新高考数学(理)数列
07 数列的求和(错位相减法求和)
一、具体目标:1.掌握等差、等比数列的求和方法; 2. 掌握等非差、等比数列求和的几种常见方法.
考纲解读:会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和,非等差、等比数列的求和是高考的热点,特别是错位相减法和裂项相消法求和. 二、知识概述:求数列前n 项和的基本方法 (1)直接用等差、等比数列的求和公式求和; 等差:11()(1)
22
n n n a a n n S na d +-=
=+; 等比:11(1)(1)
(1)1n n na q S a q q q =??
=-?≠?-?
公比是字母时需要讨论.
(理)无穷递缩等比数列时, (2)掌握一些常见的数列的前n 项和公式:
()2
1321+=
++++n n n Λ;n n n +=++++2
2642Λ; 2531n n =++++Λ;
()()61213212222++=
++++n n n n Λ;()2
3
33321321??
????+=++++n n n Λ
(3)倒序相加法求和:如果一个数列
{}n
a ,与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数,
那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法.
(4)错位相减法求和:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么
q
a S -=
11
【考点讲解】
这个数列的前n 项和即可用此法来求.q 倍错位相减法:若数列{}n c 的通项公式n n n c a b =?,其中{}n a 、
{}n b 中一个是等差数列,另一个是等比数列,求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比,然后再将所得新和式与原和式相减,转化为同倍数的等比数列求和.这种方法叫q 倍错位相减法. 温馨提示:1.两个特殊数列等差与等比的乘积或商的组合.
2.关注相减的项数及没有参与相减的项的保留.
(5)分组求和:有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,把数列的每一项分成若干项,使其转化为等差或等比数列,先分别求和,再合并.
形如:n n b a +其中????
?是等比数列
是等差数列n
n b a ,()()???∈=∈-==**
N k k n n g N k k n n f a n ,2,,12, (6)合并求和:如求2
2222212979899100-++-+-Λ的和.
(7)裂项相消法求和:把数列的通项拆成两项之差,正负相消剩下首尾若干项. 常见拆项:
111;(1)1n n n n =-++ 1111;(21)(21)22121n n n n ??
=- ?-+-+?? 1111
(1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n ??=-
??+++++??
;n n n n -+=++11
1.
【错位相减法例题解析】 1.【2018优选题】求和:n n n S 2
1
813412211?++?+?+?
=Λ 【解析】由n n n S 21
813412211?++?+?+?=Λ
得:()n
n n n n S 21
21121321211132?+?-++?+?+?=-Λ(1)
14322
1
21)1(2132122121+?+?-++?+?+?=n n n n n S Λ(2) 将(1)—(2)得:231111111
222222
n n n S n +=++++-?L
整理得:12n S 11111221212
n n n +??- ???
=
-?-,所以求得:111222n n n S n -=--?()n N *∈. 关注:参与相减的项.
【变式】求和:n n n S 21)12(815413211?-++?+?+?=Λ . 【解析】由n n n S 2
1
)12(815413211?-++?+?+?=Λ
得:
)n n n S 2
1
1)32(1?--+=Λ(1)
两边同乘以
1
2得,)12
11)32(121+?--+=n n n S Λ(2) 将(1)—(2)得:
()2311111
112212222
22n n n S n +??=++++--? ???L 12n S ()211111112222112212
n n n -+??
- ???
=+?
--?-
12n S ()1131121222
n n n -+=---? 所以可得:()211
32122
n n n S n -=---?()n N *∈.
1.【2019年高考天津卷文数】设{}n a 是等差数列,{}n b 是等比数列,公比大于0,已知
1123323,,43a b b a b a ====+.
(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式;
【真题分析】
(2)设数列{}n c 满足2
1n n n c b n ??=???,为奇数,,为偶数.求*
112222()n n a c a c a c n +++∈N L .
【解析】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ,等比数列{}n b 的公比为q . 依题意,得2
332,3154,q d q d =+??
=+?解得3,3,d q =??=?故133(1)3,333n n
n n a n n b -=+-==?=.
所以,{}n a 的通项公式为3n a n =,{}n b 的通项公式为3n n b =.
(2)112222n n a c a c a c +++L ()()135212142632n n n a a a a a b a b a b a b -=+++++++++L L
123(1)36(6312318363)
2n n n n n -?
?=?+?+?+?+?++?????
L ()2123613233n n n =+?+?++?L .
记1213233n n T n =?+?++?L ,①则231313233n n T n +=?+?++?L ,②
②?①得,()12
3
1
1
313(21)33
23333
3
133
2
n n n n n
n n T n n +++--+=---?=-
+?=
--+-L . 所以,12
2
112222(21)3336332n n n n n a c a c a c n T n +-++++=+=+?L ()22(21)369
2
n n n n +*-++=∈N . 【答案】(1)3n a n =,3n
n b =;(2)22(21)369
()2
n n n n +*-++∈N
2.【2018年高考浙江卷】已知等比数列{a n }的公比q >1,且a 3+a 4+a 5=28,a 4+2是a 3,a 5的等差中项.数列
{b n }满足b 1=1,数列{(b n +1?b n )a n }的前n 项和为2n 2+n . (1)求q 的值;
(2)求数列{b n }的通项公式.
【解析】本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识,同时考查运算求解能力和综合应用能力.
(1)由42a +是35,a a 的等差中项得35424a a a +=+,所以34543428a a a a ++=+=,解得48a =.
由3520a a +=得18()20q q
+=,因为1q >,所以2q =.
(2)设1()n n n n c b b a +=-,数列{}n c 前n 项和为n S .由11,1,
, 2.n n
n S n c S S n -=?=?-≥?解得41n c n =-.
由(1)可知12n n a -=,所以111(41)()2n n n b b n -+-=-?,故2
11(45)(),22
n n n b b n n ---=-?≥,
11123221()()()()
n n n n n b b b b b b b b b b ----=-+-++-+-L 23111
(45)()(49)()73222n n n n --=-?+-?++?+L .
设22
1113711()(45)(),2222
n n T n n -=+?+?++-?≥L ,
2211111137()(49)()(45)()22222
n n n T n n --=?+?++-?+-?L 所以22111111344()4()(45)()22222n n n T n --=+?+?++?--?L ,因此2
114(43)(),22
n n T n n -=-+?≥,
又11b =,所以2
115(43)()2
n n b n -=-+?.
【答案】(1)2q =;(2)2
115(43)()2
n n b n -=-+?.
3.【2017年高考天津卷】已知{}n a 为等差数列,前n 项和为()n S n *
∈N ,{}n b 是首项为2的等比数列,且
公比大于0,2312b b +=,3412b a a =-,11411S b =. (1)求{}n a 和{}n b 的通项公式;
(2)求数列221{}n n a b -的前n 项和()n *
∈N .
【解析】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ,等比数列{}n b 的公比为q .
由已知2312b b +=,得21()12b q q +=,而12b =,所以2
60q q +-=. 又因为0q >,解得2q =.所以,2n
n b =.
由3412b a a =-,可得138d a -= ①.由114=11S b ,可得1516a d += ②, 联立①②,解得11a =,3d =,由此可得32n a n =-.
所以,数列{}n a 的通项公式为32n a n =-,数列{}n b 的通项公式为2n
n b =.
(2)设数列221{}n n a b -的前n 项和为n T ,由262n a n =-,12124n n b --=?,有221(31)4n
n n a b n -=-?,
故23245484(31)4n
n T n =?+?+?++-?L ,
23414245484(34)4(31)4n n n T n n +=?+?+?++-?+-?L ,
上述两式相减,得2
3
1
12(14)324343434(31)4
4(314
n n
n n T n n +?--=?+?+?++?--?=---
-L 111)4(32)48n n n ++?=--?-,得1328
433n n n T +-=
?+. 所以,数列221{}n n a b -的前n 项和为1328
433n n +-?+. 【答案】(1)32n a n =-,2n
n b =;(2)1328433
n n +-?+. 4.【2017年高考山东卷文数】已知{}n a 是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==. (1)求数列{}n a 的通项公式;
(2){}n b 为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列{
}n
n
b a 的前n 项和n T . 【解析】(1)设{}n a 的公比为q ,由题意知22111(1)6,a q a q a q +==.又0n a >,解得12,2a q ==, 所以2n n a =. (2)由题意知:121211(21)()
(21)2
n n n n b b S n b +++++==+,又2111,0,n n n n S b b b +++=≠所以21n b n =+,
令n n n b c a =
,则212n n
n c +=, 因此122313572121,22222n n n n
n n T c c c --+=+++=+++++
L L
又23411
3572121222222n n n n n T +-+=
+++++L , 两式相减得2111311121()2
22222
n n n n T -++=++++-L , 所以2552n n
n T +=-
. 【答案】(1)2n
n a =;(2)25
52
n n
n T +=-
5.【2017年高考山东卷理数】已知{x n }是各项均为正数的等比数列,且x 1+x 2=3,x 3-x 2=2.
(1)求数列{x n }的通项公式;
(2)如图,在平面直角坐标系xOy 中,依次连接点P 1(x 1, 1),P 2(x 2, 2),…,P n+1(x n+1, n +1)得到折线P 1 P 2…P n+1,求由该折线与直线y =0,11n x x x x +==,所围成的区域的面积.
【解析】(1)设数列的公比为q ,由已知0q >.
由题意得,所以,
因为0q >,所以,因此数列的通项公式为
(2)过…,向
轴作垂线,垂足分别为…,, 由(1)得
记梯形的面积为. 由题意, 所以…+
=…+ ①, 又…+ ②,
①-②得1211
32(222)(21)2n n n T n ----=?++++-+?L
= 所以 【答案】(1)1
2n n x -=;(2)
n
T {}n x 1121132
x x q x q x q +=??-=?2
3520q q --=12,1q x =={}n x 1
2.n n x -=123,,,P P P 1n P +x 123,,,Q Q Q 1n Q +11
1222.n n n n n x x --+-=-=11n n n n P P Q Q ++n b 1
2(1)2(21)22
n n n n n b n --++=
?=+?123n T b b b =+++n b 101325272-?+?+?+32
(21)2(21)2n n n n ---?++?0122325272n T =?+?+?+21
(21)2(21)2n n n n ---?++?11
32(12)(21)2.212n n n ---+
-+?-(21)21.2
n n n T -?+=(21)21
.2
n n n T -?+=
1.【2019优选题】已知数列,设,数列. (1)求证:是等差数列; (2)求数列的前n 项和S n ;
【解析】本题考点是等差数列的定义、等比数列的通项、以及数列求和的综合运用题.要求对数列的相关知识能熟练应用.
(1)由题意知,
∴数列的等差数列 (2)由(1)知,
于是
两式相减得
所以n
n
n S ??
? ???+-=4132332.
2.已知等比数列{}n
a 的公比1>q ,且285
4
3
=++a a a 24
+a ,是5
3
a a ,a 3
的等差中项.数列{}
n
b 满足11
=b ,数列(){}n n n a b b -+1的前n 项和为n n +22.
的等比数列公比是首项为41
,41}{1==q a a n *)(log 324
1N n a b n n ∈=+n n n n b a c c ?=满足}{}{n b }{n c *)()4
1
(N n a n n ∈=12log 3,2log 314
114
1=-=-=a b a b n n Θ3log 3log 3log 3log 34
11
4
1
4
114
11===-=-∴+++q a a a a b b n
n n n n n 3,1}{1==d b b n 公差是首项*)(23,)4
1(N n n b a n n n ∈-==*)(,)4
1
()23(N n n c n n ∈?-=∴,)41
()23()41)53()41(7)41(4411132n n n n n S ?-+(?-++?+?+?=∴-Λ1432)4
1
()23()41)53()41(7)41(4)41(141+?-+(?-++?+?+?=n n n n n S Λ132)4
1
()23(])41()41()41[(34143+?--++++=n n n n S Λ.)41()23(211+?+-=n n 【模拟考场】
(Ⅰ)求q 的值;(Ⅱ)求数列
{}n
b 的通项公式.
【解析】分析:(Ⅰ)根据条件、等差数列的性质及等比数列的通项公式即可求解公比,(Ⅱ)先根据数列
(){}n
n n a b b
-+1的前n 项和为n n +2
2求通项,解得n n b b -+1,再通过叠加法以及错位相减法求n b . 【解析】(Ⅰ)由24+a 是53a a ,的等差中项得42453+=+a a a ,所以
28434543=+=++a a a a ,解得84=a .由2053=+a a 得,2018=???
?
?
?+q q 因为1>q .
所以2=q
.
(Ⅱ)设()n n n n a b b c -=+1,数列{}n c 前n 项和为n S .由??
?≥-==-2
,1,11n S S n S c n n n 解得14-=n c n . 由(Ⅰ)可知1
2-=n n a ,所以()1
12114-+??
? ??-=-n n n n b b ,故()221542
1
≥??
?
??-=---n n b b n n n ,,
()()()()12232111b b b b b b b b b b n n n n n -+-++-+-=----Λ
=()()32
1
7219421543
2
+?++?
?
?
??-+??
? ??---Λn n n n .
()2,2154211121732
2
≥???
???-++??? ???+?+=-n n T n n Λ设,
()1
3
2
2154211121721321-??
?
???-++??? ???+??? ???+?=n n n T Λ 两式相减得:
()1
22154214214321-??
?
???-++??? ???+?+=n n n T Λ.
因此得().22134142
≥??
?
???+-=-n n T n n ,
又,11
=b 所以()2
213415-?
?
?
???+-=n n n b .
3.【2016高考山东理数】已知数列{}n a 的前n 项和S n =3n 2+8n ,{}n b 是等差数列,且1.n n n a b b +=+ (Ⅰ)求数列{}n b 的通项公式;
(Ⅱ)令1
(1).(2)
n n n n
n a c b ++=+ 求数列{}n c 的前n 项和T n . 【分析】(Ⅰ)根据1--=n n n S S a 及等差数列的通项公式求解;(Ⅱ)根据(Ⅰ)知数列{}n c 的通项公式,再用错位相减法求其前n 项和.考点:1.等差数列的通项公式;2.等差数列、等比数列的求和;3.“错位相减法”.
【解析】(Ⅰ)由题意知当2≥n 时,561+=-=-n S S a n n n , 当1=n 时,1111==S a ,所以56+=n a n . 设数列{}n b 的公差为d , 由??
?+=+=322
211b b a b b a ,即???+=+=d b d
b 321721111,可解得3,41==d b ,
所以13+=n b n .
(Ⅱ)由(Ⅰ)知11
(66)3(1)2(33)
n n n n
n c n n +++==+?+, 又n n c c c c T +???+++=321,
得2
3
4
1
3[223242(1)2
]n n T n +=??+?+?+???++?,
345223[223242(1)2]n n T n +=??+?+?+???++?,
两式作差,得
234123[22222(1)2]
n n n T n ++-=??+++???+-+?
22
4(21)
3[4(1)2]
21
32n n n n n ++-=?+-+?-=-? 所以2
23+?=n n n T
【答案】(Ⅰ)13+=n b n ;(Ⅱ)223+?=n n n T . 4.数列的通项,其前n 项和为. {}n a 2
2
2(cos
sin )33
n n n a n ππ
=-n S
(1) 求; (2) 求数列{}的前n 项和. 【解析】(1) 由于,故 ,
故 ()
(2)
两式相减得:
故
n S 3,4
n
n n S b n =
?n b n T 2
22cos
sin cos 333
n n n πππ-=312345632313222222222
()()()
1245(32)(31)(3)(6)((3)))
222
k k k k S a a a a a a a a a k k k --=+++++++++++-+-=-++-+++-+L L 1331185(94)2222
k k k -+=
+++=L 3133(49)
,2
k k k k k S S a --=-=
232
3131(49)(31)1321
,22236
k k k k k k k S S a k ------=-=+=-=--1,3236(1)(13)
,316(34)
,36n n n k n n S n k n n n k ?
--=-??
+-?==-??
+?=??
*k N ∈394
,424n n n n
S n b n +=
=??21132294
[],2444n n n T +=+++L 1122944[13],244
n n n T -+=+++L 1232199
1999419419443[13][13]8,12444242214
n
n n n n n n n n n T --+-++=+++-=+-=---L 2321813.3322n n n n T -+=
--?
5.已知数列的首项,,….
(Ⅰ)证明:数列是等比数列; (Ⅱ)数列的前项和. 【解析】(Ⅰ) ,
,
,又,, 数列是以为首项,为公比的等比数列. (Ⅱ)由(Ⅰ)知
,即,. 设…, ① 则…,②
由①②得
…, .又…. 数列的前项和 .
6.设数列满足,. {}n a 12
3
a =
121n n n a a a +=+1,2,3,n =1
{
1}n
a -{
}n
n
a n n S Q 121n n n a a a +=
+∴111
111222n n n n
a a a a ++==+?∴11111(1)2n n a a +-=-12
3
a =∴11112a -=∴1{
1}n a -121
2
1111111222n n n a -+-=?=1112n n a =+∴2
n n n n
n a =+23123222n T =
+++2n n
+231122
22n T =++1122
n n n n
+-++-2111222n T =++111
11(1)1122112222212
n n n n n n n n n +++-+-=-=---∴11222n n n n T -=-
-123+++(1)2
n n n ++=∴{}n n a n 22(1)42
22222
n n n n n n n n n S +++++=-+=={}n a 2
1
123333
3
n n n a a a a -++++=
…a ∈*
N
(Ⅰ)求数列的通项; (Ⅱ)设,求数列的前项和. 【解析】 (I)
验证时也满足上式, (II) , ①
②
① -② : ,
7.已知数列{n a }满足11=a ,且),2(22*
1N n n a a n
n n ∈≥+=-且. (Ⅰ)求2a ,3a ;(Ⅱ)证明数列{
n
n
a 2}是等差数列; (Ⅲ)求数列{n a }的前n 项之和n S
【解析】(Ⅰ)6222
12=+=a a ,20223
23=+=a a .
(Ⅱ)),2(22*
1N n n a a n n n ∈≥+=-且Θ, ∴
),2(122*11N n n a a n n n n ∈≥+=--且, 即),2(12
2*
11N n n a a n n n n ∈≥=---且. ∴数列}2
{
n
n a 是首项为21
211=a ,公差为1=d 的等差数列. (Ⅲ)由(Ⅱ)得,211)1(21)1(212
-=?-+=-+=n n d n a n n ∴n
n n a 2)21(?-=.
{}n a n n
n
b a =
{}n b n n S 21
12333 (3)
,3n n n a a a a -+++=221231133...3(2),3
n n n a a a a n ---+++=≥1113(2).333n n n n a n --=
-=≥1
(2).3
n n a n =≥1n =*1
().3
n n a n N =
∈3n
n b n =?2
3
132333...3n
n S n =?+?+?+?2
3
1
233333
n
n n S n +-=+++-?1
133313
n n n ++-=
-?-111333244
n n n n S ++∴=?-?+?23413132333...3n n S n +==?+?+?+?
)
2(2)2
1
(2)211(2252232212)1(2)21(2252232211432321+?-+?--++?+?+?=?-++?+?+?=
n n n n n n n S n S ΛΛΘ1
322
)2
1
(2221)2()1(+?--++++=--n n n n S Λ得
12)2
1(22221
3
2
-?--++++=+n n
n Λ
12)2
1(21)21(21-?----=+n n n 32)23(-?-=n n . ∴32)32(+?-=n n n S .
8.数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,*
12()n n a S n +=∈N
(Ⅰ)求数列{}n a 的通项n a ; (Ⅱ)求数列{}n na 的前n 项和n T
【解析】(Ⅰ)12n n a S +=Q ,12n n n S S S +∴-=,1
3n n
S S +∴
= 又111S a ==Q ,∴数列{}n S 是首项为1,公比为3的等比数列,1
*3
(n n S n -=∈N
当2n ≥时,2
1223(2)n n n a S n --==g
≥,21132n n n a n -=?∴=?2?
g , ,
,≥.
(Ⅱ)12323n n T a a a na =++++L , 当1n =时,11T =;
当2n ≥时,012
1436323n n T n -=++++g
g L g ,…………①
12133436323n n T n -=++++g g L g ,………………………②
-①②得:122
1
2242(333)23
n n n T n ---=-+++++-L g 213(13)
222313
n n n ---=+--g g
11(12)3n n -=-+-g
1113(2)22n n T n n -??
∴=
+- ???
≥ 又111T a ==Q 也满足上式, 1113(2)22n n T n n -??
∴=
+- ???
≥
9.已知数列{}n a 满足11111,,224n
n n a a a n N ++??
==∈ ???
.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若数列{}n b 的前n
项和2
n s n =,112233n n n T a b a b a b a b =++++L ,求证:3n T <。
【解析】(1)
1
12
21
11124,41124n n n n n
n n n a a a a a a +++++?? ???=∴=??
???
,又11221111,,2244a a a a ==?∴=Q , {}n a ∴是公比为12的等比数列,12n
n a ??
∴= ???
(2)21n b n =-,
231135232122222n n n n n T ---=
++++L ……①,234111352321
222222
n n n n n T +--=+++++L L L ②,①-②得:
2311112222132322222222n n n n n n T ++-+=++++-=-L L ,2332
n n n T +∴=- 3n T ∴<
错位相减法求和专项 错位相减法求和适用于{a n`b n }型数列,其中{a n},{b n}分别是等差数列和等比数列,在应用过程中要注意: ①项的对应需正确; ②相减后应用等比数列求和部分的项数为(n-1)项; ③若等比数列部分的公比为常数,要讨论是否为1 1. 已知二次函数的图象经过坐标原点,其导函数,数列的前项和为,点均在函数的图象上. (Ⅰ)求数列的通项公式; (Ⅰ)设,是数列的前项和,求. [解析]考察专题:2.1,2.2,3.1,6.1;难度:一般 [答案] (Ⅰ)由于二次函数的图象经过坐标原点, 则设,, Ⅰ,Ⅰ, 又点均在函数的图象上, Ⅰ. Ⅰ当时,, 又,适合上式, Ⅰ............(7分)
(Ⅰ)由(Ⅰ)知,, Ⅰ, Ⅰ, 上面两式相减得: . 整理得..............(14分) 2.已知数列的各项均为正数,是数列的前n项和,且 . (1)求数列的通项公式; (2)的值. [答案]查看解析 [解析] (1)当n = 1时,解出a1 = 3, 又4S n = a n2 + 2a n-3① 当时4s n-1 = + 2a n-1-3② ①-②, 即,
Ⅰ , (), 是以3为首项,2为公差的等差数列,6分 . (2)③ 又④ ④-③ = 12分 3.(2013年四川成都市高新区高三4月月考,19,12分)设函数,数列前项和,,数列,满足. (Ⅰ)求数列的通项公式; (Ⅰ)设数列的前项和为,数列的前项和为,证明:. [答案] (Ⅰ) 由,得 是以为公比的等比数列,故.
(Ⅰ)由 得 , …, 记…+, 用错位相减法可求得: . (注:此题用到了不等式:进行放大. )4.已知等差数列中,;是与的等比中项. (Ⅰ)求数列的通项公式: (Ⅰ)若.求数列的前项和 [解析](Ⅰ)因为数列是等差数列,是与的等比中项.所以,又因为,设公差为,则, 所以,解得或, 当时, ,; 当时,. 所以或.(6分)
错位相减法求和 如:{}{}.,,2211的和求等比等差n n n n b a b a b a b a +++ 例1. 已知数列)0()12(,,5,3,112≠--a a n a a n ,求前n 项和。 例2 求和S n = n n n n 2 12232252321132-+-++++- 例3:求数列a,2a 2,3a 3,4a 4,…,na n , …(a 为常数)的前n 项和。 例4设{}n a 是等差数列,{}n b 是各项都为正数的等比数列,且 1(1)21n a n d n =+-=-,112n n n b q --==.求数列n n a b ?????? 的前n 项和n S .
例5.设数列{a n }满足a 1+3a 2+32a 3+…+3 n-1a n = 3n ,n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项; (2)设n n a n b = ,求数列{b n }的前n 项和S n . 分组求和 所谓分组法求和就是:对一类既不是等差数列,也不是等比数列的数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并。 例1:S n =-1+3-5+7-…+(-1)n (2n-1) 例2已知数列{}n a 的前五项是111111,2,3,4,5,392781243 (1)写出该数列的一个通项公式; (2)求该数列的前n 项和n S . 例3 求下面数列的前n 项和: 1147(3n 2)+,+,+,…,+-,…11121a a a n -
例4 求数列:1223 131311,,31311,311,1n +++++++ 的前n 项的和. 例5求2222121234(1)n S n -=-+-+ +-(n N +∈) 例6、求和:??? ? ??+++???? ??++???? ?? +n n y x y x y x 11122 ()1,1,0≠≠≠y x x 例7 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.
错位相减法求和专项.}{a分别是等差数列和等比数列,在应用过{ab}型数列,其中错位相减法求和适用于nn`nn 程中要注意: 项的对应需正确; 相减后应用等比数列求和部分的项数为(n-1)项; 若等比数列部分的公比为常数,要讨论是否为1 数列的前项已知二次函数的图象经过坐标原点,其导函数,1. 均在函数,点的图象上.和为 )求数列Ⅰ(的通项公式; 是数列的前项和,求.(Ⅱ)设, [解析]考察专题:,,,;难度:一般 [答案] (Ⅰ)由于二次函数的图象经过坐标原点,
,,则设 ∴,∴, 又点均在函数的图象上, ∴. 时,,当∴ 又,适合上式,∴............(7分) ,)知,Ⅰ)由(Ⅱ (. ∴, ∴, 上面两式相减得:
. 整理得..............(14分) 是数列的前n2.项和,且已知数列的各项均为正数, . )求数列的通项公式;1 ( )的值.(2][答案查看解析 时,解出an = 1 = 3,] [解析(1)当12-①34S又= a + 2a nnn = + 2a-4s3 ②当时n-1n1- 即,, -①② , ∴. (),
是以3为首项,2为公差的等差数列,6分 . )2③ ( 又④ ③④- = 12分 设函数,19,12分)(2013年四川成都市高新区高三4月月考,3. ,数列前数列.项和,满足, )求数列的通项公式;(Ⅰ
,证明:的前,数列.项和为(Ⅱ)设数列的前项和为 ,得由Ⅰ[答案] () 为公比的等比数列,故.是以 )由(Ⅱ得, …, …+,记
用错位相减法可求得: (注:此题用到了不等式:进行放大. . ) 与的等比中项.4.已知等差数列是中,; )求数列的通项公式:(Ⅰ 项和Ⅱ)若的前.求数列 ( 的等比中项.所以,是([解析]Ⅰ)因为数列与是等差数列,
数列求和之错位相减法专项练习 一、解答题 1.已知正项数列{a a}是递增的等差数列,且a2?a4=6,a6=4. (1)求数列{a a}的通项公式; }的前n项和. (2)求数列{a a 2a?1 2.在数列{a a}中,前n项和为a a,a a+a a=a,a1=a1,a a=a a? a a?1(a≥2). 3.(1)设a a=a a?1,求证:{a a}为等比数列. 4.(2)求{(a+1)a a}的前n项和a a. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.设数列{a a}的前n项和为a a,且a a=2(a a?1)
(1)求数列{a a}的通项公式; (2)若a a=a(a a?1),求数列{a a}的前n项和a a. 13.已知等差数列{a a}的公差是1,且a1,a3,a9成等比数列. (1)求数列{a a}的通项公式; (2)求数列{a a 2a a }的前n项和a a . 14.已知{a a}是公差不为零的等差数列,满足a2+a4+a5=19,且a2是a1与a5的 等比中项,a a为{a a}的前n项和. (1)求a a及a a; (2)若a a=a a+1?3a a,求数列{a a}的前n项和.
15.已知数列{a a}是首项为1的等差数列,数列{a a}是首项a1=1的等比数列,且 a a>0,又a3+a5=21,a5+a3=13.(Ⅰ)求数列{a a}和{a a}的通项公 式; 16.(Ⅱ)求数列{2a a a a}的前n项和a a. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24.已知数列{a a}的前n项和a a=3a2+8a,{a a}是等差数列,且a a=a a+ a a+1. (1)求数列{a a}的通项公式; (2)令a a=(a a+1) (a a+2)a a+1 ,求数列{a a}的前n项和.
— 1. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且244S S =,122+=n n a a (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式 (Ⅱ)设数列{}n b 满足 *12 12 1 1,2 n n n b b b n N a a a +++ =-∈ ,求{}n b 的前n 项和n T 2. (2012年天津市文13分) 已知{n a }是等差数列,其前n 项和为n S ,{n b }是等比数列,且1a =1=2b ,44+=27a b ,44=10S b -. (Ⅰ)求数列{n a }与{n b }的通项公式; (Ⅱ)记1122=++ +n n n T a b a b a b ,+n N ∈,证明1+18=n n n T a b --+(2)n N n >∈,。 … 【答案】解:(1)设等差数列的公差为d ,等比数列的公比为q , 由1a =1=2b ,得3 44423286a d b q s d =+==+,,。
由条件44+=27a b ,44=10S b -得方程组 3 3 23227 86210 d q d q ?++=??+-=??,解得 3 2d q =??=?。 ∴+ 312n n n a n b n N =-=∈,,。 (Ⅱ)证明:由(1)得,()23225282132n n T n =?+?+?+-?+ ①; ∴()234+12225282132n n T n =?+?+?+?+- ②; 由②-①得, : ()()234+1122232323+2332n n n T n =-?-?+?+?-+??+ ()()()()()()+12341+1+1+1+11=4+323222+2412111=4+323=4+32+1232142 =8+3=+8 n n n n n n n n n n n n a b ----?+++??---? --?----- ∴1+18=n n n T a b --+ (2)n N n >∈,。 3.(2012年天津市理13分)已知{n a }是等差数列,其前n 项和为n S ,{n b }是等比数列,且1a =1=2b ,44+=27a b ,44=10S b -. (Ⅰ)求数列{n a }与{n b }的通项公式; (Ⅱ)记1121=++ +n n n n T a b a b a b -,+n N ∈,证明:+12=2+10n n n T a b -+()n N ∈. 【答案】解:(1)设等差数列的公差为d ,等比数列的公比为q , 由1a =1=2b ,得3 44423286a d b q s d =+==+,,。 & 由条件44+=27a b ,44=10S b -得方程组 3 3 23227 86210 d q d q ?++=??+-=??,解得 3 2d q =??=?。 ∴+ 312n n n a n b n N =-=∈,,。 (Ⅱ)证明:由(1)得,231212222n n n n n T a a a a --=+++?+ ①;[
利用错位相减法解决数列求和的答题模板 数列求和是高考的重点,题型以解答题为主,主要考查等差、等比数列的求和公式,错位相减法及裂项相消求和;数列求和常与函数、方程、不等式联系在一起,考查内容较为全面,在考查基本运算、基本能力的基础上又注重考查学生分析问题、解决问题的能力. [典例] ( 满分12分)已知数列{a n }的前n 项和S n =-12 n 2+kn ,k ∈N *,且S n 的最大值为8. (1)确定常数k ,求a n ; (2)求数列???? ??9-2a n 2n 的前n 项和T n . 规范审题模板 1.审条件,挖解题信息 观察条件―→S n =-12 n 2+kn 及S n 的最大值为8 n S n ???????→是于的二次函关数 当n =k 时,S n 取得最大值 2.审结论,明解题方向 观察所求结论 ―→求k 的值及a n ――――→应建立关于k 的方程S n 的最大值为8,即S k =8,k =4n S ?????→可求的表式达 S n =-12n 2+4n 3.建联系,找解题突破口 根据已知条件,可利用a n 与S n 的关系求通项公式 ―――――→注意公式的使用条件a n =S n -S n -1=92-n n ,a 1=S 1=72 ―――――→验证n =1时,a n 是否成立a n =92-n 教你快速规范审题
1.审条件,挖解题信息 观察条件―→a n =92-n 及数列???? ??9-2a n 2n 922n n a ?????????????→-可化列简数 9-2a n 2n =n 2 n -1 2.审结论,明解题方向 观察所求结论―→求数列??????9-2a n 2n 的前n 项和T n 12n n ???????→-分析通的特项点 可利用错位相减法求和 3.建联系,找解题突破口 ――――→同乘以2 ――――→错位相减
专题五 数列 误区三:通项遗漏导致错位相减法求和错误 一、易错提醒 数列求和问题是高考的重点,而错位相减法求和又是数列求和中的重点: 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n 项和即可用此法来求,如等比数列的前n 项和就是用此法推导的.笔者通过多年高三教学发现,高三学生都知道什么样的数列求和,可用错位相减法,但每次考试时,又有相等一部分学生在利用错位相减法求和时,出现运算错误.这一点应引起高三备考学生注意.在应用错位相减法求和时要注意以下问题: (1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形. (2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n -qS n ”的表达式,特别要注意出现项数遗漏的情况.学=科网 (3)在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解. 等比数列求和问题是高考的重点,求解等比数列求和问题“1q =”该不该考虑?,许多同学在解题不关心或不清楚,致使答案错误,到底那个题该考虑?那个题不考虑?认真审题,弄清题意是关键. 二、典例精析 【例1】【2017届福建闽侯县三中高三上期中数学】已知数列}{n a 满足)2,(1221≥∈-+=*-n N n a a n n n 且 51=a . (1)求32,a a 的值; (2)若数列}2{ n n a λ +为等差数列,请求出实数λ; (3)求数列}{n a 的通项公式及前n 项和为n S 【分析】(1)根据)2,(1221≥∈-+=*-n N n a a n n n 由51=a 可得2,a 进而可得3a ;(2)由}2 {n n a λ +为等差数列,得 )2 (2222 2331λ λλ+=+++a a a ,进而解得=1λ-;(3)由(2)得112n n a n -=+,进而可得12)1(++=n n n a ,利用分组求和及错位相减求和可得数列}{n a 的通项公式及前n 项和为n S . 【解析】(1)∵1221-+=-n n n a a ,51=a ,1312222 12=?-+=a a a ,331223323=?-+=a a a .(2)
特定数列求和法一错位相减法 在高中所学的数列求合的方法有很多,比如倒序相加法、公式法、数学归 纳法、裂项相消法、错位相减法等等,在此处我们就只着重讲解一种特定数列求 和的方法一一错位相减法。那到底什么是错位相减法呢?现在咱们来回忆当初学 习等比数列时老师是怎么一步步推导出等比数列的求和公式的,下面是推导过 程: 数列a n 是由第一项为a i ,且公比为q 的等比数列,它的前n 项和是 由已知有 通过上述推导过程老师运用了一种特殊的推导方法将本来很复杂的运算简 化了,从而得到等比数列的求和公式, 这种方法叫错位相减法,那我们是不是遇 到复杂的运算就都可以用这种方法呢?答案当然不是,我们仔细观察这推导过 程,就会发现其实错位相减法是用来计算一个等比数列乘以一个等差数列而成的 复杂数列的。可以归纳数学模型如下: S n a i a i q a i q 2 a i q n i ,求S n 的通项公式。 两端同乘以 q ,有 i 时, i 时, 于是 S n a i a i q a i q 2 ... qs n aiq 2 aiq 3 a i q n ... (1 q)s n a i n a i q 由①可得 由③可得 S n s n S n n a i (q i)或者 na i i)
已知数列4是以a i 为首项,d 为公差的等差数列,数列 0是以b i 为首 项,q(q 1)为公比的等比数列,数列C n a n b n ,求数列C n 的前n 项和. 解 由已知可知 许许多多的高考试题以及课后习题证明了不是所有的数列题目都会很直接 地写明所求数列是一个等比数列乘以一个等差数列的形式, 通过对最近几年高考 中的数列题的分析总结出了以下几种错位相减法求和类型: 所求数列中的等差数列是已知 这第一种类型的题顾名思义是所求的复杂数列中直接给出其中一个是等差 数列,则只要证明或者求出另一个是等比数列, 那么就可以用错位相减法来求解 该题,同时如果另一个不能被证明是等比数列就不能用错位相减法来求解, 得另 找他法了 ■ 例1.(2013湖南文)设S n 为数列{a n }的前n 项和,已知: a 1 0,2a n a 1 S 1 S n , n N (1)求a 1,并求数列{a n }的通项公式 (2)求数列{na n }的前n 项和. 两端同乘以q 可得 qC n a1?q :a 1b 2 a 2 b 2q a ? b 3 asdq 83 匕4 .. . ...a n 1 b n 1 q a n b n q a n 1b n a n b n q 由①-②得 (1 q)C n a 1 b 1 d(b 2 b 3 ...b n 1 b n ) a n b n q 化简得 C n Cd d(b 2 b 3 ... b n 1 b n ) a n b n q / (q C n a i b 1 a 2b 2 a 3b 3 ■■- i q
特定数列求和法—错位相减法 在高中所学的数列求合的方法有很多,比如倒序相加法、公式法、数学归纳法、裂项相消法、错位相减法等等,在此处我们就只着重讲解一种特定数列求和的方法——错位相减法。那到底什么是错位相减法呢?现在咱们来回忆当初学习等比数列时老师是怎么一步步推导出等比数列的求和公式的,下面是推导过程: 数列{}n a 是由第一项为1a ,且公比为q 的等比数列,它的前n 项和是 111121...n n a a q a q a q s -=++++ ,求 n s 的通项公式。 解 由已知有 111121...n n a a q a q a q s -=++++, ○ 1 两端同乘以q ,有 ○ 1-○2得 当1q =时,由○ 1可得 当1q ≠时,由○ 3可得 于是 1(1)n s na q == 或者 11(1)1n n a a q s q q -=≠- 通过上述推导过程老师运用了一种特殊的推导方法将本来很复杂的运算简化了,从而得到等比数列的求和公式,这种方法叫错位相减法,那我们是不是遇到复杂的运算就都可以用这种方法呢?答案当然不是,我们仔细观察这推导过程,就会发现其实错位相减法是用来计算一个等比数列乘以一个等差数列而成的复杂数列的。可以归纳数学模型如下: 已知数列{}n a 是以1a 为首项,d 为公差的等差数列,数列{}n b 是以1b 为首项,(1)q q ≠为公比的等比数列,数列n n n c a b =,求数列{}n c 的前n 项和. 解 由已知可知 两端同乘以q 可得 = 11223311...n n n n n qc a b q a b q a b q a b q a b q --=+++++
错位相减法求和作业练习 1、{2}.n n n ?求数列前项和 2、已知等差数列{}n a 满足:37a =,5726a a +=.{}n a 的前n 项和为n S . (Ⅰ)求n a 及n S ; (Ⅱ)令211n n b a = -(n N +∈),求数列{}n b 的前n 项和n T . 3、已知等差数列{}n a 的前3项和为6,前8项和为-4 (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)设1*(4)(0,)n n n b a q q n N -=-≠∈,求数列{}n b 的前n 项和n S 4、已知等差数列{}n a 满足:37a =,5726a a +=,{}n a 的前n 项和为n S . (Ⅰ)求n a 及n S ;(Ⅱ)令b n = 211 n a -(n ∈N *),求数列{}n b 的前n 项和n T .
5、已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点,其导函数为' ()62f x x =-,数列{}n a 的前n 项和为n S ,点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上。 (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)设1 1n n n b a a += ,n T 是数列{}n b 的前n 项和,求使得20n m T <对所有n N *∈都成立的最小正整数m 6、(){213}.n n n -?求数列前项和 7、已知数列{n a }满足:}{,2)32()12(3121n n n b n a n a a 数列+?-=-+++ 的前n 项和 n n n n W n b a n n S 项和的前求数列}{.222?-+=.
1.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且244S S =,122+=n n a a (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式 (Ⅱ)设数列{}n b 满足 *12 12 1 1,2 n n n b b b n N a a a ++ + =-∈ ,求{}n b 的前n 项和n T 2. (2012年天津市文13分) 已知{n a }是等差数列,其前n 项和为n S ,{n b }是等比数列,且1a =1=2b ,44+=27a b ,44=10S b -. (Ⅰ)求数列{n a }与{n b }的通项公式; (Ⅱ)记1122=++ +n n n T a b a b a b ,+n N ∈,证明1+18=n n n T a b --+(2)n N n >∈,。 【答案】解:(1)设等差数列的公差为d ,等比数列的公比为q , 由1a =1=2b ,得3 44423286a d b q s d =+==+,,。 由条件44+=27a b ,44=10S b -得方程组
3 3 23227 86210 d q d q ?++=??+-=??,解得 3 2d q =??=?。 ∴+ 312n n n a n b n N =-=∈,,。 (Ⅱ)证明:由(1)得,()23225282132n n T n =?+?+?+-?+ ①; ∴()234+12225282132n n T n =?+?+?+?+- ②; 由②-①得, ()()234+1122232323+2332n n n T n =-?-?+?+?-+??+ ()()()()()()+12341+1+1+1+11=4+323222+2412111=4+323=4+32+1232142 =8+3=+8 n n n n n n n n n n n n a b ----?+++??---? --?----- ∴1+18=n n n T a b --+ (2)n N n >∈,。 3.(2012年天津市理13分)已知{n a }是等差数列,其前n 项和为n S ,{n b }是等比数列,且1a =1=2b ,44+=27a b , 44=10S b -. (Ⅰ)求数列{n a }与{n b }的通项公式; (Ⅱ)记1121=++ +n n n n T a b a b a b -,+n N ∈,证明:+12=2+10n n n T a b -+()n N ∈. 【答案】解:(1)设等差数列的公差为d ,等比数列的公比为q , 由1a =1=2b ,得3 44423286a d b q s d =+==+,,。 由条件44+=27a b ,44=10S b -得方程组 3 3 23227 86210 d q d q ?++=??+-=??,解得 3 2d q =??=?。 ∴+ 312n n n a n b n N =-=∈,,。 (Ⅱ)证明:由(1)得,231212222n n n n n T a a a a --=+++?+ ①;[ ∴234+1 12122222n n n n n T a a a a --=+++?+ ②; 由②-①得,
错位相减法是一种常用的数列求和方法,应用于等比数列与等差数列相乘的形式.形如An=BnCn,其中Bn为等差数列,Cn为等比数列;分别列出Sn,再把所有式子同时乘以等比数列的公比,即kSn;然后错一位,两式相减即可. 目录 简介 举例 错位相减法解题 编辑本段简介 错位相减较常用在数列的通项表现为一个等差数列与一个等比数列的乘积,如an=(2n-1)*2^(n-1),其中2n-1部分可以理解为等差数列,2^(n-1)部分可以理解为等比数列. 编辑本段举例 例如:求和Sn=1+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1)(x≠0)当x=1时,Sn=1+3+5+…+(2n-1)=n^2;当x不等于1时,Sn=1+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1);∴xSn=x+3x^2+5x^3+7x^4+…+(2n-1)*x^n;两式相减得(1-x)Sn=1+2x[1+x+x^2+x^3+…+x^(n-1)]-(2n-1)*x^n;化简得Sn=(2n-1)*x^(n+1)-(2n+1)*x^n+(1+x)/(1-x)^2 编辑本段错位相减法解题 错位相减法是求和的一种解题方法.在题目的类型中:一般是a前面的系数和a的指数是相等的情况下才可以用.这是例子(格式问题,在a后面的数字和n都是指数形式):S=a+2a2+3a3+……+(n-2)an-2+(n-1)an-1+nan (1)在(1)的左右两边同时乘上a.得到等式(2)如下:aS= a2+2a3+3a4+……+(n-2)an-1+(n-1)an+nan+1 (2)用(1)—(2),得到等式(3)如下:(1-a)S=a+(2-1)a2+(3-2)a3+……+(n-n+1)an-nan+1 (3)(1-a)S=a+a2+a3+……+an-1+an-nan+1 S=a+a2+a3+……+an-1+an用这个的求和公式.(1-a)S=a+a2+a3+……+an-1+an-nan+1 最后在等式两边同时除以(1-a),就可以得到S 的通用公式了.例子:求和Sn=3x+5x^2+7x^3+……..+(2n-1)·x的n-1次方(x不等于0)当x=1时,Sn=1+3+5+…..+(2n-1)=n^2;; 当x不等于1时,Sn=3x+5x^2+7x^3+……..+(2n-1)·x 的n-1次方所以xSn=x+3x^2+5x^3+7x四次方……..+(2n-1)·x的n次方所以两式相减的(1-x)Sn=1+2x(1+x+x^2+x^3+...+x的n-2次方)-(2n-1)·x的n次方.化简得:Sn=(2n-1)·x地n+1次方-(2n+1)·x的n次方+(1+x)/(1-x)平方Cn=(2n+1)*2^n Sn=3*2+5*4+7*8+...+(2n+1)*2^n 2Sn=3*4+5*8+7*16+...+(2n-1)*2^n+(2n+1)*2^(n+1) 两式相减得-Sn=6+2*4+2*8+2*16+...+2*2^n-(2n+1)*2^(n+1) =6+2*(4+8+16+...+2^n)-(2n+1)*2^(n+1) =6+2^(n+2)-8-(2n+1)*2^(n+1) (等比数列求和) =(1-2n)*2^(n+1)-2 所以Sn=(2n-1)*2^(n+1)+2 错位相减法这个在求等比数列求和公式时就用了Sn= 1/2+1/4+1/8+.+1/2^n 两边同时乘以1/2 1/2Sn= 1/4+1/8+.+1/2^n+1/2^(n+1)(注意跟原式的位置的不同,这样写看的更清楚些)两式相减1/2Sn=1/2-1/2^(n+1) Sn=1-1/2^n
数列求和裂项法错位相减法分组求和法 Modified by JEEP on December 26th, 2020.
数列求和的三种特殊求法 例1、已知数列{a n }的通项公式为a n =12-n +3n ,求这个数列的前n 项和 例2、求下列数列的前n 项和: (1)211,412,813,……n n 21+,…… (2)1,211+,3211 ++…… n +??+++3211 …… (3)5,55,555.……,55……5,……(4),,,……,……5,…… 例3、已知数列的的通项,求数列的前n 项和: (1) )1(1+= n n a n (2)) 2(1 +=n n b n (3){a n }满足a n = 1 1++n n ,求S n (4)求和:+?+?= 5 34 3122 2 n S ……+) 12)(12()2(2 +-n n n (5)求和) 2)(1(1 43213211+++??+??+??=n n n S n 例4、求数列 ,,,3,2,32n na a a a (a 为常数)的前n 项和n S 。 练习:求和:21,223,325,……n n 2 1 2-,…… 知识演练: 1. (2009年广东第4题)已知等比数列}{n a 满足 )3(2,,2,1,02525≥=?=>-n a a n a n n n 且 ,则当1≥n 时,=+++-1221212log log log n a a a A .)12(-n n B .2)1(+n C .2n D .2)1(-n 2. (2010年山东第18题)已知等差数列{}n a 满足:37a =,5726a a +=,{}n a 的前n 项和为n S . (Ⅰ)求n a 及n S ; (Ⅱ)令b n = 2 11 n a -(n ∈N * ),求数列{}n b 的前n 项和n T . 3. (2005年湖北第19题)设数列}{n a 的前n 项和为S n =2n 2,}{n b 为等比数列,且 .)(,112211b a a b b a =-= (Ⅰ)求数列}{n a 和}{n b 的通项公式; (Ⅱ)设n n n b a c =,求数列}{n c 的前n 项和T n 小结:数列求和的方法 分组求和,裂项相消(分式、根式),错位相减(差比数列) 数列求和的思维策略: 从通项入手,寻找数列特点
数列求和之错位相减法、倒序相加法 1、错位相减法适用于c n =a n ×b n ,其中a n {}是等差数列,b n {}是等比数列。 步骤:此时可把式子 的两边同乘以公比 q (q 10且 q 11),得到 ,两式错位相减整理即可求出 S n . 2、倒序相加法适用于数列首尾项的和为定值。 【例1】已知数列2 1 1,3,5,,(21)(0)n a a n a a --≠L ,求前n 项和. 【例2】已知 a n { } 是一个公差大于0的等差数列,且满足 a 3a 6 =55,a 2+a 7=16 (Ⅰ)求数列 a n {}的通项公式: (Ⅱ)若数列 a n { } 和数列 b n { } 满足等式:2 n n n a b =,求数列 b n {} 的前n 项和S n . 【例3】求和:22 2 2 sin 1sin 2sin 3sin 89++++o o o o L L
【例4】已知函数()()R x x f x ∈+= 2 41,点()111,y x P ,()222,y x P 是函数()x f 图像上 的两个点,且线段21P P 的中点P 的横坐标为2 1. (Ⅰ)求证:点P 的纵坐标是定值; (Ⅱ)若数列{}n a 的通项公式为()m n N m m n f a n ,,2,1,Λ=∈?? ? ??=,求数列{}n a 的前m 项的和m S ; 【变式训练】 1、已知数列26a --,14a --,2-,0,2a ,24a ,...,(-8+2n )3 n a -求前n 项和. 2、若数列 {}n a 的通项公式为23n a n =+,数列 b n { } 满足等式:2n n n b a =,求数列 b n { } 的 前n 项和S n
创作编号:BG7531400019813488897SX 创作者:别如克* 错位相减法求和专项 错位相减法求和适用于{a n`b n }型数列,其中{a n},{b n}分别是等差数列和等比数列,在应用过程中要注意: ①项的对应需正确; ②相减后应用等比数列求和部分的项数为(n-1)项; ③若等比数列部分的公比为常数,要讨论是否为1 1. 已知二次函数的图象经过坐标原点,其导函数,数列的前项和为,点均在函数的图象上. (Ⅰ)求数列的通项公式; (Ⅱ)设,是数列的前项和,求. [解析]考察专题:2.1,2.2,3.1,6.1;难度:一般 [答案] (Ⅰ)由于二次函数的图象经过坐标原点, 则设,, ∴,∴, 又点均在函数的图象上,
∴. ∴当时,,又,适合上式,∴............(7分) (Ⅱ)由(Ⅰ)知,, ∴, ∴,上面两式相减得: . 整理得..............(14分) 2.已知数列的各项均为正数,是数列的前n项和,且 . (1)求数列的通项公式; (2)的值. [答案]查看解析
[解析] (1)当n = 1时,解出a1 = 3, 又4S n = a n2 + 2a n-3① 当时4s n-1 = + 2a n-1-3 ② ①-②, 即, ∴, (), 是以3为首项,2为公差的等差数列,6分 . (2)③ 又④ ④-③ = 12分 3.(2013年四川成都市高新区高三4月月考,19,12分)设函数 ,数列前项和,,数列,满足.
(Ⅰ)求数列的通项公式; (Ⅱ)设数列的前项和为,数列的前项和为,证明: . [答案] (Ⅰ) 由,得 是以为公比的等比数列,故. 得 (Ⅱ)由 , …, 记…+, 用错位相减法可求得: . (注:此题用到了不等式:进行放大. )4.已知等差数列中,;是与的等比中项. (Ⅰ)求数列的通项公式: (Ⅱ)若.求数列的前项和 [解析](Ⅰ)因为数列是等差数列,是与的等比中项.所以,又因为,设公差为,则,
教学设计 一、课程基本描述 课程名称:错位相减法 课程内容所属学科:高中数学 教材选用:人教A版必修五 授课对象:高中学生 课前准备:多媒体课件、笔记本电脑 二、教学背景 数列是高中数学的重要内容之一,数列的求和是高考重点考查内容,错位相减法在书本上没有专门的要求,但错位相减法是求和中考察最多的,考察有变革,有创新,但在变中有不变性,因此,要求考生有效地分析通项,然后根据通项特征选择相应的求和方法。而错位相减法就是针对一个由等差数列{an}及一个等比数列{bn}对应项之积组成的数列求和方法.由等比数列求和的推导后,考生在解决这类问题时,都知道利用错位相减法求解,也都能写出此类题的解题过程,但由于步骤繁琐、计算量大导致了漏项或添项或符号的正负出错,特别是含字母的需要讨论等,需要学生在不断的尝试练习、巩固练习中来提高学生的观察能力、分析问题与解决问题的能力以及计算能力,体现数学的核心素养。 三、教学目标 1.知识与技能:会用错位相减求通项为等差数列与等比数列对应项乘积的数列前n项和。 2.过程与方法:通过两等式错位相减,将不能求和的问题转化成能用等比数列求和的问题,让学生体会数学的转化思想。 3.情感、态度与价值观:在学习的过程中,培养学生的探究能力、化归能力、运算能力,真正理解和掌握基本的数学知识与技能、转化与化归的数学思想和方法、获得广泛的数学经验。 教学重点:会用错位相减法求通项为等差数列与等比数列对应项乘积的数列前n项和。 教学难点:错位相减后的项数、符号、计算问题,以及对转化数学思想的理解。 教学方法:探究式教学
四、教学过程 错位相减法的基本介绍: 通常一个公差为d 的等差数列{a n }与一个公比为q 的等比数列{b n }的对应项的乘积构成的新数列 c n ={an·bn },则求新数列的前n 项和Sn ,一般将{a n ·b n }的各项乘以其公比,并向后错一项与{a n ·b n }的同项对应相减,相减时通常是用系数大的项减去系数小的项,避免出现太多的负号,相减后的式子,有n+1项相加,然后再把n-1项构成的等比数列相加,再跟剩余两项能合并的合并,力求结果形式上简洁。(有字母的需要注意讨论公比q 是否等于1)这就是错位相减法求和的基本步骤。 例题展示1:求和T n =1×2+4×22+7×23+?+(3n ?2)×2n 解: (1) T n =1×2+4×22+7×23+?+(3n ?2)×2n (2) 2T n =1×22+4×23+7×24+?+(3n ?2)×2n +1(1)减(2)得: ?T n =1×2+3×22+3×23+?+3×2n ?(3n ?2)×2n +1 =3(2+22+23+?+2n )?(3n ?2)×2n +1?4 =3(2n +1?2)?(3n ?2)×2n +1?4 =3×2n +1?6?3n ×2n +1+2n +2?4 =2n +2+3(1?n )×2n +1?10 所以:T n =3(n ?1)×2n +1?2n +2+10 跟踪练习:求和T n =3×13+5×(13)2+7×(13)3+?+(2n +1)×(13)n 例题展示2.已知等比数列的公比为,前项和为,,分{a n }q ≠1n S n a 1+a 3=S 4 S 2a 1?1,a 2?1,a 3?1别是一个等差数列的第1项,第2项,第5项. (Ⅰ)求数列的通项公式; {a n }(Ⅱ)设,求数列的前项和. b n =a n lga n {b n }n T n 解:由分别是一个等差数列的第1项,第2项,第5项, a 1?1,a 2?1,a 3?1得, a 3?1?(a 1?1)=4[(a 2?1)?(a 1?1)]即, a 3?a 1=4(a 2?a 1)因 为,所以 {a n }是等比数列a n ≠0 即, q 2?1=4(q ?1)又因为,所以, q ≠1q +1=4,q =3由得,,所以,所以. a 1+a 3=S 4S 2a 1+a 1q 2=S 2(1+q 2)S 2=1+q 2a 1=1a n =3n ?1
创作编号: GB8878185555334563BT9125XW 创作者:凤呜大王* 错位相减法数列求和十题 1.设正项等比数列{a n}的前n项和为S n,且a3=4,S2=3. (1)求数列{a n}的通项公式; (2)令b n=(2n-1)a n(n∈N*),求数列{b n}的前n项和为T n. 2.已知函数f(x)=x2+2x,数列{a n}的前n项和为S n,对一切正整数n,点P n(n, S n)都在函数f(x)的图象上,且过点P n(n,S n)的切线的斜率为k n. (1)求数列{a n}的通项公式;(2)若b n=2kn?a n,求数列{b n}的前n项和T n.3.数列的前项和为,且是和的等差中项,等差数列满足 (1)求数列、的通项公式 (2)设=,求数列的前项和. 4.(本小题满分12分)已知数列{a n}的前n项和为S n,且a n是S n与2的等差中项, 数列{b n}中,b1=1,点P(b n,b n+1)在直线上。 (1)求a1和a2的值; (2)求数列{a n},{b n}的通项a n和b n; (3)设c n=a n·b n,求数列{c n}的前n项和T n. 5.已知数列{a n}的前n项和为S n,点(a n+2,S n+1)在直线y=4x-5上,其中n∈
N*.令b n=a n+1-2a n.且a1=1.求数列{b n}的通项公式;若f(x)=b1x+b2x2+b3x3+… +b n x n,计算f′(1)的结果. 6.已知数列的前项和,数列满足 (1)求数列的通项公式;(2)求数列的前项和; (3)求证:不论取何正整数,不等式恒成立7.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,满足a1=1,S6=36,数列{b n}是等比数列且 满足b1+b2=3,b4+b5=24。 (1)求数列{a n}和{b n}的通项公式; (2)设c n=1+a n·b n,求c n的前n项和T n。 8.已知等差数列{a n}的公差d不为0,设S n=a1+a2q+…+a n q n-1,T n=a1-a2q+…+ (-1)n-1a n q n-1,q≠0,n∈N*, (1)若q=1,a1=1,S3=15,求数列{a n}的通项公式; (2)若a1=d,且S1,S2,S3成等比数列,求q的值; (3)若q≠±1,证明(1-q)S2n-(1+q)T2n=,n∈N*。 9.(1)已知:等差数列{a n}的首项a1,公差d,证明数列前n项和 ; (2)已知:等比数列{a n}的首项a1,公比q,则证明数列前n项和 . 10.设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=(1+λ)-λan,其中λ≠-1,0;
1 数列求和之错位相减法 用“错位相减法”求和的数列特征:即如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项乘积构成的,那么这个数列的前n 项和则采用“错位相减法” 求和 高考数列用错位相减的几个步骤: 第一步:判断通项公式是否满足一下关系式: 第二步:写出求和的展开式: 第三步:在第二步的基础上等式两边同时乘上该等比数列的公比q 第四步:①——②化简得:n s 例题1:[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知{a n }是递增的等差数列,a 2,a 4是方程x 2-5x +6=0的根. (1)求{a n }的通项公式; (2)求数列???? ?? a n 2n 的前n 项和. 例题2:已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =2a n -1;数列{b n }满足b n -1-b n =b n b n -1(n ≥2,n ∈N *),b 1=1. (1)求数列{a n },{b n }的通项公式; (2)求数列???? ?? a n b n 的前n 项和T n . 课后练习: 已知数列{a n }中,a 1=3,a 2=5,且{a n -1}是等比数列 (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式; (Ⅱ)若b n =na n ,求数列{b n }的前n 项和T n 。 (15年天津)已知 {}n a 是各项均为正数的等比数列,{}n b 是等差数列,且 112331,2a b b b a ==+=,5237a b -=. (I )求{}n a 和{}n b 的通项公式; (II )设c n =n a b n 求数列{}n c 的前n 项和. 已知等比数列{}n a 的公比1q >, 1a 和4a 的一个等比中项,2a 和3a 的等差中项为6,若数列{}n b 满足2log n n b a =(n ∈*N ). (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)求数列{}n n a b 的前n 项和n S . (全国)已知数列{}n a 的首项32 1=a ,1 21+=+n n n a a a , 3,2,1=n (1)证明:数列??? ?? ?-11n a 是等比数列; (2)求数列? ?? ???n a n 的前n 项和n S 。 121122=+++=+++n n n n S c c c a b a b a b ……① 升高一次右边式子每一项的指数=n qS ……② c n n n n q B An b a c ++==).(即形如:n n n b a c =