一、判断题（正确在括号里打V,错误打X ）
1. 把三阶行列式的第一列减去第二列，同时把第二列减去第一列，这样得到的新行列式与原行列式相等，亦即
a
1 b l c l
a
l_b l
c
l a
2 b 7 c 2 — a 「—b 「 b
3 —a 「 c
7
a
3 b 3 c 3
^-b 3 ^-a 3 c 啪
2. 若一个行列式等于零，则它必有一行（列）元素全为零，或有两行（列）完全相同，或有两行（列）元素成 比例.
（ ）
3. 若行列式D 中每个元素都大于零，则
D > 0.
（
）
4. 设A , B , C 都是n 阶矩阵，且 ABC =E ，则CAB = E . （ ）
5. 若矩阵A 的秩为r ，贝U A 的r — 1阶子式不会全为零. （ ）
6. 若矩阵A 与矩阵B 等价，则矩阵的秩
R （A ） = R （B ）.
（
）
7. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合 .
（ ）
8. 若向量组 a , a ,…，a 线性相关，则 a —定可由a 2,..., a 线性表示. （ ）
9. 向量组 a , a ,..., a s 中，若 a 与a s 对应分量成比例，则向量组
o ）, a ,..., a 线性相关.（
） 10.
a , a ,..., a （sH3）线性无关的充要条件是：该向量组中任意两个向量都线性无关
.（ ） 11. 当齐次线性方程组的方程个数少于未知量个数时，此齐次线性方程一定有非零解 .（
）
12. 齐次线性方程组一定有解 .
（ ）
1 1
13. 若■为可逆矩阵 A 的特征值，则?为A
的特征值.
（ ） 14. 方程组（，E —A ）x =0的解向量都是矩阵 A 的属于特征值'的特征向量. （ ）
15. n 阶方阵A 有n 个不同特征值是
A 可以相似于对角矩阵的充分条件
.
（
）
16. 若矩阵A 与矩阵B 相似，则尺A ）二尺B ）.
（ ）
、单项选择题
6
2的元素a 21的代数余子式 A 21的值为（
7
1.设行列式
a
11
a 21
a
12
=m, a 22
a
13
a 23
a
12
a 21 =n,则行列式
a
11
a 21
a 22 *a 23
3 8 2.行列式5 1 1 0 3.四阶行列式
-1
中x 的一次项系数为
-1 -1
-1
a b 0 … 0 0
5. n 阶行列式Dn =
a
b … 0 0
的值为（
0 0 … a
b
b
0 …
0 a
■q 2
1
6. 已知A =0
1 电0
8.设A 是m n 矩阵，B 是n m 矩阵（m = n ），则下列运算结果是
2 2 2
9. A 和B 均为n 阶方阵，且（A+B ）= A 2 +2AB+B 2，则必有（） 10.
设A 、B 均为n 阶方阵，满足等式 AB = O ,则必有
（
）
14.
设A 、B 均为n 阶方阵，下面结论正确的
是
（ ）
（A ）若A 、B 均可逆，则 A + B 可逆
（C ）若A+B 均可逆，则 A — B 可逆
（B ）若A 、B 均可逆，则AB 可逆 （D ）若A +B 可逆，则A 、B 均可逆
15. 下列结论正确的是 （ ）
（A ） 降秩矩阵经过若干次初等变换可以化为满秩矩阵 （B ） 满秩矩阵经过若干次初等变换可以化为降秩矩阵
an
a 12 .
a 1n
a n1
a n2 .
a nn
4.设 D1 =
a
21
a
22
. a
2n ,D
2 =
a
n
丄1
a
n 42
..a
n 丄n
,则D 2
与D 1
的关系是
a
n1 a
n2
.
a
nn
a
11 a
12
.
a
1n
(
■0 1 0x
G 0 0"
R =
1 0 0
P
2 =
0 10
e 0 b
J 0 b
则有（
13.设A 、B 为n 阶对称阵且 则 A * =(
7. 设A 是n 阶方阵且
A = 5，则(5A T
)~* m 阶方阵的是（
AB =AC ，则必有（
an
a 12
、
a 21
a 22
a 23
12.已知方阵A =
a
21 a 22 a 23 B =
a
11
a
12
a
13
?31
a
32
a
33
J
^31 +a
11
a
32 *a
12
a
33 +a
13
丿
以及初等变换矩阵
B 可逆，则下列矩阵中为对称阵的是
11.设A 是方阵，若有矩阵关系式
)
（C）非奇异阵等价于单位阵
（D）奇异阵等价于单位阵
16.设矩阵A的秩为r，则A中（）
(A) 所有r — 1阶子式都不为0 (B)所有r — 1阶子式全为0 (C)
至少有一个r 阶子式不为0 (D)所有r 阶子式都不为0
17. 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，且 ABC = E ，以下式子
(1) BCA = E ， (2) BAC = E ， (3) CAB = E ， ⑷ CBA = E 中，一定成立的是 ( )
(A) (1)⑶
(B)⑵⑶
(C) (1)⑷
(D)⑵⑷
18. 设A 是n 阶方阵，且 A^O (s 为正整数)，则(E-A )」等于(
)
「3
-1 2、 19. 已知矩阵 A= 1
-1 ， A *是A 的伴随矩阵，贝U A *中位于(1, 2)的元素是( )
1-2
1
4
丿
(A) — 6
(B) 6
(C) 2
(D) — 2 20. 已知A 为三阶方阵，R(A ) = 1，贝9 (
)
21. 已知3 4矩阵A 的行向量组线性无关，则矩阵
A T 的秩等于( )
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
22. 设两个向量组 a , a 2,..., a 和3i,俊，…，3s 均线性无关，则 (
)
(A) 存在不全为 0的数
h ' 2 , ...,s 使得
‘1 a +》2 a +.. ■
；a s = 0
和'1 3
'2 3 ?... ? 's 3 二0
(B) 存在不全为 0的数、 ,
'2 ,
...,■ s
使得
(C) 存在不全为 0的数'1 ,
‘2,
...,■ s
使得
(D) 存在不全为 0的数
,'2 , ...,乜和不全为 0的数叫，込，...，讥
使得
‘1 a
+a +.. ‘ ■ 1 ；as =0和叫3 + 巴 3 +...+巴 3 =0
23. 设有4维向量组a , a ,…，a ，贝U ( )
(A) a , a 2,…，a 中至少有两个向量能由其余向量线性表示 (B) a , a ,..., a 线性无关 (C) a ,宓，…，a 的秩为4 (D) 上述说法都不对
24. 设a , a , a 线性无关，则下面向量组一定线性无关的是 ( ) 25. n 维向量组a , a ,..., a (3Ws 兰n)线性无关的充要条件是
(
)
(A) a , a 2,..., a s 中任意两个向量都线性无关
(B) a , a ,..., a s 中存在一个向量不能用其余向量线性表示 (C) a , a ,..., a s 中任一个向量都不能用其余向量线性表示 (D) a ,况2,..., a
26.下列命题中正确的是( )
(A)任意n个n+1维向量线性相关(B)任意n个n+1维向量线性无关
(C)任意n+1个n维向量线性相关(D)任意n+1个n维向量线性无关
+a12x2+...+a1n x n =0
27.已知线性方程组<玄2必+a22x2 +??. +32" =0的系数行列式D =0，则此方程组() ...
Fn1
X
1 +a n2X
2 +...+a nn X n =0
(A) 一定有唯一解(B) 一定有无穷多解(C) 一定无解(D)不能确定是否有解
a〔〔旳+ a〔2 x? +... + a〔n x^ — b1
28.已知非齐次线性方程组丿
a21X1 +a22X2+... +a2nXn =4的系数行列式D =0，把D的第一列换成常数项得到的...
fn 1
X
1 *a n2
X
2 + ...*a nn x n =b n
行列式D j =0，则此方程组 ( )
(A) 一定有唯一解(B) —定有无穷多解
(C) 一定无解(D)不能确定是否有解
29.已知A为m n矩阵，齐次方程组Ax=0仅有零解的充要条件是( )
(A) A的列向量线性无关(B) A的列向量线性相关
(C) A的行向量线性无关(D) A的行向量线性相关
30.已知A为m n矩阵，且方程组Ax =b有唯一解，则必有 ( )
31.已知n阶方阵A不可逆，则必有( )
(A) R(A) ::: n (B)R(A) -1 (C) A =0 (D)方程组Ax =0 只有零解
32.n元非齐次线性方程组Ax 的增广矩阵的秩为n+1 ,则此方程组( )
(A)有唯一解(B)有无穷多解(C)无解(D)不能确定其解的数量
33.已知n, n是非齐次线性方程组Ax=b的任意两个解，则下列结论错误的是( )
1
(A) n + n 是Ax =0 的一个解(B) - ( n + n)是Ax = b 的一个解
2
(C) n - n是Ax=0的一个解(D) 2n — n是Ax=b的一个解
34.若％,v2, V3,V4是线性方程组Ax =0的基础解系，则V1 v2 v3 V4是该方程组的( )
(A)解向量(B)基础解系(C)通解 (D) A的行向量
35.若耳是线性方程组Ax =b的解，E是方程Ax=0的解，则以下选项中是方程Ax=b的解的是( )(C为
任意常数)
36.已知mS矩阵A的秩为n-1，a, a是齐次线性方程组Ax = 0的任意两个不同的解，k为任意常数，则方
程组Ax =0的通解为( )
37.n阶方阵A为奇异矩阵的充要条件是( )
(A) A的秩小于n (B) A 7- 0
(C) A的特征值都等于零(D) A的特征值都不等于零
39.已知■!，，2是n阶方阵A的两个不同特征值，对应的特征向量分别为捡，贝9 ( )
(A) &和$线性相关(B) &和$线性无关
(C) $和$正交(D) $和$的内积等于零
40.已知A是一个n( _3)阶方阵，下列叙述中正确的是( )
(A)若存在数，和向量a使得A a ■ a，则a是A的属于特征值■的特征值
(B)若存在数■和非零向量a使得(，E-A)a= 0 ,则，是A的特征值
(C)A的两个不同特征值可以有同一个特征向量
(D)若為，扎，？3是A的三个互不相同的特征值，a, a, a分别是相应的特征向量，则
a i, a2, a有可能线性相关
41.已知是矩阵A的特征方程的三重根，A的属于-0的线性无关的特征向量的个数为k,则必有( )
42.矩阵A与B相似，则下列说法不正确的是( )
(A) R(A) = R(B) (B) A = B (C) A = B (D) A 与B 有相同的特征值
43.n阶方阵A具有n个线性无关的特征向量是A与对角阵相似的( )
(A)充分条件(B)必要条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件
44.n阶方阵A是正交矩阵的充要条件是( )
(A) A相似于单位矩阵 E (B) A的n个列向量都是单位向量
(C) AA丿(D) A的n个列向量是一个正交向量组
45.已知A是正交矩阵，则下列结论错误的是( )
(A) A 2 =1 (B) A 必为 1
(C) A 'y A T(D) A的行例)向量组是单位正交组
46.n阶方阵A是实对称矩阵，则( )
(A) A相似于单位矩阵 E (B) A相似于对角矩阵
T
(C) A = A (D) A的n个列向量是一个正交向量组
47.已知A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵， B =C T AC，贝U ( )
(A) A与B相似(B) A与B不等价
(C) A与B有相同的特征值(D) A与B合同
8.已知矩阵 A , B , C
)s n ，满足AC 二CB ，则A 与B 分别是
阶矩阵.
9.可逆矩阵 A 满足A 2 - A -2 E =0，贝U A ‘
10.已知 a=(1,1,1)T , %2=(x,0, y)T , a=(1,3,2)T ，若 a , a , a 线性相关，则 x ，y 满足关系式
a
11
a
12
a 21 a 22 芒31 a
32
12. 一个非齐次线性方程组的增广矩阵的秩比系数矩阵的秩最多大 13.设A 是3 4矩阵,
R(A ) =3，若n , n 为非齐次线性方程组
Ax =b 的两个不同的解，则该方程的通解
14.已知A 是m n 矩阵,
R( A )二r (：：： n)，则齐次线性方程组 Ax = 0的一个基础解系中含有解的个数为
X 1
X
2
-2 X 3
3
无解，则a = 、填空题
1.已知a 31a 2i a 13a 5k a 44是五阶行列式中的一项且带正号，则
i =
，A j 表示元素a j 对应的代数余子式，则与aA 21 bA ?2 沁对应的三阶行列
式为
列矩阵. -3 1
5
X =0，贝U x =
1 2
-2
B 均为 n 阶方阵，且A 二 (2 A ) B T
=
1
3.已知 0
4.已知 a = o, B =b = 0，则
A
1 AB 」 2
2.已知三阶行列式
5.已知 A 是四阶方阵，且
A =13，则
* 1
3A -4A
6.已知三阶矩阵 A
的三个特征值分别为
1, 2, _3，贝H -4A J
-3A
7.设矩阵A =
a
11 电
a
12 a
13
，,B 是方阵，且AB 有意义，则B 是 a
22 a
23 阶矩阵，AB 是 ______ 行
11.矩阵A =
的行向量组线性
设实二次型f (x 1,x 2,x 3,x 4,x 5)的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形f (z 1,z 2, z 3,z 4, Z 5)
二次型 f (x 1, x 2,x 3) =2x 1x 2 -4X 2X 3 3X 3 的矩阵为
2 2 2
已知二次型f(X 1，X 2，X 3)=2为 3x 2 tx 3
，2x^3是正定的，则t 要满足
四、行列式计算
1.已知A ，B 为三阶方阵, A = 1, B= -2，求行列式(2AB )
2.已知行列式D = 2
-3 6
-9 0 -1 1 1
4 2
-2 0
2 1
-2 2
，求
5A
|^ _A
21
4
A 31 ' A41 .
3.计算n 阶行列式D n ，其中主对角线上的元素都是 2，另外两个角落的元素
其它元素都是 0
.
4.计算n 阶行列式D n
16. 若齐次线性方程组
卜 1X 1 x 2 ? X 3 =0
x 1亠；x 2亠X 3 =0只有零解，则■需要满足 x 1、x 2 亠 X 3 =0 17. 已知矩阵
1
x 可相似对角化，则 5
18. 已知向量
B 的长度依次为2和3，则向量内积[a 3, a - B]=
19. 已知向量
0 , -2
b=
24
3
,c 与a 正交，且 b = + c ，则k =
20.
-1 2、
1
为A =
5
a
3 -b
-1
b 一2」
21. A = 8，且有两个特征值 _1和4,则第三个特征值为
22. 23. 24. 已知二次型f (x, y, z)的矩阵为
2
3 -5
-5，则此二次型 f(x,y,z) =
」
25.
已知X = 已知三阶矩阵A 的行列式
的特征向量，则 a =
五、矩阵计算
六、向量组的线性相关性及计算
2 1 0 ... 0 0
1 2 1 ... 0 0 5.计算n 阶行列式D n =
0 1 2 ... 0 0 s< 9 9 + 9
-
0 0 0 ... 1 2
x 亠a
c
广
1
2 0^
,Z
2
3
-1^
1.设 A = 3
4 0
B = 1—2 4 0丿,
I-1 2
h
X.
*2 2
_2、
z
2 0、 2.已知A = -1 4
2 B = -2
5
a 1
-2>
I 1
-b
且 AX =B X ，求 X .
求(1) AB T ； (2) 4 A
6.
计算行列式 7.
计算行列式 1 1—y
8. 计算行列式 D n
X 2
x 2 3
X n X n
x
i X
2 x
n
+3
3.设 A =
-1
B 均为三阶方阵,
为三阶单位阵，且 AB ^A 2 B ，求B .
■
J
0 1
丿
q
-1 0 0、
2
1 3 4)
0 1 -1 0 C = 0
2 1
3 0 0 1 -1
0 0 2 1 ? 0
1
丿
?
0 0 2
丿
，E 为四阶单位阵，且矩阵 X 满足关系式X (C -B )T
E ，求
5.已知A XA 二 B ，求 X .
1 -1 -
2 2k
3k -3，问:
3」 k 取何值时，有 (1) R( A ) =1 ； (2) R(A )=2 ； (3) R(A ) =3.
4.设 B =
，求向量组 a 1, a , a , a 的秩和一个最大线性无关向量组，并
七、线性方程组的解
2.设
(2
、
/1
广3 \ 4
9
10
1
a — -1， a = -3
a =
—7
.-3
L 1」
L 7」
(X1 -
，求此向量组的秩和一个最大无关组， 并将其余向量用该最大无
(a
#_1/2 '
■-1'2、
3.当a 取何值时，向量组
a1 =
_1/2 ,
a2 =
a a — _1/2
IT 2
丿
r 1/2 丿
.a I J
2
(-1
『4 )
关组线性表示.
规范正交化.
2
-1 (X
2
03
线性相关?
4.将向量组a 1
出线性表达式.
2. 3. 4. ，试判断a 是否为a ，a ，a 的线性组合；若是，则求
求解非齐次线性方程组
求解非齐次线性方程组
当k 满足什么条件时, 4x r 、2X 2 - x 3 =2
3x 1 -x 2 亠 2X 3 =10 .
11x 1 3x 2 =8 x 1 x 2 _3x 3 _x 4 =1
彳3x r _x 2 _3x 3 +4% =4. x 1 5x 2「9x 3 —8x 4 =0
线性方程组
I X 1 X 2 2x 3 = _k
x 1 2x 2 kx 3 =k 2有唯一解，无解，有无穷多解？并在有无穷多解时求 2x 1 x 2 k 2x 3 =0
出通解.
5.当k 满足什么条件时, 线性方程组
| kx 1 (k _1)x 2 x 3 =1
kx 1 kx 2 x^2 有唯一解，无解，有无穷多解？并在有无穷多
2kx 1 2(k —1)x 2 kx 3 =2
解时求岀通解 1.给定向量组
9. 设非齐次线性方程组 Ax =b 的增广矩阵 A ^ A b ，A 经过初等行变换为
1 _1
0 1 1 2、
A T
0 -1
1 3 丨
1，
0 0 丨 k -3』
(2)-取何值时，方程组 Ax =b 有解？并求岀通解.
八、方阵的特征值与特征向量
3.已知三阶方阵 A 的特征值为1、2、-3，求行列式
A 」+3A + 2 E 的值.
'-2 1 P
4.求方阵 A = 0
2 0 的特征值与对应的特征向量
C 4 1 3
」
‘0 -1 P
5.设 A = -1 0
1 ，求可逆矩阵 P ，使得P_AP 为对角矩阵
J 1 0』
'2 0 0 '
'2 0 0 '
1.已知A =
0 0 1
B =
0 y 0
e 1
x 丿
e 0 一1
丿
，若方阵A 与B 相似，求x 、y 的值.
6.已知非齐次线性方程组
X i +X 2 +X 3 +X 4 +冷=2
3x i +2x 2 +x 3 +冷-3x 5 =a
亠
Ax =b 为
，冋：当a 、b 取何值时，方程组 Ax = b 有无
x 2 +2x 3 +2x 4 +6x =3 5x 4X 亠3X 亠 3X -x =b
穷多个解？并求岀该方程组的通解
x i +x 2 +x 3 =0
7.
设方程组」X i +2x 2 +ax 3 =0与方程％ +2x 2 +x 3 =a -1有公共解，求a 的值. x 1 +4x 2 +a 2x 3 =0
8.
设四元非齐次线性方程组 Ax = b 的系数矩阵 A 的秩为3,已知n ，n ，n 是它的三个解向量，
求该方程组的通解
则(1)求对应的齐次线性方程组
Ax = 0的一个基础解系;
2.
0 1 0 e 1 0
0 0
0 0 1
2
丿
的一个特征值为 3，求y 的值.
九、二次型
1.当 t 取何值时，f(X 「X 2，X 3)4x 2 4x 3 2tXi X2 -2x1X3 4x 2X 3 为正定二次型?
2.
求一个正交变换把二次型 f (X i ,X 2,X 3)=2X I X 2 2X 2X 3 2X 3X 1化成标准形.
十、证明题
1. 已知 向量组 a , a ,…，a 线性 无关，而 目=a ,债=a + a ?,..., B r = a + a +.?.+ a ，证明 3,役，…，&线性无关.
2. 设A 、B 都是n 阶对称阵，证明： AB 是对称阵的充要条件是
AB = BA .
3. 已知方阵A 满足A 2 -3 A -1° E =0，证明：A 与A- 4 E 都是可逆矩阵，并求岀它们的逆矩阵 .
4. 设A 、B 为n 阶对称阵，且 B 是可逆矩阵，证明： AB 」 B 」A 是对称阵.
*
*
n _1
5. 设n 阶方阵A 的伴随矩阵为 A ，证明： A = A .
6. 已知向量b 可由向量组a 1, a 2, a 3线性表示且表达式唯一，证明： a 1,a 2, a 3线性无关.
7. 设a , a , a 是n 阶方阵A 的三个特征向量，它们的特征值互不相等，记 3= a + a + a ，证明：
的特征向量.
8. 已知向量组 引，a 2, a 3线性无关，d =2a 1 ? a ?, b^3a 2 a 3,炖=a 1 - 4a 3，证明：向量组 b,, b ?,b 9. 设n 是非齐次线性方程组
Ax 二b 的一个特解， 乩是对应的线性方程组 Ax = 0的一个基础解系，
n = n ■看，n = n 飞都是Ax =b 的解；⑵ n , n , n 线性无关.
1°.已知A 是n 阶方阵，E 是n 阶单位阵， A E 可逆，且f (A ) = (E-A )(E A )4，证明： (1) (E f( A ))( E A ) =2 E ; (2) f(f( A )) =A. 11. 设方阵A 与B 相似，证明：A T 与B T 相似.
12. 已知方阵 A 、B 都是正定阵，证明： A - B 也是正定阵.
13. 设n 阶行列式D n 的元素满足a 0 - -a ji ，i, j =1,2,..., n ，证明：当n 为奇数时D^°. 14. 已知A 为正交阵，k 为实数，证明：若 k A 也是正交阵，则 k -1.
15. 设A 、B 均为n 阶正交矩阵，证明：(1)矩阵AB 是正交阵；(2)矩阵AB 二是正交阵.
：2 —2
6.设 A = —2 1
1°
-2 -2，求正交矩阵 P ,使得P -AP 为对角矩阵
°
f-1 1 0"
7.已知矩阵A =
-A 3 0
J
0 2
?丿
P ,使得P -AP
为对角矩阵
广0 -2 2 *
8.已知矩阵A =
-2 -3 4 的特征值为1、1
2
4 一
3
」
/，求正交矩阵 P ，使得P J AP 为对角阵
向量组
3不是A
3线性无关.
证明：(1)
判断是否存在一个正交矩阵
16.若A是n阶方阵，且AA T二E，| A| =— 1,这里E为单位阵.证明：| A +E | = 0.
工程学院2011年度（线性代数）期末考试试卷样卷 一、填空题（每小题2分，共20分） 1.如果行列式233 32 31 232221 131211 =a a a a a a a a a ，则=---------33 32 31 232221 13 1211222222222a a a a a a a a a 。 2.设2 3 2 6219321862 131-= D ，则=+++42322212A A A A 。 3.设1 ,,4321,0121-=??? ? ??=???? ??=A E ABC C B 则且有= 。 4.设齐次线性方程组??? ?? ??=????? ??????? ??000111111321x x x a a a 的基础解系含有2个解向量，则 =a 。 、B 均为5阶矩阵，2,2 1 == B A ，则=--1A B T 。 6.设T )1,2,1(-=α,设T A αα=，则=6A 。 7.设A 为n 阶可逆矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若λ是矩阵A 的一个特征值，则*A 的一个特征值可表示为 。 8.若31212322 212232x x x tx x x x f -+++=为正定二次型，则t 的范围是 。
9.设向量T T )1,2,2,1(,)2,3,1,2(-=β=α，则α与β的夹角=θ 。 10. 若3阶矩阵A 的特征值分别为1，2，3，则=+E A 。
二、单项选择（每小题2分，共10分） 1.若齐次线性方程组??? ??=λ++=+λ+=++λ0 00321 321321x x x x x x x x x 有非零解,则=λ（ ） A .1或2 B . －1或－2 C .1或－2 D .－1或2. 2.已知4阶矩阵A 的第三列的元素依次为2,2,3,1-，它们的余子式的值分别为 1,1,2,3-，则=A （ ） A .5 B .-5 C .-3 D .3 3.设A 、B 均为n 阶矩阵，满足O AB =，则必有（ ） A .0=+ B A B .））B r A r ((= C .O A =或O B = D .0=A 或0=B 4. 设21β,β是非齐次线性方程组b X A =的两个解向量，则下列向量中仍为该方程组解的是 （ ） A ．21+ββ B ． ()21235 1 ββ+ C ．()21221ββ+ D ．21ββ- 5. 若二次型3231212 3222166255x x x x x x kx x x f -+-++=的秩为2，则=k （ ） A . 1 B .2 C . 3 D . 4 三、计算题 (每题9分，共63分) 1.计算n 阶行列式a b b b a b b b a D n Λ ΛΛΛΛΛΛ=
《线性代数》重点题 一． 单项选择题 1.设A 为3阶方阵，数 = 3，|A | =2，则 | A | =（ ）. A ．54； B ．-54； C ．6； D ．-6. 解. .54227)3(33-=?-=-==A A A λλ 所以填: B. 2、设A 为n 阶方阵，λ为实数，则|λA |=（ ） A 、λ|A |； B 、|λ||A |； C 、λn |A |； D 、|λ|n |A |. 解. |λA |=λn |A |.所以填: C. 3.设矩阵()1,2,12A B ?? ==- ??? 则AB =（ ）. 解. ().24121,221???? ??--=-???? ??=AB 所以填: D. A. 0； B. ()2,2-； C. 22?? ?-??； D. 2142-?? ?-?? . 4、123,,a a a 是3维列向量，矩阵123(,,)A a a a =.若|A |=4，则|-2A |=（ ）. A 、-32； B 、-4； C 、4； D 、32. 解. |-2A |=(-2)3A =-8?4=-32. 所以填: D. 5.以下结论正确的是（ ）. A .一个零向量一定线性无关； B .一个非零向量一定线性相关； C .含有零向量的向量组一定线性相关； D .不含零向量的向量组一定线性无关. 解. A .一个零向量一定线性无关；不对,应该是线性相关. B .一个非零向量一定线性相关；不对,应该是线性无关. C .含有零向量的向量组一定线性相关；对. D .不含零向量的向量组一定线性无关. 不对, 应该是:不能判断. 所以填: C. 6、 1234(1,1,0,0),(0,0,1,1),(1,0,1,0),(1,1,1,1),αααα====设则它的极 大无关组为( ) A 、 12,; αα B 、 123,, ;ααα C 、 124,, ;ααα D 、1234,, ,αααα
线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题 5 分，共 25 分） 1 3 1 1.若0 5 x 0 ，则__________。 1 2 2 x1 x2 x3 0 2．若齐次线性方程组x1 x2 x3 0 只有零解，则应满足。 x1x2x30 3．已知矩阵 A，B，C (c ij )s n，满足 AC CB ，则 A 与 B 分别是阶矩阵。 4．已知矩阵A 为 3 3的矩阵，且| A| 3，则| 2A|。 5．n阶方阵A满足A23A E 0 ，则A1。 二、选择题（每小题 5 分，共 25 分） 6．已知二次型 f x12 x22 5x32 2tx1x2 2x1 x3 4x2 x3,当t取何值时，该二次型为正定？（） A. 4 0 B. 4 4 C. 0 t 4 4 1 t 5 t D. t 2 5 5 5 5 1 4 2 1 2 3 7．已知矩阵A 0 3 4 , B 0 x 6 ,且 A ~ B ，求x的值（） 0 4 3 0 0 5 A.3 B.-2 C.5 D.-5 8 ．设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（） A. A0 B. A 1 0 C.r (A) n D.A 的行向量组线性相关 9 ．过点（ 0， 2， 4）且与两平面x 2z 1和 y 3z 2 的交线平行的直线方程为（） 1
x y 2 z 4 A. 3 1 2 x y 2 z 4 C. 3 1 2 x y 2 z 4 B. 3 2 2 x y 2 z 4 D. 3 2 2 10 3 1 ．已知矩阵 A , 其特征值为（ ） 5 1 A. 1 2, 2 4 B. C. 1 2, 2 4 D. 三、解答题 （每小题 10 分，共 50 分） 1 1 2, 2, 2 2 4 4 1 1 0 0 2 1 3 4 0 2 1 3 0 1 1 0 11.设B , C 0 2 1 且 矩 阵 满足关系式 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 2 T X (C B) E ，求 。 a 1 1 2 2 12. 问 a 取何值时，下列向量组线性相关？ 1 1 1 , 2 a , 3 。 2 1 2 1 a 2 2 x 1 x 2 x 3 3 13. 为何值时，线性方程组 x 1 x 2 x 3 2 有唯一解，无解和有无穷多解？当方 x 1 x 2 x 3 2 程组有无穷多解时求其通解。 1 2 1 3 14.设 1 4 , 2 9 , 3 0 , 4 10 . 求此向量组的秩和一个极大无关 1 1 3 7 0 3 1 7 组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。 15. 证明：若 A 是 n 阶方阵，且 AA A1， 证明 A I 0 。其中 I 为单位矩阵 I ， 2
微 信 公 众 号 ： 学 习 资 料 杂 货 铺 同济大学课程考核试卷（A 卷） 2009—2010学年第一学期 一、填空题（每空3分，共24分） 1、 设1α、2α、3α均为3维列向量，已知矩阵 123(,,)A ααα=, ()123123123927,248B ααααααααα=++++++，3，且1A =，那么B = -12 . 2、 设分块矩阵A O C O B ?? =? ??? , ,A B 均为方阵，则下列命题中正确的个数为4 . (A).若,A B 均可逆, 则C 也可逆. (B).若,A B 均为对称阵, 则C 也为对称阵. (C).若,A B 均为正交阵, 则C 也为正交阵. (D).若,A B 均可对角化, 则C 也可对角化. 3、 设23413 451 45617891 D = ，则D 的第一列上所有元素的代数余子式之和为 0. 4、 设向量组(I):12,,,r αααL 可由向量组(II):12,,,s βββL 线性表示，则 D 成立.(注：此题单选) (A)．当r s <时，向量组（II）必线性相关 (B)．当r s >时，向量组（II）必线性相关 (C)．当r s <时，向量组（I）必线性相关 (D)．当r s >时，向量组（I）必线性相 关 5、 已知方阵A 满足2 23A A O +=, 则() 1 A E ?+= E+2A . 6、 当矩阵A 满足下面条件中的 ABC 时,推理“若AB O =， 则B O =”可成立. （注：此题可多选） (A).A 可逆(B).A 为列满秩（即A 的秩等于A 的列数） (C).A 的列向量组线性无关 (D).A O ≠7、 设矩阵,A B 分别为3维线性空间V 中的线性变换T 在某两组基下的矩阵，已知1,2?为 A 的特征值， B 的所有对角元的和为5， 则矩阵B 的全部特征值为 1,-2,6 . 8、 设n J 是所有元素均为1的n 阶方阵(2n ≥)，则n J 的互不相同的特征值的个数为2 . 二、（10分）已知矩阵200011031A ????=??????，100052021B ????=??????, 112101030C ???? =??????? .
线性代数期末考试试卷 答案合集 文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]
×××大学线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=3231 2221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，， ， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。 ( )
三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2 分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 12-n ③ 12+n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，， ， 21（3 s n ）线性无关的充要条件是（ ）。 ① s ααα，， ， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，， ， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，， ， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα，， ， 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。 ① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关 4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。 ① 若A ，B 均可逆，则B A +可逆 ② 若A ，B 均可逆，则 A B 可逆 ③ 若B A +可逆，则 B A -可逆 ④ 若B A +可逆， 则 A ，B 均可逆 5. 若4321νννν，，，是线性方程组0=X A 的基础解系，则4321νννν+++是0=X A 的（ ） ① 解向量 ② 基础解系 ③ 通解 ④ A 的行向量 四、计算题 ( 每小题9分，共63分) 1. 计算行列式 x a b c d a x b c d a b x c d a b c x d ++++。
×××大学线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1A 。 二、判断正误（正确的在括号填“√”，错误的在括号填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，， ， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ￡ s ￡ n ）线性无关的充要条件是（ ）。 ① s ααα，， ， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，， ， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示
渤海大学20 级 专科 (机电一体化技术专业) 第二学期《线性代数》试卷 题号 一 二 三 四 五 六 总分 得分 一、 填空：（每空2分，共20分） （1） _________3 412=。 （2）_________40 00 03000020 00011 =????? ???? ???- （3） _________4 00 083005 720604 1= （4）_________11211120122431210133=???? ??????-+??????????- （5）若__________ 5032==??? ? ??=A A A T 则 (6)=+-==-=32132127) ,5, 2( ,)1 ,2 ,4( , )2 ,1 ,1(αααααα则有=_______ (7)1 2111-??? ? ??=____________。 （8）若A=???? ??????333222321则A 的列向量组为____________若r(A)=2，则列 向量组的秩为________。 二、选择题： （每题2分，共10分） （1） 设==≠==2 2 2 333 1 1113 3 3 222 111 222222222D ,0c b a c b a c b a k c b a c b a c b a D 则（ ） (a)-2k (b)2k (c)-8k (d)8k （2）n 阶行列式D 的元素ij a 的余子式ij M 和代数余子式ij A 的关系为（ ） ij ij A M a -=)( ij n ij A M b )1()(-= ij ij A M c =)( ij j i ij A M d +-=)1()( （3）E C B A 、、、为同阶矩阵，且E 为单位阵，若E ABC =，下式（ ）总是成立的。 E BCA a =)( E ACB b =)( E CBA c =)( E CAB d =)( （4）), (=κ下列方程组有唯一解。 ?? ?? ?? ?---=--=-=--=++)1)(3()1(32213332321k k x k k x k x x k x x x 2)(a 1)( 4)( 3)( -d c b （5）设A 是n m ?矩阵，0=AX 是非齐次线性方程组B AX =所对应的齐次线性方程组，则下列 结论正确的是（ ） 有唯一解。仅有零解，则若B AX AX a ==0)( 有无穷多解。非零解，则若B AX AX b ==0)( 仅有零解。有无穷多解，则若0)(==AX B AX c 有非零解。有无穷多解，则若0)(==AX B AX d 三、 简单计算（每题8分，共24分） （1）1 3 042 241 -- (2) ???? ? ??? ????????-021012 7011011 得分 阅卷人 得分 阅卷人 得分 阅卷人
线性代数 一. 单项选择题 1。设A 、B 均为n 阶方阵，则下列结论正确的是 . （a)若A 和B 都是对称矩阵，则AB 也是对称矩阵 （b ）若A ≠0且B ≠0,则AB ≠0 (c)若AB 是奇异矩阵，则A 和B 都是奇异矩阵 (d ）若AB 是可逆矩阵,则A 和B 都是可逆矩阵 2. 设A 、B 是两个n 阶可逆方阵，则()1-?? ????'AB 等于（ ） （a ）()1-'A ()1-'B (b ） ()1-'B ()1-'A （c ）() '-1B )(1'-A （d ）() ' -1B ()1-'A 3.n m ?型线性方程组AX=b,当r(A ）=m 时，则方程组 。 （a ） 可能无解 (b)有唯一解 (c)有无穷多解 （d ）有解 4.矩阵A 与对角阵相似的充要条件是 。 (a ）A 可逆 (b)A 有n 个特征值 (c) A 的特征多项式无重根 （d) A 有n 个线性无关特征向量 5。A 为n 阶方阵,若02 =A ，则以下说法正确的是 。 (a ） A 可逆 (b ） A 合同于单位矩阵 (c ） A =0 (d ） 0=AX 有无穷多解 6．设A ,B ，C 都是n 阶矩阵，且满足关系式ABC E =,其中E 是n 阶单位矩阵， 则必有（ ） （A ）ACB E = (B)CBA E = (C ）BAC E = (D ） BCA E = 7．若233 32 31 232221 131211 ==a a a a a a a a a D ，则=------=33 32 3131 2322 212113 1211111434343a a a a a a a a a a a a D ( ） （A ）6- （B ）6 （C ）24 （D ）24- 二、填空题 1.A 为n 阶矩阵，|A ｜=3,则|AA '｜= ，｜ 1 2A A -* -|= . 2．设???? ??????=300120211A ,则A 的伴随矩阵=*A ； 3．设A ＝? ? ?? ??--1112，则1 -A ＝ 。
线性代数期末考试试题含 答案 The final edition was revised on December 14th, 2020.
江西理工大学《线性代数》考题 一、 填空题（每空3分，共15分） 1. 设矩阵??????????=333222 111 c b a c b a c b a A ,??????????=333 222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的，则t 的取值范围__________ 3. A 为3阶方阵，且2 1=A ，则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是___________ 5. 设A 为n 阶方阵，n βββ ,,21为A 的n 个列向量，若方程组0=AX 只有零解，则向量组(n βββ ,,21)的秩为 _____ 二、选择题（每题3分，共15分） 6. 设线性方程组?????=+=+--=-032231 3221ax cx bc bx cx ab ax bx ，则下列结论正确的是（ ） (A)当c b a ,,取任意实数时，方程组均有解 (B)当a ＝0时，方程组无解 (C) 当b ＝0时，方程组无解 (D)当c ＝0时，方程组无解 7. 同为n 阶方阵，则（ ）成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A 8. 设??????????=333231232221 131211 a a a a a a a a a A ，??????????+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,??????????=1000010101P , ???? ??????=1010100012P 则（ ）成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵，则AB 的伴随矩阵=*)(AB （ ） (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ?矩阵，r A r =)(＜n ，那么A 的n 个列向量中（ ）
江西理工大学《线性代数》考题 一、 填空题（每空3分，共15分） 1. 设矩阵??????????=333222 111 c b a c b a c b a A ,??????????=333 222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的，则t 的取值范围__________ 3. A 为3阶方阵，且2 1=A ，则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是___________ 5. 设A 为n 阶方阵，n βββ ,,21为A 的n 个列向量，若方程组0=AX 只有零解，则向量组(n βββ ,,21)的秩为 _____ 二、选择题（每题3分，共15分） 6. 设线性方程组?????=+=+--=-032231 3221ax cx bc bx cx ab ax bx ，则下列结论正确的是（ ） (A)当c b a ,,取任意实数时，方程组均有解 (B)当a ＝0时，方程组无解 (C) 当b ＝0时，方程组无解 (D)当c ＝0时，方程组无解 7. A.B 同为n 阶方阵，则（ ）成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A 8. 设??????????=333231232221 131211 a a a a a a a a a A ，??????????+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,??????????=1000010101P , ???? ??????=1010100012P 则（ ）成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵，则AB 的伴随矩阵=*)(AB （ ） (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ?矩阵，r A r =)(＜n ，那么A 的n 个列向量中（ ） （A ）任意r 个列向量线性无关
线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1 A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ） 。 ① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示
C. 32322,2,a a a a + D. 1321,,a a a a － 6.向量组(I): )3(,,1≥m a a m 线性无关的充分必要条件是 【 】 A.(I)中任意一个向量都不能由其余m-1个向量线性表出 B.(I)中存在一个向量,它不能由其余m-1个向量线性表出 C.(I)中任意两个向量线性无关 D.存在不全为零的常数0,,,111≠++m m m a k a k k k 使 7．设a 为n m ?矩阵，则n 元齐次线性方程组0=Ax 存在非零解的充分必要条件是 【 】 A ．A 的行向量组线性相关 B . A 的列向量组线性相关 C. A 的行向量组线性无关 D. A 的列向量组线性无关 8.设i a 、i b 均为非零常数（i =1，2，3），且齐次线性方程组?? ?=++=++00 332 211332211x b x b x b x a x a x a 的基础解系含2个解向量，则必有 【 】 A. 03221= b b a a B.02121≠ b b a a C. 332211b a b a b a == D. 02 131= b b a a 9.方程组123123 12321 21 3 321 x x x x x x x x x a ++=? ?++=??++=+? 有解的充分必要的条件是 【 】 A. a=-3 B. a=-2 C. a=3 D. a=1 10. 设η1，η2，η3是齐次线性方程组Ax = 0的一个基础解系，则下列向量组中也为该方程组的一个基础解系的是 【 】 A. 可由η1，η2，η3线性表示的向量组 B. 与η1，η2，η3等秩的向量组 C.η1－η2，η2－η3，η3－η1 D. η1，η1-η3，η1-η2-η3 11. 已知非齐次线性方程组的系数行列式为0，则 【 】 A. 方程组有无穷多解 B. 方程组可能无解，也可能有无穷多解 C. 方程组有唯一解或无穷多解 D. 方程组无解 阶方阵A 相似于对角矩阵的充分必要条件是A 有n 个 【 】 A.互不相同的特征值 B.互不相同的特征向量 C.线性无关的特征向量 D.两两正交的特征向量 13. 下列子集能作成向量空间R n 的子空间的是 【 】 A. }0|),,,{(2121=a a a a a n B. }0|),,,{(121∑= =n i i n a a a a C. },,2,1,|),,,{(21n i z a a a a i n =∈ D. }1|),,,{(121∑==n i i n a a a a 14.若2阶方阵A 相似于矩阵? ? ?? ??=3- 20 1B ,E 为2阶单位矩阵,则方阵E –A 必相似于矩阵
枣庄学院线性代数期末考试题样卷 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1 A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ????? ???? ???=01 00 10000001 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ） 。 ① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示
线性代数试题（附答案） 一、填空题（每题2分，共20分） 1.行列式0 005002304324321= 。 2.若齐次线性方程组?? ? ??=++=++=-+00202kz y kx z ky x z y kx 有非零解，且12≠k ,则k 的值为 。 3.若4×4阶矩阵A 的行列式*=A A ,3是A 的伴随矩阵则*A = 。 4.A 为n n ?阶矩阵，且ο=+-E A A 232，则1-A 。 5. 321,,ξξξ和321,,ηηη是3R 的两组基，且 32133212321122,2,23ξξξηξξξηξξξη++=++=++=，若由基321,,ξξξ到基321,,ηηη的基变换公式为(321,,ηηη)=(321,,ξξξ)A ，则A= 6.向量其内积为),1,0,2,4(),5,3,0,1(-=--=βa 。 7.设=?? ?? ? ?????---=??????????)(,111012111,321212113AB tr AB B A 之迹则 。 8.若的特征值分别为则的特征值分别为阶矩阵1,3,2,133--?A A 。 9.二次型x x x x x x f 2 32 22 132123),,(--=的正惯性指数为 。 10.矩阵?? ?? ? ?????1042024λλA 为正定矩阵，则λ的取值范围是 。 二、单项选择（每小题2分，共12分）
1.矩阵()==≠≠???? ? ???????=)(,4,3,2,1,0,0,44342414433323134232221241312111A r i b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a A i i 则其中。 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 2. 齐次线性方程组???=--=++-020 23214321x x x x x x x 的基础解系中含有解向量的个数是（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 3.已知向量组=====k a a k a a 则线性相关,)1,2,0,0(),1,0,2,2(),1,0,,0(),0,1,1,1(4321 （ ） A 、-1 B 、-2 C 、0 D 、1 4. A 、B 则必有且阶矩阵均为,))((,22B A B A B A n -=-+（ ） A 、B=E B 、A=E C 、A=B D 、AB=BA 5.已知=?? ?? ? ?????==k A k a T 则的特征向量是矩阵,211121112)1,,1(（ ） A 、1或2 B 、-1或-2 C 、1或-2 D 、-1或2 6.下列矩阵中与矩阵合同的是??? ? ???? ? ?-50 00210 002 （ ） A 、??????????---200020001 B 、?? ??? ?????-500020003 C 、?? ?? ??????--100010001 D ????? ?????100020002 三、计算题（每小题9分，共63分） 1．计算行列式),2,1,0(00000 022 11 210n i a a c a c a c b b b a i n n n ΛΛ ΛΛΛΛΛΛΛΛ=≠其中
本科生2010——2011学年第 一 学期《线性代数》课程期末考试试卷（B 卷） 草 稿 区 专业： 年级： 学号： 姓名： 成绩： 一 、选择题（本题共 28 分，每小题 4 分） 1．设n 阶方阵A 为实对称矩阵，则下列哪种说法是错误的 ( B ) (A) A 的特征值为实数； (B) A 相似于一个对角阵； (C) A 合同于一个对角阵； (D) A 的所有特征向量两两正交。 2．设n 维列向量组)(,,21n m m <ααα 线性无关，则n 维列向量组m βββ ,,21线性无关的充要条件是 ( D ) (A)向量组m ααα ,,21可由向量组m βββ ,,21线性表示； (B) 向量组m βββ ,,21可由向量组m ααα ,,21线性表示； (C) 矩阵),,(21m ααα 与矩阵),,(21m βββ 等价； (D) 向量组m ααα ,,21与向量组m βββ ,,21等价。 3．设n 阶方阵A 的伴随矩阵为*A ，则 ( C ) (A) *A 为可逆矩阵； (B) 若0||=A ，则0||*=A ； (C) 若2)(*-=n A r ，则2)(=A r ； (D) 若0||≠=d A ，则d A 1||*= 。 4．设A 为n 阶非零方阵，E 为n 阶单位矩阵，30A =则 ( ) (A)()E A -不可逆，()E A +不可逆； (B) ()E A -不可逆，()E A +可逆； (C) ()E A -可逆，()E A +可逆； (D) ()E A -可逆，()E A +不可逆. 第 1页，共 6 页
5．实数二次型T f X AX =为正定二次型的充分必要条件是 ( ) (A) 负惯性指数全为零； (B) ||0A >； (C) 对于任意的0X ≠，都有0f >； (D) 存在n 阶矩阵U ，使得T A U U =. 6．设12,λλ为A 的不同特征值，对应特征向量为12,αα，则112,()A ααα+线性无关的充要条件为 ( ) (A)10λ≠； (B) 20λ≠； (C) 10λ=； (D) 20λ=. 7．设211100121,010112000A B --???? ? ? =--= ? ? ? ?--???? ，则 ( ) (A) A 与B 合同，但不相似；(B) A 与B 相似，但不合同； (C) A 与B 既合同又相似； (D) A 与B 既不合同也不相似. 二 、填空题（本题共 24分，每小题 4 分） 1．二次型2221231231213(,,)22f x x x x x x x x tx x =++++是正定的，则t 的取值范围是 . 2．设01000 01000010 000A ?? ? ? = ? ? ?? ，则3A 的秩3()r A 为 . 3．设三阶矩阵A 的特征值为,2,3λ，若|2|48A =-，则λ= . 4．设向量123(1,2,1,0),(1,1,0,2),(2,1,1,)T T T a ααα=-==，若123,,ααα构成的向量组的秩为2， 则a = . 5．设3阶矩阵123(,,)A ααα=，123123123(,24,39)B ααααααααα=++++++，且已知||1A =，则||B = . 第 2页，共 6 页
大学生校园网—https://www.doczj.com/doc/df11776864.html,线性代数综合测试题 ×××大学线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 131 1.若0 05x，则__________。 122 x 1 x 2 x 3 2．若齐次线性方程组x 1 x 2 x 3 0只有零解，则应满足。 x 1 x 2 x 3 3．已知矩阵A，B，C(c ij)sn，满足ACCB，则A与B分别是阶矩阵。 a 11 a 1 2 4．矩阵A aa的行向量组线性。 2122 a 31 a 3 2 2AE 5．n阶方阵A满足30 A，则 1 A。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1.若行列式D中每个元素都大于零，则D0。（） 2.零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（） 3.向量组a1，a2，，a中，如果a1与a m对应的分量成比例，则向量组a1，a2，，a s线性相关。 m （） 0100 4. 1000 1。（）A，则AA 0001 0010 5.若为可逆矩阵A的特征值，则 1 A的特征值为。() 三、单项选择题(每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1.设A为n阶矩阵，且A2，则 T AA（）。 ① n 2② 2n③2n1④4 1 2.n维向量组1（3sn）线性无关的充要条件是（）。 s ，2，， ① 1，2，中任意两个向量都线性无关 ，
②1，2，，s中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③1，2，，s中任一个向量都不能用其余向量线性表示 共3页第1页
大学生校园网—https://www.doczj.com/doc/df11776864.html,线性代数综合测试题 ④1，2，，s中不含零向量 2.下列命题中正确的是()。 ①任意n个n1维向量线性相关 ②任意n个n1维向量线性无关 ③任意n1个n维向量线性相关 ④任意n1个n维向量线性无关 3.设A，B均为n阶方阵，下面结论正确的是()。 ①若A，B均可逆，则AB可逆②若A，B均可逆，则AB可逆 ③若AB可逆，则AB可逆④若AB可逆，则A，B均可逆 4.若1，，，是线性方程组A0的基础解系，则1234是A0的（） 234 ①解向量②基础解系③通解④A的行向量 四、计算题(每小题9分，共63分) xabcd 6.计算行列式a xbcd abxcd 。abcxd 解· xabcdxabcdbcd axbcdxabcdxbcd abxcdxabcdbxcd abcxdxabcdbcxd 1bcd1bcd 1xbcd0x00 3 (x abcd)(x abcd)(xabcd)x 1bxcd00x0 1bcxd000x 301 7.设ABA2B，且A,求B。 110 014 211522 解.(A2E)BA ( 1 A2E)221，B(A2E) 1A 432 111223
大学线性代数期末考试试 题 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020
a 0 0 一、选择题 线性代数测试 a 1 b 1 c 1 c 1 b 1 + 2c 1 a 1 + 2b 1 + 3c 1 1. 设行列式 D = a 2 b 2 c 2 ，则 D 1 = c 2 b 2 + 2c 2 a 2 + 2b 2 + 3c 2 = （ ） A. - D a 3 b 3 c 3 B. D c 3 C. 2D b 3 + 2c 3 a 3 + 2b 3 + 3c 3 D. - 2D 2. 下列排列是偶排列的是 ． （A ）13524876； （B ）51324867； （C ）38124657； （D ）76154283． 3. 设 A m ?s ， B t ?n ， C s ?t ，则下列矩阵运算有意义的是（ ） A. ACB ; B. ABC ; C. BAC ; D. CBA . 4. 设 A 是n 阶方阵， A 经过有限次矩阵的初等变换后得到矩阵 B ，则有（） A. A = B ； B. A ≠ B ； C. R ( A ) = R (B ) ； D. R ( A ) ≠ R (B ) . 5. 设 A 是 4×5 矩阵， A 的秩等于 3，则齐次线性方程组 Ax = 0 的基础解系中所含解向量的个数为（ ） A. 4 B.5 C.2 D.3 6. 向量组a 1 , a 2 , , a m （ m ≥ 2 ）线性相关，则（ ）． A. a 1 , a 2 , , a m 中每一个向量均可由其余向量线性表示； B. a 1 , a 2 , , a m 中每一个向量均不可由其余向量线性表示； C. a 1 , a 2 , , a m 中至少有一个向量可由其余向量线性表示； D. a 1 , a 2 , , a m 中仅有一个向量可由其余向量线性表示． ? a b + 3 0 ? ? 7. 矩阵 A = a - 1 a 0 ? 为正定矩阵，则 a 满足 ． ? ? ? 1 1 （1） a > 2 ； （B ） a > ； （C ） 2 a < ； （D ）与b 有关不能确定． 2 8. 设 A , B 均为 n 阶方阵，并且 A 与 B 相似，下述说法正确的是 ． （A ） A T 与 B T 相似； （B ） A 与 B 有相同的特征值和相同的特征向量； （C ） A -1 = B -1 ； （D ）存在对角矩阵 D ，使 A 、 B 都与 D 相似． 二、判断题 1、如果n (n > 1) 阶行列式的值等于零，则行列式中必有两行元素对应成比例。 2、设向量组的秩为 r ，则向量组中任意 r 个线性无关的向量都是其极大无关组。 3、对 A 作一次初等行变换相当于在 A 的右边乘以相应的初等矩阵。 4、两个向量α1 ,α2 线性无关的充要条件是α1 ,α2 对应成比例. 5、若 A 是实对称矩阵，则 A 一定可以相似对角化. 三、填空题