随着社会的进步，随着现代经济的飞速发展，高等数学知识在社会各个领域的应用日益广泛，很显然高等数学理论在其中确实发挥出了十分积极的作用，这些都在实践中得到了运用与验证。当代西方经济工作者认为，经济学的基本方法是首先对经济变量之间的关系进行精准的分析，利用高等数学知识建立相应的经济模型，使得人们能从理论上分析有关的经济模型，从而给出合理的解释，并且从中引申出经济原则和理论，更好的对经济建设起指导作用，已经有越来越多的人认识到高等数学与现代经济管理是相辅相成的，它们相互促进，共同发展。从长远的角度看，高度抽象的数学理论的发展，定会使数学与经济学，乃至整个客观世界更深刻、更复杂、而又更奇妙地联系着，这无疑给了数学这门古老的、周密的、深刻的经典科学在当今社会大放异彩的机会，更加凸显了数学是科学界的一朵奇葩。
高等数学理论应用于现代经济管理的可行性分析
现代经济管理是经济学门类的综合性应用学科，它融社会科学、自然科学等多学科知识，侧重于总结、摸索实践经验，追求数据分析预测的精准性与思维逻辑的严密性。研究的对象主要是社会的资源配置及社会的经济关系如何进行合理调节与组织的规律与方法。如：通过对财务状况的研究，对未来形势进行预测；通过对国民经济管理研究，分析各种可以预见的经济问题；通过对财政与税收的研究，对财政收入、财政支出、税收、财政管理体制、财政政策等
问题进行分析研究。由此可见，经济数据的分析与预测在现代经济
管理中占有一定份量，有必要借助和运用高等数学这一严密、精确、实用的思维工具来解决一些经济问题。那么，让我们来看几个高等数学知识在经济管理方面的应用实例。
一、导数在最佳营运资金决策上的应用
导数是什么呢？简单来说，导数是函数关于自变量的变化率，在经济学中，也存在变化率的问题。因此我们可以把微观经济学中的很多问题归结到数学中来，用我们所学的导数知识加以研究并解决。经济活动的目的，除了考虑社会效益，对于一个具体的公司，决策者更多的是考虑经营的成果，如何降低成本，提高利润；如何能让公司的资金最大程度的周转，来使公司具备最佳的偿债能力等问题。
营运资金又是什么呢？营运资金，也叫营运资本。广义的营运资金又称总营运资本，是指一个企业投放在流动资产上的资金，具体包括现金、有价证券、应收账款、存货等占用的资金。狭义的营运资金是指某时点内企业的流动资产与流动负债的差额。其作用是，可以用来衡量公司或企业的短期偿债能力，其金额越大，代表该公司或企业对于支付义务的准备越充足，短期偿债能力越好。当营运资金出现负数，也就是一家企业的流动资产小于流动负债时，这家企业的营运可能随时因周转不灵而中断。一家企业的营运资金到底多少才算足够，才称得上具备良好的偿债能力，是决策的关键。如何能让企业具备最佳的偿债能力，这就可以用到导数来进行计算其最佳营运资金。设T 为一个周期内现金总需求量，F 为每次转换有价证券的固定
成本，Q 为最佳现金持有量， K 为有价证券利息率，TC 为现金管
理相关总成本。根据公式：现金管理相关总成本 = 持有机会成本 +
固定性转换成本，我们可以得出：
|)/()2/(F Q T K Q TC *+*=
令：
|
0=dQ dTC
得： TFK Q 2=
所求的Q 的值就是其最佳营运资金。
上述导数在的经济分析中的应用，只是数学在浩人烟海的经济应用
中点滴晶莹的水花，其应用颇为广泛。不仅此而已，对企业经营者来
说，对其经济环节进行定量分析是非常必要的。将数学作为分析工具，
不但可以给企业经营者提供精确的数值，而且在分析的过程中，还可
以给企业经营者提供新的思路和视角，这是数学应用性的具体体现。
因此，作为一个合格的企业经营者，应该掌握相应的数学分析方法，
二、微分方程在新产品的推广中的应用
微分方程作为数学科学的中心学科，已经有三百多年的发展 历史，其解法和理论已日臻完善，可以为分析和求得方程的解（或数
值解）提供足够的方法，使得微分方程模型具有极大的普遍性、有效
性和非常丰富的数学内涵。逻辑斯谛方程, 即常微分方程其意义：当
一个物种迁入到一个新生态系统中后，其数量会发生变化。假设该物种的起始数量小于环境的最大容纳量，则数量会增长。设有某种新产品要推向市场，t 时刻的销量为x(t)，由于产品性能良好，每个产品都是一个宣传品，因此 t 时刻产品销量的增长率与x(t)成正比，同时考虑到产品销量存在一定的市场容量N ，统计表明与尚未购买该产品的潜在顾客的数量 N-x(t)也成正比,于是有：
|)(x N kx dt dx -=
符合逻辑斯谛(Logistic)方程的模型，其通解为|1)(kNt ce N t x -+=
22)1(kNt kNt
ce ke cN dt dx --+= ，|)1()1(23222kNt kNt kNt ce ce e N ck dt x d ---+-=
当|)(N t x <**，有0>dt dx ，表明销量单调增加，当|2
)(N t x =**时， 022=dt x d ；|2)(N t x >**时，|022
x d 即当销量达到最大需求量 N 的一半时，产品最畅销，当销量不足一半时，销量 速度不断增大，当销量超过一半时，销量速度逐渐减少。
研究与调查表明：许多产品的销售曲线与 Logistic 曲线十分接近，许多分析家认为，在新产品推出的初期，应采用小批量生产并加强广告宣传，而在产品用户达到 20% 到 80% 期间，产品应大批量生产，在产品用户超过 8 0 % 时，应适时转产，可以达到最大的经济效益。 利用微分方程理论针对各种实际问题建立的数学模型。一般而言都是动态模型，虽然它的推导过程稍显繁琐，但是其结果却相当简明，并且可以给出合理的解释，从而很好的指导了新产品的推广。
三、概率与数理统计在风险衡量中的应用
概率与数理统计是研究随机现象的一门学科；是对未来和未知进行展望和判断,以求合理的使用人力、物力、财力、高瞻远瞩地获得最大经济效益已广泛的应用于经济管理领域中。风险通常是指某种行动结果所具有的变动性，是财务管理中的一个很重要的概念，在风险的衡量中用到的主要是随机变量的数学期望、方差、标准离差率、协方差等。现在的公司企业将期望和方差运用到管理估算的决策中。期望和方差的数字特征含义可以帮助我们进行合理的选择，为我们科学的决策提供良好的依据，从而最优的实现目标。
1 . 单一资产投资风险衡量。决策者主要通过求标准离差率将决策方案风险加以量化，并据此做出决策：对于单个方案，决策者可根据其标准离差率的大小，并将其通社定的可接受的此项指标最高限制对比，然后进行决策；对于多个方案，选择低风险高收益的方案。例：某企业由A 、B 两个投资项目，两个投资项目的收益率及其概率分布情况如表所示：
项目实施情况该种情况出现的概率投资收益率
项目A 项目B 项目A 项目B
好0.20 0.30 15% 20% 一般0.60 0.40 10% 15% 差0.20 0.30 0 —10%
%
9
2.0
%
10
6.0
%
15
2.0=
*
+
*
+
*
=
EA
%
9%)10(3.0%154.0%203.0=-*+*+*=EB 049.0)09.00(2.0)09.010.0(6.0)09.015.0(2.0)()(2222=-*+-*+-*=*-=∑i
n i i P E X
A δ同理126.0)(=
B δ
|%140)(%,44.5409
.0049.0)(===B V A V 可以看出A 的风险较大。 2.投资组合风险的衡量。 投资者通常不是把自己的全部资金都投放在单一资产上，而是同时向多项资产投资。这时投资组合的总风险由投资组合收益率的方差和标准离差(p δ) 来衡量。
|)(2212122222121R R Cov W W W W p ++=δδδ
例：某企业拟分别投资与 A 资产和 B 资产，其中投资与 A 资产的期望收益率为 8%，计划投资 500 万元；投资于 B 资产的期望收益率为 12% ，计划投资 500 万元。假设投资 A 、B 资产期望收益率的标准离差均为9%。 计算相关系数为+1 时，投资组合的p δ。 |1%,9%,9%,50%,50122121=====ρδδW W
|0081.0),(122121=**=ρδδR R Cov
|09.00081.05.05.0209.05.009.05.02222=???+?+?=p δ
通过上述例子我们可以看出，决策者在决策前后，往往存在许多不能知晓的可变因素，从而所作出的决策不一定符合客观实际情况，所以决策是有风险的。只有符合客观环境的科学的决策才能使决策者获得最大的经济利润，才能尽可能地节约成本。而通过概率与数理统计的分析可以帮助我们进行合理的选择，为我们的科学决策提供良好的
依据，从而最优的实现目标。
四、高等数学建模分析处理经济管理问题
一般来说，数学不能直接处理经济管理领域的客观情况。为了能用数学解决经济管理领域中的问题，就必须建立数学模型。数学模型是为了解决经济管理领域中的问题而作的一个抽象的、简化结构的数学刻画。或者说，经济管理中的数学模型就是为了管理的经济目的，用字母、数字及其他数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构的刻画。
在现代经济管理中，经济数据与形势的预测和分析是一项重要的任务。鉴于此，要将高等数学的理论应用于现代经济管理之中，首先就是要将一个待解决的经济问题归纳总结为与之相对应的数学（或数字）问题，而后运用对应的数学理论，去分析经济问题，得出分析的结果。而这个思维过程，其本身就是高等数学的一个基本理论，即数学建立模型的过程。同时，针对不同类型经济管理问题我们需要建立不同的数学模型如：供需与价格关系数学模型、边际收益模型、价格弹性模型、经济增长的索罗模型、生产函数模型、均衡价格的差分方程模型、利益分配的合作博弈模型、乘数加速数模型、投入产出模型、经济增长与最优财政支出规模模型、税收收入AR 预测模型、消费税税率优化设计模型、斯坦克伯格双寡头垄断动态博弈模型等等。
在这里需要注意的是，由于经济始终处于动态变化之中，在经济管
理中建立数学模型要根据实际问题区别对待和解决，要将所建立数学模型的适用性与准确性放在首位进行考虑，因为在经济学历史上能够经过实践验证，为经济管理人士所普遍应用的数学模型多具有一定的代表性，且能描述事物总体趋势的数学模型。
既然数学建模在经济管理中有如此重要的应用，那么，如何准确的进行数学建模就尤为重要。要尽量使所建立的模型精准明确、有据可依、简便实用，要尽量运用标准的数学模型，并要遵循如下步骤：1.模型准备。要对准备建模的经济管理问题进行周密的调研了解，明确预期目的。通过对问题所涉及的基本情况进行调研和了解，以获取所需的数据资料，并对其进行分组划类。因为经济数据资料的完备性关系到假设是否成立及数学模型对经济分析与预测的质量与精确程度。
2.模型假设。在明确建模目的，掌握必要经济数据的前提上，通过对各组数据进行综合计算分析，找出起决定性作用的经济数据，确定其为主要的变量，对次要的数据予以适当忽略，并提出假设。在这里需要明确的是，经济管理问题的不同假设对经济分析与预测将起到至关重要的影响，所以在进行假设的过程中，要多层次、多角度地进行综合考虑，要将经济活动的内在规律、数据来源的分析以及经验都要作为假设的理论依据，抓住主要因素，舍弃次要因素，尽量将问题线性化、均匀化，写出假设时，语言要精确。
3.建立模型。根据所做的假设，将经济管理问题运用数学语言进
行描述，建立出相应的数学结构，得出数学模型。在建模过程中应注意区分变量的不同类型，并合理地运用数学的工具，如：确定型的变量大多用微积分、线性规划、图论、微分方程、网络等，随意的变量多用随机微分方程、统计、概率等。同时还要注意简化变量之间的关系，建模要精确，符合经济问题对数字精度的要求。
4.模型验证。有了模型之后要反复的推敲，要分析模型能否真正的反映现实问题，能否说明变量之间的关系。还要考虑模型是否有解，有什么样的解，求解过程是否简便，以及有无矛盾之处等。此外，模型的解也可以带入到现实问题中加以验证，看能否解决现实问题，这一点也是至关重要的。
5. 模型求解。可以通过计算软件或相应程序在计算机上对经济管理问题开展模拟试验，对假设方案进行比较与筛选。
6.模型改进。模型必须不断地验证，不断检验，不断完善。在建模过程中，要重视出现的问题，针对问题加以分析，检查建模时的假设和前提是否正确，考虑变量之间关系能否进行重新调整，针对问题进行调整，然后再重复检验，重复修改，直到符合要求为止，所以这个过程往往是循环反复的，不断推进的。
7.模型应用。只有通过多次检验，符合实际问题的数学模才可以用。利用模型研究各种现象之间的关系，推测现象的发展趋势，预测可能出现的各种结果。对于好的结果，要加以继续扩大应用；不利的结果要未雨绸缪，提前做好准备，加以控制和干预，争取最大程度的减小
损失。
当然，在模型建立的过程中，这些步骤不是一成不变的，有事可以反复进行，比如检验后发现模型和实际问题问题相差甚远，就要重新分析问题，重新加以简化，重新完善原始假定等。所以建模过程是一个完整的过程，不能生搬硬套，需要灵活应用。
为了体现数学模型在经济管理中的应用价值，下面通过两个简单的例子加以说明。
（1）问题提出
假设有甲乙两家企业，其边际成本分别为,,21C C 需求的反函数为Q bQ a Q P ,)(-=为两家企业的总产量，21q q Q +=。其中b a ,为两个正常数，P 为产品的价格，21,q q 分别为两家企业的产量。若乙企业先宣布
其产量是2q ，问两家企业如何安排生产，才能使各自的利润达到最大
值。
（2）分析解决问题
本题是一个如何安排生产的问题，最终甲乙两家企业要使各自的利润达到最大化，不妨设甲乙两家企业的利润函数分别为),,(),,(212211q q q q ππ则
[]11121111211)(),(q C q q q b a q C Pq q q -+-=-=π
[]22221222212)(),(q C q q q b a q C Pq q q -+-=-=π
一方面，由于乙企业先宣布其产量2q ，那么甲企业应该根据乙的选择
加以抉择，也就是选择合适的1q ，使其利润函数),(211q q π达到最大值，
故需要0),(1211=??q q q π，即[]0)(),(12111
211=-+-+-=??C q q b a bq q q q π. 从上式可求出1q ，并记为*1q ，则*1q =
.212b C bq a -- 另一方面，乙企业在率先宣布其产量为2q 时，就能预测到甲企业会选
择产量*1q ，故乙企业会在其利润函数),(212q q *π达到最大值时，安排生产。鉴于两个企业产量决策有先有后，就产生了博弈，此时的模型就是一个动态的博弈模型。当乙企业的利润函数),(212q q *π达到最大值
时，需要2
212),(dq q q d *
π=0，即 2212),(dq q q d *π=212212C C bq a -+-=0 从上式可求出2q ，并记为*2q ，则 *2q =
b C C a 2221-+ 再把 *2q 代入*1q ，得 *1q =b
C C a 42321+- 此时，*1q ，*2q 满足斯坦特伯格（Stacklberg)均衡，即能使两个企业的
利润均达到最大值．企业的管理者即可据此加以决策生产。当然模型还得作进一步的检验和改进，在这就不多做说明了。
在高等数学知识里面还有一个重要的数学模型—线性规划模型，成为现代经济管理中经常被采用的基本方法之一。它是帮助人们进行科学管理的一种有效的数学方法。
发展生产力，提高经济效益是人类发展不可或缺的要求。而提高经济效益有两种途径：一是技术改进：如开发新工艺，新能源等；二是生产组织与生产计划的改进，即是合理利用现有的人力，物力资源，
使经济效益达到最好。而线性规划研究的是：在一定条件下，合理安排人力物力资源，使经济效益达到最好。
一般地，线性规划的目标是求目标经济函数在线性约束条件下的最大值与最小值问题。决策变量，约束条件，目标函数是线性规划的三要素，其中决策变量是实际问题中的未知因素，也是决策系统中的可控因素。目标函数是将实际系统中的目标用数学形式表示出来，常用等式或不等式来表示；约束条件是指实现目标的限制因素，它涉及到经济管理的各个方面，如原材料的供应，计划指标，市场销售状态，产品质量要求等。
线性规划数学模型是描述实际问题的数学形式，它反映了实际问题数量间的本质规律。由于实际问题往往比较复杂，建立线性规划数学模型时，对某一个问题要认真分析，抓住最本质的因素，用简单的数学式子将其描述出来，使建立的数学模型既简单又能正确地反映问题的本质。
下面介绍一个关于投资的线性规划的数学模型案例：
案例1：投资模型
设有下面4个投资机会：
项目ａ：从第一年到第四年每年年初需要投资，并与次年年末回收本利115%；
项目b：从第三年年初需要投资到第五年末回收本利125％，但规定最大投资额不超过4万元；
项目c ：第二年初需要投资，到第五年末才能回收本利140％，但规定最大投资额不超过3万元；
项目d ：五年内每年初可买公债，于当年末归还，并加利息6％。
该部门现有资金10万元，问它应如何确定给这些项目每年的投资额，使到第五年末拥有的资金的本利总额最大?试建立求出最优投资方案的数学模型。
1．建模步骤：
（1）确定问题的决策变量，即id ic ib ia x x x x ,,,分别为第i 年投向a ，b ，c ，
d 项目的投资额(i=1，2，3，4，5)。
(2)确定问题的目标函数：设Z 为第五年末拥有资金的本利息总额，通过下面分析来找Z 的表达式。
（3）资金流转分析：确立约束条件。
原则1：每年年初将手头全部资金投出去，因此第一年年初应将10万元全部投给a ，b 两个项目即10000021=+d d x x 。
原则2：第一年年底回收各项投资的本息即为第二年年初手头拥有的投资总额，又全部投入第二年初可能有的投资机会，故有
d d c za x x x x 122%106=++。
以此类推，每年年初投资额=头年末返回本利总额，于是有：
d a d d
a d a d
a d
b a x x x x x x x x x x x x 435324421333106%115%106%115%106%115+=+=++=++
以上资金流转分析，再加上各种金额的限制，即为问题的约束条
件。目标函数应该是四项投资在第五年末回收的本利之和，即以下四项之和：d b c a x x x x 5324%106,%125,%140,%105。
所以问题的数学模型是：
d b c a x x x x X 532406.125.140.115.1max +++=
???????????????=≥≤≤=+--=+-+-=+-++-=+++-=+.
5,4,3,2,10
,,,3000040000006.115.1006.115.1006.115.1006.110000032543434233331222111i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x id ic ib ia b c
d d a d d a a d d b a a d c a d d a 2.Mathematica 软件求解
运行结果，得到下列最优投资方案：
第一年：609.347821=a x 元，439.391301=d x 元
第二年：439.391302=a x 元，300002=c x 元，02=d x
第三年：03=a x 元，400003=d x 元，02=d x
第四年：450004=a x 元，04=d x
第五年：05=d x
到第五年末期拥有总金额为143750元，即盈利43.75%。
投资模型的一般表述：
一般地，投资问题可描述如下：有n 个投资项目，一定的投资金额，须从中选择有最高收益的最优投资方案。现在需要确定在投资金额一
定的前提下，如何合理地分配在n个投资项目，才能使收益最高。
以上两个例子可以看出，线性规划在经济管理工作中可以从整体统筹规划，尽量达到用最少的人力物力资源去完成任务，或在人力物力资源一定的前提下，合理规划统筹，以达到最高的经济效益。
线性规划的优势在于它是通过建立模型，运用严格的数学方法，并借助了图表和计算机等手段求解，并以所得数据指导企业，政府机构，银行管理部门选择最优的资产组合方式，以实现最大的管理目标；它除了能在满足各方面的限制和条件下获得最大收益外，还能表现在一个或多个的约束条件发生变化时最优的资产组织的变化；在条件比较复杂的情况下，甚至还可应用多重目标线性规划来替代单一目标线性规划，并为一组相互冲突的目标和在数种解决方案中进行权衡抉择，从而得出一组最可行的最优方法。因此，线性规划在企业经营决策，计划投资，优化组合方面起着重要的作用。总之，线性规划法是一种较先进和科学的进行经济管理的方法。目前，已有相当的企业、银行及管理部门采用线性规划法来解决生产上及投资规划上的各种问题，并取得相当好经济效益或投资回报。
通过以上对高等数学知识在经济管理中的应用分析，我们可以看出高等数学知识在经济管理中有着无比重要的作用。但这样也只是看到了冰山一角，
《高等数学》（经管类）考试大纲一、课程性质及设置目的及总体要求 《微积分》课程是经济类专业的一门重要的基础理论课，它是为培养适应我国社会主义现代化建设需要的高质量经济类管理专门人才服务的。 通过本门课的学习，使学生获得微积分方面的基本理论知识、基本运算技能和基本数学方法，其中包括极限理论、一元微积分、二元微积分、级数理论、常微分方程和差分方程等知识，为工作获得必要的数学知识和为后继学习奠定必要的数学基础。 在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有比较熟练的运算能力、抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力。还要培养学生具有抽象概括问题的能力和综合运用知识来分析解决问题的能力。 二、考核内容及考核目标 (一) 函数 1. 理解实数、实数绝对值及邻域的概念。掌握简单绝对值不等式的解法。 2. 理解函数、函数的定义域和值域等概念，知道
函数的表示法。 3. 知道函数的单调性、有界性、奇偶性、周期性并掌握其图形的特征。 4. 了解反函数的概念，知道函数与反函数的几何关系，给定函数会求其反函数。 5. 理解复合函数的概念，掌握将一个复合函数分解为较简单函数的方法。 6. 熟练掌握基本初等函数的性质及图形。 7. 理解初等函数的概念，了解分段函数的概念。 8. 会建立简单应用问题的函数关系。 (二) 极限与连续 1. 理解数列与函数极限的概念。（关于数列与函数极限的分析定义不作过高的要求。） 2. 理解无穷小量的概念和基本性质，掌握无穷小量比较的方法，了解无穷大量的概念，知道无穷小量与无穷大量之间的关系。 3. 了解两个极限存在的准则，并能用于求一些简单极限的值。 4. 熟练掌握两个重要极限及其应用。 5. 理解函数连续性与间断的概念，掌握函数间断点的分类，掌握讨论分段函数连续性的方法。 6. 了解连续函数的性质，理解初等函数在其定义
利用换元法解分式方程的四种常见类型 一、直接换元 例1 解方程015)1 (2)1(2=----x x x x . 解：设 y x x =-1 ，则原方程可化为01522=--y y . 解得 5,321=-=y y . 当3-=y 时，31 -=-x x ，解得 43=x ； 当5=y 时，51=-x x ，解得 45 =x . 经检验，4 5 ,4321==x x 是原方程的根. 二、配方换元 例2 解方程 1)1 (3)1(22 2 =+-+ x x x x . 解：原方程配方，得 05)1 (3)1(22=-+-+x x x x . 设,1y x x =+则05322 =--y y . 解得 25 ,121=-=y y . 当1-=y 时，,11-=+x x 即012 =++x x . 因为0311412 <-=??-=?， 所以方程012 =++x x 无实数根. 当25=y 时，,2 51=+x x 即02522 =+-x x . 解得 21 ,221==x x . 经检验，2 1 ,221==x x 是原方程的根. 三、倒数换元 例3 解方程 031 ) 1(21122=-+++++x x x x . 解：设 y x x =++1 12，则原方程可化为032 =-+y y .
去分母，整理，得0232 =+-y y ，解得 2,121==y y . 当1=y 时， 11 1 2=++x x ，即02=-x x . 解得 1,021==x x . 当2=y 时， 21 1 2=++x x ，即0122=--x x . 解得 21,2143-=+=x x . 经检验，,1,021==x x 21,2143-=+=x x 都是原方程的根. 四、变形换元 例4 解方程12 22 242 2 =+-+ -x x x x . 解：原方程可变形为052 22 )22(22 2 =-+-+ +-x x x x . 设y x x =+-222 ，则原方程可化为052 2=-+ y y . 去分母，整理，得02522 =+-y y . 解得 2 1,221= =y y . 当2=y 时，2222 =+-x x ，即022 =-x x . 解得 2 1,021==x x . 当21= y 时，2 1222 =+-x x ，即03242=+-x x . 因为044344)2(2 <-=??--=?， 所以方程03242 =+-x x 无实数根. 经检验，2 1 ,021= =x x 是原方程的根. 例1 解方程 分析 括号里的分式相同，由这个特点，知可用换元法来解。
二、换元法 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。 换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。 它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。 换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4x ＋2x －2≥0，先变形为设2x ＝t （t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。 三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y ＝x ＋1-x 的值域时，易发现x ∈[0,1]，设x ＝sin 2α ，α∈[0,π2 ]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x 、y 适合条件x 2＋y 2＝r 2（r>0） 时，则可作三角代换x ＝rcos θ、y ＝rsin θ化为三角问题。 均值换元，如遇到x ＋y ＝S 形式时，设x ＝S 2＋t ，y ＝S 2 －t 等等。 我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的t>0和α∈[0,π2 ]。 例1. 实数x 、y 满足4x 2－5xy ＋4y 2＝5 （ ①式） ，设S ＝x 2＋y 2，求 1S m a x ＋1S min 的值。（93年全国高中数学联赛题） 【分析】 由S ＝x 2＋y 2联想到cos 2α＋sin 2 α＝1,于是进行三角换元，设x S y S ==???? ?cos sin αα代入①式求S max 和S min 的值。 【解】设x S y S ==?????cos sin αα 代入①式得： 4S －5S ·sin αcos α＝5 解得 S ＝10852-sin α ；
数学与应用数学专业的发展 数学与应用数学专业是国内各大高校的重点专业，培养理论与实践双能型的人才，应该重视这门学科的发展。但是新型学科在发展的道路上，还要不断进行改革创新，不断完善它的体系与理念，培养出数理理论功底深厚、实践能力强的专业型、技术型人才。同时，也应加强学科建设，弥补体系缺陷，将数学与应用数学推向更高峰。 1 数学与应用数学专业的人才培养 1.1 通过理论教育培养人才 在传统教育理念中，学生主要是通过教师传道授业解惑这一过程获取知识，换句话说，人才培养主要是指在学校学习理论知识。在中国，从学生接受教育开始，就会接触到数学这一门学科，它为今后的学习打下了坚固的理论基础。 数学与应用数学专业包含很多分支，面对许多的科目，在学习过程中也需要记忆，例如公式、单位、图形理解等，这样才能拥有扎实的理论功底。当然，教师的讲解也是不可忽视的一部分，学校应注重教师质量，聘请高素质的人才队伍进行教学。当前社会应用数学发展的势头很迅猛，社会发展需要新的人才源源不断的注入新的活力。只有掌握了充足的理论，才能进行实践，因此，数学与应用数学在人才培养上要以理论教育为主，实践为辅，才能取得新发展。 1.2 通过实践教育培养人才 伴随着改革开放，教育教育也迎来了全面的改革，人才强国、科教兴国的战略使我们的教育方式也有所改变，不再是单一的教学模板，而是融入了实践教学模式。通过这一方式，可以更加有效地激发学生的学习兴趣，实践证明学习效果也很显著。理论与实践相结合，灵活运用实践教学，帮助学生巩固理论知识。学校都设有专门的实验室，老师先讲解理论知识点，再将学生带到实验室，进行实践操作，比如，物理上的电流、电路测试实验，化学上化学物质之间的化学反应实验等，在实验的过程中就会加深理解，完全掌握原理。 数学与应用数学专业的学科课程也包括数学实验这一模块，要求学生具备运用专业基础知识解决问题的能力，因此有条件的学校要加大投入，完善学校的硬件设施，给学生提供实验的平台，使学生能够自由的参与实验。另一方面，国家政策也要给予支持，加大科研资金的投入。 实践证明，只有理论与实践相结合的教育方式才是最适合学生的，才能够充分发挥学生的创造力，培养出专业人才，而数学与应用数学这一专业尤其如此，这样才能促进学科更好的发展。 2 数学与应用数学专业的学科建设 数学与应用数学的发展不是一帆风顺的，它面临着很多挑战和机遇。信息时代来临，信息技术发展迅速，并渗透到社会的各个方面，以计算机为媒介的信息传播快，范围广，并深刻影响着经济、政治、科技、教育等各个方面。在这种情况下，教育也受到影响，数学与应用数学与信息关系密切，这对数学与应用数学专业是一个机遇。 同时，信息社会也是一把双刃剑，意味着专业体系要有所变革，学科内容应适当增加和修改。信息化社会应与国际接轨，向更宽阔的平台学习，借鉴外国的学科设计，尝试建立起一套更先进完善的学科体系。学生学习以学科为基准，学科体系更完备，知识体系也就能够完备。专业课程有专业课也有公共课，在公共课这一方面就根据学生的个人兴趣选择，开设的学科趋向人性化和国际化。 3 数学与应用数学的课程理论改革 每个专业都有自己的一套完备的体系作支撑，并以体系来指导教学数学与应用数学专业课程，按什么（下转第85页）（上接第63页）顺序进行教学，专业课程有哪些，都是课程体系的内容。
参考答案与提示 习题1-2 1、 7)0(=f ；27)4(=f ； 9)2 1 (=-f ； 732)(2+-=a a a f ； 62)1(2++=+x x x f 2、1)2(-=-f ；0)1(=-f ；1)0(=f ；2)1(=f 3、（1）[)(]1,00,1 -；（2）1>x （3）[]3,1- （4）()()()+∞∞-,22,11, 4、（1）x y 2cos 2+= （2）2 3cot x arc y = 习题1-3 1. （1）5；（2）1；（3）不存在；（4）不存在 2．（1）2；（2） 25；（3）2 3 ；（4）32-；（5）12-；（6）1. 习题1-4 1. (1)无穷小；（2）无穷大；（3）无穷大（∞-）；（4）- →0x 时是无穷小；+ →0x 时是无穷大； 2. （1）同阶无穷小；（2）高阶无穷小；（3）等价无穷小 3. （1）1；（2） 21；（3）2 3 ；（4）1 习题1-5 （1）．24;（ 2）.0;（ 3）.35；（4）.∞；（5）.50 30 305 32?；（6）.21-；（7）.0；（8）.1259-；
（9）. 24 9 25+；（10）.0 习题1-6 1．（1） 35；（2）1x x sin lim x -=-→ππ ；（3）4；（4）32（5）2；（6）2 2．（1）8 e ；（2）1 -e ；（3）3 2 - e ；（4）2-e （5）5 e ；（6）e 习题1-7 1.1=a ；1=b 2.（1）1±=x 是第二类间断点中无穷间断点；（2）0x =是第二类间断点中的无穷间断点；（3）1=x 是第一类间断点中可去间断点；（4）1-=x 是第二类间断点中的无穷间断点，1=x 是第一类间断点中的跳跃间断点 3.（1）)1ln(+e ；（2） 23 2 ；（3）e a log 3；（4）1 复习题一 1、（1）1；（2）[]2,1)0,2(?-； （3）[)3,0；（4）3；（5）k e ；（6）2 3 ；（7）2；（8）第一类间断点且可去间断点 2、（1）C ；（2 C （A.1x y -=；1x y .C --=）；（3）B ；（4）B ；（5）C ； （6）D ；（7）A ；（8）A 3、（1）34；（2）3 12x x )1x sin(21x lim =-+-→； （3）2 -e ；（4）1)x (sin x sin 330x lim =→；（5）31；（6） 0)2x (sin x x 3 x 2 x lim =+-+∞→； （7）a cos ；（8）4 π - 4、1=a 5、2 3 = a 6、6 b ,4a == 7、（1） 2 1 ；（2）a 2
中国矿业大学徐海学院2009－2010学年第二学期 《高等数学》（经管类）期末试卷 考试时间：120分钟 考试方式：闭卷 、班级： 姓名： 学号：___________ 题 号 一 二 三 四 总分 阅卷 人 题 分 15 15 48 22 100 得 分 考生注意：本试卷共7页，四大题，草稿纸附两张，不得在草稿纸上答题。 一、填空题（每小题3分，共15分） 1. 二 元 函 数 ) ln(y x z +=的定义域为 __________________. 2. 级数∑∞ =-1 )5(n n n x 的收敛域为 . 3. 通解为x x e c e c y 221-+=的二阶常系数线性齐次微分方程是 ____ 4. 设)ln(),,(z xy z y x f +=，则(1,2,0) df = . 5. 1 93lim 0-+-→→xy y x e xy = . 二、选择题（每小题3分，共15分） 1. 若|a r |=|b r |=2，且∠(a r ,b r )=3 π，则a r ?b r = ( ) A. 2 B. 4 C. 0 D. 6 2. 设函数z x y =-232 2 ，则（ ） A ．函数z 在点(,)00处取得极大值 B ．函数z 在点(,)00处取得极小值
C ．点(,)00是函数z 的最大值点或最小值点，但不是极值点 D ．点(,)00非函数z 的极值点 3.将极坐标下的二次积分?? = 24 sin 20 )sin ,cos (π π θ θθθdr r r rf d I 化为直角坐 标系下的二次积分，则=I （ ）. A ．?? -1 12 ),(x x dy y x f dx ； B ．? ? --1 0112),(x x dy y x f dx ； C ．?? ?? -+2 1 20 1 00 2 ),(),(y y y dx y x f dy dx y x f dy D ． ?? -10 22 ),(y y y dx y x f dy ； 4. 设二重积分的积分区域D 是2 2 2x y ax +≤（0>a ），则??= D d σ3（ ）. A. 0 B. 2a π C. 2 3a π D. 3 5. 曲线2221 :1 2 x y z C z ?++=? ?=?? 在xoy 面上的投影方程为 ( ) ( A ) 221 0x y z ?+=?=? ( B ) 22 340 x y z ?+= ?? ?=? ( C ) 120 z x ? = ???=? ||y ≤ ( D ) 120 z y ? = ?? ?=? ||x ≤
第 7 讲 换元法（高中版） （第课时） 换元法? ??? ??? ???? ??? ???? ?? ??????? ????三角代换均值代换 整体代换策略化超越式为代数式化无理式为有理式化分式为整式降次复杂问题简单化非标准问题标准化 用途 重点：1．；2．；3．。 难点：1．；2．；3．；。 我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子。换元的关键是构造元和设元。 换元的实质是转化，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式。换元后要注意新变量的取值范围，它既不能缩小也不能扩大。 换元法在因式分解、化简求值、恒等式证明、条件等式证明、方程、不等式、函数、数列、三角、解析几何等问题中有广泛的应用。 换元的常用策略有：整体代换（有理式代换，根式代换，指数式代换，对数式代换、复变量代换）、三角代换、均值代换等。 整体代换：在条件或者结论中，某个代数式反复出现，那么我们可以用一个字母来代替它， 当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4x ＋2x －2≥0，先变形为设2x ＝t （t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。 三角代换：如果把代数式换成三角式更容易求解时，可以利用代数式中与三角知识的联系进
行换元。例如求函数y ＝x ＋1-x 的值域时，易发现x ∈[0,1]，设x ＝sin 2 α ，α∈[0, π 2 ]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。又如变量x 、y 适合条件x 2 ＋y 2 ＝r 2 （r>0）时，则可作三角代换x ＝rcos θ、y ＝rsin θ化为三角问题。 均值代换：对两个类似的式子，可令其算术平均值为t 进行换元；如果遇到形如 S y x =+ 或 S y x =+2 2 这样的对称结构，可设 x ＝S 2＋t ，y ＝S 2－t 或 t S x +=22 ，t S y +=2 2等等。 1．换元法在方程中的应用 我们知道，解分式方程时一般用“去分母”的方法，把分式方程化成整式方程来解；解无理方程一般用“两边乘方”的方法，将无理方程化成有理方程来解。然而利用这些常规的变形方法解题，有时会产生高次方程，解起来相当繁琐，甚至有时难于解得结果。对于某些方程，我们可以用新的变量来替换原有的变量，把原方程化成一个易解的方程。 例.（高二）如果关于x 的方程 0sin cos 22 2 4 =++θθx x 有相异的四实根，求θ的范围。 分析：此题已知条件的形式比较陌生，我们先看看能不能把它转化为我们所熟悉的形式。 令 t x =2 ，则原方程化为： 0sin cos 22 2=++θθt t ⑴ 使原方程有相异的四实根等价于使方程⑴有两不等正根。 由此得 ?? ? ? ?>>->-=?)4(0sin )3(0cos ) 2(0sin 4cos 4222θθθθ 即 ?? ? ??≠<>0sin 0cos 02cos θθθ 解之得 4 52432ππθππ+<<+ k k 且 )()12(J k k ∈+≠πθ 2．换元法在不等式中的应用 例.（高二）设对所于有实数x ，不等式x 2 log 241()a a +＋2x log 221a a +＋log 2()a a +142 2 >0 恒成立，求a 的取值范围。 分析：不等式中，log 241()a a +、 log 221a a +、log 2()a a +142 2 三项有何联系？对它们进 行变形后再实施换元法。 解： 设 log 2 21 a a +＝t ，则 log 241()a a +＝log 2812()a a +＝3＋log 2a a +12＝3－log 221 a a +＝3－t ， log 2()a a +142 2 ＝2log 2 a a +12＝－2t ， 代入后原不等式简化为 （3－t ）x 2 ＋2tx －2t>0 ，它对一切实数x 恒成立，
数学与应用数学专业的发展 本文从网络收集而来，上传到平台为了帮到更多的人，如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载本文档（有偿下载），另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意！ 数学与应用数学专业的发展 数学与应用数学专业是国内各大高校的重点专业，培养理论与实践双能型的人才，应该重视这门学科的发展。但是新型学科在发展的道路上，还要不断进行改革创新，不断完善它的体系与理念，培养出数理理论功底深厚、实践能力强的专业型、技术型人才。同时，也应加强学科建设，弥补体系缺陷，将数学与应用数学推向更高峰。 1 数学与应用数学专业的人才培养 通过理论教育培养人才 在传统教育理念中，学生主要是通过教师传道授业解惑这一过程获取知识，换句话说，人才培养主要是指在学校学习理论知识。在中国，从学生接受教育开始，就会接触到数学这一门学科，它为今后的学习打下了坚固的理论基础。 数学与应用数学专业包含很多分支，面对许多的科目，在学习过程中也需要记忆，例如公式、单位、图形理解等，这样才能拥有扎实的理论功底。当然，
教师的讲解也是不可忽视的一部分，学校应注重教师质量，聘请高素质的人才队伍进行教学。当前社会应用数学发展的势头很迅猛本文由论文联盟http://收集整理，社会发展需要新的人才源源不断的注入新的活力。只有掌握了充足的理论，才能进行实践，因此，数学与应用数学在人才培养上要以理论教育为主，实践为辅，才能取得新发展。 通过实践教育培养人才 伴随着改革开放，教育教育也迎来了全面的改革，人才强国、科教兴国的战略使我们的教育方式也有所改变，不再是单一的教学模板，而是融入了实践教学模式。通过这一方式，可以更加有效地激发学生的学习兴趣，实践证明学习效果也很显著。理论与实践相结合，灵活运用实践教学，帮助学生巩固理论知识。学校都设有专门的实验室，老师先讲解理论知识点，再将学生带到实验室，进行实践操作，比如，物理上的电流、电路测试实验，化学上化学物质之间的化学反应实验等，在实验的过程中就会加深理解，完全掌握原理。 数学与应用数学专业的学科课程也包括数学实验这一模块，要求学生具备运用专业基础知识解决问题的能力，因此有条件的学校要加大投入，完善学校
一. 单项选择题(共45分,每题3分) 请务必将选择题答案填入下面的答题卡 1. 数列{}n x 有界就是数列{}n x 收敛的( ) A 、 充分条件 B 、 充要条件 C 、 必要条件 D 、 非充分又非必要 条件 2.设极限0(1)(12)(13)a lim 6x x x x x →++++=,则a =( ) A 、 1 B 、 2 C 、 3 D 、 -1 3.当1x →时,函数 1 2111 x x e x ---的极限就是( ) A 、 2 B 、 不存在也不就是∞ C 、 ∞ D 、 0 4.如果函数()y f x =在点0x x =处取得极大值,则( ) A 、 0()0f x '= B 、 0()0f x ''< C 、 0()0f x '=且0()0f x ''< D 、 0()0f x '=或0()f x '不存在 5.若两曲线2 y x ax b =++与3 21y xy =-+在点(1,1)-处相切,则,a b 的值为( ) A 、 0,2a b ==- B 、 1,3a b ==- C 、 3,1a b =-= D 、 1,1a b =-=- 6.某商品的价格P 与需求量Q 的关系为100.01P Q =-,则4P =时的边际收益为( ) A 、 300 B 、 200 C 、 100 D 、 0 7.设函数()f x 可导,且0 lim ()1x f x →'=,则(0)f ( ) A 、 就是()f x 的极大值 B 、 就是()f x 的极小值 C 、 不就是()f x 的极值 D 、 不一定就是()f x 的极值 8.设()f x 就是连续函数,则下列计算正确的就是( ) A 、 11 221 ()2()f x dx f x dx -=? ? B 、 131 ()0f x dx -=?
第8讲 高考中常用数学的方法 ------配方法、待定系数法、换元法 一、知识整合 配方法、待定系数法、换元法是几种常用的数学基本方法.这些方法是数学思想的具体体现,是解决问题的手段,它不仅有明确的内涵,而且具有可操作性,有实施的步骤和作法. 配方法是对数学式子进行一种定向的变形技巧,由于这种配成“完全平方”的恒等变形,使问题的结构发生了转化,从中可找到已知与未知之间的联系,促成问题的解决. 待定系数法的实质是方程的思想,这个方法是将待定的未知数与已知数统一在方程关系中,从而通过解方程(或方程组)求得未知数. 换元法是一种变量代换,它是用一种变数形式去取代另一种变数形式,从而使问题得到简化,换元的实质是转化. 二、例题解析 例1．已知长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长为( ). (A )32 (B )14 (C )5 (D )6 分析及解：设长方体三条棱长分别为x ,y ,z ,则依条件得： 2(xy +yz +zx )=11,4(x +y +z )=24.而欲求的对角线长为222z y x ++,因此需将对称式 222z y x ++写成基本对称式x +y +z 及xy +yz +zx 的组合形式,完成这种组合的常用手段是 配方法.故)(2)(2222xz yz xy z y x z y x ++-++=++=62-11=25 ∴ 5222=++z y x ,应选C . 例2．设F 1和F 2为双曲线14 22 =-y x 的两个焦点,点P 在双曲线上且满足∠ F 1PF 2=90°,则ΔF 1PF 2的面积是( ). (A )1 (B ) 2 5 (C )2 (D )5 分析及解：欲求||||2 1 2121PF PF S F PF ?= ? (1),而由已知能得到什么呢？ 由∠F 1PF 2=90°,得20||||2221=+PF PF (2), 又根据双曲线的定义得|PF 1|-|PF 2|=4 (3),那么(2)、(3)两式与要求的三角形面积有何联系呢？我们发现将(3)式完全平方,即可找到三个式子之间的关系.即
数学与应用数学（师范）专业 四年制本科培养方案 一、培养目标与人才规格 本专业培养德智体全面发展，具有较扎实的专业基础理论、基本知识和基本技能，能适应21世纪发达地区较高的教育要求，胜任基础教育由应试教育向素质教育转轨任务的高素质的中等学校数学教师和教育类人才。同时为更高层次的学历教育输送合格的生源。 本专业的人才规格： 1. 具有健康的身心素质，具有良好的政治品质、思想文化修养和职业道德，热爱教育事业； 2. 掌握本专业所必需的基本理论、基本知识和基本技能，在数学、计算机应用等方面有较扎实的基础、较宽的知识面和修养；受到严格的科学思维训练，初步掌握数学科学的思想方法；具有一定的更新知识、继续学习的能力和应用数学解决实际问题的能力； 3. 能较熟练使用计算机，掌握一些常用计算机语言和数学软件； 4. 具有一定的教学能力和参与社会活动的能力，具备本专业领域初步的科研能力； 5．具有较好的外语水平，在听、说、读、写四个方面全面发展；掌握文献检索、资料查询的基本方法，能运用一种外语阅读专业文献。 6. 具有一定的体育和军事基本知识，掌握科学锻炼身体的基本技能，养成良好的体育锻炼和卫生习惯，受到必要的军事训练，达到国家规定的大学生体育和军事训练合格标准，具备健全的心理和健康的体魄，能够履行建设祖国和保卫祖国的神圣义务。 二、学制 本专业的标准学制为4年，有效学习年限为6学年。 三、学分要求 本专业总学时数为2844，总学分数为167，其中专业必修课中的学位课程为45学分。 四、本专业课程结构特点说明 1．数学基础课程 本部分课程是本专业学生所必须具备的知识，主干课程为：数学分析、高等代数、解析几何、概率论, 数学建模等。 2．专业基础课程 本部分课程是本专业学生为胜任中等学校数学教学工作必须具备的知识，主干课程为：初等数学研究（代数、几何）、数学教育学等。 3. 计算机软件类课程 这部分课程使学生开拓知识面。培养学生具有一定的教学研究能力。主要课程为：C++程序设计，数学试验与数学软件选讲、计算机辅助教育等。 五、毕业与获得学位的条件 参见上海师范大学《学生学习指南》（2013年版）中“实施学分制学生学籍管理办法”及“上海师范大学关于学士学位授予的规定”。
《高等数学》经管类期末考试
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
一、 填空题（本大题共5题，每题2分，共10分。请直接将正确结果填 入各题的空格处） 1. 函数221y x z --=的定义域 ； 2. 由方程z e xz yz xy =+-所确定的隐函数),(y x z z =在点()1,1处的全微分11==y x dz = ； 3. 变换二重积分 ??==b a x a I dy y x f dx I 的积分次序后),( ； 4. 将函数()2cos x x f =展开成x 的幂级数为 ； 5. 微分方程0='-''y y 的通解是 。 二、 选择题（本大题共5题，每题2分，共10分。每小题有四个选项， 其中有且只有一个选项正确，请将正确选项的代号字母填入括号内） 6. 在空间解析几何中方程422=+y x 表示（ ）。 A ．圆 B ．平面 C ．圆柱面 D ．球 面 7. 设函数22y x z =，则=??22x z （ ）。 A. 22y B. xy 4 C. y 4 D. 0 8. 设(){}01,01,≤≤-≤≤-=y x y x D ，则??D dxdy 等于（ ） 。 A ．－1 B ．1 C ．2 D ．－2
9. 级数∑ ∞=121n n （ ）。 A. 发散 B.收敛，其和为2 C.收敛，其和为1 D.收敛，其和为3 10. 下列方程中，（ ）是二阶线性齐次微分方程。 A ．y y dx y d ='+22 B ．y x y '+=''2)( C ．y y x y '+=''2 D ． x y y y +'=''2)( 三、 计算题（本大题共9题，每题7分，共63分。解答须有主要解题步 骤，说明必要的理由） 11. 设),(v u f z =，y x u 2 =，y x v =，求y z x z ????,。 12. 求函数 122++=y x z 在条件03=-+y x 下的极值。 13. ??D xyd σ，其中D 是由抛物线 x y =2及直线2-=x y 所围成的 闭区域。 14. 计算??D dxdy y 2，其中D 为：4122≤+≤y x 。（要求画草图。提示：在极 坐标下计算） 15. 计算由y x z ++=1，1=+y x ，0=x ，0=y 及0=z 所围成 立体的体积（第一卦限）． 16. 判断级数∑∞ =1 2sin n n n α的敛散性； 17. 求幂级数n n x n ∑∞=11的收敛区间与和函数。
数学方法之换元法篇 通过换元法可以把未知问题化为已知问题，把抽象问题化为具体问题，把较复杂的问题化为简单问题. 通过问题化为具体问题，把较复杂的问题化为简单问题. 通过换元可以清楚的认识问题的实质，迅速寻找和选择解决问题的途径的方法. 根据数式的特点常见的换元法有：（1）整体换元；（2）平均数换元法；（3）比值换元法；（4）三角代换法；（5）不等量换元法；（6）根式换元法；（7）倒数换元法；（8）相反数换元法；（9）坐标换元法等等. 一、整体换元 例1：求函数x x x x y cos sin cos sin ++=的最大值. 解析：设 ?? t x x ?y x x t .21 cos sin ),22(cos sin 2-=?≤≤-+=则 ? t t t y .1)1(2 12122-+=+-=故 当.22 1 ,2max +== ??y ?t 时 二、三角换元 例2：求函数2 5x x y -+=的值域. 解析：令????x ],2 ,2[,sin 5π πθθ- ∈=
). 4 sin(10cos 5sin 5|cos |5sin 5π θθθθθ+=+=+?=y 则 因为 2 2 π θπ ≤ ≤- ，所以 .4 34 4 π π θπ ≤ + ≤- 所以1)4 sin(22≤+≤- πθ，得 10 )4 sin(105≤+ ≤-π θ 所以函数的值域为[10 ,5?- ]. 三、平均数换元法 例3： 已知 正 数 .4 25 )1)(1(:,1,≥++=+y y x x ???y x y x?求证满足 证明：由题意可知x ，y 的平均数为2 1，令x =21+θ，y =21-θ（-21<θ<2 1）, 则 .4 11625 23) 1)(1()1)(1(22422θθθ-+ += ++=++xy y x y y x x 显然分子 的值大于等于1625 ， 分母的值大于0小于等于4 1，从而得证. 四、比值换元 例4：已知x ，y ，z 满足x -1=3 2 21-= +z y ，试问实数x ，y ，z 为何值时，x 2+y 2+z 2达到最
数学与应用数学专业排名 各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢 数学与应用数学专业排名 这个是排名~能考上北大那是最好的~ 北京大学 复旦大学 南开大学 浙江大学 中国科学技术大学 北京师范大学 清华大学 吉林大学 山东大学 西安交通大学 四川大学 大连理工大学 南京大学 武汉大学
上海交通大学 华东师范大学 厦门大学 同济大学 苏州大学 南京师范大学 华中科技大学 国防科学技术大学北京理工大学 首都师范大学 东北师范大学 哈尔滨工业大学上海大学 东南大学 中南大学 西北工业大学 兰州大学 北京交通大学 郑州大学 华中师范大学 广西大学 北京工业大学
2011年热门大学,专业排行,志愿填报延伸阅读-------------- 一.填志愿，学校为先还是专业为先？ 一本院校里有名校、一般重点大学，学校之间的层次和教育资源配置，还是有较大差异的。在一本院校中，选学校可能更重要一些。学校的品牌对学生未来就业会产生一定影响。如果你进了名校，但没能进入自己最喜爱的专业，你还可以通过辅修专业等方式，来完善学科知识结构。而且，如今大学生就业专业对口的比例越来越小了，进入一所积淀深厚、资源丰富的学校，有助于全面提升自己的素质与能力。 二本院校中，大部分学校都有鲜明的单科特色。建议考生结合自己的特长、兴趣爱好，以专业为导向来选择学校。 二.如何看待专业“冷门”“热门”？ 专业的热门与冷门，随着经济和社会形势的变化而变化。有些专业，看起来热门，许多学校都开设，招收了许多
学生，导致若干年后人才过剩。有的专业，在招生时显得冷门，但毕业生就业时因为社会需求旺盛，学生成了“抢手货”，而且个人收益也不错。家长可以帮助学生，收集多方信息，对一些行业的发展前景进行预测，带着前瞻性的眼光去填当下的高考志愿。同时，学生也要从自己的特长与兴趣出发来选择专业，有兴趣才能学得更好，日后在就业竞争中脱颖而出。 高校新专业的产生有不同的“源头”。有的是在老专业基础上诞生的，专业内容变得更宽泛一些，此类新专业的分数线通常与往年差不多。有的是某一老专业与其他学科交叉而产生的，这类新专业在培养实力方面可能比老专业弱一些。有的是根据社会需求而设置的全新专业，录取分数线可能会在校内处于较低分数段。 三.高考咨询问些什么？ 4月下旬起，各高校招生咨询会此起彼伏，密度很大。为了提高现场咨询的
高等数学经管类-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
一. 单项选择题（共45分，每题3分） 请务必将选择题答案填入下面的答题卡 1． 数列{}n x 有界是数列{}n x 收敛的（ ） A. 充分条件 B. 充要条件 C. 必要条件 D. 非充分 又非必要条件 2．设极限0(1)(12)(13)a lim 6x x x x x →++++=，则a =（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. -1 3．当1x →时，函数 1 2111 x x e x ---的极限是（ ） A. 2 B. 不存在也不是∞ C. ∞ D. 0 4．如果函数()y f x =在点0x x =处取得极大值，则（ ） A. 0()0f x '= B. 0()0f x ''< C. 0()0f x '=且0()0f x ''< D. 0()0f x '=或0()f x '不存在 5．若两曲线2y x ax b =++与321y xy =-+在点(1,1)-处相切，则,a b 的值为（ ） A. 0,2a b ==- B. 1,3a b ==- C. 3,1a b =-= D. 1,1a b =-=- 6．某商品的价格P 和需求量Q 的关系为100.01P Q =-，则4P =时的边际收益为（ ） A. 300 B. 200 C. 100 D. 7．设函数()f x 可导，且0 lim ()1x f x →'=，则(0)f （ ） A. 是()f x 的极大值 B. 是()f x 的极小值
C. 不是()f x 的极值 D. 不一定是()f x 的极值 8．设()f x 是连续函数，则下列计算正确的是（ ） A. 1 1 221 ()2()f x dx f x dx -=?? B. 1 31 ()0f x dx -=? C. 0+∞-∞ =? D. 11 221 0()2()f x dx f x dx -=? ? 9．设2sin ()sin x t x F x e tdt π+=? ，则()F x （ ） A. 为正常数 B. 为负常数 C. 恒为零 D. 不为常数 10．设直线1158 :121x y z L --+== -，20:23 x y L y z -=??+=?，则12,L L 的夹角为（ ） A. 6 π B. 4π C. 3 π D. 2 π 11．设()f x,y 在点()a,b 处偏导数存在，则极限()() n f a x,b f a x,b lim x →+∞ +--= （ ） A. ()x f a,b B. ()2x f a,b C. ()2x f a,b D. ()1 2 x f a,b 12．设函数()f x 连续，则22 0()dt x d tf x t dx -=?（ ） A. ()2xf x B. ()2xf x - C. ()22xf x D. ()22xf x - 13．设二次积分2sin 0 d (cos ,sin )d I f r r r r π θθθθ=??，则I 可写成（ ） A. 2 2d (,)d x f x y y -? B. 2 20 d (,)d y f x y x -? C. 2 0d (,)d x f x y y ? D. 2 d (,)d y f x y x ? 14．点(0,0)是函数z xy =的（ ） A. 极大值点 B. 极小值点 C. 驻点 D. 非驻点
二、换元法（课时10） 一、知识提要 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化， 这叫换元法. 换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等. 二、例题讲解 例1．（1）已知：x x f l g )12(=+，求)(x f . （2）设实数x 、y 满足0122=-+xy x ，则y x +的取值范围是_________. （3）方程2)22(log )12(log 122=+?++x x 的解集是______________. 解：（1）)1)(1lg(2lg )(>--=x x x f ； （2）设k y x =+，则1044,0122 2≥?≥-=?=+-k k kx x 或1-≤k ； （3）令)12(log 2+x =t ，可得原方程的解集为}0{. 例2．（1）函数223 ) 1(x x x y +-=的值域是_____________. (2)已知：数列}{n a 的11=a ，前n 项和为n S ，241+=+n n a S .求}{n a 的通项公式. 解：（1）令θta n =x ，)2,2(π πθ-∈，则θθθθθθsi n )ta n 1(cos )ta n 1(ta n ta n 23223-=+-=y θθθθθθθθ4sin 412cos cos sin )sin (cos sin cos 22= ?=-=， ∴]4 1,41[-∈y . （2）由241+=+n n a S ，知)2(241≥+=-n a S n n ，
∴)2)((411≥-=--+n a a S S n n n n ，即)2)((411≥-=-+n a a a n n n ∴)2)(2(2211≥-=--+n a a a a n n n n ，令n n n a a b 21-=+，则)2(21≥=-n b b n n ∵11=a ，52=a ，∴31=b ，123-?=n n b ，即n n n a a 22311+?=-+. 两边除以12+n 得：432211=-++n n n n a a ，令n n n a c 2=，则有431=-+n n c c ， ∴)13(41-=n c n ，代入n n n a c 2 =得： 22)13(-?-=n n n a . 例3．实数x 、y 满足4x 2－5xy ＋4y 2＝5 （ ①式） ，设S ＝x 2＋y 2，求m a x 1 s ＋m in 1s 的值.（93年全国高中数学联赛题） 方法1：设?????==α αsin cos s y s x 代入①式得： 4S －5S ·sin αcos α＝5 解得 S ＝α 2sin 5810- ； ∵ -1≤sin2α≤1 ∴ 3≤8－5sin2α≤13 ∴ 1013≤1085-sin α≤103 ∴ m ax 1 s ＋m in 1s ＝310＋1310＝1610＝85 方法2：由S ＝x 2＋y 2，设x 2＝2s ＋t ，y 2＝2 s －t ，t ∈[－S 2，S 2]， 则224t s xy －±=代入①式得：4S ±522 4 t s －=5， 移项平方整理得 100t 2+39S 2－160S ＋100＝0 . ∴ 39S 2－160S ＋100≤0 解得：1013≤S ≤103 ∴ m ax 1 s ＋m in 1s ＝310＋1310＝1610＝85
数学与应用数学专业课程描述 Course Description for the Mathematics and Applied Mathematics 1.基本信息 姓名： 学号： 学院：数学与计算科学学院 专业：数学与应用数学 1．Basic information Name: Students No.: College: Mathematics and Computational Science Specialty:Mathematics and Applied Mathematics 2.教学安排 修业年限：4年（2008.9——2012.7） 拟授学位：理学学士 教学计划：公共必修课53学分，专业必修课40 学分，专业选修课2学分，校公选课8学分， 共 103学分; 2. Teaching arrangements Duration of studying: Four years (From September 2008 to July 2012) Academic degree to be conferred: Bachelor’s degree of Science Teaching plan: The required credits have totaled 103 credits, in
which 53 credits are for public compulsory courses; 40 credits for professional compulsory courses; 2 credits for professional courses; 8 credits for public school courses. 3.2008.9-2011.1已修课程描述 3 . Description of the courses which have been completed from September 2008 to January 2010 1.大学英语College English（9学分） 本课程是面向除英语专业外的学生的基础必修课。它的总体目标是为学生打好语言基础、优化学习方法、增加文化积累、拓展逻辑思维能力，为其毕业后事业的发展提供有力的支持。本课程传授基础知识（常用词汇、实用方法、篇章结构、语言功能等），进行全面的基本技能训练. 1． College English (9 Credits ) The course is an basic obligatory course orientated to all the students but the students who only study English . Its overall target is to supply strong support f or the students’ career development after graduation by laying a good language foundation, optimizing the studying methods, increasing cultural accumulation and developing the ability of logic thinking. Through the course, the students have been taught fundamental knowledge (Common vocabulary, practical methods, text structure, language function and so on) in a systematic way and accepted the overall trainings of basic skills.