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高等数学竞赛试题(打印版)

１

竞赛试题1 一、填空：

1．若()?????≤->-=,x ,a x ,x f x x

01e 0,arctan e 122

sin 是()+∞∞-,上的连续函数，则a = 。 2．函数x x y 2sin +=在区间??

???ππ,2上的最大值为。

3．()=+?

--2

d e

x x x x

4．由曲线???==+0

2322z y x 绕y 轴旋转一周得到的旋转面在点()

230,,处的指向外侧的单位法向量为

5．设函数()x,y z z =由方程2e =+----x y z x x y z 所确定，则=z d 二、选择题：

1．设函数f (x )可导，并且()50='x f ，则当0→?x 时，该函数在点0x 处微分d y 是y ?的（）（A ）等价无穷小；（B ）同阶但不等价的无穷小；（C ）高阶无穷小；（D ）低阶无穷小。

2．设函数f (x )在点x = a 处可导，则()x f 在点x = a 处不可导的充要条件是（）（A ）f (a ) = 0，且()0='a f ；（B ）f (a )≠0，但()0='a f ；（C ）f (a ) = 0，且()0≠'a f ；（D ）f (a )≠0，且()0≠'a f 。 3．曲线12+-+=x x x y （）

（A ）没有渐近线；（B ）有一条水平渐近线和一条斜渐近线；（C ）有一条铅直渐近线；（D ）有两条水平渐近线。

4．设()()x,y x,y f ?与均为可微函数，且()0≠'x,y y ?。已知()00,y x 是()x,y f 在约束条件()0=x,y ?下的一个极值点，下列选项中的正确者为（）

（A ）若()000=',y x f x ，则()000=',y x f y ；（B ）若()000=',y x f x ，则()000≠',y x f y ；（C ）若()000≠',y x f x ，则()000=',y x f y ；（D ）若()000≠',y x f x ，则()000≠',y x f y 。 5．设曲面(){}

0Σ2222≥=++=,z k z y x x,y,z 的上侧，则下述曲面积分不为零的是（）（A ）??∑

z y x d d 2；（B ）??∑

z y x d d ；

（C ）??∑

x z z d d ；（D ）??∑

y x y d d 。

三、设函数f (x )具有连续的二阶导数，且()0lim

=→x x f x ，()40=''f ，求()x

x x x f 1

01lim ??

????

+→。

２

四、设函数()x y y =由参数方程()1d e 212ln 11

2>?????=+=?+t ,u u y ,t x t u 所确定，求9d d 2

=x x y 。五、设n 为自然数，计算积分()?

+=20

d sin 12sin π

n x x

n I 。

六、设f (x )是除x = 0点外处处连续的奇函数，x = 0为其第一类跳跃间断点，证明()?x t t f 0

d 是连续的偶函数，但在x = 0点处不可导。证明：

七、设f (u , v )有一阶连续偏导数，()()xy ,y x f z cos 22-=，??sin cos r y ,r x ==，证明：

()xy v

z y u z x z r r z sin 2sin 1cos ??-??=??-?????。八、设函数f (u )连续，在点u = 0处可导，且f (0)= 0，()30-='f 求：(

)

???≤++→++2

222d d d 1

lim

2224

t z y x t z y x z y x f πt 。

九、计算?

+++-=L y

x x y

x x y I d d ，其中L 为1=++y x x 正向一周。

十、⑴ 证明：当x 充分小时，不等式422tan 0x x x ≤-≤成立。

⑵ 设∑=+=n

k n k

n x 12

1tan ，求n n x ∞

→lim 。

十一、设常数1ln2->k ，证明：当x > 0且x ≠ 1时，()()01ln 2ln 12>-+--x k x x x 。

证明：

十二、设匀质半球壳的半径为R ，密度为μ，在球壳的对称轴上，有一条长为l 的均匀细棒，其密度为ρ。若棒的近壳一端与球心的距离为a ，a > R ，求此半球壳对棒的引力。竞赛试题2 一、选择题

1. 下列命题中正确的命题有几个？（）

（1）无界变量必为无穷大量； (2) 有限多个无穷大量之和仍为无穷大量；（3）无穷大量必为无界变量； (4) 无穷大量与有界变量之积仍为无穷大量. (A) 1个； (B) 2个； (C) 3个； (D) 4个. 2. 设 1, 0()0, 0x f x x ≠?=?=?，1sin , 0() 1 , 0

x x g x x

x ?

≠?=??=? 则0x =是间断点的函数是（）

(A)

()()f x g x +； (B) ()()f x g x -； (C) {}max (), ()f x g x ；

(D) {}min (), ()f x g x ..

3. 设ξ为()arctan f x x =在[ 0, ]b 上应用拉格朗日中值定理的“中值”，则 2

lim

b b ξ→=（

）

(A) 1； (B) 1

； (C) 13 ； (D)

4. 设

() , ()f x g x 连续，当0→x 时，()f x 与()g x 为等价无穷小，令0

()()x F x f x t dt

=-?，

() () G x x g xt dt =?, 则当0→x 时，() ()F x G x 是的（）

３

(A) 高阶无穷小； (B) 低阶无穷小； (C) 同阶无穷小但非等价无穷小；(D) 等价无穷小. 5. 设),(y x f 在点)0,0(的某邻域内连续，且满足

200

(,)(0,0)

lim

31sin cos x y f x y f x x y y

→→-=-+--则),(y x f 在点)0,0(处

（）

(A) 取极大值； (B) 取极小值； (C) 无极值； (D) 不能确定是否有极值. 6. 设

()f x 在(,)-∞+∞连续，且导函数()y f x '=的图形如图所示，则()f x 有

（）

(A) 1个极小值点与2个极大值点，无拐点； (B) 2个极小值点与1个极大值点，1个拐点； (C) 2个极小值点与2个极大值点, 无拐点； (D) 2个极小值点与2个极大值点，1个拐点. 7. 设f 有连续的一阶导数，则 (1,2)

(0,0)()d ()d f x y x f x y y +++=?

（）

(A) 10

2() d f x x

； (B) 3

() d f x x ?

； (C) (3)(0)

f f -； (D) 0 .

8. 设任意项级数 1

n n a ∞=∑条件收敛，将其中的正项保留负项改为0所组成的级数记为1

n n b ∞

=∑, 将其中的负项保

留正项改为0所组成的级数记为1

n n c ∞=∑，则1

n n b ∞=∑与1

n n c ∞

=∑（）

(A) 两者都收敛； (B) 两者都发散； (C)一个收敛一个发散； (D) 以上三种情况都可能发生. 二、设

()f x 在区间(,)-∞+∞连续，01()() d (>0), ()() d 2x a

x x a

F x f t t a

G x f t t a +-=

=??,

试解答下列问题：（1）用()G x 表示()F x ；（2）求()F x '；（3）求证：0

lim

()()a F x f x →==；

（4）设()f x 在[],x a x a -+内的最大值和最小值分别是M m 、,求证：()()F x f x M m -≤-.

三、求曲线 ln ln 1x y +=

所围成的平面图形的面积.

四、设曲面S 为曲线 e 0

y z x ?=?

=? (12y ≤≤) 绕z 轴旋转一周所成曲面的下侧，计算曲面积分

24 d d 2 d d (1) d d S

I zx y z z z x z x y

=-+-??

五、设幂级数 0n n n a x ∞

=∑, 当1n >时2 (1) n n a n n a -=-，且014, 1a a ==;

（1）求幂级数0

n n n a x ∞

=∑的和函数()S x ；（2）求和函数()S x 的极值..

六、设函数),(y x f 可微，(,), 0,12f

f x y f x π???

=-= ????

, 且满足()coty

1 ( 0, )lim e 0,n

n f y n f y →∞?

?+ ?= ? ? ?

求 (,)f x y .

七、如图所示，设河宽为a ，一条船从岸边一点O 出发驶向对岸，船头总是指向对岸与点O 相对的一点B 。假设在静水中船速为常数

1V ，河流中水的流速为常数 2V ，试求船过河所走的路线(曲线方程)；并讨论在

什么条件下（1）船能到达对岸；（2）船能到达点B .

竞赛试题3 一、选择题

1. 设n n n y z x ≤≤，且0)(lim =-∞

→n n n x y ，则n n z ∞

→lim （）

(A) 存在且等于零; (B) 存在但不一定等于零； (C) 不一定存在；

(D) 一定不存在

４

2. 设)(x f 是连续函数，)()(x f x F 是的原函数，则（） (A) 当)(x f 为奇函数时,)(x F 必为偶函数； (B) 当)(x f 为偶函数时,)(x F 必为奇函数； (C) 当)(x f 为周期函数时,)(x F 必为周期函数； (D) 当)(x f 为单调增函数时,)(x F 必为单调增函数.

3. 设0>a ，)(x f 在),(a a -内恒有2|)(|0)("x x f x f ≤>且，记?-=a

a dx x f I )(，则有（）

(A) 0=I ; (B) 0>I ; (C) 0

(D) 不确定.

4. 设)(x f 有连续导数，且0)0(',0)0(≠=f f ，?-=x

dt t f t x x F 0

22)()()(，当0→x 时，k x x F 与)('是同阶无穷小，则=k （ B ） (A) 4；

(B) 3；

(C) 2；

(D) 1.

5. 设?

????=+≠++=0,0

0,),(222

222

2y x y x y x y x y x f ，则),(y x f 在点)0,0(（）

(A) 不连续；

(B) 连续但偏导数不存在；

(C) 可微； (D) 连续且偏导数存在但不可微.

设k j b j i a +-=+=2,，则以向量a

、b 为边的平行四边形的对角线的长度为（

）

(A) 11,3； (B) 3, 11； (C) 10,3； (D) 11,2.

7. 设21L L 与是包含原点在内的两条同向闭曲线，12L L 在的内部，若已知222

2L xdx ydy

k x y +=+?（k 为常数）

，则有122

xdx ydy

x y ++?（）

(A) 等于k ；

(B) 等于k -； (C) 大于k ；

(D) 不一定等于k ，与L 2的形状有关.

8. 设∑∞

n n

n x a 在1=x 处收敛，则∑

∞

=-+0

)1(1n n n

x n a 在0=x 处（）二、设)(1

lim

)(2212N n x

ax x x f n

n n ∈+++=-∞

→，试确定a 、b 的值，使与)(lim 1

x f x →)(lim 1

x f x -→都存在.

三、设)()(x f x F 是的一个原函数，且1)0(=F x x f x F 2cos )()(,=，求dx x f ?π

|)(|.

四、设}0,0|),,{(2223>≤≤---∈=Ωa z y x a R z y x ，S 为Ω的边界曲面外侧，计算??

+++++=S

z y x dzdx

y a x dydz ax I 1

)(22

五、已知10=x ，130

14x x =

+，41312+=x x ，…，4

31+=+n n x x ，…. 求证：（1）数列}{n x 收敛；（2）}{n x 的极限值a 是方程0144=-+x x 的唯一正根. 六、设),(y x f 在单位圆上有连续的偏导数，且在边界上取值为零，求证：

５

220lim 2(0,0)D

f f x

y x y

dxdy f x y επ→??+??=-+?? , 其中D 为圆环域：1222≤+≤y x ε 七、有一圆锥形的塔，底半径为R ，高为)(R h h >，现沿塔身建一登上塔顶的楼梯，要求楼梯曲线在每一点的切线与过该点垂直于xoy 平面的直线的夹角为4

，楼梯入口在点( ,0,0 )R , 试求楼梯曲线的方程. 竞赛试题4

一．设函数)(x y y =由方程x y x

y x sin )ln(3

+=+确定，试求

=x dx

（10分）

二．若)0()

1ln(sin lim 30≠=+-?→c c dt t t x ax x b

x ，试确定常数c b a ,的值。

（10分）

三．?-1

2dx e

x （10分）

四．设)(x f 一阶连续可导，且)1()0(f f ==0，求证：至少存在一个)1,0(∈η，使0)()(='+ηηηf f ．（10分）

五．设,0>x 利用导数证明：x x ln 12>+（15分）六．设,)()(的原函数是x f x F ，且π42)1(=

F ，当0>x 时，有)

1(arctan )()(x x x

x F x f +=，试求)(x f 。（15分）七．假设曲线1L ：21x y -=（01≤≤x ）、x 轴和y 所围成的平面区域被曲线2L ：2ax y =分为面积相等的的两部分，其中a 是大于零的常数，试确定a 的值。（15分）

八．已知函数)(x f 在[0 ,1]上连续，在（0 ，1）内可导，且,0)0(=f 1)1(=f

（1）存在)1,0(∈ξ，使得ξξ-=1)(f ；(7分)

（2）存在两个不同的点η，μ，使得1)()(=''μηf f (8分) 解答提示:

一. x=0,时y=1 两边对x 求导,再将x=0,y=1代入即可.

二. 0≠c ,且0)sin (lim 0=-→x ax x ∴0)

1l n (lim 30=+?→dt t t x

b x ，故必有：0=b .再用洛必达法则推出a=1,c=1/2 三.作变换t x =-12即可

四.构造辅助函数)()(x xf x F =,在区间[0 ，1]应用罗尔中值定理.

五. 构造辅助函数x x x F ln 1)(2-+=,证明其在(0,+ ∞)内只有一个极小值点, 2

６

故对一切,0>x 都有：)(x F )22(

F ≥=2ln 2

23+＞0 六. 由)()(x F x f '=，知 )

1(a r c t a n )()(x x x x F x F +=

' 即

x d x x dF x F arctan arctan

2)()(??=

解出

C x x F +=22

arctan )(21 代入初始条件即得 )

1(22)(x x x f +=

（0>x ）七. 先求出两条曲线交点的横坐标 1

a x 积分?+--1

2)1(a dx ax x =1

32+a

又,?=-1

0231)1(21dx x 由

132=+a 知, 3=a 八.(1) 构造辅助函数x x f x F +-=1)()(，在[0 ，1]上应用零点存在定理即可. （2）利用(1)的结果,分别在[0 ,ξ]和]1,[ξ上对)(x f

应用拉格朗日中值定理即可. 竞赛试题5 一、计算题 1．求9

2．求1

120(1)(12)lim

sin x x

x x x x

→+-+ 3．求p 的值，使2

2007() ()0b

x p a

x p e dx ++=?

4．设(,)x ?∈-∞+∞，''()0f x ≥，且2

0()1x f x e -≤≤-，求()f x 的表达式 5．计算2()s

x y dS +??，其中S 为圆柱面224x y +=，（0≤z ≤1）

二、设12112112123456

32313n u n n n =+-++-+

+--- 11

123n v n n n

=+++++ 求（1）

u v （2）lim n n u →∞

三、有一张边长为4π的正方形纸（如图），C 、D 分别为'AA 、'BB 的中点，E 为'DB 的中点，现将纸卷

成圆柱形，使A 与'A 重合， B 与'B 重合，并将圆柱垂直放在xoy 平面上，且B 与原点O 重合，D 落在Y 轴正向上，此时，求：

（1）通过C ，E 两点的直线绕Z 轴旋转所得的旋转曲面方程；

（2）此旋转曲面、xoy 平面和过A 点垂直于Z 轴的平面所围成的立体体积。

四、求函数2222

(,,)x yz f x y z x y z

+=++在{}

222

(,,)|14D x y z x y z =≤++≤的最大值、最小值。五、求1

lim (1)

n k n k nC -→∞

=??+-??∑ 六、

（满分15分）证明：2x ≤-x ∈ 竞赛试题6

７

1．计算{}

2222

,max 0

a b

b x a y

dx e

dy ??，（a>0，b>0）

2. 设幂级数0

n n n a x ∞

=∑的系数满足02a =，11n n na a n -=+-，n=1，2，3…，求此幂级数的和函数()s x 。

解方程1()1x s x ce x =+

- 由(0)1s =?1()1x s x e x

=+- 3. 已知()f x 二阶可导，且()0f x >，[]2

''()()'()0f x f x f x -≥，x R ∈ （1）证明 212

12()()(

x x f x f x f +≥， 12,x x R ?∈（2）若(0)1f =，证明'(0)(),f x f x e x R ≥∈ 4．求10(1)lim ln(1)x

x x e x →+-+ 5．设222 0cos()sin t u x t y e udu -?=?

?=??

? ，求22d y dx 6． 2 0(1)(1)dx x x α+∞++? ，（0α≠） 7.设函数()f x 满足方程，()2()3sin x x e f x e f x x ππ-+-=，x R ∈，求()f x 的极值。

8.证明当(,)2

x π

π∈

ln(1sin )x x π+<- 9.求()201

sin sin lim

ln(1)

x x x x →+

．设lim(2)0x x ax b →∞--=，求a ，b 的值。 11.设3

2()23

x f x x x =-- ，求()()n f x

12.某水库的泄洪口为圆形，半径为1米，现有一半径为2米的闸门悬于泄洪口的正上方（如图）问闸门

下降多少米时，泄洪口被盖住一半？

13. 已知()y f x =是[0，1]上二阶可导函数，且1

(0)2

f =，(1)1f = '(1)1f >，证明：(0,1)ξ?∈使得'()1f ξ=。

证明

竞赛试题7

一．选择

1．函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处连续是它在该点偏导数存在的： A 、必要而非充分条件； B 、充分而非必要条件；

C 、充分必要条件；

D 、既非充分又非必要条件。 2．设u y x =arctan

，则??u

x =A 、 -+y x y 22 B 、 x x y 22+ C 、y x y 22+ D 、 -+x x y

22 3．曲线弧?

AB 上的曲线积分和?

BA 上的曲线积分有关系：

A 、(,)(,)A

B BA f x y ds f x y ds =-?? B 、(,)(,)AB BA f x y ds f x y ds =??

C 、(,)(,)0AB BA f x y ds f x y ds +=??

D 、(,)(,)0AB BA f x y ds f x y ds =--=??

4．设777123[ln()],(),sin ()D

I x y dxdy I x y dxdy I x y dxdy =+=+=+??????其中D 是由x =0,y =0,1

x y +=

,x +y =1所围成的区域，则I 1，I 2，I 3的大小顺序是

A 、I 1＜I 2＜I 3;

B 、I 3＜I 2＜I 1;

C 、I 1＜I 3＜I 2;

D 、I 3＜I 1＜I 2. 二、填空题

８

5．设u xy y x =+

，则??u y

= __________ 。 6．函数f x y e x y x (,)sin()=+-2在点(0，

)处沿y 轴负向的方向导数是 __________ 。 7．设C 表示椭圆22

221x y a b

+=，其方向为逆时针方向，则曲线积分?=+L dx y x )(2_________ 。

8．设2

321

(3sin tan 3)y x y z I y z x dv ≤≤≤=++???，则I =________________。

三、计算 9．求极限xy

xye x y x +-→→164lim 0

。

10．函数z z x y =(,)由方程sin()ln xz x z y +-=+31所确定，求1

2==y x x

z ??。

11．求函数x xy y x z --+=23的极大值点或极小值点。

12．设闭区域),(.0,:22y x f x y y x D ≥≤+为D 上的连续函数，且,

),(8

1),(22dudv v u f y x y x f D

---=π求),(y x f

13．计算二重积分D

xdxdy ??，其中D 是由抛物线2

y x =

及直线y =x +4所围成的区域。 14．计算I =Ω

???2yz d v ,其中Ω是由x 2+z 2=1,y =0,y =1所围的位于z ≥0部分的立体。 15．已知L 是由221,0x y y x +≤≤≤所确定的平面域的边界线，求?+L

ds y x 22cos 。

16．计算曲线积分?+++L

dy y x y dx y x x )cos()sin(2222，式中L 是正向圆周 222

x y π

四、证明题

17．试证曲面xyz a =3的切平面与三个坐标面所围四面体的体积为常数。证明：曲面上点()x y z 000,,处的切平面法向量竞赛试题8 一．填空题

1若

)

0()

1ln(sin lim

≠=+-?→c c dt t t x

ax x

x ，试确定常数

_,_

,_===c b a

2．设,)()(的

原函数是x f x F ，且π42

)1(=

F ，当

0>x 时，有

)1(arctan

)()(x x x

x F x f +=

，

则

=)(x f ——

3．设)(x f 有连续导数，且0)0(',0)0(≠=f f ，?-=x

t f t x

x F 022

)()()(，当

0→x 时，

x x F 与)('是同阶无穷小，则=k

——

９

4．设)()(x f x F 是的一个原函数，且1)0(=F x x f x F 2cos )()(,=，则 dx

x f ?

|)(|=——

5．已知当0→x 时，

''-=

t f t x x F 0

22)()()(的导数)(x F '与2x 为等价无穷小，则

)0(f ''= —— 6．设)(x y 是微分方程

e y x y x y =+'-+''2)1(的满足

0)0(=y ，1)0(='y 的解，则

)(l i m

x x x y x -→=——

7．设ξ为()arctan f x x =在[ 0, ]b 上应用拉格朗日中值定理的“中值”，则

lim

b b ξ→=

——

8．曲线

ln ln 1

x y += 所围成的平面图形的面积是——

9. 求cos (sin )x y x =的导数。__________,

,=y

10.

求极限

n n →∞

+。

二．计算题 1.求

22x 1x dx

2.设f(x)在x0处连续。证明：在x0的某邻域(x0-δ,x0+δ)内，f(x)有界。

3.设y=ln(secx+tgx),求y '

4．设

()f x 在区间(,)-∞+∞连续，

()() d (>0), ()() d 2x a x

x a

F x f t t a

G x f t t

+-=

试解答下列问题：（1）用()G x 表示()F x ；（2）求()F x '；（3）求证：0lim ()()a F x f x →==；（4）设()f x 在[],x a x a -+内的最大值和最小值分别是M m 、,求证：()()F x f x M m -≤-. 5．如图所示，设河宽为a ，一条船从岸边一点O 出发驶向对岸，船头总是指向对岸与点O 相对的一点B 。假设在静水中船速为常数

V ，河流中水的流速为常数

V ，试求船过河所走的路线(曲线方程)；并讨论在

什么条件下（1）船能到达对岸；（2）船能到达点B .

答案

一．填空题

10=b . a=1,c=1/2 2

)1(22

)(x x x f +=

（0>x ）

3．k=3 4． 22 5．21 6．1 7．1

8．

1111()()

e e

e x A ex dx dx e ex x e e =-

+-=-

１０

9cos lnsin cos lnsin ()(sin ln sin cot cos )x x x x

y e e x x x x ''==-+

10.

10ln(|ln(1x == 二．计算题

1.解设x=tg θ，则dx=sec2θd θ,x=1时，θ=4π；x=3,θ=3π

，于是原式=

πθθθθ34

22sec tg d sec =

sin 1

ππ =

3322-

2.证对于１，存在充分小的δ，使当|x-x 0|<δ时，恒有|f(x)-f(x0)|<1 于是，当x ∈(x0-δ,x0+δ)时，有|f(x)|≤|f(x0)|+|f(x)-f(x0)|<1+|f(x0)|.

3解

)

x s e c x t g x (s e c t g x x s e c 1)t g x x (s e c t g x x s e c 1

y 2++='

++=

'=secx 4．解（1）

111

()()[()()][()()]222x a x a x a x a F x f t dt f t dt f t dt G x a G x a a a a ++--=

=-=+--???

（2）

()['()'()][()()]22F x G x a G x a f x a f x a a a '=

+--=+--

（3）0

00()()[()()][()()]lim ()lim

lim 22a a a G x a G x a G x a G x G x G x a F x a a →→→+--+-+--==1

['()'()]'()()

2G x G x G x f x =+==

（4）

|()()||

()()||[()()]()()|

22x a x a F x f x f t dt f x x a x a f f x a a

ξ+--=-=+---?|()()|()f f x M m x a x a ξξ=-≤--≤≤+ 5．解如图所示，设(,)P x y 为船在要时刻的位置此时两个分速度为211sin cos (0)

2dx dy v v v dt dt π

θθθ=-=<<，消去t 得12211cos cos ()sin sin v v dy k dx v v k v θθθθ===-- 1sec tan k θθ=

-，

又tan ,x a y θθ==-则sec ,代入

得

)dy a y ux dx =-=路线满足的微分方程令，则有

11ln ln ln ln du dx u x du x u c dx x u k ??--===--+????积分

11()(0)0,[()()]

2k k k

a a y a y a y y c a x a a

-+---====-由得化简得

讨论：①当

2110,.1,,lim 0,(0,);y a

k k v v x B a -

→-><<=即时则可到点

②2110,1,,12,lim ,(,)

22y a a a

k k v v k x a -→-===+==当即时则可达对岸点

③21101,,12,lim ,.y a

k k v v k x -

→-<>>+>?当即时不不能对达对岸

(新)高数竞赛试题集

高等数学竞赛一、填空题 ⒈ 若 5)(cos sin lim 0=--→b x a e x x x ，则a = ，b = ． ⒉ 设2(1)()lim 1 n n x f x nx →∞-=+, 则()f x 的间断点为x = ． ⒊ 曲线y=lnx 上与直线1=+y x 垂直的切线方程为． ⒋ 已知x x xe e f -=')(，且f (1) = 0, 则f (x ) = ． ⒌ 设函数 ()y x 由参数方程 33 31 31 x t t y t t ?=++??=-+?? 确定, 则曲线()y y x =向上凸的x 取值范围为． ⒍ 设 1 ln arctan 22+-=x x x e e e y ，则==1 x dx dy ． ⒎若 0→x 时，1)1(4 1 2 --ax 与x x sin 是等价无穷小，则a= . ⒏ 设?? ???≥-<≤-=21,12121,)(2 x x xe x f x ，则=-?221)1(dx x f ． ⒐ 由定积分的定义知，和式极限=+∑=∞→n k n k n n 12 2 lim ． ⒑ 1+∞=? ．二、单项选择题 11．把+ →0 x 时的无穷小量dt t dt t dt t x x x ???===0 3 2 sin ,tan ,cos 2 γβα，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是【】 (A) γ βα,,. (B) βγα,,. (C) γαβ,,. (D) αγβ,,. 12．设函数f(x)连续，且,0)0(>'f 则存在0>δ，使得【】 (A) f(x)在（0，)δ内单调增加. （B ）f(x)在)0,(δ-内单调减少. （C ）对任意的),0(δ∈x 有f(x)>f(0) . (D) 对任意的)0,(δ-∈x 有f(x)>f(0) . 13 . 设()(1)f x x x =-, 则【】（A ）0x =是()f x 的极值点, 但(0,0)不是曲线()y f x =的拐点. （B ）0x =不是()f x 的极值点, 但(0,0)是曲线()y f x =的拐点. （C ）0x =是()f x 的极值点, 且(0,0)是曲线()y f x =的拐点. （D ）0x =不是()f x 的极值点, (0,0)也不是曲线()y f x =的拐点. 14 . lim (1)n n →∞+等于【】（A ） 2 21 ln xdx ?. （B ）21 2ln xdx ?. （C ）2 1 2ln(1)x dx +?. （D ）2 21 ln (1)x dx +? 15 . 函数 2 )2)(1() 2sin(||)(---= x x x x x x f 在下列哪个区间内有界. 【】 (A) (-1 , 0). (B) (0 , 1). (C) (1 , 2). (D) (2 , 3).

高数上试题及答案

《高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和（B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()()2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（）. （A ）连续且可导（B ）连续且可微（C ）连续不可导（D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（）. （A ）驻点但非极值点（B ）拐点（C ）驻点且是拐点（D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（）. （A ）只有水平渐近线（B ）只有垂直渐近线（C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线（D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（）.

浙江省高数竞赛积分习题集

例1（1）ln ln ln (1ln )(1ln )(ln )x x x x x x x x x x dx e x dx e d x x e C x C +=+==+=+??? （2） dx x x x dx x x x ?? +++=+++22221)1ln(1) 1ln( )1ln()1ln(22? ++++= x x d x x () C x x +++=2 32 ) 1ln(3 2 （3） 2 ln tan ln tan 11ln tan ln tan (ln tan )sin 22sin cos 24 x x dx dx xd x x C x x x ===+??? （4）???+=+=+=+C x x x d dx x x x dx x x )arctan(cos ) (cos 1cos )(cos 1cos sin 2cos 12sin 2 2 22224 （5） C e x d e dx e x x x x x +=+=++++?? 2 2 2 12 112 11 例2、（1）（06年真题） dx x x x x ?-++) 1(188 4 解：（法一）48 8 1(1) x x dx x x ++=-?dx x x x dx x x x ??-+-+)1()1(188 84 7447 4848 11(1)1(1)1x x x x dx dx dx dx x x x x x x -+=+=+----? ??? 37 48 111x x dx dx dx x x x =++--?? ? 4811 ln ln 1ln 148 x x x C =- ---+ （法二） dx x x x x x dx x x x x ??-++-=-++) 1(21)1(188 4888437881211x x dx dx dx x x x =++--?? ? 而 dx x x dx x x dx x x x dx x x ????++-=+-=-4 3 4344383121121) 1)(1(1 444 444 1(1)1(1)11ln ||818181d x d x x C x x x -++=-+=+-+-??

高等数学试题及答案

高等数学试题及答案文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]

《高等数学》一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的（） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（） A)、必要条件 B)、充分条件 C)、充要条件 D)、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、2arctan 1dx dx x x =+? D ）、211 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（）. A ）、()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=????? ?'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（） A ）、C bx bx x +-sin cos B ）、C bx bx x +-cos cos

全国大学生数学竞赛试题及答案

河北省大学生数学竞赛试题及答案一、(本题满分10 分) 求极限))1(21(1 lim 222222--++-+-∞→n n n n n n Λ。【解】 ))1(21(12 22222--++-+-= n n n n n S n Λ 因 21x -在]1,0[上连续，故dx x ?1 02-1存在，且 dx x ? 1 2 -1=∑-=∞→-1 21 .)(1lim n i n n n i ，所以，= ∞ →n n S lim n dx x n 1lim -11 2∞→-? 4 -1102π ==?dx x 。二、(本题满分10 分) 请问c b a ,,为何值时下式成立.1sin 1 lim 22 0c t dt t ax x x b x =+-?→ 【解】注意到左边得极限中，无论a 为何值总有分母趋于零，因此要想极限存在，分子必须为无穷小量，于是可知必有0=b ，当0=b 时使用洛必达法则得到 22 022 01)(cos lim 1sin 1lim x a x x t dt t ax x x x x +-=+-→→?，由上式可知：当0→x 时，若1≠a ，则此极限存在，且其值为0；若1=a ，则 21)1(cos lim 1sin 1lim 22 220-=+-=+-→→?x x x t dt t ax x x x b x ，综上所述，得到如下结论：;0,0,1==≠c b a 或2,0,1-===c b a 。三、(本题满分10 分) 计算定积分? += 2 2010tan 1π x dx I 。

【解】作变换t x -= 2 π ，则 =I 22 20π π = ?dt ，所以，4 π= I 。四、(本题满分10 分) 求数列}{1n n - 中的最小项。【解】因为所给数列是函数x x y 1- =当x 分别取ΛΛ,,,3,2,1n 时的数列。又)1(ln 21-=--x x y x 且令e x y =?='0，容易看出：当e x <<0时，0<'y ；当e x >时，0>'y 。所以，x x y 1-=有唯一极小值e e e y 1)(-=。而3 3 1 2 132> ? <

高等数学练习题库及答案

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《高等数学》练习测试题库及答案一．选择题 1.函数y= 1 1 2 +x 是（） A.偶函数 B.奇函数 C 单调函数 D 无界函数 2.设f(sin 2 x )=cosx+1,则f(x)为（） A 2x 2－2 B 2－2x 2 C 1＋x 2 D 1－x 2 3．下列数列为单调递增数列的有（） A ．，，， B ． 23 ，32，45，54 C ．{f(n)},其中f(n)=?????-+为偶数，为奇数n n n n n n 1,1 D. {n n 21 2+} 4.数列有界是数列收敛的（） A ．充分条件 B. 必要条件 C.充要条件 D 既非充分也非必要 5．下列命题正确的是（） A ．发散数列必无界 B ．两无界数列之和必无界 C ．两发散数列之和必发散 D ．两收敛数列之和必收敛 6．=--→1 ) 1sin(lim 21x x x （） .0 C 2 7．设=+∞→x x x k )1(lim e 6 则k=( ) .2 C 6 8.当x →1时，下列与无穷小（x-1）等价的无穷小是（） 2 B. x 3-1 C.(x-1)2 (x-1) (x)在点x=x 0处有定义是f(x)在x=x 0处连续的（）

A.必要条件 B.充分条件 C.充分必要条件 D.无关条件 10、当|x|<1时，y= （） A、是连续的 B、无界函数 C、有最大值与最小值 D、无最小值 11、设函数f（x）=（1-x）cotx要使f（x）在点：x=0连续，则应补充定义f（0）为（） A、B、e C、-e D、-e-1 12、下列有跳跃间断点x=0的函数为（） A、 xarctan1/x B、arctan1/x C、tan1/x D、cos1/x 13、设f(x)在点x 0连续，g(x)在点x 不连续，则下列结论成立是（） A、f(x)+g(x)在点x 必不连续 B、f(x)×g(x)在点x 必不连续须有 C、复合函数f[g(x)]在点x 必不连续 D、在点x0必不连续 f(x)= 在区间(- ∞,+ ∞)上连续，且f(x)=0，则a,b 14、设满足（） A、a＞0,b＞0 B、a＞0,b＜0 C、a＜0,b＞0 D、a＜0,b＜0 15、若函数f(x)在点x 0连续，则下列复合函数在x 也连续的有（） A、 B、

大一高数知识竞赛试题

电气与电子工程学院高等数学试卷姓名：班级：得分：一．填空题（2′×10） 1 .已知f(x)=()[]?? ? ??=≠+0,0,12sin x a x x x a ,在()+∞∞-,上连续，则a = . 2.X= 是函数f （x ）=???≤>0 ,0 ,2x x x mx 的间断点，是第类间断点. 3.有一数列{}Xn ，且Xn= n n 3 12-则此数列收敛还是发散. 4.求曲线y=e x 在点(0,1)处的切线方程为. 5.设函数f(x)=???>+≤1 ,1 ,x 2x b ax x 为了使函数f(x)在x=1处连续且可导，则 a = ，b=. 6.设y=f(x)是由e 02xy =-+x y 所确定的函数，则dy= . 7.设f ′(2)=1,则 ()=--→s s f s f s 2) (2lim 0 . 8.求函数2cos y x x =+在[0, 2 π ]上的大值 . 9.椭圆44x 2 2 =+y 在（0,2）处的曲率半径. 10.设常数k>0,函数f(x)=lnx-k e +x 在其定义域内零点个数为个. 二．选择题(每题仅有一个正确选项，2′×10). 1．数列{x n}收敛是数列{x n}有界的（） A.必要条件 B.充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分必要条件 2．设f(x)=,0,cos 0 ,? ? ?>≤-x x x e x 则f （-x ）=（）

A ???>-≤-0,cos 0,x x x e x B ???>≤0,cos 0,x x x e x C ???<-≥-0,cos 0,x x x e x D. ???<≥0,cos 0,x x x e x 3.设f(x)是可导函数，且，则曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线斜率为（）. A. -1 B. -2 C. 0 D. 1 4.设f(x)=x(x-1)(x-2)…(x-100),则f ′(0)=( ). A. 0 B. 99! C. 100！ D. (-1)100！ 5.若f(-x)=f(x),(-∞0,且f ″(x)<0,则在(0,+∞)内有（） A. f ′(x)<0, f ″(x)<0 B. f ′(x)>0, f ″(x)<0 C. f ′(x)<0, f ″(x)>0 D. f ′(x)>0, f ″(x ）>0 6.设y(x)由方程e y x ++sin(xy)=0所确定，则dy=( ) A.dx xy x e xy y e y x y x ) cos()cos ++- ++（ B dx xy y e xy x e y x y x )cos()cos ++- ++（ C. dx xy x e xy y e y x y x ) cos()cos ++++（ D.dx xy y e xy x e y x y x ) cos()cos ++++（ 7.设f(x)=,1 ,21 ,1 12? ????=≠--x x x x 则f(x)在x=1处（） A.不连续 B.连续但不可导 C.可导但导数不连续 D.可导且导数连续 8.若f （x ）在开区间（a,b ）内可导，且x1,x2是（a,b ）内任意两点，则至少存在一点ξ使下式成立（） A.f(x2)-f(x1)=(x1-x2)f ′(ξ),ξ),b a （∈ B.f （x1）-f(x2)=(x1-x2)f ′(ξ),ξ在x1,x2之间 C.f(x1)-f(x2)=(x2-x1)f ′(ξ),x1<ξ

高等数学习题集[附答案及解析]

WORD 格式第一章函数与极限 §1 函数必作习题 P16－18 4 (5) (6) (8)，6，8，9，11，16，17 必交习题一、一列火车以初速度0v ，等加速度a 出站，当速度达到1v 后，火车按等速运动前进；从出站经过T 时间后，又以等减速度a 2进站，直至停止。 (1) 写出火车速度v 与时间t 的函数关系式； (2) 作出函数)(t v v =的图形。二、证明函数1 2+= x x y 在),(+∞-∞内是有界的。

三、判断下列函数的奇偶性： (1)x x x f 1sin )(2= ； (2)1 212)(+-=x x x f ； (3))1ln()(2++=x x x f 。四、证明：若)(x f 为奇函数，且在0=x 有定义，则0)0(=f 。

WORD 格式 §2 初等函数必作习题 P31－33 1，8，9，10，16，17 必交习题一、设)(x f 的定义域是]1,0[，求下列函数的定义域： (1))(x e f ； (2))(ln x f ； (3))(arcsin x f ； (4))(cos x f 。二、(1)设)1ln()(2x x x f +=，求)(x e f -； (2)设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f ； (3)设x x f -= 11)(，求)]([x f f ，})(1{x f f 。)1,0(≠≠x x

三、设)(x f 是x 的二次函数，且1)0(=f ，x x f x f 2)()1(=-+，求)(x f 。四、设???>+≤-=0, 20, 2)(x x x x x f ，???>-≤=0,0,)(2x x x x x g ，求)]([x g f 。

大连市高等数学竞赛试题B答案完整版

大连市高等数学竞赛试题B答案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】

大连市第二十三届高等数学竞赛试卷答案（B）

一、填空题（本大题共5小题，每小题2分，计10分） 1. n ? ?∞→= e^2 . 2. 30tan sin lim x x x x →- = 1/2 . 3. 0 lim x x x + →= 1 . 4. 2 cos lim x x t dt x →?= 1 . 5. 若221lim 2,2 x x ax b x x →--=+-则(,)(4,5).a b =- 二、（本题10分）设?????=≠=),0(1),0(1sin )(3 x x x x x f 求)(x f '. 解当0≠x 时，x x x f 1 sin )(3=为一初等函数，这时 ; 1 cos 1sin 311cos 1sin 3)(2232x x x x x x x x x x f -=? ?? ??-??? ?? +='（6分）当0=x 时，由于 ),0(01 sin lim )(lim 300f x x x f x x ≠==→→（8分）所以)(x f 在0=x 处不连续，由此可知)(x f 在0=x 处不可导。（10分）

解：0,1,1x x x ===-为间断点。（3分）当0x =时，由于00lim ()lim 1,1|| x x x f x x x ++→→==+ 而00lim ()lim 1,x x f x --→→==- 所以0x =是跳跃间断点。（5分）当1x =时，由于11lim ()lim 1,1|| x x x f x x x →→==+ 所以1x =是可去间断点。（7分）当1x =-时，而1 lim (),x f x →-=∞ 所以1x =-是无穷间断点。（8分）考生注意：考试时间 150 分钟试卷总分 100 分共四页第 1页

高等数学竞赛试题(完整资料).doc

【最新整理，下载后即可编辑】第二十届高等数学竞赛试卷一、填空题（每小题5分，本题共50分）： 1. 若0→x 时，1)1(4 1 2 --ax 与x x sin 是等价无穷小，则= a . 2. = +→) 1ln(1 2) (cos lim x x x . 3. 设函数2 301sin d ,0,(),0,x t t x f x x a x ?≠?=??=?? 在0x =处连续，则a = . 4. =??+??=y z y x z x x y xy z 则设,sin . 5. 的解为：满足微分方程9 1 )1(ln 2-==+'y x x y y x . _______ )()( ,,)()(,.=-=???≤≤==>??D dxdy x y g x f I D x a x g x f a 则表示全平面，而其他若设01 006 7.. d tan )cos (222 22005= +? -x x x x π π 8. . sin 2sin sin 1lim = ??? ??+++∞→n n n n n n πππ 9. . ,1222= ≤++Ω???Ω dv e z y x z 计算所界定由设空间区域 10. 设在上半平面{}(,)|0D x y y =>内，函数 (,)f x y 具有连续偏导数，且对任意的0t >都有2(,)(,)f tx ty t f x y -=. 对D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ，则 .. ),(),(= -?dy y x f x x d y x f y L 二、计算题（每小题6分，本题共42分）： . ,)()(cos .的解，并求满足化简微分方程：用变量代换2101010 2=' ==+'-''-<<===x x y y y y x y x t t x π 解题过程是：

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高等数学习题集第二章导数与微分 §1 导数概念必作习题 P105-107 1，4，5，6，9，12 必交习题一、设函数)(x f 在2=x 处连续，且32 )( lim 2=-→x x f x ，求)2(f '。二、确定b a ,的值，使函数???>+≤=1 1)(2x b ax x x x f ，，在1=x 处可导。

三、求下列函数)(x f 的)0()0(+-''f f 和，并问)0(f '是否存在？ (1)?? ?≥+<=0),1ln(0,sin )(x x x x x f ； (2)?? ? ??=≠+=0,00,1)(1x x e x x f x 四、在抛物线2x y =上取横坐标为3121==x x 和的两点，作过这两点的割线，问该抛物线上哪一点的切线可平行于这割线？

高等数学习题集 §2 函数的和、差、积、商的求导法则 §3 反函数的导数复合函数的求导法则必作习题 P111 2，3，4，5； P118-119 1(单数号题)，2(双数号题)，3(单数号题) 必交习题一、求下列函数的导数： (1)2ln x x x y -=； (2)x x y sin cos 1-=； (3)x x x y tan )1(+=； (4)x e y 1tan = (5)x x y 1 231arccos ---=； (6)2|11 ='-+=x y x x y ，求。

二、设x d cx x b ax x f cos )(sin )()(+++=，确定d c b a ,,,使x x x f cos )(='。三、求垂直于直线0162=+-y x ，且与曲线5323--=x x y 相切的直线方程。四、设)232 3(+-=x x f y ，又2arctan )(x x f ='，求0 =x dx dy 。

历届全国大学生数学竞赛真题及答案非数学类

高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。） 2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分，共20分） 1．计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 11 10 det d d =??? ? ? ?-=， v u u v u u u y x y x x y y x D D d d 1ln ln d d 1) 1ln()(????--= --++ ????----=---=10 2 1 00 0d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln ( u u u u u u u u u u v v u u v u u u u u ? -=1 2 d 1u u u （*）令u t -=1，则21t u -= dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-， ?+--=0 1 42d )21(2(*)t t t ? +-=10 42d )21(2t t t 1516513 2 21 053= ??????+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足? -- =20 22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________. 解: 令? = 20 d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ， A A x A x A 24)2(28d )23(20 2-=+-=--= ? , 解得34= A 。因此3 10 3)(2-=x x f 。 3．曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________.

江苏高等数学竞赛历年试题(本一)

2000年江苏省第五届高等数学竞赛试题（本科一级）一、填空（每题3分，共15分） 1.设( )f x = ，则()f f x =???? . 2. 1lim ln 1 x x x x x x →-=-+ . 3. () 14 4 5 1x dx x =+? . 4.通过直线122123:32;:312321x t x t L y t L y t z t z t =-=+???? =+=-????=-=+?? 的平面方程为 . 5.设(),z z x y =由方程,0y z F x x ?? = ??? 确定（F 为任意可微函数），则z z x y x y ??+=?? 二、选择题（每题3分，共15分） 1.对于函数11 2121 x x y -= +，点0x =是( ) A. 连续点； B. 第一类间断点； C. 第二类间断点；D 可去间断点 2.设()f x 可导，()()() 1sin F x f x x =+，若欲使()F x 在0x =可导，则必有（） A. ()00f '=； B. ()00f =；C. ()()000f f '+=；D ()()000f f '-= 3. () 00 sin lim x y x y x y →→+=- （） A. 等于1； B. 等于0；C. 等于1-；D 不存在 4.若 ()()0000,,, x y x y f f x y ????都存在，则 (),f x y 在()00,x y ( ) A. 极限存在，但不一定连续； B. 极限存在且连续； C. 沿任意方向的方向导数存在； D 极限不一定存在，也不一定连续 5.设α 为常数，则级数 21sin n n n α∞ =? ? ∑ ( ) A. 绝对收敛 B. 条件收敛； C. 发散； D 收敛性与α取值有关

高等数学习题集[附答案及解析]

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 第一章函数与极限 §1 函数必作习题 P16－18 4 (5) (6) (8)，6，8，9，11，16，17 必交习题一、一列火车以初速度0v ，等加速度a 出站，当速度达到1v 后，火车按等速运动前进；从出站经过T 时间后，又以等减速度a 2进站，直至停止。 (1) 写出火车速度v 与时间t 的函数关系式； (2) 作出函数)(t v v =的图形。二、证明函数1 2+=x x y 在),(+∞-∞内是有界的。

高数竞赛试题及答案

2013年第五届全国大学生数学竞赛暨第五届甘肃农业大学选拔赛试题 1.当0→x 时,x x x 3cos 2cos cos 1-与n ax 为等价无穷小,求n 与a 的值. 答案:7,2==a n 2.证明:2 1ln cos 112 x x x x x ++≥+-,11x -<<. 3.设奇函数)(x f 在]1,1[-上具有二阶导数,且1)1(=f .证明: (1)存在)1,0(∈ξ,使得1)(='ξf ; (2)存在)1,1(-∈η,使得1)()(='+''ηηf f . 4.如图，曲线C 的方程为)(x f y =,点(2 , 3)是它的一个拐点,直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0 , 0)与(2 , 3) 处的切线,其交点为(4 , 2).设函数)(x f 具有三阶连续导数,计算定积分?'''+3 0 2d )()(x x f x x . 答案:20 5.过(0,1)点作曲线:ln L y x =的切线,切点为A ,又L 与x 轴交于B 点,区域D 由L 与直线AB 围成,求区域D 的面积及D 绕x 轴旋转一周所的旋转体的体积. 答案:2A =,)1 e (π232-=x V 6.设函数()y f x =由参数方程22(1)() x t t t y t ??=+>-?=?所确定,且22d 3d 4(1)y x t =+,其中()t ?具有二阶导数,曲线()y t ?=与2 213e d 2e t u y u -=+?在1t =处相切,求函数()t ?. 答案:3211()(3)22e e t t t t ?=++-+(1)t >-. 7.求函数y x x y y x f ++=e )3 (),(3 的极值. 答案:31e ),1(34min --=-f 8.设平面区域D 由直线x y y x 3,3==及8=+y x 所围成,计算??D y x x d d 2. 答案: 3 416 9.已知L 是第一象限中从点(0,0)沿圆周222x y x +=到点(2,0),再沿圆周224x y +=到点(0,2)的曲线段,求曲线积分?-++=L y y x x x y x I d )2(d 332. 答案:π42 - 10.设数列}{n a 满足条件:1,310==a a ,0)1(2=---n n a n n a )2(≥n ,)(x s 是幂级数n n n x a ∑∞=0的和函数. (1)证明:0)()(=-''x s x s .(2)求)(x s 的表达式. 答案:x x x s e e 2)(+=-.

高等数学习题集及答案

第一章函数一、选择题 1. 下列函数中，【】不是奇函数 A. x x y +=tan B. y x = C. )1()1(-?+=x x y D. x x y 2sin 2 ?= 2. 下列各组中，函数)(x f 与)(x g 一样的是【】 A. 3 3)(,)(x x g x x f = = B.x x x g x f 22tan sec )(,1)(-== C. 1 1 )(,1)(2+-=-=x x x g x x f D. 2ln )(,ln 2)(x x g x x f == 3. 下列函数中，在定义域内是单调增加、有界的函数是【】 A. +arctan y x x = B. cos y x = C. arcsin y x = D. sin y x x =? 4. 下列函数中，定义域是[,+]-∞∞,且是单调递增的是【】 A. arcsin y x = B. arccos y x = C. arctan y x = D. arccot y x = 5. 函数arctan y x =的定义域是【】 A. (0,)π B. (,)22ππ - C. [,]22ππ - D. (,+)-∞∞ 6. 下列函数中，定义域为[1,1]-，且是单调减少的函数是【】 A. arcsin y x = B. arccos y x = C. arctan y x = D. arccot y x = 7. 已知函数arcsin(1)y x =+，则函数的定义域是【】 A. (,)-∞+∞ B. [1,1]- C. (,)ππ- D. [2,0]- 8. 已知函数arcsin(1)y x =+，则函数的定义域是【】 A. (,)-∞+∞ B. [1,1]- C. (,)ππ- D. [2,0]- 9. 下列各组函数中，【】是相同的函数 A. 2()ln f x x =和 ()2ln g x x = B. ()f x x =和()g x = C. ()f x x =和()2g x = D. ()sin f x x =和()arcsin g x x = 10. 设下列函数在其定义域内是增函数的是【】 A. ()cos f x x = B. ()arccos f x x = C. ()tan f x x = D. ()arctan f x x = 11. 反正切函数arctan y x =的定义域是【】 A. (,)22 ππ - B. (0,)π C. (,)-∞+∞ D. [1,1]- 12. 下列函数是奇函数的是【】

(完整版)高等数学试题及答案

《高等数学》试题30 考试日期：2004年7月14日星期三考试时间：120 分钟一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的（） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ）、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin

江苏省历年高等数学竞赛试题(打印版)

2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科二级）一填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin ) lim sin x x x x →-= 2.22 ln(1)1x x y x ++=+，/y = 3.2cos y x =，()()n y x = 4.21x x e dx x -=? 5.4 2 1 1dx x +∞ =-? 6.圆222 222042219 x y z x y z x y z +-+=?? ?++--+≤??的面积为 7.(2,)x z f x y y =-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz == 8.级数1 1(1)! 2!n n n n n ∞ =+-∑的和为 . 二.（10分）设()f x 在[],a b 上连续，且()()b b a a b f x dx xf x dx =??，求证：存在点(),a b ξ∈，使得 ()0a f x dx ξ =? .

三．（10分）已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11BCC B 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成二面角的值。（2）试求过点1,,A E F 的平面截正方体所得到的截面的面积. 四（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。

五（12分）求二重积分() 22cos sin D x y dxdy +??，其中22:1,0,0D x y x y +≤≥≥ 六、（12分）求()()21x x y e dx x y dy Γ ++++?，其中Γ为曲线22201 212x x x y x x ?≤≤?+=≤≤? 从()0,0O 到()1,1A -.

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