 1a 2a 3)×(a 7a 8a 9)＝a 65＝50，a 4a 5a 6＝a 35＝5 2. 答案：A 3．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 解析：∵a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝30，a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝15，∴两式相减，可得(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋…＋(a 10－a 9)＝5d ＝15，故d ＝3. 答案：C 4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 解析：设等差数列{a n }的公差为d ， ∵a 4＋a 6＝－6，∴a 5＝－3. ∴d ＝a 5－a 15－1 ＝2.∴a 6＝－1<0，a 7＝1>0， 故当等差数列{a n }的前n 项和S n 取得最小值时，n 等于6. 答案：A 二、填空题

等差数列和等比数列

数列 1. ⑴等差、等比数列： ⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法： ①),2(1为常数d n d a a n n ≥=-- ②211-++=n n n a a a (2≥n ) ③b kn a n +=(k n ,为常数). ⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法： ①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n ②112-+⋅=n n n a a a (2≥n ，011≠-+n n n a a a ) ① i. ac b =，是a 、b 、c 成等比的双非条件，即ac b =a 、b 、c 等比数列. ii. ac b =（ac ＞0）→为a 、b 、c 等比数列的充分不必要. iii. ac b ±=→为a 、b 、c 等比数列的必要不充分. iv. ac b ±=且0 ac →为a 、b 、c 等比数列的充要. 注意：任意两数a 、c 不一定有等比中项，除非有ac ＞0，则等比中项一定有两个. ③n n cq a =(q c ,为非零常数). ④正数列{n a }成等比的充要条件是数列{n x a log }（1 x ）成等比数列. 等差数列 等比数列 定义 d a a n n =-+1 )0(1 ≠=+q q a a n n 递推公式 d a a n n +=-1；md a a n m n +=- q a a n n 1-=；m n m n q a a -= 通项公式 d n a a n )1(1-+= 11-=n n q a a （0,1≠q a ） 中项 2 k n k n a a A +-+= （0,,* k n N k n ∈） ) 0( k n k n k n k n a a a a G +-+-±=（0,,* k n N k n ∈） 前n 项和 )(2 1n n a a n S += d n n na S n 2 ) 1(1-+= () ⎪ ⎩⎪ ⎨⎧≥--=--==)2(111)1(111q q q a a q q a q na S n n n 重要性质 ) , ,,,(* q p n m N q p n m a a a a q p n m +=+∈+=+) ,,,,(*q p n m N q p n m a a a a q p n m +=+∈⋅=⋅

专题3 第1讲 等差数列与等比数列

第1讲等差数列与等比数列 ［考情分析］1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现2数列 求和及数列的综合问题是高考考查的重点. 考点一等差数列、等比数列的基本运算 【核心提炼】 等差数列、等比数列的基本公式5∈N*) (1)等差数列的通项公式：a∏=a∖ + ｛n-∖)d↑ ⑵等比数列的通项公式：a,t=a∖∙q,t~l. z 、，»， - ，，L.,、」n(a∖+a ll)1 /?(/? — 1), (3)寺差数列的求和公式：S J=一~=na∖-∖- 5 (1; 0(I-" ai-a〃q (4)等比数列的求和公式：s ll=↑ 1 一夕一ι-q 例1 (1)《周髀算经》中有一个问题：从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影长的和为37.5尺，芒种的日影长为4.5尺，则冬至的日影长为() A. 15.5 R B. 12.5 R C. 10.5 R D. 95 尺 答案A 解析从冬至起，十二个节气的日影长依次记为。2,。3,…，02,由题意，有。］+。4 + m+3d=12.5, aq=375,根据等差数列的性质，得出=12.5,而32=4.5,设公差为4则ι U + lld=4.5, α∣ = 15.5, 解得, 所以冬至的日影长为15.5尺. l ⑵已知点(小斯)在函数段)=2门的图象上5∈N*).数列｛斯｝的前n项和为Sn,设b n= S +1 log^ ^一，数列｛d｝的前〃项和为7；.则T tt的最小值为. 答案一30 解析 :点(〃,在函数人工)=2A l的图象上， .∙∙m=2'L∣5∈N*), ，｛斯｝是首项为ci］ = ∖,公比q=2的等比数列, 1-2 2,r 则b n= log — =2n-12(n∈N*),

2018高考数学二轮复习专题三数列第1讲等差数列与等比数列课时规范练文

第1讲 等差数列与等比数列 一、选择题 1．(2016·全国卷Ⅰ)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( ) A ．100 B ．99 C ．98 D ．97 解析：由S 9＝9（a 1＋a 9）2＝9×2a 52 ＝9a 5＝27，得a 5＝3， 又a 10＝8，因此公差d ＝ a 10－a 510－5＝1，所以a 100＝a 10＋90d ＝98. 答案：C 2．(2017·淮北二模)5个数依次组成等比数列，且公比为－2，则其中奇数项和与偶数项和的比值为( ) A ．－2120 B ．－2 C ．－2110 D ．－215 解析：由题意，设这5个数分别为a ，－2a ，4a ，－8a ，16a (a ≠0)． 则S 奇S 偶＝a ＋4a ＋16a －2a －8a ＝－2110 . 答案：C 3．(2017·唐山模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝－4，S 6＝6，则S 5＝( ) A ．－1 B ．0 C ．－2 D ．4 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，因为S 4＝－4，S 6＝6， 所以4a 1＋4×32 d ＝－4， 且6a 1＋6×52 d ＝6， 解得a 1＝－4，d ＝2. 则S 5＝5×(－4)＋ 5×42 ×2＝0. 答案：B 4．(2017·湖南三湘名校联明三模)在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学名题叫“宝塔装灯”，内容为“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”(“倍加增”指灯的数量从塔的顶层到底层按公比为2的等比数列递增)根据此诗，可以得出塔的顶层与底层共有( ) A ．3盏灯 B ．192盏灯

等差数列和等比数列

等差数列和等比数列 数列是数学中常见的概念，它是由一系列数字按照一定规律排列而 成的。在数列中，等差数列与等比数列是两类常见的数列形式。本文 将介绍等差数列和等比数列的概念、性质以及求和公式。 一、等差数列 等差数列是指数列中相邻的两个数之差保持恒定的数列。我们用a1、a2、a3……表示等差数列的各项，其中a1是首项，d是公差（相邻两 项的差值）。等差数列的通项公式如下： an = a1 + (n-1) * d 其中，an表示第n项，a1是首项，d是公差。 等差数列的性质很多，这里我们介绍两个重要的性质。 1. 等差数列的前n项和公式： Sn = (n/2) * (a1 + an) 其中，Sn表示等差数列的前n项和，an表示第n项。 2. 等差数列的性质：首项、末项和项数之间的关系 an = a1 + (n-1) * d 通过这个公式，我们可以计算等差数列中任意一项的值。 二、等比数列

等比数列是指数列中相邻的两个数之比保持恒定的数列。我们用a1、a2、a3……表示等比数列的各项，其中a1是首项，r是公比（相邻两项的比值）。等比数列的通项公式如下： an = a1 * r^(n-1) 其中，an表示第n项，a1是首项，r是公比。 等比数列也有一些重要的性质。 1. 等比数列的前n项和公式： Sn = (a1 * (1 - r^n)) / (1 - r) 其中，Sn表示等差数列的前n项和，a1表示首项，r表示公比。 2. 等比数列的性质：首项、末项和项数之间的关系 an = a1 * r^(n-1) 通过这个公式，我们可以计算等比数列中任意一项的值。 综上所述，等差数列和等比数列都是常见的数列形式。了解它们的 概念、性质以及求和公式，将有助于我们在数学问题中的解答和计算。 文末 以上是对等差数列和等比数列的介绍。通过本文我们了解到了等差 数列的概念、性质以及求和公式，以及等比数列的概念、性质以及求 和公式。熟练掌握这些知识，我们可以更好地解决与数列相关的问题。希望本文对你有所帮助！

高考数学二轮复习 专题3 数列 第一讲 等差数列与等比数列 理

高考数学二轮复习 专题3 数列 第一讲 等差数列与 等比数列 理 第一讲 等差数列与等比数列 1．等差数列的定义． 数列{a n }满足a n ＋1－a n ＝d (其中n∈N * ，d 为与n 值无关的常数)⇔{a n }是等差数列． 2．等差数列的通项公式． 若等差数列的首项为a 1，公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N * )． 3．等差中项． 若x ，A ，y 成等差数列，则A ＝ x ＋y 2 ，其中A 为x ，y 的等差中项． 4．等差数列的前n 项和公式． 若等差数列首项为a 1，公差为d ，则其前n 项和S n ＝n （a 1＋a n ） 2 ＝na 1＋ n （n －1）d 2 ． 1．等比数列的定义． 数列{a n }满足a n ＋1a n ＝q (其中a n ≠0，q 是与n 值无关且不为零的常数，n ∈N * )⇔{a n }为等比数列． 2．等比数列的通项公式． 若等比数列的首项为a 1，公比为q ，则a n ＝a 1·q n －1 ＝a m ·q n －m (n ，m ∈N * )． 3．等比中项． 若x ，G ，y 成等比数列，则G 2 ＝xy ，其中G 为x ，y 的等比中项，G 值有两个． 4．等比数列的前n 项和公式．

设等比数列的首项为a 1，公比为q ，则 S n ＝⎩⎪⎨⎪ ⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)． (1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(×) (2)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N * ，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.(√) (3)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．(×) (4)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N * ，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．(×) (5)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2 ＝ab .(×) (6)1＋b ＋b 2 ＋b 3 ＋b 4 ＋b 5 ＝1－b 51－b .(×) 1．在等差数列{a n }中，a 2＝1，a 4＝5，则数列{a n }的前5项和S 5＝(B ) A ．7 B ．15 C ．20 D ．25 解析：2d ＝a 4－a 2＝5－1＝4⇒d ＝2，a 1＝a 2－d ＝1－2＝－1，a 5＝a 2＋3d ＝1＋6＝7，故 S 5＝ （a 1＋a 5）×52＝6×5 2 ＝15. 2. (2015·北京卷)设{a n }是等差数列，下列结论中正确的是(C ) A ．若a 1＋a 2＞0，则a 2＋a 3＞0 B ．若a 1＋a 3＜0，则a 1＋a 2＜0 C ．若0＜a 1＜a 2，则a 2＞a 1a 3 D ．若a 1＜0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)＞0

2022-2021年南方新课堂·高考数学(理科)二轮复习测试：专题三第1讲等差数列与等比数列

专题三 数列 第1讲 等差数列与等比数列 一、选择题 1．(2022·云南昆明一中第六次考前强化)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 5＝8，则S 7＝( ) A ．28 B ．32 C ．56 D ．24 解析：S 7＝7×（a 1＋a 7）2＝7×（a 3＋a 5）2＝28.故选A. 答案：A 2．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若2S 4＝S 5＋S 6，则数列{a n }的公比q 的值为( ) A ．－2或1 B ．－1或2 C ．－2 D ．1 解析：法一：若q ＝1， 则S 4＝4a 1，S 5＝5a 1，S 6＝6a 1， 明显不满足2S 4＝S 5＋S 6，故A 、D 错． 若q ＝－1，则S 4＝S 6＝0，S 5＝a 5≠0， 不满足条件，故B 错，因此选C. 法二：经检验q ＝1不适合， 则由2S 4＝S 5＋S 6， 得2(1－q 4)＝1－q 5＋1－q 6，化简得 q 2＋q －2＝0，解得q ＝1(舍去)，q ＝－2. 答案：C 3．(2022·吉林长春质量检测)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1>0且a 6a 5＝9 11， 则当S n 取最大值时，n 的值为( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 解析：由题意，不妨设a 6＝9t ，a 5＝11t ，则公差d ＝－2t ，其中t >0，因此a 10 ＝t ，a 11＝－t ，即当n ＝10时，S n 取得最大值． 答案：B 4．(2022·安徽六安一中综合训练)在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a m ＋ 1· a m －1＝2a m (m ≥2)，数列{a n }的前n 项积为T n ，若T 2m －1＝512，则m 的值为( )(导 学号 55460115) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 解析：由等比数列的性质可知a m ＋1·a m －1＝a 2m ＝2a m (m ≥2)，∴a m ＝2，即数列{a n }为常数列，a n ＝2， ∴T 2m －1＝22m －1＝512＝29，即2m －1＝9，所以m ＝5. 答案：B 5．(2022·辽宁东北育才学校五模)已知等比数列{a n }的各项都是正数，且3a 1，1 2a 3，2a 2成等差数列，则a 8＋a 9a 6＋a 7 ＝( )(导学号 55460116) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 解析：∴3a 1，1 2a 3，2a 2成等差数列， ∴a 3＝3a 1＋2a 2，

高考数学大二轮复习 层级二 专题三 数列 第1讲 等差数列、等比数列教学案-人教版高三全册数学教学案

第1讲 等差数列、等比数列 [考情考向·高考导航] 1．等差数列、等比数列的判定及基本运算是每年高考的热点，在考查基本运算的同时，也注重考查对函数与方程、等价转化等数学思想的应用． 2．对等差数列、等比数列性质的考查主要是求解数列的等差中项、等比中项、通项公式和前n 项和． [真题体验] 1．(2019·全国Ⅲ卷)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5＝3a 3＋4a 1，则a 3＝( ) A ．16 B ．8 C ．4 D ．2 解析：C [应用等比数列前n 项和公式解题时，要注意公比是否等于1，防止出错．设正 数的等比数列{a n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 1q ＋a 1q 2 ＋a 1q 3 ＝15，a 1q 4＝3a 1q 2 ＋4a 1， 解得⎩⎪⎨ ⎪⎧ a 1＝1， q ＝2， ∴a 3＝a 1q 2 ＝4，故选C.] 2．(2016·某某卷)设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0”的( ) A ．充要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：C [设数列的首项为a 1，则a 2n －1＋a 2n ＝a 1q 2n －2 ＋a 1q 2n －1 ＝a 1q 2n －2 (1＋q )，当q <0，因 为1＋q 的符号不确定，所以无法判断a 2n －1＋a 2n 的符号；反之，若a 2n －1＋a n <0， 即a 1q 2n －2 (1＋q )<0， 即q <－1<0，故“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0”的必要不充分条件．] 3．(2019·全国Ⅰ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 9＝－a 5. (1)若a 3＝4，求{a n }的通项公式； (2)若a 1＞0，求使得S n ≥a n 的n 的取值X 围． 解：(1)设{a n }的公差为d ， 由S 9＝－a 5得a 1＋4d ＝0. 由a 3＝4得a 1＋2d ＝4. 于是a 1＝8，d ＝－2. 因此{a n }的通项公式为a n ＝10－2n . (2)由(1)得a 1＝－4d ，故a n ＝(n －5)d ，

全国通用2020版高考数学二轮复习专题提分教程第二编专题三数列第1讲等差数列与等比数列练习理

第1讲 等差数列与等比数列 「考情研析」 1.从具体内容上，主要考查等差数列、等比数列的基本计算和基本性质及等差、等比数列中项的性质、判定与证明． 2.从高考特点上，难度以中、低档题为主，近几年高考题一般设置一道选择题和一道解答题，分值分别为5分和12分. 核心知识回顾 1.等差数列 (1)通项公式：□ 01a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d . (2)等差中项公式：□ 022a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ∈N *，n ≥2)． (3)前n 项和公式：□ 03S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)d 2. 2．等比数列 (1)等比数列的通项公式：□ 01a n ＝a 1q n －1＝a m q n －m . (2)等比中项公式：□02a 2 n ＝a n －1·a n ＋1(n ∈N *，n ≥2)． (3)等比数列的前n 项和公式： □03S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ na 1(q ＝1)，a 1－a n q 1－q ＝a 1(1－q n ) 1－q (q ≠1). 3．等差数列的性质(n ，m ，l ，k ，p 均为正整数) (1)若m ＋n ＝l ＋k ，则□01a m ＋a n ＝a l ＋a k (反之不一定成立)；特别地，当m ＋n ＝2p 时，有□ 02a m ＋a n ＝2a p . (2)若{a n }，{b n }是等差数列，则{ka n ＋tb n }(k ，t 是非零常数)是□ 03等差数列． (3)等差数列“依次每m 项的和”即S m ，□ 04S 2m －S m ，□05S 3m －S 2m ，…仍是等差数列． (4)等差数列{a n }，当项数为2n 时，S 偶－S 奇＝□ 06nd ，S 奇S 偶＝□07a n a n ＋1 ，项数为2n －1时，S 奇 －S 偶＝□ 08a 中＝□09a n ，S 2n －1＝(2n －1)a n 且S 奇S 偶＝□10n n －1.(其中S 偶表示所有的偶数项之和，S 奇表示所有的奇数项之和) 4．等比数列的性质(n ，m ，l ，k ，p 均为正整数) (1)若m ＋n ＝l ＋k ，则□01a m ·a n ＝a l ·a k (反之不一定成立)；特别地，当m ＋n ＝2p 时，有□ 02a m ·a n ＝a 2p . (2)当n 为偶数时，S 偶S 奇 ＝□03 q (公比)．(其中S 偶表示所有的偶数项之和，S 奇表示所有的奇数项之和) (3)等比数列“依次m 项的和”，即S m ，□ 04S 2m －S m ，□05S 3m －S 2m ，…(S m ≠0)成等比数列．

2023年高考数学二轮复习第一部分专题攻略专题三数列第一讲等差数列与等比数列

专题三 数列 第一讲 等差数列与等比数列——小题备考 常考常用结论 1．等差数列 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ； (2)求和公式：S n ＝ n (a 1+a n ) 2 ＝na 1＋ n (n−1)2 d ； (3)性质： ①若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ； ②a n ＝a m ＋(n －m)d ； ③S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…成等差数列． 2．等比数列 (1)通项公式：a n ＝a 1q n － 1(q ≠0)； (2)求和公式：q ＝1，S n ＝na 1；q ≠1，S n ＝ a 1(1−q n )1−q ＝ a 1−a n q 1−q ； (3)性质： ①若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ； ②a n ＝a m ·q n － m ； ③S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…(S m ≠0)成等比数列． 微专题1 等差数列与等比数列的基本量计算 保分题 1.[2022·河北石家庄二模]等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 2＋a 2 021＝6，则S 2 022＝( ) A ．3 033 B ．4 044 C ．6 066 D ．8 088 2．[2022·辽宁沈阳三模]在等比数列{a n }中，a 2，a 8为方程x 2－4x ＋π＝0的两根，则a 3a 5a 7 的值为( ) A ．π√π B ．－π√π C ．±π√π D ．π3 3．[2022·全国乙卷]已知等比数列{a n }的前3项和为168，a 2－a 5＝42，则a 6＝( ) A ．14 B ．12 C ．6 D ．3

《导学教程》高三数学二轮复习教案-专题三-第1讲-等差数列、等比数列

专题三 数列、推理与证明 第1讲 等差数列、等比数列 自主学习导引 真题感悟 1．(2012·浙江)设公比为q (q ＞0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝________. 解析 利用等比数列的通项公式及前n 项和公式求解． 解法一 S 4＝S 2＋a 3＋a 4＝3a 2＋2＋a 3＋a 4＝3a 4＋2， 将a 3＝a 2q ，a 4＝a 2q 2代入得， 3a 2＋2＋a 2q ＋a 2q 2＝3a 2q 2＋2，化简得2q 2－q －3＝0， 解得q ＝3 2(q ＝－1不合题意，舍去)． 解法二 设等比数列{a n }的首项为a 1，由S 2＝3a 2＋2，得 a 1(1＋q )＝3a 1q ＋2.① 由S 4＝3a 4＋2，得a 1(1＋q )(1＋q 2)＝3a 1q 3＋2.② 由②－①得a 1q 2(1＋q )＝3a 1q (q 2－1)． ∵q ＞0，∴q ＝3 2. 答案 3 2 2．(2012·课标全国卷)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝ A ．7 B ．5 C ．－5 D ．－7 解析 解法一 利用等比数列的通项公式求解． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 7＝a 1q 3＋a 1q 6＝2， a 5a 6＝a 1q 4×a 1q 5＝a 21q 9 ＝－8，

∴⎩⎪⎨⎪⎧ q 3＝－2，a 1＝1或⎩⎨⎧ q 3＝－12， a 1＝－8， ∴a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7. 解法二 利用等比数列的性质求解． 由⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝a 4a 7＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝－2，a 7＝4或⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝4，a 7＝－2. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ q 3＝－2，a 1＝1或⎩⎨⎧ q 3＝－12，a 1＝－8， ∴a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7. 答案 D 考题分析 等差数列与等比数列的基本性质与运算是各地高考考查的热点，突出了通性通法．三种题型都有可能出现，有较容易的低档题，也有与其他知识交汇命题的压轴题． 网络构建 高频考点突破 考点一：等差、等比数列的基本运算 【例1】(2012·盘锦模拟)已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋

2020版高考数学二轮复习第1篇专题3数列第1讲小题考法__等差数列与等比数列学案

第1讲 小题考法——等差数列与等比数列 一、主干知识要记牢 1．等差数列、等比数列 S n ＝n a 1＋a n 2 ＝na 1＋ n n －2 d (1)q ≠1，S n ＝a 11－q n 1－q ＝ a 1－a n q 1－q ； (2)q ＝1，S n ＝na 1 (1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N * )⇔{a n }是等差数列． (2)通项公式法：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数，n ∈N * )⇔{a n }是等差数列． (3)中项公式法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N * )⇔{a n }是等差数列． (4)前n 项和公式法：S n ＝An 2 ＋Bn (A ，B 为常数，n ∈N * )⇔{a n }是等差数列． 3．判断等比数列的常用方法 (1)定义法： a n ＋1a n ＝q (q 是不为0的常数，n ∈N * )⇔{a n }是等比数列． (2)通项公式法：a n ＝cq n (c ，q 均是不为0的常数，n ∈N * )⇔{a n }是等比数列． (3)中项公式法：a 2 n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0，n ∈N * )⇔{a n }是等比数列． 二、二级结论要用好 1．等差数列的重要规律与推论 (1)a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d ；p ＋q ＝m ＋n ⇒a p ＋a q ＝a m ＋a n ． (2)a p ＝q ，a q ＝p (p ≠q )⇒a p ＋q ＝0；S m ＋n ＝S m ＋S n ＋mnd ． (3)连续k 项的和(如S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…)构成的数列是等差数列． (4)若等差数列{a n }的项数为偶数2m ，公差为d ，所有奇数项之和为S 奇，所有偶数项之和为S 偶，则所有项之和S 2m ＝m (a m ＋a m ＋1)，S 偶－S 奇＝md ， S 奇S 偶＝a m a m ＋1 ． (5)若等差数列{a n }的项数为奇数2m －1，所有奇数项之和为S 奇，所有偶数项之和为S 偶 ，则所有项之和S 2m －1＝(2m －1)a m ，S 奇＝ma m ，S 偶＝(m －1)a m ，S 奇－S 偶＝a m ，S 奇S 偶＝m m －1 ． 2．等比数列的重要规律与推论

【成才之路】高考数学二轮复习专题3第1讲等差、等比数列的通项、性质与前n项和素能训练(文、理)

【成才之路】2015届高考数学二轮复习 专题3 第1讲 等差、等比数列的通项、性质与前n 项和素能训练（文、理） 一、选择题 1．(文)(2014·东北三省三校联考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 4＋a 6 ＝12，则S 7 的值是( ) A ．21 B ．24 C ．28 D ．7 [答案] C [解析] ∵a 2＋a 4＋a 6＝3a 4＝12，∴a 4＝4， ∴2a 4＝a 1＋a 7＝8，∴S 7＝ 7 a 1＋a 72＝7×8 2 ＝28. (理)(2013·新课标Ⅰ理，7)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 [答案] C [解析] S m －S m －1＝a m ＝2，S m ＋1－S m ＝a m ＋1＝3， ∴d ＝a m ＋1－a m ＝3－2＝1， S m ＝a 1m ＋m m －1 2·1＝0，① a m ＝a 1＋(m －1)·1＝2， ∴a 1＝3－m .② ②代入①得 3m －m 2＋ m 22－m 2 ＝0， ∴m ＝0(舍去)或m ＝5，故选C. 2．(文)已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 1＝1，S 4S 2＝4，则S 6 S 4的值为( ) A.9 4 B.3 2 C.5 3 D ．4

[答案] A [解析] 由等差数列的性质可知S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等差数列，由S 4 S 2＝4得S 4－S 2S 2 ＝3，则S 6 －S 4＝5S 2， 所以S 4＝4S 2，S 6＝9S 2，S 6S 4＝9 4 . (理)(2014·全国大纲文，8)设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3，S 4＝15，则S 6＝( ) A ．31 B ．32 C ．63 D ．64 [答案] C [解析] 解法1：由条件知：a n >0，且⎩⎪⎨⎪ ⎧ a 1＋a 2＝3，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝15， ∴⎩ ⎪⎨⎪⎧ a 1 1＋q ＝3， a 11＋q ＋q 2＋q 3＝15， ∴q ＝2. ∴a 1＝1，∴S 6＝1－261－2 ＝63. 解法2：由题意知，S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等比数列，即(S 4－S 2)2＝S 2(S 6－S 4)，即122＝3(S 6－15)，∴S 6＝63. 3．(文)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，且4a 3－a 6＝0，则S 6 S 3＝( ) A ．－5 B ．－3 C ．3 D ．5 [答案] D [解析] ∵4a 3－a 6＝0，∴4a 1q 2＝a 1q 5，∵a 1≠0，q ≠0， ∴q 3＝4，∴S 6 S 3＝ a 1 1－q 61－q a 1 1－q 31－q ＝1－q 6 1－q 3 ＝1＋q 3＝5. (理)(2013·新课标Ⅱ理，3)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1 ＝( ) A.13 B ．－13 C.19 D ．－19 [答案] C [解析] ∵S 3＝a 2＋10a 1，∴a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1，a 3＝9a 1＝a 1q 2，∴q 2＝9， 又∵a 5＝9，∴9＝a 3·q 2＝9a 3，∴a 3＝1， 又a 3＝9a 1，故a 1＝1 9 .

第1讲 等差数列与等比数列

第1讲 等差数列与等比数列 高考定位1.等差、等比数列基本运算和性质的考查是高考热点，经常以选择题、填空题的形式出现；2.数列的通项也是高考热点，常在解答题中的第(1)问出现，难度中档以下. 1.(2021·北京卷)已知{a n }和{b n }是两个等差数列，且a k b k (1≤k ≤5)是常值，若a 1＝ 288，a 5＝96，b 1＝192，则b 3的值为( ) A.64 B.100 C.128 D.132 答案 C 解析 由题意可得a 1b 1＝a 5 b 5，则b 5＝64，故b 3＝b 1＋b 52＝192＋642＝128.故选C. 2.(2021·全国甲卷)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若S 2＝4，S 4＝6，则S 6＝( ) A.7 B.8 C.9 D.10 答案 A 解析 法一 因为S 2＝4，S 4＝6，且易知公比q ≠±1，所以由等比数列的前n 项和公式，得 ⎩⎪⎨⎪⎧S 2＝a 1（1－q 2） 1－q ＝a 1（1＋q ）＝4， S 4＝a 1（1－q 4）1－q ＝a 1（1＋q ）（1＋q 2）＝6， 两式相除，

得q 2＝1 2，所以⎩⎨⎧a 1＝4（2－2）， q ＝2 2 或⎩⎨⎧a 1＝4（2＋ 2）， q ＝－2 2， 所以S 6＝a 1（1－q 6） 1－q ＝7.故选A. 法二 易知S 2，S 4－S 2，S 6－S 4构成等比数列，由等比中项得S 2(S 6－S 4)＝(S 4－S 2)2，即4(S 6－6)＝22，所以S 6＝7.故选A. 3.(2020·全国Ⅱ卷)数列{a n }中，a 1＝2，a m ＋n ＝a m a n .若a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝215－25，则k ＝( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案 C 解析 ∵a 1＝2，a m ＋n ＝a m a n ， 令m ＝1，则a n ＋1＝a 1a n ＝2a n ， ∴{a n }是以a 1＝2为首项，2为公比的等比数列， ∴a n ＝2×2n －1＝2n . 又∵a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝215－25， ∴2k ＋1（1－210）1－2＝215－25，即2k ＋1(210－1)＝25(210－1)， ∴2k ＋1＝25，∴k ＋1＝5，∴k ＝4. 4.(2021·全国乙卷)设S n 为数列{a n }的前n 项和，b n 为数列{S n }的前n 项积，已知2 S n ＋1 b n ＝2. (1)证明：数列{b n }是等差数列； (2)求{a n }的通项公式. (1)证明 因为b n 是数列{S n }的前n 项积， 所以n ≥2时，S n ＝b n b n －1 ， 代入2S n ＋1 b n ＝2可得，2b n －1b n ＋1b n ＝2， 整理可得2b n －1＋1＝2b n ，即b n －b n －1＝1 2(n ≥2).