第一章 曲线论
§2 向量函数
5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × )('t r
= 0 。
分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t λ)(t e 的形式，其中)(t e
为单位向量函数，)(t λ为
数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e 具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的
长度固定）。
证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r 具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r =)('t λe ，所以 r ×'r
=λ'λ（e ×e ）=0 。
反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e 求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r ×'r =2λ（e ×
'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。当)(t λ= 0时，)(t r
=0 可与任意方向平行；当λ≠0时，
有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)＝2'e ，（因为e 具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e
为常向量。所以，)(t r 具有固定方向。
6．向量函数)(t r
平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。
分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n ，使)(t r ·n
= 0 ，
所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r
的关系。
证 若)(t r 平行于一固定平面π，设n 是平面π的一个单位法向量，则n
为常向量，且)(t r ·n =
0 。两次求微商得'r ·n = 0 ，''r ·n = 0 ，即向量r ，'r ，''r 垂直于同一非零向量n
，因而共面，
即（r 'r ''r
）=0 。
反之, 若（r 'r ''r ）=0，则有r ×'r =0 或r ×'
r ≠0 。若r ×'r =0 ，由上题知)(t r 具有固定方向，自然平行于一固定平面，若r ×'
r
≠
0 ，则存在数量函数)(t λ、)(t μ，使''r
= r λ+μ'r
①
令n =r ×'r ，则n
≠
0 ，
且)(t r ⊥)(t n 。对n =r ×'r
求微商并将①式代入得'n =r ×''r =μ（r ×'r
）=μn ，于是n ×'n =0 ，由上题知n 有固定方向，而)(t r ⊥n ，即)(t r 平行于固定平面。
§3 曲线的概念
1．求圆柱螺线x =t cos ，y =t sin ，z =t 在（1,0,0）的切线和法平面。
解 令t cos =1,t sin =0, t =0得t =0, 'r
(0)={ -t sin ,t cos ,1}|0=t ={0,1,1},曲线在(0,1,1)
的切线为 1
1
1z y x ==- ，法平面为 y + z = 0 。
2．求三次曲线},,{32ct bt at r =
在点0t 的切线和法平面。
解 }3,2,{)('2
000ct bt a t r = ，切线为2
3
0020032ct ct z bt bt y a at x -=-=-， 法平面为 0)(3)(2)(3
02020
00=-+-+-ct z ct bt y bt at x a 。 3. 证明圆柱螺线r ={ a θcos ,a θsin ,θb } (+∞∞- θ)的切线和z 轴作固定角。
证明 'r = {-a θsin ,a θcos ,b },设切线与z 轴夹角为?,则?cos =2
2||||'b a b
e r k r +=
?
为常数，故?为定角（其中k
为z 轴的单位向量）。
4. 求悬链线r ={t
，a t a cosh }（-∞∞ t ）从t =0起计算的弧长。
解 'r
= {1，a t
sinh }，|'r
| =a
t
2
sinh 1+ = a t
cosh ， ｓ＝a t t
a t a dt sinh cosh 0=? 。
９．求曲线2232,3a xz y a x ==在平面3a
y = 与y = 9a 之间的弧长。
解 曲线的向量表示为r ＝}2,3,{2
23x
a a x x ，曲面与两平面3a y = 与y
= 9a 的交点分别为x=a 与x=3a , 'r ＝}2,,1{2222x
a a
x -，｜'r ｜＝44
4441x a a x ++＝22222x
a a x +，所求弧长为
a dx x
a a x s a
a
9)2(22
322=+=?
。 10. 将圆柱螺线r ={a t cos ，a t sin ，b t }化为自然参数表示。
解 'r
= { -a t sin ,a t cos ,b}，s = t b a dt r t 220
|'|+=? ，所以2
2
b
a s t +=
，
代入原方程得 r ={a cos
2
2
b
a s +, a sin
2
2
b
a s +,
2
2
b
a bs +}
11.求用极坐标方程)(θρρ=给出的曲线的弧长表达式。
解 由θθρcos )(=x ，θθρsin )(=y 知'r
={)('θρθcos -θθρsin )(，)('θρθsin +θθρcos )(}，
|'r
| = )(')(22θρθρ+，从0θ到θ的曲线的弧长是s=?
θ
θ0
)(')(22θρθρ+d θ 。
§4 空间曲线
1．求圆柱螺线x =a t cos ，y =a t sin ，z = b t 在任意点的密切平面的方程。
解 'r ={ -a t sin ,a t cos ,b},''r
={-a t cos ,- a t sin ,0 } 所以曲线在任意点的密切平面的方程为
sin cos cos sin sin cos t
a t
a b t a t a bt z t a y t a x ------ = 0 ，即(b t sin )x-(b t cos )y+a z-ab t=0 .
2. 求曲线r = { t t sin ,t t cos ,t t e } 在原点的密切平面、法平面、从切面、切线、主法线、副法线。
解 原点对应t=0 , 'r
(0)={ t sin +t t cos ,t cos - t t sin ,t e +t t e 0}=t ={0,1,1}，
=)0(''r
{2t cos + t t cos ,t cos - t t sin ,2t e +t t e 0}=t ={2,0,2} ，
所以切线方程是
110z
y x == ，法面方程是 y + z = 0 ； 密切平面方程是2
02110z
y x
=0 ，即x+y-z=0 ，
主法线的方程是???=+=-+00z y z y x 即112z
y x =-= ；
从切面方程是2x-y+z=0 ,副法线方程式
1
11-=
=z
y x 。 3．证明圆柱螺线x =a t cos ，y =a t sin ，z = b t 的主法线和z 轴垂直相交。
证 'r ={ -a t sin ,a t cos ,b}, ''r
={-a t cos ,- a t sin ,0 } ，由'r
⊥''r
知''r
为主法线的方向
向量，而''r 0=?k
所以主法线与z 轴垂直；主法线方程是
与z 轴有公共点(o,o,bt)。故圆柱螺线的主法线和z 轴垂直相交。
4.在曲线x = cos αcost ,y = cos αsint , z = tsin α的副法线的正向取单位长，求其端点组成的新曲线的密切平面。
解 'r = {-cos αsint, cos αcost, sin α } , ''r
={ -cos αcost,- cos αsint , 0 }
=??=|'''|'
''r r r r
γ{sin αsint ,- sin αcost , cos α }
新曲线的方程为r ={ cos αcost + sin αsint ，cos αsint- sin αcost ，tsin α + cos α }
对于新曲线'r
={-cos αsint+ sin αcost ，cos αcost+ sin αsint ，sin α }={sin(α-t),
cos(α-t), sin α} , ''r
={ -cos(α-t), sin(α-t),0} ,其密切平面的方程是
即 sin α sin(t-α) x –sin α cos(t-α) y + z – tsin α – cos α = 0 .
5．证明曲线是球面曲线的充要条件是曲线的所有法平面通过一定点。 证 方法一：
?设一曲线为一球面曲线，取球心为坐标原点，则曲线的向径)(t r
具有固定长，所以r ·'r =
0，即曲线每一点的切线与其向径垂直，因此曲线在每一点的法平面通过这点的向径，也就通过其
始点球心。
?
若一曲线的所有法平面通过一定点，以此定点为坐标原点建立坐标系，则r ·'r = 0，)
(t r
具有固定长，对应的曲线是球面曲线。 方法二：
()r r t =是球面曲线?存在定点0r （是球面中心的径矢）和常数R （是球面的半径）使220()r r R -=?02()0r r r '-?= ，即0()0r r r '-?= （﹡）
而过曲线()r r t =上任一点的法平面方程为()0r r ρ'-?= 。可知法平面过球面中心?（﹡）成立。
所以，曲线是球面曲线的充要条件是曲线的所有法平面通过一定点。
6.证明过原点平行于圆柱螺线r
={a t cos ，a t sin ，b t
}的副法线的直线轨迹是锥面
2222)(bz y x a =+.
证 'r ={ -a t sin ,a t cos , }, ''r ={-a t cos ,- a t sin ,0 } ，'r ×''r
=},cos ,sin {a t b t b a ---为副法线的方向向量，过原点平行于副法线的直线的方程是
a
z
t b y t b x =-=cos sin ，消去参数t 得2222)(bz y x a =+。
7．求以下曲面的曲率和挠率
⑴ },sinh ,cosh {at t a t a r =
,
⑵ )0)}(3(,3),3({323
a t t a at t t a r +-=。
解 ⑴},cosh ,sinh {'a t a t a r = ，}0,sinh ,cosh {''t a t a r = ，}0,cosh ,{sinh '''t t a r =
，
}1,cosh ,sinh {'''--=?t t a r r ，所以t a t a t a r r r k 23
23cosh 21)
cosh 2(cosh 2|'||'''|==?=
t
a t a a r r r r r 2
2422cosh 21
cosh 2)'''()''','','(==?=
τ 。
⑵ }1,2,1{3'22t t t a r +-= ，}1,0,1{6'''},,1,{6''-=-=a r t t a r
，
'r ×''r =}1,2,1{182
22+--t t t a ，2
23
22223)
1(31
)
1(2227)1(218|
'||'''|+=++=?=t a t a t a r r r k
2
2224232)1(31
)1(2182618)'''()''','','(+=
+???=?=t a t a a r r r r r τ 。 8．已知曲线}2cos ,sin ,{cos 3
3t t t r = ，⑴求基本向量γβα ,,；⑵曲率和挠率；⑶验证伏雷内
公式。
分析 这里给出的曲线的方程为一般参数，一般地我们可以根据公式去求基本向量和曲率挠率，我们也可以利用定义来求。
解 ⑴ }4,sin 3,cos 3{cos sin }2sin 2,cos sin 3,sin cos 3{'22--=--=t t t t t t t t t r
，
,cos sin 5|)('|t t t r dt
ds ==
（设sintcost>0）
， 则}54,sin 53,cos 53{|'|'--==t t r r α， }0,cos 5
3,sin 53{cos sin 51t t t t ds dt dt d ==?
αα
， }0,cos ,{sin |
|t t ==??
ααβ
，
}5
3
,sin 54,cos 54{--=?=t t βαγ ，
⑵ t t k cos sin 253||==?α ，}0,cos ,sin {cos sin 254
t t t
t --=?γ ，由于?γ 与β 方向相反，所以
t
t cos sin 254
||=
=?γτ ⑶ 显然以上所得 τγβα,,,??
k 满足 βτγβα -==??,k ，而
γτακβ
+-=-=
?
}0,sin ,{cos cos sin 51
t t t
t 也满足伏雷内公式 。
9.证明如果曲线的所有切线都经过一的定点，则此曲线是直线。
证 方法一：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为r ＝)(t r
，则曲线在任意点的切线方程
是)(')(t r t r
λρ=-，由条件切线都过坐标原点，所以)(')(t r t r
λ=，可见r ∥'r ，所以r 具有固定
方向，故r ＝)(t r
是直线。
方法二：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为r ＝)(t r
，则曲线在任意点的切线方程是
)(')(t r t r
λρ=-，由条件切线都过坐标原点，所以)(')(t r t r
λ=，于是'r ＝λ''r ，从而'r ×''r ＝0 ，
所以由曲率的计算公式知曲率k ＝０，所以曲线为直线。
方法二：设定点为0r ，曲线的方程为r ＝()r s ，则曲线在任意点的切线方程是()()r s s ρλα-=，由条件切线都过定点0r ，所以0()()r r s s λα-=，两端求导得:
()()s s αλαλκβ'-=+, 即(1)()0s λαλκβ'++= ，而(),()s s αβ无关，所以10λ'+=，
可知0,()0s λκ≠∴=，因此曲线是直线。
10. 证明如果曲线的所有密切平面都经过一的定点，则此曲线是平面曲线。
证 方法一：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为r ＝)(t r
，则曲线在任意点的密切
平面的方程是0))('')('())((=??-t r t r t r
ρ，由条件0))('')('()(=??-t r t r t r
，即（r 'r ''r ）=0，所
以r 平行于一固定平面，即r ＝)(t r
是平面曲线。
方法二：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为r ＝)(s r
，则曲线在任意点的密切平面方程是0))((=?-γρ
s r ，由条件0)(=?γ
s r ，两边微分并用伏雷内公式得 τ-0)(=?β s r 。若
0)(=?β s r ,又由0)(=?γ s r 可知)(s r ∥)(s r ?= α,所以r ＝)(s r 平行于固定方向，这时r ＝)(s r
表
示直线,结论成立。否则0=τ，从而知曲线是平面曲线。
方法三：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为r ＝)(t r
，则曲线在任意点的密切平面
方程是0))('')('())((=??-t r t r t r
ρ，由条件0))('')('()(=??-t r t r t r
，即（r 'r ''r ）=0，所以r ，'r ，
''r 共面，若r ∥'r ，则r ＝)(t r 是直线，否则可设''',''''''r r r r r r λμλμ=+∴=+，所以','','''r r r 共
面，所以0=τ，从而知曲线是平面曲线。
11. 证明如果一条曲线的所有法平面包含常向量e
，那么曲线是直线或平面曲线。
证 方法一：根据已知0=?e α，若α 是常向量，则k=||?α =0 ，这时曲线是直线。否则在0
=?e
α两边微分得?
α ·e =０，即 k β ·e =０,所以β ·e =０，又因0=?e α，所以γ ∥e
，而γ 为单位向量，
所以可知γ 为常向量，于是0||||==?γτ
，即0=τ，此曲线为平面曲线。
方法二：曲线的方程设为r ＝)(t r ，由条件'r ·e ＝０，两边微分得''r ·e ＝０，'''r ·e
＝０，
所以'r ， ''r ，'''r
共面，所以（'r ''r '''r ）＝０。由挠率的计算公式可知0=τ，故曲线为平面曲
线。当'r ×''r
＝0 时是直线。
方法三：曲线的方程设为r ＝)(t r
，由条件'r ·e ＝０，两边积分得（p 是常数）。因r e p
?=是平面的方程，说明曲线r ＝)(t r
在平面上，即曲线是平面曲线，当'r 有固定方向时为直线。
12．证明曲率为常数的空间曲线的曲率中心的轨迹仍是曲率为常数的曲线。
证明 设曲线（C ）：r ＝)(s r
的曲率k 为常数,其曲率中心的轨迹（C ）的方程为：
)(1)(s k
s r βρ
+= ，（β 为曲线（C ）的主法向量），对于曲线（C ）两边微分得
γτγτααρ
k
k k s =+-+
=)(1
)(' ，
（α ，γ ，τ分别为曲线（C ）的单位切向量，副法向量和挠率），βτγτρ k k 2''-=?，k |||'|τρ= ，23'''k τρρ=? α ，曲线（C ）的曲率为k k k k ==?=-3
3233|||||
'||
'''|ττρρρ 为常数。
13.证明曲线x=1+3t+22t ,y=2-2t+52t ,z=1-2t 为平面曲线，并求出它所在的平面方程 。
证 'r ={3+4t, -２+10t,-2t}， ''r ={4，10，-２}， '''r
＝｛０，0，0｝
曲线的挠率是0)
'''()
''','','(2=?=r r r r r τ，所以曲线为平面曲线。曲线所在平面是曲线在任一点的密切平
面。对于ｔ=０,r =｛１,２,１｝，'r ={3, -２,０}， ''r ={4，10，-２}， '''r
＝｛０，0，
0｝。所以曲线的密切平面，即曲线所在平面是02
10
4
023
1
21=-----z y x ，即2x+3y+19z –27＝０．
14．设在两条曲线Γ、Γ的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的切线平行，证明它们在对应点的主法线以及副法线也互相平行。
证 设曲线Γ：r =)(s r
与Γ：)(s r r =点s 与s 一一对应，
且对应点的切线平行，则)(s α =)(s α ±, 两端对s 求微商得ds s d αα ±=, 即ds
s d s k s k )()(ββ ±= ，(这里k ≠0，若k=||α =0，则β 无定义)，所
以β ∥β
，即主法线平行，那么两曲线的副法线也平行。
15．设在两条曲线Γ、Γ的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的主法线平行，证明它们在对应点的切线作固定角。
证 设α ,α
分别为曲线Γ、Γ的切向量,β ,β 分别为曲线Γ、Γ的主法向量,则由已知
)()(s s ββ
±=．
．．．．① ，而ds s d ds d αααααα ?+?=?)(＝ ds
s d s k k )(βααβ ?+? 将①式代入 0)(=?±?±ds
s d k βααβ 。所以α ·α ＝常数，故量曲线的切线作固定角。
16.若曲线Γ的主法线是曲线Γ的副法线, Γ的 曲率、挠率分别为τκ,。求证k=0λ(2κ+2τ) ,其中0λ为常数。
证 设Γ的向量表示为r =)(s r
，则Γ可表示为ρ =)(s r +)(s λ)(s β ， Γ的切向量'ρ =α +λ β +λ
（－k α +τγ
）与β 垂直，即'ρ ·β ＝λ ＝０，所以λ为常数，设为0λ，则'ρ ＝（１－0λk ）α +0λτγ 。
再求微商有''ρ ＝－0λk α
＋（１－0λk ）k β ＋0λτ γ －0λ2
τβ ，''ρ ·β ＝（１－0λk ）k －0λ2τ＝
０，所以有k=0λ(2κ+2τ)。
17．曲线r ={a(t-sint),a(1-cost),4acos
2
t
}在那点的曲率半径最大。 解 'r = a{1-cost,sint,-2sin 2
t } , ''r = a{sint,cost,-cos 2
t }, |2
sin |22|'|t r = ,
'r ×''r =}1,2
cos ,2
{sin 2
sin 2}2
cos 4,2
cos 2
sin 2,2
sin 2{22232t
t t a t a t t t a -=--,
|'r ×''r |=22
sin 222t a , |2
sin
|81|
||'''|3t
a r r r k =
?=
,|2
sin |8t
a R = ,所以在t=(2k+1)π，k 为整
数处曲率半径最大。
18． 已知曲线)(:)(3s r r C C
=∈上一点)(0s r 的邻近一点)(0s s r ?+ ，求)(0s s r ?+ 点到)(0s r 点的密切平面、法平面、从切平面的距离（设点)(0s r
的曲率、挠率分别为00,τκ）。
解 )(0s s r ?+ －)(0s r ＝30200])([!31)(21)(s s r s s r s s r ?++?+?ε ＝30002
1s s ?+?βκα ＋
300000020)(6
1s k k ?+++-εγτκβα ，设030201γεβεαεε ++=，其中0lim 0=→?ε s 。则)(0s s r ?+ －
)(0s r
＝0330003
202003120])(6
1[])(6121[])(61[γετκβεκκαεκ s s s s s ?++?++?+?+-+?
上式中的三个系数的绝对值分别是点)(0s s r ?+ 到)(0s r
的法平面、从切平面、密切平面的距离。
§5 一般螺线
5. 证明如果所有密切平面垂直于固定直线,那么它是平面直线.
证法一: 当曲线的密切平面垂直于某固定直线时,曲线的副法向量γ
是常向量.即γ =0 。曲线
的挠率的绝对值等于|γ
|为零，所以曲线为平面曲线。
证法二：设n 是固定直线一向量，则'r ·n =0 ，积分得r ·n
=p ,说明曲线在以n 为法向量的一
个平面上,因而为平面直线。
证法三：设n 是固定直线一向量，则'r ·n =0 ，再微分得''r ·n =0 ，'''r ·n
=0 。所以'r 、''r 、
'''r
三向量共面，于是（'r ''r '''r ）= 0 ，由挠率的计算公式知τ=0，因此曲线为平面曲线。
7．如果两曲线在对应点有公共的副法线，则它们是平面曲线。
证 设一曲线为Γ：r ＝)(s r
，则另一曲线Γ的表达式为：+=)(s r ρ)(s λ)(s γ ，)(s γ 为曲线
Γ在点s 的主法向量，也应为Γ在对应点的副法线的方向向量。
'ρ ＝α
＋λ γ －λτβ 与γ 正交，即'ρ ·γ ＝０，于是λ ＝０，λ为常数。'ρ ＝α －λτβ ，''ρ ＝
k β －λτ β －λτ（－k α
＋τγ ）也与γ 正交，即''ρ ·γ ＝-λ2τ=0,而λ
≠０,所以有τ＝０，曲
线Γ为平面曲线。同理曲线Γ为平面曲线。
8. 如果曲线Γ：r ＝)(s r
为一般螺线, α、β 为Γ的切向量和主法向量，R 为Γ的曲率半径。
证明Γ：ρ
=R α－?ds β 也是一般螺线。
证 因为Γ为一般螺线, 所以存在一非零常向量e 使α与e
成固定角,对于曲线Γ,其切向量
'ρ
=αββκα R
R R =-+与α共线,因此也与非零常向量e 成固定角, 所以Γ也为一般螺线。 9．证明曲线r ＝)(s r 为一般螺线的充要条件为0),,(....=r r r
证 βκ =r ，γτκτκ
βκτκκακκγκτβκακ )2()(3,23....2++-+-+-=++-=r r 2
5333....)(3)2(),,(κτκτκκτκτκκτκκτκτκ -=-=-+=k r r r ＝)(5κ
τκ，其中k ≠0. 曲线r ＝)(s r 为一般螺线的充要条件为κτ 为常数,即?
)(κ
τ=0,也就是 0),,(....=r r r 。
方法二： 0),,(....=r r r ，即0),,(=ααα
。曲线r ＝)(s r 为一般螺线，则存在常向量e ，使α·e =常数，所以,0,0,0=?=?=?e e e ααα
所以ααα ,,共面，从而（ααα ,,）=0。反之，若（ααα ,,）=0，则α 平行于固定平面，设固定平面的法矢为e ，则有0=?e α，从而α·e = p (常数)，所以r ＝
)(s r
为一般螺线。
方法三：曲线r ＝)(s r
为一般螺线?存在常向量e 使e β⊥，即0e ββ?=?平行于固定平
面（以e 为法向量的平面）r ?平行于一固定平面(,,)0r r r ?= 。
方法四：""?设r ＝)(s r
为一般螺线，存在常向量e 使e α?=常数，即r e ?=常数，连续三次
求微商得0,0r e r e ?=?=，0r e ?= ，所以0),,(....=r r r 。
""?因为0),,(....=r r r ，所以r 平行于固定平面，设固定平面的法矢为n （常向量）
，则r n ⊥，而,r n ββ∴⊥，所以曲线为一般螺线。
10. 证明一条曲线的所有切线不可能同时都是另一条曲线的切线。
证 设曲线Γ与Γ在对应点有公共的切线，且Γ的表达式为：r ＝)(s r
，
则Γ：+=)(s r ρ)(s λ)(s α ，λ≠
０，其切向量为'ρ
＝α＋λ α＋λk β
应与α平行，所以k ＝０，从而曲线Γ为直线。同理
曲线Γ为直线，而且是与Γ重合的直线。所以作为非直线的两条不同的曲线不可能有公共的切线。 11．设在两条曲线Γ、Γ的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的切线平行，证明它们在对应点的主法线以及副法线也互相平行，且它们的挠率和曲率都成比例，因此如果Γ为一般螺线, 则Γ也为一般螺线。
证 设曲线Γ：r =)(s r
与Γ：)(s r r =点建立了一一对应，使它们对应点的切线平行，则适当
选择参数可使)(s α
=)(s α
, 两端对s 求微商得ds s d αα =, 即ds
s d s k s k )()(ββ = ，这里
0 ds s d ，所以有β =β ，即主法线平行，从而)(s γ =)(s γ ，即两曲线的副法线也平行。且,ds s d κκ= 或ds
s
d =κκ。)(s γ =)(s γ 两边对s 求微商得ds
s d s s )()(βτβτ -=-，于是 ,ds s d ττ=或ds s d =ττ，所以，ττ
κκ= 或τ
κ
τκ=。
《微分几何》复习题与参考答案 一、填空题 1．极限232 lim[(31)i j k]t t t →+-+=138i j k -+． 2．设f ()(sin )i j t t t =+，2g()(1)i j t t t e =++，求0 lim(()())t f t g t →?= 0 ． 3．已知{}42 r()d =1,2,3t t -?， {}6 4 r()d =2,1,2t t -?，{}2,1,1a =，{}1,1,0b =-，则 4 6 2 2 ()()a r t dt+b a r t dt=???? ?{}3,9,5-. 4．已知()r t a '=（a 为常向量），则()r t =ta c +． 5．已知()r t ta '=，（a 为常向量），则()r t = 2 12 t a c +． 6. 最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___ 切线___和 密切平面____. 7. 曲率恒等于零的曲线是_____ 直线____________ . 8. 挠率恒等于零的曲线是_____ 平面曲线________ . 9. 切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为 一般螺线 . 10. 曲线()r r t =在t = 2处有3αβ=，则曲线在t = 2处的曲率k = 3 . 11. 若在点00(,)u v 处v 0u r r ?≠，则00(,)u v 为曲面的_ 正常______点. 12． 已知()(2)(ln )f t t j t k =++，()(sin )(cos )g t t i t j =-，0t >，则4 ()d f g dt dt ?=?4cos 62-． 13．曲线{}3()2,,t r t t t e =在任意点的切向量为{}22,3,t t e ． 14．曲线{}()cosh ,sinh ,r t a t a t at =在0t =点的切向量为{}0,,a a ． 15．曲线{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =在0t =点的切向量为{}0,,a b ． 16．设曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当1t =时的切线方程为 2111 -=-- =-z e e y e e x ． 17．设曲线t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos ，当0t =时的切线方程为11-==-z y x . 18. 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F =M =0_ ______________. 19. u －曲线（v －曲线）的正交轨线的微分方程是 _____ E d u +F d v ＝0（F d u +G d v ＝0）__. 20. 在欧拉公式2212cos sin n k k k θθ=+中，θ是 方向(d) 与u －曲线 的夹角. 21. 曲面的三个基本形式,,I II III 、高斯曲率K 、平均曲率H 之间的关系是20H K III -II +I = . 22．已知{}r(,),,u v u v u v uv =+-，其中2,sin u t v t ==，则dr d t ={}2cos ,2cos ,2cos t t t t vt u t +-+． 23．已知{}r(,)cos cos , cos sin ,sin a a a ?θ?θ?θ?=，其中t =?，2t =θ，则
习 题答案2 p. 58 习题 2. 在球面2222{(,,)|1}S x y z x y z =++=上，命(0,0,1)N =，(0,0,1)S =-. 对于赤道平面上的任意一点(,,0)p u v =，可以作为一的一条直线经过,N p 两点，它与球面有唯一的交点，记为p '. (1) 证明：点p '的坐标是 2221u x u v =++，2221 v y u v =++，222211u v z u v +-=++， 并且它给出了球面上去掉北极N 的剩余部分的正则参数表示； (2) 求球面上去掉南极S 的剩余部分的类似的正则参数表示； (3) 求上面两种正则参数表示在公共部分的参数变换； (4) 证明球面是可定向曲面. 证明. (1) 设(,)r u v Op '=u u u v v . 如图，,,N p p '三点共线，故有t ∈R 使得 (1)Op tOp t ON '=+-u u u v u u v u u u v . (1) 由于21Op ON =='u u u v u u u v ，222u v Op =+u u v ，0Op ON '?=u u u v u u u v ，0t ≠，取上式两边的模长平方， 得222/(1)t u v =++. 从而 22222222221,,111u v u v u v u v u v ??+-= ?++++++?? ，2(,)u v ∈R . (2) 由(1)可知 (,,1)(0,0,1)(,,1)r Op tNp ON t u v tu tv t '==+=-+=-u u u v u u u v u u u v v ， 又2()dt t udu vdv =-+，所以 2(,,1)(1,0,0)u r t u u v t =--+v ，2(,,1)(0,1,0)v r t v u v t =--+v ， 22222(,,()1)(,,1)0t tu tv t u v t tu tv t t r =-+-=--=-≠v v . (3) 因此(,)r r u v =v v 给出了2\{}S N 的正则参数表示. (2)令(,,0)q u v =是,S p '两点连线与赤道平面的交点. 同理，有 (1)(,,1)Op t Oq t OS t u t v t '=+-=-u u u v u u v u u u v ，222/(1)t u v =++， 22222222221(,,),,111u v u v r x y z Op u v u v u v ??--'=== ?++++++??u u u v ，2(,)u v ∈R . (4) 2(,,1)(1,0,0)u r t u u v t =-+v ，2(,,1)(0,1,0)v r t v u v t =-+v ， 22222(,,1())(,,1)0t t u t v t u v t t u t v t t r =-+=-=≠v v . (5) 因此(4)给出了2\{}S S 的正则参数表示. (3) 由(2)和(4)式可得2222()()1u v u v ++=，从而上面两种正则参数表示在公共部分2\{,}S N S 上的参数变换公式为 22u u u v =+，22 v v u v =+. (6) 由(3)和(5)可知
微分几何主要习题解答 第一章 曲线论 §2 向量函数 5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × ) ('t r = 0 。 分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t λ)(t e 的形式，其中)(t e 为单位向 量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e 具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。 证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r 具有固 定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r =)('t λe ，所以 r ×'r =λ'λ（e ×e ）=0 。 反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e 求微商得'r ='λe +λ 'e ，于是r × 'r =2 λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方 向平行；当λ≠ 0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)＝2'e ，（因为e 具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e 为常向量。所以，)(t r 具有固定方向。 6．向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。 分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n ，使 )(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r 的关系。 证 若)(t r 平行于一固定平面π，设n 是平面π的一个单位法向量，则n 为常向 量，且)(t r ·n = 0 。两次求微商得'r ·n = 0 ，''r ·n = 0 ，即向量r ，'r ，''r 垂直 于同一非零向量n ，因而共面，即（r 'r ''r ）=0 。 反之, 若（r 'r ''r ）=0，则有r ×'r =0 或r ×'r ≠0 。若r ×'r =0 ，由上题知 )(t r 具有固定方向，自然平行于一固定平面，若r ×' r ≠ ，则存在数量函数)(t λ、 )(t μ，使''r = r λ +μ'r ①
第一章 曲线论 §2 向量函数 5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × )('t r = 0 。 分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t )(t e 的形式，其中)(t e 为单位向量函 数，)(t 为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e 具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。 证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t )(t e ，若)(t r 具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r =)('t e ，所以 r ×'r = ' （e ×e ）=0 。 反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t )(t e 求微商得'r =' e + 'e ，于是r × 'r =2 （e ×'e ）=0 ，则有 = 0 或e ×'e =0 。当)(t = 0时，)(t r =0 可与任意 方向平行；当 0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)＝2'e ，（因为e 具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e 为常向量。所以，)(t r 具有固定方向。 6．向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是（r r 'r ''r ）=0 。 分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n ，使)(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r 的关系。 证 若)(t r 平行于一固定平面π，设n 是平面π的一个单位法向量，则n 为常向量， 且)(t r ·n = 0 。两次求微商得'r ·n = 0 ，''r ·n = 0 ，即向量r r ，'r ，''r 垂直于同一 非零向量n ，因而共面，即（r r 'r ''r ）=0 。 反之, 若（r r 'r ''r ）=0，则有r ×'r =0 或r ×'r 0 。若r ×'r =0 ，由上题知) (t r 具有固定方向，自然平行于一固定平面，若r ×' r ，则存在数量函数)(t 、)(t ， 使''r = r r + 'r ① 令n =r r ×'r ，则n 0 ，且)(t r ⊥)(t n 。对n =r ×'r 求微商并将①式代入得'n =r ×
微分几何第四版习题答 案梅向明 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT
§1曲面的概念 1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线． ２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。 证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线; v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。 3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {?????a a a 上任意点的切平面和法线方程。 解 ?r =}cos ,sin sin ,cos sin {?????a a a -- ，?r =}0,cos cos ,sin cos {????a a - 任意点的切平面方程为00 cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------? ?? ????? ??????a a a a a a z a y a x 即 xcos ?cos ? + ycos ?sin ? + zsin ? - a = 0 ； 法线方程为 ? ? ????????sin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。 4．求椭圆柱面22 221x y a b +=在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个 切平面 。 解 椭圆柱面22 221x y a b +=的参数方程为x = cos ?, y = asin ?, z = t , }0,cos ,sin {??θb a r -= , }1,0,0{=t r 。所以切平面方程为： 01 0cos sin sin cos =----????b a t z b y a x ，即x bcos ? + y asin ? － a b = 0
第二章 曲面论 §1曲面的概念 1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线． ２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。 证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线; v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。 3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {?????a a a 上任意点的切平面和法线方程。
4．求椭圆柱面 222 2 1x y a b + =在任意点的切平面方程， 并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 。 解 椭圆柱面 222 2 1x y a b + =的参数方程为x = cos ?, y = asin ?, z = t , }0,cos ,sin {??θb a r -= , }1,0,0{=t r 。所以切平面方程为： 01 0cos sin sin cos =----?? ??b a t z b y a x ，即x bcos ? + y asin ? － a b = 0 此方程与t 无关，对于?的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而?的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 。 5．证明曲面},,{3 uv a v u r = 的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常 数。 证 },0,1{23 v u a r u -= ，},1,0{23 uv a r v -= 。切平面方程为：33=++z a uv v y u x 。 与三坐标轴的交点分别为(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0, uv a 2 3)。于是，四面体的体积为： 3 3 2 9| |3| |3||36 1a uv a v u V = =是常数。
> 《微分几何》复习题与参考答案 一、填空题 1．极限232 lim[(31)i j k]t t t →+-+=138i j k -+． 2．设f ()(sin )i j t t t =+，2g()(1)i j t t t e =++，求0 lim(()())t f t g t →?= 0 ． 3．已知{}42 r()d =1,2,3t t -?， {}6 4 r()d =2,1,2t t -?，{}2,1,1a =，{}1,1,0b =-，则 4 6 2 2 ()()a r t dt+b a r t dt=???? ?{}3,9,5-. 4．已知()r t a '=（a 为常向量），则()r t =ta c +． 5．已知()r t ta '=，（a 为常向量），则()r t = 212 t a c +． 6. 最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___ 切线___和 密切平面____. 【 7. 曲率恒等于零的曲线是_____ 直线____________ . 8. 挠率恒等于零的曲线是_____ 平面曲线________ . 9. 切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为 一般螺线 . 10. 曲线()r r t =在t = 2处有3αβ=，则曲线在t = 2处的曲率k = 3 . 11. 若在点00(,)u v 处v 0u r r ?≠，则00(,)u v 为曲面的_ 正常______点. 12． 已知()(2)(ln )f t t j t k =++，()(sin )(cos )g t t i t j =-，0t >，则4 ()d f g dt dt ?=?4cos 62-． 13．曲线{}3()2,,t r t t t e =在任意点的切向量为{}22,3,t t e ． 14．曲线{}()cosh ,sinh ,r t a t a t at =在0t =点的切向量为{}0,,a a ． \ 15．曲线{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =在0t =点的切向量为{}0,,a b ． 16．设曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当1t =时的切线方程为 2111 -=-- =-z e e y e e x ． 17．设曲线t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos ，当0t =时的切线方程为11-==-z y x . 18. 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F =M =0_ ______________. 19. u －曲线（v －曲线）的正交轨线的微分方程是 _____ E d u +F d v ＝0（F d u +G d v ＝0）__. 20. 在欧拉公式2212cos sin n k k k θθ=+中，θ是 方向(d) 与u －曲线 的夹角. 21. 曲面的三个基本形式,,I II III 、高斯曲率K 、平均曲率H 之间的关系是20H K III -II +I = . 22．已知{}r(,),,u v u v u v uv =+-，其中2,sin u t v t ==，则 dr d t ={}2cos ,2cos ,2cos t t t t vt u t +-+．
一、 填空题：（每小题2分） ⒈ 向量{}(),3,r t t t a =v 具有固定方向，则a =_______________。 ⒉ 非零向量()r t v 满足(),,0r r r '''=v v v 的充要条件是__________________。 ⒊ 设曲线在P 点的切向量为αu r ，主法向量为βu r ，则过P 由,αβu r u r 确定的平面 是曲线在P 点的_______________________。 ⒋ 曲线()r r t =v v 在点0()r t v 的单位切向量是αu r ，则曲线在0()r t v 点的法平面方 程是__________________________。 ⒌ 曲线()r r t =v v 在t = 1点处有2γβ=r v &，则曲线在 t = 1对应的点处其挠率 (1)τ=___________________。 ⒏ 在旋转曲面{}()cos ,()sin ,()r t t t ?θ?θψ=v 中，____________________ 是旋转曲面的经线。 ⒐ 曲面(,)z z x y =在点000(,,)x y z 的法线方程是_____________________。 ⒑ 直纹面的参数表示总可以写成 r =v ______________________。 11、向量函数()r r t =r r 使(,,)0r r r '''=r r r 的充要条件是()r r t =r r 。 12、若0()r t r 是曲线()r r t =r r 的正则点，则曲线()r r t =r r 在0()r t r 的密切平面方程是 。 13、一曲线的副法向量是常向量，则这曲线的挠率τ 。 15、曲面上一族坐标曲线是测地线，另一族为它的正交轨线坐标网是 16、已知曲面(,)r r u v =r r 的第一类基本量为E 、F 、G ，则两方向du:dv 与:u v δδ垂 直的充要条件是 。 17、对曲面(,)r r u v =r r 有22243dr du dv =+r ，则曲面上曲线u=u(t),v=v(t)从0 t 到t （t >0t ）的弧长s = 。 18、若曲面(,)r r u v =r r 在（0，1）点处的第二基本形式223du dv II =-+，则在 （0，1）点处，u u r n ?=r r 。其中n r 为曲面的单位法向量。 19、已知曲面(,)r r u v =r r 的第二类基本量L 、M 、N ，则曲面上渐近曲线的微分 方程是 。 20、若曲面(,)r r u v =r r 的第一基本形式为222ds Edu Gdv =+，曲面在一点的切
习题一（P13） 2.设()a t 是向量值函数，证明： （1）a =常数当且仅当(),()0a t a t '=； （2）()a t 的方向不变当且仅当()()0a t a t '∧=。 （1）证明：a =常数?2 a =常数?(),()a t a t <>=常数 ?(),()(),()0a t a t a t a t ''<>+<>= ?2(),()0a t a t '<>=?(),()0a t a t '<>=。 （2）注意到：()0a t ≠，所以 ()a t 的方向不变?单位向量() ()() a t e t a t = =常向量。 若单位向量() ()() a t e t a t = =常向量，则()0()()0e t e t e t ''=?∧=。 反之，设()e t 为单位向量，若()()0e t e t '∧=，则()//()e t e t '。 由()e t 为单位向量?(),()1(),()0e t e t e t e t '<>=?<>=?()()e t e t '⊥。 从而，由()//()()0()()()e t e t e t e t e t e t '? '?=?=?'⊥? 常向量。 所以，()a t 的方向不变?单位向量() ()() a t e t a t = =常向量 ?()()1 ()()0()()0()()()a t a t d e t e t a t a t a t dt a t ??''∧=?∧+= ? ??? ( )()2111()()()()()0()() () d a t a t a t a t dt a t a t a t '? ∧+∧= ()()0a t a t '?∧=。即 ()a t 的方向不变当且仅当()()0a t a t '∧=。 补充：
§1曲面的概念 1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线． ２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。 证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线; v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。 3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {?????a a a 上任意点的切平面和法线方程。 解 ?r =}cos ,sin sin ,cos sin {?????a a a -- ，?r =}0,cos cos ,sin cos {????a a - 任意点的切平面方程为00cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------??? ??? ????? ???a a a a a a z a y a x 即 xcos ?cos ? + ycos ?sin ? + zsin ? - a = 0 ； 法线方程为 ? ?????????sin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。 4．求椭圆柱面22 221x y a b +=在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 。 解 椭圆柱面22 221x y a b +=的参数方程为x = cos ?, y = asin ?, z = t ,
微分几何参考答案： P51页 1. 求曲线r = { t t sin ,t t cos ,t t e } 在原点的密切平面、法平面、从切面、切线、主法线、副法线。 解 原点对应t=0 , 'r (0)={ t sin +t t cos ,t cos - t t sin ,t e +t t e 0}=t ={0,1,1}， =)0(''r {2t cos + t t cos ,t cos - t t sin ,2t e +t t e 0}=t ={2,0,2} ， 所以切线方程是 1 10z y x == ，法面方程是 y + z = 0 ； 密切平面方程是2 02110z y x =0 ，即x+y-z=0 ， 主法线的方程是???=+=-+00z y z y x 即112z y x =-= ； 从切面方程是2x-y+z=0 ,副法线方程式1 11-= =z y x 。 2．求以下曲面的曲率和挠率 ⑴ },sinh ,cosh {at t a t a r = , ⑵ )0)}(3(,3),3({323 a t t a at t t a r +-=。 解 ⑴},cosh ,sinh {'a t a t a r = ，}0,sinh ,cosh {''t a t a r = ，}0,cosh ,{sinh '''t t a r = ， }1,cosh ,sinh {'''--=?t t a r r ，所以t a t a t a r r r k 23 23cosh 21) cosh 2(cosh 2|'||'''|==?= t a t a a r r r r r 2 2422cosh 21 cosh 2)'''()''','','(==?= τ 。 ⑵ }1,2,1{3'22t t t a r +-= ，}1,0,1{6'''},,1,{6''-=-=a r t t a r ， 'r ×''r =}1,2,1{182 22+--t t t a ，2 23 22223) 1(31 ) 1(2227)1(218| '||'''|+=++=?=t a t a t a r r r k
《微积分几何》复习题 本科 第一部分:练习题库及答案 一、填空题(每题后面附有关键词;难易度;答题时长) 第一章 1.已知(1,1,1),(1,0,1)=-=-a b ,则这两个向量的夹角的余弦θcos = 3 6 2.已知(0,1,1),(1,0,1)=-=-a b ,求这两个向量的向量积?=a b (-1,-1,-1). 3.过点)1,1,1(P 且与向量(1,0,1)=-a 垂直的平面方程为X-Z=0 4.求两平面0:1=++z y x π与12:2=+-z y x π的交线的对称式方程为2 1 131--= -=+z y x 5.计算2 3 2 lim[(31)]t t t →+-+=i j k 138-+i j k . 6.设()(sin )t t t =+f i j ,2()(1)t t t e =++g i j ,求0 lim(()())t t t →?=f g 0 . 7.已知(,)(,,)u v u v u v uv =+-r ,其中2 t u =,t v sin =,则d d t =r (2cos ,2cos ,2cos )t t t t vt u t +-+ 8.已知t =?,2 t =θ,则 d (,) d t ?θ=r (sin cos 2cos sin ,sin sin 2cos cos ,cos )a at a at a ?θ?θ?θ?θ?---+ 9.已知4 2 ()d (1,2,3)t t =-?r ,6 4 ()d (2,1,2)t t =-? r ,求 4 6 2 2 ()d ()d t t t t ?+??=??a r b a r )5,9,3(-,其中(2,1,1)=a ,(1,1,0)=-b 10.已知()t '=r a (a 为常向量),求()t =r t +a c 11.已知()t t '=r a ,(a 为常向量),求()t =r 2 12 t +a c 12.已知()(2)(log )t t t =++f j k ,()(sin )(cos )t t t =-g i j ,0t >,则4 d ()d d t t ?=?f g 4cos 62-. 第二章 13.曲线3 ()(2,,)t t t t e =r 在任意点的切向量为2 (2,3,)t t e 14.曲线()(cosh ,sinh ,)t a t a t at =r 在0t =点的切向量为(0,,)a a 15.曲线()(cos ,sin ,)t a t a t bt =r 在0t =点的切向量为(0,,)a b
第一章 曲线论 §2 向量函数 5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × )('t r = 0 。 分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t λ)(t e 的形式，其中)(t e 为单位向量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e 具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。 证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r 具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么 )('t r =)('t λe ，所以 r ×'r =λ'λ（e ×e ）=0 。 反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e 求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r ×'r =2 λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方向平行；当λ ≠0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=2 2'e e - -(e ·'e 2)＝2'e ，（因为e 具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e 为常向量。所以，)(t r 具有固定方向。 6．向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。 分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n ，使)(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r 的关系。 证 若)(t r 平行于一固定平面π，设n 是平面π的一个单位法向量，则n 为常向量，且)(t r ·n = 0 。两次求微商得'r ·n = 0 ，''r ·n = 0 ，即向量r ，'r ，''r 垂直于同一非零向量n ，因而共面，即（r 'r ''r ）=0 。 反之, 若（r 'r ''r ）=0，则有r ×'r =0 或r ×'r ≠ 0 。若r ×'r =0 ，由上题知)(t r 具有固定方向，自然平行于 一固定平面，若r ×' r ≠0 ，则存在数量函数)(t λ、)(t μ，使''r = r λ +μ'r ① 令n =r ×'r ，则n ≠ 0 ，且)(t r ⊥)(t n 。对n =r ×'r 求微商并将①式代入得'n =r ×''r =μ（r ×'r ）=μn ， 于是n ×'n =0 ，由上题知n 有固定方向，而)(t r ⊥n ，即)(t r 平行于固定平面。 §3 曲线的概念 1． 求圆柱螺线x =t cos ，y =t sin ，z =t 在（1,0,0）的切线和法平面。 解 令t cos =1,t sin =0, t =0 得 t =0, 'r (0)={ -t sin ,t cos ,1}|0=t ={0,1,1},曲线在(0,1,1)的切线为 1 101z y x ==- ，法平面为 y + z = 0 。
《微分几何》课程教学大纲 课程名称：《微分几何》 课程编码：074112303 适用专业及层次：数学与应用数学（本科） 课程总学时：72学时 课程总学分：4 一、课程的性质、目的与任务等。 1、微分几何简介及性质 微分几何是高等院校数学和数学教育各专业主要专业课程之一，是运用微积分的理论研究空间的几何性质的数学分支学科。古典微分几何研究三维空间中的曲线和曲面，而现代微分几何开始研究更一般的空间----流形。微分几何与拓扑学等其他数学分支有紧密的联系，对物理学的发展也有重要影响，爱因斯坦的广义相对论就以微分几何中的黎曼几何作为其重要的数学基础。本课程的前导课程为解析几何、高等代数、数学分析和常微分方程。 2、教学目的： 通过本课程的教学，使学生掌握三维欧氏空间中的曲线和曲面的局部微分理论和方法，分析和解决初等微分几何问题，并为进一步学习微分几何的近代内容打下良好的基础。 3、教学内容与任务： 本课程主要应用向量分析的方法，研究一般曲线和曲面的局部理论，同时还采用了张量的符号讨论曲面论的基本定理和曲面的内蕴几何内容，并且讨论了属于整体微分几何的高斯崩尼（Gauss-Bonnet）公式。重点让学生把握理解本教材的前二章。 二、教学内容、讲授大纲与各章的基本要求 第一章曲线论 教学要点： 本章主要研究内容为向量分析，曲线的切线，法平面，曲线的弧长参数表示，空间曲线的基本三棱形，曲率和挠率的概念和计算，曲线论的基本公式和基本定理，从而对
空间曲线在一点邻近的形状进行研究，同时对特殊曲线特别是一般螺线和贝特朗曲线进行研究。通过本章的教学，使学生理解和熟记有关概念，掌握理论体系和思想方法，能够证明和计算有关问题 教学时数：22学时。 教学内容： 第一节向量函数 1.1 向量函数的极限 1.2 向量函数的连续性 1.3 向量函数的微商 1.4 向量函数的泰勒（TayLor）公式 1.5 向量函数的积分 第二节曲线的概念 2.1 曲线的概念 2.2 光滑曲线、曲线的正常点 2.3 曲线的切线和法面 2.4 曲线的弧长、自然参数 第三节空间曲线 3.1 空间曲线的密切平面 3.2 空间曲线的基本三棱形 3.3 空间曲线的曲率、挠率和伏雷内(Frenet)公式 3.4 空间曲线在一点邻近的结构 3.5 空间曲线论的基本定理 3.6 一般螺线 考核要求： 1、理解向量函数的极限、连续性、微商、泰勒（TayLor）公式和积分等概念，能
习题答案2 p. 58 习题3.1 2. 在球面2222{(,,)|1}S x y z x y z =++=上，命(0,0,1)N =，(0,0,1)S =-. 对于赤道平面上的任意一点(,,0)p u v =，可以作为一的一条直线经过,N p 两点，它与球面有唯一的交点，记为p '. (1) 证明：点p '的坐标是 2221u x u v =++，2221 v y u v =++，222211u v z u v +-=++， 并且它给出了球面上去掉北极N 的剩余部分的正则参数表示； (2) 求球面上去掉南极S 的剩余部分的类似的正则参数表示； (3) 求上面两种正则参数表示在公共部分的参数变换； (4) 证明球面是可定向曲面. 证明. (1) 设(,)r u v Op '=u u u v v . 如图，,,N p p '三点共线，故有t ∈R 使得 (1)Op tOp t ON '=+-u u u v u u v u u u v . (1) 由于21Op ON =='u u u v u u u v ，222u v Op =+u u v ，0Op ON '?=u u u v u u u v ，0t ≠，取上式两边的模长平方，得222/(1)t u v =++. 从而 22222221(,,)(,,0)(0,0,1)11 u v x y z Op u v u v u v +-'==+++++u u u v 22222222221,,111u v u v u v u v u v ??+-= ?++++++?? ，2(,)u v ∈R . (2) 由(1)可知
(,,1)(0,0,1)(,,1)r Op tNp ON t u v tu tv t '==+=-+=-u u u v u u u v u u u v v ， 又2()dt t udu vdv =-+，所以 2(,,1)(1,0,0)u r t u u v t =--+v ，2(,,1)(0,1,0)v r t v u v t =--+v ， 332(1,0,)(0,1,)(0,0,1)u v r r t u u t v v t ?=--+v v 22222(,,()1)(,,1)0t tu tv t u v t tu tv t t r =-+-=--=-≠v v . (3) 因此(,)r r u v =v v 给出了2\{}S N 的正则参数表示. (2)令(,,0)q u v =是,S p '两点连线与赤道平面的交点. 同理，有 (1)(,,1)Op t Oq t OS t u t v t '=+-=-u u u v u u v u u u v ，222/(1)t u v =++， 22222222221(,,),,111u v u v r x y z Op u v u v u v ??--'=== ?++++++??u u u v ，2(,)u v ∈R . (4) 2(,,1)(1,0,0)u r t u u v t =-+v ，2(,,1)(0,1,0)v r t v u v t =-+v ， 332(1,0,)(0,1,)(0,0,1)u v r r t u u t v v t ?=----+v v 22222(,,1())(,,1)0t t u t v t u v t t u t v t t r =-+=-=≠v v . (5) 因此(4)给出了2\{}S S 的正则参数表示. (3) 由(2)和(4)式可得2222()()1u v u v ++=，从而上面两种正则参数表示在公共部分2\{,}S N S 上的参数变换公式为 22u u u v = +，22 v v u v =+. (6) 由(3)和(5)可知 22222222222 (,)(1)10(,)(1)()u v t u v u v t u v u v ?++=-=-=-?+%%，
《微积分几何》复习题 本科 第一部分：练习题库及答案 一、填空题（每题后面附有关键词；难易度；答题时长） 第一章 1．已知(1,1,1),(1,0,1)=-=-a b ，则这两个向量的夹角的余弦θcos = 3 6 2．已知(0,1,1),(1,0,1)=-=-a b ，求这两个向量的向量积?=a b (-1,-1,-1)． 3．过点)1,1,1(P 且与向量(1,0,1)=-a 垂直的平面方程为X-Z=0 4．求两平面0:1=++z y x π与12:2=+-z y x π的交线的对称式方程为2 1 131--= -=+z y x 5．计算2 3 2 lim[(31)]t t t →+-+=i j k 138-+i j k ． 6．设()(sin )t t t =+f i j ，2()(1)t t t e =++g i j ，求0 lim(()())t t t →?=f g 0 ． 7．已知(,)(,,)u v u v u v uv =+-r ，其中2 t u =，t v sin =，则d d t =r (2cos ,2cos ,2cos )t t t t vt u t +-+ 8．已知t =?，2 t =θ，则 d (,) d t ?θ=r (sin cos 2cos sin ,sin sin 2cos cos ,cos )a at a at a ?θ?θ?θ?θ?---+ 9．已知4 2 ()d (1,2,3)t t =-?r ，6 4 ()d (2,1,2)t t =-? r ，求 4 6 2 2 ()d ()d t t t t ?+??=??a r b a r )5,9,3(-，其中(2,1,1)=a ，(1,1,0)=-b 10．已知()t '=r a （a 为常向量），求()t =r t +a c 11．已知()t t '=r a ，（a 为常向量），求()t =r 2 12 t +a c 12．已知()(2)(log )t t t =++f j k ，()(sin )(cos )t t t =-g i j ，0t >，则4 d ()d d t t ?=?f g 4cos 62-． 第二章 13．曲线3 ()(2,,)t t t t e =r 在任意点的切向量为2 (2,3,)t t e 14．曲线()(cosh ,sinh ,)t a t a t at =r 在0t =点的切向量为(0,,)a a 15．曲线()(cos ,sin ,)t a t a t bt =r 在0t =点的切向量为(0,,)a b