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高等数学(东北大学出版社)第1-5章和第8-10章习题和复习题参考答案

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第1-5章和第8-10章习题和复习题参考答案

第1章

函数、极限与连续

习题1.1

⒈下列各组函数，哪些是同一函数，哪些不是？

（1）y

x =与是同一函数（2）y x =与

（3）2111

x y x x -=-+与y=不是同一函数（4）

22ln ln y x x =与y=不是同一函数

⒉指出下列函数的定义域. （1）43)(+=x x f 的定义域是),34[+∞- （2）x

x f -=11

ln )(的定义域是)1,(-∞

（3）)1ln()(2-=

x x f 的定义域是),2[]2,(+∞?-∞

（4）)arcsin(ln )(x x f =的定义域是],1

[e e

-

（5）若)(x f 的定义域是]4,4[-，则)(2

x f 的定义域是]2,2[-

（6）若)(x f 的定义域是]3,0[a ，则)()(a x f a x f -++的定义域是]2,[a a 3.判别下列函数的奇偶性.

（1）()sin f x x x =+是奇函数（2）()cos f x x x =?是奇函

数

（3）()2f x x x =-是非奇非偶函数（4）()1lg 1x f x x

-=+是奇函数

（5）()cos(sin )f x x =是偶函数（6）()sin x f x x

=是偶函数

（7）())f x x =是奇函数（8）()

f x =是偶函数

⒋下列函数哪些在其定义域内是单调的. （1）sin y x =在其定义域内不是单调的（2）arcsin y x =在其定义域内是单调递增的

（3）2y x x =-在其定义域内不是单调的（4）0≠a 时，ax y e =在其定义域内是单调的，其中 0a 时，ax y

e =在其定义域内是单调递增的

5.下列函数在给定区间中哪个区间上有界. （1）),1(1+∞=

（2）)10,1()12ln(在区间-=x y 上有界（3）)4,3(3

-=在区间x y 上有界

（4）)1,1(),,(),0,(sin -+∞-∞-∞=在区间x y 上分别有界 6.下列函数哪些是周期函数，如果是求其最小正周期. （1）sin 3y

x =是周期函数，最小正周期是

2π （2）cos y x =是周期函数，最小正周期是π （3）tan 2y x =是周期函数，最小正周期是

π （4）ln(cos 2)y x =+是周期函数，最小正周期是π 7.下列各对函数中，哪些可以构成复合函数.

),2arcsin()(x u u u f =+=不可以构成复合函数（2）x u u u f 2sin ),1ln()(=-=不可以构成复合函数

,)(x u u u f +==

不可以构成复合函数

12,arccos )(x x

u u u f +==可以构成复合函数

8.将下列复合函数进行分解. （1）对复合函数43)(2--=x x x f 的分解结果是：43,)(2--==x x u u x f

（2）对复合函数3

x f 的分解结果是：32,)(-==x u e x f u

（3）对复合函数()ln(23)f x x =-的分解结果是：32,ln )(-==x u u x f （4）对复合函数()arcsin(1)f x x =+的分解结果是：1,sin )(+==x u u acc x f

9.求函数值或表达式. （1）已知函数1

2)(,2)0(,4-)2(,0)2(,12)(222+-=

x x x f f f f x x x f 则.

（2）已知函数0)(,22

?≥<=ππf f f x x x x f 则.

（3）已知函数2

arcsin (,sin )(=-=f x x f 则. （4）已知函数x x f 2cos )(sin =，则[]1,1,21)(2

1.用观察法判断下列数列是否有极限，若有，求其极限. （1） ,67

1:n x 没有极限（2）n x n 1=

有极限，01lim =∞→n

πn x n =没有极限（4）1)1(3+-=n n x n

n 有极限，0]1

)1[(lim 3=+-∞→n n n n

2.分析下列函数的变化趋势，求极限（1）0

2=∞→x x （2）01

1lim =++∞→x x （3）+∞=++∞

→)2ln(lim x x （4）22

=++-∞→x x x

3.图略，)(lim 0

x f x →不存在

4.下列变量中，哪些是无穷小量，哪些是无穷大量？

（1）0→x 时，2

100x 是无穷小量（2）+

2是无穷大量

（3）∞→x 时，

--x x 是无穷小量（4）+∞→x 时，x

e 是无穷大量（5）∞→n 时，3)1(2+-n n n

是无穷大量（6）∞→x 时，x

sin 是无穷小量

（7）∞→x 时，x

1sin 是无穷小量（8）0→x 时，12-x

是无穷小量 5.已知函数2

x x x f ，则)(x f 在-∞→x 或+∞→x 或∞→x 的过程中是无穷小量，在-

→3x 或3→x 的过程中是无穷大量？

6. 当1x →-时，无穷小1x +与下列无穷小是否同阶？是否等价？（１）当1x →-时，无穷小1x +与无穷小3

1x +同阶，但不等价（２）当1x →-时，无穷小1x +与无穷小21

x -同阶，而且等价

1.设函数x x f =

t x f t x f t 21

2.设函数???<+≥+=2

,1)(2x x x x x f ，则5)(lim ,5)(lim ,5)(lim 22

2===→→→+-x f x f x f x x x .

3.求下列各式的极限：

（1）15)52(lim 2

2=+--→x x x （2）3

13lim 2421-=++-→x x x x

)321(lim 0=--→x x （4）242lim 2

2=+-∞→x x x x （5）2111lim 220-=+-→x x x （6）21

)21(lim 222=+++∞→n

n n n n （7）1122lim

→x x x x （8）31

lim 31=--→x x x

→x x x x （10）112lim

1=---→x x x x （11）2010

2)53()32()1(lim =---+∞→x x x x

21-=-+-→x ax x x ，则7=a . 5.2)(lim 2

→x kx x x ，则4=k .

6.求下列极限：（1）252sin 5sin lim

0=→x x x （2）1sin 2tan lim 0=-→x

（3）43cos cos lim 20=-→x x x x （4）2)

2tan(lim 230=-+→x x x x x （5）11sin lim =?∞→x x x （6）0sin sin lim 0=+-→x x x

（7）323arcsin 2lim 0=→x x x （8）21

sin tan lim 30=-→x

x x x 7.求下列极限：（1）82)41(lim e x x x =+

→ （2）21)2

1(lim --∞→=-e x

3(lim -→=-e x x x （4）21

)11(lim --∞→=+-e x x x x

x =++→ （6）e x x x =+→

8.用等价无穷小替换计算下列各极限：

（1）236arctan lim

0=→x x x （2）214lim 20=-→x x e x

（3）22cos 1lim 20=-→x x x （4）21

21ln(lim 0=-+→x x e x 习题1.4

1.设函数?????=≠--=1,3

)(2x x x x x f ，则

()f x 在1=x 处不连续．

2.指出下列函数的间断点，并指明是哪一类间断点？（1）函数1

x x f 的间断点有点1-=x 和点1=x ，它们都是第二类间断点中的无穷间断点

f 1)(=的间断点有点0=x ，它是第二类间断点

)(2--=的间断点有点0=x 和点1=x ，其中点0=x 是第二类间断

点中的无穷间断点，点1=x 是第一类间断点

（4）函数?????-=-≠+-=1,0

1)(2x x x x x f 的间断点有点1-=x ，它是第一类间断点中的

可去间断点

（5）函数???>≤+=0,2

,2)(2x x x x f x

的间断点有点0=x ，它是第一类间断点中的跳跃间断点

（6）函数?????=≠--=2,3

)(2x x x x x f 的间断点有点2=x ，它是第一类间断点中的可

????>+=<=0,11sin 0,0,sin )(x x x x k x x

x f ，当1=k 时，函数)(x f 在其定义域内是连续

4.求下列极限：

（1）42arccos

=+→x x x （2）0sin lg lim 2

x x π （3）021lim cos sin 0=+-→x x x e e （4）2ln ln )1ln(lim 1=-+→x

（5）2121lim 224=+++∞

→x x x x （6）11

（7）e x x e x 1ln lim

一、单项选择题

1.下列函数中（C ）是初等函数.

（A ）)2arcsin(2

+=x y （B ）??

+-=x y （D ）???>+<≤=11

0)(2x x x x x f

2.下列极限存在的是（B ）.

x 4lim ∞→ （B ）131lim 33-+∞→x x x （C ）x

x ln lim 0+→ （D ）1

sin lim 1-→x x

3.当0x →时，2

tan x 与下列（D ）不是等价无穷小.

tan x （B ）2

sin x （D ）2

cos x 4.函数在某点连续是该函数在此点有定义的（B ）.

（A ）必要条件（B ）充分条件（C ）充分必要条件（D ）无关条件 5.已知0sin lim

→=,则常数=a （C ）.

（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4 6.闭区间[,]a b 上的连续函数()y f x =在[,]a b 上一定是（C ）.

（A ）单调函数（B ）奇函数或偶函数（C ）有界函数（D ）周期函数二、填空题 1.设10

x x f x x +-∞<≤?=?

<<+∞?，则(2)f = 4 . 2.函数5

cos 3y x =是由简单函数 x v v u u y 3,cos ,3

=== 复合而成的.

3.点1x =是函数1,1

x x f x x x -≤?=?

->? 的第一类间断点中的跳跃间断点.

4.当x ∞- 时，函数3x

y =是无穷小.

5.极限 2lim 1x

6.函数ln(4)y x =-+的连续区间为 [)4,1 .

三、计算下列极限

31x x x x -++=0 2.223

lim 2x x x →--不存在 3.2211lim 21x x x x →---2

356lim 815x x x x x →-+-+ 5.1)2(1

lim 22=---∞→x x x x 6.4281lim

x x x x →∞-++ 不存在 7.63132lim

=--+→x x x 8.23

x x x x →∞+++=0

0=-→θθθθ 10.1cos lim =-∞→x x x x 11.212sin )1ln(lim

0=+→x x x 12.21

1221(lim 32=---→x x x

01lim x x x x +→+??

-+ 2-=e 四、综合题

()11x x f x x x ?-≤≤=?+>?

在点1=x 处不连续，在点2=x 处连续，函数的图像

2.设函数0()10

sin 0x e x f x x x x x

lim ()x f x →=1,)(x f 在点0=x 处连续。 3.设函数sin ,0()2,0

f x ax x ?>??=??+≤??，当为任意实数a k ,52=时，)(x f 在0=x

第2章导数与微分

1. 已知质点作直线运动方程为32

+=t s ，则该质点在5=t 时的瞬时速度为10. 2.用函数)(x f 在0x 的导数)(0x f '表示下列极限: （1）)(2)()2(lim 0000

x f x x f x x f x '=?-?+→? （2）2

(2)()(lim 0000x f x x f x x f x '-=?-?-→?

0x f t t x f t x f t '=--+→（4）000

x x f x f x x x →--)(0x f '-=

3.利用基本公式()1

，求下列函数的导数:

y x y 则（2）3

1,---='=x y x y 则

61-='x y （4）x y =

4.求下列曲线在指定点处的切线方程和法线方程：

x y =在点()1,1处的切线方程023=--y x ，法线方程为043=-+y x

（2）x y ln =在点()1,e 处的切线方程0=-ey x ，法线方程为012

（3）x y cos =在点)2

处的切线方程036126=--+πy x ，法线方程为0233612=-+-πy x

x y =上点（6，36）处的切线平行于直线112-=x y ，)36

,61(-处的法线垂直于直线013=--y x

0,2)(x x x x x f 在点1=x 处不可导，因为)1(-'f 不存在

1.求下列函数的导数:

cos ln e x x a x y x

+-+-=的导数x x

-='- （2）x x x

x y +-=12的导数212

2123x x x y ++='--

x y 的导数232

12121----='x x y （4）2sec tan 2-+=x x y 的导数x x x y tan sec sec 22

33log x y xe x =+的导数a

x xe e y x x ln 3++='

（6）sin ln y x x x =的导数x x x x x x y sin ln cos ln sin ++=' （7）x x

101x x y -=+的导数2

)110(10ln 10*2+='x x

2.求下列函数在指定点的导数：

（1）x x x x f 2cos 3ln )(-+=，则52

（2）x x x f sin )(2

=，求)0(f '，)2(πf '.x x x f sin )(2

=，则0)0(='f ，ππ

-+=在横坐标3x =处的切线方程为099=-+y x ，法线方程为079327=--y x 。

1.求下列函数的导数：

（1）2cos(45)y x =-的导数)54sin(10x y -=' （2）4)32(+=x y 的导数3

（3）y =的导数x

（4）ln tan y x =的导数x

sec 2y x =的导数x x y 2tan 2sec 42

y x =的导数1

y e x =的导数)3cos 32sin 2(2x x e y x

+=' 2.求下列函数在指定点的导数：

1x =处的导数是1-

x f x x -=+，在1x =-处的导数是1-

（3）y =x e =处的导数是

3.设函数)(x f 可导，求下列函数的导数: （1）)12(+=x f y 的导数 )12(2+'='x f y

()y xf x =的导数 )(2)(2

22x f x x f y '+='

1.求由下列方程所确定的隐函数)(x y y =的导数

=-+xy y x 所确定的隐函数)(x y y =的导数

dy y x y x 22--= （2） 022

e xy 所确定的隐函数)(x y y =的导数dx dy

xy e y x y e y --= （3）y x y ln +=所确定的隐函数)(x y y =的导数

xe y +=1所确定的隐函数)(x y y =的导数dx dy y

y xe e -=1 2.用对数求导法求下列函数的导数:

y x =所确定的隐函数)(x y y =的导数dx dy )

ln ()ln (x x y x y y x y --= （2）x

(cos =的导数

)tan sin )cos ln (cos )(cos sin x x x x x x -= （3）x

x y 1=的导数dx

（4）54)1()3(2+-+=x x x y 的导数dx dy 6

7332()3(++---=x x x x x 3.（略）

22=+b y a x 在点),(00y x 处的切线方程为12020=+b

1.求下列函数的二阶导数:

（1）43241y x x x =-+-的二阶导数x x y 12122

（2）sin(32)y x =-的二阶导数)23sin(4x y --='' （3）

2ln y x x =的二阶导数x

x y )ln 1(2+=''的二阶导数)23sin(4x y --=''

4(412x x x y --=

2.求下列函数在指定点处的导数：（1）x x y cos =，则(0)y ''0= （2）arcta n y x =，则(0)y ''0=

3.求下列函数的n 阶导数: （1）x

xe y =的n 阶导数x n e n x y

（2）x y ln =的n 阶导数n

N x ∈ 4.已知函数的)2(-n 阶导数x x y n ln )

-，则y 的n 阶导数x

(ln ln 2-= 5. （略）

1.求下列函数的微分：

2+-+=x x x y 的微分dx x x dy )32sin 2(-+= （2）ln 2x

y x x =-的微分dx x dy x

)12ln 2(ln +-= （3）1ln

1x y x -=+的微分dx x dy 2

--= （4）sin 2x

x x x dy 22sin cos 2-= （5）2tan

dx dy sin = （6）arctan x

y e =的微分dx e e dy x

（7）arccos y x x =的微分dx x

x x dy )1(arccos 2

e y -+=的微分dx e e e e dy x x x x )(333---+-=

=-所确定的隐函数)(x y y =的微分dx xe e dy y

（10）1=xy 所确定的隐函数)(x y y =的微分dx x dy 2

= 2.下列各括号中填入一个函数，使各等式成立.

x d dx x = （2）

x d dx x =+ （3）)2(sin 2cos 2x d xdx = （4）)1(ln 1

d dx x x =? （6）)3)(2(2

b bx a d dx bx a +=+ （7）)1(12x

d dx x -= （8）)2(22

22x x e d dx xe

---= 3.求下列近似值：

（1）1.09.0ln -≈ （2）

61cos 47.0≈ （3）58.102.1arctan ≈ （4） 1.01

4. 一正方体的棱长10=x 米，如果棱长增长0.1米，则此正方体体积增加的精确值为30.3立方米，近似值为30立方米.

一、单项选择题

1.函数()y f x =在点0x 处可导是它在0x 处可微的（C ）. （A ）充分条件（B ）必要条件（C ）充分必要条件（D ）无关条件

--→的值为（D ）.

（A ）1 （B ）2 （C ）0 （D ）4 3.下列各式中（k 为常数）正确的是（D ）.

x x x x x x x dx d =?=-1)( （B ）k k k k dx d

=)( （C ）1)(-?=x x k x k dx d （D ）1)(-=k k kx x dx

4.设函数()??

x f 11x x ≥< ，则()x f 在点x=1处（B ）.

（A ）连续但不可导（B ）连续且()11='f （C ）连续且()01='f （D ）不连续

5.过曲线x x y ln =上0M 点的切线平行直线x y 2=，则切点0M 的坐标是（D ）.

（A ）（1，0）（B ）)0,(e （C ）)1,(e （D ）),(e e 6.若y = x (x – 1)(x – 2)(x – 3)，则)0(y '=（D ）.

（A ）0 （B ）-1 （C ）3 （D ）-6 7.已知x y cos = ，则()

（A ）x sin （B ）x c o s （C ）x s i n - （D ）x c o s

- 8.设函数)(x f y =可微，则当0→?x 时，dy y -?与x ?相比是（C ）.

（A ）等价无穷小（B ）同阶无穷小（C ）高阶无穷小（D ）低阶无穷小

二、填空题

1.若函数3ln =y ，则y '= 0 .

2.设函数1y x =-，则(1)y ' 不存在 .

3.变速直线运动的运动方程为t t t s 2)(2

+=，则其加速度为=)(t a 2 . 4.曲线x y =

在点（4, 2）处的切线方程是 044=+-y x .

5. d )cos (x - =xdx sin .

6.设()x x x f ln =，且()20='x f ，则()0x f = e . 三、计算题

1.求下列函数的导数：（1）()

23221x x x x y -??

??+=的导数2212823-+-='x x x y （2）x x x x y cos sin ln -+=的导数1cos sin ln +++='x x x y

32+-=x x y 的导数222)1(343+-+='x x x y

12+=x e y 的导数122+='x e y

（5）x y cos ln =的导数x y tan -='

（6）y =的导数)

y x x =的导数x

cos 1sin 2-=' （8）

y 1=的导数)ln 1(21

2.求由下列方程所确定的隐函数)(x y y =的导数

0=-+a y x 所确定的隐函数)(x y y =的导数

y dx dy -= （2）()x xy =cos 所确定的隐函数)(x y y =的导数

s i n ()s i n (1xy x xy y dx dy +-= （3）y x y ln =所确定的隐函数)(x y y =的导数x

y y y dx dy -=ln （4）0y x e e xy -+=，则(0)f '0= 3.求下列函数的二阶导数：

（1）bx ax y cos sin +=的二阶导数bx b ax a y cos sin 2

y xe -=的二阶导数x

sin y x =的二阶导数2

22sin 4cos 2x x x y -=''

ln 2y x =-的二阶导数2

4.求下列函数的微分：（1）12-=

x y 的微分dx x x dy 1

y -=的微分dx x x x x x dy 222)1(sin 2cos )1(-+-=

（3）x y ln sin =的微分dx x

cos(ln = （4）x e y

x cos -=的微分dx e x x dy x -+-=)cos (sin

四、应用题

1.有一批半径为cm 1的球，为减少表面粗糙度，要镀上一层钢，厚度为cm 01.0，则每只球大约需要用铜0.28克

2. 某公司生产一种新型游戏程序，假设能全部售出，收入函数为,20

x x R -=其中x 为公司一天的产量，如果公司每天的产量从250增加到260，则估计公司每天收入的增加量大约是110.

第3章微分中值定理与导数的应用

1.函数x x f cos )(=在]2,0[π上满足罗尔中值定理，满足罗尔定理结论中的πξ=

2.函数)1ln()(+=x x f 在[0，1]上，验证满足拉格朗日中值定理的条件（略），满足拉格朗日中值定理结论中的12

)(,12)(x x g x x f =+=在区间[-1，2]上满足柯西中值定理结论中的2

ξ 4.已知(1,1)A 与(3,3)B -是曲线 2

2y x x =-上的两点，则该曲线上点（2，0）处的切线平行于弦AB .

1.求下列极限：

331=-+-→x x x x (2)不存在2

x x -→- (3)0ln lim =+∞→x

x (4)23lim x x x e →+∞0=

→--a cos = (6)0ln lim lnsin x x x +→1= (7)21)ln 11(lim 1=--→x x x x (8)2

)111(lim 0=--→x x e x

lim cot x x x →1= (10)0lim x

2．下列极限可否用洛必塔法则去求，为什么？并用常规方法求出它们的极限.

（1）lim x x x x x e e e e --→+∞-+不可用洛必塔法则去求，否则会总是出现∞∞

的情形，用常规方法求

x e e e e --→+∞-+1= （2）x

x x sin lim +∞→不可用洛必塔法则去求，否则会出现等式右端无极限的情形，但并

不能得出极限不存在的结论，用常规方法求得x

x x sin lim +∞→1=

-=b a 时,极限320sin 3lim 0x x a b x x →??

4.当2ln =c 时,极限lim 4x

x x c x c →+∞+??

1.求下列函数的单调区间：

x y +=在区间)0,(-∞内单调递减，在区间),0(+∞内单调递增（2）x

=在区间)2,(--∞与区间),2(+∞内单调递增，在区间)2,2(-内单调递减

+在区间)100,0(内单调递增，在区间),100(+∞内单调递减

=+ 在区间)2,(--∞与区间),0(+∞内单调递增，在区间)1,2(--与区间

)0,1(-内单调递减

（5）ln(1)y x x =-+在区间)0,1(-内单调递减，在区间),0(+∞内单调递增

ln y x x =在区间)1,

内单调递减，在区间),1

(+∞e 内单调递增

（7）arctan y x x =-在区间),(+∞-∞内单调递减 (8)2

2ln y x x =-在区间)21

,0(内单调递减，在区间),2

1(+∞内单调递增（9）3

43x x y -=在区间)1,(-∞内单调递减，在区间),1(+∞内单调递增（10）32x x y -=

-与区间),2(+∞内单调递减，在区间)0,3

内单调递增 2.（略） 3.（略）

4.求下列函数的极值：

)1(x x y -=的极小值有25

3)52(3-=y ，极大值有0)0(=y

（2）22x x y -=

的极大值有1)1(=y ，无极小值

的极小值有32)42(-

=y ，无极大值

（4）非零常数0

2)1(+=x c y 的极大值有c y =)0(，无极小值非零常数0>c 时，2

2)1(+=x c y 的极小值有c y =)0(，无极大值（5

)43(=y ，无极小值（6）2x

y x e -=的极小值有0)0(=y ，极大值有24)2(e

)21(=y ，无极小值

321y x =-+无极小值，也无极大值（9）2

(2)(3)x x y x --=

的极大值有24

)512(=y ，无极小值（10）

0)0(=y 与0)2(=y ，极大值有1)1(=y

5．要造一个长方体无盖蓄水池，其容积为500立方米.底面为正方形，设底面与四壁

的单位造价相同，则底取10米高取5米时，才能使所用材料最省.

6．将边长为a 的正三角形铁皮剪去三个全等的四边形（如图3.9所示），然后将其沿虚线折起，做成一个无盖正三棱柱盒子.则当图中的x

时，该盒子容积最大，求出的最大容积为543a .

7.某厂生产某种产品，其固定成本为100元，

每多生产一件产品成本增加6元，又知该产品的需

求函数为p Q 1001000-=.则产量为200件时可使利润最大，最大利润是300元

8．某个体户以每条10元的价格购进一批牛仔裤，设此牛仔裤的需求函数为40

Q p =- 则该个体户将销售价定为每条30元时，才能获得最大利润

1.根据函数)(x f 的图像

（1）'f x ()在点1x x =、点2x x =

与点1x x =处改变符号

（2）'f x ()在点2x x =处有极大值，在点4x x =处有极小值（3）（略）

2.讨论下列曲线的凹凸性，并求出曲线的拐点：

（1）曲线x x y ln =在区间),0(+∞内是凹的，无拐点（2）曲线33

x x y -=在区间)0,(-∞内是凸的，

在区间),0(+∞内是凹的，点)0,0(是曲线33

的拐点（3）曲线3

535y x x x =-+-在区间)35,(-∞内是凸的，在区间),3

5(+∞内是凹的，点)27

是曲线32535y x x x =-+-的拐点（4）曲线53

y x x =+在区间)0,(-∞内是凸的，在区间),0(+∞内是凹的，点)0,0(是曲线5

y x x =+的拐点

（5）曲线23

2y x x =-在区间)32,(-∞内是凹的，在区间),32(+∞内是凸的，点)27

,32(是曲线23

2y x x =-的拐点

ln(1)y x =+在区间)1,(--∞与区间),1(+∞内是凸的，在区间)1,1(-内是凹的，点)2ln ,1(-与点)2ln ,1(都是曲线2

ln(1)y x =+的拐点

y xe -=在区间)2,(-∞内是凸的，在区间),2(+∞内是凹的，点)2

y xe -=的拐点

）曲线1y =+)0,(-∞内是凹的，在区间),0(+∞内是凸的，点)1,0(是曲

+在区间)33,(--∞与区间

),33(+∞内都是凹的，在区间)33,33(-

内是凸的，点)43,33(-与点)43,33(都是曲线21

=+的拐点（10）曲线1

+=在区间)2,(--∞内是凸的，在区间),2(+∞-内是凹的，点)

3.已知曲线2

bx ax y +=的一个拐点)3,1(，则a 的值为33-，b 的值为2

9 4.求下列曲线的渐近线：（1）曲线x

x y ln +=没有水平渐近线，也没有铅直渐近线（2）曲线x

e y 1-=有水平渐近线1=y ，有铅直渐近线0=x

--有水平渐近线0=y ，有铅直渐近线1-=x 与5=x （4）曲线14x

y e =-有水平渐近线3-=y ，有铅直渐近线0=x （5）曲线2

+有水平渐近线0=y ，有铅直渐近线3-=x (6) 曲线y

有水平渐近线0=y ，有铅直渐近线0=x （7）曲线1x

=+有水平渐近线0=y ，有铅直渐近线1-=x

(8) 曲线2arctan 2

y x =+没有水平渐近线，也没有铅直渐近线 5.（略）

1.设某产品生产x 个单位的总收入为2

()2000.01R x x x =-，则生产第100个单位产品时的总收入的变化率为198

2.某产品的函数()7002C q q =++单位：千元)，则：

（1）当产量为400台增加到484台时，总成本的平均变化率约为2.12千元/台；（2）当产量为400台的边际成本约为2.13千元/台。 3.某产品的销售量Q 与价格之间的关系式为P

1.则需求弹性P η为11-p .假如

销售价格为

，则P η的值为2-. 4.设某商品的需求量Q 对价格P 的弹性为2ln 2P P -=η.则销售收入Q P R ?=对价格P 的弹性为2ln 21P -.

5.求下列曲线的弧微分

东北大学历年期末高等数学试题

八、高等数学试题 2005/1/10 一、填空题（本题20分，每小题4分） 1．已知==?? ? ??-+∞→a a x a x x x ，则9lim 2．设函数?????>+≤+=1 1 12)(2x b ax x x x f ，，，当a = ,b = 时，f (x )在x =1处可导。 3．方程017 =-+x x 共有个正根。 4．当=x 时，曲线c bx ax y ++=2 的曲率最大。 5． ?=20sin π xdx x 。二、选择题（本大题24分，共有6小题，每小题4分） 1．下列结论中，正确的是（）（A ）若a x n n =∞ →2lim ，a x n n =+∞ →12lim ，则a x n n =∞ →lim ；（B ）发散数列必然无界；（C ）若a x n n =-∞ →13lim ，a x n n =+∞ →13lim ，则a x n n =∞ →lim ；（D ）有界数列必然收敛。 2．函数)(x f 在0x x =处取得极大值，则必有（）。（A ）0)(0='x f ；（B ）0)(0<''x f ；（C ）0)(0='x f 或)(0x f '不存在；（D ）0)(0='x f 且0)(0<''x f 。 3．函数?= x a dt t f x F )()(在][ b a ，上可导的充分条件是：)(x f 在][b a ，上（）（A ）有界；（B ）连续；（C ）有定义；（D ）仅有有限个间断点。 4．设?-+=2242 cos 1sin π πxdx x x M ，?-+=2243)cos (sin π πdx x x N ，?--=22 432)cos sin (π πdx x x x P ，则必有关系式（）（A ） M P N <<；（B ）P M N <<；（C ）N P M <<；（D ）N M P <<。 5．设)(x f y =在0x x =的某邻域内具有三阶连续导数，如果0)()(00=''='x f x f ，而0)(0≠'''x f ，则必有（）。（A ）0x 是极值点，))((00x f x ，不是拐点；（B ）0x 是极值点，))((00x f x ，不一定是拐点；（C ）0x 不是极值点，))((00x f x ，是拐点；（D ）0x 不是极值点，))((00x f x ，不是拐点。 6．直线3 7423z y x L =-+=-+：与平面3224=--z y x ： π的位置关系是（）（A ）L 与π平行但L 不在π上；（B ）L 与π垂直相交；（C ）L 在π上；（D ）L 与π相交但不垂直。 6．微分方程x x e xe y y y 3265+=+'-''的特解形式为（） (A)x x cxe e b ax x y 32)(*++=；（B ）x x e c x b ae y 32)(*++=；

高等数学(B2)期末模拟试卷(一)及答案

高等数学（B2）期末模拟试卷（一）一、选择题（本大题共小题，每题，共） ? ) 1ln(41222 2 -++--= y x y x z ，其定义域为 ?????????????????????????????????（?） ? { } 41),(2 2<+

???????????????????（?） ? 5- ? 1- ? 1 ? 5 ? 设05432:=+++∏z y x ，4 1 321:-= =-z y x L ，则∏与直L 的关系为 ??（ ?） ? L 与∏垂直 ? L 与∏斜交 ? L 与∏平行 ? L 落于∏内 ? 若{}4,2),(≤≤=y x y x D ，{} 40,20),(1≤≤≤≤=y x y x D )(2 2y x f +为 D 上的连续函数，则 σ d y x f D )(22?? +可化为 ?????????????????????????????????????????????? ????（） ? σd y x f D )(1 22?? + ? σd y x f D )(21 22??+ σd y x f D )( 4 1 22??+ ? σd y x f D )(81 22??+ ? 下列哪个函数是某一二阶微分方程的通解 ?????????????????????????????????????????????（ ?） ? x e cx y += ? x e c y x c +=+21 x c e c y x 21+= ? )(21x e x c c y += ? 下列哪个级数收敛 ?????????????????????????????????????????????? ???????????????????????????（） ? ∑∞ =-1 ) 1(n n ? ∑ ∞ =+1 1001 n n ? ∑∞ =+1100n n n ? ∑∞ =1100100 n n ? 若 ??=D d 4 σ，其中 ax y a x D ≤≤≤≤0,0:，则正数

下册东北大学高数期末考试试题

2008~2009学年第二学期试题一、单项选择题（本题共4小题，每小题4分，共计16分） 1.设函数(,)f x y 在点(0,0)的某邻域内有定义，且(0,0)3x f =，(0,0)1y f =-，则[ ] (A)(0,0) 3dz dx dy =-； (B) 曲面(,)z f x y =在点(0,0,(0,0))f 的一个法向量为(3,1,1)-； (C)曲线(,) 0z f x y y =??=?在点(0,0,(0,0))f 的一个切向量为(1,0,3)； (D) 曲线(,) 0z f x y y =??=?在点(0,0,(0,0))f 的一个切向量为(3,0,1) 2. 设1 0 (1,2,)n u n n ≤< =L ，则下列级数中必收敛的是[ ] (A)1 n n u ∞ =∑； (B) 1 (1)n n n u ∞ =-∑； (C) 1 n ∞ = (D) 21 (1)n n n u ∞ =-∑. 3. 如果81 lim 1=+∞→n n n a a ，则幂级数∑∞ =03n n n x a [ ] (A) (B) (C) (D) . 4. 设Ω是由球面2222x y z a ++=所围成的闭区域，则222x y z dv Ω ++???= [ ] . (A) 545a π； (B) 44a π； (C) 543a π； (D) 52 5 a π. 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共计24分） 1. 曲面2222321x y z ++=在点(1,2,2)-处的法线方程为 . 2. 函数),(y x f 22y xy x +-=在点)1,1(处的全微分为 . 3. 已知曲线L 为连接(1,0)和(0,1)两点的直线段，则曲线积分

大学高等数学上考试题库(附答案)

《高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和（B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()() 2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（）. （A ）连续且可导（B ）连续且可微（C ）连续不可导（D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（）. （A ）驻点但非极值点（B ）拐点（C ）驻点且是拐点（D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（）. （A ）只有水平渐近线（B ）只有垂直渐近线（C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线（D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（）.

2.《高等数学》(二)期末模拟试题(含标准答案)

【注】高等数学考试时间：7月13日（第二十周周二) 地点:主教楼１6０1教室以下题目供同学们复习参考用！！！! 《高等数学》(二）期末模拟试题一、填空题：(15分） 1．设,y x z =则=??x z .1-y yx 2. 积分=??D xydxdy ．其中Ｄ为40,20≤≤≤≤y x 。 16 3． L 为2x y =点(０,0)到(１,1)的一段弧，则=? ds y L .121 55- 4. 级数∑∞ =-1)1(n p n n 当p 满足时条件收敛.10≤

（C)?? ?+----2 22 2 1 1 1 1 y x x x dz dy dx ; (D ）??? 1 1 0 2 0 dz rdr d π θ。 5.方程x e x y y y -=+'-''323的特解形式为。B （A ）x e b ax )(+ （B)x cxe b ax ++ (C ）x ce b ax ++ (D ）x xe b ax )(+ 三、),(2 2 x y f z -=其中)(u f 有连续的二阶偏导数,求22x z ??.(８分) 解：)2(x f x z -?'=?? )2()2(222-?'+-?''=??f x f x z f f x '-''=242 例、设)](,[2 xy y x f z ?-=，),(v u f 具有二阶连续偏导数，求x y z ???2． x f f y z ?'?'+-?'=???21)1( ]2[1211 2y f x f x y z ?'?''+?''-=????x y f x f ?'??'?''+?''+??]2[2221??' ?'+??''?'+22f x y f 11 22)(f x xy f ''-''+'?'=??222122)2(f xy f y x ''?'+''?'-+?? 四、计算?-+-L x x dy y e dx y y e )2cos ()2sin (,L 为由点A （1,０）到B(0,1），再到 C(-1,0)的有向折线。（8分）解：2cos ,2sin -=-=y e Q y y e P x x y e x Q y e y P x x cos ,2cos =??-=?? .,,围成的区域为由设CA BC AB D 由格林公式 ?-+-L x x dy y e dx y y e )2cos ()2sin (???-+--??-??=CA x x D dy y e dx y y e dxdy y P x Q )2cos ()2sin ()( 02-=??dxdy D =2 五、计算 ?? ∑ ++dxdy zx dzdx yz dydz xy 2 22,其中∑为球体4222≤++z y x 及锥体22y x z +≥的公共部分的外表面。(８分）解：,围成的空间区域为由设∑Ω

关于大学高等数学期末考试试题与答案

关于大学高等数学期末考试试题与答案 Last revision on 21 December 2020

（一）填空题（每题2分，共16分） 1 、函数ln(5)y x =+-的定义域为 . 2、2()12x e f x x a ??=??+? 000x x x <=> ，若0lim ()x f x →存在，则a = . 3、已知 30lim(1)m x x x e →+=，那么m = . 4、函数21()1x f x x k ?-?=-??? 11x x ≠= ，在(),-∞+∞内连续，则k = . 5、曲线x y e =在0x =处的切线方程为 . 6、()F x dx '=? . 7、sec xdx =? . 8、20cos x d tdt dx ??=? ???? . （二）单项选择（每题2分，共12分。在每小题给出的选项中，选出正确答案） 1、下列各式中，不成立的是（）。 A 、lim 0x x e →+∞= B 、lim 0x x e →-∞= C 、21 lim 1x x e →∞= D 、1lim 1x x e →∞= 2、下列变化过程中，（）为无穷小量。 A 、()sin 0x x x → B 、()cos x x x →∞ C 、()0sin x x x → D 、()cos x x x →∞ 3、0lim ()x x f x →存在是)(x f 在0x 处连续的（）条件。 A 、充分 B 、必要 C 、充要 D 、无关 4、函数3y x =在区间[]0,1上满足拉格朗日中值定理的条件，则ξ=（）。 A 、 B 、

5、若曲线()y f x =在区间(),a b 内有()0f x '<，()0f x ''>，则曲线在此区间内（）。 A 、单增上凹 B 、单增下凹 C 、单减上凹 D 、单减下凹 6、下列积分正确的是（）. A 、1 12111dx x x --=-? B 、 122π-==?? C 、22cos xdx ππ-=?0 D 、2220 sin 2sin 2xdx xdx πππ-==?? （三）计算题（每题7分，共 56分） 1、求下列极限（1 ）2x → （2）lim (arctan )2x x x π →∞?- 2、求下列导数与微分（1）x x y cos ln ln sin +=，求dy ；（2）2tan (1)x y x =+，求 dx dy ；（3）ln(12)y x =+，求(0)y '' 3、计算下列积分（1 ）；（2 ）；（3）10arctan x xdx ?. （四）应用题（每题8分，共16分） 1. 求ln(1)y x x =-+的单调区间与极值. 2. 求由抛物线21y x +=与直线1y x =+所围成的图形的面积. 参考答案一、填空题（每空2分，共16分） 1. ()3,5 2. 2 3. 3 4. 2 5. 10x y -+= 6. ()F x C + 7. sec tan x x C ++ln 8.2cos x

东北大学高数试题上

一、高等数学试题 2007/1/14 二、填空题（将正确答案填在横线上，本大题共6小题, 每小题4分, 共24分） 1.120 lim(1sin 3) ________x x x →+=． 2.方程x 5 – 5x – 1 = 0在(1, 2)共有______个根. 3. 7 222 (1)sin x xdx π π-+=?_________. 4. ________dx =． 5.球体半径的增长率为0.02m/s ，当半径为2 m 时，球体体积的增长率为_________. 6. 幂级数0!n n n n x n ∞ =∑的收敛半径R = . 三、计算题(6分?4 = 24分) 1.设23 21ln ,.t x t d y y t dx ==??=? 求 2.求201 1lim tan x x x x →??- ?? ?. 3. 求 2. 4．已知 ,2) 1(1 1 =-∑∞ =-n n n u ,51 1 2=∑∞ =-n n u 求1 n n u ∞ =∑ 四、(10分)设y = x e -x (0 ≤ x < +∞)，求函数的极大值，函数曲线的拐点，并求曲线与直线x = 2, x = 1, y = 0所围成曲边梯形的面积及此平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体体积. 五、(8分) 将函数3 41 )(2 ++= x x x f 展开成(x -1)的幂级数．并给出收敛域。六、(8分)设2,01 (), 1,x x f x ax b x ?≤≤=?+>?适当选取a , b 值，使f (x )成为可导函数，令0 ()()x x f t dt ?=?，并求出?(x )的表达式. 七、(6分)设f (x )具有二阶连续导数，且f (a ) = f (b ), f '(a ) > 0, f '(b ) > 0, 试证：?ξ∈(a , b )，使f ''(ξ) = 0. 答案：一、1．(C) 2.(A) 3.(B ) 4 .(D). 5.(A) 二、1.32 e 2.1 3.2 π 4.2 (arctan C + 5. 0.32π 6.e. 三、1. 9. 2. 13. 3. 1 2arcsin 22 x C -. 4.8. 四、极大值1(1)y e =, 拐点222,e ?? ??? ，面积223A e e =-，体积245134V e e π??=- ???。五、2 221 x y x = -.

同济大学大一高等数学期末试题 (精确答案)

学年第二学期期末考试试卷课程名称：《高等数学》试卷类别：A 卷考试形式：闭卷考试时间：120 分钟适用层次：适用专业；阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示，不得分则在小题大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业。课程名称：高等数学A （考试性质：期末统考（A 卷）一、单选题（共15分，每小题3分） 1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( ) A ．(,)f x y 在P 连续 B ．(,)f x y 在P 可微 C ． 0 0lim (,)x x f x y →及 0 0lim (,)y y f x y →都存在 D ． 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在 2．若x y z ln =，则dz 等于（）． ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y y B x ln ln ln .ln x x y y C y ydx dy x + ln ln ln ln . x x y y y x D dx dy x y + 3．设Ω是圆柱面2 2 2x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则 (),,(=??? Ω dxdydz z y x f ）． 21 2 cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz π θθθθ? ? ? 21 2 cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz π θθθθ? ? ? 212 2 cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz π θπθθθ-?? ? 21 cos .(cos ,sin ,)x D d rdr f r r z dz πθθθ?? ? 4． 4．若1 (1)n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（）． A ．条件收敛 B ．绝对收敛 C ．发散 D ．敛散性不能确定 5．曲线2 2 2x y z z x y -+=?? =+?在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1）二、填空题（共15分，每小题3分）系(院)：——————专业：——————年级及班级：—————姓名：——————学号：————— ------------------------------------密-----------------------------------封----------------------------------线--------------------------------

同济大学版高等数学期末考试试卷

同济大学版高等数学期末考试试卷 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

《高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和（B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续，则a =（）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（）. （A ）连续且可导（B ）连续且可微（C ）连续不可导（D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4y x =的（）. （A ）驻点但非极值点（B ）拐点（C ）驻点且是拐点（D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（）. （A ）只有水平渐近线（B ）只有垂直渐近线（C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线（D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211 f dx x x ??' ????的结果是（）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ??+ ??? （D ）1f C x ?? -+ ???

高等数学上考试试题及答案

四川理工学院试卷（2007至2008学年第一学期）课程名称：高等数学(上)(A 卷) 命题教师：杨勇适用班级：理工科本科考试(考查)：考试 2008年 1 月 10日共 6 页注意事项： 1、满分100分。要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。 2、考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否则视为废卷。 3、考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。 4、如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷分别一同交回，否则不给分。试题一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分） 1. =--→1 ) 1sin(lim 21x x x ( C ) (A) 1； (B) 0； (C) 2； (D) 2 1 2.若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则dx e f e x x )(? --为( B ) (A) c e F x +)(； (B) c e F x +--)(； (C) c e F x +-)(； (D ) c x e F x +-) ( 3.下列广义积分中 ( D )是收敛的. (A) ? +∞ ∞ -xdx sin ； (B)dx x ? -111 ； (C) dx x x ?+∞ ∞-+2 1； (D)?∞-0dx e x 。 4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数，则下列结论错误的是( B )

(A) )(x f 可导，则)(x f 一定连续； (B) )(x f 可微，则)(x f 不一定可导； (C) )(x f 可积（常义），则)(x f 一定有界； (D) 函数)(x f 连续，则? x a dt t f )(在[]b a ,上一定可导。 5. 设函数=)(x f n n x x 211lim ++∞→ ，则下列结论正确的为( D ) (A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1=x ； (C) 存在间断点0=x ； (D) 存在间断点1-=x 二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分） 1. 极限=-+→x x x 1 1lim 20 _0____. 2. 曲线? ??=+=3 2 1t y t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程x xe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22 )2(2 1+- ，则该方程的通解为 . 4. 设)(x f 在2=x 处连续，且22 ) (lim 2=-→x x f x ，则_____)2(='f 5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F （牛顿）与伸长量s 成正比，即ks F =（k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________焦耳。 6．曲线23 3 2 x y =上相应于x 从3到8的一段弧长为 . 三、设0→x 时，)(22 c bx ax e x ++-是比2 x 高阶的无穷小，求常数c b a ,,的值（6分）

高等数学学期期末考试题(含答案全)

05级高数(2-3)下学期期末试题 (A 卷) 专业 ____________ 姓名 ______________ 学号 ________________ 《中山大学授予学士学位工作细则》第六条：“考试作弊不授予学士学位” 一,填空题 (每题4分,共32分) 1. 213______4 x y kx y z k π +-=-==若平面与平面成角,则 1/4 2. 曲线20 cos ,sin cos ,1t u t x e udu y t t z e = =+=+? 在t = 0处的切线方程为________________ 3. 方程z e xyz =确定隐函数z = f (x,y )则z x ??为____________ 4. ( ),dy f x y dx ?1 交换的积分次序为_________________________ 5．()2221,L x y x y ds +=-=?L 已知是圆周则 _________π- 6. 收敛 7. 设幂级数0 n n n a x ∞ =∑的收敛半径是2,则幂级数 21 n n n a x ∞ +=∑的收敛半径是 8. ()211x y ''+=微分方程的通解是 ()2121 arctan ln 12 y x x c x c =-+++_______________________ 二．计算题 (每题7分,共63分) 1．讨论函数 f ( x, y ) = 221 ,x y + 220x y +≠, f ( 0 , 0 ) = 0 在点（ 0 , 0 ）处的连续性，可导性及可微性。 P 。330 2．求函数2 222z y x u ++=在点)1,1,1(0P 处沿P 0方向的方向导数，其中O 为坐标原点。 3．2 1 2.1n n n n n ∞ =?? ?+?? ∑判别级数的敛散性 P ．544 4．设u=),(z y xy f +，),(t s f 可微，求du dz f dy f x f dx y f '+??? ??'+'+?'2211. 012 112x y z ---==z z yz x e xy ?=?-211sin ____________1 n n n ∞ =++∑级数的敛散性为

东北大学网络教育入学测试机考模拟题高起点数学

东北大学网络教育入学测试机考模拟题高起点数学 1、题目B1-1：（3）（） A．A B．B C．C D．D 标准答案：C 2、题目B1-2：（3）（） A．A B．B C．C D．D 标准答案：D 3、题目B1-3：（3）（） A．A B．B C．C D．D 标准答案：C 4、题目B1-4：（3）（）

A．A B．B C．C D．D 标准答案：D 5、题目B1-5：（3）（） A．A B．B C．C D．D 标准答案：A 6、题目B1-6：（3）（） A．A B．B C．C D．D 标准答案：C 7、题目B1-7：（3）（） A．A B．B C．C D．D 标准答案：C 8、题目B1-8：（3）（）

A．A B．B C．C D．D 标准答案：C 9、题目B1-9：（3）（） A．A B．B C．C D．D 标准答案：B 10、题目D1-1（3）（） A．A B．B C．C D．D 标准答案：B 11、题目B1-10：（3）（） A．A B．B C．C D．D 标准答案：C

12、题目D1-2（3）（） A．A B．B C．C D．D 标准答案：B 13、题目B1-11：（3）（） A．A B．B C．C D．D 标准答案：C 14、题目D1-3（3）（） A．A B．B C．C D．D 标准答案：C 15、题目D1-4（3）（） A．A B．B C．C D．D

标准答案：D 16、题目D1-5（3）（） A．A B．B C．C D．D 标准答案：C 17、题目D1-6（3）（） A．A B．B C．C D．D 标准答案：C 18、题目D1-7（3）（） A．A B．B C．C D．D 标准答案：C 19、题目D1-8（3）（） A．A B．B C．C D．D

《高等数学》(同济六版上)期末模拟试题答案

《高等数学》试卷（同济六版上）答案《一》一．选择题（每小题3分，本题共15分） 1-5 DBCAB 二．填空题（每小题3分，本题共15分） 6、1 7、 1x x + 8、1y = 9、2cos2x 10、0 三、计算题（本题共6小题，每小题6分，共36分） 11、解：x x x 2sin 2 4lim -+ →x →= 3分 01128 x →= = 6分 12、解： 2 cos 1 2 lim x dt e x t x ?-→2 cos 0sin lim 2x x xe x -→-= 3分 1 2e =- 6分 13、解：) 111(112 2 x x x y ++++= ' 4分 211 x += 6分 14、解：t t t t dx dy 211211 22= ++= 3分 2 22 2 321 12()241d y t d dy dx t dt t dt dx dx t t - +===-+ 6分 15、解：212122 sin(3)sin(3)(3)23 dx d x x x +=-++? ? 3分

12 cos(3)2C x =++ 6分 16、解：?? ??--+==-01 1 11 2 0d )(d )(d )(d )1(x x f x x f x x f x x f 01 10 d 1x x e dx x -=++?? 3 分 1 010 |ln(1)x e x -=++ 11ln 2e -=-+ 6分四、证明题（本题共2小题，每小题8分，共16分） 17、证明：10 1 (1)(1)m n m n x x dx t t dt -=--?? 4分 1 1 (1)(1)m n m n t t dt x x dx =-=-?? 8分 18、、证明：设f (x )=ln x , [,]x a b ∈，0a b << 显然f (x )在区间[,]a b 上满足拉格朗日中值定理的条件, 根据定理, 有 ()()'()(),.f b f a f b a a b ξξ-=-<< 4分由于1 ()f x x '= , 因此上式即为 ln ln b a b a ξ--=. 又由.a b ξ<< b a b a b a b a ξ---∴ << 当0a b <<时， ln b a b b a b a a --<< 8分五、应用题（本题共2小题,第19小题8分，第20小题10分,共18分） 19、解：2V r h π= ∴表面积222 2222222V V S r rh r r r r r ππππππ=+=+=+ 4分令22'40V S r r π=- = 得 r = 2h =

东北大学【精品】2016-2017学年第2 学期高等数学A期末考试试卷

东北大学2016-2017学年第2 学期高等数学A 期末考试试卷 2016~2017学年第2 学期考试科目：高等数学A 考试类型：（闭卷）考试考试时间： 120 分钟学号姓名年级专业一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为。 2. 设向量(2,1,2)a =，(4,1,10)b =-，c b a λ=-，且a c ⊥，则λ= 。 3．经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为。 4．设yz u x =，则du = 。 5．级数11 (1)n p n n ∞ =-∑，当p 满足条件时级数条件收敛。二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程2()'xy x y y +=的通解是（） A ．2x y Ce = B ．22x y Ce = C ．22y y e Cx = D ．2y e Cxy = 2．求极限 (,)(0,0)lim x y →= （） A ． 14 B ．12- C ．1 4 - D ．12

3．直线: 327 x y z L ==-和平面:32780x y z π-+-=的位置关系是（） A ．直线L 平行于平面π B ．直线L 在平面π上 C ．直线L 垂直于平面π D ．直线L 与平面π斜交 4．D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤，则D σ= （） A ．33()2b a π- B ．332()3b a π- C ．334()3b a π- D ．333()2 b a π - 5．下列级数收敛的是（） A ．11(1)(4)n n n ∞ =++∑ B ．2111n n n ∞=++∑ C ．1121n n ∞=-∑ D ．1 n ∞ = 三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特解。 2. 计算二重积分22 D x y dxdy x y ++?? ，其中22 {(,)1,1}D x y x y x y =+≤+≥。 3．设(,)z z x y =为方程2sin(23)43x y z x y z +-=-+确定的隐函数，求z z x y ??+??。

高等数学二期末考试试题

华北科技学院12级《电子商务专业》高等数学二期末考试试题一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内。 1、 .设函数25x y e =+，则'y = A.2x e B.22x e C. 225x e + D.25x e + 2、设y x =+-33，则y '等于（） A --34x B --32x C 34x - D -+-334x 3、设f x x ()cos =2，则f '()0等于（） A －2 B －1 C 0 D 2 4. 曲线y x =3的拐点坐标是（） A （－1，－1） B （0，0） C （1，1） D （2，8） 5、sin xdx ?等于（） A cos x B -cos x C cos x C + D -+cos x C 6、已知()3x f x x e =+，则'(0)f = A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7、下列函数在(,)-∞+∞内单调增加的是 A.y x = B.y x =- C. 2y x = D.sin y x = 8、1 20x dx =? A.1- B. 0 C. 13 D. 1 9、已知2x 是()f x 的一个原函数，则()f x = A.2 3 x C + B.2x C.2x D. 2 10. 已知事件A 的概率P （A ）＝0.6，则A 的对立事件A 的概率P A ()等于（） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7

二、填空题：11～20小题，每小题4分，共40分。把答案填写在题中横线上。 11、lim()x x x →-+=13 2____________________。 12、lim()x x x →∞-=13____________________。 13、函数y x =+ln()12的驻点为x ＝____________________。 14、设函数y e x =2，则y "()0=____________________。 15、曲线y x e x =+在点（0，1）处的切线斜率k ＝____________________。 16、()12 +=?x dx ____________________。 17、2031lim 1 x x x x →+-=+ 。 18、设函数20,()02,x x a f x x ≤?+=?>? 点0x =处连续，则a = 。 19、函数2 x y e =的极值点为x = 。 20、曲线3y x x =-在点（1,0）处的切线方程为y = 。三、解答题：21～24小题，共20分。解答应写出推理、演算步骤。 21、（本题满分5分）计算lim x x x x →-+-122321

东北大学高数试卷及答案2006.1.10

东北大学高等数学(上)期末考试试卷 2006.1. 一、选择题（本大题24分，共有6小题，每小题4分） 1．下列结论中，正确的是（）（A ）有界数列必收敛；（B ）单调数列必收敛；（C ）收敛数列必有界；（D ）收敛数列必单调. 2．函数)(x f 在0(,)U x δ内有定义，对于下面三条性质：≠)(x f 在0x 点连续；≡)(x f 在0x 点可导；≈)(x f 在0x 点可微. 若用“P Q ?”表示由性质P 推出性质Q ，则应有（）. （A ）≡?≈?≠；（B ）≡?≠?≈ ；（C ）≈?≠?≡ ；（D ）≠?≡?≈ . 3. 曲线3x y x = -（）. （A ）既有水平渐近线，又有垂直渐近线；（B ）仅有水平渐近线；（C ）仅有垂直渐近线；（D ）无任何渐近线. 4．函数)(x f 在[,]a b 上有定义，则()()b a f x f x dx = ? 存在的必要条件是（）（A ）)(x f 在[,]a b 上可导；（B ）)(x f 在[,]a b 上可导连续；（C ）)(x f 在[,]a b 上有界；（D ）)(x f 在[,]a b 上单调. 5．()y y x =是微分方程23x y y e ''+=的解，且0()0y x '=. 则必有（）（A ）()y x 在0x 某邻域内单调增加；（B ）()y x 在0x 某邻域内单调减少；（C ）()y x 在0x 取极大值；（D ）()y x 在0x 取极小值. 6．若)(x f 的导函数是sin x ，则)(x f 有一个原函数是（）. （A ）1sin x +；（B ）1sin x -；（C ）1cos x -；（D ）1cos x +. 二、填空题（本题36分，每小题4分） 1．1lim 1x x x x →∞+?? = ?-?? . 2．1()11f x x = + 的可去间断点是x = .

高等数学(上1)期末试卷模拟试卷1及答案

北京语言大学网络教育学院《高等数学(上1)》A 卷注意： 1.试卷保密，考生不得将试卷带出考场或撕页，否则成绩作废。请监考老师负责监督。 2.请各位考生注意考试纪律，考试作弊全部成绩以零计算。 3.本试卷满分100分，答题时间为100分钟。 4.本试卷第I 卷答案必须答在指定答题处，第II 卷答案必须答在每道题下面的空白处。第I 卷（客观卷）答题处第II 卷（主观卷）分值第I 卷（客观卷）一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在第I 卷（客观卷）答题处。 1. 设函数f(x)=1-2x,g[f(x)]= x x 1-，则g(21 )=（ d ） 2.极限=+∞→x arctgx lim x （ c ） 3.极限=+∞ →arctgx lim x （ c ） [A] -2 1 [B] 1 [C] 2 [D] 3 [A] 0 [B] 1 [C] - 2 π [D] 2 π [A]- 2 π [B] 0 [C] 2 π [D] +∞

4．已知当x →0时，e x －（ax 2+bx+1）是比x 2高阶的无穷小量，则常数a, b 满足（ b ） [A] a =1, b =1 [B] a =－1, b =－1 [C] 121 ==b ,a [D] 12 1 -=-=b ,a 5.设函数f(x)= x 1x 1+-，则=')0(f （ a ） 6.已知y=xe x ,则y (n) = (d ) 7. 设函数f(x 2)=x 4+x 2+1,则=')1(f （ d ） 8.极限21lim 12...122n n n n →∞?? ++--=??+?? c 9.函数2 1 sin()y x x =在0x =处存在的最高阶导数为d 10.设函数f(x)=? ??>≤-0x ,x 0 x ,1x 2，则极限0lim ()x f x →=（d ）第II 卷（主观卷） [A] -2 [B] 0 [C] 1 [D] 2 [A] xe nx [B] x(e x -n) [C] ne x [D] e x (x+n) [A] -1 [B] 1 [C] -2 [D] 3 [A] 1 [B] 2 [C] -0.5 [D] 0.5 [A] 0 [B]1 [C] 2 [D] 3 [A] 0 [B] 1 [C] -1 [D] 不存在

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