几何三大难题
如果不知道远溯古希腊前辈所建立和发展的概念、方法和结果，我们就不可能理解近50年来数学的目标，也不可能理解它的成就.
Herm a nn Weyl
§ 1 问题的提出和解决
1.1 数学的心脏
数学是由什么组成的？公理吗？定义吗？定理吗？证明吗吗？公式吗？诚然，没有这些组成部分数学就不存在，它们都数数学的必要组成部分，但是，它们中间的任一个都不是数学的心脏.数学家存在的主要理由就是提出问题和解决问题.因此，数学的真正组成部分是问题和解.两千多年以来，数学就是在解决各种问题中进行的.
那么，什么样的问题是好问题呢？对此希尔伯特有一段精彩的论述：“要想预先正确判断一个问题的价值是困难的，并且常常是不可能的；因为最终的判断取决于科学从该问题获得的收益，虽说如此，我们仍然要问：是否存在一个一般准则，可以借以鉴别好的数学问题，一个老的法国数学家曾经说过：一种数学理论应该这样清晰，使你能向大街上遇到的第一个人解释它.在此以前，这一理论不能认为是完善的.这里对数学理论所坚持的清晰性和易懂性，我想更应该把它作为一个数学问题堪称完善的要求.因为清楚地、易于理解的问题吸引着人们的兴趣，而复杂的问题却使我们望而却步.”
“其次，为了具有吸引力，一个数学问题应该是困难的，但却不能是完全不可解决的，使我们白费力气.在通向哪隐藏的真理的曲折道路上，它应该是指引我们前进的一盏明灯，最终以成功的喜悦作为我们的报偿.”
在数学史上这样的例子是不胜枚举的.本章介绍的几何作图三大问题就是最著名的问题之一.
1.2 希腊古典时期数学发展的路线
希腊前300年的数学沿着三条不同的路线发展着.第一条是总结在欧几里得得《几何原本》中的材料.第二条路线是有关无穷小、极限以及求和过程的各种概念的发展，这些概念一直到近代，微积分诞生后才得以澄清.第三条路线是高等几何的发展，即园和直线以外的曲线以及球和平面以外的曲面的发展.令人惊奇的是，这种高等几何的大部分起源于解几何作图三大问题.
1.3 几何作图三大问题
古希腊人在几何学上提出著名的三大作图问题，它们是：
( 1) 三等分任意角.
( 2) 化园为方：求作一正方形，使其面积等于一已知园的面积.
( 3) 立方倍积：求作一立方体，使其体积是已知立方体体积的两倍.
解决这三大问题的限制是，只许使用没有刻度的直尺和圆规，并在有限次内完成.
1.4问题的来源
这三个问题是如何提出来的呢？由于年代久远，已无文献可查.据说，立方倍积问题起源于两个神话.厄拉多赛（Eratoshenes of Cyrene，约公元前27―约前194）是古希腊著名的科学家、天文学家、数学家和诗人.他是测量过地球周长的第一人.在他的《柏拉图》一书里，记述了一个神话故事.说是鼠疫袭击了爱琴海南部的一个小岛，叫提洛岛.一个预言者说，他得到了神的谕示：须将立方形的阿波罗祭坛体积加倍，瘟疫方能停息.建筑是很为难，
不知道怎样才能使体积加倍.于是去请教哲学家柏拉图.柏拉图说，神的真正意图不在于神坛的加倍，而是想使希腊人因忽视几何学而羞愧.
另一个故事也是厄多拉塞记述的.说古代一位悲剧诗人描述克里特国王米诺斯为他的儿子克劳科斯修坟的事.他嫌坟修造得太小，命令有关人必须把坟的体积加倍，但要保持立方的形状.接着又说，“赶快将每边的长都加倍.”厄拉多塞指出，这是错误的，因为边长加倍，体积就变成原来的8倍.
这两个传说都表明，立方倍积问题起源于建筑的需要.
三等分任意角的问题来自正多边形作图.用直尺和圆规二等分一个角是轻而易举的.由此可以容易地作出正4边形、正8边形，以及正2n次方边形，其中n ≥2是自然数.很自然地，人们会提出三等分一个角的问题.但这却是一个不可能用尺规解决的问题.
圆和正方形都是最基本的几何图形，怎样做一个正方形和一个已知圆有相同的面积呢？这就是化园为方的问题.历史上恐怕没有一个几何问题像这个问题那样强烈地吸引人们的兴趣.早在公元前5世纪，就有很多人研究这个问题了，都想在这个问题上大显身手.
化园为方的问题相当于用直尺和圆规作出√π的值.这个问题的最早研究者是安那克萨哥拉，可惜他的关于化圆为方的问题的研究没有流传下来，以后的研究者有希波克拉茨（Hippocrates of Chios，公元前约460年）.他在化圆为方的研究中求出了某些月牙形的面积 .此外.还有安提丰，他提出了一种穷竭法，具有划时代的意义，是近代极限论的先声.
1.5 “规”和“矩”的规矩
在欧几里得几何学中，几何作图的特定工具是直尺和圆规，而且直尺上没有刻度.直尺、在欧几里得几何学中，几何作图的特定工具是直尺和圆规，而且直尺上没有刻度.直尺、圆规的用场是
直尺：（1）已知两点作一直线；（2）无限延长一已知直线.
圆规：已知点Ｏ，Ａ，以Ｏ为心，以ＯＡ为半径作圆.
希腊人强调，几何作图只能用直尺和圆规，其理由是：
（1）希腊几何的基本精神是，从极少数的基本假定——定义、公理、公设——出发，推导出尽可能多的命题.对作图工具也相应地限制到不能再少的程度.
（2）受柏拉图哲学思想的深刻影响.柏拉图特别重视数学在智力训练方面的作用，他主张通过几何学习达到训练逻辑思维的目的，因此对工具必须进行限制，正像体育竞赛对运动器械有限制一样.
（3）毕达哥拉斯学派认为圆是最完美的平面图形，圆和直线是几何学最基本的研究对象，因此规定只使用这两种工具.
1.6问题的解决
用直尺和圆规能不能解决三大问题呢？答案是否定的，三大问题都是几何作图不能解决的.证明三大问题不可解决的工具本质上不是几何的而是代数的，再带舒缓没有发展到一定水平时是不能解决这些问题的.1637年迪卡儿创立了解析几何，沟通了几何学和代数学这两大数学分支，从而为解决尺规作图问题奠定了基础.1837年法国数学家旺策尔（Pierre L.W Antzel ）证明了，三等分任意角和立方倍积问题都是几何作图不能解决的问题，化圆为方问题相当于用尺规作出的值.1882年法国数学家林得曼证明了∏是超越数，不是任何整系数代数方程的根，从而证明了化圆为方的不可能性.
但是，正是在研究这些问题的过程中促进了数学的发展.两千多年来.三大几何难题起了许多数学家的兴趣，对它们的深入研究不但给予希腊几何学以巨大影响，而且引出了大量的新发现.例如，许多二次曲线、三次曲线以及几种超越曲线的发现，后来又有关于有理数域、代数数与超越数、群论等的发展在化圆为方的研究中几乎从一开始就促进了穷竭法的发展，二穷竭法正是微积分的先导.
§
2 放弃“规矩”之后
问题的难处在于限制用直尺和圆规.两千多年来，数学家为解决三大问题投入了热大量精力.如果解除这一限制，问题很容易解决.
2. 1 帕普斯的方法
帕普斯（Pappus ，约300―350前后)是希腊亚历山大学派晚期的数学家.他把希腊自古以来各名家的著作编为《数学汇编》，共8卷.其中也包括了他自己的创作.在第4 卷中，他讨论了三等分任意角的问题.下面的方法就是帕普斯的.
设ОА＝α,过点А做角α的另一边的垂线АВ.过点А作ОВ的平行线.考虑过
点О的一条直线，它交АВ于点С，交平行线于Ｄ，并使СＤ＝2ａ.这时∠СОВ＝
13
α.
证 如图15-1所示，只要证明了∠ＡＯＧ＝2∠ＣＯＢ，那么∠ＣＯＢ就是
13
α.
设Ｇ是ＣＤ的中点，并作ＧＥ⊥ＡＤ，从而直线ＧＥ与ＡＢ并行.
由ＣＧ＝ＧＤ＝ａ ＡＥ＝ＥＤ， 可知△ＡＧＥ≌△ＤＧＥ，从而∠ＧＤＡ＝∠ＧＡＤ，ＡＧ＝ＧＤ＝
ａ.
又∠ＧＤＡ与∠ＣＯＢ是内错角，所以∠ＧＤＡ＝∠ＣＯＢ.
注意到，△ＡＯＧ是等腰三角形，于是，
图 15-1
D
G
E B
C A O
∠ＡＯＧ＝∠ＡＧＯ＝∠ＧＤＡ＋∠ＧＡＤ＝2∠ＣＯＢ.
这就是说，ＯＤ三等分了角α.
这种作法的关键一步是，使СＤ＝2ОА.这只能使用有刻度的直尺才能实现，它违反了欧几里得几何学作图的规则.
具体做法是这样的：在直尺上标出一段线段ＰＱ,其长为2ОА，然后调整直尺的位置，使它过点Ｏ，并且Ｐ在АВ上，Ｑ在过А的平行线上.这种办法叫“插入原则”.
2. 2 阿基米德的方法
在图15-2上，
是任意给定的一个角，其顶点在点.我们的目的是三等分
这个角.在该角的一边上取一点，然后以点为心，以
为半径做一圆，圆与
的
延长线交于点Ｃ，与角的另一边交于点Ｂ.
作图的关键步骤是，使用“插入原则”.在直尺上标出两点Ｌ和Ｒ，并且使ＬＲ＝.现
在上直尺过点Ｂ，且使直尺上的点Ｒ在圆弧ＣＢ上，然后移动直尺，使Ｒ沿圆周运动，直到点Ｌ落在ＯＣ的延长线上.直线ＥＤＢ表示这时直尺的位置，即直尺过点Ｂ，且ＤＥ＝.
设.因为是等腰三角形，所以.同时，是的外角，从而
这就证明了是的三分之一.
2. 3 时钟也会三等分任意角
大家知道，时钟面上有时针、分针和秒针，秒针用不到，只看时针和分针.分针走一圈，时针就走一个字.也就是，分针转过角，时针转过角的12分之1，即转过角.注意到
12是3的倍数，我们就可以利用时钟三等分一个任意角了.具体作法如下.
图 15-2
B
A
O
C
E D
把要三等分的任意角画在一张透明纸上.
开始时，把时针和分针并在一起，设它们正好
在12的位置上（图15-3）.把透明纸铺到钟面
上，使角的顶点落在针的轴心上，角的一边通
过12的位置.然后把分针拨到和角的另一边重
合的位置.这时时针转动了一个角，在透明纸
上把时针的现在位置记下来.我们知道，时针
所走过的∠ＡＯＣ一定是∠ＡＯＢ的12分之
1.把∠ＡＯＣ放大4倍就是∠ＡＯＢ的3分之
1.
这种解法出现在前苏联别莱利曼的著作
《趣味几何学》中，这是一本很好的科普读物，
它告诉我们如何把几何知识用到实际中去.
2. 4 达芬奇的化圆为方
如何化圆为方的问题曾被欧洲文艺复兴时期的大师达·芬奇用以种巧妙的方法给出解答：取一圆柱，使其底和已知圆相等，高时底面半径ｒ的一半.将圆柱滚动一周，产生一个
矩形，其面积为2πｒ×ｒ／2
＝π.这正好是圆的面积.再将矩形化为正方形，问题就解决
了.
§3从几何到代数
3.1用直尺圆规可以作什么图
用欧几里得的直尺圆规可以完成哪些作图呢？下面的5种基本作图是可以胜任的（图15-4）：
（1）用一条直线连接两点.
（2）求两条直线的交点.
（3）以一点为心，定长为半径作一圆
（4）求一个圆与一条直线的交点，或切点.
（5）求两个圆的交点，或切点.
还有，用直尺圆规作图必须在有限次内完成，不允许无限次地作下去.换言之，不允许采取极限手段完成作图.
O
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
A
B
C
图15-3
图 15-4
根据直尺的基本功能，我们有下面的重要结论：
一个作图题可否用直尺完成，决定于是否能反复使用上面5种基本作图经有限次而完成.
这就是用直尺圆规可能与不可能的基本依据. 具体说来，用尺规作什么图呢？ （1） 二等分已知线段. （2） 二等分已知角.
（3） 已知直线Ｌ和Ｌ外一点Ｐ，过Ｐ作直线垂直Ｌ.
（4） 任意给定自然数ｎ，作已知线段的ｎ倍，ｎ等分已知线段. （5） 已知线段，可做
其做法如图15-5所示.接着r
也可做，这里r 是正有理数.这样做：设
都是自然数，因此
.先做的p 倍，再做p ，这样就做出来了.
上面各条告诉我们，已知线段的加、减、乘、除能用几何作图来实现.
图 15-5
另一方面，代数学告诉我们，从0，1出发利用四则运算可以构造出全部有理数. 事实上，1+1=2，1+2=3， .因此，我们通过加法可以得到全体自然数.0减去任何一
+b
b
1
b
b
1
个自然数都得到负整数，因此，借助减法可以得到全体负整数.从整数出发，借助除法，我们可以得到全体有理数.
现在我们知道了，只要给定单位1，我们可以用尺规作出数轴上的全部有理点.几何与代数在这里达到了完全的统一.
（6） 已知线段可作.这一条超出了
有理作图的范围.
如图15-6，OA a =，以OB 为直径作圆.过
A 作O
B 的垂直线交圆周于
C .直角三角形OA C 与直角三角形OBC 有一个公共角∠COB ，由 此可得，∠OCA =∠ABC. 这样一来，我们有， ?OCA ∽?ABC. 设AC =我们有，
3.2域的定义
近代代数是研究运算性质的，它把普通实数满足的运算法则推广到更大的范围中去.本段给出域的定义，为后面研究可构造数域做些准备.
设R 是一个集合，下面的公理对R 中的任何元素，b ，都成立.
公理1 （1）；
（2）
；
（3）存在唯一得元素，使得； （4）对任意的，都存在惟一的，使得
.
公理2 （1）； （2） （3）存在惟一的元素1，使得
. （4）对任意的（除
外），都存在惟一的
，使得
公理3
我们把满足这些公理的集合R 叫做一个域.全体有理数对加法和乘法构成一个域，叫做有理数域.全体实数对加法和乘法构成一个域，叫做实域，全体复数也是一个域，叫复数域.
3.3可构造数域
在下面的讨论中，我们假定最初只给了一个元素，即单位长1.由1出发，我们用直尺和圆规通过有理运算——加、减、乘、除——能做出所有的有理数，这里r 和s 是整数，即做出整个有理数域.进而我们能做出平面上的所有有理点，即两个坐标皆为有理数的点.我们还能做出新的无理数，如，它不属于有理数域.从
出发，通过“有理”作图，可以做
出所有形如
（15-1）
的数，这里是有理数.同样地，我们可以做出所有形如
的数，这里，b ，是有理数.但这些数总可以写成（15-1）的形式.例如
C
O A B 图 15-6
这里
是有理数，且分母不可能是零（为什么？）.同样，
这里是有理数.因此，由的作图，我们产生了全部形如（15-1）的数集，其中，b是任意有理数.由此得
命题1形如（15-1）形成一个域.
这个域比有理数域大.事实上在（15-1）中取就可得到有理数域.有理数域是它的一部分，称为它的子域.但是，它显然小于全体实数数域.
将有理数域记为F，这个构造的数域记为，称它为F的扩域.中的数都可用直尺和圆规做出来.现在我们继续扩充可作数的范围.在中取一个数，如.求它的平方根而得到可作图的数
用它可以得到由所有形如
的数，它们也形成一个域.称为的扩域，记为，现在可以是中的任意数，即，q形如，，b 为有理数.
从出发，我们还可以进一步扩充作图的范围.这种办法一直继续下去.用这种办法得到的数都是可用直尺圆规作出来的.
3.4进一步的讨论
代数研究的对象是数、数偶（即坐标）、一次方程式、二次方程式等.几何研究的对象是点、直线、圆、曲线、等.通过坐标法，几何的对象与代数的对象紧密的联系在一起了.
现在面临一个这样的问题：用直尺圆规作出来的数是不是都在有理数域的诸扩域中呢？会不会超出这个范围呢？下面来回答这一问题.假定我们可用直尺圆规作出某个数域F 中的所有数.
命题2 从数域F出发，只用直尺作不出数域F 以外的数.
证设∈F.过点（），（）的直线方程是
或
它的系数是由 F 中的数作成的有理式.
今有两条以 F 中的数为系数的直线：
解此联立方程，可得交点坐标
它们都是F中数.这样一来，只用直尺的作图不能使我们超出F的范围.
易见，用圆规可作出F以外的数.只需在F中取一数k，使不在F中.我们能作出，因而可作出所有形如
（15-2）
的数，其中，b在F中.所有形如（15-1）的数形一个域，它是F的扩域.
命题3给定数域F，用圆规和直尺只能作出F扩域中的数.
证首先指出，圆规在作图中所起的作用只是确定一个圆与一条直线的交点或切点，或一个圆与另一个圆的交点或切点.通过解联立方程可以把交点或切点求出来.以（，）为中心，以r为半径的圆的方程是
设，，r.将上式展开得
其中，，在F内.求圆与直线的交点或切点就是解联立方程组
其中，，cＦ内.从第二个方程解出
代入第一个方程，得到一个二次方程
其中，，.其解为
它们可以化为形式，p，q，k F.易见，是F的扩域.交点的y坐标由（15-3）
给出，明显地，也在扩域中.这就是说，圆和直线的交点的坐标都在扩域中.
接着我们研究两个圆的交点或切点.再带书上就是接二元一次联立方程：
从第一个方程减去第二方程，得
和前面一样，把它与第一个圆的方程联立起来求出，y.它们都不超出F的扩域.
无论是哪一种情形，作图所产生的一个或两个新点的x坐标和y坐标，其量的形式都是
.在特殊情况下，
本身也可以属于F（例如，在有理数域中取k=4,那么仍在有理数域中）图 15-7这样，我们证明了；
（1）如果开始给定域中的F一些量，那么从这些量出发，只用直尺经有限次有理运算可生成域F的任何量，但不能超出域F.
（2）用圆规和直尺能把可作图的量扩充到F的扩域上.这种构造扩域的过程可以不断进行，而得出扩域
最后，我们得到结论：可作图的量是而且仅仅是这一系列扩域中的数.
例 1 说明数
的构造过程.
解 设F 表示有理数域.取得到域，
取
，得到，又知，
取，得到
.因为，自然也有
取，得到（
）
取
，得到
，进而
这样，域包含我们所要求的数.
3.5 可作图的书都是代数数
如果起始数域是有理数域F ，那么所有可作图的数就都代数数（图15-7）.扩域，中的数是以有理数位系数的2次方程的根，扩域中的数是以有理数位系数的4次方程的根，
,一般地，扩域中的数是以有理数位系数的次方程的根. 例2 证明是4次方程的根.
证 我们有
展开，得到 图
15-7
或
最后，我们有
这是一个整系数的4次方程
§4几个代数定理
4.1根和系数的关系
只要知道了二次方程的两个根就可将它分解因式：
代数数
超越数 可
代
数
数
有 理 数
作图数
由此不难得出著名的伟达公式：
利用代数基本定理我们可以得到更一般的公式.
代数基本定理设
是一个元n次多项式，它的系数是实数和复数，那么方程
至少有一实数和复数根
有了代数基本定理，我们就可以断言，一元n次多项式在复数域中有n个根，从而它可分解成一次因式的连成积，即
这里为实数或复数，它们都是多项式（15-4）的根.事实上，设式方程的一个根，用（）去除，由于除式是一次的，所以余数就是一个常数R，我们有恒等式
式中是一个次多项式.因为是的一个根，所以把代入上式，就得到
于是
这就是说，（）能整除此多项式.同样的道理，我们有
n次分解之后，我们得到（15-5）式.
把（15-5）式乘开，并比较系数就得到伟达公式：
当代数方程的次数时，就是我们熟知的二次方程的根与系数的关系，
当时，对三次方程
我们有
这就是三次方程的韦达公式，下面要用到此结果.
定理 1 若整系数的一元n次方程
有有理根（既约分数），则a是的因数，是的因数.
证将有理根代入方程（15-9），得
两边乘以，得
移项，并提出公因数：
记着a与b是互素的，所以a是的因数.同样，用提出公因数b的方法可证明，b是的
因数.同样，用提出公因数b的方法可证明，b是的因数.
系设整系数的一元n次方程的首项系数为1，即
若它有理根，则此根一定是整数，且为常数项的因数.
4.2 3次方程的根
考虑有理系数的一元3次方程
只需作变换，就可以把上面的方程化为缺项的3次方程（参考第九章4）：
（15-10）
这个方程的系数还是有理数.为简单计，我们考虑缺项的方程（15-10）.
设方程（15-10）没有有理数，但有一个可作的数为根，那么将属于某一串扩域中最后的一个域.因为（15-10）没有有理根，所以k＞0.于是可以写成
下面的形式：
其中.今指出，
也是方程（15-10）的根.为了证明这一点，只需做些计算.事实上把代入方程（15-10）得
展开、合并同类项，得到
其中，且.这时，若，必有
与假设矛盾.所以一定有，从而也有.
另一方面，把代入（15-10），并做同样的计算.在计算中，只需把换成
，从而得到
由此我们知道，是方程（15-10）.这个结论对方程（15-7）也是成立的.总之，我们证明了以下命题.
命题4 若是（15-7）的根，则也是（15-7）的根.
将上面结果应用到两个特殊方程上面去.
例1证明方程
（15-11）
没有有理根.
证 有定理1的系知，如果（15-11）有有理根，则此根必是整数，而且是2的因数.直接验证就知道1，2不是方程（15-11）的根.这样一来，方程（15-11）没有有理根.
例2
证明方程
（15-12）
没有有理根
证 如果方程（15-12）有有理根，则a 是1的因子，b 是8的因子.这样一来，
方程（15-12）的有理根不外是直接验证知道它们都不是.因此，方
程（15-12）,没有有理根.
定理2 如果一个有理系数的3次方程没有有理根，则它没有一个根是由有理数域F 出发的可作图的数.
证 我们用反证法来证明这个定理.假设是方程（15-7）的一个可作图的根，则将属于某一串扩域中的最后一个域，我们可以假定，k 是使得扩域包含3次方程（15-7）的根的最小正整易次方程（15-7）的根的最小正整数.易见，k ＞0.因此，可
以写成下面的形式：
其中
.
前面已指出，
也是方程（15-7）的根.有韦达定理，方程的第3个根是
：
但
，这指出，
这里消失了，所以是中的数，这和k 是使得扩域包含3次方程（15-9）的根的最小正整数的假设相矛盾.因此假设是错误的，在这种域中不可能有3次方程（15-7）的根.
推论 方程（15-11），（15-12）都没有可作图的数作为它们的根.
§ 5 几何作图三大问题的解
有了上面的准备，我们来解三大几何难题.
5.1 倍积问题
设给定立方体的边长是a .若体积为这立方体的两倍的立方体的边长是x （图15-8），则
y a
Q
R O P 图 15-8 图 15-9
所以本题就是求满足下面方程的：
取，则此方程化为更简单的形式：
如果立方倍积问题可解，则我们一定能用直尺和圆规构造出长度为的线段.但是前面已证这是不可能的.这样一来，立方倍积问题是不可解的.
5.2三等分任意角
我们现在要证明只用直尺和圆规三等分任意一般说来是不可能的.当然，像和
那样的角是可以三等分的.我们要说明的是，对每一个角的三等分都有效的办法是不存在的.为了证明这一点，只要证明有一个角不能三等分就足够了，因为一个合理的一般方法必须适用于每一种情况.因此如果我们能够证明角只用直尺和圆规不能三等分，那就证明了一般方法是不存的.
如果15-9所示，我们从角着手.设，并设线段的长度为1.假定三等分任意角是可能的.如图设∠ＲＯＰ＝θ＝，那么，点Ｒ的纵坐标一定是有理数或可
作图的数.这相当于说是有理数或可作图的数.
我们需要公式
现在，所以
令并代人上式，得到
这正是前面讨论过的方程（15-12）.这个方程没有有理根，也没有可作图的根.这说明我们的假定是不对的.这就证明了三等分任意角是不可能的.
我们知道，角可作，因而正六边形可作，若角可三等分，则正18边形可作，从而正9边形也可作.刚才已经证明，角不可三等分，因而正9边形不能只用直尺和圆规作出来.
当然，这个结论是指一般情形而言.若等于某些特殊的值，则作图还是可能的，例
如，当时，而，我们得到方程
它的解是，，其中就是我们所要的解.这就是说角可三等
分，关于它的作图法，读者是熟悉的.
5.3 化园为方
考虑半径为1的单位圆，它的面积为π，现在
构造一个边长为的正方形，它的面积为π（图
图15-10
15-10），于是由于是一个超越数，所以它不是可作图的数，因此“化园为方”的问题是不可解的.
自然对数的底与都是超越数.证明它们是超越数是困难的，吸引着许多数学家付出巨大的劳动去进行研究.直到1873年埃尔米特才给出了e是超越数的证明.他认为证明π的超越性更困难，而不敢去尝试，他给友人的信中写道：“我不敢去试着证明π的超越性.如果其他人承担这项工作，对于他们的成功没有比我更高兴的人了，但是请相信我，我亲爱的朋友，这决不会不使他们花去一些力气”.九年之后，林德曼在1882年用实质上与埃尔米特相同的方法证明了π的超越性.
练习题
1对，求出它满足的有理系数的方程.
2对，求出它满足的有理系数的方程.
3证明角不能三等分.
论文题目
选一个数学命题，阐述它的历史及影响.
难题”之一：P（多项式算法）问题对NP（非多项式算法）问题 难题”之二：霍奇(Hodge)猜想 难题”之三：庞加莱(Poincare)猜想 难题”之四：黎曼(Riemann)假设 难题”之五：杨－米尔斯(Yang-Mills)存在性和质量缺口 难题”之六：纳维叶－斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性与光滑性 难题”之七：贝赫(Birch)和斯维讷通－戴尔(Swinnerton-Dyer)猜想 难题”之八：几何尺规作图问题 难题”之九：哥德巴赫猜想 难题”之十：四色猜想 美国麻州的克雷（Clay）数学研究所于2000年5月24日在巴黎法兰西学院宣布了一件被媒体炒得火热的大事：对七个“千僖年数学难题”的每一个悬赏一百万美元。以下是这七个难题的简单介绍。 “千僖难题”之一：P（多项式算法）问题对NP（非多项式算法）问题 在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不安，你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。你的主人向你提议说，你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现你的主人是正确的。然而，如果没有这样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看是否有你认识的人。生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。这是这种一般现象的一个例子。与此类似的是，如果某人告诉你，数13，717，421可以写成两个较小的数的乘积，你可能不知道是否应该相信他，但是如果他告诉你它可以因子分解为3607乘上3803，那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。不管我们编写程序是否灵巧，判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证，还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解，被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。它是斯蒂文·考克（StephenCook）于1971年陈述的。 “千僖难题”之二：霍奇(Hodge)猜想 二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广；最终导至一些强有力的工具，使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下，必须加上某些没有任何几何解释的部件。霍奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合。“千僖难题”之三：庞加莱(Poincare)猜想 如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。大约在一百年以前，庞加莱已经知道，二维球面本质上可由单连通性来刻画，他提出三维球面(四维空间中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题。这个问题立即变得无比困难，从那时起，数学家们就在为此奋斗。 “千僖难题”之四：黎曼(Riemann)假设
历史上的三次数学危机王方汉(武汉市第二十三中学430050) 在数学发展的过程中,人的认识是不断深化的.在各个历史阶段,人的认识又有一定的局限性和相对性.当一种/反常0现象用当时的数学理论解释不了,并且因此影响到数学的基础时,我们就说数学发生了危机.许多人并不赞成使用危机这个词,因为它们并没有阻碍数学的发展. 在历史上,数学曾发生过三次危机.这三次危机,从产生到消除,经历的时间各不相同,都极大地推动了数学的发展,成为数学史上的佳话. 第一次数学危机产生于公元前五世纪.那时,古希腊的毕达哥拉斯学派发现:正方形边与对角线是不可通约的,现在称之为/比达哥拉斯悖论0. /悖论0这一术语,许多中小学生恐怕是第一次见到.所谓悖论,就是指自相矛盾荒谬结论. 今天看来,两条线段不可通约,是数学中常见的合理的现象,它不过表明两条线段之比是一个无理数而已,可是,当时的古希腊人怎么会认识到这一点?!在他们眼中,各种事物的许多物理的、化学的、生物的性质都可能改变,惟其数量性质是不会变的!他们认为:万物都包含着数:数只有两种,这就是自然数和可通约的数.所以,不可通约的数是不可思议的! 第一次数学危机持续了两千多年.十九世纪,数学家哈密顿(Hamilton)、梅雷(Melay)、代德金(Dedekind)、海涅(Heine)、波雷尔(Borel)、康托尔(Cantor)和维尔斯特拉斯(Weietstrass)等正式研究了无理数,给出了无理数的严格定义,提出了一个含有有理数和无理数的新的数类)))实数,并建立了完整的实数理论.这样,就完全消除了第一次数学危机. 第二次数学危机是因为发现微积分方法而产生的.十七世纪,牛顿和德国数学家莱布尼兹(Leibniz,1646-1716)首创了微积分.这时的微积分只有方法,没有严密的理论作为基础,许多地方存在着漏洞,还不能自圆其说.例如,牛顿当时是这样求函数y=x n的导数的: (x+v x)n=x n+n#x n-1#v x+n(n-1) 2 #x n-2#(v x)2+,+(v x)n,然后把函数的增量v y除以自变量的增量v x,得 v y v x= (x+v x)n-x n v x =n#x n-1+ n(n-1) 2 #x n-2#v x +,+nx#(v x)n-2+(v x)n-1, 最后,扔掉其中所有含v x的项,就得到函数y= x n的导数为nx n-1. 哲学家以眼光税利、思维敏捷而著称.贝克莱(Berkelg)就是这样的哲学家.他一针见血地指出:先以v x为除数,说明v x不等于零,后来又扔掉所有含v x的项,可见v x等于零,这岂不自相矛盾吗?这就是著名的/贝克莱悖论0. 现在我们知道,自变量x的增量v x是一个无穷小量.但在当时,贝克莱悖论的出现,咄咄逼人,逼得数学家们不得不认真地对待/无穷小量0,设法克服由此引起的思维上的混乱. 十九世纪,许多数学家投入到了这一工作之中,柯西(Cauchy,1789-1857)和维尔斯特拉斯的贡献最为突出.1821年,柯西建立了极限的理论,提出了/无穷小量是以零为极限但永远不为零的变量0,维尔斯特拉斯又作了进一步的改进,终于消除了贝克莱悖论,把微积分建立在坚实的极限理论之上,从而结束了第二次数学危机. 第二次数学危机的解除,与第一次数学危机的解除,两者实际上是密不分的.为解决微积分问题,必须建立严密的无理数定义以及完整的实数理论.有了实数理论,加上柯西和维尔斯特拉斯的极限理论,这样,第一、二次数学危机就相继消除了. 一波未平,又起一波.前两次数学危机解决后不到三十年,又卷起了第三次数学危机的轩然大波. 十九世纪末和二十世纪初,德国数学家康托尔(Cantor,1845-1918)创立了集合论,初衷是为整个数学大厦奠定牢实的基础.正当人们为集合论的诞生而欣然自慰时,一串串数学悖论却冒了出来,又搅得数学家心里忐忑不安.其中,英国数学家罗素(Russell,1872-1970)于1902年提出的
第三次数学危机 一、起因 魏尔斯特拉斯用排除无穷小量的办法来解决贝克莱悖论，而在本世纪60年代，鲁滨逊又把无穷小量请了回来，引进了超实数的概念，从而建立了非标准分析，同样也能精确地描述微积分，进而也解决了贝克莱悖论。但必须注意到，贝克莱悖论只是在相对意义下得到了解决，因为实数理论的无矛盾性归结为集合论的无矛盾性，而集合论的无矛盾性至今仍未彻底解决。 二、经过 经过第一、二次数学危机，人们把数学基础理论的无矛盾性，归结为集合论的无矛盾性，集合论已成为整个现代数学的逻辑基础，数学这座富丽堂皇的大厦就算竣工了。看来集合论似乎是不会有矛盾的，数学的严格性的目标快要达到了，数学家们几乎都为这一成就自鸣得意。法国著名数学家庞加莱（1854—1912）于1900年在巴黎召开的国际数学家会议上夸耀道：“现在可以说，（数学）绝对的严密性是已经达到了”。然而，事隔不到两年，英国著名数理逻辑学家和哲学家罗素（1872—1970）即宣布了一条惊人的消息：集合论是自相矛盾的，并不存在什么绝对的严密性！史称“罗素悖论”。1918年，罗素把这个悖论通俗化，成为理发师悖论。罗素悖论的发现，无异于晴天劈雳，把人们从美梦中惊醒。
罗素悖论以及集合论中其它一些悖论，深入到集合论的理论基础之中，从而从根本上危及了整个数学体系的确定性和严密性。于是在数学和逻辑学界引起了一场轩然大波，形成了数学史上的第三次危机。 产生集合论悖论的原因在于集合的辨证性与数学方法的形式特性或者形而上学的思维方法的矛盾。如产生罗素悖论的原因，就在于概括原则造集的任意性与生成集合的客观规则的非任意性之间的矛盾。 三、影响 第三次数学危机的产物——数理逻辑的发展与一批现代数学的产生。 为了解决第三次数学危机，数学家们作了不同的努力。由于他们解决问题的出发点不同，所遵循的途径不同，所以在本世纪初就形成了不同的数学哲学流派，这就是以罗素为首的逻辑主义学派、以布劳威尔（1881—1966）为首的直觉主义学派和以希尔伯特为首的形式主义学派。这三大学派的形成与发展，把数学基础理论研究推向了一个新的阶段。三大学派的数学成果首先表现在数理逻辑学科的形成和它的现代分支——证明论等——的形成上。 为了排除集合论悖论，罗素提出了类型论，策梅罗提出了第一个集合论公理系统，后经弗伦克尔加以修改和补充，得到常用的策梅罗——弗伦克尔集合论公理体系，以后又经
数学史上的著名猜想之被否定的数学猜想 过伯祥 数学史上，长时期未能解决的数学猜想特别多！并且很多都是世界级的难题，其中数论方面的问题又占多数.它们表面上是那么的浅显，好像不难解决似的，其实，若无深厚的数学功底，即使想接近它也十分困难。本章特作较多的介绍，使数学爱好者有一个初步了解.如果你有志要攻克这些猜想，就必须作好长期艰苦跋涉的思想准备. 1．被否定的数学猜想 （1）试证第五公设的漫长历程 几何是从制造器皿、测量容器、丈量土地等实际问题中产生和发展起来的. 几何学的发展历程中，有两个重大的历史性转折.其一是,大约从公元前7世纪到公元前3世纪，希腊数学从素材到框架，已经为几何学的理论大厦的建造准备了足够的条件.欧几里得在前人毕达哥拉斯、希波克拉底和欧多克斯等人的工作基础上，一举完成了统治几何学近2000年的极其伟大的经典著作《几何原本》.它使几何学发展成为一门独立的理论学科，是几何学史上的一个里程碑. 其二，也正是由于《几何原本》的问世，才带来了一个使无数人困惑和兴奋的著名问题--欧几里得第五公设问题. 在《几何原本》的第一卷中，规定了五条公设和五条公理.著名的欧几里得第五公设：“若两条直线被第三条直线所截，如有两个同侧内角之和小于两直角，则将这两直线向该侧适当延长后必定相交.”就是这五条公设中的最后一条.由于它在《几何原本》中引用得很少（直到证明关键性的第29个定理时才用到它）；而且，它的辞句冗长，远不如前四条公设那样简单明了.于是给后人的印象是：似乎欧几里得本人也想尽量避免应用第五公设. 于是，一代又一代的数学家猜测:大概不用花费很多力气就能证明欧几里得第五公设.就这样，数学家们开始了试证第五公设的历程. 这是个始料未及的漫长历程！真正是前赴后继，几乎每个时代的大数学家都做过这一件工作. 然而，满以为非常简单，只不过是举手之劳的一件事，谁料历时两千年仍未解决. 第五公设问题几乎成了“几何原理中的家丑”（达朗贝尔）.
世界数学十大未解难题 （其中“一至七”为七大“千僖难题”；附录“希尔伯特23个问题里尚未解决 的问题”） 一：P（多项式算法）问题对NP（非多项式算法）问题 在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不安，你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。你的主人向你提议说，你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现你的主人是正确的。然而，如果没有这样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看是否有你认识的人。生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。这是这种一般现象的一个例子。与此类似的是，如果某人告诉你，数 13，717，421可以写成两个较小的数的乘积，你可能不知道是否应该相信他，但是如果他告诉你它可以因子分解为3607乘上3803，那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。不管我们编写程序是否灵巧，判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证，还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解，被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。它是斯蒂文·考克（StephenCook）于1971年陈述的。 二：霍奇(Hodge)猜想 二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广；最终导至一些强有力的工具，使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下，必须加上某些没有任何几何解释的部件。霍奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合。 三：庞加莱(Poincare)猜想
江西科技师范学院学年论文 数学史上的三次数学危机的成因分析 吕少珍（数学与应用数学 20081444）指导老师：王亚辉 摘要从哲学上来看，矛盾是无处不在的，即便是以确定无疑著称的数学也不例外。数学常常被人们认为是自然科学中发展的最完善的一门学科，它是自然中最基础的学科，是所有科学之父，没有数学，就不可能有其他科学的产生。但在数学的发展史中，却经历了三次危机，本文回顾了数学史上三次危机的产生和发展，并给出了自己对这三次危机的看法，最后得出确定性丧失的结论。 关键词：数学危机；无理数；微积分；无穷小量 1第一次数学危机 1.1背景 第一次危机发生在公元前580—568年之间的古希腊，当时人们对有理数的认识还很有限，对于无理数的概念更是一无所知。数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。这个学派是一个宗教、政治、学术合一且组织严密，带有浓厚宗教色彩的学派，这个学派进行了大量的教学研究，并取得了众多的数学发现。在当时他们一致认为“数”的中心地位随时可见，他们还提出了“万物皆数”这一论断。后期毕达哥拉斯学派成员费洛罗斯将这一观点清晰表达为：“人们所知道的一切事物都包含数；因此，没有数就既不可能表达，也不可能理解任何事物。”世界上的万物和现象都只能通过数才能加以解释，唯有通过数和形，才能把握宇宙的本性，他们还指出“万物都可以归结为整数之比”并且相信宇宙的本质就在于这种“数的和谐”。 1.2 起源 1.2.1 “万物都可以归结为整数之比” 比较两条线段a与b的长度，当b恰好是a的正整数r倍时，我们可以直接用a作为这两条线段的共同度量单位。当b不是a的正整数倍时，我们就要去找第三条线段d，使得a可以正好分成d的正整数倍，同时b也可以分成d的正整数倍，我们可以假设a的长度是d的m倍，b的长度是d的n倍，这时，我们说d就是a与b的度量单位，并说线段a与b是可公约或可公度的。这个过程相当于用比较短的线段当尺子去量长的，如果一次量尽，则度量结束；如果一次量不尽，就用余下的那段线段作为新的尺子去量那个比较短的线段，如果量尽，度量结束，且度量单位就是那段余下的线段；如果还是量不尽，就用再余下的那段线段作为新的尺子去量之前余下的那一段…如此下去，直到量尽，度量结束，且度量单位就是最后余下的那段线段。对于任意两条线段，毕达哥拉斯学派的成员相信上面的操作过程总会在进行了有限步之后结束，他们相信，只要有耐心总能找到那个度量单位的。所以，任何两个同类量都是可通约的，即万物都归结为整数之比 1.2.2 希帕索斯悖论 希帕索斯悖论的提出与勾股定理的发现密切相关。因此，我们从勾股定理谈
数学史上的三大危机 无理数危机、无穷小是零危机和悖论危机 无理数的发现－第一次数学危机 大约公元前５世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯的悖论。当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称"四艺"，在其中追求宇宙的和谐规律性。他们认为：宇宙间一切事物都可总结为整数或整数之比，毕达哥拉斯学派的一项重大贡献是证明了勾股定理，但由此也发现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比（不可通约）的情形，如直角边长均为１的直角三角形就是如此。这个悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条，导致了当时理解上的"危机"，从而产生了第一次数学危机。 到了公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了。他的处理不可通约量的方法，出现在欧几里得《原本》第５卷中。欧多克斯和狄德金于1872年给出的无理数的解释与现代解释基本一致。今天中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难和微妙之处。第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大的冲击。这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之却能够由几何量来表示出来，整数的权威地位开始动摇，而几何学的身份升高了。危机也表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演译推理，并由此建立了几何公理体系，这不能不说是数学思想上的一次巨大革命！ 无穷小是零吗？－第二次数学危机 18世纪，微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的实验过，绝大部分数学家对这个理论的可靠性是毫不怀疑的。 1734年，英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》，茅头指向微积分的基础--无穷小的问题，提出了所谓贝克莱悖论。他指出："牛顿在求xn的导数时，采取了先给x以增量０，应用二项式（x+0）n，从中减去xn以求得增量，并除以０以求出xn的增量与x的增量之比，然后又让０消逝，这样得出增量的最终比。这里牛顿做了违反矛盾律的手续──先设x有增量，又令增量为零，也即假设x没有增量。"他认为无穷小dx既等于零又不等于零，召之即来，挥之即去，这是荒谬，"dx为逝去量的灵魂"。无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论。导致了数学史上的第二次数学危机。 18世纪的数学思想的确是不严密的，直观的强调形式的计算而不管基础的可靠。其中特别是：没有清楚的无穷小概念，从而导数、微分、积分等概念也不清楚，无穷大概念不清楚，以及发散级数求和的任意性，符号的不严格使用，不考虑连续性就实行微分，不考虑导数及积分的存有性以及函数可否展成幂级数等等。 直到19世纪20年代，一些数学家才比较注重于微积分的严格基础。从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里赫利等人的工作开始，到韦尔斯特拉斯、戴德金和康托的工作结束，中间经历了
数学史上一个大恩怨的真相 数学史上这个著名的大恩怨许多人在中学学习解方程 时都听老师讲过。故事说，文艺复兴时期意大利数学家塔塔利亚发现了三次方程的解法，秘而不宣。一位叫卡当的骗子把解法骗到了手，公布出来，并宣称是他自己发现的。塔塔利亚一气之下向卡当挑战比赛解方程，并大获全胜，因为塔塔利亚教他时留了一招。不过，至今这些公式还被称作卡当公式，而塔塔利亚连名字都没有留下来，塔塔利亚只是一个外号，意大利语意思是“结巴”。网上广为流传的一篇《数学和数学家的故事》一文就是这么介绍的。 然而，这个流行版本从总体到细节都是错误的。塔塔利亚不仅留下了名字（其真名叫尼科洛·方塔纳），而且也留下了有关这一争执的著作。后人对此事的看法在很大程度上就是受塔塔利亚一面之词的影响。 塔塔利亚与卡当之间并未进行过数学比赛，和塔塔利亚比赛的另有其人。在当时的意大利，两个数学家进行解题比赛成了风气，方式是两人各拿出赌金，给对方出若干道题，30天后提交答案，解出更多道题的人获胜，胜者赢得全部赌金。塔塔利亚很热衷于参加这种比赛，并多次获胜。 当时经常出现的比赛题目是三次方程，因为三次方程的解法还未被发现。意大利博洛尼亚数学家费罗发现了三次方程的一种特殊形式“三次加一次”的解法，临死前传给了学生
费奥。费奥的数学水平其实很差，得到费罗的秘传之后便吹嘘自己能够解所有的三次方程。塔塔利亚也自称能够解三次方程，于是，两人在1535年进行了比赛。塔塔利亚给费奥出了30道其他形式的三次方程，把费奥给难住了。费奥则给塔塔利亚出了30道清一色的“三次加一次”方程题，认定塔塔利亚也都解不出来。塔塔利亚在接受费奥挑战的时候，的确还不知道如何解这类方程题。据说，是在最后一天的早晨，塔塔利亚在苦思冥想了一夜之后，突然来了灵感，发现了解法，用了不到两个小时就全部解答了。塔塔利亚欣喜若狂，宽宏大量地放弃了费奥交的赌金。 当时担任米兰官方数学教师的卡当听说了此事，通过他人转告塔塔利亚，希望能够知道解法，遭到塔塔利亚的拒绝。于是卡当直接给塔塔利亚写信，暗示可以向米兰总督推荐塔塔利亚。 在威尼斯当穷教师的塔塔利亚一见有高升的机会，态度大变，于1539年3月动身前往米兰，受到卡当的热情招待。在卡当苦苦哀求，并向上帝发誓绝不泄密后，塔塔利亚终于向卡当传授了用诗歌暗语写成的解法。而卡当把“武林秘笈”拿到手，也并没有对塔塔利亚翻脸。然而，像许多泄密者一样，塔塔利亚马上就后悔了。他无心再在米兰求发展，匆忙赶回威尼斯。在那一年，卡当出版了两本数学著作，塔塔利亚都细细研读，一方面很高兴卡当没有在著作中公布三
455 63 世界著名数学难题 20世纪是数学大发展的一个世纪。数学的许多重大难题得到完满解决，如费马大定理的证明，有限单群分类工作的完成 等， 从而使数学的基本理论得到空前发展。回首20世纪数学 的发展， 数学家们深切感谢20世纪最伟大的数学大师大卫·希 尔伯特。希尔伯特在1900年8月8日于巴黎召开的第二届世 界数学家大会上的著名演讲中提出了23个数学难题。希尔伯特问题在过去百年中激发数学家的智慧，指引数学前进的方 向。 知识荐语： 数学是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门 基础学科，简单地说，是研究数和形的科学。在数学发展的历 史上，数学们不但证明了诸多经典的定理，还把众多谜题留给 后人。这期知识，就让我们一同走进那些著名的数学难题。 1. 四色猜想 世界近代三大数学难题之一。四色猜想的提出来自英国。1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。”这个结论能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。 ? 四色猜想到底怎么回事? ? 什么是四色猜想 ? 证明四色猜想的计算机是什么名字 ? 哪里有关于四色猜想的资料 ? 请问世界上那个四色猜想的内容是什么? ? 2. 哥德巴赫猜想 哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。这就是着名的哥德巴赫猜想。欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。 ? 哥德巴赫猜想为什么被转化为证明1+1？ ? 哥德巴赫猜想的内容 ? 哥德巴赫猜想难在哪里? ? 哥德巴赫猜想有什么新进展 ? 哥德巴赫猜想与1+1是什么关系？
世界近代三大数学难题：哥德巴赫猜想 哥德巴赫1742年给欧拉的信中哥德巴赫提出了以下猜想：任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。但是哥德巴赫自己无法证明它，于是就写信请教赫赫有名的大数学家欧拉帮忙证明，但是一直到死，欧拉也无法证明。因现今数学界已经不使用“1也是素数”这个约定，原初猜想的现代陈述为：任一大于5的整数都可写成三个质数之和。欧拉在回信中也提出另一等价版本，即任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。今日常见的猜想陈述为欧拉的版本。把命题"任一充分大的偶数都可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和"记作"a+b"。1966年陈景润证明了"1+2"成立，即"任一充分大的偶数都可以表示成二个素数的和，或是一个素数和一个半素数的和"。 今日常见的猜想陈述为欧拉的版本，即任一大于2的偶数都可写成两个素数之和，亦称为“强哥德巴赫猜想”或“关于偶数的哥德巴赫猜想”。 从关于偶数的哥德巴赫猜想，可推出：任一大于7的奇数都可写成三个质数之和的猜想。后者称为“弱哥德巴赫猜想”或“关于奇数的哥德巴赫猜想”。若关于偶数的哥德巴赫猜想是对的，则关于奇数的哥德巴赫猜想也会是对的。弱哥德巴赫猜想尚未完全解决，但1937年时前苏联数学家维诺格拉多夫已经证明充分大的奇质数都能写成三个质数的和，也称为“哥德巴赫-维诺格拉朵夫定理”或“三素数定理”。 猜想提出 1742年6月7日，哥德巴赫写信给欧拉，提出了著名的哥德巴赫猜想：随便取某一个奇数，比如77，可以把它写成三个素数之和，即77=53+17+7；再任取一个奇数，比如461，可以表示成461=449+7+5，也是三个素数之和，461还可以写成257+199+5，仍然是三个素数之和。例子多了，即发现“任何大于5的奇数都是三个素数之和。” 1742年6月30日欧拉给哥德巴赫回信。这个命题看来是正确的，但是他也给不出严格的证明。同时欧拉又提出了另一个命题：任何一个大于2的偶数都是两个素数之和。但是这个命题他也没能给予证明。 研究途径 研究偶数的哥德巴赫猜想的四个途径。这四个途径分别是：殆素数，例外集合，小变量的三素数定理以及几乎哥德巴赫问题。 殆素数
盘点数学史上24道智力经典名题 同学们，你们知道数学史上有哪些经典名题吗?查字典数学网为大家推荐的数学史上24道智力经典名题，小朋友们不妨开动脑筋，动手做一做吧! 1.遗嘱传说，有一个古罗马人临死时，给怀孕的妻子写了一份遗嘱：生下来的如果是儿子，就把遗产的2/3给儿子，母亲拿1/3;生下来的如果是女儿，就把遗产的1/3给女儿，母亲拿2/3。结果这位妻子生了一男一女，怎样分配，才能接近遗嘱的要求呢? 2.公主出题古时候，传说捷克的公主柳布莎出过这样一道有趣的题：“一只篮子中有若干李子，取它的一半又一个给第一个人，再取其余一半又一个给第二人，又取最后所余的一半又三个给第三个人，那么篮内的李子就没有剩余，篮中原有李子多少个?” 3.王子的数学题传说从前有一位王子，有一天，他把几位妹妹召集起来，出了一道数学题考她们。题目是：我有金、银两个手饰箱，箱内分别装自若干件手饰，如果把金箱中25%的手饰送给第一个算对这个题目的人，把银箱中20%的手饰送给第二个算对这个题目的人。然后我再从金箱中拿出5件送给第三个算对这个题目的人，再从银箱中拿出4件送给第四个算对这个题目的人，最后我金箱中剩下的比分掉的多10
件手饰，银箱中剩下的与分掉的比是2∶1，请问谁能算出我 7 / 1 的金箱、银箱中原来各有多少件手饰? 4.国王的重赏传说，印度的舍罕国王打算重赏国际象棋的发明人——大臣西萨班达依尔。这位聪明的大臣跪在国王面敢说：“陛下，请你在这张棋盘的第一个小格内，赏给我一粒麦子，在第二个小格内给两粒，在第三个小格内给四粒，照这样下去，每一小格内都比前一小格加一倍。陛下啊，把这样摆满棋盘上所有64格的麦粒，都赏给您的仆人吧?”国王说：“你的要求不高，会如愿以偿的”。说着，他下令把一袋麦子拿到宝座前，计算麦粒的工作开始了。……还没到第二十小格，袋子已经空了，一袋又一袋的麦子被扛到国王面前来。但是，麦粒数一格接一格地增长得那样迅速，很快看出，即使拿出来全印度的粮食，国王也兑现不了他对象棋发明人许下的语言。算算看，国王应给象棋发明人多少粒麦子? 5.哥德巴赫猜想哥德巴赫是二百多年前德国的数学家。他发现：每一个大于或等于6的偶数，都可以写成两个素数的和(简称“1+1”)。如：10=3+7，16=5+11等等。他检验了很多偶数，都表明这个结论是正确的。但他无法从理论上证明这个结论是对的。1748年他写信给当时很有名望的大数学家欧拉，请他指导，欧拉回信说，他相信这个结论是正确的，但也无法证明。因为没有从理论上得到证明只是一种猜想，所
数学史上的三次危机 张清利 第一次数学危机 在古代的数学家看来与有理数对应的点充满了数轴，现在尚未深入了解数轴性质的人也会这样认为。因此，当发现在数轴上存在不与任何有理数对应的一些点时，在人们的心理上引起了极大震惊，这个发现是早期希腊人的重大成就之一。它是在公元前5世纪或6世纪的某一时期由毕达哥拉斯学派的成员首先获得的。这是数学史上的一个里程碑。毕达哥拉斯学派发现单位正方形的边与对角线不可公度，即对角线的长不能表为q p /的形式，也就是说不存在作为公共度量单位的线段。后来，又发现数轴上还存在许多点也不对应于任何有理数。因此，必须发明一些新的数，使之与这样的点对应，因为这些数不能是有理数，所以把它们称为无理数。 例如， ,22,8,6,2等都是无理数。无理数的发现推翻了早期希腊人坚持的另一信念：给定任何两个线段，必定能找到第三线段，也许很短，使得给定的线段都是这个线段的整数倍。事实上，即使现代人也会这样认为，如果他还不知道情况并非如此的话。 第一次数学危机表明，当时希腊的数学已经发展到这样的阶段： 1． 数学已由经验科学变为演绎科学； 2． 把证明引入了数学； 3． 演绎的思考首先出现在几何中，而不是在代数中，使几何具有 更加重要的地位。这种状态一直保持到笛卡儿解析几何的诞生。 中国、埃及、巴比伦、印度等国的数学没有经历这样的危机，因而一直停留在实验科学。即算术阶段。希腊则走上了完全不同的道路，形成了欧几里得的《几何原本》与亚里士多得的逻辑体系， 而成为现代科学的始祖。 在当时的所有民族中为什么只有希腊人认为几何事实必须通过合乎逻辑的论证而不能通过实验来建立？这个原因被称为希腊的奥秘。 总之，第一次数学危机是人类文明史上的重大事件。 无理数与不可公度量的发现在毕达哥拉斯学派内部引起了极大的震动。首先，这是对毕达哥拉斯哲学思想的核心，即“万物皆依赖于整数”的致命一击；既然像2这样的无理数不能写成两个整数之比，那么，它究竟怎样依赖于整数呢？其次，这与通常的直觉相矛盾，因为人们在直觉上总认为任何两个线段都是可以公度的。而毕达哥拉斯学派的比例和相似形的全部理论都是建立在这一假设之上的。突然之间基础坍塌了，已经建立的几何学的大部分内容必须抛弃，因为它们的证明失效了。数学基础的严重危机爆发了。这个“逻辑上的丑陋”是如此可怕，以致毕达哥拉斯学派对此严守秘密。据说，米太旁登的帕苏斯把这个秘密泄漏了出去，结果他被抛进了大海。还有一种说法是，将他逐出学派，并为他立了一个墓，说他
100个历史上最有名的数学难题 第01题阿基米德分牛问题archimedes' problema bovinum 太阳神有一牛群，由白、黑、花、棕四种颜色的公、母牛组成。在公牛中，白牛数多于棕牛数，多出之数相当于黑牛数的1/2+1/3；黑牛数多于棕牛，多出之数相当于花牛数的1/4+1/5；花牛数多于棕牛数，多出之数相当于白牛数的1/6+1/7。在母牛中，白牛数是全体黑牛数的1/3+1/4；黑牛数是全体花牛数1/4+1/5；花牛数是全体棕牛数的1/5+1/6；棕牛数是全体白牛数的1/6+1/7。问这牛群是怎样组成的？ 第02题德·梅齐里亚克的法码问题the weight problem of bachet de meziriac 一位商人有一个40磅的砝码，由于跌落在地而碎成4块.后来，称得每块碎片的重量都是整磅数，而且可以用这4块来称从1至40磅之间的任意整数磅的重物。问这4块砝码碎片各重多少？ 第03题牛顿的草地与母牛问题newton's problem of the fields and cows a头母牛将b块地上的牧草在c天内吃完了；a'头母牛将b'块地上的牧草在c'天内吃完了；a"头母牛将b"块地上的牧草在c"天内吃完了；求出从a到c"9个数量之间的关系？
第04题贝韦克的七个7的问题berwick's problem of the seven sevens 在下面除法例题中，被除数被除数除尽：* * 7 * * * * * * * ÷ * * * * 7 * = * * 7 * * * * * * * * * * * * * 7 * * * * * * * * * 7 * * * * * 7 * * * * * * * * * * * * * * * 7 * * * * * * * * * * * * * * 用星号（*）标出的那些数位上的数字偶然被擦掉了，那些不见了的是些什么数字呢？ 第05题柯克曼的女学生问题kirkman's schoolgirl problem 某寄宿学校有十五名女生，她们经常每天三人一行地散步，问要怎样安排才能使每个女生同其他每个女生同一行中散步，并恰好每周一次？ 第06题伯努利-欧拉关于装错信封的问题the bernoulli-euler problem of the misaddressed letters 求n个元素的排列，要求在排列中没有一个元素处于它应当占有的位置。
数学史上的三大几何问题 一、立方倍积 关于立方倍积的问题有一个神话流传：当年希腊提洛斯（Delos）岛上瘟疫流行，居民恐惧也向岛上的守护神阿波罗（Apollo）祈祷，神庙里的预言修女告诉他们神的指示：“把神殿前的正立方形祭坛加到二倍，瘟疫就可以停止。”由此可见这神是很喜欢数学的。居民得到了这个指示后非常高兴，立刻动工做了一个新祭坛，使每一稜的长度都是旧祭坛棱长的二倍，但是瘟疫不但没停止，反而更形猖獗， 使他们都又惊奇又惧怕。结果被一个学者指出了错误：「稜二倍起来体积就成了八倍，神所要的是二倍而不是八倍。」大家都觉得这个说法很对，於是改在神前并摆了与旧祭坛同形状同大小的两个祭坛，可是瘟疫仍不见消灭。人们困扰地再去问神，这次神回答说：「你们所做的祭坛体积确是原来的二倍，但形状却并不是正方体了，我所希望的是体积二倍，而形状
仍是正方体。」居民们恍然大悟，就去找当时大学者柏拉图（Plato）请教。由柏拉图和他的弟子们热心研究，但不曾得到解决，并且耗费了後代许多数学家们的脑汁。而由于这一个传说，立方倍积问题也就被称为提洛斯问题。
数学史上的三大几何问题 二、化圆为方 方圆的问题与提洛斯问题是同时代的，由希腊人开始研究。有名的阿基米得把这问题化成下述的形式：已知一圆的半径是r，圆周就是2πr，面积是πr2。由此若能作一个直角三角形，其夹直角的两边长分别为已知圆的周长2πr及半径r，则这三角形的面积就是(1/2)(2πr)(r)=πr2与已知圆的面积相等。由这个直角三角形不难作出同面积的正方形来。但是如何作这直角三角形的边。即如何作一线段使其长等于一已知圆的周长，这问题阿基米德可就解不出了。 我们都知道化圆为方是由古希腊著名学者阿纳克萨戈勒斯提出的，但是阿纳克萨戈勒斯一生也未能解决自己提出的问题。 实际上，这个化圆为方问题中的正方形的边长是圆面积的算数平方根。我们假设圆的半径为单位1，那么正方形的边长就是根号π。 直到1882年，化圆为方的问题才最终有了合理的答案。德国数学家林德曼（Lindemann,1852~1939)在这一年成功地证明了圆周率π=3.1415926......是
三大几何难题 古希腊是世界数学史上浓墨重彩的一笔，希腊数学的成就是辉煌的，它为人类创造了巨大的精神财富。其中，几何是希腊数学研究的重心，柏拉图在他的柏拉图学院的大门上就写着“不懂几何的人，勿入此门”。历史上第一个公理化的演绎体系《几何原本》阐述的也基本上为几何内容。 古希腊的几何发展得如此繁荣，但有一个问题一直没有得到解决，那就是著名的尺规作图三大难题。它们分别是化圆为方、三等分任意角以及倍立方问题。这三个问题首先是“巧辨学派”提出并且研究的，但看上去很简单的三个问题，却困扰了数学家们两千多年之久。 这些问题的难处，是作图只能用直尺和圆规这两种工具，其中直尺是指只能画直线，而没有刻度的尺。在欧几里得的《几何原本》中对作图作了规定，只有圆和直线才被承认是可几何作图的，因此在这本书的巨大影响下，尺规作图便成为希腊几何学的金科玉律。并且，古代希腊人较重视规、矩在数学中训练思维和智力的作用，而忽视规矩的实用价值。因此，在作图中对规、矩的使用方法加以很多限制，在这里，就是要在有限的次数中解决这三个问题。化圆为方 圆和正方形都是常见的几何图形，人们自然会联想到可否作一个正方形和已知圆等积，这就是化圆为方问题。 三等分任意角 用尺规二等分一个角很容易就可以作出来，那么三等分角呢？三等分180,90角也很容易，但是60,45等这些一般角可以用尺规作出来吗？ 倍立方 关于倍立方问题是起源于一个祭祀问题，第罗斯岛上流行着一种可怕的传染病,一时人心惶惶,不可终日.人们来到阿波罗神前,请求阿波罗神像的指示.阿波罗神给了祈求人这样一个指示:“神殿前有一个正方体祭坛,如果能不改变它的形状而把它的体积增加1倍,那么就能消灭传染病.”人们连夜赶造了一个长、宽、高都比正方体祭坛大一倍的祭坛,可是,那传染病传播得更加厉害了.人们又来到阿波罗神像前祈求.神说:“我要你们增加一倍的是祭坛的体积,你们把长、宽、高都增加1倍,祭坛的体积不是要比原来体积大7倍了吗?”人们绞尽脑汁想找出一个答案,可是始终没有人能解答这个难题. 由三大问题的起源，可以看出，化圆为方和三等分角是人们在已有知识的基础上，向更深层次，更一般的方向去思考、探索，这也是希腊数学的理论性的演绎推理与抽象性的表现。而倍立方则是起源于建筑的需要，这也反应了数学的发展是离不开现实社会的推动的。 三个几何难题提出后，有很多人都为之做了不懈的努力。可以说，但凡是数学史上称得上是数学家的人，都研究过这个问题。由三大难题引出的各种结论与发现也数不胜数，例如割圆曲线、阿基米德螺线等。但这些解法并没有完全遵从尺规作图的要求，因此也不算解决了三大难题。但是由19世纪所证出的三大几何难题的不可解，可以发现，只有冲破尺规的限制才能解决问题。正如很多事情，我们觉得无论如何也找不到解决的办法，就是因为有太多的枷锁罩在我们身上，只有打破这些桎梏，才会豁然开朗，找到一片新天地。 三大几何问题的真正解决是在19世纪解析几何创立之后，人们知道了直线与圆分别是二元一次方程和二元二次方程的轨迹，交点则是方程组的解，因此一个几何量是否能用尺规作出，则是它能否由已知量经过有限次加、减、乘、除、开平方运算得到。那么三大难题就可以转换成代数的语言来表示： 1化圆为方设圆的半径为一个单位,要作一面积等于单位圆的正方形,设这个正方形连长为x,则x2=π.集能否用尺规作出一条长为π的线段?
简述数学史上的三大危机 世界曾经发生过金融危机，比如美国的金融危机席卷全球，造成了史无前例的影响。实际上，在数学界也发生过翻天覆地的变革，那就是数学史上的三次数学危机。 在古希腊，哲学家都是格外重视数学。像无论是最早的唯物主义哲学家泰勒斯，还是最早的唯心主义哲学家毕达哥拉斯，都特别推崇数学。在那些伟大的数学家中，在数学上成就最大的，当推毕达哥拉斯。 毕达哥拉斯建立了一个带有神秘色彩的团体，被称为毕达哥拉斯学派。这个学派传授知识，研究数学，还很重视音乐。“数”与“和谐”是他们的主要哲学思想。他们认为数是万物的本源，数产生万物，数的规律统治万物，也就是“万物皆数”的观点。“万物皆数”就是万物皆可用自然数或分数表示。然而，这一观点在后来确被毕达哥拉斯自己给推翻了。这还得从一个有趣的故事说起。有一次毕达哥拉斯去朋友家做客，他发现朋友家的地板上的方形图案很有意思，凭借着他数学家头脑的直觉，得出了我们今天所学的勾股定理以及证明。然而根据勾股定理，边长为1的正方形，其对角线的长度应当是根号2，毕达哥拉斯发现根号2既不是自然数，也不是分数。这个事实的发现，是毕达哥拉斯学派的一大成就，它标志着人类思维有了更高的抽象能力。 但这一发现引起了毕达哥拉斯学派的惶恐不安。因为他们心目中的数只有自然数与自然数之比---分数。如今发现边长为1的正方形的
对角线这个明明白白地摆在那里的东西竟不能用“数”表示。这难道不是自己否定自己信仰的真理吗？于是毕达哥拉斯学派千方百计封锁消息，但是纸包不住火终于还是传开了。当时研究数学的希腊学者们便对数的重要性有了怀疑。哲学家们认为世界上的量都可以用数表示，任何两个分数，无论多么近，他们之间还有无穷对个分数，这么多的数居然还不能表示出线段上某些点的长度，数的万能的力量因为根号2的出现被否定了，这就是所谓的第一次数学危机。 第二次数学危机 我们生活着的这个世界，在一刻不停地变化着。古希腊哲学家赫拉克利特说：人不能两次踏入同一条河流，因为河水在流动，当人第二次踏进同一条河流时，已经不是第一次踏进时的河水了。赫拉克利特用这个生动的比喻说明万物皆在不断变化之中，但严格说起来他的话在概念上存在疑问。当时他的对立者巴门尼德宣扬相反的观点，他主张存在是静止的，不变的，永恒的。他的得意门生芝诺还提出“飞矢不动”的诡论。然而数学是讲究概念严密的，他们的说法都在概念上存在漏洞。像什么叫“动”与“不动”，古代哲学家对于如何从逻辑上严格把握事物的运动与变化和相对静止与稳定的统一是不清楚的，直到17世纪，数学上出现了变量与函数的概念才找到了精确描述运动与变化的工具。 对于事物的运动与变化，哲学家常有这一种说法：“运动就是矛盾”，“矛盾”是一个定义的术语，它揭示出事物的共性，但没指出运动的特殊性，而数学中用映射或函数描述运动却能勾画出运动的特殊
几何三大难题 如果不知道远溯古希腊前辈所建立和发展的概念、方法和结果，我们就不可能理解近50年来数学的目标，也不可能理解它的成就. Herm??nn Weyl § 1 问题的提出和解决 数学的心脏 数学是由什么组成的公理吗定义吗定理吗证明吗吗公式吗诚然，没有这些组成部分数学就不存在，它们都数数学的必要组成部分，但是，它们中间的任一个都不是数学的心脏.数学家存在的主要理由就是提出问题和解决问题.因此，数学的真正组成部分是问题和解.两千多年以来，数学就是在解决各种问题中进行的. 那么，什么样的问题是好问题呢对此希尔伯特有一段精彩的论述：“要想预先正确判断一个问题的价值是困难的，并且常常是不可能的；因为最终的判断取决于科学从该问题获得的收益，虽说如此，我们仍然要问：是否存在一个一般准则，可以借以鉴别好的数学问题，一个老的法国数学家曾经说过：一种数学理论应该这样清晰，使你能向大街上遇到的第一个人解释它.在此以前，这一理论不能认为是完善的.这里对数学理论所坚持的清晰性和易懂性，我想更应该把它作为一个数学问题堪称完善的要求.因为清楚地、易于理解的问题吸引着人们的兴趣，而复杂的问题却使我们望而却步.” “其次，为了具有吸引力，一个数学问题应该是困难的，但却不能是完全不可解决的，使我们白费力气.在通向哪隐藏的真理的曲折道路上，它应该是指引我们前进的一盏明灯，最终以成功的喜悦作为我们的报偿.” 在数学史上这样的例子是不胜枚举的.本章介绍的几何作图三大问题就是最着名的问题之一. 希腊古典时期数学发展的路线 希腊前300年的数学沿着三条不同的路线发展着.第一条是总结在欧几里得得《几何原本》中的材料.第二条路线是有关无穷小、极限以及求和过程的各种概念的发展，这些概念一直到近代，微积分诞生后才得以澄清.第三条路线是高等几何的发展，即园和直线以外的曲线以及球和平面以外的曲面的发展.令人惊奇的是，这种高等几何的大部分起源于解几何作图三大问题. 几何作图三大问题 古希腊人在几何学上提出着名的三大作图问题，它们是： ( 1) 三等分任意角. ( 2) 化园为方：求作一正方形，使其面积等于一已知园的面积.