知识图谱
-极坐标方程曲线的极坐标方程直线的极坐标方程极坐标方程的应用第02讲_极坐标系
错题回顾
极坐标方程
知识精讲
一．曲线的极坐标方程
1．曲线的极坐标方程
在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程，如果曲线是由极坐标满足方程的所有点组成的，则称此二元方程为曲线的极坐标方程．
2．极坐标方程与直角坐标方程的异同
曲线的直角坐标系方程必须满足
（1）曲线上任意一点的坐标都满足方程；
（2）所有适合方程的所对应的点都在曲线上．
曲线的极坐标方程
由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，因此曲线的极坐标方程与直角坐标方程也有不同之处，一条曲线上点的极坐标有多组表示形式，这里要求至少有一组能满足极坐标方程，有些表示形式可能不满足方程．
二．直线的极坐标方程
若直线经过点，且极轴到此直线的角为，则直线的极坐标方程为
推导如下：如图，
设直线上任意一点为，在中，由正弦定理，得
因为，
所以直线的极坐标方程为．
几个特殊位置的直线的极坐标方程：
1．直线过极点：和；
2．直线过点且垂直于极轴：；
3．直线过且平行于极轴：.
三．圆的极坐标方程
若圆心的坐标为，圆的半径为，则圆的极坐标方程为
.
推导如下，如图，
设圆上任意一点为，在中，由余弦定理，得
．
故圆的极坐标方程是.
几个特殊位置的圆的极坐标方程：
1．圆心位于极点，半径为的圆的极坐标方程为；
2．圆心位于，半径为的圆的极坐标方程为；
3．圆心位于，半径为的圆的极坐标方程为．三点剖析
一．方法点拨
1．极坐标方程与直角坐标方程的转化
当我们把极轴与平面直角坐标系的轴正半轴重合，且两种坐标系
取相同的长度单位，则有和，利用这两个公式我们
不仅可以把平面上的点的两种坐标进行相互转化，还可以把曲线的两种方程进行相互转化．
在进行转化时，要注意：
（1）互化公式是有三个前提条件的，极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合；两种坐标系的长度单位相同；
（2）由直角坐标求极坐标时，理论上不是唯一的，但这里约定只在范围内求值；
（3）由直角坐标方程化为极坐标方程，最后要化简；
（4）由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，通常总要用去乘方程的两端，应该检查极点是否在曲线上，若在，是等价变形，否则，不是等价变形．
2．极坐标方程的求法
关键三角形法：寻找一个关键三角形，使动点的极径与极角与已知条件构成该三角形的元素，借助于三角形的边角关系建立起动点的轨迹方程，这种方法称为关键三角形法．若三角形为直角三角形，可利用勾股定理及其他
边角关系建立动点的极坐标方程，若三角形为一般三角形，可利用正、余弦定理建立动点的极坐标方程．
题模精讲
题模一直线的极坐标方程
例1.1、
求（1）过点平行于极轴的直线．
（2）过点且和极轴成角的直线．
例1.2、
如图，在极坐标系中，过点M（2，0）的直线l与极轴的夹角a=，若将l 的极坐标方程写成ρ=f（θ）的形式，则f（θ）=____．
例1.3、
在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos（θ-）=1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点．（1）写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；
（2）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．
题模二曲线的极坐标方程
例2.1、
曲线ρ=2cosθ关于直线θ=对称的曲线的极坐标方程为____．
例2.2、
曲线的极坐标方程为，则曲线的直角坐标方程为____________．例2.3、
在极坐标系中，圆C的极坐标方程为，已知
，P为圆C上一点，求△PAB面积的最小值．
例2.4、
在极坐标系中，设直线θ=与曲线ρ2﹣10ρcosθ+4=0相交于A，B两点，求线段AB中点的极坐标．
题模三极坐标方程的应用
例3.1、
极坐标方程表示的曲线为（）
A、极点
B、极轴
C、一条直线
D、两条相交直线
例3.2、
设过原点的直线与圆的一个交点为，点为线段的中点，
当点在圆上移动一周时，求点轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线例3.3、
选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为ρsin(θ+)=1+，圆C的圆心是C(，)，半径为．
（1）求圆C的极坐标方程；
（2）求直线l被圆C所截得的弦长．
随堂练习
随练1.1、
已知点P的极坐标是（2，π），则过点P且垂直极轴的直线方程是（）A、ρ=2B、ρ=2cosθ
C、
ρ=-D、
ρ=
随练1.2、
已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρ=2sinθ，ρcosθ+ρsinθ+1=0，则曲线C1上的点与曲线C2上的点的最近距离为____．
随练1.3、
在极坐标系中，圆C的圆心为（6，），半径为5，直线θ=α（0≤α≤，ρ∈R）被圆截得的弦长为8，则α的值为（）
A、B、
C、D、以上都不对
随练1.4、
表示的曲线是（）
A、圆
B、椭圆
C、双曲线的一支
D、抛物线
随练1.5、
极坐标方程分别为ρ=cosθ与ρ=sinθ的两个圆的圆心距为____．
随练1.6、
在极坐标系中，过圆ρ=4cosθ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为____．
随练1.7、
已知曲线的极坐标方程分别为，，
则曲线与交点的极坐标为．
随练1.8、
在极坐标系中，已知圆ρ=2rsinθ（r＞0）上的任意一点M（ρ，θ）与点N（2，π）之间的最小距离为1，则r=____．
自我总结
课后作业
作业1、
极坐标系中，过点（2，）且与极轴垂直的直线方程为（）
A、ρ=-4cosθ
B、ρcosθ-1=0
C、ρsinθ=-
D、ρ=-sinθ
作业2、
在极坐标系中，过点(2，)作圆ρ=4sinθ的切线，则切线的极坐标方程是____．
作业3、
极坐标方程ρcosθ=2sin2θ表示的曲线为（）
A、一条射线和一个圆
B、两条直线
C、一条直线和一个圆
D、一个圆
作业4、
在极坐标系中，曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρ=﹣2cosθ，ρcos（θ+）=1（1）求曲线C1和C2的公共点的个数；
（2）过极点作动直线与曲线C2相交于点Q，在OQ上取一点P，使||?||=2，求点P的轨迹，并指出轨迹是什么图形．
作业5、
在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ＜2π）中，曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=-1的交点的极坐标为____．
作业6、
在极坐标系中，为曲线上的点，为曲线上的点，则线段
长度的最小值是____________________．
作业7、
在极坐标系中，直线与曲线相交于，两点，为极点，则的大小为（）
A、B、
C、D、
作业8、
如图，点在直线上移动，为等腰直角三角形，的顶角为
（依次按顺时针方向排列），求点的轨迹方程，并判断轨迹形状．
宁师中学“自主参与学习法”数学学科导学稿（学生版）编号SXBx2-2-3 主编人:余奎审稿人：高二数学组定稿日： 协编人：高二数学备课组使用人： 课题：2.3.1 空间直角坐标系 学习内容学习目标高考考点考查题型 空间坐标系； 空间距离1.明确空间直角坐标系是如何建立；明确空间中的 任意一点如何表示； 2 能够在空间直角坐标系中求出点的坐标。 1.空间坐标系 2.空间距离 选择，填空题、 解答题中分支 问题 一、新课导学 问题1:空间直角坐标系 (1)定义:以空间中两两垂直且相交于一点O的三条直线分别为x轴、y轴、z轴.这时就说建立了空间直角坐标系Oxyz,其中点O叫作坐标原点,x轴、y轴、z轴叫作坐标轴.通过每两个坐标轴的平面叫作坐标平面,分别称为xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面. (2)画法:在平面上画空间直角坐标系Oxyz时,一般使∠xOy=45°或135°,∠yOz=90°. (3)坐标:设点M为空间的一个定点,过点M分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面,依次交x 轴、y轴和z轴于点P、Q和R.设点P、Q和R在x轴、y轴和z轴上的坐标分别为x、y和z,那么点M就和有序实数组(x,y,z)是一一对应的关系,有序实数组(x,y,z)叫作点M在此空间直角坐标系中的坐标,记作M(x,y,z) ,其中x叫作点M的横坐标,y叫作点M的纵坐标,z叫作点M的竖坐标. (4)说明:本书建立的坐标系都是右手直角坐标系,即在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x 轴的正方向,食指指向y 轴的正方向,如果中指指向z 轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系. 问题2：（1）平面直角坐标系的建立方法，点的坐标的确定过程、表示方法？ (2)．一个点在平面怎么表示？在空间呢？ 二、课内探究 探究一：确定空间内点的坐标 例1.如图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,AD=3,AB=5,AA1=4, 建立适当的直角坐标系,写出此长方体各顶点的坐标. 变式1.如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,E,F,G分别是BB',D'B',DB的中点,棱长为1,求E,F 点的坐标. 探究二：关于一些对称点的坐标求法 (,,) P x y z关于坐标平面xoy对称的点； (,,) P x y z关于坐标平面yoz对称的点； (,,) P x y z关于坐标平面xoz对称的点； (,,) P x y z关于x轴对称的点； (,,) P x y z关于y对轴称的点； (,,) P x y z关于z轴对称的点； 三、课后练习 1. 关于空间直角坐标系叙述正确的是（）. A．(,,) P x y z中,, x y z的位置是可以互换的 B．空间直角坐标系中的点与一个三元有序数组是一种一一对应的关系 C．空间直角坐标系中的三条坐标轴把空间分为八个部分 D．某点在不同的空间直角坐标系中的坐标位置可以相同 2. 已知点(3,1,4) A--，则点A关于原点的对称点的坐标为（）. A．(1,3,4) --B．(4,1,3) --C．(3,1,4) -D．(4,1,3) - 3.已知ABC ?的三个顶点坐标分别为(2,3,1),(4,1,2),(6,3,7) A B C -，则ABC ?的重心坐标为 . 4.在空间直角坐标系中，给定点(1,2,3) M-，求它分别关于坐标平面，坐标轴和原点的对称点的坐标. 四、课后反思 宁师中学“自主参与学习法”数学学科导学稿（学生版）
参数方程极坐标系 解答题 1．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数） （Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程． （Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值． +=1 ， ， 的距离为 则 取得最小值，最小值为 2．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为： ，曲线C的参数方程为：（α为参数）． （I）写出直线l的直角坐标方程； （Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值． 的极坐标方程为： cos=
∴ y+1=0 （ d= 的距离的最大值． 3．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）． （1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：（t为参数）距离的最小值． ：（化为普通方程得：+ t=代入到曲线 sin =，），﹣
4．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为 ，直线l的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C 上不同于A，B的任意一点． （Ⅰ）求圆心的极坐标； （Ⅱ）求△PAB面积的最大值． 的极坐标方程为，把 ，利用三角形的面积计算公式即可得出． 的极坐标方程为，化为= 把 ∴圆心极坐标为； （t ， = 距离的最大值为 5．在平面直角坐标系xoy中，椭圆的参数方程为为参数）．以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值．
庖丁巧解牛 知识·巧学 一、极坐标系的概念 1.在生活中,如台风预报、地震预报、测量、航空、航海等，经常用距离和方向来表示一点的位置.用距离和方向表示平面上一点的位置，就是极坐标. 极坐标系的建立：在平面内取一个定点O ，叫做极点.引一条射线Ox ，叫做极轴.再选定一个长度单位和角度正方向（通常取逆时针方向）.这样就建立了一个极坐标系. 2.如图1-2-3，极坐标系内一点的极坐标的规定：对于平面上任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长度，用θ表示从Ox 到OM 的角度，ρ叫做M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序数对(ρ,θ)就叫做M 的极坐标 . 图1-2-3 深化升华 极点、极轴、长度单位、角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可. 1.特别规定：当M 在极点时，它的极坐标ρ=0，θ可以取任意值. 2.平面上一点的极坐标是不唯一的，有无数种表示方法.坐标不唯一是由极角引起的.不同的极坐标可以写出统一表达式. 二、极坐标和直角坐标的互化 1.互化的前提条件：①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x 轴的正半轴重合；③两种坐标系中取相同的长度单位. 2.互化公式?? ???≠=+=???==.0,t an ,,sin ,co s 222x x y y x y x θρθρθρ在进行两种坐标间的互化时,应注意以下几点:①两套公式是在三条规定下得到的;②由直角坐标求极坐标时,理论上不是唯一的,但这里约定只在主值范围内求值;③由直角坐标方程化为极坐标方程,最后要化简;④由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性,通常总要用ρ去乘方程的两端,应该检查极点是否在曲线上,若在是等价变形,否则,不是等价变形. 问题·探究 问题1 平面内建立直角坐标系是人们公认的最容易接受并且被经常采用的方法，但为什么它并不是确定点的位置的唯一方法，为什么要使用极坐标? 探究:确定平面内一个点的位置时，有时是依靠水平距离与垂直距离这两个量，有时却是依靠距离与方位角（即“长度”与“角度”，这就是极坐标系的基本思想）这两个量.在生活中,如台风预报、地震预报、测量、航空、航海中等，甚至更贴近生活的如人听声音，不但有高低之分,还有方向之分.描述一个人所走的方向和路程，经常会这样说：从A 点出发向北偏东60°方向走了一段距离到B 点，再从B 点向南偏西15°方向行走……描述某飞机的位置：飞行高度1 200米，从飞机上看地平面控制点B 的俯角α=16°31′……这种位置的刻画能够给人一个很直观的形象. 生活中除了应用这两种坐标系外,还应用地理坐标系，它实际上能称为真实世界的坐标系了.它能确定物体在地球上的位置.最常用的地理坐标系是经纬度坐标系，这个坐标系可以确定地球上任何一点的位置.
人教版高中数学选修4-4坐标系与参数方程全套教案 课型： 复习课 课时数： 1 讲学时间： 2010年1月18号 班级： 学号： 姓名： 一、【学习目标】： 1、了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。 2、能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化。 3、能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程。通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义。 4、分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质，选择适当的参数写出它们的参数方程，能进行参数方程与普通方程的互化。 二、【回归教材】： 1、阅读选修4-4《坐标系与参数方程》152P P -,试了解以下内容： （1）设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在伸缩变换公式???>?='>?=') 0()0(:μμλλ?y y x x 的作用下，如何找到点P 的对应点),(y x P '''？试找出x y sin =变换为x y 2sin 3=的伸缩变换公式 . （2）极坐标系是如何建立的？试类比平面直角坐标系的建立过程画一个，并写出点M 的极径与极角来 表示它的极坐标，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，写出极坐标和直角坐标的互化公式 . （3）在平面直角坐标系中，曲线C 可以用方程0),(=y x f 来表示，在极坐标系中，我们用什么方程来 表示这段曲线呢？例如圆222r y x =+，直线x y =，你是如何用极坐标方程表示它们的？ 2、阅读选修4-4《坐标系与参数方程》3721P P -，了解以下内容： （1）直接给出这条曲线上点的坐标间的关系的方程叫做普通方程，那如果变数t 都是点坐标x ，y 的函 数，我们如何建立这条曲线的参数方程呢？ （2）将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型，我们是如何做到的？在互化的过程中， 必须注意什么问题？试探究一下圆锥曲线的参数方程与普通方程的互化。
一、极坐标系 1．极坐标系与点的极坐标 (1)极坐标系：如图4－4－1所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角． 2 题型一 极坐标与直角坐标的互化 1、已知点P 的极坐标为，则点P 的直角坐标为 （ ） A.（1，1） B.（1，-1） C.（-1，1） D.（-1，-1） 2、设点的直角坐标为，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点的极坐标为（ ） A ． B ． C ． D ． 3．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________． 4．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( ) A ．ρ＝cos θ B ．ρ＝sin θ C ．ρcos θ＝1 D ．ρsin θ＝1 5．曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________． 6. 在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ与直线θ＝π 4 (ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标． 题型二 极坐标方程的应用 由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解．
极坐标与参数方程 一、教学目标 本次课是一堂新课，通过本次课的学习，让学生理解极坐标和参数方程的概念等基础知识，掌握极坐标与直角坐标的相互转化，掌握一般常见曲线和直线的极坐标方程和参数方程。深刻理解参数方程所代表的数学思想——换元思想。 二、考纲解读 极坐标和参数方程是新课标考纲里的选考内容之一，只有理科生选学。在每年的高考试卷中，极坐标和参数方程都是放在一道填空题中，与平面几何作为二选一的考题出现的。由于极坐标是新添的内容，考纲要求比较简单，所以在考试中一般以基础题出现，不会有很难的题目。 三、知识点回顾 （一）曲线的参数方程的定义： 在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即 ? ? ?==)() (t f y t f x 并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数． （二）常见曲线的参数方程如下： 1．过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线： α αsin cos 00t y y t x x +=+= （t 为参数） 其中参数t 是以定点P （x 0，y 0）为起点，对应于t 点M （x ，y ）为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离． 根据t 的几何意义，有以下结论． ○ 1．设A 、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t A 和t B ，则AB ＝A B t t -＝B A A B t t t t ?--4)(2． ○ 2．线段AB 的中点所对应的参数值等于2 B A t t +． 2．中心在（x 0，y 0），半径等于r 的圆：
2.3空间直角坐标系 考纲要求：①了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系表示点的位置． ②会推导空间两点间的距离公式． 2.3.1-2空间直角坐标系、空间两点间的距离 重难点：了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置；会推导空间两点间的距离公式． 经典例题：在空间直角坐标系中，已知A（3，0，1）和B（1，0，－3），试问 （1）在y轴上是否存在点M，满足？ （2）在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，试求出点M坐标． 当堂练习： 1．在空间直角坐标系中, 点P(1,2,3)关于x轴对称的点的坐标为（） A．(-1,2,3) B．(1,-2,-3) C．(-1, -2, 3) D．(-1 ,2, -3) 2．在空间直角坐标系中, 点P(3,4,5)关于yOz平面对称的点的坐标为（） A．(-3,4,5) B．(-3,- 4,5) C．(3,-4,-5) D．(-3,4,-5) 3．在空间直角坐标系中, 点A(1, 0, 1)与点B(2, 1, -1)之间的距离为（） A．B．6 C．D．2 4．点P( 1,0, -2)关于原点的对称点P/的坐标为（） A．(-1, 0, 2) B．(-1,0, 2) C．(1 , 0 ,2) D．(-2,0,1) 5．点P( 1, 4, -3)与点Q(3 , -2 , 5)的中点坐标是（） A．( 4, 2, 2) B．(2, -1, 2) C．(2, 1 , 1) D．4, -1, 2) 6．若向量在y轴上的坐标为0, 其他坐标不为0, 那么与向量平行的坐标平面是（） A．xOy平面B．xOz平面C．yOz平面D．以上都有可能7．在空间直角坐标系中, 点P(2,3,4)与Q (2, 3,- 4)两点的位置关系是（） A．关于x轴对称B．关于xOy平面对称C．关于坐标原点对称D．以上都不对 8．已知点A的坐标是(1-t , 1-t , t), 点B的坐标是(2 , t, t), 则A与B两点间距离的最小值为（） A．B．C．D． 9．点B是点A（1，2，3）在坐标平面内的射影，则OB等于（）A．B．C．D．
高中数学平面直角坐标系下的图形变换及常用方法 摘要：高中数学新教材中介绍了基本函数图像，如指数函数，对数函数等图像等。而在更多的数学问题中，需要将这些基本图像通过适当的图形变换方式转化成其他的图像，要让学生理解并掌握图形变换方法。 高中数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形，高中生是最需要培养的能力之一就是作图解图能力，就是根据给定图形能否提炼出更多有用信息；反之，根据已知条件能否画出准确图形。图是数学的生命线，能不能用图支撑思维活动是学好初等数学的关键之一；函数图像也是研究函数性质、方程、不等式的重要工具。 提高学生在数学知识的学习中对图形、图像的认知水平，是中学数学教学的主要任务之一，教师在教学过程中应该确立以下教学目标：一方面，要求学生通过对数学教材中基本的图形和图象的学习，建立起关于图形、图象较为系统的知识结构；培养和提高学生认识、研究和解决有关图形和图像问题的能力。为达到这一目标，教师应在教学中让学生理解并掌握图形变换的思想及其常用变换方法。 函数图形的变换，其实质是用图像形式表示的一个函数变化到另一个函数。与之对应的两个函数的解析式之间有何关系？这就是函数图像变换与解析式变换之间的一种动态的对应关系。在更多的数学问题中，需要将这些基本图像通过适当的图形变换方式转化成其它图像，要让学生理解并掌握图像变换方法。 常用的图形变换方法包括以下三种：缩放法、对称性法、平移法。 1.图形变换中的缩放法 缩放法也是图形变换中的基本方法，是蒋某基本图形进行放大或缩小，从而产生新图形的过程。若某曲线的方程F （x ，y ）=0可化为f （ax ，by ）=0（a ，b 不同时为0）的形式，那么F （x ，y ）=0的曲线可由f （x ，y ）=0的曲线上所有点的横坐标变为原来的1/a 倍，同时将纵坐标变为原来的1/b 倍后而得。 （1）函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到； （2）函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵 坐标不变横坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的1a 倍得到． ①y=f(x)ω?→x y=f(ω x );② y=f(x)ω?→y y=ωf(x). 缩放法的典型应用是在高中数学课本（三角函数部分）介绍函数)s i n (?ω+=x A y 的图像的相关知识时，课本重点分析了由函数y=sinx 的图像通
2019-2020年高中数学 1.2《极坐标系》教案 新人教A 版选修4-4 【基础知识导学】 1． 极坐标系和点的极坐标 极点、极轴、长度单位、角度单位和它的方向构成极坐标系的四要素，缺一不可。规定：当点M 在极点时，它的极坐标可以取任意值。 2． 平面直角坐标与极坐标的区别 在平面直角坐标系内，点与有序实数对（x ，y ）是一一对应的，可是在极坐标系中，虽然一个有序实数对只能与一个点P 对应，但一个点P 却可以与无数多个有序实数对对应，极坐标系中的点与有序实数对极坐标 不是一一对应的。 3． 极坐标系中，点M 的极坐标统一表达式。 4． 如果规定，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标表示，同时，极坐标表示的点也是唯一确定的。 5． 极坐标与直角坐标的互化 （1） 互化的前提：①极点与直角坐标的原点重合；②极轴与X 轴的正方向重合；③两 种坐标系中取相同的长度单位。 （2） 互化公式，?? ???≠=+=0,tan 222x x y y x θρ。 【知识迷航指南】 【例1】 在极坐标系中，描出点，并写出点M 的统一极坐标。 【点评】点的统一极坐标表示式为，如果允许，还可以表示为。 【例2】已知两点的极坐标，则|AB|=______,AB 与极轴正方向所成的角为________. 解:根据极坐标的定义可得|AO|=|BO|=3,∠AOB=600,即?AOB 为等边三角形,所以 |AB|=|AO|=|BO|=3, ∠ACX= 【点评】在极坐标系中我们没有定义两点间的距离,我们只要画出图形便可以得到结果. 【例3】化下列方程为直角坐标方程,并说明表示的曲线. (1),( (2) X
高中数学高考总复习立体几何空间向量空间直角坐标系习题及详解 、选择题 1. 已知四边形 ABCD 满足：ABBC>0, BC CD>0, CDDA>0, DA AB>0,则该四边形 为（） A ?平行四边形 B .梯形 C .平面四边形 D .空间四边形 ［答案］D ——n n n n ［解析］?/ AB BC>0 ,AZ ABC>2，同理/ BCD>2，Z CDA>Q ,/ DAB >2，由内角和定 理知，四边形 ABCD 一定不是平面四边形，故选 D. C . 0 或 1 D ?任意实数 ［答案］C ［解析］AP 可为下列7个向量: AB , AC , AD , A A I , AB i , AC i , A —D i ,其中一个与 AB 重合，AP AB = |AB|2= 1 ; AD , A —D i , A —A i 与A B 垂直，这时 AP AB = 0; AC , A B I 与AB 的夹角为 45° 这时AP AB =>/2X i xcosn= i , 最后 AC 1 A B = ,3 x 1 x cos /BAC 1= 3X ； = 1，故选 C. 3. 如图，在平行六面体 ABCD — A i B i C i D i 中，M 为AC 与BD 的 交点，N 为BB 1的靠近B 的三等分点，若A 1B 1= a , A 1D 1= b , A 1A = c , 则MN 等于（ ） 111 A . — + ?b + 3c B?a + ；b —3c 111 C^a — — 3c 112 D . — ?a — ?b + 3 c ［答案］C 2. 如图，点P 是单位正方体 点，则AP AB 的值为 ABCD — A i B i C i D i 中异于 A 的一个顶 ( )
极坐标方程 创作时间： 2019.1 【学习目标】 1．能在极坐标系中用极坐标表示点的位置． 2．理解在极坐标系中和直角坐标系中表示点的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化． 3．能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程． 【要点梳理】 要点一、极坐标系和点的极坐标 1. 极坐标系定义 （1）在平面内取一定点O ，由点O 引出一条射线Ox ，并确定一个长度单位和度量角度的正方向（通常取逆时针方向），这就构成一个极坐标系，定点O 叫做极点，射线Ox 叫做极轴． 要点诠释： ①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可. 轴旋 2. 点的极坐标 在极坐标系中，平面上任意一点P 的位置可以由OP 的长度ρ和从Ox 转到OP 的角度θ来确定，（ρ，θ）叫做点P 的极坐标，ρ叫做点P 的极径，θ叫做点P 的 极角．极点的极坐标为（0，θ），其中θ可以取任何值． 要点诠释： （1）极轴是以极点为端点的一条射线，它与极轴所在的直线是有区别的；极角θ的始边是极轴，它的终边随着θ的大小和正负而取得各个位置；θ的正方向通常取逆时针方向，θ的值一般是以弧度为单位的数量；点M 的极径ρ表示点M 与极点O 的距离|OM|，因此ρ≥0；但必要时，允许ρ＜0． （2）在极坐标系中，与给定的极坐标（ρ，θ）相对应的点的位置是唯一确定的；反过来，同一个点的极坐标却可以有无穷多个．如一点的极坐标是（ρ，θ）（ρ≠0），那么这一点也可以表示为（ρ，2n θπ+）或（ρ-，(21)n θπ++） （其中n 为整数）． 一般情况下，我们取极径ρ≥0，极角θ为0≤θ＜2π（或－π＜0≤π）． 如果我们规定ρ＞0，0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标（ρ，θ）来表示，这时，极坐标与平面内的点之间就是一一对应的关系． 3．相关点的极坐标 （1）同一个点：如极坐标系中点4, 6π? ? ?? ?，4,26π π??+ ???，4,46ππ??+ ???，4,66ππ??+ ???，4,26ππ?? - ??? ，由终边相同的角的定义可知上述点的终边相同，并且与极点的距离相等，这样，它们就表示平面上的同一个点，实际上，4, 26k π π? ? + ?? ? （k ∈Z ）都表示点4, 6π? ? ?? ? ．于是我们有，一般地，极坐标（ρ，θ）与（ρ，2k θπ+） （k ∈Z ）表示平面内的同一个点．特别地，极点O 的坐标为（0，θ）（θ∈R ），也是平面内的同一个点，这样，我们就知道平面内的一个点的极坐标有无数多种表示． 这就是说：平面上的点与这一点的极坐标不是一一对应的．
第一讲坐标系 一平面直角坐标系 课题：1、平面直角坐标系 教学目的： 知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 能力与与方法：体会坐标系的作用 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：体会直角坐标系的作用 教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位 置机器运动的轨迹。 情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景 图案，需要缺点不同的画布所在的位置。 问题1：如何刻画一个几何图形的位置？ 问题2：如何创建坐标系？ 二、学生活动 学生回顾 刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系 1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定 2、平面直角坐标系 在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定 3、空间直角坐标系 在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定 三、讲解新课： 1、建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足： 任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置 2、确定点的位置就是求出这个点在设定的坐标系中的坐标 四、数学运用 例1 选择适当的平面直角坐标系，表示边长为1的正六边形的顶点。
《空间直角坐标系》教学设计 （一）教学目标 1．知识与技能 （1）使学生深刻感受到空间直角坐标系的建立的背景 （2）使学生理解掌握空间中点的坐标表示 2．过程与方法 建立空间直角坐标系的方法与空间点的坐标表示 3．情态与价值观 通过数轴与数、平面直角坐标系与一对有序实数，引申出建立空间直角坐标系的必要性，培养学生类比和数形结合的思想. （二）教学重点和难点 空间直角坐标系中点的坐标表示. （三）教学手段多媒体 （四）教学设计 教学 环节 教学内容师生互动设计意图 复习引入问题情景1 对于直线上的点，我们可以通过数 轴来确定点的位置，数轴上的任意一 点M都可用对应一个实数x表示；对 于平面上的点，我们可以通过平面直 角坐标系来确定点的位置，平面上任 意一点M都可用对应一对有序实数 师：启发学生联想思 考， 生：感觉可以 师：我们不能仅凭感 觉，我们要对它的认 识从感性化提升到理 性化. 让学生体 会到点与 数（有序数 组）的对应 关系.培养 学生类比 的思想.
(x，y)表示；对于空间中的点，我们也希望建立适当的坐标系来确定点的位置. 因此，如何在空间中建立坐标系，就成为我们需要研究的课题. 那么假设我们建立一个空间直角坐标系后，空间中的任意一点是否可用对应的有序实数组(x，y，z)表示出来呢？ 概念形成问题情景2 空间直角坐标系该如何建立呢？ O x X 一维坐标 二维坐标 三维坐标（图4.3-1） 师：引导学生看图 4.3-1，单位正方体 OABC–D′A′B′C′，让学 生认识该空间直角系 O –xyz中，什么是坐标 原点，坐标轴以及坐标 平面. 师：该空间直角坐 标系我们称为右手直 角坐标系. 让学生通过 对一维坐 标、二维坐 标的认识， 体会空间直 角坐标系的 建立过程.
坐标系与参数方程 知识点 1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0) x x y y λλ?μμ'=>?? '=>?g g 的作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称?为平面直角坐标系中的坐标伸 缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标：设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ. 一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示. 如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.
3.极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示: (2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表: 在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程
极坐标系 教学目标： 认识极坐标，能在极坐标中用极坐标刻画点的位置； 体会极坐标系与平面直角坐标系的区别，能进行极坐标和直角坐标间的互化。 教学重点和难点： 重点：能用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标与直角坐标的互化。 难点：理解用极坐标刻画点的位置的基本思想；点与极坐标之间的对应关系的认识。 教学基本流程： 建立问题情景，体会引进极坐标系的必要性 给出极坐标系的概念 极坐标系与直角坐标系的区别 极坐标系的历史 极坐标与直角坐标的互化公式 问题的提升，体会引进极坐标系的必要性 总结 一、建立问题情景，体会引进新坐标系的必要性。 开场白：大家有没有见过这种图片？！台风的卫星云 图。众所周知台风危害很大，所以我们非常关注台风中心 的位置。 气象台会把它和平面地图组合起来从而得到一张台风 1
的路径图。根据路径图，及时播报台风中心的位置。从小到大我们听过很多次台风预报。今天也请大家来当一回主播，根据这张图你来描述一下台风中心位置。（学生参与描述） 看一下气象台是怎么播报的：“今年第8号台风“凤凰”，今天下午4时中心位置已经到达温州东南偏南方向大约800公里附近的洋面上，也就是在北纬22.3度，东经123.8度”（视频最好）。（评价学生的描述） 问：哪些条件刻画了台风中心的位置? 东经123.8度，北纬22.3度。温州东南偏南方向大约800公里的海面上。 经纬度可以准确刻画地球表面任意一点的位置，在这张平面地图上，相交的两条经纬线，是不是也准确刻画了这张平面地图上的任意一点。如 果把平面地图延伸开来，经纬线是不是也能刻画整个平面上任意一点的位 置？！你得到什么样的启发？ 1637年笛卡尔受天文地理的经度、纬度启发,创建了平面直角坐标系, 用横坐标和纵坐标确定平面中任意一点的位置。 平面直角坐标系我们研究得很透彻了，今天就不研究了。再来看天气预报，“也就是”，这三字说明两种定位方式都可以确定台风中心的位置 问：为什么台风预报时两个都会提及?（一个精确，一个通俗易懂形象） 我们就用大家熟悉的定位方式来刻画一下台风中心的位置。 （动手画一下）遇到困难补充方位角。用参照点、角度和距离刻画平面中的点的思想 就称为极坐标思想，这样建立起来坐标系就称为极坐标系（板书） 设计意图：引进学习极坐标系概念的需要，形成用角和距离刻画点的位置的直觉。 二、给出极坐标系的概念 给出概念： 在平面内取一个定点O,叫做极点;（板书） 自极点O 引一条射线Ox,叫做极轴;（板书） 再选定一个长度单位,一个角度单位(通常用弧度)及其正方 向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 如图：设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ； 以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角,记为θ； 有序实数对( ,ρθ)叫做点M 的极坐标,记为(,)M ρθ； 一般地,不做特殊说明时,我们认为0,ρθ≥∈R （板书） 试一试：如图在平面地图上建立极坐标，试写出台风中心的极坐标 55(800,)(800,)(800,)(800,2)3333 k πππππ→-→→+（板书） 极点O 的极坐标？ (0,0)(0,)R θθ∈→（板书） 我们发现给出一个点对应的极坐标不唯一，反过来 思考:如果给出一个极坐标(2,π),那它对应的点是否唯一?唯一。 0,02ρθπ>≤<如果规定； 除极点外,平面内点可用唯一的极坐标(,ρθ)表示;同时,极坐标(,ρθ)表示的点也是唯一的。
高中数学必修二空间直角坐标系
2.3空间直角坐标系 考纲要求：①了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系表示点的位置． ②会推导空间两点间的距离公式． 2.3.1-2空间直角坐标系、空间两点间的距离 重难点：了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置；会推导空间两点间的距离公式． 经典例题：在空间直角坐标系中，已知A（3，0，1）和B（1，0，－3），试问 （1）在y轴上是否存在点M，满足？ （2）在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，试求出点M坐标． 当堂练习： 1．在空间直角坐标系中, 点P(1,2,3)关于x轴对称的点的坐标为（） A．(-1,2,3) B．(1,-2,-3) C．(-1, -2, 3) D．(-1 ,2, -3) 2．在空间直角坐标系中, 点P(3,4,5)关于yOz平面对称的点的坐标为（） A．(-3,4,5) B．(-3,- 4,5) C．(3,-4,-5) D．(-3,4,-5) 3．在空间直角坐标系中, 点A(1, 0, 1)与点B(2, 1, -1)之间的距离为（） A． B．6 C． D．2 4．点P( 1,0, -2)关于原点的对称点P/的坐标为（） A．(-1, 0, 2) B．(-1,0, 2) C．(1 , 0 ,2) D．(-2,0,1)
5．点P( 1, 4, -3)与点Q(3 , -2 , 5)的中点坐标是（） A．( 4, 2, 2) B．(2, -1, 2) C．(2, 1 , 1) D． 4, -1, 2) 6．若向量在y轴上的坐标为0, 其他坐标不为0, 那么与向量平行的坐标平面是（） A． xOy平面B． xOz平面C．yOz平面 D．以上都有可能 7．在空间直角坐标系中, 点P(2,3,4)与Q (2, 3,- 4)两点的位置关系是（） A．关于x轴对称 B．关于xOy平面对称 C．关于坐标原点对 称 D．以上都不对 8．已知点A的坐标是(1-t , 1-t , t), 点B的坐标是(2 , t, t), 则A与B两点间距离的最小值为（） A． B．C． D． 9．点B是点A（1，2，3）在坐标平面内的射影，则OB等于（）A． B． C． D． 10．已知ABCD为平行四边形，且A（4，1，3），B（2，－5，1），C（3，7，－5），则点D的坐标为（） A．（，4，－1） B．（2，3，1） C．（－3，1，5） D．（5，13，－3） 11．点到坐标平面的距离是（） A． B． C． D．
选修4-4教案 教案1平面直角坐标系（1课时） 教案2平面直角坐标系中的伸缩变换（1课时）教案3极坐标系的的概念（1课时） 教案4极坐标与直角坐标的互化（1课时） 教案5圆的极坐标方程（2课时） 教案6直线的极坐标方程（2课时） 教案7球坐标系与柱坐标系（2课时） 教案8参数方程的概念（1课时） 教案9圆的参数方程及应（2课时） 教案10圆锥曲线的参数方程（1课时） 教案11圆锥曲线参数方程的应用（1课时） 教案12直线的参数方程（2课时） 教案13参数方程与普通方程互化（2课时） 教案14圆的渐开线与摆线（1课时）
课题：1、平面直角坐标系 教学目的： 知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 能力与与方法：体会坐标系的作用 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：体会直角坐标系的作用 教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题 授课类型：新授课 教学模式：互动五步教学法 教具：多媒体、实物投影仪 复习及预习提纲： 1平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 2坐标系的作用 ————教学过程———— 复习回顾和预习检查 1平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 2坐标系的作用 创设情境，设置疑问 情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位 置机器运动的轨迹。 情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景 图案，需要缺点不同的画布所在的位置。 问题1：如何刻画一个几何图形的位置？ 问题2：如何创建坐标系？ 分组讨论 刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系 1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定 2、平面直角坐标系 在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定 3、空间直角坐标系 在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定 1、建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足： 任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置2、确定点的位置就是求出这个点在设定的坐标系中的坐标
4.3.1 空间直角坐标系教案 (一) 教学任务分析 使学生深刻感受空间直角坐标系的建立的背景以及理解空间中点的坐标表示。 通过数轴与数，平面直角坐标系与一对有序实数，引申出建立空间直角坐标系的必要性。 (二) 教学重点和难点 重点：空间直角坐标系中点的坐标表示 难点：空间直角坐标系中点的坐标表示 （三）教学过程 (1) 空间直角坐标系的定义？ 引导学生看上图， 单位正方体''''C B A D OABC ，让学生认识该空间直角坐标系O —xyz 中，什么是坐标原点，坐标轴以及坐标平面。 (2) 建立空间直角坐标系以后，空间中任意一点M 如何用坐标表示呢？ 引导学生观察图[2]， 点M 对应着唯一确定的有序实数组),,(z y x ，x 、y 、z 分别是P 、Q 、R 在x 、y 、z 轴上的坐标；如果给定了有序实数组),,(z y x ，它是否对应着空 间直角坐标系中的一点呢？ 由上我们知道了空间中任意点M 的坐标都可以用有序实 数组),,(z y x 来表示，该数组叫做点M 在此空间直角坐标系中 的坐标，记M ),,(z y x ，x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标。 （3）例题讲解 例1 如图，在长方体OABC-D`A`B`C`中，|OA|=3，|OC|=4， |OD`|=2，写出D`，C ，A`，B`四点的坐标. ) 2,4,3('),2,0,3('),0,4,0(),2,0,0('B A C D 解：由图可知：
（4）练习 1、如图，在长方体OABC-D`A`B`C`中，|OA|=3，|OC|=4，|OD`|=3，A`C`于B`D`相交于点P.分别写出点C ，B`，P 的坐标. 2、如图，棱长为a 的正方体OABC-D`A`B`C`中，对角线OB`于BD`相交于点Q.顶点O 为坐标原点，OA ，OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上.试写出点Q 的坐标. 3、在空间直角坐标系中标出下列各点：A(0,2,4)，B(1,0,5)，C(0,2,0)，D(1,3,4) 四、课堂小结 ? 深刻感受空间直角坐标系的建立的背景以及理解空间中点的坐标表示。 ? 通过数轴与数，平面直角坐标系与一对有序实数，引申出建立空间直角坐标系的必 要性。 ? 理解并掌握空间直角坐标系中点的坐标表示 五、作业 教科书 136页 练习 )3,2,23(P ),2,4,3('B ),0,4,0(C 解：由图可知：)2,2,2(Q a a a Q 为正方体的中心 解：由图可知：
高中数学选修极坐标与参数方程知识点与题型 Document number：PBGCG-0857-BTDO-0089-PTT1998
选做题部分 极坐标系与参数方程 一、极坐标系 1．极坐标系与点的极坐标 (1)极坐标系：如图4－4－1所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角． 2．极坐标与直角坐标的互化 点M 直角坐标(x ，y ) 极坐标(ρ，θ) 互化公式 题型一 极坐标与直角坐标的互化 1、已知点P 的极坐标为)4 ,2(π ，则点P 的直角坐标为 （ ） A.（1，1） B.（1，-1） C.（-1，1） D.（-1，-1） 2、设点P 的直角坐标为(3,3)-，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系(02)θπ≤<，则点P 的极坐标为（ ） A ．3(32, )4π B ．5(32,)4π- C ．5(3,)4π D ．3(3,)4 π- 3．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________． 4．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( ) A ．ρ＝cos θ B ．ρ＝sin θ C ．ρcos θ＝1 D ．ρsin θ＝1 5．曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________． 6. 在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ与直线θ＝π 4 (ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标．