另令t t t g 11ln )(+-=，则有01
)(2
>-=
't t t g ∴g(t)在),1(+∞上递增，∴g(t)>g(1)=0 ∴t
t 11ln -> 综上得
x
x x x 11ln 11<+<+ （2）由（1）令x=1,2,……(n-1)并相加得
1
1
2111ln 23ln 12ln 13121-+
++<-+++<+++n n n n ΛΛΛ 即得1
1211ln 13121-+++<<+++n n ΛΛ
6. （1）263510a a a a +=+=，又Q 2621a a ?=
2637a a =?∴?
=? 或 267
3
a a =??=?
若26
7
3a a =??
=?，则9n a n =-，101a =-与0n a >矛盾； 若2637
a a =??=?，则1n a n =+，显然0n a >，
∴1n a n =+ （2）111lg 2lg 3,9b S b ==∴=，
当2n ≥时，1
19lg lg910n n n n b S S --??
=-=? ?
??
，欧1
9910n n b -??
∴=? ?
??
1n =Q 时，19n b b ==，1
99,10n n b n N -*??
∴=?∈ ?
??
19
10
n n b b +∴
= ∴数列是以9为首项，
9
10
为公比的等比数列。 （3）()1
99110n n c n -??
=+ ?
??
，设()2k c k ≥是数列{}n c 中的最大项，则
由1
1
k k k k c c c c +-≥??
≥? 可得89k ≤≤
∴数列{}n c 有最大项，最大项是7
8998110c c ??
==? ???
。
7. （1）由,32)3(32)3(11+=+-+=+-++m ma s m m ma s m n n n n 得
,3,2)3(1-≠=++m ma a m n n 两式相减得
,3
21+=∴
+m m
a a n n ∴{}n a 是等比数列。
（2）2,3
2)(,111≥∈∴+=
===+n N n m m
m f q a b .2
3
,32311131
11.3
111333223)(23111111+=
∴+=-+=∴?
?????∴=-?=+?+?==
------n b n n b b b b b b b b b b b f b n n n n n n n n n n n n n 为公比的等差数列
为首项是
8.
（Ⅰ）经计算33=a ，414=
a ，55=a ，8
1
6=a ． 当n 为奇数时，22+=+n n a a ，即数列}{n a 的奇数项成等差数列，
122)1(112-=?-+=∴-n n a a n ；
当n 为偶数，n n a a 2
1
2=
+，即数列}{n a 的偶数项成等比数列，
n n n a a )2
1
()21(122=?=∴-．
因此，数列}{n a 的通项公式为?????=)()
2
1()( 2
为偶数为奇数n n n
a n n ．
（Ⅱ）Θn
n n b )2
1()12(?-=，
n n n n n S )2
1
()12()21()32()21(5)21(3211132?-+?-++?+?+?
=∴-Λ ……（1） 1432)21()12()21()32()21(5)21(3)21(1 21+?-+?-++?+?+?=n n n n n S Λ…（2） （1）、（2）两式相减，
得132)2
1
()12(])21()21()21[(2211 21+?--++++?=n n n n S Λ 11)21()12(2
11]
)21(1[2121+-?----?+=n n n 1)21()32(23+?+-=n n ．
n
n n S )2
1()32(3?+-=∴．
9. （1）∵01=a ,当1=n 时,|sin ||)sin(|)(11x a x x f =-=,],0[2a x ∈, 又∵对任意的)1,0[∈b ,b x f =)(1总有两个不同的根,∴π=2a
∴],0[,sin )(1π∈=x x x f ， π=2a
由(1),],[|,2
cos ||)(21sin ||)(21sin
|)(322a x x
x a x x f ππ∈=-=-= ∵对任意的)
1,0[∈b ,
b x f =)(1总有两个不同的根, ∴π33=a
],3[|,3
1
sin ||)3(31sin ||)(31sin |)(433a x x a x x f πππ∈=-=-=
∵对任意的)1,0[∈b ,b x f =)(1总有两个不同的根, ∴π64=a
由此可得πn a a n n =-+1， 2
)1(π
-=
n n a n （1） 当Z k k n ∈=,2，k k k a a a a a a S 21243212-++-+-=-ΛΛ
π
πππππ4
])12(53[)
()()[(22
1223412n k k a a a a a a k k -=-=-++++-=-++-+--=-ΛΛ∴π42n
S n -= 当Z k k n ∈+=,12，πππ4
)
1)(1(22)12(2
12212+-=++
-=+=++n n k k k a S S k k k ∴π4
)
1)(1(+-=
n n S n
10. （I ）解：由121+=+n n S S λ得 12412,121212223112++=+=+=+=+=λλλλλλS S a S S ，
.1,0,4,432233=∴>==-=∴λλλa S S a Θ
（II ）由)1(211211+=++=++n n n n S S S S 整理得，
∴数列{1+n S }是以S 1+1=2为首项，以2为公比的等比数列，
),
2(2
,12,2211
11≥=-=∴-=∴?=+∴---n S S a S S n n n n n n n n
当n=1时a 1=1满足.2,21
1--=∴=n n n n a a
（III ）,22
)1(23222112
210--?+?-++?+?+?=n n n n n T Λ① n n n n n n n T 22)1(2)2(22212122?+?-+?-++?+?=--Λ，②
①－②得n n n n n T 22222112
2?-+++++=---Λ，
则122+-?=n
n n n T .
.2
32)3()12(212221+?-=--+-?=-∴-n n n n n n n n S T
当n =1时，
.02
1
2,2,02122211<-=-=<-=-S T n S T 时当 即当n =1或2时，
.2
,02n n n n S T
S T <<- 当n >2时，
.2
,02n n n n S T
S T >>- 11. （I ）a a a 21
1
1112=+=+=， a a a 32
2
12125
2
=+=+= 4分 （II ）当k ＝2，3，4，5，…时，
a a a a a a k k k k k k 2
11
212
1
2
12
11
22=+=++>+-----() ∴a a k k 2
122->-，∴a a a a n n k k k n
21
2
2
1
2
2
21-=->--=∑
()() ∴a a n n n 21
2
2121>+-=-()，∴a n n >-21
∵a 11=，a a a k k k k =+--11
1
234()＝，，，… ∴a a a a k k k -->>≥=111
01，∴ ∴a a a an a n n n n k k k n
k k n
21221
22
1
2
2211
211133-=-=-+≤-+-=--=-=∑
∑()()()()× ∴a n a n n 2
1
2
3332≤-+=-，∴a n n ≤-32 ∴21322345n a n n n
-<≤-=()，，，，… 12. 设等比数列的公比为q ，由已知条件，
得???????=++++=++++
②
．
①
251111212333332
2
333323q a q a a a
q a q q a q a a q a q a
①÷②得：251212
3=
a ，所以 5
113=a ．①×②，得5511122
=++++q q q q ，
即 056)1()1(2=-+++
q q q q ．71=+q q 或81
-=+q
q ．（舍去） 由 71
=+
q
q 得：0172=+-q q 2537±=q
∴ 3
)2
537(511-±=
?n n a 13. （1）由已知，得???=+=+2)5(log 1)2(log 3
3b a b a ，解得：???-==12b a ，
．
∴ )12(log )(3-=x x f （2）123
)
12(log 3-==-n a n n ．*N ∈n
设存在正数k ，使得?++
)11)(11(21a a …12)1
1(+≥+?n k a n
对一切*N ∈n 均成立， 则?+++≤
)11)(11(1
2121a a n k …)1
1(n a +?．记?+++=
)1
1)(11(1
21)(21a a n n F …
)1
1(n a +
?，则)1(+n F ?++
+=)11)(11(3
2121a a n …)11(n a +?)11(1
++n a ． ∵
1)
1(2)
1(21)1(4)1(2)32)(12(22)()1(2=++>-++=+++=+n n n n n n n n F n F ．
∴ )()1(n F n F >+，∴ F （n ）是随n 的增大而增大，
∵ *N ∈n ，∴ 当1=n 时，3
3
2)1()(min =
=F n F ． ∴ 332≤
k ，即k 的最大值为3
3
2． 14. （1）由题意得知)1,1(1Q ，)32
,1(1P ，)3
2,23(2Q
（2）),(n n n y x Q Θ，),(111+++n n n y x Q ，点n P 的坐标为),(1+n n y x
1,+n n Q Q Θ在曲线C 上，n n x y 1=
∴，1
11++=n n x y 又n P 在曲线n C 上，n
n n x y -++=
2
1
1 n n n x x -++=∴21 n n a -=∴2
（III ）+-+-=---)()(211n n n n n x x x x x ……+112)(x x x +- ……7分
=1222
1)
2()
1(++++-----ΛΛn n =n n
--=--?
1222
11)21(11 )11(
2)()(111+-++-=-?-=?∴n n n
n n n n n n x x y y x x b a )2
21221(21n n n ------= )
122()222(1
-??-?=
n
n Θn n 2222≥-?，3122≥-?n
n
n n b a 2
31
?≤
?∴ n
n n n b a b a b a S 23123123122211?++?+?≤
+++=ΛΛΛΛ 31)211(312
11)21
(161<-=--?
=n n 例题讲解部分
1．【2008年湖南理】已知函数2
2
()ln (1)1x f x x x
=+-+．
（I ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若不等式1
(1)n a e n
++≤对任意的N*n ∈都成立（其中e 是自然对数的底数）．
求a 的最大值．
解： （Ⅰ）函数()f x 的定义域是(1,)-+∞，
2222
2ln(1)22(1)ln(1)2().1(1)(1)
x x x x x x x
f x x x x ++++--'=-=+++ 设2
()2(1)ln(1)2g x x x x x =++--，则()2ln(1)2.g x x x '=+- 令()2ln(1)2,h x x x =+-则22()2.11x
h x x x
-'=
-=++ 当10x -<<时， ()0,h x '> ()h x 在(1,0)-上为增函数， 当x ＞0时，()0,h x '<()h x 在(0,)+∞上为减函数．
所以()h x 在0x =处取得极大值，而()0h x =，所以()0(0)g x x '<≠， 函数()g x 在(1,)-+∞上为减函数． 于是当10x -<<时，()(0)0,g x g >= 当0x >时，()(0)0.g x g <=
所以，当10x -<<时，()0,f x '>()f x 在(1,0)-上为增函数． 当0x >时，()0,f x '<()f x 在(0,)+∞上为减函数．
故函数()f x 的单调递增区间为(1,0)-，单调递减区间为(0,)+∞．
（Ⅱ）不等式1
(1)
n a
e n
++≤等价于不等式1()ln(1) 1.n a n
++≤由1
11n +>知，
1.1
ln(1)
a n n
≤
-+
设(]11
(),0,1,ln(1)G x x x x
=
-∈+则
22
2222
11(1)ln (1)().(1)ln (1)(1)ln (1)
x x x G x x x x x x x ++-'=-+=++++ 由（Ⅰ）知，2
2
ln (1)0,1x x x
+-≤+即22(1)ln (1)0.x x x ++-≤ 所以()0,G x '<(]0,1,x ∈于是()G x 在(]0,1上为减函数． 故函数()G x 在(]0,1上的最小值为1
(1) 1.ln 2
G =- 所以a 的最大值为
1
1.ln 2
-
2．山东省日照市2009届高三模拟考试数学理科试题已知0a >，函数1()ln x
f x x ax
-=
+． （Ⅰ）试问在定义域上能否是单调函数？请说明理由；
（Ⅱ）若()f x 在区间 [)1,+∞上是单调递增函数，试求实数a 的取值范围； （Ⅲ）当 1a =时，设数列 1n ??
????
的前n 项和为n S ，求证：111()(2)n n n
S f n S n N n n
---<-
<∈*≥且 解：（Ⅰ）()f x 的定义域为()0,+∞，2
1()ax f x ax -'=，由()0f x '=得1
x a =． ……2分 当1
(,)x a a
∈时，()0f x '<，()f x 递减； 当1(,)x a
∈+∞时，()0f x '>，()f x 递增．
所以()y f x =不是定义域上的单调函数． ……………………………4分 （Ⅱ）若()f x 在x ∈[1,)+∞是单调递增函数，则()0f x '≥恒成立，即1
a x
≥
恒成立． …………………………．…6分
即1max,[1,)a x x ??
≥
∈+∞????
Q 1
1x
∴≤ 1a ∴≥． ……………8分 （Ⅲ）当1a =时，由（Ⅱ）知，1()ln x
f x x x
-=
+在[1,)+∞上为增函数， 111()ln ln ,n n n
f n n n n n n
----=+-=Q
又Q 当1x >时，()(1)f x f >， 1ln 0x x x
-∴+>，即1
ln 1x x >-．
令()1ln ,g x x x =--则1
()1g x x
'=-，当(1,)x ∈+∞时，()0.g x '>
从而函数()g x 在[1,)+∞上是递增函数，所以有()(1)0,g x g >=即得1ln .x x ->
综上有：1
1ln 1,(1).x x x x
-
<<-> ………………………………10分 111
ln .1x x x x
+∴<<+ ………………………………………12分
令1,2,...,1,(2)x n n N n *
=-∈≥且时，不等式111ln .1x x x x
+∴<<+也成立， 于是代入，将所得各不等式相加，得
1112311
...ln ln ...ln 1....2312121n n n n +++<+++<+++-- 即11111
...ln 1. (2321)
n n n +++<<+++
- 即111()(2).n n n
S f n S n N n n
*---<-<∈≥且 ……………………14分 3．2009届山东省德州市高三第一次练兵（理数）已知函数x a x x f ln )(2-=在]2,1(是增函数,x a x x g -=)(在（0,1）为减函数．
（1）求)(x f 、)(x g 的表达式；（2）求证：当0>x 时,方程2)()(+=x g x f 有唯一解； （3）当1->b 时,若2
1
2)(x bx x f -≥在x ∈]1,0(内恒成立,求b 的取值范围． 解：（1）,2)(x
a
x x f -
='依题意]2,1(,0)(∈>'x x f ,即22x a <,]2,1(∈x ． ∵上式恒成立,∴2≤a ① …………………………1分
又x
a
x g 21)(-=',依题意)1,0(,0)(∈<'x x g ,即x a 2>,)1,0(∈x ．
∵上式恒成立,∴.2≥a ② …………………………2分 由①②得2=a ．
…………………………3分
∴.2)(,ln 2)(2x x x g x x x f -=-= …………………………4分 （2）由（1）可知,方程2)()(+=x g x f ,.022ln 22=-+--x x x x 即 设22ln 2)(2-+--=x x x x x h ,,1122)(x
x x x h +--
='则 令0)(>'x h ,并由,0>x 得,0)222)(1(>+++-x x x x x 解知.1>x ………5分 令,0)(<'x h 由.10,0<<>x x 解得 …………………………6分 列表分析：
x
（0,1）
1 （1,+∞）
)(x h ' - 0 + )(x h
递减
递增
可知)(x h 在1=x 处有一个最小值0, …………………………7分
当10≠>x x 且时,)(x h ＞0,
∴0)(=x h 在（0,+∞）上只有一个解．
即当x ＞0时,方程2)()(+=x g x f 有唯一解． …………………………8分
（3）设2
'
23
122()2ln 2()220x x x bx x x b x x x ??=--+
=---<则, …………9分 ()x ?∴在(0,1]为减函数min ()(1)1210x b ??∴==-+≥ 又1b >-………11分
所以：11≤<-b 为所求范围．
…………………………12分
4．山东省实验中学2009届高三第三次诊断考试（数学理）已知函数1()ln x
f x x ax
-=
+ （注：ln 20.693≈）
（1）若函数()f x 在[1,)+∞上为增函数，求正实数a 的取值范围；
（2）当1a =时，若直线y b =与函数()y f x =的图象在1[,2]2
上有两个不同交点，求实数b 的取值
范围：
（3）求证：对大于1的任意正整数1111,ln 234n n n
>
++++…解：（1）因为 1()ln x f x ax -=+ 所以21
'()(0)ax f x a ax
-=> 依题意可得，对2
1
[1,).'()0ax x f x ax -?∈+∞=≥恒成立，
所以 对[1,).10x ax ?∈+∞-≥恒成立，
所以 对1[1,),x a x
?∈+∞≥
恒成立，max 1
()a x ≥，即1a ≥
（2）当1a =时，21'(),x f x x
-=若1
[,1]2x ∈，'()0f x ≤，()f x 单调递减；
若[1,2].'()0,()x f x f x ∈≥单调递增；
故()f x 在1x =处取得极小值，即最小值(1)0f =
又11()1ln 2,(2)ln 2,22f f =-=-
313ln ln16()(2)2ln 20222
e f f --=-=> 所以要使直线y b =与函数()y f x =的图象在1
[,2]2上有两个不同交点，
实数b 的取值范围应为((1),(2)]f f ，即1
0,ln 2]2
-；
（3）当1a =时，由(1)可知，1()ln x
f x x x
-=+在[1,)+∞上为增函数，
当1n >时，令1n
x n =-，则1x >，故()(1)0f x f >=，
即111()ln ln 01111
n n n n n f n n n n n n --=
+=-+->----所以1ln 1n n n >-． 故 2131411ln ,ln ,ln ,ln 122334-1n n n
>>>>…,
相加可得2341111
ln ln ln ln 123-1234n n n +++>+++?+…+
又因为234234ln ln ln ln ln()ln 12311231
n n
n n n ++++=??=--……
所以对大于1的任意正整书1111
,ln 234n n n
>++++…
5．山东省烟台市2009届高考适应性练习（二）理综试题 数列{}n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，对于任意n N *
∈，总有2
,,n n n a S a 成等差数列．
（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 的前n 项和为n T ，且2ln n n n
x
b a =，求证：对任意实数
(1,](x e e ∈是常数，e =2．71828…）和任意正整数n ，总有2n T <；
（3）在正数数列{}n c 中，11(),()n n n a c n N +*
+=∈．求数列{}n c 中的最大项．
解：由已知：对于n N *
∈，总有22n n n S a a =+成立 (1)
2
1112(2)n n n S a a n ---∴=+≥ …（2） ……………………………………1分 （1）—（2）得22112n n n n n a a a a a --∴=+--
111()()n n n n n n a a a a a a ---∴+=+-
1,n n a a -Q 均为正数， 11(2)n n a a n -∴-=≥
∴数列{}n a 是公差为1的等差数列 ………………………………………3分
又1n =时，2
1112S a a =+，解得11a =
()n a n n N *
∴=∈ ……………………………………………………………5分
（2）证明：Q 对任意实数(]1,x e ∈和任意正整数n ，总有22ln 1
n n n x b a n
=≤……6分
222111111
...1...121223(1)n T n n n
∴≤
+++<++++??-? 1
111
111(1)() (222)
23
1n n n ??=+-+-++-=-<
?-??
……………9分
（3
）解：由已知22112a c c ==?=
33223a c c ==?=
，44334a c c ==?=
55445a c c ==?= 易得12234,......c c c c c <>>>
猜想2n ≥时，{}n c 是递减数列 ……………………………………………11分
令ln ()x f x x =，则22
1
ln 1ln ()x x
x x f x x x ?--'== ∴当3x ≥时，ln 1x >，则1ln 0x -<，即()0f x '< ∴()f x 在[)3,+∞内为单调递减函数，
由1
1n n n a c ++=知ln(1)
ln 1
n n c n +=
+
2n ∴≥时，{}ln n c 是递减数列，即{}n c 是递减数列
又12c c <，∴数列{}n c
中的最大项为2c = …………………………14分 1、添加或舍弃一些正项（或负项）
例1、已知*
21().n n a n N =-∈求证：
*12
231
1...().23n n a a a n n N a a a +-<+++∈ 证明： 111211111111
.,1,2,...,,2122(21)2 3.222232
k k k k k k
k k a k n a +++-==-=-≥-=--+-Q
1222311111111
...(...)(1),2322223223
n n n n a a a n n n a a a +∴
+++≥-+++=-->-
*122311...().232
n n a a a n n
n N a a a +∴-<+++<∈ 本题在放缩时就舍去了22k -，从而是使和式得到化简.
2、先放缩再求和（或先求和再放缩） 例2、函数f （x ）=
x
x 414+，求证：f （1）+f （2）+…+f （n ）>n +
)(2
1
21*1
N n n ∈-+. 证明：由f (n )=
n
n 414+=1-
11
11422n n
>-+? 得f （1）+f （2）+…+f （n ）>n
2
2112
2112
2112
1
?-
++?-
+?-Λ
)(21
2
1)2141211(41*11N n n n n n ∈-+=++++-=+-Λ.
例3、设)1(433221+++?+?+?=n n a n Λ求证：2)1(2)1(2
+<<+n a n n n 证明：∵ n n n n =>+2)1( 2
1
2)21()1(2+=+<+n n n n
∴ 2
1
2)1(+<+∴ 2
)
12(31321++++<<++++n a n n ΛΛ， ∴2)1(2)1(2+<<+n
a n n n 本题利用21
2
n n +<<，对n a 中每项都进行了放缩，从而得到可以求和的数列，达到化简
的目的。
3、固定一部分项，放缩另外的项； 例
4、求证：2222111171234
n ++++<=---Q
2222211111111151171()().1232231424
n n n n ∴
++++<++-++-=+-<-L L 此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。 例5 求证：)N n (1n
21
2n 11n 1
21∈<++++
+≤Λ
证明：因为,2
1n n n n n 1n n 1n n 1n n 12n 11n 1=+=+++++≥++++++ΛΛ又
,1n
n n 1n 1n 1n n 12n 11n 1==+++<++++++ΛΛ所以原不等式成立。
例6 求证：.2n
3211
32112
111
?+ΛΛ
证明：因为左边
++-+-+-+=-++?+?+
≤ΛΛ)41
31()3121()211(1n )1n (13212111,2n
12)n 11n 1(<-=--证毕。
高中数列放缩法技巧大全
高中数列放缩法技巧大全 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑ =-n k k 121 42的值; (2)求证:2 1153n k k =<∑ . 解析:(1)因为 1 21 121)12)(12(21422+- -=+-= -n n n n n ,所以1 2212111 42 1 2 += +- =-∑=n n n k n k (2)因为22211411214121214 n n n n n ??<==- ?--+??- , 所以35321121121513121112 =+
高中数学数列放缩专题：用放缩法处理数列和不等问题
用放缩法处理数列和不等问题（教师版） 一．先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理） 例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设11+= n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：2 1 (学)高中数学数列放缩专题：用放缩法处理数列和不等问题
(学)高中数学数列放缩专题：用放缩法处理数列和不等问题
数列和不等问题（教师版） 一．先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理） 例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设11+= n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：2 1 高中数学放缩法技巧全总结材料
2010高考数学备考之放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求 ∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 3 51 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1 222n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1)1(1 ≥--<+n n n n n (15) 11 1) 11)((1122222 222<++++= ++ +--= -+-+j i j i j i j i j i j i j i 例2.(1)求证:)2()12(2167) 12(1513112 22≥-->-++++n n n (2)求证:n n 412141361161412 -<++++ (3)求证:1122642)12(531642531423121-+< ????-????++????+??+n n n (4) 求证：)112(213 12 11)11(2-+<++++<-+n n n
高中数学放缩法公式
“放缩法”证明不等式的基本策略 1、添加或舍弃一些正项（或负项） 例1、已知* 21().n n a n N =-∈求证： *12 231 1...().23n n a a a n n N a a a +-<+++∈ 证明： 111211111111 .,1,2,...,,2122(21)2 3.222232 k k k k k k k k a k n a +++-==-=-≥-=--+-Q 1222311111111 ...(...)(1),2322223223 n n n n a a a n n n a a a +∴ +++≥-+++=-->- *122311...().232 n n a a a n n n N a a a +∴-<+++<∈ 若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的 值变小。由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了22k -，从而是使和式得到化简. 2、先放缩再求和（或先求和再放缩） 例2、函数f （x ）= x x 414+，求证：f （1）+f （2）+…+f （n ）>n + )(2 1 21*1 N n n ∈-+. 证明：由f (n )= n n 414+=1- 11 11422n n >-+? 得f （1）+f （2）+…+f （n ）>n 2211221122112 1 ?- ++?- +?-Λ )(21 2 1)2141211(41*11N n n n n n ∈-+=++++-=+-Λ. 此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征, 先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和. 若分子, 分母如果同时存在变量时, 要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可。 3、逐项放大或缩小
专题：利用放缩法证明数列不等式问题
2014年12月02日的高中数学组卷1．（2014?烟台一模）已知数列{a n}前n项和为S n，首项为a1，且成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式； （Ⅱ）数列满足b n=（log2a2n+1）×（log2a2n+3），求证：．
2．（2014?宁波模拟）已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，a10=15，且a3、a4、a7成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式； （Ⅱ）设，数列{b n}的前n项和为T n，求证：．
3．（2014?东营一模）已知数列{a n}的前n项和S n=a n+n2﹣1，数列{b n}满足3n?b n+1=（n+1）a n+1﹣na n，且b1=3．（Ⅰ）求a n，b n； （Ⅱ）设T n为数列{b n}的前n项和，求T n，并求满足T n＜7时n的最大值．
4．（2014?成都一模）已知数列{a n}满足a1=1，点（a n，a n+1）在直线y=2x+1上． （1）求数列{a n}的通项公式； （2）若数列{b n}满足b1=a1，=+…+（n≥2且n∈N*），求b n+1a n﹣（b n+1）a n+1的值；（3）对于（2）中的数列{b n}，求证：（1+b1）（1+b2）…（1+b n）＜b1b2…b n（n∈N*）．
5．（2014?广东二模）已知各项均为正数的数列{a n}满足a n+12=2a n2+a n a n+1，且a2+a4=2a3+4，其中n∈N*． （1）求数列{a n}的通项公式； （2）设数列{b n}满足b n=，是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得b1，b m，b n成等比数列？若存在，求出所有的m、n的值；若不存在，请说明理由． （3）令c n=，记数列{c n}的前n项和为S n（n∈N*），证明：≤S n＜．
高中数学方法讲解之放缩法
高中数学方法讲解之放 缩法 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
放缩法 将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的的方法，叫放缩法。 放缩法的方法有： ⑴添加或舍去一些项，如：a a >+12；n n n >+)1( ⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶利用基本不等式，如： 4lg 16lg 15lg )2 5lg 3lg ( 5lg 3log 2 =<=+k k k k k （程度大） Ⅲ、 )1111(21)1)(1(11 112 2+--=+-=- c b a d d b a d c c a c b a b d c b a a m
2=+++++++< c d d d c c b a b b a a m ∴1 < m < 2 即原式成立 例2.当 n > 2 时，求证：1)1(log )1(log <+-n n n n 【巧证】：∵n > 2 ∴0)1(log ,0)1(log >+>-n n n n ∴ 2 22 2)1(log 2)1(log )1(log )1(log )1(log ?? ????-=??? ???++-<+-n n n n n n n n n n 12log 22=?? ? ??? 2时, 1)1(log )1(log <+-n n n n 例3.求证： 21 3121112222<++++n 【巧证】：n n n n n 1 11)1(112 --=-< ∴ 21 21113121211113121112 222<-=+-++-+-+<++++n n n n 十二、放缩法: 巧练一：设x > 0, y > 0,y x y x a +++=1, y y x x b +++=11，求 证：a < b 巧练一：【巧证】： y y x x y x y y x x y x y x +++<+++++=+++11111 巧练二：求证：lg9?lg11 < 1 巧练二：【巧证】： 122299lg 211lg 9lg 11lg 9lg 2 2 2 =?? ? ??高中数学方法讲解之放缩法
创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 放缩法 将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的的方法，叫放缩法。 放缩法的方法有： ⑴添加或舍去一些项，如：a a >+12；n n n >+)1( ⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶ 利用基本不等式，如： 4lg 16lg 15lg )2 5lg 3lg ( 5lg 3log 2 =<=+k k k k k （程度大） Ⅲ、)1 1 11(21)1)(1(11112 2+--=+-=-< k k k k k k ； （程度小）
例1.若a , b , c , d ∈R +，求证： 21<+++++++++++< c a d d b d c c a c b b d b a a 【巧证】：记m =c a d d b d c c a c b b d b a a +++ ++++++++ ∵a , b , c , d ∈R + ∴ 1=+++++++++++++++> c b a d d b a d c c a c b a b d c b a a m 2=+++++++ 2 时，求证：1)1(log )1(log <+-n n n n 【巧证】：∵n > 2 ∴0)1(log ,0)1(log >+>-n n n n ∴ 2 22 2)1(log 2)1(log )1(log )1(log )1(log ?? ????-=??????++-<+-n n n n n n n n n n 12log 22=?? ? ??? 2时, 1)1(log )1(log <+-n n n n 例3.求证：21 3121112222<++++n 【巧证】：n n n n n 111)1(112 --=-< ∴ 21 21113121211113121112 222<-=+-++-+-+<++++n n n n 十二、放缩法: 巧练一：设x > 0, y > 0,y x y x a +++=1, y y x x b +++=11，求 证：a < b
高考数学_压轴题_放缩法技巧全总结(最强大)
放缩技巧 （高考数学备考资料） 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑ =-n k k 1 2142的值; (2)求证:3 511 2 <∑=n k k . 解析:(1)因为 121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为 ??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1222 n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1) 1(1 ≥--<+n n n n n (15) 112 22 2+-+-+j i j i j i
高中数学放缩法
高考专题 放缩法 缩法是不等式证明中一种常用的方法，也是一种非常重要的方法。在证明过程中，适当地进行放缩，可以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果。但放缩的范围较难把握，常常出现放缩之后得不出结论或得出相反结论的现象。因此，使用放缩法时，如何确定放缩目标尤为重要。要想正确确定放缩目标，就必须根据欲证结论，抓住题目的特点。掌握放缩技巧，真正做到弄懂弄通，并且还要根据不同题目的类型，采用恰到好处的放缩方法，才能把题解活，从而培养和提高自己的思维和逻辑推理能力，分析问题和解决问题的能力。 数列及不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列及不等式知识解决问题的能力．本文介绍一类及数列和有关的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和． 一．先求和后放缩 例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设1 1 +=n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：2 1 < n B 解：（1）由已知得2)1(4+=n n a S ，2≥n 时，211)1(4+=--n n a S ，作差得： 1212224----+=n n n n n a a a a a ，所以0)2)((11=--+--n n n n a a a a ，又因为{}n a 为正数数列， 所以21=--n n a a ，即{}n a 是公差为2的等差数列，由1211+=a S ，得11=a ，所以 12-=n a n （2）)1 21 121(21)12)(12(111+--=+-== +n n n n a a b n n n ，所以
高中数学专题训练常用放缩方法技巧
常用放缩方法技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： ⑴添加或舍去一些项，如：a a >+12；n n n >+)1( ⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶利用基本不等式，如：4lg 16lg 15lg )25lg 3lg (5lg 3lg 2=<=+-≥ (5)利用常用结论： Ⅰ. 的放缩 Ⅱ. 21k 的放缩(1) ： 2111(1)(1) k k k k k <<+-（程度大） Ⅲ. 21k 的放缩(2)：22111111()1(1)(1)211k k k k k k <==+-+--+（程度小） Ⅳ. 2 1k 的放缩(3)：221 4112()412121k k k k <=+--+（程度更小） Ⅴ. 分式放缩还可利用真（假）分数的性质:)0,0(>>>++>m a b m a m b a b 和)0,0(>>>++高三数学数列放缩法
数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．本文介绍一类与数列和有关的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和． 一．先求和后放缩 例1．正数数列的前项的和，满足，试求： （1）数列的通项公式； （2）设，数列的前项的和为，求证： 解：（1）由已知得，时，，作差得： ，所以，又因为为正数数列，所以，即是公差为2的等差数列，由，得，所以 （2），所以 注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这 里所谓的差比数列，即指数列满足条件）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和． 二．先放缩再求和 1．放缩后成等差数列，再求和 例2．已知各项均为正数的数列的前项和为,且. (1) 求证：； (2)求证：
解：（1）在条件中，令，得，，又由条件有，上述两式相减，注意到得 ∴ 所以，， 所以 （2）因为，所以，所以 ； 2．放缩后成等比数列，再求和 例3．（1）设a，n∈N*，a≥2，证明：； （2）等比数列{a n}中，，前n项的和为A n，且A7，A9，A8成等差数列．设 ，数列{b n}前n项的和为B n，证明：B n＜． 解：（1）当n为奇数时，a n≥a，于是，． 当n为偶数时，a－1≥1，且a n≥a2，于是 ．（2）∵，，，∴公比． ∴．．
∴． 3．放缩后为差比数列，再求和 例4．已知数列满足：，．求证： 证明：因为，所以与同号，又因为，所以，即，即．所以数列为递增数列，所以，即，累加得：． 令，所以，两式相减得： ，所以，所以， 故得． 4．放缩后为裂项相消，再求和 例5．在m（m≥2）个不同数的排列P1P2…P n中，若1≤i＜j≤m时P i＞P（即前面某数大于后面某数），则称P i与P j构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列的逆序数为a n，如排列21的逆序数，排列321的逆序数 ．j （1）求a4、a5，并写出a n的表达式； （2）令，证明，n=1,2,…. （2）因为，
高考数学数列放缩法技巧全汇总
高考数学数列放缩法技巧全汇总
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高考数学备考之 放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 351 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 42 2 +--=+-= -n n n n n ,所以122121114212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为? ? ? ??+--=-= - <121121 2144 4 111 2 22 n n n n n ,所以 353211211215 1 31211 1 2 = + -?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1 !)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) ) 2(1) 1(1 ≥--<+n n n n n
2018_2019高中数学第二讲证明不等式的基本方法2.3反证法与放缩法导学案新人教A版
2.3 反证法与放缩法 学习目标 1.理解反证法在证明不等式中的应用． 2．掌握反证法证明不等式的方法． 3．掌握放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式. 一、自学释疑 根据线上提交的自学检测，生生、师生交流讨论，纠正共性问题。 二、合作探究 探究1．用反证法证明不等式应注意哪些问题？ 探究2．运用放缩法证明不等式的关键是什么？ 1.反证法 对于那些直接证明比较困难的命题常常用反证法证明．用反证法证明数学命题，实际上是证明逆否命题成立，来代替证明原命题成立，用反证法证明步骤可概括为“否定结论，推出矛盾”． (1)否定结论：假设命题的结论不成立，即肯定结论的反面成立． (2)推出矛盾：从假设及已知出发，应用正确的推理，最后得出与定理、性质、已知及事实相矛盾的结论，从而说明假设不成立，故原命题成立． 2．用反证法证明不等式应注意的问题 (1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的． (2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证；否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法． 3．放缩法 放缩法是证明不等式的一种特殊方法，它利用已知的基本不等式(如均值不等式)，或某些函数的有界性、单调性等适当的放缩以达到证明的目的．放缩是一种重要手段，放缩时应目标明确、放缩适当，目的是化繁为简，应灵活掌握．
常见放缩有以下几种类型： 第一，直接放缩； 第二，裂项放缩(有时添加项)； 第三，利用函数的有界性、单调性放缩； 第四，利用基本不等式放缩． 例如：1n 2<1n n －1＝1n －1－1n ，1n 2>1n n ＋1＝1n －1n ＋1；1n >2n ＋n ＋1＝2(n ＋1－n )，1 n <2n ＋n －1＝2(n －n －1)． 以上n ∈N，且n >1. 【例1】 若a 3＋b 3 ＝2，求证：a ＋b ≤2. 【变式训练1】 若假设a ，b ，c ，d 都是小于1的正数，求证：4a (1－b )，4b (1－c )，4c (1－d )，4d (1－a )这四个数不可能都大于1. 【例2】 设x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝a (a >0)，x 2＋y 2＋z 2＝12 a 2.求证：x ，y ，z 都不能是负数或大于23 a 的数． 【变式训练2】 证明：若函数f (x )在区间[a ，b ]上是增函数，那么方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至多有一个实根．
学高中数学数列放缩专题用放缩法处理数列和不等问题
学高中数学数列放缩专题用放缩法处理数列和 不等问题 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】
数列和不等问题（教师版） 一．先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理） 例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设11+= n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：2 1 高中数学方法讲解之放缩法
放缩法 将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的的方法，叫放缩法。 放缩法的方法有： ⑴添加或舍去一些项，如：a a >+12；n n n >+)1( ⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶ 利用基本不等式，如： 4lg 16lg 15lg )2 5lg 3lg ( 5lg 3log 2 =<=+k k k k k （程度大） Ⅲ、 )11 11(21)1)(1(11 112 2+--=+-=- c b a d d b a d c c a c b a b d c b a a m
2=+++++++< c d d d c c b a b b a a m ∴1 < m < 2 即原式成立 例2.当 n > 2 时，求证：1)1(log )1(log <+-n n n n 【巧证】：∵n > 2 ∴0)1(log ,0)1(log >+>-n n n n ∴ 2 22 2)1(log 2)1(log )1(log )1(log )1(log ?? ????-=??????++-<+-n n n n n n n n n n 12log 22=?? ? ??? 2时, 1)1(log )1(log <+-n n n n 例3.求证：21 3121112 222<++++n 【巧证】：n n n n n 111)1(112 --=-< ∴ 21 21113121211113121112 222<-=+-++-+-+<++++n n n n 十二、放缩法: 巧练一：设x > 0, y > 0,y x y x a +++= 1, y y x x b +++=11，求证： a < b 巧练一：【巧证】： y y x x y x y y x x y x y x +++<+++++=+++11111 巧练二：求证：lg9?lg11 < 1 巧练二：【巧证】：122299lg 211lg 9lg 11lg 9lg 2 2 2 =?? ? ??不等式的放缩法基本公式全新
用放缩法证明不等式的方法与技巧 一．常用公式 1．)1(11)1(12-<<+k k k k k 2．12112-+<<++k k k k k 3．22k k ≥()4≥k 4．1232k k ???????≥(2≥k ) 5．?? ????--≤！！（！k k k 1)11211 6．b a b a +≤+ 二．放缩技巧 所谓放缩的技巧：即欲证A B ≤，欲寻找一个（或多个）中间变量C ，使A C B ≤≤， 由A 到C 叫做“放”，由B 到C 叫做“缩”. 常用的放缩技巧 （1）若0,,t a t a a t a >+>-< （2） < > 11> n >= （3）21111111(1)1(1)(1)1n n n n n n n n n n -=<<=->++-- （4 ）=<=<= （5）若,,a b m R +∈，则,a a a a m b b m b b +><+ （6）21111111112!3!!222 n n -+++???+<+++???+ （7）2221111111111(1)()()232231n n n +++???+<+-+-+???+--（因为211(1)n n n <-） （7）1111111112321111n n n n n n n n n +++???+≤++???+=<+++++++ 或11111111123222222n n n n n n n n n +++???+≥++???+==+++ （8 ）1++???>+???==
1.生活如意，事业高升。 2.前程似锦，美梦成真。 3.年年今日，岁岁今朝。 4.百事大吉，万事顺利。 5.愿与同僚，共分此乐。 6.事业有成，幸福快乐。 7.生日快乐，幸福安康。 8.幸福快乐，与君同在。
