《数学归纳法及应用举例》第一课教学设计
重庆市教育科学研究院张晓斌
教学目标：
一、知识目标
1．了解归纳法的意义.
2．理解数学归纳法的实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤，初步会用数学归纳法证明有关正整数的命题.
二、能力目标
1．通过探索关于正整数命题的证明方法的过程，让学生体验严密的逻辑推理的数学思想.
2．学生经历对问题的探究过程，让学生感知科学的研究方法，并培养学生提出问题、思考问题、分析问题、解决问题的能力.
三、情感目标
1．在学生经历问题的探究过程中，激励学生的好奇心和求知欲.
2．在教学中，通过师生、学生之间的平等交流，使学生感受民主的氛围和团结合作的精神.
教学重难点：
一、重点
1．初步理解数学归纳法的原理.
2．初步会用数学归纳法证明简单的数学命题.
二、难点
1．对数学归纳法原理的理解.
2．为何要利用假设证明n=k+1时命题正确.
教学过程：
一、创设情景
师：同学们，我们先一起来分析三个问题情景：
情景一：从麻布口袋里（无放回）逐一摸球.
师演示：摸出第一个球，红色；第二个球，红色；第三个球，红色；第四个球，红色.
师：根据这四个特殊事例，你能得出什么猜想？
生甲：全为红色. 生乙：不一定.
师演示：摸出一个白色球.
师：说明由有限个特殊事例归纳出的结论不一定正确.
情景二：给出一个数列的通项公式.
板书：a n=(n2-5n+5)2.
学生分组计算：a1, a2, a3, a4.
师：请同学们猜想a n=? (n∈N*).
生齐答：a n=1.
师生一起计算：a5=25，否定结论.
情景三
师：请同学们回忆等差数列通项公式是如何推导的？
生：根据前四项的规律，归纳出来的.
板书：观察等差数列的前几项：
112131410,
1,
2,
3,
a a d a a d a a d a a d =+=+=+=+ 你发现了什么规律？试用1a 、n 和d 表示n a .
生：a n = a 1+（n-1）d (n ∈N*).
师：以上三个情景说明一个什么问题？
（师生共同观察、分析、讨论）
生甲：结论有的正确，有的不正确.
生乙：都是由几个事例得出的结论，有的正确，有的不正确.
师：还有什么补充？
生丙：这些问题与自然数有关.
生丁：这种由有限个事例推出一般结论的方法不能作为证明方法.
师：象这样由有限多个特殊事例归纳出一般结论的方法叫归纳法（板书归纳法），得出的结论不一定正确,也不能作为论证方法.
师：用归纳法可以帮助我们从特殊事例中发现一般规律，但得出的一般结论并不一定
可靠.再如法国著名数学家费尔马曾由0,1,2,3,4n =得到221n +均为质数而推测：n 为自然
数时，221n +都是质数，但这一结论是错误的.因为瑞士大数学家欧拉发现，5n =时，
221n +是一个合数：
22142949672976416700417n
+==?.
师：既然由归纳法得到的结论不一定可靠，那么，就必须想办法对所得到的结论进行证明.对于由归纳法得出的某些与正整数有关的命题()P n ，能否通过一一验证的办法来加以证明呢？
生：不能.因为这类命题中所涉及的正整数有无限多个，所以无法一个一个加以验证.
二、探索发现
师：前面学习的等差数列通项公式也是由有限个特殊事例归纳出来的，也可能不正确.一旦错误，我们已经建立的数学大厦必将倒塌，必须对它进行抢救性证明.如何证明这类有关正整数的命题呢？
生甲：一一列出各项.
生乙：不可能全部列出.
师：人精力有限，不可能也不必要一一列出各项,我们一起来探索新的证明方法.我们将采用递推的办法解决这个问题.同学们在电视中可能看到过“多米诺”骨牌的游戏，由于骨牌之间特殊的排列方法，只要推到第一块骨牌，第二块就会自己倒下，接着第三块就会倒下，第四块也会倒下，……如此传递下去，所有的骨牌都会倒下.这种传递相推的方法，就是递推.
师：要使n 块多米诺骨牌全体依次倒下，须满足什么条件？
生甲：摆放距离要恰当.
生乙：牌的大小、重量要合适.
师：我们只研究数学方面的条件，应找出数学模型.
生丙：第一块倒下，后面接着倒下.
师：总结同学的发言，需要条件如下：
（1）第一块要倒下.
（2）当前面一块倒下时，后面一块必须倒下.
再如：前面从一个袋子里第一次摸出的是一个红球，接着，如果我们有这样的一个保证：“当你这一次摸出的是红球，则下一次摸出的一定也是红球”，能否断定这个袋子里装的全是红球？
生：能断定.
师：类似地，证明一个关于正整数n 的命题需要证明哪几条？
（通过学生充分探索、讨论3分钟）
生甲：第一条，n=1时，命题成立；
第二条，n 取前面一个值成立时，n 取后面一个值也成立.
师：关于一个正整数n 的命题，n 一定可以取1吗？
生乙：不一定，如多边形内角和定理(2)180(3)n n -?≥.
师：所以第一条是n 取第一个值n 0时，命题正确.
师：如何用数学语言来刻画n 取前面一个值命题成立时，n 取后面一个值也成立呢？ 生丙：n=1命题成立时，n=2命题也成立；n=2命题成立时，n=3命题也成立.以此类推. 生丁：证明不完，前面一个n 值用一个字母表示.
师：对.就用k 表示吧.
生丁：若当n=k 时，命题成立，则n=k+1命题也成立.
师：归纳同学们的意见，总结如下：
板书：
第一条：证明当n 取第一个值n 0（如n 0=1或2等）时，命题成立.
第二条：假设当n=k （k ∈N*，且k ≥n 0，）时命题成立.证明当n=k+1时，命题成立. 师：证明了这两条命题一定成立吗？
生：一定成立.
师：为什么？
生思考后，由第一条，n 取第一个值命题成立了，由第二条n 从第一个值开始，取后面的值一个接着一个都成立了.这两步实质上具有递推性.
师：很好，这种证明命题的方法叫做数学归纳法.需证明的两条就是证明的两个步骤.
（1）是递推的始点；（2）是递推的依据.步骤（1）是一次验证，步骤（2）是以一次逻辑推理代替了无限次验证过程.步骤（2）用的是演绎推理.
板书：
第一步n=1时命题成立 n=2时命题成立 由第二步n=1+1也成立 n=3
由第二步n=2+1也成立
由第二步n=3+1也成立
时命题成立 ……即n ∈N *
时，命题均成立
师：上述无穷“链条”一环扣一环，形象地说明了用数学归纳法证明命题正确性的过程，它的两个步骤保证了命题无限递推是正确的.
师：同学们，从以上推理链你们发现了什么？
生甲：只要完成了证明的两个步骤，就完成了证明.
生乙：两个步骤缺一不可.
师：同学们的发现很好！第一步是递推的基础,第二步是递推的依据.
（用展示平台展示用数学归纳法证明命题的两个步骤.）
下面尝试用数学归纳法证明等差数列的通项公式.
三、尝试证明
板书：已知{a n }是等差数列，公差为d.
求证：a n =a 1+(n-1)d.
在教师的组织下，师生共同完成证明.师进行叙述示范.在证明过程中，教师适时提出两个问题让学生思考讨论.
问题一：假设n=k 时等式成立，如何翻译成数学式子？这个式子是作为已知利用或是需要证明的？
问题二：证明n=k+1时等式成立需证明的目标是什么？
四、应用举例
例1：用数学归纳法证明：
1+3+5+……+（2n-1）=n 2 .
此例的教学过程为：
（1）学生先独立完成，在完成过程中师生之间、生生之间可以相互交流讨论.
（2）教师在适当时候提出两个问题：
①如何造成利用假设的条件？
②证明n=k+1等式成立的证明目标是什么？
（3）学生基本完成后，教师用平台展示学生的证明过程，师生共同点评.
用实物展示平台展示学生的错误做法：
（1）1n =时，左＝1，右＝1，等式成立.
（2）假设n k =时等式成立，即2135(21)k k +++???+-=.则1n k =+时，2[12(1)1](1)135(21)[2(1)1](1)
2k k k k k ++-++++???+-++-==+ ∴当1n k =+时等式成立，由（1）和（2）可知对任何*n N ∈等式都成立.
师：上面的证明方法是数学归纳法吗？学生讨论.
师：从形式上看用的是数学归纳法，实质上不是，因为证明1n k =+正确时，未用到归纳假设，而用的是等差数列求和公式，数学归纳法的核心是证明命题的正确具有递推性.仅有第一步骤验证而没有第二步骤递推性的证明是不行的.那么，没有第一步行吗？学生讨论.
师：让我们看一个例子：试问等式2
24621n n n +++???+=++成立吗？
设n k =等式成立，即224621k k k +++???+=++，则 2224622(1)122(1)(1)1k k k k k k k +++???+++=++++=++++.
∴当1n k =+时等式成立，故对任何*n N ∈等式都成立.
师：对吗？学生讨论.
师：事实上，当1n =时，左边＝2，右边＝3，左边≠右边.左边总是偶数，右边总是奇数，该等式不可能对*n N ∈都是成立的.
师：因此，用数学归纳法证明命题的两个步骤，缺一不可.第一步是递推的基础，第二步是递推的依据.缺了第一步，递推失去基础；缺了第二步，递推失去依据，因此无法递推下去.
五、练习反馈
课堂练习：用数学归纳法证明：
1+2+3+……+n=2
1n （n+1） 根据学生练习情况教师随时加入讨论.学生基本完成后,在平台上学生自愿展示自己的作品,师生共同点评.
七、归纳小结
师：通过本课学习，同学们学到了哪些知识或方法？有什么体会？
在同学充分思考、讨论的基础上，用平台展示小结：
1.数学归纳法是科学的证明方法,利用它可以证明一些关于正整数n 的命题.
2.数学归纳法证明命题的两个步骤:
(1)当n 取第一个值n 0(例如n 0=1或2等)时命题成立.
(2)假设当n=k(k ∈N *，且k ≥n 0)时命题成立，利用它证明当n=k+1时命题也成立.
3.用数学归纳法证明命题的两个步骤缺一不可.
4.证明n=k+1命题成立时，一定要利用假设.
5.证明n=k+1命题成立时，首先要明确证明的目标.
6.归纳法是一种推理的方法，数学归纳法是一种证明方法.归纳法帮助我们提出猜想，而数学归纳法的作用是证明猜想.“观察――猜想――证明”是解答与正整数有关命题的有效途径.
八、布置作业
1．用数学归纳法证明：
（1）1+2+22+……+2n-1=2n -1
（2）首项是a 1,公比是q 的等比数列的通项公式是：
a n =a 1q
n-1 2．思考题
用数学归纳法证明命题为什么两个步骤缺一不可？
【教学设计说明】
本课采用交往式的教学方法,师生之间,学生之间在整个学习活动中相互交流,相互促进.教师在本课中的主要作用是提出研究课题,组织学生参加探究学习并以学习者的角色参与学习活动.师生一起提出问题让学生充分探究解决问题,并让学生对解决问题的方法、过程、结论进行判断,使学生主动参与知识的发生、发展全过程,在探究问题、解决问题中学习.通过分组讨论,使学生在合作学习中明辨是非,对就对、错就错,从中学会尊重人、理解人,培养了学生求真务实和科学人文精神.基本教学环节是:创设情景―探索发现―尝试证明―升华理解―应用举例―归纳小结.这种教学方法充分体现了以学生为中心,以学生和教师为主体的双主体教学理念.
本课教学过程的设计以问题为中心,以探究解决问题的方法为主线展开.这样设计有利于在探究解决问题方法的过程中激发学生的好奇心和强烈的求知欲望,使学生主动地、积极地、全身心地投入到学习活动之中；有利于学生发现问题、提出问题、分析问题和创造性地解决问题，使教学过程成为学生再创造、再发现的过程，从而培养学生解决问题的能力和创新意识。
对教学归纳法原理的初步理解既是本课的重点也是本课的难点。本课采用四个阶段来突出和突破这个难点.第一阶段,由多米诺骨牌游戏类比出两个步骤,使学生对原理有了直观感知.第二阶段,学生通过对等差数列通项公式的证明,对原理有了初步的感性认识.第三阶段,通过为什么可以假设n=k的等式成立的探究,得出逻辑推理链,使学生对原理由感性认识上升为理性认识.第四阶段,在处理例1时,通过对能否用等差数列求和公式证明n=k+1等式成立的探究,使学生对原理的理解进一步加深.这种由浅入深,层层递进的探索,符合学生的认识规律.
《数学归纳法及其应用举例》教案 中卫市第一中学 俞清华 教学目标： 1．认知目标：了解数学归纳法的原理，掌握用数学归纳法证题的方法。 2．能力目标：培养学生理解分析、归纳推理和独立实践的能力。 3．情感目标：激发学生的求知欲，增强学生的学习热情，培养学生辩证唯物主义的世界观 和勇于探索的科学精神。 教学重点： 了解数学归纳法的原理及掌握用数学归纳法证题的方法。 教学难点： 数学归纳法原理的了解及递推思想在解题中的体现。 教学过程： 一．创设情境，回顾引入 师：本节课我们学习《数学归纳法及其应用举例》（板书）。首先给大家讲一个故事：从前有 一个员外的儿子学写字，当老师教他写数字的时候，告诉他一、二、三的写法时，员外儿子很高兴，告诉老师他会写数字了。过了不久，员外要写请帖宴请亲朋好友到家里做客，员外儿子自告奋勇地要写请帖。结果早晨开始写，一直到了晚间也没有写完，请问同学们，这是为什么呢？ 生：因为有姓“万”的。 师：对！有姓“万”的。员外儿子万万也没有想到“万”不是一万横，而是这么写的“万”。通过这个故事，你对员外儿子有何评价呢？ 生：（学生的评价主要会有两种，一是员外儿子愚蠢，二是员外儿子还是聪明的。） 师：其实员外儿子观察、归纳、猜想的能力还是很不错的，但遗憾的是他猜错了！在数学 上，我们很多时候是通过观察→归纳→猜想，这种思维过程去发现某些结论，它是一种创造性的思维过程。那么，我们在以前的学习过程中，有没有也像员外儿子那样猜想过某些结论呢？ 生：有。例如等差数列通项公式的推导。 师：很好。我们是由等差数列前几项满足的规律：d a a 011+=，d a a +=12，d a a 213+=，d a a 314+=，……归纳出了它的通项公式的。其实我们推导等差数列通项公式的方法和员外儿子猜想数字写法的方法都是归纳法。那么你能说说什么是归纳法，归纳法有什么特点吗？ 生：由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法。特点：特殊→一般。 师：对。（投影展示有关定义） 像这种由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法。根据推理过程中考察的 对象是涉及事物的一部分还是全部，分为不完全归纳法和完全归纳法。 完全归纳法是一种在研究了事物的所有（有限种）特殊情况后得出一般结论的推理方法，又 叫做枚举法。那么，用完全归纳法得出的结论可靠吗？ 生：（齐答）可靠。 师：用不完全归纳法得出的结论是不是也是可靠的呢？为什么？
《数学归纳法》说课稿 一、说教材 数学归纳法是继直接证明与间接证明之后的又一重要内容，是直接证明的又一重要方法，应用十分广泛。一般说来，与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除性、数列的通项及前n项和等问题，都可以考虑用数学归纳法推证。在《数学必修5》中学过的等差数列和等比数列的通项公式以及本章第一节的归纳推理案例赏析中得到的自然数的平方和公式都是通过归纳推理得到的，这些结论都具有猜测的性质，其正确性还有待用数学归纳法加以证明。《数学归纳法》这一内容安排在这里起到了承前启后及深化数学知识的作用。本节课讲的主要内容是数学归纳法原理，用1课时。重点是分析数学归纳法的实质，难点是对归纳法中的递推思想的正确理解和把握，目的是进一步培养学生的抽象思维能力和运用所学知识解决问题的能力。 二、说学情 在本章的前几节已经学过归纳推理和类比推理，而且在《数学必修5》中也通过归纳的方法得到了等差数列和等比数列的通项公式，再加上学生的实际生活经验，事实上学生已经具备了一定的归纳推理的能力。虽然学生的知识水平参差不齐，归纳推理的能力存在较大差异，但他们对归纳推理的方法都有程度不同的把握，少数学生归纳推理能力还比较强。但从总体上看，学生的抽象思维特别是从具体问题中抽象出数学知识的能力还十分薄弱，需要不断加强。 三、说教学目标 知识目标：使学生了解归纳法, 理解数学归纳的原理与实质．掌握数学归纳法证题的两个步骤；会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题． 能力目标：培养学生观察, 分析, 论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想． 情感目标：通过对例题的探究，体会研究数学问题的一种方法(先猜想后证明), 激发学生的学习热情，使学生初步形成做数学的意识和科学精神． 四、说教法 本节课我将借助多媒体展示的“多米诺骨牌”游戏，激发学生的学习兴趣，为学生对数学归纳法的理解从感性认识上升到理性认识、为突破和分解教学难点提供生动有趣的参照物。 根据本节课的教学内容和学生的实际，我将采用引导发现法和讲练结合的方法，紧密联系学生已经学过的数列知识和“多米诺骨牌”游戏，创设问题情境，运用类比推理引导学生积极思考、大胆探索，将“多米诺骨牌”游戏中所蕴含的数学归纳法逐步提炼出来，从而将书本的知识内化为自己的知识。为巩固教学效果，我通过板书示范，学生进行适当练习来规范学生的作业行为，巩固所学知识，达到学以致用的目的，提高学生灵活运用知识的能力。 五、说学法 “问题是数学的心脏”，课前我将预设一些问题让学生带着问题预习新课，课堂上老师结合“多米诺骨牌”游戏的展示，围绕“递推“这一中心，提出一连串的问题，引导学生积极思考，通过类比，从游戏中找到知识的生长点，进而抽象出数学归纳法，这样便突破了教学上的难点，同时安排一定的时间让学生进行
数学归纳法教学设计与反思 长春市十一高中杨君 一、教学内容解析 就本节课的题目而言，它有两个意思，一个是归纳法，另一个是数学归纳法。归纳法是由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，是现实生活中人们自觉或不自觉普遍运用的方法，特别是不完全归纳法所得到的命题虽然不一定成立因而并不能作为一种论证方法，同时也应该看到不完全归纳法是数学中普遍存在的一种方法，是研究数学的一把钥匙，是发现数学规律的一种重要手段，具有很好的创造性。在科学发现中也是如此。 数学归纳法呢？它是证明与正整数n(n取无限个值)有关命题的重要工具，是一种重要的数学思想方法．其理论依据是归纳公理(即设M是正整数的一个子集，且它具有下列性质：①1∈M；②若k∈M，则k+1∈M.那么M是全体正整数的集合)和最小数原理(即自然数集的任何非空子集必有一个最小数)，其实质是把具有共同特征的、无限重复的递推过程( )真? ( +1)真? ( +2)真?…用具有高度代表性、概括性的( )真? ( +1)真来代替，而核心与关键是如何利用归纳假设和递推关系．数学归纳法是以归纳为基础、以演绎为手段证明结论的一种方法，是归纳法与演绎法的完善结合．这也许是数学归纳法不是归纳法但又叫“数学归纳法”的原因．归纳法是一种以特殊化和类比为工具的推理方法，是重要的探索发现的手段，是一种似真结构；而数学归纳法是一种严格的证明方法，一种演绎法，它的实质是“把无穷的三段论纳入唯一的公式中提出“自然数公理”后，数学归纳法以归纳公理为理论基础，得到了广泛的确认和应用.而自然数中的“最小数原理”，则从反面进一步说明了数学归纳法证题的可靠性. 数学归纳法虽不是归纳法，但它与归纳法有着一定程度的关联.在数学结论的发现过程中，往往先通过对大量个别事实的观察，通过归纳形成一般性的结论，最终利用数学归纳法的证明解决问题.因此可以说论断是以试验性的方式发现的，而论证就像是对归纳的一个数学补充，即“观察”+“归纳”+“证明”=“发现”。 二、教学目标设置 1、知识和技能目标 (1)了解数学推理的常用方法（归纳法） (2)理解数学归纳法原理和其本质的科学性 (3)初步掌握数学归纳法证题的两个步骤和一个结论。 (4)会用数学归纳法证明简单的恒等式。 2、过程与方法目标 通过对归纳法的引入，说明归纳法的两难处境，引出数学归纳法原理，使学生理解理论与实际的辨证关系。在学习中培养学生探索发现问题、提出问题的意识，解决问题和数学交流的能力,学会观察——归纳——猜想——证明的思想方法，能用总结、归纳、演绎类比探求新知识。
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期] 任教学科：_____________ 任教年级：_____________ 任教老师：_____________ xx市实验学校
《数学归纳法及应用举例》第一课教学设计 重庆市教育科学研究院张晓斌 教学目标： 一、知识目标 1．了解归纳法的意义. 2．理解数学归纳法的实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤，初步会用数学归纳法证明有关正整数的命题. 二、能力目标 1．通过探索关于正整数命题的证明方法的过程，让学生体验严密的逻辑推理的数学思想. 2．学生经历对问题的探究过程，让学生感知科学的研究方法，并培养学生提出问题、思考问题、分析问题、解决问题的能力. 三、情感目标 1．在学生经历问题的探究过程中，激励学生的好奇心和求知欲. 2．在教学中，通过师生、学生之间的平等交流，使学生感受民主的氛围和团结合作的精神. 教学重难点： 一、重点 1．初步理解数学归纳法的原理. 2．初步会用数学归纳法证明简单的数学命题. 二、难点 1．对数学归纳法原理的理解. 2．为何要利用假设证明n=k+1时命题正确. 教学过程： 一、创设情景 师：同学们，我们先一起来分析三个问题情景： 情景一：从麻布口袋里（无放回）逐一摸球. 师演示：摸出第一个球，红色；第二个球，红色；第三个球，红色；第四个球，红色. 师：根据这四个特殊事例，你能得出什么猜想？ 生甲：全为红色. 生乙：不一定. 师演示：摸出一个白色球. 师：说明由有限个特殊事例归纳出的结论不一定正确. 情景二：给出一个数列的通项公式. 板书：a n=(n2-5n+5)2. 学生分组计算：a1, a2, a3, a4. 师：请同学们猜想a n=? (n∈N*). 生齐答：a n=1. 师生一起计算：a5=25，否定结论. 情景三 师：请同学们回忆等差数列通项公式是如何推导的？ 生：根据前四项的规律，归纳出来的. 板书：观察等差数列的前几项：
数学归纳法说课稿 人教A版高中数学选修2-2第二章第三节 参赛教师：樊万生 单位:北屯高级中学 2016年4月22日
数学归纳法说课稿 尊敬的各位专家评委、老师大家好： 我是来自北屯高级中学的数学教师樊万生。今天，我说课的题目是《数学归纳法》，我将从教材分析、学生学情，三维目标、教法学法、教学过程，板书设计，课后反思7个方面进行说课。 一、教材分析 1、教学内容：数学归纳法是人民教育出版社A版数学选修2-2第二章第3 节的内容，根据课标要求，本节共2课时，这是第一课时，其主要内容是数学归纳法的基本原理及其应用。 2、地位作用：在已经学习了归纳推理的基础上，学习数学归纳法，它是一种证明关于正整数命题的重要方法。 3、重点难点： 重点：通过具体实例了解数学归纳法的基本原理，掌握两个基本步骤 难点：理解数学归纳法的基本原理，第二步运用n=k时的归纳假设做证明。 二、学生学情 1、学生经过中学阶段的学习，已具备一定的推理能力，但学生自主学习和探究的能力普遍还不够理想。 2、我教的一个是理科实验班，学生基础还不错，学习能力也较强；另一个是理科实验班，相对基础薄弱。 三、三维目标 1、知识与技能：理解数学归纳法的原理与实质，掌握数学归纳法证题的两
个步骤。会证明简单的与正整数有关的等式。 2、过程与方法：通过微课的讲解，创设课堂愉悦的情境，提高学生学习兴趣和课堂效率，让学生体会类比的数学思想。初步掌握数学归纳法的基本步骤。 3、情感、态度与价值观：通过本节课的教学，培养学生大胆猜想，小心求 证的辩证思维素质，提高学生学习数学的兴趣 四、教法学法 教学方法：通过两个情境实例和微课，运用类比启发探究的数学方法进行教学；帮助学生理解数学归纳法的原理和实质。 学法指导：鉴于本节的重难点和学生难以正确把握解题步骤，要求学生课前预 习教材有关内容，听课时积极思考、大胆质疑。 教学手段：借助多媒体课件和微视频辅助课堂教学。 五、教学过程 本节课分为：情景引入、微课学习、理论梳理，例题讲解、课堂练习、课堂小 结、布置作业7个环节。 1、情景引入：情景1费码数的猜想说明归纳推理有时是错误的， 情景2数列通项公式的猜想说明归纳猜想有时是正确的 设计意图：归纳推理能帮助我们发现一般结论，但得出的结论不一定正确，即使正确也需要经过严格的证明.这两个情景为学生创设一个问题情境，加深学生对归纳法的认识，也为本节课的后续教学做了铺垫. 同时引导学生进行思辨：在数学中运用不完全归纳法常常会得到错误的 结论，不管是我们还是数学大师都可能如此.
第5课时数学归纳法 1.使学生了解归纳法,理解数学归纳法的原理与实质. 2.掌握数学归纳法证题的两个步骤;会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题. 多米诺骨牌游戏,首先要用力推第一块骨牌,在任何两块骨牌之间有恰当的距离时,第一块倒下,就会使第二块倒下,第二块倒下就会导致第三块倒下,……以致很多都会倒下!如果我们在骨牌间抽出几块,使有两块之间存在一个较大的缺口,推倒了第一块骨牌,后面的骨牌就不会都倒下了.如果第一块骨牌我们不使它倒下,后面的骨牌也就不会倒下的. 问题1:要使得所有骨牌全都倒下须满足的条件 (1); (2). 问题2:数学归纳法:证明一个与正整数有关的命题,可按下列步骤进行 (1)(归纳奠基)证明当n取时命题成立; (2)(归纳递推)假 设. 问题3:数学归纳法是一种只适用于与有关的命题的证明方法,第一步是递推的“”,第二步是递推的“”,两个步骤缺一不可. 问题4:在证明过程中要防范以下两点 (1)第一步验证n=n0时,n0不一定为1,要根据题目要求. (2)第二步中,归纳假设起着“已知条件”的作用,在证明1时,命题也成立的过程中一定要用,否则就不是数学归纳法. (n∈N+),验证n=1时,左边应取的项是1.用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(n+3)=(n+3)(n+4) 2 (). A.1 B.1+2 C.1+2+3 D.1+2+3+4 2.某个命题与自然数n有关,若n=k(k∈N+)时命题成立,那么可推得当n=k+1时该命题也成立,现已知n=5时,该命题不成立,那么可以推得(). A.n=6时该命题不成立 B.n=6时该命题成立 C.n=4时该命题不成立 D.n=4时该命题成立
数学归纳法（说课稿） 今天我说课的题目是《数学归纳法》，我将从教材分析、目标分析、教学过程、教法学法、评价分析五方面进行说课。 一、 教材分析 数学归纳法是人教B 版普通高中课程标准实验教科书选修2-2第2章第三小节的内容，此前学生刚学习了合情推理，合情推理用的是不完全归纳法，结论的正确性有待证明。通过本节课的学习，对培养学生的抽象思维能力和创新能力，深化不等式、数列等知识，提高学生的数学素养，有重要作用。根据课程标准，本节分为两课时，此为第一课时。 教学重点：了解数学归纳法的基本思想和掌握用数学归纳法证明问题的基本步骤 教学难点：正确理解第二步递推思想的实质 二、 目标分析 知识与技能：理解数学归纳法的原理和实质，并能初步运用。 过程与方法：学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，提高创新能力。 三、教学过程 （一）创设问题情景 1.情景创设 情景一：生活中的实际例子（摸出球的颜色问题） 情景二：已知数列{}5 a 的通项公式22(55)n a n n =-+，学生分别计算1a 、2a 、3a 、4a 的值，猜想n a 的值，计算5a 的值。请学生创设一个由有限多个特殊事例得出一般 结论的数学公式。 情景三（学生自己创设）：学生共同回顾等差数列{}5a 通项公式推导过程： 11 213143123(1)n a a a a d a a d a a d a a n d ==+=+=+=+ - 2.学生观察、分析以上三个情景，提出与分析问题，得出结论。 3.结论：这些用有限多个特殊事例得出的结论，有的正确，有的不正确。因此不
能作为论证的方法。 （二）探索解决问题的方法 1.多媒体演示多米诺骨牌游戏。 师生共同探讨多米诺骨牌全部依次倒下的条件： （1）第一块要倒下; （2）当前面一块倒下时，后面一块必须倒下; 当满足这两个条件后，多米诺骨牌全部都倒下。 2.学生类比多米诺骨牌依顺序倒下的原理，探究出证明有关正整数命题的方法（建立数学模型）。 （1）n 取第一个值0n (例如 01n =)时命题成立; （2）假设 n=k(k ∈*0,N k n ≥)命题成立，利用它证明n=k+1 时命题也成立。 满足这两个条件后，命题对一切n ∈*N 均成立。 （三）方法尝试 师生共同用探究出的方法尝试证明等差数列通项公式。 其中假设n=k 时等式成立，证明n=k+1时等式成立的证明目标和如何利用假设主要由学生完成。 （四）理解升华 1.置疑 对上面的证明方法，充分让学生置疑、提问。 2.论证（说理） 师生共同探讨数学归纳法的原理，理解他的严密性、合理性。从而由感性 认识上升为理性认识。 本阶段用逻辑推理的形式展开研究：当一个命题满足上面（1）、（2）两个条件时 n=1????? ?时命题成立因为有（2）正确（这时k=1）1,2n k =+????即n=时命题成立因为有（2）正确(这时k=2)2, 3 n k n =+=????即时命题成立因为有（2）正确（这时k=3） 14n k =+=时命题成立?5n =时命题成立?……即对一切*n N ∈，命题均成立。 让学生对以上逻辑推理进行充分置疑师生共同探讨数学归纳法的合理性。 思考：根据以上逻辑推理。
数学归纳法教学设计
授课日期： 2016 年 4 月 8 日授课班级：高二年级2 班
【教学难点】 （1）对数学归纳法原理的理解，即理解数学归纳法证题的严密性与有效性； （2）假设的利用，即如何利用假设证明当n=k+1时结论正确. 教法、学法分析 教法： 学习数学归纳法的过程紧扣多米诺骨牌是怎样倒下的，通过对科技节活动中多米诺骨牌倒下的分析类比得出数学归纳法的应用步骤，尤其是在引导学生理解数学归纳法由n=k得出n=k+1时必要性和有效性中，类比“后一块骨牌必须是被前一块骨牌砸倒的”起到重要作用。在教师的组织启发下，师生之间、学生之间共同探讨，平等交流;既强调独立思考，又提倡团结合作；既重视教师的组织引导，又强调学生的主体性、主动性、平等性、开放性、合作性。这节课主要选择以合作探究式教学法组织教学． 学法： 本课以问题为中心，以解决问题为主线展开，学生主要采用“探究式学习法”进行学习.本课学生的学习主要采用下面的模式进行： 教学设计中注意激发起学生强烈的求知欲望，使得他们能积极主动地观察、分析、归纳，以形成认识，参与到课堂活动中，充分发挥他们作为认知主体的作用． 教学资源 导学案、PPT 教学过程 教学环 节 教师活动学生活动设计意图 课前复习准备 1、布置导学案内容; 2、批改纠正学生出现的错误; 3、及时了解学生学习情. 完成学案内容 1、归纳推理： 2、回忆等差数列,等比数 列的通项公式；思考等 差、等比数列通项公式的 得出过程，你能证明该公 式吗？ 3、已知数列{}n a中， 1 1 = a, ) (* + ∈ + =N n a a a n n n2 2 1 ， 试猜想这个数列的通项公 式并证明你的猜想. 复习公式及 其得出过 程，为本节 学习做好铺 垫. 使学生发现 不能解决的 问题，激发 学生学习新 知的愿望. 创设问题情景，引出新课问题情景：引导学生共同回顾学案 第3小题数列{}n a通项公式的得出过 程，提问：你的猜测正确吗？如何证 明？ 学生回忆第3小题数列 {} n a通项公式的得出过 程，并思考老师的问题. 发现问题， 突出矛盾． 合作探索解决问题的方法1. 多媒体演示多米诺骨牌游戏. 引导学生共同探讨多米诺骨牌全 部依次倒下的条件： （1）第一块要倒下; 学生类比多米诺骨牌依顺 序倒下的原理，探究出证 明有关正整数命题的方 播放视频活 跃课堂氛 围，激发学 生的兴趣. 提 出 问 分 析 问 猜想与 置疑 论证 观察 情景 应用
第一课时 4.1 数学归纳法 教学要求：了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写. 教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 教学难点：数学归纳法中递推思想的理解. 教学过程： 一、复习准备： 1. 分析：多米诺骨牌游戏. 成功的两个条件：（1）第一张牌被推倒；（2）骨牌的排列，保证前一张牌倒则后一张牌也必定倒. 回顾：数学归纳法两大步：（i ）归纳奠基：证明当n 取第一个值n 0时命题成立；（ii ）归纳递推：假设n =k （k ≥n 0， k ∈N *）时命题成立，证明当n =k +1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立. 2. 练习：已知()*()13521,f n n n N =++++-∈L ，猜想()f n 的表达式，并给出证明？ 过程：试值(1)1f =，(2)4f =，…，→ 猜想2()f n n = → 用数学归纳法证明. 3. 练习：是否存在常数a 、b 、c 使得等式132435......(2)n n ?+?+?+++= 21()6 n an bn c ++对一切自然数n 都成立，试证明你的结论. 二、讲授新课： 1. 教学数学归纳法的应用： ① 出示例1：求证*111111111,234212122n N n n n n n - +-+???+-=++??+∈-++ 分析：第1步如何写？n =k 的假设如何写？ 待证的目标式是什么？如何从假设出发？ 关键：在假设n =k 的式子上，如何同补？ 小结：证n =k +1时，需从假设出发，对比目标，分析等式两边同增的项，朝目标进行变形. ② 出示例2：求证：n 为奇数时，x n +y n 能被x +y 整除. 分析要点：（凑配）x k +2+y k +2=x 2·x k +y 2·y k =x 2(x k +y k )+y 2·y k －x 2·y k =x 2(x k +y k )+y k (y 2－x 2)=x 2(x k +y k )+y k ·(y +x )(y －x ). ③ 出示例3：平面内有n 个圆，任意两个圆都相交于两点，任何三个圆都不相交于同一点， 求证这n 个圆将平面分成f (n )=n 2－n +2个部分. 分析要点：n =k +1时，在k +1个圆中任取一个圆C ，剩下的k 个圆将平面分成f (k )个部分，而圆C 与k 个圆有2k 个交点，这2k 个交点将圆C 分成2k 段弧，每段弧将它所在的平 面部分一分为二，故共增加了2k 个平面部分.因此，f (k +1)=f (k )+2k =k 2－k +2+2k =(k +1)2－ (k +1)+2. 2. 练习： ① 求证: 11(11)(1)(1)321 n ++???+-g g n ∈N *）. ② 用数学归纳法证明： （Ⅰ）2274297n n --能被264整除； （Ⅱ）121(1)n n a a +-++能被21a a ++整除（其中n ，a 为正整数） ③ 是否存在正整数m ，使得f （n ）=（2n +7）·3n +9对任意正整数n 都能被m 整除?若存在， 求出最大的m 值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由. 3. 小结：两个步骤与一个结论，“递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”；从n =k 到n =k +1时，变形方法有乘法公式、因式分解、添拆项、配方等. 三、巩固练习： 1. 练习：教材50 1、2、5题 2. 作业：教材50 3、4、6题.
等差数列复习课说课稿 本节课是高二文科一轮复习等差数列（第一课时），选自苏教版普通高中课程标准实验教科书《数学》必修5第二章的内容． 一、教材分析 1、教材的地位和作用： 数列一章，在中学数学中地位非常重要，它是衔接初等数学和高等数学的桥梁，是高考每年必考的重要内容．内容涉及到数列概念、等差数列和等比数列通项及求和、数学归纳法等；它渗透了分类讨论和类比、归纳、函数等重要的数学思想． 而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广．同时等差数列也为后面复习等比数列提供了学习对比的依据． 2、教学目标 根据教学大纲的要求和学生的实际水平，确定了本次课的教学目标 A、在知识上：掌握等差数列的定义，通项公式和前n项和的公式及主要性质． B、在能力上：培养学生公式运用、基本计算及化归能力，在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力；提高学生分析问题和解决问题的能力． C、在情感上：通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯． 3、教学重点和难点 根据教学大纲的要求我确定本节课的教学重点为: ①等差数列的概念 ②对等差数列的判断，通项公式和前n项和的公式的应用 正确理解等差数列的概念，灵活运用等差数列的通项公式，求和公式解题是本节课的难点． 二、学情分析 对于高二文科学生，虽然这部分知识已经学过，但由于时隔一年，而且当初学得又不扎实，所以我在授课时注重基础知识的讲解和基本方法的引导，从而促进思维能力的进一步发展． 三、教法学法分析 针对高中生思维特点和心理特征，本节课我采用课前自主复习，通过课前预习激发学生回顾知识的欲望，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题． 在引导分析时，留出学生的思考空间，让学生去寻求解题的多种思路，同时鼓励学生围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清．
2.3 数学归纳法 预习课本P92～95，思考并完成下列问题 (1)数学归纳法的概念是什么？适用范围是什么？ (2)数学归纳法的证题步骤是什么？ [新知初探] 1．数学归纳法的定义 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫做数学归纳法． 2．数学归纳法的框图表示
[点睛] 数学归纳法证题的三个关键点 (1)验证是基础 数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n 0，这个n 0，就是我们要证明的命题对象对应的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是第一个关键点． (2)递推是关键 数学归纳法的实质在于递推，所以从“k ”到“k ＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项． (3)利用假设是核心 在第二步证明n ＝k ＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n ＝k 时命题成立”作为条件来导出“n ＝k ＋1”，在书写f (k ＋1)时，一定要把包含f (k )的式子写出来，尤其是f (k )中的最后一项，这是数学归纳法的核心．不用归纳假设的证明就不是数学归纳法． [小试身手] 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)与正整数n 有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．( ) (2)数学归纳法的第一步n 0的初始值一定为1.( ) (3)数学归纳法的两个步骤缺一不可．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ 2．如果命题p (n )对所有正偶数n 都成立，则用数学归纳法证明时须先证n ＝________成立． 答案：2 3．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，计算得f (2)＝32，f (4)＞2，f (8)＞52 ，f (16)＞3，f (32)＞72 ，由此推测，当n ＞2时，有______________．
数学：2.3《数学归纳法》教案（新人教A 版选修2-2） 第一课时 2.3 数学归纳法（一） 教学要求：了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写. 教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 教学难点：数学归纳法中递推思想的理解. 教学过程： 一、复习准备： 1. 问题1： 在数列{}n a 中，*111,,()1n n n a a a n N a +== ∈+，先算出a 2，a 3，a 4的值，再推测通项a n 的公式. （过程：212a =，313a =，41 4 a =，由此得到：*1,n a n N n =∈） 2. 问题2：2()41f n n n =++，当n ∈N 时，()f n 是否都为质数？ 过程：(0)f =41，(1)f =43，(2)f =47，(3)f =53，(4)f =61，(5)f =71，(6)f =83， (7)f =97，(8)f =113，(9)f =131，(10)f =151，… (39)f =1 601．但是(40)f =1 681=412是合数 3. 问题3：多米诺骨牌游戏. 成功的两个条件：（1）第一张牌被推倒；（2）骨牌的排列，保证前一张牌倒则后一张牌也必定倒. 二、讲授新课： 1. 教学数学归纳法概念： ① 给出定义：归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法. 特点：由特殊→一般. 不完全归纳法：根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫不完全归纳法. 完全归纳法：把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳
教学目标： 1．理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的证明步骤． 2．通过数学归纳法的学习，体会用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明规律的途径． 教学重点： 1．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． 2．难点：归纳→猜想→证明． 教学过程： 一、预习 1．思考并证明：平面内有n(n≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不 过同一点，证明交点的个数为f(n)＝ (1) 2 n n－ ． 2．小结：数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法． 主要有两个步骤、一个结论： （1）证明当n取第一个值n0（如n0＝1或2等）时结论正确． （2）假设n＝k时，结论正确，证明n＝k＋1时结论也正确（用上假设，递推才真）． （3）由（1），（2）得出结论（结论写明，才算完整）． 其中第一步是递推的基础，解决了特殊性；第二步是递推的依据，解决了从有限到无限的过渡．这两步缺一不可．只有第一步，属不完全归纳法；只有第二步，假设就失去了基础． 二、课堂训练 例1设n∈N*，F(n)＝5n＋2×3n＿1＋1， （1）当n＝1，2，3，4时，计算f(n)的值． （2）你对f(n)的值有何猜想？用数学归纳法证明你的猜想． 例2在平面上画n条直线，且任何两条直线都相交，其中任何三条直线不共点．问：这n条直线将平面分成多少个部分？ 三、巩固练习
1．用数学归纳法证明：1＋2＋22＋…＋2n＿1＝2n－1 (n∈N*)． 2．下面是某同学用数学归纳法证明命题 111 1223(1)1 n n n n ?? ＋＋＋＝ ＋＋ 的过 程， 综上，原命题成立． 3．求证：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·…·（2n－1）（n∈N*）． 四、课堂小结
专题14 二项式定理及数学归纳法 【2018年高考考纲解读】 高考对本内容的考查主要有： (1) 二项式定理的简单应用，B级要求； (2)数学归纳法的简单应用，B级要求 【重点、难点剖析】 1．二项式定理 (1)二项式定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n，上式中右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中C r n(r＝1,2,3，…，n)叫做二项式系数，式中第r＋1项叫做展开式的通项，用T r＋1表示，即T r＋1＝C r n a n－r b r； (2)(a＋b)n展开式中二项式系数C r n(r＝1,2,3，…，n)的性质： ①与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即C r n＝C n－r n； ②C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝2n；C0n＋C2n＋…＝C1n＋C3n＋…＝2n－1. 2．二项式定理的应用 (1)求二项式定理中有关系数的和通常用“赋值法”． (2)二项式展开式的通项公式T r＋1＝C r n a n－r b r是展开式的第r＋1项，而不是第r项． 3．数学归纳法 运用数学归纳法证明命题要分两步，第一步是归纳奠基(或递推基础)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立，第二步是归纳递推(或归纳假设)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立，只要完成这两步，就可以断定命题对从n0开始的所有的正整数都成立，两步缺一不可． 4．数学归纳法的应用 (1)利用数学归纳法证明代数恒等式的关键是将式子转化为与归纳假设的结构相同的形式，然后利用归纳假设，经过恒等变形，得到结论． (2)利用数学归纳法证明三角恒等式时，常运用有关的三角知识、三角公式，要掌握三角变换方法． (3)利用数学归纳法证明不等式问题时，在由n＝k成立，推导n＝k＋1成立时，过去讲的证明不等式的方法在此都可利用． (4)用数学归纳法证明整除性问题时，可把n＝k＋1时的被除式变形为一部分能利用归纳假设的形式，另一部分能被除式整除的形式. (5)解题时经常用到“归纳——猜想——证明”的思维模式．
《数学归纳法及应用举例》第一课说课方案 一、说教材 （一）教材分析 本课是数学归纳法的第一节课。前面学生已经通过数列一章内容和其它相关内容的学习，初步掌握了 由有限多个特殊事例得出一般结论的推理方法，即不完全归纳法。不完全归纳法它是研究数学问题，猜想或发现数学规律的重要手段。但是，由有限多个特殊事例得出的结论不一定正确，这种推理方法不能作为 一种论证方法。因此，在不完全归纳法的基础上，必须进一步学习严谨的科学的论证方法─数学归纳法。 数学归纳法安排在数列之后极限之前，是促进学生从有限思维发展到无限思维的一个重要环节。并且，本 节内容是培养学生严密的推理能力、训练学生的抽象思维能力、体验数学内在美的好素材。 （二）教学目标 学生通过数列等相关知识的学习。已基本掌握了不完全归纳法，已经有一定的观察、归纳、猜想能力。通过近几年教学方法的改革和素质教育的实施，学生已基本习惯于对已给问题的主动探究，但主动提出问 题和置疑的习惯还未形成。能主动提出问题和敢于置疑是学生具有独立人格和创新能力的重要标志。如何 让学生主动置疑和提出问题？本课也想在这方面作一些尝试。 根据教学内容特点和教学大纲、根据学生以上实际、根据学生终身发展需要而制订以下教学目标。 1.知识目标 （1）了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确。 （2）初步理解数学归纳法原理。 （3）理解和记住用数学归纳法证明数学命题的两个步骤。 （4）初步会用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的恒等式。 2.能力目标 （1）通过对数学归纳法的学习、应用，培养学生观察、归纳、猜想、分析能力和严密的逻辑推理能力。 （2）让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生的创新能力。 3.情感目标 （1）通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态度和不怕困难，勇于探索的精神。 （2）让学生通过对数学归纳法原理的理解，感受数学内在美的振憾力，从而使学生喜欢数学。 （3）学生通过置疑与探究，培养学生独立的人格与敢于创新精神。 （三）教学重难点 根据教学大纲要求、本节课内容特点和学生现有知识水平，确定如下教学重难点： 1.重点 （1）初步理解数学归纳法的原理。 （2）明确用数学归纳法证明命题的两个步骤。 （3）初步会用数学归纳法证明简单的与正整数数学恒等式。 2.难点 （1）对数学归纳法原理的理解，即理解数学归纳法证题的严密性与有效性。 （2）假设的利用，即如何利用假设证明当n=k+1时结论正确。 二、说教法 本课采用交往式的教学方法。交往教学法的特点是：在教师的组织启发下，师生之间、学生之间共同 探讨，平等交流;既强调独立思考，又提倡团结合作;既重视教师的组织引导，又强调学生的主体性、主动 性、平等性、开放性、合作性。这种教学方法的优点是学生心态开放，主体性和主动性凸现，独立的个性 得到张扬，因而创造性得到解放。 三、说学法 本课以问题为中心，以解决问题为主线展开，学生主要采用“探究式学习法”进行学习。本课学生的 学习主要采用下面的模式进行： 观察情景提出问题分析问题猜想与置疑（结论或解决问题的途径） 论证应用。 探究学习法的好处是学生主动参与知识的发生、发展过程。学生在探究问题过程中学习，在探究问题 的过程中激发学生的好奇心和创新精神;在探究过程中学习科学研究的方法;在探究过程中形成坚韧不拔
数学归纳法 【教学目标】 1．进一步理解“数学归纳法”的含意和本质；掌握数学归纳法证题的两个步骤一个结论；会用“数学归纳法”证明简单的恒等式；理解为证n=k+1成立，必须用n=k成立的假设；掌握为证n=k+1成立的常见变形技巧。 2．掌握归纳与推理的方法；培养大胆猜想，小心求证的辩证思维素质；培养学生对于数学内在美的感悟能力。 【教学重点】 使学生理解数学归纳法的实质，掌握数学归纳法的证题步骤 【教学难点】 如何理解数学归纳法证题的有效性；递推步骤中如何利用归纳假设 【授课类型】 新授课 【课时安排】 1课时 【教学准备】 多媒体、实物投影仪 【教学过程】 一、复习引入： 1．归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法。特点：特殊→一般 2．不完全归纳法：根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法。 3．完全归纳法：把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法。 完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法。与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的。通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法。 4．数学归纳法：对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性： )时命题成立，证明当n=k+1先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(k N*，k≥n 时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法
5． 数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数n 0，如果当n=n 0时，命题成立，再假设当n=k(k ≥n0，k ∈N*)时，命题成立。(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n 0的正整数n 0+1，n 0+2，…，命题都成立。 6．用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤： （1）证明：当n 取第一个值n 0结论正确； （2）假设当n=k(k ∈N*，且k ≥n 0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确。 由（1），（2）可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确 二、讲解范例： 例1用数学归纳法证明 6 )12)(1(3212222++=++++n n n n 例2用数学归纳法证明 2)1()13(1037241+=+++?+?+?n n n n 三、课堂练习： 1．用数学归纳法证明：().125312n n =-++++ 证明：（1）当1=n ，左边=1，右边=1，等式成立。 （2）假设当k n =时，等式成立，就是(),125312k k =-++++ 那么()()[]11212531-++-++++k k ()[]1122-++=k k 122++=k k ().12+=k 这就是说，当1+=k n 时等式也成立。 根据（1）和（2），可知等式对任何的*N n ∈都成立。 2．用数学归纳法证明()()(),1121531n n n n -=--+-+- 当1=n 时，左边应为_____________。 3．判断下列推证是否正确，并指出原因。 用数学归纳法证明：126422++=++++n n n 证明：假设k n =时，等式成立 就是 126422++=++++k k k 成立 那么()122642++++++k k ()1212++++=k k k =()()1112++++k k 这就是说当1+=k n 时等式成立， 所以*N n ∈时等式成立。
数学归纳法 第一课时 2.3 数学归纳法（一） 教学要求：了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写. 教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 教学难点：数学归纳法中递推思想的理解. 教学过程： 一、复习准备： 1. 问题1： 在数列{}n a 中，*111,,()1n n n a a a n N a +==∈+，先算出a 2，a 3，a 4的值，再推测通项a n 的公式. （过程：212a =，313a =，414a =，由此得到：*1,n a n N n =∈） 2. 问题2：2()41f n n n =++，当n ∈N 时，()f n 是否都为质数？ 过程：(0)f =41，(1)f =43，(2)f =47，(3)f =53，(4)f =61，(5)f =71，(6)f =83，(7)f =97，(8)f =113，(9)f =131，(10)f =151，… (39)f =1 601．但是(40)f =1 681=412是合数 3. 问题3：多米诺骨牌游戏. 成功的两个条件：（1）第一张牌被推倒；（2）骨牌的排列，保证前一张牌倒则后一张牌也必定倒. 二、讲授新课： 1. 教学数学归纳法概念： ① 给出定义：归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法. 特点：由特殊→一般. 不完全归纳法：根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫不完全归纳法. 完全归纳法：把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法. ② 讨论：问题1中，如果n =k 猜想成立，那么n =k +1是否成立？对所有的正整数n 是否成立？ ③ 提出数学归纳法两大步：（i ）归纳奠基：证明当n 取第一个值n 0时命题成立；（ii ）归纳递推：假设n =k （k ≥n 0， k ∈N *）时命题成立，证明当n =k +1时命题 也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都 成立. 原因：在基础和递推关系都成立时，可以递推出对所有不小于n 0的正整数n 0+1，n 0+2，…，命题都成立. 关键：从假设n =k 成立，证得n =k +1成立. 2. 教学例题： ① 出示例1：2222*(1)(21)123,6n n n n n N ++++++=∈. 分析：第1步如何写？n =k 的假设如何写？ 待证的目标式是什么？如何从假设出发？ 小结：证n =k +1时，需从假设出发，对比目标，分析等式两边同增的项，朝目标进行变形. ② 练习： 求证：2*1427310(31)(1),n n n n n N ?+?+?+++=+∈ . ③ 出示例2：设a n …n a n <12(n ＋1)2. 关键：a 1k +<12(k ＋1)22212(k +1)2+(k +32)