另令t
t t g 11ln )(+-=，则有01
)(2>-=
't
t t g ∴g(t)在),1(+∞上递增，∴g(t)>g(1)=0
∴t t 11ln -
> 综上得x
x x x 1
1ln 11<+<+
（2）由（1）令x=1,2,……(n-1)并相加得
1
1
2111ln 23ln 12ln 13121-+
++<-+++<+++n n n n 即得1
1211ln 13121-+++<<+++n n
6. （1）263510a a a a +=+=，又2621a a ?=
2637a a =?∴?=? 或 26
73a a =??=?
若267
3
a a =??
=?，则9n a n =-，101a =-及0n a >矛盾；
若26
37a a =??=?，则1n a n =+，显然0n a >，
∴1n a n =+ （2）111lg 2lg 3,9b S b ==∴=，
当2n ≥时，1
19lg lg910n n n n b S S --??
=-=? ?
??，欧1
9910n n b -??
∴=? ?
??
1n =时，19n b b ==，1
99,10n n b n N -*??
∴=?∈ ?
??
19
10
n n b b +∴
= ∴数列是以9为首项，
9
10
为公比的等比数列。 （3）()1
99110n n c n -??
=+ ?
??
，设()2k c k ≥是数列{}n c 中的最大项，则
由1
1k k k
k c c c c +-≥??
≥? 可得89k ≤≤
∴数列{}n c 有最大项，最大项是7
8998110c c ??
==? ???
。
7. （1）由,32)3(32)3(11+=+-+=+-++m ma s m m ma s m n n n n 得
,3,2)3(1-≠=++m ma a m n n 两式相减得
,3
21+=∴
+m m
a a n n ∴{}n a 是等比数列。
（2）2,3
2)(,111≥∈∴+=
===+n N n m m
m f q a b .2
3
,32311131
11.3
111333223)(23111111+=
∴+=-+=∴?
?????∴=-?=+?+?==
------n b n n b b b b b b b b b b b f b n n n n n n n n n n n n n 为公比的等差数列
为首项是
8.
（Ⅰ）经计算33=a ，4
14=a ，55=a ，8
16=a ．
当n 为奇数时，22+=+n n a a ，即数列}{n a 的奇数项成等差数列，
122)1(112-=?-+=∴-n n a a n ；
当n 为偶数，n n a a 2
1
2=+，即数列}{n a 的偶数项成等比数列，
n n n a a )2
1
()21(122=?=∴-．
因此，数列}{n a 的通项公式为???
??=)()
2
1()( 2
为偶数为奇数n n n
a n n ．
（Ⅱ） n n n b )2
1()12(?-=，
n n n n n S )2
1
()12()21()32()21(5)21(3211132?-+?-++?+?+?=∴- (1)
1432)2
1()12()21()32()21(5)21(3)21(1 21+?-+?-++?+?+?=n n n n n S …（2） （1）、（2）两式相减，
得132)2
1
()12(])21()21()21[(22
11 21+?--++++?=n n n n S
11)21()12(2
11]
)21(1[2121+-?----?+=n n n 1)21()32(23+?+-=n n ．
n n n S )2
1
()32(3?+-=∴．
9. （1）∵01=a ,当1=n 时,|sin ||)sin(|)(11x a x x f =-=,],0[2a x ∈, 又∵对任意的)1,0[∈b ,b x f =)(1总有两个不同的根,∴π=2a
∴],0[,sin )(1π∈=x x x f ， π=2a
由(1),],[|,2
cos ||)(2
1sin ||)(2
1sin |)(322a x x x a x x f ππ∈=-=-=
∵对任意的)1,0[∈b ,b x f =)(1总有两个不同的根, ∴π33=a
],3[|,3
1
sin ||)3(31sin ||)(31sin |)(433a x x a x x f πππ∈=-=-=
∵对任意的)1,0[∈b ,b x f =)(1总有两个不同的根, ∴π64=a
由此可得πn a a n n =-+1， 2
)1(π
-=
n n a n （1）
当Z k k n ∈=,2，k k k a a a a a a S 21243212-++-+-=-
π
πππππ4
])12(53[)
()()[(22
1223412n k k a a a a a a k k -=-=-++++-=-++-+--=- ∴π42n
S n -= 当Z k k n ∈+=,12，πππ4
)
1)(1(22)12(212212+-=++-=+=++n n k k k a S S k k k ∴π4
)
1)(1(+-=
n n S n
10. （I ）解：由121+=+n n S S λ得
12412,121212223112++=+=+=+=+=λλλλλλS S a S S ，
.1,0,4,432233=∴>==-=∴λλλa S S a
（II ）由)1(211211+=++=++n n n n S S S S 整理得，
∴数列{1+n S }是以S 1+1=2为首项，以2为公比的等比数列，
),
2(2
,12,2211
11≥=-=∴-=∴?=+∴---n S S a S S n n n n n n n n
当n=1时a 1=1满足.2,211--=∴=n n n n a a
（III ）,22)1(23222112210--?+?-++?+?+?=n n n n n T ①
n n n n n n n T 22)1(2)2(22212122?+?-+?-++?+?=-- ，②
①－②得n n n n n T 222221122?-+++++=--- ， 则122+-?=n n n n T .
.2
3
2)3()12(212221+?-=--+-?=-∴-n n n n n n n n S T ∴当n =1时，
.02
1
2,2,02122211<-=-=<-=-S T n S T 时当
即当n =1或2时，.2
,02n n n n S T
S T <<- 当n >2时，
.2
,02n n n n S T
S T >>- 11. （I ）a a a 211
1
112=+=+=， a a a 32212125
2
=+
=+= 4分 （II ）当k ＝2，3，4，5，…时， a a a a a a k k k k k k 211
212
1
2
12
1122=+
=+
+>+-----()
∴a a k k 2
12
2->-，∴a a a a n n
k k k n
21
2
2122
21-=->--=∑()()
∴a a n n n 2122121>+-=-()，∴a n n >-21 ∵a 11=，a a a k k k k =+
--11
1234()＝，，，…
∴a a a a k k k -->>≥=11101，∴ ∴a a a a n a n n n n
k
k k n
k k n
21
2212
2
1
2
2
211211133-=-=-+≤-+-=--=-=∑∑
()()()()×
∴a n a n n 2123332≤-+=-，∴a n n ≤-32
∴21322345n a n n n -<≤-=()，，，，… 12. 设等比数列的公比为q ，由已知条件，
得???????=++++=++++
②
．
①
25111121
2333332
2
333323q a q a a a
q a q q a q a a q a q a
①÷②得：2512123=
a ，所以 5
11
3=a ．①×②，得5511122=++++q q q q ，
即 056)1()1(2=-+++q q q q ．71=+q q 或81-=+q
q ．（舍去） 由 71=+q q 得：0172=+-q q 2
5
37±=q ∴ 3
)2
537(511-±=
?n n a 13. （1）由已知，得???=+=+2)5(log 1)2(log 3
3b a b a ，解得：???-==12b a ，
．
∴ )12(log )(3-=x x f
（2）123)12(log 3
-==-n a n n ．*N ∈n
设存在正数k ，使得?++)11)(1
1(21a a …12)1
1(+≥+?n k a n
对一切*N ∈n 均成立， 则?+++≤
)11)(11(1
2121a a n k …)1
1(n a +?．记?+++=
)1
1)(11(1
21)(21a a n n F …
)1
1(n a +
?，则)1(+n F ?++
+=)11)(11(3
2121a a n …)11(n a +?)11(1
++n a ． ∵
1)1(2)
1(21
)1(4)1(2)32)(12(22)()1(2=++>-++=+++=+n n n n n n n n F n F ．
∴ )()1(n F n F >+，∴ F （n ）是随n 的增大而增大， ∵ *N ∈n ，∴ 当1=n 时，3
3
2)1()(min ==F n F ． ∴ 332≤
k ，即k 的最大值为3
3
2． 14. （1）由题意得知)1,1(1Q ，)32,1(1P ，)3
2,23(2Q
（2）),(n n n y x Q ，),(111+++n n n y x Q ，点n P 的坐标为),(1+n n y x
1,+n n Q Q 在曲线C 上，n n x y 1=
∴，1
11++=n n x y 又n P 在曲线n C 上，n
n n x y -++=
2
1
1
n n n x x -++=∴21 n n a -=∴2
（III ）+-+-=---)()(211n n n n n x x x x x ……+112)(x x x +- ……7分 =12221)
2()1(++++----- n n =n n
--=--?
1222
11)21(11 )11(2)()(111+-++-=-?-=?∴n n n n n n n n n x x y y x x b a )2
21221(21n n n ------= )
122()222(1
-??-?=
n n
n n 2222≥-?，3122≥-?n
n
n n b a 231
?≤
?∴ n
n n n b a b a b a S 2
31
23123122211?++?+?≤
+++= 31)211(312
11)21
(161<-=--?
=n n 例题讲解部分
1．【2008年湖南理】已知函数2
2
()ln (1)1x f x x x
=+-+．
（I ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若不等式1
(1)n a e n
++≤对任意的N*n ∈都成立（其中e 是自然对数的底数）．
求a 的最大值．
解： （Ⅰ）函数()f x 的定义域是(1,)-+∞，
2222
2ln(1)22(1)ln(1)2().1(1)(1)
x x x x x x x
f x x x x ++++--'=-=+++ 设2()2(1)ln(1)2
g x x x x x =++--，则()2ln(1)2.g x x x '=+- 令()2ln(1)2,
h x x x =+-则22()2.11x h x x x
-'=
-=++
当10x -<<时， ()0,h x '> ()h x 在(1,0)-上为增函数， 当x ＞0时，()0,h x '<()h x 在(0,)+∞上为减函数．
所以()h x 在0x =处取得极大值，而()0h x =，所以()0(0)g x x '<≠， 函数()g x 在(1,)-+∞上为减函数． 于是当10x -<<时，()(0)0,g x g >= 当0x >时，()(0)0.g x g <=
所以，当10x -<<时，()0,f x '>()f x 在(1,0)-上为增函数． 当0x >时，()0,f x '<()f x 在(0,)+∞上为减函数．
故函数()f x 的单调递增区间为(1,0)-，单调递减区间为(0,)+∞．
（Ⅱ）不等式1(1)n a e n
++≤等价于不等式1()ln(1) 1.n a n
++≤由111n
+>知，
1.1ln(1)
a n n
≤
-+ 设(]11
(),0,1,ln(1)G x x x x
=
-∈+则
22
2222
11(1)ln (1)().(1)ln (1)(1)ln (1)
x x x G x x x x x x x ++-'=-+=++++ 由（Ⅰ）知，2
2
ln (1)0,1x x x
+-≤+即22(1)ln (1)0.x x x ++-≤ 所以()0,G x '<(]0,1,x ∈于是()G x 在(]0,1上为减函数． 故函数()G x 在(]0,1上的最小值为1
(1) 1.ln 2
G =- 所以a 的最大值为
1
1.ln 2
- 2．山东省日照市2009届高三模拟考试数学理科试题已知0a >，函数
1()ln x
f x x ax
-=
+． （Ⅰ）试问在定义域上能否是单调函数？请说明理由；
（Ⅱ）若()f x 在区间 [)1,+∞上是单调递增函数，试求实数a 的取值范围；
（Ⅲ）当 1a =时，设数列 1n ??
????
的前n 项和为n S ，求证：
111()(2)n n n
S f n S n N n n
---<-
<∈*≥且 解：（Ⅰ）()f x 的定义域为()0,+∞，21
()ax f x ax -'=，由()0f x '=得1
x a =． ……2分
当1(,)x a a
∈时，()0f x '<，()f x 递减； 当1(,)x a
∈+∞时，()0f x '>，()f x 递增．
所以()y f x =不是定义域上的单调函数． ……………………………4分
（Ⅱ）若()f x 在x ∈[1,)+∞是单调递增函数，则()0f x '≥恒成立，即1a x
≥恒成立．
…………………………．…6分
即1max,[1,)a x x ??≥ ∈+∞??
??
1
1x
∴≤ 1a ∴≥． ……………8分 （Ⅲ）当1a =时，由（Ⅱ）知，1()ln x
f x x x
-=+在[1,)+∞上为增函数， 111()ln ln ,n n n
f n n n n n n
----
=+-= 又当1x >时，()(1)f x f >， 1ln 0x x x
-∴+>，即1
ln 1x x >-．
令()1ln ,g x x x =--则1
()1g x x
'=-，当(1,)x ∈+∞时，()0.g x '>
从而函数()g x 在[1,)+∞上是递增函数，所以有()(1)0,g x g >=即得1ln .x x ->
综上有：11ln 1,(1).x x x x
-<<-> ………………………………10分
111ln .1x x x x
+∴<<+ ………………………………………12分 令1,2,...,1,(2)x n n N n *=-∈≥且时，不等式111ln .1x x x x
+∴<<+也成立， 于是代入，将所得各不等式相加，得
1112311
...ln ln ...ln
1....2312121n n n n +++<+++<+++--
即11111
...ln 1. (2321)
n n n +++<<+++
-
即111()(2).n n n
S f n S n N n n
*---<-
<∈≥且 ……………………14分 3．2009届山东省德州市高三第一次练兵（理数）已知函数x a x x f ln )(2-=在]2,1(是增函数,x
a
x x g -=)(在（0,1）为减函数．
（1）求)(x f 、)(x g 的表达式；（2）求证：当0>x 时,方程2)()(+=x g x f 有唯一解； （3）当1->b 时,若2
1
2)(x bx x f -
≥在x ∈]1,0(内恒成立,求b 的取值范围．
解：（1）,2)(x
a x x f -='依题意]2,1(,0)(∈>'x x f ,即22x a <,]2,1(∈x ． ∵上式恒成立,∴2≤a ① …………………………1分
又x
a x g 21)(-
=',依题意)1,0(,0)(∈<'x x g ,即x a 2>,)1,0(∈x ．
∵上式恒成立,∴.2≥a ② …………………………2分 由①②得2=a ． …………………………3分 ∴.2
)(,ln 2)(2x x x g x x x f -=-=
…………………………4分
（2）由（1）可知,方程2)()(+=x g x f ,.022
ln 22=-+--x x x x 即
设22ln 2)(2-+--=x x x x x h ,,1
122)(x
x x x h +--
='则 令0)(>'x h ,并由,0>x 得,0)222)(1(
>+++-x x x x x 解知.1>x ………5分
令,0)(<'x h 由.10,0<<>x x 解得 …………………………6分 列表分析：
x
（0,1）
1 （1,+）
)(x h '
- 0 + )(x h
递减 0 递增
可知)(x h 在1=x 处有一个最小值0, …………………………7分
当10≠>x x 且时,)(x h ＞0,
∴0)(=x h 在（0,+）上只有一个解．
即当x ＞0时,方程2)()(+=x g x f 有唯一解． …………………………8分 （3）设2'
23122()2ln 2()220x x x bx x x b x x x
??=--+
=---<则, …………9分 ()x ?∴在(0,1]为减函数min ()(1)1210x b ??∴==-+≥ 又1b >-………11分
所以：11≤<-b 为所求范围． …………………………12分 4．山东省实验中学2009届高三第三次诊断考试（数学理）已知函数
1()ln x
f x x ax
-=
+ （注：ln 20.693≈） （1）若函数()f x 在[1,)+∞上为增函数，求正实数a 的取值范围；
（2）当1a =时，若直线y b =及函数()y f x =的图象在1
[,2]2
上有两个不同交点，
求实数b 的取值范围：
（3）求证：对大于1的任意正整数1111
,ln 234n n n
>++++
…解：（1）因为 1()ln x f x ax -=+ 所以2
1
'()(0)ax f x a ax -=>
依题意可得，对21
[1,).'()0ax x f x ax
-?∈+∞=≥恒成立，
所以 对[1,).10x ax ?∈+∞-≥恒成立，
所以 对1[1,),x a x
?∈+∞≥恒成立，max 1
()a x ≥，即1a ≥
（2）当1a =时，21'(),x f x x
-=若1
[,1]2x ∈，'()0f x ≤，()f x 单调递减；
若[1,2].'()0,()x f x f x ∈≥单调递增； 故()f x 在1x =处取得极小值，即最小值(1)0f = 又11()1ln 2,(2)ln 2,2
2
f f =-=-
313ln ln16()(2)2ln 20222
e f f --=-=> 所以要使直线y b =及函数()y f x =的图象在1[,2]2上有两个不同交点，
实数b 的取值范围应为((1),(2)]f f ，即1
0,ln 2]2
-；
（3）当1a =时，由(1)可知，1()ln x
f x x x
-=+在[1,)+∞上为增函数，
当1n >时，令1n
x n =-，则1x >，故()(1)0f x f >=，
即111()ln ln 01111
n n n n n f n n n n n n --=
+=-+->----所以1ln 1n n n >-． 故 2131411
ln ,ln ,ln ,ln
122334-1n n n
>>>>…, 相加可得2341111
ln ln ln ln 123-1234n n n +++>+++?+…+
又因为234234ln ln ln ln
ln()ln 12311231
n n
n n n ++++=??=--……
高中数列放缩法技巧大全
高中数列放缩法技巧大全 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑ =-n k k 121 42的值; (2)求证:2 1153n k k =<∑ . 解析:(1)因为 1 21 121)12)(12(21422+- -=+-= -n n n n n ,所以1 2212111 42 1 2 += +- =-∑=n n n k n k (2)因为22211411214121214 n n n n n ??<==- ?--+??- , 所以35321121121513121112 =+
利用放缩法证明数列型不等式压轴题
利用放缩法证明数列型不等式压轴题 惠州市华罗庚中学 欧阳勇 摘要：纵观近几年高考数学卷，压轴题很多是数列型不等式，其中通常需要证明数列型不等式，它不但可以考查证明不等式和数列的各种方法，而且还可以综合考查其它多种数学思想方法，充分体现了能力立意的高考命题原则。处理数列型不等式最重要要的方法为放缩法。放缩法的本质是基于最初等的四则运算，利用不等式的传递性，其优点是能迅速地化繁为简，化难为易，达到事半功倍的效果；其难点是变形灵活，技巧性强，放缩尺度很难把握。对大部分学生来说，在面对这类考题时，往往无从下笔．本文以数列型不等式压轴题的证明为例，探究放缩法在其中的应用，希望能抛砖引玉，给在黑暗是摸索的学生带来一盏明灯。 关键词：放缩法、不等式、数列、数列型不等式、压轴题 主体： 一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用 1、裂项放缩法：放缩法与裂项求和的结合，用放缩法构造裂项求和，用于解决和式 问题。裂项放缩法主要有两种类型： （1）先放缩通项，然后将其裂成某个数列的相邻两项的差，在求和时消去中间的项。 例1设数列{}n a 的前n 项的和1412 2333n n n S a +=-?+，1,2,3, n =。设2n n n T S =， 1,2,3, n =，证明： 1 32 n i i T =< ∑。 证明：易得12(21)(21),3 n n n S +=--1132311()2(21)(21)22121n n n n n n T ++= =-----， 11223 111 31131111 11 ()()221212212121212121 n n i i i n n i i T ++===-=-+-++ ---------∑∑ = 113113()221212 n +-<-- 点评： 此题的关键是将12(21)(21)n n n +--裂项成1 11 2121 n n +---，然后再求和，即可达到目标。 （2）先放缩通项，然后将其裂成(3)n n ≥项之和，然后再结合其余条件进行二次放缩。 例2 已知数列{}n a 和{}n b 满足112,1(1)n n n a a a a +=-=-，1n n b a =-，数列{}n b 的
数列综合应用(放缩法)教案资料
数列综合应用（1） ————用放缩法证明与数列和有关的不等式 一、备考要点 数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中， 是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生 综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．解决 这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条： 一是先求和再放缩，二是先放缩再求和． 二、典例讲解 1．先求和后放缩 例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足 12+=n n a S ，试求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设1 1+=n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和 为n B ，求证：21③．放缩后为差比数列，再求和 例4．已知数列{}n a 满足：11=a ， )3,2,1()21(1Λ=+=+n a n a n n n ．求证： 112 13-++-≥>n n n n a a ④．放缩后为裂项相消，再求和 例5．在m （m ≥2）个不同数的排列P 1P 2…P n 中， 若1≤i ＜j ≤m 时P i ＞P j （即前面某数大于后面某数）， 则称P i 与P j 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的 总数称为该排列的逆序数. 记排列321)1()1(Λ-+n n n 的逆序数为a n ，如排列21的逆序数11=a ，排列321的 逆序数63=a ． （1）求a 4、a 5，并写出a n 的表达式； （2）令n n n n n a a a a b 11+++=，证明： 32221+<++高中数学数列放缩专题：用放缩法处理数列和不等问题
用放缩法处理数列和不等问题（教师版） 一．先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理） 例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设11+= n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：2 1 高中数学放缩法技巧全总结材料
2010高考数学备考之放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求 ∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 3 51 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1 222n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1)1(1 ≥--<+n n n n n (15) 11 1) 11)((1122222 222<++++= ++ +--= -+-+j i j i j i j i j i j i j i 例2.(1)求证:)2()12(2167) 12(1513112 22≥-->-++++n n n (2)求证:n n 412141361161412 -<++++ (3)求证:1122642)12(531642531423121-+< ????-????++????+??+n n n (4) 求证：)112(213 12 11)11(2-+<++++<-+n n n
数列放缩法高考专题
高考专题—数列求和放缩法 一．先求和后放缩 例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设11+= n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：2 1 n n n n a a 4．放缩后为裂项相消，再求和 例5．在m （m ≥2）个不同数的排列P 1P 2…P n 中，若1≤i ＜j ≤m 时P i ＞P j （即前面某数大于后面某数），则称P i 与P j 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列321)1()1(Λ-+n n n 的逆序数为a n ，如排列21的逆序数11=a ，排列321的逆序数63=a ． （1）求a 4、a 5，并写出a n 的表达式； （2）令n n n n n a a a a b 11+++=，证明32221+<++高三数学必做题--数列放缩法
(1) 求数列 4的通项公式； 1 a a 1 (2) 若a ，设b n n 丄，且数列b n 的前n 项和为「，求证：人 3 1 a n 1 a n i 3 n 1 a 2、已知数列 q 的前n 项和s n -，且a 1 1. 2 (1) 求数列耳的通项公式； (2) 令b n ln a n ，是否存在k (k 2,k N)，使得b k 、b k 1、b k 2成等比数列.若存在, 值；若不存在，请说明理由. 3、已知a n 是等差数列，a 2 3, a 3 5. ⑴求数列a n 的通项公式; 4、设数列a n 的前n 项和为S n ,且满足a 1 2, a . 1⑵对一切正整数n ，设b n n (1) n a n a n 1 ，求数列 b n 的前n 项和S n . 求出所有符合条件的 k 2S n 2 n 1,2,3L
(1)求 a 2 ； (2)数列a n 的通项公式; 5、对于任意的n € N*，数列｛a n ｝满足 (I )求数列｛a n ｝的通项公式； (n )求证：对于 n 》2,—— a ? a a i 1 a 2 2 , a n n -1 .2 L n 1 2 1 2 1 2 1 L 2 1 J a n 1 2n 2 6、已知各项均为正数的数列 ｛a n ｝的前n 项和为S n 满足4S n a n 2a n ?(3)设 b n a n 1 S n i S n ,求证: b i b 2 b n
(1)求a i 的值; (2)求｛a .｝的通项公式; 1 (1)求证：数列｛」｝是等差数列; a n 1 2 (2)求证：丄色更鱼L n 1 a 2 a 3 a ° (3)求证: 1 ~2 a i 1 ~2 a 2 a n ^,n N 2 7、已知数列耳满足a 1 2，a n 1a n 细1 1 0，" N 8已知首项大于0的等差数列 a n ｝的公差d 1，且二 a n a n 1
高考数学数列不等式证明题放缩法十种方法技巧总结
1. 均值不等式法 例1 设.)1(3221+++?+?=n n S n Λ求证 .2 )1(2)1(2 +<<+n S n n n 例2 已知函数 bx a x f 211 )(?+= ，若5 4)1(= f ，且 )(x f 在[0，1]上的最小值为21，求证： .2 1 21)()2()1(1 -+ >++++n n n f f f Λ 例3 求证),1(22 1321 N n n n C C C C n n n n n n ∈>?>++++-Λ. 例4 已知222121n a a a +++=L ，222 121n x x x +++=L ，求证：n n x a x a x a +++Λ2 211≤1. 2．利用有用结论 例5 求证.12)1 21 1()511)(311)(11(+>-+++ +n n Λ 例6 已知函数 .2,,10,)1(321lg )(≥∈≤x x f x f 对任意*∈N n 且2≥n 恒成立。 例7 已知1 1211 1,(1).2 n n n a a a n n +==+ ++ )(I 用数学归纳法证明2(2)n a n ≥≥； )(II 对ln(1)x x +<对0x >都成立，证明2n a e <（无理数 2.71828e ≈L ） 例8 已知不等式 21111 [log ],,2232 n n N n n *+++>∈>L 。2[log ]n 表示不超过n 2log 的最大整数。设正数数列}{n a 满足：.2,),0(111≥+≤ >=--n a n na a b b a n n n 求证.3,] [log 222≥+高中数学放缩法公式
“放缩法”证明不等式的基本策略 1、添加或舍弃一些正项（或负项） 例1、已知* 21().n n a n N =-∈求证： *12 231 1...().23n n a a a n n N a a a +-<+++∈ 证明： 111211111111 .,1,2,...,,2122(21)2 3.222232 k k k k k k k k a k n a +++-==-=-≥-=--+-Q 1222311111111 ...(...)(1),2322223223 n n n n a a a n n n a a a +∴ +++≥-+++=-->- *122311...().232 n n a a a n n n N a a a +∴-<+++<∈ 若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的 值变小。由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了22k -，从而是使和式得到化简. 2、先放缩再求和（或先求和再放缩） 例2、函数f （x ）= x x 414+，求证：f （1）+f （2）+…+f （n ）>n + )(2 1 21*1 N n n ∈-+. 证明：由f (n )= n n 414+=1- 11 11422n n >-+? 得f （1）+f （2）+…+f （n ）>n 2211221122112 1 ?- ++?- +?-Λ )(21 2 1)2141211(41*11N n n n n n ∈-+=++++-=+-Λ. 此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征, 先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和. 若分子, 分母如果同时存在变量时, 要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可。 3、逐项放大或缩小
高考数学数列放缩法技巧全汇总
高考数学数列放缩法技巧全汇总
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高考数学备考之 放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 351 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 42 2 +--=+-= -n n n n n ,所以122121114212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为? ? ? ??+--=-= - <121121 2144 4 111 2 22 n n n n n ,所以 353211211215 1 31211 1 2 = + -?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1 !)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) ) 2(1) 1(1 ≥--<+n n n n n
高中数学方法讲解之放缩法
高中数学方法讲解之放 缩法 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
放缩法 将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的的方法，叫放缩法。 放缩法的方法有： ⑴添加或舍去一些项，如：a a >+12；n n n >+)1( ⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶利用基本不等式，如： 4lg 16lg 15lg )2 5lg 3lg ( 5lg 3log 2 =<=+k k k k k （程度大） Ⅲ、 )1111(21)1)(1(11 112 2+--=+-=- c b a d d b a d c c a c b a b d c b a a m
2=+++++++< c d d d c c b a b b a a m ∴1 < m < 2 即原式成立 例2.当 n > 2 时，求证：1)1(log )1(log <+-n n n n 【巧证】：∵n > 2 ∴0)1(log ,0)1(log >+>-n n n n ∴ 2 22 2)1(log 2)1(log )1(log )1(log )1(log ?? ????-=??? ???++-<+-n n n n n n n n n n 12log 22=?? ? ??? 2时, 1)1(log )1(log <+-n n n n 例3.求证： 21 3121112222<++++n 【巧证】：n n n n n 1 11)1(112 --=-< ∴ 21 21113121211113121112 222<-=+-++-+-+<++++n n n n 十二、放缩法: 巧练一：设x > 0, y > 0,y x y x a +++=1, y y x x b +++=11，求 证：a < b 巧练一：【巧证】： y y x x y x y y x x y x y x +++<+++++=+++11111 巧练二：求证：lg9?lg11 < 1 巧练二：【巧证】： 122299lg 211lg 9lg 11lg 9lg 2 2 2 =?? ? ??最新高考数学数列放缩法技巧全总结
高考数学备考之 放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 351 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 42 2 +--=+-= -n n n n n ,所以122121114212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为? ? ? ??+--=-= - <121121 2144 4 111 2 22 n n n n n ,所以 353211211215 1 31211 1 2 = +-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1 !)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) ) 2(1) 1(1 ≥--<+n n n n n
高三数学必做题--数列放缩法(典型试题)
数列综合题 1、已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：()11n n a S a a = --，a 为常数，且0a ≠，1a ≠． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若13a =，设1111n n n n n a a b a a ++=-+-，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：13n T <． 2、已知数列{}n a 的前n 项和()12n n n a S +=，且11a =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令ln n n b a =，是否存在k (2,)k k N ≥∈，使得k b 、1k b +、2k b +成等比数列．若存在，求出所有符合条件的k 值；若不存在，请说明理由． 3、已知{}n a 是等差数列，32=a ，53=a ． ⑴求数列{}n a 的通项公式； ⑵对一切正整数n ，设1 )1(+?-=n n n n a a n b ，求数列{}n b 的前n 项和n S ．
4、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足21=a ,221+=+n n S a ()1,2,3 n =． （1）求2a ； （2）数列{}n a 的通项公式； （3）设n n n n S S a b 11++= ,求证：2121<+++n b b b ． 5、对于任意的n ∈N *，数列{a n }满足 1212121212121n n a n a a n ---+++=++++. (Ⅰ) 求数列{a n }的通项公式； (Ⅱ) 求证：对于n≥2，23 1222112n n a a a ++++<-
6、已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S 满足242n n n S a a =+． （1）求1a 的值； （2）求{}n a 的通项公式； （3）求证： *222121111,2n n N a a a ++???+<∈。 7、已知数列{}n a 满足112a = ，11210n n n a a a ++-+=，*n N ∈． （1）求证：数列1{}1 n a -是等差数列； （2）求证：2 3 12234 1 1n n a a a a n n n a a a a +<+++<+.
高中数学方法讲解之放缩法
创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 放缩法 将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的的方法，叫放缩法。 放缩法的方法有： ⑴添加或舍去一些项，如：a a >+12；n n n >+)1( ⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶ 利用基本不等式，如： 4lg 16lg 15lg )2 5lg 3lg ( 5lg 3log 2 =<=+k k k k k （程度大） Ⅲ、)1 1 11(21)1)(1(11112 2+--=+-=-< k k k k k k ； （程度小）
例1.若a , b , c , d ∈R +，求证： 21<+++++++++++< c a d d b d c c a c b b d b a a 【巧证】：记m =c a d d b d c c a c b b d b a a +++ ++++++++ ∵a , b , c , d ∈R + ∴ 1=+++++++++++++++> c b a d d b a d c c a c b a b d c b a a m 2=+++++++ 2 时，求证：1)1(log )1(log <+-n n n n 【巧证】：∵n > 2 ∴0)1(log ,0)1(log >+>-n n n n ∴ 2 22 2)1(log 2)1(log )1(log )1(log )1(log ?? ????-=??????++-<+-n n n n n n n n n n 12log 22=?? ? ??? 2时, 1)1(log )1(log <+-n n n n 例3.求证：21 3121112222<++++n 【巧证】：n n n n n 111)1(112 --=-< ∴ 21 21113121211113121112 222<-=+-++-+-+<++++n n n n 十二、放缩法: 巧练一：设x > 0, y > 0,y x y x a +++=1, y y x x b +++=11，求 证：a < b
高三数学数列放缩法
数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．本文介绍一类与数列和有关的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和． 一．先求和后放缩 例1．正数数列的前项的和，满足，试求： （1）数列的通项公式； （2）设，数列的前项的和为，求证： 解：（1）由已知得，时，，作差得： ，所以，又因为为正数数列，所以，即是公差为2的等差数列，由，得，所以 （2），所以 注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这 里所谓的差比数列，即指数列满足条件）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和． 二．先放缩再求和 1．放缩后成等差数列，再求和 例2．已知各项均为正数的数列的前项和为,且. (1) 求证：； (2)求证：
解：（1）在条件中，令，得，，又由条件有，上述两式相减，注意到得 ∴ 所以，， 所以 （2）因为，所以，所以 ； 2．放缩后成等比数列，再求和 例3．（1）设a，n∈N*，a≥2，证明：； （2）等比数列{a n}中，，前n项的和为A n，且A7，A9，A8成等差数列．设 ，数列{b n}前n项的和为B n，证明：B n＜． 解：（1）当n为奇数时，a n≥a，于是，． 当n为偶数时，a－1≥1，且a n≥a2，于是 ．（2）∵，，，∴公比． ∴．．
∴． 3．放缩后为差比数列，再求和 例4．已知数列满足：，．求证： 证明：因为，所以与同号，又因为，所以，即，即．所以数列为递增数列，所以，即，累加得：． 令，所以，两式相减得： ，所以，所以， 故得． 4．放缩后为裂项相消，再求和 例5．在m（m≥2）个不同数的排列P1P2…P n中，若1≤i＜j≤m时P i＞P（即前面某数大于后面某数），则称P i与P j构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列的逆序数为a n，如排列21的逆序数，排列321的逆序数 ．j （1）求a4、a5，并写出a n的表达式； （2）令，证明，n=1,2,…. （2）因为，
高考数学_压轴题_放缩法技巧全总结(最强大)
放缩技巧 （高考数学备考资料） 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑ =-n k k 1 2142的值; (2)求证:3 511 2 <∑=n k k . 解析:(1)因为 121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为 ??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1222 n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1) 1(1 ≥--<+n n n n n (15) 112 22 2+-+-+j i j i j i
放缩法技巧全总结(非常精辟-是尖子生解决高考数学最后一题之瓶颈之精华!!)
例析放缩法在数列不等式中的应用 孙卫 （安徽省芜湖市第一中学 241000） 数列不等式是高考大纲在知识点交汇处命题精神的重要体现，在高考试题中占有重要地位，在近几年的高考试题中，多个省份都有所考查，甚至作为压轴题。而数列不等式的求解常常用到放缩法，笔者在教学过程中发现学生在用放缩法处理此类问题时，普遍感到困难，找不到解题思路。现就放缩法在数列不等式求解过程中常见的几种应用类型总结如下。 1. 直接放缩，消项求解 例1（2008 辽宁21）在数列{}{},n n a b 中,112,4a b ==,且1,,n n n a b a +成等差数列,11,,n n n b a b ++成等比数列. *N n ∈, （Ⅰ）求234,,a a a 及234,,b b b ,由此猜测{}{},n n a b 的通项公式,并证明你的结论; （Ⅱ）证明:1122111512 n n a b a b a b +++<+++L . 分析：（Ⅰ）数学归纳法。（Ⅱ）本小题的分母可化为不相同的两因式的乘积，可将其放缩为等差型两项之积，通过裂项求和。 （Ⅰ）略解2(1)(1)n n a n n b n =+=+，． （Ⅱ）11115612 a b =<+．n ≥2时，由（Ⅰ）知(1)(21)2(1)n n a b n n n n +=++>+． 故112211111111622334(1)n n a b a b a b n n ??+++<++++ ?+++??+?? …… 111111116223341n n ??=+-+-++- ?+?? … 111111562216412n ??= +-<+= ?+??，综上，原不等式成立． 点评： 数列和式不等式中，若数列的通项为分式型，可考虑对其分母进行放缩，构造等差型因式之积。再用裂项的方法求解。 另外，熟悉一些常用的放缩方法， 如：),,2,1(1 1121n k n k n n Λ=+≤+≤,n n n n n n n n n 111)1(11)1(11112--=-≤<+=+- 例2（2008 安徽21.节选）设数列{}n a 满足*,1,1311N c c ca a a n n ∈-+==+其中c 为实数 （Ⅰ）证明：[0,1]n a ∈对任意* n N ∈成立的充分必要条件是[0,1]c ∈；
