复旦大学附属中学2019学年第二学期 高一年级数学线上教学评估试卷
考试时间120分钟；满分150分；所有答案均做在答题纸上
一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1.一个面积为1的扇形，所对弧长也为1，则该扇形的圆心角是________弧度 【答案】
12
【解析】 【分析】
设扇形的所在圆的半径为r ，圆心角为α，应用扇形的弧长公式和面积公式，列出方程组，即可求解.
【详解】设扇形的所在圆的半径为r ，圆心角为α， 因为扇形的面积为1，弧长也为1，
可得2
11
21r r αα??=???=?
，即221r r αα??=?=?，解得12,2r α==.
故答案为：
1
2
【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式和面积公式的应用，其中解答中熟练应用扇形的弧长公式和面积公式，列出方程组是解答的关键，着重考查了运算与求解能力. 2.计算sin40sin100sin50sin10??-??=________ 【答案】
12
【解析】 【分析】
利用诱导公式和两角差的正弦公式，即可得到答案； 【详解】原式1sin 40cos10cos 40sin10sin 302
=??-??=?=， 故答案为：
12
. 【点睛】本题考查诱导公式和两角差的正弦公式的应用，考查转化与化归思想，考查运算求解能力. 3.函数sin y x =，[
,]2x π
π∈的反函数记为()g x ，则1
()2
g =________
【答案】
56
π 【解析】 【分析】 点51
(
,)62π在原函数sin y x =的图象上，根据题意两函数图象关于直线y x =对称知点15(,)26
π
在反函数()g x 的图象上，得解. 【详解】因为当[
,]2
x π
π∈时，51sin
62
π=，所以点51
(,)62π在原函数sin y x =的图象上，
因为()g x 是函数sin y x =，[,]2
x π
π∈的反函数，
所以点15(,
)26π
在反函数()g x 的图象上，则15()26g π=. 故答案为：
56
π
【点睛】本题考查两个互为反函数的函数图象的对称性、正弦函数的图象与性质，属于基础题.
4.在△ABC
中，若a =1b =，60A =?，则B =________
【答案】
6
π 【解析】 【分析】
直接利用正弦定理，结合三角形解的个数判定，即可得到答案；
【详解】
11sin sin sin sin 2a b
B A B
B
=?=?=
， a b >，∴A B >，
∴6
B π
=
，
故答案为：
6
π. 【点睛】本题考查正弦定理\三角形解的个数，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
5.已知等比数列{}n a 中，24a =，68a =，则10a =________
【解析】 【分析】
将等比数列的通项公式代入24a =，68a =中，可得4
q ，再求10a 的值。
【详解】
24a =，68a =，∴14
5
14,28,
a q q a q =???=?=??， ∴410616a a q =?=，
故答案为：16.
【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量运算，考查运算求解能力，求解时注意广义通项公式的应用.
6.已知等差数列{}n a ，若1594a a a π++=，则()28sin a a +=______.
【答案】2
【解析】 【分析】
根据已知条件，利用等差中项性质可得5a ，进而得到28a a +的值，然后利用诱导公式，即和特殊角的三角函数值计算. 【详解】
1595=34a a a a π++=，∴543
a π=
，
∴28582sin()sin 2si 3n sin 3a a a ππ+====，
故答案为：
2
. 【点睛】本题考查等差数列的性质，诱导公式，三角函数的化简求值，考查逻辑推理能力、运算求解能力.属小综合题,难度较易. 7.已知数列{}()*
n a n N ∈中，11a =，121
n
n n a a a +=
+，则n a =___
【答案】
1
21
n - 【解析】
对已有的递推关系取倒数，则可构建新数列()*
1n n N a ??∈????
，它是等差数列，求出其通项后可求{}n a 的通项. 【详解】因为121n n n a a a +=
+，所以111
2n n
a a +=+， 所以
1112n n
a a +-=，故1n a ??
????
是以1为首项，2为公差的的等差数列， 所以()1
12121n n n a =+-=-，所以121
n a n =-，填121n -. 【点睛】给定数列的递推关系，我们常需要对其做变形构建新数列（新数列的通项容易求得），常见的递推关系和变形方法如下： （1）11n n n pa a qa p --=
+，取倒数变形为111n n q
a a p
--=；
（2）()10n n a q p p q a -+≠=，变形为
()110,1n n
n n n a q
pq p p p a p --+≠≠=，也可以变形为111n n a q p p a q p --
??= ??--?
-； 8.把函数43sin()13y x π=+
-的图像向右平移θ（0θ>）个单位，使得点(,1)2
π
-成为图像的一个对称中心，则θ的最小值是________ 【答案】
56
π
【解析】 【分析】
根据平移变换可得平移后的解析式为43sin()13y x πθ=-+-，将点(,1)2
π
-的坐标代入该解析式可得116
k πθπ=-+
，k Z ∈，从而可得θ的最小值为56π
.
【详解】把函数43sin()13
y x π
=+-的图像向右平移θ（0θ>）个单位， 可得43sin()13
y x π
θ=-+-，
依题意可得点(,1)2
π
-在函数43sin()13y x π
θ=-+
-的图象上， 所以413sin()123ππθ-=-+
-，即4sin()023
ππ
θ-+=， 所以423
k ππ
θπ-+
=，k Z ∈， 即116
k π
θπ=-+，k Z ∈，
因为0θ>，所以1k =时，θ取得最小值56
π. 故答案为：
56
π 【点睛】本题考查了函数图象
的
平移变换，考查了函图象数的对称中心，属于基础题. 9.函数2sin cos ()3sin 2x x
f x x
++=
-（x ∈R ）的最小值为________
【答案】
22
- 【解析】 【分析】
设sin cos t x x =
+，得到2sin 21
x t =-
，且[t
∈，得出函数2
2
()4t f x t +=-，再利用换元法，令2m t =+
，得出函数1
()4f
m m
=-，求得函数的最小值，即可求解. 【详解】设sin cos t x x =+，
则2
2
2
2
(sin cos )sin cos 2sin cos 1sin 2t x x x x x x x =+=++=+，可得2sin 21x t =-， 又由sin cos )[4
t x x x π
=+=
+∈，
所以函数2
2sin cos 2
()3sin 24x x t f x x t +++==--，[t ∈，
令2m t =+，则[22m ∈+，且2t m =-， 所以221
()4(2)44m m f m m m m m
=
==----，
因为[22m ∈，则4[22m -∈-+， 所以()f m =，
即函数()f x
.
故答案为：
22
-. 【点睛】本题考查了三角函数的基本关系式，三角函数的图象与性质综合应用，以及函数最值的求解，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
10.正整数列{}n a 满足1a a =，且对于n *∈N 有131 2
n n n n n a a a a a ++??
=???
是奇数是偶数，若61a =，则a
的所有可能取值为________ 【答案】4、5或32 【解析】 【分析】
由正整数列{}n a 满足1a a =，且对于n *∈N 有131 2
n n n n n a a a a a ++??
=???
是奇数是偶数，结合61a =,逐
步逆推即可得解.
【详解】解:因为正整数列{}n a 满足1a a =，且对于n *∈N 有131 2
n n n n n a a a a a ++??
=???
是奇数是偶数，
由61a =,
则52a =或50a =（舍）， 则44a =，
则31a =，22a =，14a =或38a =，216a =，15a =或38a =，216a =，132a =， 即a 的所有可能取值为4、5或32， 故答案为：4、5或32.
【点睛】本题考查了数列的递推关系，重点考查了运算能力，属基础题. 11.定义在R 上的奇函数()y f x =满足(tan )sin(2)f x x =对任意(0,
)2
x π
∈成立，则()f x 值
域为________ 【答案】[1,1]- 【解析】 【分析】
先由三角恒等变换可得22tan (tan )1tan x f x x =
+对任意
(0,)2
x π
∈成立，即定义在R 上的奇函数()y f t =满足当()0,t ∈+∞时，2
2()1t
f t t
=
+，然后结合重要不等式及函数的奇偶性求值域即可.
【详解】解：由(tan )sin2f x x =，
则2
2tan (tan )1tan x f x x =
+对任意(0,)2x π
∈成立， 令tan ,0,2t x x π??
=∈ ???
， 则()0,t ∈+∞，
即定义在R 上的奇函数()y f t =满足当()0,t ∈+∞时，2
2()1t
f t t
=
+， 又当()0,t ∈+∞时，
2211t t ≤=+，即(]()0,1f t ∈， 又函数()y f t =为定义在R 上的奇函数，则(0)0f =， 且当(),0t ∈-∞时，[)()1,0f t ∈-， 综上可得()f t 值域为[1,1]-， 即()f x 值域为[1,1]-， 故答案为：[1,1]-.
【点睛】本题考查了三角函数的万能公式，重点考查了函数奇偶性的应用，属基础题.
12.1T 是一个边长为1的正三角形，
2T 是将该正三角形沿三边中点连线等分成四份后去掉中间一份的正三角形后所形成的图形，依次类推1n T +是对n T 中所含有的所有正三角形都去掉中间一
份（如图），记n S为n T的面积，12
n n
Q S S S
=++???+，则
n
Q=________
3
3(1())
4
n
-
【解析】
【分析】
由图结合归纳推理可得数列{}n S3为首项，
3
4
为公比的等比数列，然后结合等比数列前n项和公式求解即可.
【详解】解：由图可知，后一个图形中剩下的三角形个数是前一个的三倍，
即第n个图形中剩下的三角形个数为1
3n-，
又后一个图形中剩下的三角形的边长是前一个的
1
2
倍，
所以第n个图形中剩下的每一个三角形的边长为1
1
()
2
n-，其面积为1
31
()
44
n-，
即n S=1
33
()
44
n-，
即数列{}n S是以3
4
为首项，
3
4
为公比的等比数列，
则12
3
()
34
3
41
4
n
n n
Q S S S
-
=++???+==
-
3
3(1())
4
n
-，
3
3(1())
4
n
-.
【点睛】本题考查了等比数列的综合应用，重点考查了归纳推理，属中档题.
二、选择题（本大题共4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.
13.在△ABC中，“
2
sin A>”是“
3
4
A
π
<”的（）条件
A. 充分非必要
B. 必要非充分
C. 充要
D. 既非充分
又非必要 【答案】A 【解析】 【分析】
根据三角函数的性质，得到当sin 2
A >时，34A π<是成立的，再利用反例，得出必要性不
一定成立，即求解.
【详解】在ABC ?中，由sin 2
A >
，因为(0,)A π∈，可得344A ππ<<，
所以当sin A >
时，34A π<是成立的，即充分性成立；
反之：例如36
4A π
π=
<
，此时1sin 2A =<.
所以“sin 2
A >”是“34A π<”的充分不必要条件.
故选：A
【点睛】本题主要考查了充分不必要条件的判定，其中解答中熟练应用三角函数的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
14.以下哪个不是25lim 21
n
n n q q →∞-+可能的取值（ ）
A. 2
B. 1-
C. 52
-
D. 7-
【答案】D 【解析】 【分析】 对q
取值进行分类讨论，即可得答案；
【详解】（1）若12
q =，则0n
q →，∴25lim 221n n
n q q →∞-=+；
（2）若2q
，则n q →+∞，∴25255lim lim 12122n n
n n n n
q q
q q
→∞→∞--==-++；
（3）若1q =，则1n
q =，∴25lim 121
n
n
n q q →∞-=-+； 利用排除法可得D 选项不可能， 故选：D.
【点睛】本题考查数列极限的求解，考查分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 15.若等差数列{}n a 首项为2，公差为2，其前n 项和记为n S ，则数列1
{
}n
S 前n 项和为（ ） A. 21
n n +
B. 1
n n +
C. 1
n(n 1)
+
D. 2(1)
n n +
【答案】B 【解析】 【分析】
根据等差数列前n 项和公式求出n S ，从而得出1
{
}n
S 的通项公式，再用裂项相消法即可求出数列1
{
}n
S 前n 项和. 【详解】等差数列前n 项()
112
n n n S na d -=+
，等差数列{}n a 首项为2，公差为2，代入可得()()12212
n n n S n n n -=+?=+，所以
()111111n S n n n n ==-++，所以数列1{}n
S 前n 项和为11111
1111122334
111
n n T n n n n =-+-+-++
-=-=+++. 故选：B
【点睛】本题主要考查等差数列前n 项和的求法，以及裂项相消法求数列前n 项和. 16.已知函数()sin()f x A x ω?=+（其中A 、ω、?均为正的常数）的最小正周期为
2
π
，当3
x π
=
时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ）
A. (1)(1)(0)f f f <-<
B. (0)(1)(1)f f f <<-
C. (1)(0)(1)f f f -<<
D. (1)(0)(1)f f f <<-
【答案】A 【解析】 【分析】
根据周期公式可得4ω=，根据当3
x π
=
时，函数()f x 取得最小值，可得1126
k ?ππ=-
，k Z ∈，所以()f x sin(4)6
A x π
=+，再利用诱导公式以及三角函数的
性质比较大小可得答案.
【详解】依题意得22
π
π
ω
=
，解得4ω=，所以()sin(4)f x A x ?=+，
因为当3
x π
=时，函数()f x 取得最小值，
所以423
2
k π
π
?π?+=-
，k Z ∈，即11
26
k ?ππ=-
，k Z ∈， 所以
11()sin(42)6f x A x k ππ=+-
11sin(4)sin(42)66A x A x πππ=-=-+sin(4)6
A x π
=+， 因为346
2
π
ππ<+<
且0A >，所以(1)sin(4)6f A π
=+0<，
因为
(1)sin(4)sin(42)sin[(42)]
666
f A A A πππ
πππ-=-+=-++=--++11sin(4)sin(4)66A A ππ
π=--=-，
又1104662πππ<-<<，所以110sin(4)sin 66
π
π<-<， 因为0A >，所以0(1)(0)f f <-<， 综上所述：(1)(1)(0)f f f <-<. 故选：A
【点睛】本题考查了根据三角函数的性质求解析式，考查了诱导公式，考查了利用正弦函数的单调性比较大小，属于中档题.
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17.
已知cos()5
αβ+=
，1tan 7β=，且α、(0,)2πβ∈.
（1）求22cos sin sin cos ββββ-+的值； （2）求2αβ+的值.
【答案】（1）11
10；（2）4
π. 【解析】 【分析】
（1）原式除以22cos sin ββ+，分子分母再同时除以2
cos β即可得解；（2）由
cos()αβ+=
及二倍角公式求出cos2()αβ+、sin 2()αβ+，再由1tan 7β=求出
sin β、cos β，代入2)cos[2(s ]co )(αβαββ+=+-的展开式即可得解. 【详解】（1）原式222222cos sin sin cos 1tan tan 11
cos sin 1tan 10
βββββββββ-+-+=
==++；
（2）
cos()0αβ+=
>且(0,)αβπ+∈，(0,)2παβ∴+∈，则sin()αβ+=
243
cos2()2cos ()12155αβαβ∴+=+-=?-=，
4
sin 2()2sin()cos()5αβαβαβ+=++=，
1tan 7β=
，(0,)2πβ∈，sin 1010
ββ∴==
， 2)cos[2()]co c s2()cos sin 2()si s(n o αβαββαββαββ+=+-=+++∴
34=5105102
?+?， 又(0,)2
π
αβ+∈，
(0,)2
π
α∈，2(0,)αβπ∴+∈ 2=
4
π
αβ∴+.
【点睛】本题考查利用同角三角函数的关系化简求值、二倍角公式、两角和的余弦公式、配凑法求三角函数值，属于中档题.
18.已知函数()sin sin )f x x x x =+.
（1）求()y f x =的单调减区间； （2）当[
,]63
x ππ
∈时，求()f x 的最大值和最小值. 【答案】（1）5[,]36k k ππππ++（k ∈Z ）；（2）最大值为3
2
，最小值为1.
【解析】 【分析】
（1）由二倍角公式及辅助角公式可知1
()sin 262
f x x π?
?=-
+
??
?，令3222,262
k x k k π
ππ
ππ+-+∈Z ≤≤，即可求出单调减区间. （2）令26t x π
=-，则可知()1sin ,,262f t t t ππ??
=+∈????
，结合正弦函数的单调性即可求出函数的最值.
【详解】解：（1
）2
1cos21()cos sin 2sin 2262x f x x x x x x π-?
?=+=
+=-+ ??
? 令
3222,262
k x k k π
ππππ+-+∈Z ≤≤，解得5,36k x k k Z ππ
ππ+≤≤
+∈ 则()f x 的
单调减区间为5[,]36
k k ππ
ππ++
，k ∈Z . （2）令26
t x π
=-
，因为[
,]63x ππ
∈，则,62t ππ??∈????
，即()1sin ,,262f t t t ππ??=+∈????，
由于()sin f t t = 在,62t ππ??
∈????
上单调递增，则当6t π=时，()min 1f t =；
当2
t π
=
时，()max 3
2
f t =
.即()f x 的最大值为32，最小值为1.
【点睛】本题考查了二倍角公式，考查了辅助角公式，考查了正弦函数单调性的求解，考查了正弦函数最值的求解.本题的关键是结合公式对函数的解析式进行整理变形.求正弦型函数的单调性时，常结合整体的思想列出不等式进行求解；求正弦型函数的最值时，常用换元法，结合函数的单调性、图像进行求解.
19.△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知1b c +=，且
()()()a c a c b b c +-=-.
（1）求角A 的大小；
（2）求三角形面积ABC
S
的最大值.
【答案】（1）3
A π
=；（2. 【解析】 【分析】
（1）将()()()a c a c b b c +-=-化简为222b c a bc +-=，然后用余弦定理即可求解； （2）先求出角A 的正弦值，然后可得1
sin 2
ABC
S bc A =，再根据基本不等式即可求出ABC
S 的最大值.
【详解】（1）由()()()a c a c b b c +-=-可得222b c a bc +-=，由余弦定理可得
2221
cos 22b c a A bc +-==，因为角A 为三角形内角，所以3
A π=；
（2）由（1）知3
A π
=
，所以sin 2
A =
，又1b c +=，
所以2
11sin sin 22216
ABC
b c S
bc A A +??=≤= ???，当且仅当12==b c 时取“=”，所以三角
形面积ABC
S
【点睛】本题主要考查余弦定理和三角形面积公式，解题时涉及到用基本不等式求最值.
20.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2
(1)n n n S a S -=（n *∈N ），设121
(1)(1)n n n n b n a a ++=-+?（n *∈N ），数列{}n b 的前n 项和n T . （1）求1S 、2S 、3S 的值；
（2）利用“归纳—猜想—证明”求出n S 的通项公式； （3）求数列{}n T 的通项公式. 【答案】（1）112S =
，223S =，334S =；（2）1
n n
S n =+（*n ∈N ）；（3）1
11(1)()22(1)(2)
n n T n n +-=+++.
【解析】
【分析】
（1）先代1n =，求得1S ，当2n ≥时，根据1n n n a S S -=-，化简得到n S 与1n S -的递推式， 再代2,3n =，求得23,S S ，并为求第（2）问提供基础; （2）由（1）归纳猜想n S ，并用数学归纳法证明；
（3）由（2）求得的n S ，求出n a ，并化简n b ，分析n b ，发现可用裂项相消法求解， 考虑消去方便，可对n 分奇数和偶数两种情况分析，最后合并得到答案.
【详解】解：（1）由2
(1)n n n S a S -=，令1n =，则2211(1)S S -=，得11
2
S =
， 当2n ≥时，由1n n n a S S -=-，得2
1(1)()n n n n S S S S --=-，得1
1
2n n S S -=
-，
令2n =，得223S =
，令3n =，得334S =，即112S =，223S =，334S =. （2）由（1）知112S =，223S =，334S =，猜想1
n n
S n =+，
下面用数学归纳法证明：① 当1n = 时，由猜想知显然成立； ②假设n k =猜想成立，即1
k k
S k =
+， 则当1n k =+时，由（1）有112k k S S +=-1
21
k k =-+11
2(1)1
k k k k ++==+++，
即当1n k =+时，猜想1n n
S n =+也成立. 综合①②可知，猜想1n n S n =+成立，即1
n n
S n =+
（3）由（2）知112a =
，当2n ≥时，1n n n a S S -=-1
1n n n n
-=-+1(1)n n =+， 综合知：1(1)
n a n n =
+，又12
1(1)(1)n n n n b n a a ++=-+?，
则1
2
(1)
(1)11(1)(1)(2)n n n n n n b n +=-++++??1(1)(2)n n n +-=+1(1)11()22
n n n +-=-+
当n 为偶数时，
n T =
11111111
1111
[(1)()()()(
)()]23243546
112
n n n n ---+---++----++
1111
(1)2122
n n =-
-+++=111()22(1)(2)n n -+++ 当n 为奇数时，n T =1n n T b -+111()22(1)n n -=
+++111()22
n n -+=111()22(1)(2)n n +++ 综上可得1
11(1)()22(1)(2)
n n T n n +-=+
++ 【点睛】本题考查了n a 与n S 的关系，并利用归纳猜想n S ，并用数学归纳法证明，还考查了复杂类型的裂项相消法.
21.已知数列{}n a 和{}n b 满足11a =，10b =，1434n n n a a b +-=+，1434n n n b b a +-=-. （1）证明：{}n n a b +是等比数列，{}n n a b -是等差数列； （2）求{}n a 和{}n b 的通项公式；
（3）令n
n n
a n c
b n ?=?
?是奇数是偶数
，求数列{}n c 的
前n 项和n S 的通项公式，并求数列1
{}n S 的最大值、最小值，并指出分别是第几项. 【答案】（1）证明见解析；（2）1122n n a n =-
+，11
22
n n b n =-++；（3）当n 为偶数时，1
122
n n n S =-+-，当n 为奇数时，1122n n n S =+-；1{}n S 的最大值为第1项，最大值为1，
最小值为第2项，最小值为4-. 【解析】 【分析】
（1）根据定义判断{}n n a b +是等比数列，{}n n a b -是等差数列；
（2）由（1）求得{}n n a b +和{}n n a b -的通项公式，解方程分别求得{}n a 和{}n b 的通项公式 （3）先求n 为偶数时的n S ，利用并项求和法求出n S ，再求n 为奇数时的n S ，
利用递推式1n n n S S a -=+（1n -为偶数），再分析1n S 的符号和单调性，求出1
n
S 的最大
值和最小值.
【详解】解: （1）由题1434n n n a a b +-=+,1434n n n b b a +-=-，相加得
114()2()n n n n a b a b +++=+
得
111
2n n n n a b a b +++=+，故{}n n a b +是首项为111a b 公比为12
的等比数列；
又由1434n n n a a b +-=+,1434n n n b b a +-=-，相减得114()4()8n n n n a b a b ++-=-+， 即11()()2n n n n a b a b ++---=，故{}n n a b -是首项为111a b -=公差为2 的等比数列.
（2）由（1）得n n a b +1
1
2
n -=
，n n a b -21n =-，联立解得 1122n n a n =-+，11
22
n n b n =-++
（3）由（2）得111111()(1)2222n n n n a b n n +++=-++--++13
12
n +=-
当n 为偶数时，12341n n n S a b a b a b -=++++
++
11
13()416
22n n =++
+
-1122
n
n =-- 当n 为奇数时，11S =，
3n ≥时，1n n n S S a -=+11111(1)()2222n n n n --=-
-+-+1
122n
n =+-
则当n 为奇数时，1
122
n n n S =+-.
综合得1122
1122
n n n n
n S n n ?+-??=?
?--??是奇数
是偶数
则当n 为奇数时，n S 单调递增且0n S >; 当n 为偶数时，22211(1)(1)2222n n n n n n S S +++-=-----23
12
n +=-0< 故n S 单调递减，又21
04
S =-<，即0n S <， 则当n 为奇数时，
1n S 单调递减且0n S >，当n 为偶数时，1n
S 单调递增且0n S <
故1
{
}n
S 的最大值为第1项，最大值为1，最小值为第2项，最小值为4-. 【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的证明，通项公式的求法，分类讨论，以及并项求和，并根据函数的性质求最值,综合能力较强.
复旦附中2018学年第一学期高一年级 数学期中考试试卷 考试时间：120分钟，满分150分，请将答案写在答题纸上 一、填空题（满分54分，1-6题每题4分，7-12题每题5分） 1. 集合{}?的元素个数是_________ 2. 已知()f x = (2)f x -的定义域是__________ 3. 命题“若3x >或2y >，则2 2 4x y +>”的逆否命题是________________________ 4. 函数4 y x x =+ （0x >）的递增区间是____________ 5. 已知()f x 是定义在上的奇函数，若0x <时，()(2)f x x x =-，则0x >时()f x = __________ 6. 若关于x 的方程22 (1)4(1)10a x a x -+++=无实根，则实数a 的取值范围是__________ 7. 函数221()()1 x f x x ++=的值域为_______________ 8. 已知正实数,x y 满足xy y x =+2，则y x +2的最小值等于 9.设集合,A B 是实数集 的子集，[1,0]A C B ?=-，[1,2]B C A ?=， [3,4]C A C B ?=，则A =___________ 10. 已知定义在 上的奇函数()f x 在[0,)+∞上递增，则下列函数（1）|()|f x ，（2）(||)f x （3） 1 () f x ，（4）()()f x f x -，中在(,0)-∞上递减的是____________ 11. 设函数1(| )2|x f x x += ,区间[,]M a b =（a b <），集合{(),}N y y f x x M ==∈，则使得M N =的实数对(,)a b 有________对 12. 对任何有限集S ，记()p S 为S 的子集个数。设{1,2,3,4}M =，则对所有满足 A B M ??的有序集合对(,)A B ，()()p A p B 的和为_____________
2020-2021学年上海市复旦附中2020级高一上学期1月期末考试 数学试卷 ★祝考试顺利★ (含答案) 一?填空题(本大题共12题,满分54分,第1~6题每题4分,第7-12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果 1.函数( )()22f x log x = +-的定义域为____. 2.不等式()()2 233131x x ->+的解集为____. 3.函数()()231f x log x =+,[]0,5x ∈的反函数是____. 4.对于实数a,b,c,d,定义a b ad bc c d -= .设函数()()22111log x f x x log --=,则方程()1f x =的解为____. 5.若函数()1 ax f x x =+在区间()0,+∞是严格增函数,则实数a 的取值范围是____. 6.已知函数()241,f x min log x x ??=+???? ,若函数()()g x f x k =-恰有两个零点,则k 的取值范围为____. 7.已知函数()()15||02 f x x x x =+->,则()f x 的递减区间是____. 8.若函数()232x x f x -=+?的图像关于直线x m =成轴对称图形,则m =____. 9.若关于x 的不等式1|2|02 x x m --<在[]0,1x ∈]时恒成立,则实数m 的取值范围为____. 10.已知函数()()()22815f x x x ax bx c =++++是偶函数,若方程21ax bx c ++=在区间[]1,2上有解,则实数a 的取值范围是____. 11.若函数()()2201 x x a f x x x ++=+的值域为[),a +∞,则实数a 的取值范围是____.
复旦附中2015学年第一学期高一数学期中试卷 2015.11 一. 填空题 1. 函数y =的定义域为 ； 2. 已知,a b R ∈，写出命题“若0ab ≠，则22 0a b ->”的否命题 ； 3. 已知,x y R +∈且2xy =，则当x = 时，224x y +取得最小值； 4. 已知集合3{|1,}1 A x x Z x =≥∈+，则集合A 的子集个数为 个； 5. 已知定义在R 上的函数()f x 为奇函数，且0x >时，2()23f x x x =+-，则当0x <时， ()f x = ； 6. 若函数25()43 kx f x kx kx -=++的定义域是R ，则实数k 的取值范围是 ； 7. 若,a b 为非零实数，则不等式①232a a +>；②4433a b a b ab +≥+；③||a b +≥ ||a b -；④2b a a b +≥中恒成立的序号是 ； 8. 已知定义在R 上的奇函数()f x 与偶函数()g x 满足21()()f x g x x x a += ++(0)a >， 若1()3f x =-，则a = ； 9. 关于x 的方程22||90x a x a ++-=()a R ∈有唯一的实数根，则a = ； 10. 对于任意集合X 与Y ，定义：①{|X Y x x X -=∈且}x Y ?；②()X Y X Y ?=- ()Y X - ，X Y ?称为X 与Y 的对称差；已知2{|2,}A y y x x x R ==-∈，{|3B y y =-≤ 3}≤，则A B ?= ； 11. 已知集合2{|(2)10,}A x x m x x R =+++=∈，且A R +=?，则实数m 的取值范围是 ； 12. 若,a b R ∈，且2249a b ≤+≤，则22a ab b -+的最大值与最小值之和是 ； 二. 选择题 13. 已知函数(1)y f x =-的定义域为[0,1]，则(1)f x +的定义域为（ ） A. [2,1]-- B. [1,0]- C. [0,1] D. [2,3] 14. 给出三个条件：①22ac bc >；② a b c c >；③||a b >；④1a b >-；其中能分别成为a b > 的充分条件的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
n n n ? 复旦附中 2017-2018 学年高一期末数学试卷 一. 填空题 1. 在等差数列{a n } 中，若a 4 = 0 ， a 6 + a 7 = 10 ，则 a 7 = ?. 答案： 6 2. 在数列1、3、7、15、??? 中，按此规律，127 是该数列的第 项. 答案： 7 3. 已知数列{a } 的前 n 项和 S = n 2 -1，那么数列{a } 的通项公式为 . ?0, n = 1 答案： ? 2n -1, n ≥ 2 4. 若在等比数列{a n } 中， a 1 ? a 2 ?? ??? a 9 = 512 ，则 a 5 = ?. 答案： 2 5. 方程(3cos x -1)(cos x + 1 3 sin x ) = 0 的解集是 . π 答案：{x | x = ±arccos + 2k π , x = - + k π , k ∈ Z } 3 6 6. 若数列{a } 满足 a = 13 ， a - a = n ，则 a n 的最小值为 . n 1 答案： 23 5 n +1 n n 7. 若数列{a } 是等差数列，则数列b = a n +1 + ? ?? + a n +m (m ∈ N * ) 也为等差数列，类比上述性质，相应地，若正项 n n m 数列{c n } 是等比数列，则数列d n = ?也是等比数列 m c n +1 ? c n +2 ?? ??? c n +m 8. 观察下列式子：1+ 1 ≥ 3 ，1+ 1 + 1 + 1 > 2 ，1+ 1 + 1 + ? ?? + 1 > 5 ，…，你可归纳出的不等式是 . 2 2 2 3 4 2 3 8 2 答案：1+ 1 + 1 + ?? ? + 1 ≥ 2 3 2n n + 2 2 9. 在我国古代数学著作《孙子算经》中，卷下第二十六题是：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三， 七七数之剩二，问物几何？满足题意的答案可以用数列表示，该数列的通项公式可以表示为 a n = ?. 答案：105n + 23 10. 对于下列数排成的数阵： -1 4 -9 16 -25 36 -49 64 -81 100 ??? ??? ??? 它的第10 行所有数的和为 . 答案： -505 11. 对于数列{a } 满足：a = 1，a - a ∈{a , a ,?? ?, a } (n ∈ N * ) ，其前 n 项和为 S ，记满足条件的所有数列{a } n 1 n +1 n 1 2 n n n
2018-2019学年上海市复旦附中高二（下）期末数学试卷 ?填空题（本大题共 12题，满分54分，第1?6题每题4分，第7?12题每题5 分） （4 分）已知全集 U = { - 1 , 0, 1 , 2, 3},集合 A = {0,1, 2）, B = { - 1, 0, 1},则（？U A ） n B = . /,八、” I C A /3+I ）8 （&+8i ）, （4分）化简| 「 = ________ . （4+41/ （4分）从集合{ - 1, 1, 2, 3}随机取一个为m ,从集合{ - 2,- 1 , 1 , 2}随机取一个为 2 2 n ,则方程—，——=1可以表示 __________ 个不同的双曲线. m n （4分）在（亠-肿）6 的展开式中，第4项的二项式系数是 （用数字作答） （4分）已知a, B 表示两个不同的平面， m 为平面a 内的一条直线，则“ a, B 构成直二 面角” 是“ m 丄B 的 ____________ 条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不 充分也不必要”） （4分）若直线 x - 2y+5 = 0与直线2x+my - 6= 0互相垂直，则实数 m = __________ . （5分）复数i 1 x 10+i 2! x 9+…+i 10! X 1的虚部是 __________ . （5分）已知经停某站的高铁列车有 100个车次，随机从中选取了 40个车次进行统计， 统计结果为：10个车次的正点率为 0.97, 20个车次的正点率为 0.98, 10个车次的正点率 为0.99,则经停该站的所有高铁列车正点率的标准差的点估计值为 ____________________ （精确到0.001） 「山豐圧A （5分）设A,B 是实数集R 的两个子集，对于x€R ，定义：m = a 诋心 若对任意x€R , m+n = 1，贝U A , B , R 满足的关系式为 _________ . .（5分）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（底面为正方形，侧棱与底面垂直的棱 柱）高为4,体积为16,则这个球的表面积是 ___________ .（参考公式：球的表面积S = 4uR 2） .（5分）6月12日，上海市发布了《上海市生活垃圾分类投放指南》 ，将人们生活中产生 的大部分垃圾分为七大类.某幢楼前有四个垃圾桶，分别标有“可回收物”、“有害垃圾”、 “湿垃圾”、“干垃圾”，小明同学要将鸡骨头（湿垃圾）、贝壳（干垃圾）、指甲油（有害 垃圾）、报纸（可回收物）全部投入到这四个桶中，若每种垃圾投放到每个桶中都是等可 能的，那么随机事件“ 4种垃圾中至少有2种投入正确的桶中”的概率是 ____________________ .（5分）对于无理数 X ,用V x >表示与x 最接近的整数，如V n>= 3,<叨2>= 2,设 第1页（共18 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. & 9. 10 11 12 %应,
2019-2020学年上海市复旦附中高一（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共4小题，共12.0分） 1.若命题甲：，命题乙：，则命题甲是命题乙的 A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分也非必要条件 2.下列函数中既是偶函数，又在上单调递增的是 A. B. C. D. 3.设函数的定义域为R，有下列三个命题： 若存在常数M，使得对任意，有，则M是函数的最大值； 若存在，使得对任意，且，有，则是函数的最大值； 若存在，使得对任意，有，则是函数的最大值．这些命题中，真命题的个数是 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4.已知函数，记集合，集合 ，若，且都不是空集，则的取值范围是 A. B. C. D. 二、填空题（本大题共12小题，共36.0分） 5.函数的定义域为______． 6.函数的反函数为______． 7.已知，试用a表示______． 8.幂函数为偶函数，且在上是减函数，则 ______． 9.函数的递增区间为______． 10.方程的解是______． 11.已知关于x的方程有两个实数根，且一根大于2，一根小于2，则实数 k的取值范围为______． 12.若函数且的值域是，则实数a的取值范围是 ______． 13.已知的反函数为，当时，函数的最 大值为M，最小值为m，则______． 14.对于函数，若对于任意的a，b，，，，为某一三角形的三边长，则 称为“可构造三角形函数”，已知函数是“可构造三角形函数”，则实数t 的取值范围是______．
15.若关于x的方程在内恰有三个相异实根，则实数m的取值范 围为______ ． 16.已知函数，，若对任意的， ，均有，则实数k的取值范围是______． 三、解答题（本大题共5小题，共60.0分） 17.已知函数． 若，解方程：； 若在上存在零点，求实数a的取值范围． 18.已知函数的图象关于原点对称，其中a为常数． 求a的值； 设集合，，若，求实数m的取值范围． 19.近年来，雾霾日趋严重，我们的工作、生活受到了严重的影响，如何改善空气质量已成为当今 的热点问题．某空气净化器制造厂，决定投入生产某型号的空气净化器，根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产该型号空气净化器百台，其总成本为 万元，其中固定成本为12万元，并且每生产1百台的生产成本为10万元总成本固定成本生产成本销售收入万元满足，假定该产品产 销平衡即生产的产品都能卖掉，根据以述统计规律，请完成下列问题： 求利润函数的解析式利润销售收入总成本； 工厂生产多少百台产品时，可使利润最多？
2018学年复旦附中高一年级第一学期期末试卷 2019.1 一、填空题 1.（19复旦附中高一期末1）()1x f x a -=（0a >且1a ≠）的图像经过一个定点，这个定点的坐标是_________. 答案：（-1,1） 2. （19复旦附中高一期末2）函数 y ______. 答案： (],6-∞ 3.（19复旦附中高一期末3）研究人员发现某种物质的温度y （单位：摄氏度）随时间x （单位：分钟）的变化规律是：()12220x x y x -=?+≥.经过__________分钟，该物质温度为5摄氏度. 答案：1 3. （19复旦附中高一期末4）函数()()34,1log ,1a a x a x f x x x ?--或1a ≤
8.（19复旦附中高一期末8）已知函数()()() 220log 01x x f x x x ?≤?=?<和()2log 1y x x => D. ()()lg 11y x x =->和101x y =+ 答案：B 14.（19复旦附中高一期末14）“1a >”是“函数